阿氏圆(2018中考数学压轴热点)(2020年整理).doc
2020中考专题10——最值问题之阿氏圆
2020中考专题10——最值问题之阿氏圆班级姓名.【模型解析】“阿氏圆”模型---“PB k PA ⋅+”型最值◆条件：A、B 为定点,P 为⊙O 上一个动点,k OB OP =(10<<k ).◆问题:求PB k PA ⋅+的最小值,并画出点P 的位置.◆方法：连接OP,OB.在OB 上取点C,使k OP OC =.易证得△POC∽△BOP,所以k OBOP PB CP ==,所以PB k CP ⋅=.所以AC CP PA PB k PA ≥+=⋅+,当P 为AC 与⊙O 的交点时，PB k PA ⋅+的最小值为AC.【例题分析】例1.在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，满足CD=2，求AD+32BD 的最小值。
例2.问题提出：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP 、BP ，求AP+12BP 的最小值.P尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD=1，则有12CD CP CP CB ==，又∵∠PCD=∠BCP ，∴△PCD ≌△BCP ，12PD BP =，∴PD=12BP ，∴AP+12BP=AP+PD .请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+12BP 的最小值为.自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，13AP+BP 的最小值为.拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P 是弧CD 上一点，求2PA+PB 的最小值.【巩固训练】1.如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C 半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，AP+21BP 最小值为。
图1图2图32.如图2，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则PA+22PC 的最小值是。
2020年中考数学线段最值问题之阿波罗尼斯圆问题(含答案)
2020中考数学线段最值问题之阿波罗尼斯圆(阿氏圆)【知识背景】阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里德齐名,被称为亚历山大时期数学三巨匠。
阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻而系统的研究,其主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是其研究成果之一，本文主要讲述阿波罗尼斯圆在线段最值中的应用，下文中阿波罗尼斯圆简称为“阿氏圆”。
【定 义】阿氏圆是指：平面上的一个动点P 到两个定点A ，B 的距离的比值等于k ，且k≠1的点P 的轨迹称之为阿氏圆。
即：)1(≠=k k PBPA，如下图所示：上图为用几何画板画出的动点P 的轨迹，分别是由图中红色和蓝色两部分组成的的圆，由于是静态文档的形式，无法展示动图，有兴趣的可以用几何画板试一试。
【几何证明】证明方法一：初中纯几何知识证明：阿氏圆在高中数学阶段可以建立直角坐标系，用解析几何的方式来确定其方程。
但在初中阶段，限于知识的局限性，我们可以采用纯几何的证明方式，在证明前需要先明白角平分线定理及其逆定理，请看下文： 知识点1：内角平分线定理及逆定理若AD 是∠BAC 的角平分线，则有：CDBDAC AB =。
即“两腰之比”等于“两底边之比”。
其逆定理也成立：即CDBDAC AB =，则有：AD 是∠BAC 的角平分线。
知识点2：外角平分线定理及其逆定理若AD 是△ABC 外角∠EAC 的角平分线，则有CDBDAC AB =。
即“两腰之比”等于“两底边之比”。
其逆定理也成立：即CDBDAC AB =，则有：AD 是外角∠EAC 的角平分线。
【阿氏圆的证明】有了上述两个知识储备后，我们开始着手证明阿氏圆。
①如上图，根据阿氏圆的定义： 当P 点位于图中P 点位置时有：k PB PA =，当P 点位于图中N 点位置时有：k NBNA=， 所以有：NBNAPB PA =，所以PN 是∠APB 的角平分线，∴∠1=∠2. 当P 点位于图中M 点位置时有：PBPAk MB MA ==， 所以有：MBMNPB PA =，所以PM 是∠EPA 的角平分线，∴∠3=∠4. 又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180° ∴2∠1+2∠3=180° ∴∠1+∠3=90°故∠MPN=90°，所以动点P 是在以MN 为直线的圆上。
专题05 阿氏圆求最小值(解析版)
中考数学压轴题--二次函数第5节阿氏圆求最小值内容导航方法点拨点P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点 A、B，则所有满足 PA=k·PB（k≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
如图 1 所示，⊙O 的半径为 r，点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知 r=k·OB，连接 PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？如图2，在线段 OB 上截取 OC 使 OC=k·r，则可说明△BPO 与△PCO 相似，即 k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与 A 与 C 为定点,P 为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。
