冀教版数学九年级上册24章专项训练试题及答案

冀教版数学九年级上册24章专训1 一元二次方程的解法归类 名师点金：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法等．在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果．限定方法解一元二次方程方法1 形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解1．方程4x 2－25＝0的解为( )A ．x ＝25B ．x ＝52C ．x ＝±52D ．x ＝±252．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )A ．x 2－5＝5B ．－3x 2＝0C ．x 2＋4＝0D ．(x ＋1)2＝0方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解3．用配方法解方程x 2＋3＝4x ，配方后的方程变为( )A ．(x －2)2＝7B ．(x ＋2)2＝1C ．(x －2)2＝1D ．(x ＋2)2＝24．解方程：x 2＋4x －2＝0.5．已知x 2－10x ＋y 2－16y ＋89＝0，求x y的值．方法3 能化成形如(x ＋a)(x ＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解6．【中考·宁夏】一元二次方程x(x －2)＝2－x ( )A ．－1B ．0C ．1和2D ．－1和27．解下列一元二次方程：(1)x 2－2x ＝0；(2)16x 2－9＝0；(3)4x 2＝4x －1.方法4 如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解8．用公式法解一元二次方程x 2－14＝2x ，方程的解应是( ) A ．x ＝－2±52 B ．x ＝2±52C ．x ＝1±52D ．x ＝1±329．用公式法解下列方程：(1)3(x 2＋1)－7x ＝0；(2)4x 2－3x －5＝x －2.选择合适的方法解一元二次方程10．方程4x 2－49＝0的解为( )A ．x ＝27B ．x ＝72C ．x 1＝72，x 2＝－72D ．x 1＝27，x 2＝－2711．一元二次方程x 2－9＝3－x 的根是( )A ．3B ．－4C ．3和－4D ．3和412．方程(x ＋1)(x －3)＝5的解是( )A ．x 1＝1，x 2＝－3B ．x 1＝4，x 2＝－2C ．x 1＝－1，x 2＝3D ．x 1＝－4，x 2＝213．解下列方程：(1)3y 2－3y －6＝0；(2)2x 2－3x ＋1＝0.用特殊方法解方程方法1 构造法14．解方程：6x 2＋19x ＋10＝0.15.若m ，n ，p 满足m －n ＝8，mn ＋p 2＋16＝0，求m ＋n ＋p 的值．【导学号：83182025】方法2 换元法a ．整体换元16．解方程：(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)＝48.17．解方程：x 2＋1x 2－2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＝0.b ．降次换元18．解方程：6x 4－35x 3＋62x 2－35x ＋6＝0.c ．倒数换元19．解方程：x －2x －3x x －2＝2.方法3特殊值法20．解方程：(x－2 015)(x－2 016)＝2 017×2 018.答案1．C 2.C 3.C4．解： x 2＋4x －2＝0，x 2＋4x ＝2，(x ＋2)2 ＝6，x ＋2 ＝±6，x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.5．解： x 2－10x ＋y 2－16y ＋89＝0，(x 2－10x ＋25)＋(y 2－16y ＋64) ＝0，(x －5)2＋(y －8)2 ＝0，∴x ＝5，y ＝8.∴x y ＝58. 6．D7．解：(1)x 2－2x ＝0，x(x －2)＝0，x 1＝0，x 2＝2.(2)16x 2－9＝0，(4x ＋3)(4x －3)＝0，x 1＝－34，x 2＝34. (3)4x 2＝4x －1，4x 2－4x ＋1＝0，(2x －1)2＝0，x 1＝x 2＝12. 8．B9．解：(1)3(x 2＋1)－7x ＝0，3x 2－7x ＋3＝0，∴b 2－4ac ＝(－7)2－4×3×3＝13.∴x ＝7±132×3＝7±136. ∴x 1＝7＋136，x 2＝7－136. (2)4x 2－3x －5＝x －2，4x 2－4x －3＝0，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×4×(－3)＝64.