阿氏圆(2018中考数学压轴热点)
中考热点题型之阿氏圆
阿氏圆整理例题讲解: 例1、如图1,抛物线y ＝a ｘ2＋(a +3)x ＋３(a ≠０)与ｘ轴交于点A (４,0),与y 轴交于点B ,在x 轴上有一动点E (m ,０)(0<m ＜4),过点E 作ｘ轴得垂线交直线AB 于点N ,交抛物线于点P ,过点Ｐ作PM ⊥A Ｂ于点M 、 (1)求a 得值与直线ＡB 得函数表达式;(2)设△PMN 得周长为C 1,△ＡＥＮ得周长为C ２,若=,求m 得値;(3)如图2,在(2)得条件下,将线段O Ｅ绕点O 逆时针旋转得到ＯE ′,旋转角为α(0°＜α<90°),连接E ′A 、E ′B ,求Ｅ′A ＋＼F (2,3)E ′B 得最小值、解:(1)把点Ａ(４,0)代入ｙ＝ax 2+(a +3)x ＋3,得 16ａ+４(a ＋3)＋3＝０、解得ａ＝－＼Ｆ(3,4)、∴抛物线得函数表达式为:y ＝-34x 2＋＼Ｆ(9,４)x ＋3. 把x =0代入上式,得ｙ=3、 ∴点B 得坐标为(０,3)。
由A (４,0),B (0,3)可得直线ＡB 得函数表达式为:y ＝－３4x ＋3. (2)根据题意,得OE =m ,AE ＝4－m ,AB ＝５,点Ｐ得坐标可表示为(m ,—３4m ２＋94m +３). ∴PE =－34ｍ 2＋94m ＋3……………………………………………………①∵△AEN ∽△ＡOB ,∴＼Ｆ(ＡN ,AB )=＼Ｆ(NE ,BO )＝错误!.∴错误!=错误!=错误!、 ∴A Ｎ=54(4－m ), NE =＼F (3,4)(４-m )、 ∵△PM Ｎ∽△ＡEN ,且＝,∴＼F (PN ,AN )=、∴PN =A Ｎ＝×54(４－m )＝32(４－m ).∴PE =ＮE +PN =34(4－m )+错误!(4-m )＝错误!(４—m )………………………。
② 由①、②,得第28题图1－３４m 2+９4ｍ+3=94(4-m ). 解得m 1＝2,m 2=4(不合题意,舍去). ∴ｍ得値为2。
专题05 阿氏圆求最小值(解析版)
中考数学压轴题--二次函数第5节阿氏圆求最小值内容导航方法点拨点P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点 A、B，则所有满足 PA=k·PB（k≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
如图 1 所示，⊙O 的半径为 r，点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知 r=k·OB，连接 PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？如图2，在线段 OB 上截取 OC 使 OC=k·r，则可说明△BPO 与△PCO 相似，即 k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与 A 与 C 为定点,P 为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。
如图3所示：【破解策略详细步骤解析】例题演练例1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+4x的顶点为点A（1）求点A的坐标；（2）点B为抛物线上横坐标等于﹣6的点，点M为线段OB的中点，点P为直线OB下方抛物线上的一动点．当△POM的面积最大时，过点P作PC⊥y轴于点C，若在坐标平面内有一动点Q满足PQ＝，求OQ+QC的最小值；【解答】解：（1）∵y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4，∴A（﹣2，﹣4）；（2）如图1，过P作PH⊥x轴交OB于H，作PG⊥BC于G，过M作MD⊥y轴交y轴于D，∵点B为抛物线上横坐标等于﹣6的点，∴B（﹣6，12），∴直线AB解析式为y＝﹣2x设P（m，m2+4m），则H（m，﹣2m），PH＝﹣2m﹣（m2+4m）＝﹣m2﹣6m∵点M为线段OB的中点，∴M（﹣3，6），∴MD＝3∵PH∥y轴∴∠PHG＝∠MOD∵PG⊥BC MD⊥y轴∴∠PGH＝∠MDO∴△PGH∽△MDO∴＝，即PG•MO＝PH•MD＝3（﹣m2﹣6m）＝﹣3m2﹣18m，∴S△POM＝PG•MO＝﹣9m＝﹣（m+3）2+∵﹣＜0，∴当m＝﹣3时，S△POM的值最大，此时P（﹣3，﹣3），在PC上取点T，使得PT＝，连接QT，OT，∵PC＝3，PQ＝∴＝＝∵∠QPT＝∠CPQ∴△QPT∽△CPQ∴＝＝，即TQ＝QC，∴OQ+QC＝OQ+TQ≥OT∵OT＝＝＝∴OQ+QC的最小值为；练1.1如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴＝，∵NE∥OB，∴＝，∴AN＝（4﹣m），∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，∴PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴＝，解得m＝2或4，经检验x＝4是分式方程的增根，∴m＝2．（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，∴OE′2＝OM′•OB，∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴＝＝，∴M′E′＝BE′，∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝＝．练1.2如图1，抛物线y＝ax2﹣6ax+6（a≠0）与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜8），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）分别求出直线AB和抛物线的函数表达式．（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，若S1：S2＝36：25，求m的值．（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B．①在x轴上找一点Q，使△OQE′∽△OE′A，并求出Q点的坐标．