如图3所示：【破解策略详细步骤解析】例题演练例1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+4x的顶点为点A（1）求点A的坐标；（2）点B为抛物线上横坐标等于﹣6的点，点M为线段OB的中点，点P为直线OB下方抛物线上的一动点．当△POM的面积最大时，过点P作PC⊥y轴于点C，若在坐标平面内有一动点Q满足PQ＝，求OQ+QC的最小值；【解答】解：（1）∵y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4，∴A（﹣2，﹣4）；（2）如图1，过P作PH⊥x轴交OB于H，作PG⊥BC于G，过M作MD⊥y轴交y轴于D，∵点B为抛物线上横坐标等于﹣6的点，∴B（﹣6，12），∴直线AB解析式为y＝﹣2x设P（m，m2+4m），则H（m，﹣2m），PH＝﹣2m﹣（m2+4m）＝﹣m2﹣6m∵点M为线段OB的中点，∴M（﹣3，6），∴MD＝3∵PH∥y轴∴∠PHG＝∠MOD∵PG⊥BC MD⊥y轴∴∠PGH＝∠MDO∴△PGH∽△MDO∴＝，即PG•MO＝PH•MD＝3（﹣m2﹣6m）＝﹣3m2﹣18m，∴S△POM＝PG•MO＝﹣9m＝﹣（m+3）2+∵﹣＜0，∴当m＝﹣3时，S△POM的值最大，此时P（﹣3，﹣3），在PC上取点T，使得PT＝，连接QT，OT，∵PC＝3，PQ＝∴＝＝∵∠QPT＝∠CPQ∴△QPT∽△CPQ∴＝＝，即TQ＝QC，∴OQ+QC＝OQ+TQ≥OT∵OT＝＝＝∴OQ+QC的最小值为；练1.1如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴＝，∵NE∥OB，∴＝，∴AN＝（4﹣m），∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，∴PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴＝，解得m＝2或4，经检验x＝4是分式方程的增根，∴m＝2．（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，∴OE′2＝OM′•OB，∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴＝＝，∴M′E′＝BE′，∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝＝．练1.2如图1，抛物线y＝ax2﹣6ax+6（a≠0）与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜8），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）分别求出直线AB和抛物线的函数表达式．（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，若S1：S2＝36：25，求m的值．（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B．①在x轴上找一点Q，使△OQE′∽△OE′A，并求出Q点的坐标．②求BE′+AE′的最小值．【解答】解：（1）把点A（8，0）代入抛物线y＝ax2﹣6ax+6，得64a﹣48a+6＝0，∴16a＝﹣6，a＝﹣，∴y＝﹣x2+x+6与y轴交点，令x＝0，得y＝6，∴B（0，6）．设AB为y＝kx+b过A（8，0），B（0，6），∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6．（2）∵E（m，0），∴N（m，﹣m+6），P（m，﹣m2+m+6）．∵PE∥OB，∴△ANE∽△ABO，∴＝，∴＝，解得：AN＝．∵PM⊥AB，∴∠PMN＝∠NEA＝90°．又∵∠PNM＝∠ANE，∴△NMP∽△NEA．∵＝，∴，∴PM＝AN＝×＝12﹣m．又∵PM＝﹣m2+m+6﹣6+m＝﹣m2+3m，∴12﹣m＝﹣m2+3m，整理得：m2﹣12m+32＝0，解得：m＝4或m＝8．∵0＜m＜8，∴m＝4．（3）①在（2）的条件下，m＝4，∴E（4，0），设Q（d，0）．由旋转的性质可知OE′＝OE＝4，若△OQE′∽△OE′A．∴＝．∵0°＜α＜90°，∴d＞0，∴＝，解得：d＝2，∴Q（2，0）．②由①可知，当Q为（2，0）时，△OQE′∽△OE′A，且相似比为＝＝＝，∴AE′＝QE′，∴BE′+AE′＝BE′+QE′，∴当E′旋转到BQ所在直线上时，BE′+QE′最小，即为BQ长度，∵B（0，6），Q（2，0），∴BQ＝＝2，∴BE′+AE′的最小值为2．练1.3如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B 的右侧），与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点P．连接AC．（1）求点P的坐标及直线AC的解析式；（2）如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OF，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接F A、FC．求AF+CF的最小值；【解答】解：（1）在抛物线y＝x2+x+3中，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），当y＝3时，x1＝0，x2＝2，∴P（2，3），当y＝0时，x1＝﹣4，x2＝6，B（﹣4，0），A（6，0），设直线AC的解析式为y＝kx+3，将A（6，0）代入，得，k＝﹣，∴y AC＝﹣x+3，∴点P坐标为P（2，3），直线AC的解析式为y AC＝﹣x+3；（2）在OC上取点H（0，），连接HF，AH，则OH＝，AH＝＝＝，∵＝＝，＝，且∠HOF＝∠FOC，∴△HOF∽△FOC，∴＝，∴HF＝CF，∴AF+CF＝AF+HF≥AH＝，∴AF+CF的最小值为；练1.4如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y ＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、P A，当点P运动到某一位置时，PC+P A 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．