江苏省苏州市2015届高三数学二轮复习 考前保温2 考前第14天(教师版)

考前保温2 考前第14天一、填空题1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2 x ，0＜x ＜1，－2(x －1)(x －3)，x ≥1的值域是________．答案 (－∞，2]解析 0＜x ＜1时，值域为(－∞，0)；x≥1时，值域为(－∞，2]，故原函数的值域是(－∞，0)∪(－∞，2]＝(－∞，2]．2．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为 ．答案：3解析 底面半径为121133V π== . 3．已知两个非零向量a 与b ，定义|a ×b |＝|a |·|b |sin θ，其中θ为a 与b 的夹角．若a ＝(－3,4)，b ＝(0,2)，则|a ×b |的值为________．答案 6解析 |a |＝5，|b |＝2，a ·b ＝－3×0＋4×2＝8，所以cos θ＝a ·b |a |·|b |＝85×2＝45，又因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，故根据定义可知|a ×b |＝|a |·|b |sin θ＝5×2×35＝6．4．过直线l ：y ＝2x 上一点P 作圆C ：(x －8)2＋(y －1)2＝2的切线l 1，l 2，若l 1，l 2关于直线l 对称，则点P到圆心C 的距离为________． 答案 3 5解析 根据平面几何知识可知，因为直线l 1，l 2关于直线l 对称，所以直线l 1，l 2关于直线PC 对称并且直线PC 垂直于直线l ，于是点P 到点C 的距离即为圆心C 到直线l 的距离，d ＝|2×8－1|12＋22＝35．5．对于任意x ∈[1,2]，都有(ax ＋1)2≤4成立，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎦⎤－32，12 解析 由不等式(ax ＋1)2≤4在x ∈[1,2]恒成立，得－2≤ax ＋1≤2在x ∈[1,2]恒成立，利用分类参数的方法得⎩⎨⎧a ≤⎝⎛⎭⎫1x min ，a ≥⎝⎛⎭⎫－3x max ，利用反比例函数的单调性得－32≤a ≤12．6．已知△ABC 中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则AC BC ＋BC AC ＋AB 2BC ·AC的最大值为________．答案解析 由三角形的面积公式得211sin 22c ab c =, ⇒2sin c c ab=， 由余弦定理可得2222co s c a b a b c=+-⇒22cos sin 2cos a b c C C C b a ab+=+=+， 所以AC BC ＋BC AC ＋AB 2BC ·AC ＝2sin 2cos C C +＝)4C π+,最大值是 7．设函数()f x ()()[)11,,212,2,2x x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩则函数()()1F x xf x =-的零点的个数是 .答案 6解析 由题意，()()1F x xf x =-的零点即()f x 与1x的交点. 当[)2,x ∈+∞时，()()()()11420,640,22f f f f ====…… 依次类推，易得()()()468f f f ===……()20f n ==， 又()()1131,22f f == 同理()()1153,24f f ==()()1175,28f f == 显然零点共有6个，其中左边1个，右边5个.8．已知数列{}n a 的通项公式为1[2(1)]3nnn a =--,1n n n b a a +=,设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若0>-n n S b λ对任意*N n ∈都成立，则λ的取值范围是_________.答案 ()1,∞-解析 1[2(1)]3n nn a =--，∴1n n n b a a +=()()11121219n n n n ++⎡⎤⎡⎤=----⎣⎦⎣⎦ ，∴n S 123a a a =+++……()11112232nn n a +⎡⎤--+=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦①n 为正奇数时，()()()111121212193n n n n n b S λλ++-=+---∵1210n +->，∴()1121093n λ+->,()1213n λ<+，∴1λ<②n 为正偶数时，()()()111121212293n n n n n b S λλ++-=-+-- ∵210n->，∴()11221093n λ++->,()11216n λ+<+，∴32λ<综述之：∴1λ<二、解答题9．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 对边分别是,,a b c ，已知sin a A =， （1）求角B ；（2）若A 是△ABC 的最大内角，求A C B sin 3)cos(++的取值范围． 解析 （1）在△ABC 中，由正弦定理，得sin sin a bA B= ，又因为sin a A =，所以sin B B =，所以tan B =又因为0πB << , 所以π3B =． （2）在△ABC 中，πB C A +=-，所以cos()cos B C A A A +=-=π2sin()6A - ，由题意，得π3≤A ＜2π3 , π6≤π6A -＜π2，所以sin(π6A -)1[,1)2∈，即 2sin (π6A -)[)1,2∈，所以A C B sin 3)cos(++的取值范围[)1,2∈．10．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： x 2a 2＋ y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为32． （1）求a ，b 的值．（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点．(ⅰ)若k ＝1，求△OAB 面积的最大值；(ⅱ)若P A 2＋PB 2的值与点P 的位置无关，求k 的值． 解析 （1）由题设可知a =2，e ＝c a ＝32，所以c =3，故b =1．