②求BE′+AE′的最小值．【解答】解：（1）把点A（8，0）代入抛物线y＝ax2﹣6ax+6，得64a﹣48a+6＝0，∴16a＝﹣6，a＝﹣，∴y＝﹣x2+x+6与y轴交点，令x＝0，得y＝6，∴B（0，6）．设AB为y＝kx+b过A（8，0），B（0，6），∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6．（2）∵E（m，0），∴N（m，﹣m+6），P（m，﹣m2+m+6）．∵PE∥OB，∴△ANE∽△ABO，∴＝，∴＝，解得：AN＝．∵PM⊥AB，∴∠PMN＝∠NEA＝90°．又∵∠PNM＝∠ANE，∴△NMP∽△NEA．∵＝，∴，∴PM＝AN＝×＝12﹣m．又∵PM＝﹣m2+m+6﹣6+m＝﹣m2+3m，∴12﹣m＝﹣m2+3m，整理得：m2﹣12m+32＝0，解得：m＝4或m＝8．∵0＜m＜8，∴m＝4．（3）①在（2）的条件下，m＝4，∴E（4，0），设Q（d，0）．由旋转的性质可知OE′＝OE＝4，若△OQE′∽△OE′A．∴＝．∵0°＜α＜90°，∴d＞0，∴＝，解得：d＝2，∴Q（2，0）．②由①可知，当Q为（2，0）时，△OQE′∽△OE′A，且相似比为＝＝＝，∴AE′＝QE′，∴BE′+AE′＝BE′+QE′，∴当E′旋转到BQ所在直线上时，BE′+QE′最小，即为BQ长度，∵B（0，6），Q（2，0），∴BQ＝＝2，∴BE′+AE′的最小值为2．练1.3如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B 的右侧），与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点P．连接AC．（1）求点P的坐标及直线AC的解析式；（2）如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OF，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接F A、FC．求AF+CF的最小值；【解答】解：（1）在抛物线y＝x2+x+3中，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），当y＝3时，x1＝0，x2＝2，∴P（2，3），当y＝0时，x1＝﹣4，x2＝6，B（﹣4，0），A（6，0），设直线AC的解析式为y＝kx+3，将A（6，0）代入，得，k＝﹣，∴y AC＝﹣x+3，∴点P坐标为P（2，3），直线AC的解析式为y AC＝﹣x+3；（2）在OC上取点H（0，），连接HF，AH，则OH＝，AH＝＝＝，∵＝＝，＝，且∠HOF＝∠FOC，∴△HOF∽△FOC，∴＝，∴HF＝CF，∴AF+CF＝AF+HF≥AH＝，∴AF+CF的最小值为；练1.4如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y ＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、P A，当点P运动到某一位置时，PC+P A 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．【解答】解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5∴C（0，5）y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1∴A（1，0）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点∴解得：∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x1＝1，x2＝5∴B（5，0）（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5∴S△ABC＝AB•OC＝×4×5＝10∵点M为x轴下方抛物线上的点∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5∴S△ABM＝AB•MH＝×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8∴S四边形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18（可以直接利用点M是抛物线的顶点时，面积最大求解）（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD∴BD＝5﹣4＝1∵AB＝4，BP＝2∴∵∠PBD＝∠ABP∴△PBD∽△ABP∴＝＝，∴PD＝AP∴PC+P A＝PC+PD∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+P A＝PC+PD＝CD最小∵CD＝∴PC+P A的最小值为练1.5如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（，0），B两点（点B在点A的左侧），与y 轴交于点C，且OB＝3OA＝OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交直线AD于点H．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m，当FH＝HP时，求m的值；（3）当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求AQ+EQ的最小值．【解答】解：（1）由题意A（，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣），把C（0，﹣3）代入得到a＝．故抛物线的解析式为y＝x2+x﹣3．（2）在Rt△AOC中，tan∠OAC＝＝，∴∠OAC＝60°，∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA•tan30°＝1，∴D（0，﹣1），∴直线AD的解析式为y＝x﹣1，由题意P（m，m2+m﹣3），H（m，m﹣1），F（m，0），∵FH＝PH，∴1﹣m＝m﹣1﹣（m2+m﹣3）解得m＝﹣或（舍弃），∴当FH＝HP时，m的值为﹣．（3）如图，∵PF是对称轴，∴F（﹣，0），H（﹣，﹣2），∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EO＝OA＝3，∴E（0，3），∵C（0，﹣3），∴HC＝＝2，AH＝2FH＝4，∴QH＝CH＝1，在HA上取一点K，使得HK＝，此时K（﹣，﹣），∵HQ2＝1，HK•HA＝1，∴HQ2＝HK•HA，∴＝，∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴＝＝，∴KQ＝AQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，∴当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，最小值＝＝．。