【解答】解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5∴C（0，5）y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1∴A（1，0）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点∴解得：∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x1＝1，x2＝5∴B（5，0）（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5∴S△ABC＝AB•OC＝×4×5＝10∵点M为x轴下方抛物线上的点∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5∴S△ABM＝AB•MH＝×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8∴S四边形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18（可以直接利用点M是抛物线的顶点时，面积最大求解）（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD∴BD＝5﹣4＝1∵AB＝4，BP＝2∴∵∠PBD＝∠ABP∴△PBD∽△ABP∴＝＝，∴PD＝AP∴PC+P A＝PC+PD∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+P A＝PC+PD＝CD最小∵CD＝∴PC+P A的最小值为练1.5如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（，0），B两点（点B在点A的左侧），与y 轴交于点C，且OB＝3OA＝OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交直线AD于点H．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m，当FH＝HP时，求m的值；（3）当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求AQ+EQ的最小值．【解答】解：（1）由题意A（，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣），把C（0，﹣3）代入得到a＝．故抛物线的解析式为y＝x2+x﹣3．（2）在Rt△AOC中，tan∠OAC＝＝，∴∠OAC＝60°，∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA•tan30°＝1，∴D（0，﹣1），∴直线AD的解析式为y＝x﹣1，由题意P（m，m2+m﹣3），H（m，m﹣1），F（m，0），∵FH＝PH，∴1﹣m＝m﹣1﹣（m2+m﹣3）解得m＝﹣或（舍弃），∴当FH＝HP时，m的值为﹣．（3）如图，∵PF是对称轴，∴F（﹣，0），H（﹣，﹣2），∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EO＝OA＝3，∴E（0，3），∵C（0，﹣3），∴HC＝＝2，AH＝2FH＝4，∴QH＝CH＝1，在HA上取一点K，使得HK＝，此时K（﹣，﹣），∵HQ2＝1，HK•HA＝1，∴HQ2＝HK•HA，∴＝，∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴＝＝，∴KQ＝AQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，∴当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，最小值＝＝．。
阿氏圆(2018中考数学压轴热点)
--阿氏圆模型专题训练阿氏圆( 阿波罗尼斯圆) ：已知平面上两定点A、B，则所有满足PA/PB=k(k 不等于1) 的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。
在初中的题目中往往利用逆向思维构造斜屁型相似( 也叫母子型相似或美人鱼相似)+ 两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。
观察下面的图形，当P 在在圆上运动时，PA、PB的长在不断的发生变化，但它们的比值却始终保持不变。
解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。
