2[1].3.2离散型随机变量的方差(一)

一、复习回顾
1、离散型随机变量的数学期望
X P
x1
x2
xi
xn
· · · · · · p1 p2 · pn · · · · pi · EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平 2、数学期望的性质
E (aX b) aEX b
三、基础训练
1、已知随机变量X的分布列 X P 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1
求DX和σX。 解： 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1 2 EX
DX (0 2) 0.1 (1 2) 0.2 ( 2 2) 0.4
随机变量X的方差：
类似
p DX= (x1-EX) 2·1 +(x2-EX) 2·2 +…+ (xn -EX) 2·n p p
称 X
DX 为随机变量X的标准差。
思考：离散型随机变量的期望、方 差与样本的期望、方差的区别和联 系是什么？
样本
均 公 式 值 意 义 方 差 或 标 准 差
1 x = xi n i= 1
例:甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下: 5 6 7 8 9 10 射手甲 击中环数ξ1 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10 概率P
射手乙
击中环数ξ1 概率P
5 6 7 8 9 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
比较两名射手的射击水平 Eξ1=8 Eξ2=8
3、求期望的步骤 ：
(1)列出相应的分布列
(2)利用公式
4、如果随机变量X服从两点分布为
X 1 0
P
p
1－p
则
EX p
5、如果随机变量X服从二项分布，即 X～ B（n,p），则
EX np
探究:甲、乙两名射手在同一条件下进行射 击，分布列如下: 射 手 甲
击中环数ξ1 概率P 5 0.03 6 7 8 9 10
n
离散型随机变量
EX =
x
i 1 =
n
i
pi
随着不同样本值 的变化而变化
是一个常数
DX (x i EX )2 p i
i 1 n
公 2 1 n s (x i x ) 2 式 n i 1
意 随着不同样本值的 义 变化而变化，刻画
样本数据集中于样 本平均值程度
是一个常数，反映随 变量取值偏离均值的 平均程度，DX, X 越小，偏离程度越小.
析:审清题意是解决该题的关键. 1.抓住蝇子一个个有顺序地飞出,易联想到把8 只蝇子看作8个元素有序排列.
●●☆●●●☆●，由于ξ=0“表示☆ ●●●●●☆●”，最后一只必为 果蝇，所以有ξ=1“表示 ● ☆ ●●●☆●●”
P （ξ=0 ）=
AA 7 8 28 A8
AAA 6 28 A
1 2 1 6 8 8 6 6
3 28
ξ=5“表示 ● ● ●●● ☆ ☆ ●”有P （ξ=5）=
2 28 1 ξ=6“表示 ● ● ●●●● ☆ ☆”有P （ξ=6）= 28
的分布列

0
7 28
1
6 28

2
5 28
3
4 28
4
3 28
5
2 28
6
1 28
p
7 6 5 4 3 2 1 ⑵E 0 1 2 3 4 5 6 28 28 28 28 28 28 28 2
0.3 0.2 0.1
p
0.4 0.3 0.2 0.1
4
5
6
7 (甲)
8
9
10
X1
4
5
6
7 8 (乙)
9 10
X2
思考：怎样定量刻画随机变量的稳定性？ 样本方差：
1 2 2 2 2 s (x1 x ) (x2 x ) (xn x ) n
1 1 1 2 2 s (x1 x ) (x2 x ) (xn x ) n n n 2 2
方差反映了X取 值的稳定与波动， 集中与离散程度
(1) D(aX b) a 2 DX
计 算 公 式
(2)若X服从两点 分布，则 EX=p (3)若X~B（n,p）
(2)若X服从两点分布， 则 DX=p(1-p) (3)若X~B（n,p）
则EX= np
则 DX= np(1－p)
1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义 2、记住几个常见公式
1 2
7 7
，
同理有P （ξ=1 ）=
ξ=2“表示 ● ● ☆ ●●☆●●”有P （ξ=2）=
2 1 5 A6 A2 A5 5 A8 28 8
ξ=3“表示 ● ● ● ☆ ●☆●●”有P （ξ=3）=
1 4 A3 A2 A4 4 6 A8 28 8
ξ=4“表示 ● ● ●●☆● ☆ ●”有P （ξ=4）=
二、几个常用公式：
若X服从两点分布，则 p(1 p) DX
若X ~ B( n, p)，则DX np(1 p)
D(aX b) a DX
2
例3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中率为 p=0.6 （1）求一次投篮时命中率次数X的期望与 方差； （2）求重复5次投篮时，命中次数Y的期望 与方差。
D(aX b) a DX
2
若X服从两点分布，则 p(1 p) DX
若X ~ B( n, p)，则DX np(1 p)
例3、随机变量
的分布列为
0 b 1 c