专题06 阿氏圆问题-中考数学二次函数压轴题核心考点突破
阿氏圆问题
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最 值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时， 即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆 的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1） 的点的集合叫做圆．
如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有
（2）如图 1，过点 M 作 MH⊥x 轴于点 H ∵A （1，0），B（5，0），C（0，5） ∴AB ＝5﹣1＝4，OC＝5
∴S△ABC＝ AB•OC＝ ×4×5＝10
∵点 M 为 x 轴下方抛物线上的点 ∴设 M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5） ∴MH ＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5
【练习 1】如图，在ABC 中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点 C 为圆心，6 为半径的 圆上有一个动点 D．连接 AD、BD、CD，则 2AD+3BD 的最小值是 ．
C
D
A
B
【分析】首先对问题作变式
2AD+3BD=
3
2 3
AD
BD
，故求
2 3
AD
BD
最小值即可．
考虑到 D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造 2 AD ，条件已经足够明显． 3
B 使得 PA：PB=3：1，求 B 点坐标．
y
P
A
M O Nx
【分析】
像这样的问题一般就是“阿氏圆”构图，已知圆与 A 点，求另外一点 B．
思路 1：构造相似三角形．
考虑 OP2 OAOB ，将 OP 3 、 OA 9 代入可得：OB 1 ，故 B 点坐标为3,0 ．
中考数学压轴题突破—胡不归-阿氏圆问题(共19张PPT)
不要忘记乘2.
胡不归问题
1.构造含特殊角直角三角形，将“a PA”转化
胡不归问题
1.构造含特殊角直角三角形，将“a PA”转化
胡不归问题
变式一：胡不归问题来自变式二：胡不归问题2.构造相似三角形，借助相似比将“a PA”转化
中考数学压轴题突破胡不归阿氏圆问题问题产生的原因?已知定点ab要求找一点p使apapb值最小a为大于0且不为1的常数问题产生的原因?1
中考数学压轴题突破 胡不归-阿氏圆问题
问题产生的原因
• 已知定点A、B，要求找一点P，使 a PA+PB值最小(a为大于0且不为 1的常数)
问题产生的原因
• 1.点P在直线上运动型称为“胡不归”问题， 点P在圆周上运动型称为“阿氏圆”问题；
胡不归问题
2.构造相似三角形，借助相似比将“a PA”转化
胡不归问题
2.构造相似三角形，借助相似比将“a PA”转化
解答：
胡不归问题
变式练习：
阿圆问题
构造子母型相似三角形，借助相似比将a PA转化
阿圆问题
构造子母型相似三角形，借助相似比将a PA转化
解析：
阿圆问题
构造子母型相似三角形，借助相似比将a PA转化
• 2.点P在直线上运动型称为“胡不归”问题， 点P在圆周上运动型称为“阿氏圆”问题.
方法原理
• 1.两点之间，线段最短； • 2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小
于第三边； • 3.垂线段最短；
解题思路
胡不归问题
1.构造含特殊角直角三角形，将“a PA”转化
胡不归问题
阿氏圆(2018中考数学压轴热点)
--阿氏圆模型专题训练阿氏圆( 阿波罗尼斯圆) ：已知平面上两定点A、B，则所有满足PA/PB=k(k 不等于1) 的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。
在初中的题目中往往利用逆向思维构造斜屁型相似( 也叫母子型相似或美人鱼相似)+ 两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。
观察下面的图形，当P 在在圆上运动时，PA、PB的长在不断的发生变化，但它们的比值却始终保持不变。
解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。