ABD D，使得AD/AB=AB/AC，则此时△∽△ACB如图，在△ABC的边AC上找一点母子型相似（共角共边）BA CD: 我们来看一道基本题目的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?那么如何应用阿氏圆为圆上一动点 . CB=4,CA=6已知∠ACB=90°，，⊙C半径为2，PA1(1) AP 求BP 的最小值为 21AP 求(2) 的最小值为BP3PBC 实战练习：D 1 AB上一动点，，，为切线，AC、BD AC=1BD=2P 为弧，半径为、已知⊙O 1 2的最小值试求PC PDC 2PB AO1 AP），，（、已知点2 A4 0B 上运动，试求的⊙2 在半径为），点，（44 P O BP 的最小值 2yBPxO A-- --1 -- --轴相切，与y 为⊙C 上一动点，且⊙C P，B（0,3 ），C（1,0 ），若点3、已知点A(-3,0)1AP（1）y ; BP 的最小值 4B（2）S 的最小值 .PAB PO CxA4、如图1，在平面直角坐标系xoy 中，半⊙O交x 轴与点A、B(2,0) 两点，AD、BC均为半⊙O 的切线，AD=2，BC=7.(1)求OD的长；（2）如图2，若点P 是半⊙O上的动点，Q为OD的中点 . 连接PO、PQ.①求证：△OPQ∽△ODP;②是否存在点P，使PD 2PC 有最小值，若存在，试求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 .5、（1）如图1，已知正方形ABC的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，1 1求PD PC 的最小值和PD PC 的最大值 .2 2(2)如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么2 2；PD PDPC 的最小值为PC 的最大值为3 3B 上的一个2. 点P 是圆4，已知菱形ABCD的边长为，∠B=60°，圆B 的半径为3（3）如图11PC 的最大值为PC 的最小值为PD PD动点. 那么；22巩固练习：----2----11、如图，在Rt△ABC中，∠ACB﹦90°，CB﹦4，CA﹦6，圆C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP，BP，AP BP2 最小值为（）A、37B、6C、2 17D、4APC B2、如图，在△ABC中，∠B﹦90°，AB﹦CB﹦2，以点 B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，2．PC 则PA 的最小值是2CPAB3E，在⊙相切于点60，锐角大小为的边长为 2 °，⊙A 与BC3、如图，菱形ABCDPD，则PB A 上任取一点P2的最小值为．PADB E C4、在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），C （4，0），D（3 ，2），P 是△AOB 外部的第一象限内一．动点，且∠BPA﹦135°，则2PD﹢PC的最小值是yx----3----12，点4，圆B 的半径为5、（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为PC求PDP 是圆B 上的一个动点，21的最小值和PC 的最大值．PD 2上的一个动点，求，点P 是圆B 9，圆B 的半径为6，已知正方2（2）如图2PCPD 的边长为ABCD形3 2的最大值．PC PD 的最小值和3上的一个动是圆B ,2，点P，∠B﹦90°，圆B 的半径为（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为41 PC PD点，求21PD 的最小值和PC 的最大值． 2DA D AADPPPBBC C3图1 图2 图套路总结阿氏圆基本解法：构造相似kPD PC 阿氏圆一般解题步骤：OD 、的线段的两个端点分别与圆心相连接）O （将系数不为1 ，则连接OP；第一步：连接动点至圆心OD 长度；、第二步：计算出所连接的这两条线段OP OPm ；第三步：计算这两条线段长度的OD比OM m ；，使OD 第四步：在上取点M OP 得交点即为点，与圆第五步：连接CM O P．----4----1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP，BP，AP+BP的最小值为（）2．如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC、BD 为切线，P BD=2 AC=1 上一动点，求为，，的最小值．PC+PD5--。
2020年中考数学线段最值问题之阿波罗尼斯圆问题(含答案)
2020中考数学线段最值问题之阿波罗尼斯圆(阿氏圆)【知识背景】阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里德齐名,被称为亚历山大时期数学三巨匠。
阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻而系统的研究,其主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是其研究成果之一，本文主要讲述阿波罗尼斯圆在线段最值中的应用，下文中阿波罗尼斯圆简称为“阿氏圆”。
【定 义】阿氏圆是指：平面上的一个动点P 到两个定点A ，B 的距离的比值等于k ，且k≠1的点P 的轨迹称之为阿氏圆。
即：)1(≠=k k PBPA，如下图所示：上图为用几何画板画出的动点P 的轨迹，分别是由图中红色和蓝色两部分组成的的圆，由于是静态文档的形式，无法展示动图，有兴趣的可以用几何画板试一试。
【几何证明】证明方法一：初中纯几何知识证明：阿氏圆在高中数学阶段可以建立直角坐标系，用解析几何的方式来确定其方程。
但在初中阶段，限于知识的局限性，我们可以采用纯几何的证明方式，在证明前需要先明白角平分线定理及其逆定理，请看下文： 知识点1：内角平分线定理及逆定理若AD 是∠BAC 的角平分线，则有：CDBDAC AB =。
即“两腰之比”等于“两底边之比”。
其逆定理也成立：即CDBDAC AB =，则有：AD 是∠BAC 的角平分线。
知识点2：外角平分线定理及其逆定理若AD 是△ABC 外角∠EAC 的角平分线，则有CDBDAC AB =。
即“两腰之比”等于“两底边之比”。
其逆定理也成立：即CDBDAC AB =，则有：AD 是外角∠EAC 的角平分线。
【阿氏圆的证明】有了上述两个知识储备后，我们开始着手证明阿氏圆。
①如上图，根据阿氏圆的定义： 当P 点位于图中P 点位置时有：k PB PA =，当P 点位于图中N 点位置时有：k NBNA=， 所以有：NBNAPB PA =，所以PN 是∠APB 的角平分线，∴∠1=∠2. 当P 点位于图中M 点位置时有：PBPAk MB MA ==， 所以有：MBMNPB PA =，所以PM 是∠EPA 的角平分线，∴∠3=∠4. 又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180° ∴2∠1+2∠3=180° ∴∠1+∠3=90°故∠MPN=90°，所以动点P 是在以MN 为直线的圆上。