P
-1 a
1 其中，a,b,c成等差，若 E , 则 3 。 D的值为
5 9
4.（08全国二18） 购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交 纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出 险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年 度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是 否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少 104 支付赔偿金10 000元的概率为1-0.999 ． （Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p； （Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外 的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0， 求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）
0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
射 5 6 7 8 9 击中环数ξ1 手 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33 概率P 乙 问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？ 用击中环数的平均数，比较两名射手的射击水平 Eξ1=8 由上知
Eξ2=8
Eξ1= Eξ2，
思考：除平均中靶环数外，还有其他刻画两 名同学各自射击特点的指标吗？ p
(i 8) 2 P(1 i ) 1.50 Dξ1=
Dξ2=
10
(i 8) 2 P( 2 i ) 0.82
i5
i5 9
由上知 Eξ1= Eξ2， Dξ1 >Dξ2 乙的射击成绩稳定性较好
EX 1 8, EX 2 8
DX 1 1.50, DX 2 0.82
1800 2200 0.2 0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：EX1 1400, EX 2 1400
DX1 40000, DX 2 160000
在两个单位工资的数学期望相等的情况 下，如果认为自己能力很强，应选择工 资方差大的单位，即乙单位；如果认为 自己能力不强，就应选择工资方差小的 单位，即甲单位。
相关练习：
1 1、已知 3 ，且D 13, 则D 117 8
2、 已 知X～B( n, p )，EX 8, DX 1.6, 则n 10 p , 0.8
3、有一批数量很大的商品，其中次品占 1％，现从中任意地连续取出200件商品， 设其次品数为X，求EX和DX。 2，1.98
练习 1.根据统计，一年中一个家庭万元以上 的财产被盗的概率为0.05，保险公司开 办一年期万元以上家庭财产保险，参加者 需交保险费100元，若在一年以内，万 元以上财产被盗，保险公司赔偿a元 （a>100），问a如何确定，可使保险 公司期望获利？
练习1、若X是离散型随机变量，则E(XEX)的值是 。 A.EX B.2EX C.0 D.(EX)
课堂练习:
4、 (aX EX DX ) 等于（ ） D
2
A 无法求 C a DX
2
B
0
2
D 2aDX (EX )
5、已知随机变量X的分布列为：
X P 1 0.1 2 3 0.4 4 0.2 5 0.1
0.2
另一随机变量Y=2X-3,求EY,DY
三、课堂小结
一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn
⑶p( E ) p( 2) p( 2) p( 3) p( 4) p( 5) p( 6) 15 28
3、每人交保险费1000元，出险概率为 3%，若保险公司的赔偿金为a（a＞ 1000）元，为使保险公司收益的期望值 不低于a的百分之七，则保险公司应将最 大赔偿金定为多少元？
2
2、已知X的概率分布为
X P -1 1/2 0 1/3 1 1/6
且Y= aX+3,EY=7/3, 则a=
.
4、随机变量X~B(100,0.2),那么 D(4X+3)= .
5、设X是一个离散型随机变量 ，其概 率分布为
X
P
-1
1/2