ABD D，使得AD/AB=AB/AC，则此时△∽△ACB如图，在△ABC的边AC上找一点母子型相似（共角共边）BA CD: 我们来看一道基本题目的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?那么如何应用阿氏圆为圆上一动点 . CB=4,CA=6已知∠ACB=90°，，⊙C半径为2，PA1(1) AP 求BP 的最小值为 21AP 求(2) 的最小值为BP3PBC 实战练习：D 1 AB上一动点，，，为切线，AC、BD AC=1BD=2P 为弧，半径为、已知⊙O 1 2的最小值试求PC PDC 2PB AO1 AP），，（、已知点2 A4 0B 上运动，试求的⊙2 在半径为），点，（44 P O BP 的最小值 2yBPxO A-- --1 -- --轴相切，与y 为⊙C 上一动点，且⊙C P，B（0,3 ），C（1,0 ），若点3、已知点A(-3,0)1AP（1）y ; BP 的最小值 4B（2）S 的最小值 .PAB PO CxA4、如图1，在平面直角坐标系xoy 中，半⊙O交x 轴与点A、B(2,0) 两点，AD、BC均为半⊙O 的切线，AD=2，BC=7.(1)求OD的长；（2）如图2，若点P 是半⊙O上的动点，Q为OD的中点 . 连接PO、PQ.①求证：△OPQ∽△ODP;②是否存在点P，使PD 2PC 有最小值，若存在，试求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 .5、（1）如图1，已知正方形ABC的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，1 1求PD PC 的最小值和PD PC 的最大值 .2 2(2)如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么2 2；PD PDPC 的最小值为PC 的最大值为3 3B 上的一个2. 点P 是圆4，已知菱形ABCD的边长为，∠B=60°，圆B 的半径为3（3）如图11PC 的最大值为PC 的最小值为PD PD动点. 那么；22巩固练习：----2----11、如图，在Rt△ABC中，∠ACB﹦90°，CB﹦4，CA﹦6，圆C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP，BP，AP BP2 最小值为（）A、37B、6C、2 17D、4APC B2、如图，在△ABC中，∠B﹦90°，AB﹦CB﹦2，以点 B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，2．PC 则PA 的最小值是2CPAB3E，在⊙相切于点60，锐角大小为的边长为 2 °，⊙A 与BC3、如图，菱形ABCDPD，则PB A 上任取一点P2的最小值为．PADB E C4、在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），C （4，0），D（3 ，2），P 是△AOB 外部的第一象限内一．动点，且∠BPA﹦135°，则2PD﹢PC的最小值是yx----3----12，点4，圆B 的半径为5、（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为PC求PDP 是圆B 上的一个动点，21的最小值和PC 的最大值．PD 2上的一个动点，求，点P 是圆B 9，圆B 的半径为6，已知正方2（2）如图2PCPD 的边长为ABCD形3 2的最大值．PC PD 的最小值和3上的一个动是圆B ,2，点P，∠B﹦90°，圆B 的半径为（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为41 PC PD点，求21PD 的最小值和PC 的最大值． 2DA D AADPPPBBC C3图1 图2 图套路总结阿氏圆基本解法：构造相似kPD PC 阿氏圆一般解题步骤：OD 、的线段的两个端点分别与圆心相连接）O （将系数不为1 ，则连接OP；第一步：连接动点至圆心OD 长度；、第二步：计算出所连接的这两条线段OP OPm ；第三步：计算这两条线段长度的OD比OM m ；，使OD 第四步：在上取点M OP 得交点即为点，与圆第五步：连接CM O P．----4----1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP，BP，AP+BP的最小值为（）2．如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC、BD 为切线，P BD=2 AC=1 上一动点，求为，，的最小值．PC+PD5--。
费马点 胡不归 阿氏圆问题
2018中考数学冲刺专题系列班别：九年级内容：日期：姓名：地址：内部讲义费马点问题费马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一.费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点.费马点结论：对于一个各角不超过 120的三角形，费马点是对各边的张角都是 120的点；对于有一个角超过 120的三角形，费马点就是这个内角的顶点.1. “费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。
若给定一个三角形ABC ∆的话，从这个三角形的费马点P 到三角形的三个顶点A 、B 、C 的距离之和比从其它点算起的都要小。
这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。
“费马点”作法图形 原理ABC ∆中每一内角都小于120°，在ABC ∆内求一点P ，使PA PB PC ++值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外两点之间线段最短．PA PB PC ++最小值CD =．ABC2. 若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。
所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