2020中考数学专题10——最值问题之阿氏圆
IA2020中考专题10——最值问题之阿氏班级________姓名____________ . 【模型解析】“阿氏圆”樓型——u PA + k PB M型最值♦条件：A、B为定点,P为ΘO±一个动A, —= k (0<i<l). OB♦问題:求PA^k PB的最小血并预出点P的位置・CP ∙k PB•所以PA + k PB∙PAYP≥AC,当P为AC与GlO的交点时■ PA^kPB的最小置为AC・【例題分析】2例 1.⅛ Rt∆ABC 中P ZACB=90β , AC=4, BC=3,点 D 为AABC 内一动点■满足CD=2,求AD÷ jBD 的最小值•例2•问题提出：如图h在RtΔ^5C中.ZACB=90°. CB=A, CA≈69 CDC半径为2, P为SI上一动点，连结肿、BP9求AP丄BP的最小值.2图2图3√2 2尝试解决，为了解决这个问題，下面给出一种耘題思路：如图2,连按CP,在CB 上取点D,使CDCP1PD 1 1CD=I,则有一=—=-,Xv ZPCD=ZBCP, ΛΔPCDS≤ΔJCP, — = -, APD=-BP, CPCB2 BP 2 2：.AP--BP^AP^PD.2请你芫成余下的思考，芥直按写出答案，AP +I BP 的最小值为 ______________ .2自主探索：在“问题提出"的条件不变的情况下，^AP^BP 的最:、值为 ______________ . 拓展延伸：己知扇形CoD 中，ZCOD=90°, OC=6, 0Λ=3f 0B≡5f 点P 是弧CD 上一点,求的最小值.【巩固训练】2•如BB 2,在Rt∆ABC 中∙ ZB=90t ∙ AB=CB=2,以点B 为圆心作HIB 与AC 相切.点P 为OaB 上任3•如图3,己知点P 是边长为6的正方形ABCD 内SC —动点・PA=3■求PC÷- PD 的量小值为.—动点.则PA∙PC 的最小值是 __________1 •如图 1,在 Rt∆ABC 中，ZACB=90∙ , CB=4, CA=6, HIC 半径为 2,点 P 为21上一动点，连按 AP,国45•如图5,己知点A (4, 0), B (4, 4力点P 在半径为2的圆0上运动•试求丄AP+BP 的最小值• 26•如旳6,己知点A (-3^ 0) ,B (03), C C1, 0),若点P 为ElCJz 的一気 试求, CI)1AP ÷BP ^^5 ⑵的最小值.7.如图 7,扼物线y=-χ2+bx-^c 与直线 AB 交于 A(-4,-4), B(0, 4)两点，直线 AC ： V = -^X-6 交y 轴于点C,点E 是直线AB ±的动点，过点E 作EF 丄X 轴交AC 于点F,交拋物线于点G(I) 求牠物线y = -x 2+bx + C 的表达式；4•如EB 4,己知［S O 半径为1, AC. BD 为切线，AC=1, BD=2, P 为弧AB 上一动点试求√2 2PC÷PD留5国6(2) 连按GB, EO,当四边形GEOB 是平行四边形时， 求点G 的坐标：(3) ①在y 轴上存在一点H,连按EH, HF,当点E 运动到什么住置时，以A. E l F, H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点匕H 的坐标： ②在①的前提下，以点E 为El 心，EH 长为半径作Eh 点M 为EIE 上一动点，求ZAM 十CM 的最小值.2图72020中考专题10——最值问題之阿氏圆 参考答案CD 2 例1・分析：由C 为定点D 为动点可知CD 的运动轨迹为以C 为图心半径为2的匮。
专题2.6 阿氏圆 (隐圆压轴三)(解析版)
专题2.6 阿氏圆阿氏圆问题问题：求解“AP nPB+”类加权线段和最小值方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值②造：根据线段比，构造母子型相似③算：根据母子型结论，计算定点位置④转：“AP nPB+”问题+”转化为“AP PM关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数②系数小于1：内部构造母子型③系数大于1：外部构造母子型【典例1】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．【解答】解（1）在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．∴MP：PD＝k，∴MP＝kPD，∴PC+kPD＝PC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，利用勾股定理得．（2）∵AC＝m＝4，＝，在CB上取一点M，使得CM＝CD＝，∴的最小值为．【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝9，⊙B的半径为3，点P是⊙B上一点，连接AP，CP，则AP+CP的最小值为 ．【答案】【解答】解：连接BP，在BC上截取BQ＝1，连接PQ，AQ，∴，，∴，∵∠PBQ＝∠CBP，∴△BPQ∽△BCP，∴，∴PQ＝CP，∴AP+CP＝AP+PQ≥AQ，当A、P、Q三点依次在同一直线上时，AP+CP＝AQ＝的值最小，故答案为：．【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+BP的最小值为（ ）A．B．6C．2 D．4【答案】A【解答】解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．要使AP+BP最小，只要AP+PD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+PD 最小，即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP的最小值为，故选：A．