因此，a =2，b =1．（2）由（1）可得，椭圆C 的方程为 x 24＋y 2＝1．设点P （m ,0）（－2≤m ≤2），点A （x 1，y 1），点B （x 2，y 2）． (ⅰ)若k =1，则直线l 的方程为y =x －m ．联立直线l 与椭圆C 的方程，即⎩⎪⎨⎪⎧y =x －m x 24＋y 2＝1．将y 消去，化简得54x 2－2mx +m 2－1=0．解之得x 1=2（2m － 1－m 2）5, x 2=2（2m +1－m 2）5, 从而，x 1+ x 2=8m5, x 1· x 2=4(m 2－1)5又∣AB ∣= (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2= 2(x 1－x 2)2= 2(x 1+x 2)2－4 x 1·x 2=452· 5－m 2， 点O 到直线l 的距离d ＝∣m ∣2，所以，S △OAB ＝12×|AB |×d ＝255－m 2×|m |，因此，S △OAB 2=425( 5－m 2)×m 2＝425( 5－m 2)×m 2≤425·(5－m 2＋m 22)2＝1． 又－2≤m ≤2，即m 2∈[0,4]．所以，当m 2＝52，即m =± 102时，S △OAB 取得最大值1．(ⅱ)设直线l 的方程为y =k (x －m )．将直线l 与椭圆C 的方程联立，即⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x －m ) x 24＋y 2＝1． 将y 消去，化简得（1＋4k 2）x 2－8mk 2x ＋4(k 2m 2－1)=0，解此方程，可得，x 1＋x 2＝8mk 21＋4k 2，x 1·x 2＝4(k 2m 2－1) 1＋4k 2 ．所以，P A 2＋PB 2＝(x 1－m )2＋y 12＋(x 2－m )2＋y 22＝34(x 12＋ x 22)－2m (x 1＋x 2)＋2m 2＋2＝m 2·(－8k 4－6k 2＋2)＋(1＋4k 2)·(8k 2＋8) (1＋4k 2)2（*）．因为P A 2＋PB 2的值与点P 的位置无关，即（*）式取值与m 无关， 故有－8k 4－6k 2＋2＝0，解得k ＝±12．11．已知函数21()2(2)ln ,2f x ax x a x =++- （1）当2a =-时，求()f x 的最大值；（2）若函数()f x 在定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围；（3）若曲线:()C y f x =在点1x =处的切线l 与C 有且只有一个公共点，求正数a 的取值范围.解析 （1）首先定义域为(0,)+∞,当2a =-时，2()24ln f x x x x =-++，'42(1)(2)()22x x f x x x x-+-=-++= 故(0,2)x ∈递增，故(2,)x ∈+∞递减，所以max ()4ln 2f x =（2）2'22(2)()2a ax x a f x ax x x-++-=++= ○1 当0a =时，2'()20f x x=+> ○22'22(2)(1)(2)()2a ax x a x ax a f x ax x x x-++-++-=++==令'()0,f x =1221,a x x a-=-=，只要20a a -≤即可 综上：[]0,2a ∈（3）首先求出切线方程：422ay x =+-， 与()y f x =联立，消去y 得出：212(2)ln 2022aax x a x -+-+-=记：21()2(2)ln 222ag x ax x a x =-+-+-2'222(1)(2)()2a ax x a x ax a g x ax x x x--+---+=-+==首先，(1)0g =，定义域为(0,)+∞,当2a ≥时，(0,1)x ∈递减，(1,)x ∈+∞递增，故也成立, 当01a <<时，(0,1)x ∈递增，2(1,)a x a-∈递减，2(,)ax a -∈+∞递增，而4()0g a >故有两个交点，所以不成立当1a =时，(0,)x ∈+∞递增，故成立, 当12a <<时，2(0,)a x a -∈递增，2(,1)ax a-∈递减，(1,)x ∈+∞递增， 而当22ax e-<时()0g x <，故有两个交点，所以不成立,综上：{}[)12,a ∈⋃+∞12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列是公比为2的等比数列． (1)证明：数列{}n a 成等比数列的充要条件是13a =；(2)设5(1)(n n n n b a n =--∈N *)．若1n n b b +<对n ∈*N 恒成立，求1a 的取值范围．解析 (1)因为数列是公比为212n -=，即111(1)4n n S a -+=+⋅．因为11,1,,2,n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 所以121,1,3(1)4,2,n n a n a a n -=⎧=⎨+⋅≥⎩ 显然，当2n ≥时，14n na a +=． ①充分性：当13a =时，214a a =，所以对n ∈N *，都有14n na a +=，即数列{}n a 是等比数列．②必要性：因为{}n a 是等比数列，所以214a a =，即113(1)4a a +=，解得13a =． (2) 当1n =时，115b a =+；当2n ≥时，2115(1)3(1)4(1)n n n n b a a -=--⨯+⨯>-．①当n 为偶数时，2111153(1)453(1)4n n n n a a -+--+⨯<++⨯恒成立． 即2115(1)445n n a -+⨯>-⨯恒成立． 故1(1,)a ∈-+∞． ②当n 为奇数时，12b b <且1(3)n n b b n +<≥恒成立． 由12b b <知，115253(1)a a +<-+，得1174a <． 由1n n b b +<对3n ≥的奇数恒成立，知2111153(1)453(1)4n n n n a a -+-++⨯<-+⨯恒成立，即2115(1)445n n a -+⨯<⨯恒成立，所以212051()34n a -+<恒成立． 因为当对3n ≥的奇数时，2205()34n -的最小值为253，所以1223a <． 又因为172243<，故11714a -<<． 综上所述，1n nb b +<对n ∈N *恒成立时，117(1,)4a ∈-．。