下面简单说明如何找点P ，使它到ABC ∆三个顶点的距离之和PC PB PA ++最小？这就是所谓的费马点问题.解析：如图所示，把APC ∆绕点A 逆时针旋转 60，得到''C AP ∆，连接'PP ，则'APP ∆为等边三角形，'PP AP =,''C P PC =， 所以，'''C P PB PP PC PB PA ++=++.点'C 可看成是线段AC 绕点A 逆时针旋转 60而得到的定点，'BC 为定长，所以当''C P P B 、、、四点在同一直线上时，PC PB PA ++最小.这时，.12060180180' =-=∠-=∠APP BPA.12060180180''' =-=∠-=∠=∠APP C AP APC.120120120360360=--=∠-∠-=∠APC BPA BPC因此，当ABC ∆的每一个内角都小于120时，所求的点P 对三角形每边的张角都是120，可按照如上的办法找到点P ；当有一内角大于或等于 120时，所求的P 点就是钝角的顶点.费马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离之和最小，解决问题的方法是运用旋转变换.1(广东中考题)已知正方形ABCD 内一动点E 到C B A 、、三点的距离之和的最小值为62+，求此正方形的边长.解：如图所示，连接AC ，把AEC ∆绕点C 顺时针旋转 60，得到GFC ∆，连接AG BG EF 、、，可知EFC ∆、AGC ∆都是正三角形，则AE FG CE EF ==,,EF BE FG CE BE AE ++=++∴.点B 、点G 为定点(G 为点A 绕C 顺时针旋转 60所得)∴ 线段BG 即为点E 到C B A 、、三点的距离之和的最小值，此时F E 、两点都在BG 上.设正方形的边长为a ，那么a CO BO 22==，a GC 2=，a GO 26=. a a GO BO BG 2622+=+=∴. 点E 到C B A 、、的距离之和的最小值为62+，622622+=+a a ，解得2=a .2(湖州中考题)若点P 为ABC ∆所在平面上一点，且 120=∠=∠=∠CPA BPC APB ,则点P 叫做ABC ∆的费马点.(1)若点P 为锐角ABC ∆的费马点，且 60=∠ABC ，3=PA ，4=PC ，则PB 的值为._______(2)在锐角三角形ABC ∆的外侧作等边'ACB ∆，连接'BB ，求证：'BB 过ABC ∆的费马点P ，且.'PC PB PA BB ++=解：(1)利用相似三角形可求PB 的值为32.(2)设点P 为锐角ABC ∆的费马点，即 120=∠=∠=∠CPA BPC APB如图，把ACP ∆绕点C 顺时针旋转 60到CE B '∆，连接PE ，则EPC ∆为正三角形.120'=∠=∠APC EC B ， 60=∠PEC . 180'=∠+∠∴PEC EC B .即'B E P 、、三点在同一直线上. 同理，B E P 、、三点也在同一直线上'B E P B 、、、∴四点在同一直线上，即'BB 过ABC ∆的费马点P .又 'ACB ∆和EPC ∆为等边三角形∴ PC PE =，PA EB ='..''PC PB PA PE PB EB BB ++=++=∴变式训练：(全国初中联赛)如图所示，在ABC ∆中， 60=∠ABC ，点P 是ABC ∆内的一点，使得CPA BPC APB ∠=∠=∠,且8=PA ，6=PC ，则PB 的值为._______2018广州二中二模胡不归问题从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
专题2.6 阿氏圆 (隐圆压轴三)(解析版)
专题2.6 阿氏圆阿氏圆问题问题：求解“AP nPB+”类加权线段和最小值方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值②造：根据线段比，构造母子型相似③算：根据母子型结论，计算定点位置④转：“AP nPB+”问题+”转化为“AP PM关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数②系数小于1：内部构造母子型③系数大于1：外部构造母子型【典例1】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．【解答】解（1）在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．∴MP：PD＝k，∴MP＝kPD，∴PC+kPD＝PC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，利用勾股定理得．（2）∵AC＝m＝4，＝，在CB上取一点M，使得CM＝CD＝，∴的最小值为．【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝9，⊙B的半径为3，点P是⊙B上一点，连接AP，CP，则AP+CP的最小值为 ．【答案】【解答】解：连接BP，在BC上截取BQ＝1，连接PQ，AQ，∴，，∴，∵∠PBQ＝∠CBP，∴△BPQ∽△BCP，∴，∴PQ＝CP，∴AP+CP＝AP+PQ≥AQ，当A、P、Q三点依次在同一直线上时，AP+CP＝AQ＝的值最小，故答案为：．【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+BP的最小值为（ ）A．B．6C．2 D．4【答案】A【解答】解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．要使AP+BP最小，只要AP+PD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+PD 最小，即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP的最小值为，故选：A．【变式1-3】如图，在正方形ABCD中．AB＝8，点P是正方形ABCD内部的一点，且满足BP＝4，则PD+PC的最小值是（ ）A．6B．8C．10D．12【答案】C【解答】解：在BC边上取一点E，使BE＝2，连接DE，如图∵ABCD是正方形，AB＝8∴AB＝BC＝CD＝8，∠BCD＝90°∵BP＝4∴，∴且∠PBC＝∠PBC∴△PBE∽△BCP∴∴PE＝PC∴PD+PC＝PD+PE在Rt△DCE中，CD＝8，CE＝BC﹣BE＝6∴DE＝＝10∵PD+PE≥DE∴PD+PE≥10∴PD+PC的最小值是10故选：C．【变式1-4】如图，已知抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（A在点B 的左侧），与y轴交于点C，⊙O与x轴交于点E（2，0），点P是⊙O上一点，连接CP，BP，求BP+CP的最小值．【解答】解：如图，在OC上取一点T，使得OT＝，连接PT，BT，OP．由题意C（0，3），E（2，0），A（﹣1，0），B（4，0）∴OE＝2，OC＝3，OB＝4，OA＝1，∴OP2＝OT•OB，∴＝，∵∠POT＝∠COP，∴△POT∽△COP，∴＝＝＝，∴PT＝PC，∴PB+PC＝BP+PT≥BT，在Rt△BOT中，OB＝4，OT＝，∴BT＝＝＝，∴ABP+PC≥，∴BP+PC的最小值为．