【变式1-3】如图，在正方形ABCD中．AB＝8，点P是正方形ABCD内部的一点，且满足BP＝4，则PD+PC的最小值是（ ）A．6B．8C．10D．12【答案】C【解答】解：在BC边上取一点E，使BE＝2，连接DE，如图∵ABCD是正方形，AB＝8∴AB＝BC＝CD＝8，∠BCD＝90°∵BP＝4∴，∴且∠PBC＝∠PBC∴△PBE∽△BCP∴∴PE＝PC∴PD+PC＝PD+PE在Rt△DCE中，CD＝8，CE＝BC﹣BE＝6∴DE＝＝10∵PD+PE≥DE∴PD+PE≥10∴PD+PC的最小值是10故选：C．【变式1-4】如图，已知抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（A在点B 的左侧），与y轴交于点C，⊙O与x轴交于点E（2，0），点P是⊙O上一点，连接CP，BP，求BP+CP的最小值．【解答】解：如图，在OC上取一点T，使得OT＝，连接PT，BT，OP．由题意C（0，3），E（2，0），A（﹣1，0），B（4，0）∴OE＝2，OC＝3，OB＝4，OA＝1，∴OP2＝OT•OB，∴＝，∵∠POT＝∠COP，∴△POT∽△COP，∴＝＝＝，∴PT＝PC，∴PB+PC＝BP+PT≥BT，在Rt△BOT中，OB＝4，OT＝，∴BT＝＝＝，∴ABP+PC≥，∴BP+PC的最小值为．【变式1-5】（西峡县期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值等于（ ）A．4B．C．D．【答案】C【解答】解：在AB上截取AQ＝1，连接AP，PQ，CQ，∵点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，∴＝，∵AP＝2，AQ＝1，∴＝，∵∠PAQ＝∠BAP，∴△APQ∽△ABP，∴PQ＝PB，∴＝PC+PQ≥CQ，在Rt△ACQ中，AC＝4，AQ＝1，∴QB＝＝，∴的最小值，故选：C．【变式1-6】（2022春•长顺县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC ＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF＝，连接PF，AF．∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，∴PC＝DE＝2，∵＝，＝，∴＝，∵∠PCF＝∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴＝＝，∴PF＝PB，∴PA+PB＝PA+PF，∵PA+PF≥AF，AF＝＝＝，∴PA+PB≥，∴PA+PB的最小值为，故答案为．【变式1-7】（龙凤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 ．【答案】．【解答】解：在AC上截取CQ＝1，连接CP，PQ，BQ，∵AC＝9，CP＝3，∴＝，∵CP＝3，CQ＝1，∴＝，∴△ACP∽△PCQ，∴PQ＝AP，∴PA+PB＝PQ+PB≥BQ，∴当B、Q、P三点共线时，PA+PB的值最小，在Rt△BCQ中，BC＝4，CQ＝1，∴QB＝，∴PA+PB的最小值，故答案为：．【变式1-8】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为△ABC内一动点，且满足CD＝2，则AD+BD的最小值为 ．【答案】．【解答】解：如图，在CB上取一点T，使得CT＝，连接DT，AT．∵CD＝2，CT＝，CB＝3，∴CD2＝CT•CB，∴＝，∵∠DCT＝∠BCD，∴△DCT∽△BCD，∴＝＝，∴DT＝BD，∴AD+BD＝AD+DT≥AT，在Rt△ACT中，AC＝4，CT＝，∴AT＝＝＝，∴AD+BD≥，∴AD+BD的最小值为．【变式1-9】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，以B为圆心，BE为半径作⊙B，点P是⊙B上一动点，连接PD、PC，则PD+PC的最小值为 5 ．【答案】5．【解答】解：如图，在BC上取一点T，使得BT＝1，连接PB，PT，DT．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCT＝90°，∵CD＝4，CT＝3，∴DT＝＝＝5，∵PB＝2，BT＝1，BC＝4，∴PB2＝BT•BC，∴＝，∵∠PBT＝∠PBC，∴△PBT∽△CBP，∴＝＝，∴PT＝PC，∵PD+PC＝PD+PT≥DT＝5，∴PD+PC的最小值为5，故答案为：5．【典例2】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，C，D分别为OA，OB的中点，点P是上一点，则2PC+PD的最小值为 ．【答案】2．版权所有【解答】解：如图，延长OA使AE＝OA，连接ED，EP，OP，∵AO＝OB＝4，C，D分别是OA，OB的中点，∴OE＝8，OP＝4，OD＝OC＝2，∴＝＝，且∠COP＝∠EOP，∴△OPE∽△OCP，∴＝＝，∴EP＝2DC，∴2PC+PD＝PE+PD，∴当点E，点P，点D三点共线时，2PC+PD的值最小，∴2PC+PD最小值＝＝2．【变式2-1】如图，在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝3，点A是OC中点，OB＝2，点P是为CD上一点，则PB+2PA的最小值为 ．【答案】【解答】连接OP，延长OC至点E，使得OE＝6，则＝，，∴，∵∠AOP＝∠AOP，∴△AOP∽△POE，∴，即2PA＝PE，∴PB+2PA＝PB+PE，∴当E、P、B三点共线时，PB+PE最小，∴PB+2PA的最小值为BE＝＝．故答案为：．【变式2-2】（梁溪区校级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 ．【答案】．