【变式1-5】（西峡县期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值等于（ ）A．4B．C．D．【答案】C【解答】解：在AB上截取AQ＝1，连接AP，PQ，CQ，∵点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，∴＝，∵AP＝2，AQ＝1，∴＝，∵∠PAQ＝∠BAP，∴△APQ∽△ABP，∴PQ＝PB，∴＝PC+PQ≥CQ，在Rt△ACQ中，AC＝4，AQ＝1，∴QB＝＝，∴的最小值，故选：C．【变式1-6】（2022春•长顺县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC ＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF＝，连接PF，AF．∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，∴PC＝DE＝2，∵＝，＝，∴＝，∵∠PCF＝∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴＝＝，∴PF＝PB，∴PA+PB＝PA+PF，∵PA+PF≥AF，AF＝＝＝，∴PA+PB≥，∴PA+PB的最小值为，故答案为．【变式1-7】（龙凤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 ．【答案】．【解答】解：在AC上截取CQ＝1，连接CP，PQ，BQ，∵AC＝9，CP＝3，∴＝，∵CP＝3，CQ＝1，∴＝，∴△ACP∽△PCQ，∴PQ＝AP，∴PA+PB＝PQ+PB≥BQ，∴当B、Q、P三点共线时，PA+PB的值最小，在Rt△BCQ中，BC＝4，CQ＝1，∴QB＝，∴PA+PB的最小值，故答案为：．【变式1-8】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为△ABC内一动点，且满足CD＝2，则AD+BD的最小值为 ．【答案】．【解答】解：如图，在CB上取一点T，使得CT＝，连接DT，AT．∵CD＝2，CT＝，CB＝3，∴CD2＝CT•CB，∴＝，∵∠DCT＝∠BCD，∴△DCT∽△BCD，∴＝＝，∴DT＝BD，∴AD+BD＝AD+DT≥AT，在Rt△ACT中，AC＝4，CT＝，∴AT＝＝＝，∴AD+BD≥，∴AD+BD的最小值为．【变式1-9】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，以B为圆心，BE为半径作⊙B，点P是⊙B上一动点，连接PD、PC，则PD+PC的最小值为 5 ．【答案】5．【解答】解：如图，在BC上取一点T，使得BT＝1，连接PB，PT，DT．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCT＝90°，∵CD＝4，CT＝3，∴DT＝＝＝5，∵PB＝2，BT＝1，BC＝4，∴PB2＝BT•BC，∴＝，∵∠PBT＝∠PBC，∴△PBT∽△CBP，∴＝＝，∴PT＝PC，∵PD+PC＝PD+PT≥DT＝5，∴PD+PC的最小值为5，故答案为：5．【典例2】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，C，D分别为OA，OB的中点，点P是上一点，则2PC+PD的最小值为 ．【答案】2．版权所有【解答】解：如图，延长OA使AE＝OA，连接ED，EP，OP，∵AO＝OB＝4，C，D分别是OA，OB的中点，∴OE＝8，OP＝4，OD＝OC＝2，∴＝＝，且∠COP＝∠EOP，∴△OPE∽△OCP，∴＝＝，∴EP＝2DC，∴2PC+PD＝PE+PD，∴当点E，点P，点D三点共线时，2PC+PD的值最小，∴2PC+PD最小值＝＝2．【变式2-1】如图，在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝3，点A是OC中点，OB＝2，点P是为CD上一点，则PB+2PA的最小值为 ．【答案】【解答】连接OP，延长OC至点E，使得OE＝6，则＝，，∴，∵∠AOP＝∠AOP，∴△AOP∽△POE，∴，即2PA＝PE，∴PB+2PA＝PB+PE，∴当E、P、B三点共线时，PB+PE最小，∴PB+2PA的最小值为BE＝＝．故答案为：．【变式2-2】（梁溪区校级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 ．【答案】．【解答】解：如图，在y轴上取点H（0，9），连接BH，∵点A（0，1），点B（2，0），点H（0，9），∴AO＝1，OB＝2，OH＝9，∵，∠AOP＝∠POH，∴△AOP∽△POH，∴，∴HP＝3AP，∴3PA+PB＝PH+PB，∴当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长，∴BH＝＝＝，故答案为：．【变式2-3】（溧阳市一模）如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，点C在OA上，且OC＝2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为 ．【答案】4．【解答】解：延长OB到T，使得BT＝OB，连接MT，CT．∵OM＝6，OD＝DB＝3，OT＝12，∴OM2＝OD•OT，∴＝，∵∠MOD＝∠TOM，∴△MOD∽△TOM，∴＝＝，∴MT＝2DM，∵CM+2DM＝CM+MT≥CT，又∵在Rt△OCT中，∠COT＝90°，OC＝4，OT＝12，∴CT＝＝＝4，∴CM+2DM≥4，∴CM+2DM的最小值为4，∴答案为4．【变式2-4】如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为 2 ．【答案】2【解答】解：设⊙O半径为r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP+PB＝AP+PI，∴当A、P、I在一条直线上时，AP+PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB﹣BE＝3，∴AI＝＝，∴AP+PB最小值＝AI＝，∵PA+PB＝（PA+PB），∴PA+PB的最小值是AI＝＝2．故答案是2．。