【解答】解：如图，在y轴上取点H（0，9），连接BH，∵点A（0，1），点B（2，0），点H（0，9），∴AO＝1，OB＝2，OH＝9，∵，∠AOP＝∠POH，∴△AOP∽△POH，∴，∴HP＝3AP，∴3PA+PB＝PH+PB，∴当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长，∴BH＝＝＝，故答案为：．【变式2-3】（溧阳市一模）如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，点C在OA上，且OC＝2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为 ．【答案】4．【解答】解：延长OB到T，使得BT＝OB，连接MT，CT．∵OM＝6，OD＝DB＝3，OT＝12，∴OM2＝OD•OT，∴＝，∵∠MOD＝∠TOM，∴△MOD∽△TOM，∴＝＝，∴MT＝2DM，∵CM+2DM＝CM+MT≥CT，又∵在Rt△OCT中，∠COT＝90°，OC＝4，OT＝12，∴CT＝＝＝4，∴CM+2DM≥4，∴CM+2DM的最小值为4，∴答案为4．【变式2-4】如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为 2 ．【答案】2【解答】解：设⊙O半径为r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP+PB＝AP+PI，∴当A、P、I在一条直线上时，AP+PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB﹣BE＝3，∴AI＝＝，∴AP+PB最小值＝AI＝，∵PA+PB＝（PA+PB），∴PA+PB的最小值是AI＝＝2．故答案是2．。
(完整版)阿氏圆问题归纳
阿氏圆题型的解题方法和技巧以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要.具体内容如下：阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P 到两定点A 、B 的距离之比等于定比n m (≠1)，则P 点的轨迹，是以定比n m内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB ，(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.PA+kPB,(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似【问题】在平面直角坐标系xOy 中，在x 轴、y 轴分别有点C(m ，0)，D(0，n).点P 是平面内一动点，且OP=r ，求PC+kPD 的最小值.阿氏圆一般解题步骤：第一步：确定动点的运动轨迹(圆)，以点O 为圆心、r 为半径画圆；(若圆已经画出则可省略这一步) 第二步：连接动点至圆心O(将系数不为1的线段的固定端点与圆心相连接)，即连接OP 、OD ； 第三步：计算出所连接的这两条线段OP 、OD 长度； 第四步：计算这两条线段长度的比k ；第五步：在OD 上取点M ，使得OM:OP=OP:OD=k ；第六步：连接CM ，与圆O 交点即为点P ．此时CM 即所求的最小值.习题【旋转隐圆】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为AC 的中点，M 为BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始终保持点M 为BD 的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM 长度的取值范围是___________.1.Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，满足CD=2，则AD+32BD 的最小值为_______.2.如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则PB+23PD 的最小值为________.3.如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，P 为圆B 上一动点，则PD+1PC 的最小值为_________.6.如图，边长为47.如图，边长为4的正方形，点P 是正方形内部任意一点，且BP=2，则PD+21PC 的最小值为______；2PD+4PC 的最小值为______.8.在平面直角坐标系xOy 中，A(2，0)，B(0,2)，C(4，0)，D(3，2)，P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA=135°，则2PD+PC 的最小值是_______.9.在△ABC 中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A 的半径为6，P 是⊙A 上的动点，连接PB 、PC ，则3PC+2PB 的最小值为_______.10.如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，AC=8，以C 为圆心，4为半径作⊙C ． (1)试判断⊙C 与AB 的位置关系，并说明理由；(2)点F 是⊙C 上一动点，点D 在AC 上且CD=2，试说明△FCD ～△ACF ； (3)点E 是AB 上任意一点，在(2)的情况下，试求出EF+21FA 的最小值.11.(1)如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求PD+21PC 的最小值和PD-21PC 的最大值； (2)如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD+32PC 的最小值为______，PD-32PC 的最大值为______． (3)如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD+21PC 的最小值为______，PD-21PC 的最大值为________.2PA+PB 的最小值.