完整版阿氏圆问题归纳
阿氏圆题型的解题方法和技巧以阿氏圆〔阿波罗尼斯圆〕为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现,对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要 .阿氏圆定理〔全称：阿波罗尼斯圆定理〕,具体的描述：一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比n〔丰1〕,那么P点的轨迹,是以定比n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,该圆称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.定理读起来和理解起来比较枯燥,阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB 〔k丰1〕P点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.PA+kPB,〔k丰1〕P点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆根本解法：构造母子三角形相似【问题】在平面直角坐标系xOy中,在x轴、y轴分别有点C〔m, 0〕 , D〔0, n〕.点P是平面内一动点,且OP=r,求PC+kPD勺最小值.阿氏圆一般解题步骤：第一步：确定动点的运动轨迹〔圆〕,以点.为圆心、r为半径画圆；〔假设圆已经画出那么可省略这一步〕第二步：连接动点至圆心0〔将系数不为1的线段的固定端点与圆心相连接〕,即连接OR OD第三步：计算出所连接的这两条线段OR OD长度；第四步：计算这两条线段长度的比k;第五步：在OD上取点M,使得OM:OP=OP:OD=k第六步：连接CM与圆.交点即为点P.此时CMgP所求的最小值.一…,括号外边,将其中一条线段的系数化成；,再构造△相似进行计算】习题【旋转隐圆】如图,在Rt A ABC中,/ ACB=90 , D为AC的中点,M为BD的中点,将线段AD绕A点任意旋转(旋转过程中始终保持点M为BD的中点),假设AC=4, BC=3那么在旋转过程中,线段C咔度的取值范围是.1.Rt △ ABC中,/ ACB=90 , AC=4 BC=3 点.为^ ABC内一动点,满足CD=2 贝U AD+2 BD3 的最小值为.2.如图,菱形ABCD勺边长为2,锐角大小为60° , O A与BC相切于点E,在O A上任取一-3……点P,贝U PB+业3 PD的最小值为2【旅转隐圆】第1鞭第2题3.如图,菱形ABCD勺边长为4, / B=60° ,圆B的半径为2, P为圆B上一动点,贝U PD+11 PC的最小值为.24.如图,点A, B在O.上,OA=OB=12,OA OB点C是OA的中点,点D在OB上,OD=10.动.,, …1…点P在③.上,贝U PC+— PD的最小值为.25.如图,等边△ ABC的边长为6,内切圆记为.O P是圆上动点,求2PB+PC勺最小值.第3题第4题第5题6.如图,边长为4的正方形,内切圆记为③ O, P是圆上的动点,求J2PA+PB勺最小值.7.如图,边长为4的正方形,点P 是正方形内部任意一点,且BP=2那么PD+1PC的最小值2为; <2 PD+4PC勺最小值为.8.在平面直角坐标系xOy中,A(2 , 0) , B(0,2) , C(4, 0), D(3, 2) , ?是左AOB7卜部的第象限内一动点,且/ BPA=135 ,贝U 2PD+PC勺最小值是.10.如图,在 Rt△ ABC 中,/ A=30° , AC=8,以 C 为圆心,⑴试判断O C 与AB 的位置关系,并说明理由；⑵点F 是③C 上一动点,点 D 在AC 上且CD=2试说明△ FCL^A ACF 1 ……EF+— FA 的最小值.211.(1)如图1,正方形 ABCD 勺边长为4,圆B 的半径为2,点P 是圆B 上的一个动点,求PD+1 PC 的最小值和PD-1PC 的最大值；22⑵如图2,正方形 ABCD 勺边长为9,圆B 的半径为6,点P 是圆B 上的一个动点,那 ,2,, 一…2…,…么PD+—PC 的最小值为 , PD-—PC 的最大值为 .3 3⑶如图3,菱形 ABCD 勺边长为4, Z B=60° ,圆B 的半径为2,点P 是圆B 上的一个 动点,那么PD+1PC 的最小值为 , PD-1PC 的最大值为 .22ZABC=60 , O A 的半径为6, P 是O A 上的动点, 连接PB PC,4为半径作O C.9,在^ ABC 中,AB=& BC=8那么3PC+2PB 勺最小值为⑶ 点E 是AB 上任意一点,在(2)的情况下,试求出B•••PD=1BP, ••• AP+1 BP=AP+PD221……,请你完成余下的思考,并直接写出答案：AP+—BP 的最小值为 .2⑵自主探索：在“问题提出〞的条件不变的情况下,-AP+BP 的最小值为 .3⑶ 拓展延伸：扇形 COW, / COD=90 , OC=6 OA=3 OB=5,点P 是弧CD 上一点,求 2PA+PB 的最小值.【二次函数结合阿氏圆题型】13.如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3 (a丰0)与x 轴交于点 A (4, 0),与y 轴交于点B,在 x 轴上有一动点E (m 0) ( 0v rnK 4),过点E 作x 轴的垂线交直线 AB 于点N,交抛物线 于点P,过点P 作P 机AB 于点M⑴求a 的值和直线AB 的函数表达式；⑵设△ PMN!勺周长为 C1, △ AEN 的周长为 C2, 假设C6,求m 的值； C25⑶如图2,在(2)条件下,将线段 OE 绕点O 逆时针旋转得到 OE',旋转角为a ( 0° Va V90° ),连接E' A 、E' B,求 E' A+2E' B 的最小值.3问题背景：如图1,在^ ABC中,BC=4, AB=2AC问题初探：请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB=问题再探：如图2,在AC右侧作/ CADW B,交BC的延长线于点问题解决：求△ ABC的面积的最大值.,AC=D,求CD的长.1.