【二次函数结合阿氏圆题型】13.如图1，抛物线y=ax ²+(a+3)x+3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜4），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．(1)求a 的值和直线AB 的函数表达式； (2)设△PMN 的周长为C1，△AEN 的周长为C2，若5621=C C ，求m 的值； (3)如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E ′A 、E ′B ，求E ′A+32E ′B 的最小值．问题背景：如图1，在△ABC中，BC=4，AB=2AC．问题初探：请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB=_____，AC=_______．问题再探：如图2，在AC右侧作∠CAD=∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长．问题解决：求△ABC的面积的最大值．1.小明的数学探究小组进行了系列探究活动．类比定义：类比等腰三角形给出如下定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形．探索理解：(1)如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请你协助小明用两种不同的方法画出格点D，连接DA、DC，使四边形ABCD为邻等四边形；尝试体验：(2)如图2，邻等四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1，求四边形ABCD的面积．解决应用：(3)如图3，邻等四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，BD=4．小明爸爸所在的工厂，需要裁取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧是符合如图3条件的邻等四边形，要求尽可能节约．你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．2.我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．(1)如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．(2)如图2，等邻边四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC、BD为对角线，AC=2 AB，试探究BC，BD的数量关系．(3)如图3，等邻边四边形ABCD中，AB=AD，AC=2，∠BAD=2∠BCD=60°，求等邻边四边形ABCD 面积的最小值.。
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C
阿氏圆(阿波罗尼斯圆)：
已知平面上两定点A 、B ，则所有满足PA/PB=k(k 不等于1)的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。
在初中的题目中往往利用逆向思维构造"斜A"型相似(也叫"母子型相似"或"美人鱼相似")+两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。
观察下面的图形，当P 在在圆上运动时，
PA 、PB 的长在不断的发生变化，但它们的比值却始终保持不变。
解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。
如图，在△ABC 的边AC 上找一点D ，使得AD/AB=AB/AC ，则此时△ABD ∽△ACB 。
那么如何应用"阿氏圆"的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?我们来看一道基本题目:
已知∠ACB=90°，CB=4,CA=6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点. (1)
求12
AP BP +的最小值为 (2)求13AP BP +的最小值为
实战练习： 1、已知⊙O 半径为1，AC 、BD 为切线，AC=1，BD=2，P 为弧试求
2PC PD +的最小值
2、已知点A （4，0），B （4，4），点P 在半径为2的⊙O 上运动，试求
12AP BP +的最小值
y x O C B A P 3、已知点A(-3,0)，B （0,3），C （1,0），若点P 为⊙C 上一动点，且⊙C 与y 轴相切，
（1）14AP BP +的最小值; （2）PAB S V 的最小值.
4、如图1，在平面直角坐标系xoy 中，半⊙O 交x 轴与点A 、B(2,0)两点，AD 、BC 均为半⊙O 的切线，AD=2，BC=7.
(1)求OD 的长；
（2）如图2，若点P 是半⊙O 上的动点，Q 为OD 的中点.连接PO 、PQ.
①求证：△OPQ ∽△ODP;
②是否存在点P ，使2PD PC 有最小值，若存在，试求出点P 的坐标；
若不存在，请说明理由.
5、（1）如图1，已知正方形ABC 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值和12
PD PC -的最大值. (2)如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么23PD PC +的最小值为 ；23
PD PC -的最大值为 （3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2.点P 是圆B 上的一个
动点.那么12PD PC +的最小值为 ；12PD PC -的最大值为。