小明的数学探究小组进行了系列探究活动.类比定义：类比等腰三角形给出如下定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形.探索理解：⑴如图1,A、B C在格点(小正方形的顶点)上,请你协助小明用两种不同的方法画出格点D,连接DA DC 使四边形ABCC^邻等四边形；r_r T-r -i r ~r~r ~r _r _i尝试体验：⑵如图2,邻等四边形ABCW, AD=CD Z ABC=120 , / ADC=60 , AB=2, BC=1,求四边形ABCD勺面积.解决应用：⑶如图3,邻等四边形ABCW, AD=CD Z ABC=75 , Z ADC=60 , BD=4小明爸爸所在的工厂,需要裁取某种四边形的材料板,这个材料板的形状恰巧是符合如图3条件的邻等四边形, 要求尽可能节约.你能求出这种四边形面积的最小值吗如果能,请求出此时四边形ABCE®积的最小值；如果不能,请说明理由.2.我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形〞.(1)如图1,在四边形ABC/,添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形〞.请写出你添加的一个条件.⑵如图2,等邻边四边形ABCg, AB=AD Z BAD% BCD=90 , AG BD为对角线,AC^2AR试探究BC, BD的数量关系.(3)如图3,等邻边四边形ABC" AB=AD AC=2, / BAD=^ BCD=60 ,求等邻边四边形ABCD 面积的最小值.S'。
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精心整理
阿氏圆(阿波罗尼斯圆)：
已知平面上两定点A 、B ，则所有满足PA/PB=k(k 不等于1)的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。
在初中的题目中往往利用逆向思维构造"斜A"型相似(也叫"母子型相似"或"美人鱼相似")+两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。
观察下面的图形，当P 在在圆上运动时，PA 、PB 的长在不断的发生变化，但它们的比值却始终保持不变。
（1）14AP BP +（2）PAB S V 的最小值.
4、如图1轴与点A 、B(2,0)两点，AD 、BC 均为半⊙O 的切线，AD=2，BC=7.
(1)求OD 的长；
（2）如图2，若点P 是半⊙O 上的动点，Q 为OD 的中点.连接PO 、PQ.
①求证：△OPQ ∽△ODP;
②是否存在点P ，使2PD PC +有最小值，若存在，试求出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由. 5、（1）如图1，已知正方形ABC 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12
PD PC +的最小值和12
PD PC -的最大值. (2)如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么23
PD PC +的最小值为；23
PD PC -的最大值为 （3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2.点P 是圆B 上的一个动点.
那么12PD PC +的最小值为；12
PD PC -的最大值为 巩固练习：
1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ﹦90°，CB ﹦4，CA ﹦6，圆C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，
BP ，12
AP BP +最小值为（） A 、37B 、6C 、217D 、4
2、如图，在△ABC 中，∠B ﹦90°，AB ﹦CB ﹦2，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则22
PA PC +的最小值是． 3、如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则32
PB PD +的最小值为． 4、在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，2），C （4，0），D （3，2），P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA ﹦135°，则2PD ﹢PC 的最小值是．
5、（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12
PD PC +的最小值和12
PD PC -的最大值． （2）如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，求23
PD PC +的最小值和23
PD PC -的最大值． （3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ﹦90°，圆B 的半径为,2，点P 是圆B 上的一个动点，
求12PD PC +的最小值和12
PD PC -的最大值． 图1图2图3
套路总结
阿氏圆基本解法：构造相似
阿氏圆一般解题步骤：PC kPD +
y x
第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OD；
第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OD长度；
第三步：计算这两条线段长度的比OP
m OD
=；
第四步：在OD上取点M，使得OM
m OP
=；
第五步：连接CM，与圆O交点即为点P．
1．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，AP+BP的最小值为（）
2．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为上一动点，求PC+PD 的最小值．。