∴x ＝4±642×4＝1±22. ∴x 1＝32，x 2＝－12. 10．C 11.C 12.B13．解：(1)3y 2－3y －6＝0，y 2－y －2＝0，⎝⎛⎭⎫y －122＝94， y －12＝±32，∴y 1＝2，y 2＝－1. (2)2x 2－3x ＋1＝0，∴b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1.∴x ＝3±12×2＝3±14.即x 1＝1，x 2＝12. 14．解：将原方程两边同乘6，得(6x)2＋19×(6x)＋60＝0.解得6x ＝－15或6x ＝－4.∴x 1＝－52，x 2＝－23. 15．解：因为m －n ＝8，所以m ＝n ＋8.将m ＝n ＋8代入mn ＋p 2＋16＝0中，得n(n ＋8)＋p 2＋16＝0，所以n 2＋8n ＋16＋p 2＝0，即(n ＋4)2＋p 2＝0.又因为(n ＋4)2≥0，p 2≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＋4＝0，p ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－4，p ＝0.所以m ＝n ＋8＝4，所以m ＋n ＋p ＝4＋(－4)＋0＝0.16．解：原方程即[(x －1)(x －4)][(x －2)(x －3)]＝48，即(x 2－5x ＋4)(x 2－5x ＋6)＝48.设y ＝x 2－5x ＋5，则原方程变为(y －1)(y ＋1)＝48.解得y 1＝7，y 2＝－7.当x 2－5x ＋5＝7时，解得x 1＝5＋332，x 2＝5－332； 当x 2－5x ＋5＝－7时，b 2－4ac ＝(－5)2－4×1×12＝－23<0，方程无实数根．∴原方程的根为x 1＝5＋332， x 2＝5－332. 17．解：x 2＋1x2－2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＝0， 设y ＝x ＋1x，则原方程为y 2－2y －3＝0. 解得y 1＝3，y 2＝－1.当y ＝3时，x ＋1x ＝3，∴x 1＝3＋52，x 2＝3－52. 当y ＝－1时，x ＋1x＝－1，x 无实数根． 经检验，x 1＝3＋52，x 2＝3－52都是原方程的根． ∴原方程的根为x 1＝3＋52， x 2＝3－52. 18．解：经验证x ＝0不是方程的根，原方程两边同除以x 2，得6x 2－35x ＋62－35x ＋6x 2＝0， 即6⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－35⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋62＝0. 设y ＝x ＋1x ，则x 2＋1x 2＝y 2－2， 原方程可变为6(y 2－2)－35y ＋62＝0.解得y 1＝52，y 2＝103. 当x ＋1x ＝52时， 解得x 1＝2，x 2＝12； 当x ＋1x ＝103时， 解得x 3＝3，x 4＝13. 经检验，均符合题意．∴原方程的根为x 1＝2，x 2＝12， x 3＝3，x 4＝13. 19．解：设y ＝x －2x ，则原方程化为y －3y＝2， 整理得y 2－2y －3＝0，∴y 1＝3，y 2＝－1.当y ＝3时，x －2x＝3，∴x ＝－1. 当y ＝－1时，x －2x＝－1，∴x ＝1. 经检验，x ＝±1都是原方程的根．∴原方程的根为x 1＝1，x 2＝－1.20．解：方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2 015＝2 018，x －2 016＝2 017的解一定是原方程的解， 解得x ＝4 033.方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2 015＝－2 017，x －2 016＝－2 018的解也一定是原方程的解， 解得x ＝－2.∵原方程最多有两个实数解，∴原方程的根为x 1＝4 033，x 2＝－2.点拨：解本题也可采用换元法．设x－2 016＝t，则x－2 015＝t＋1，原方程可化为t(t ＋1)＝2 017×2 018，先求出t，进而求出x.专训2根的判别式的六种常见应用名师点金：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m ＋1)＝0有无实数根．2．(2015·泰州)已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．利用根的判别式求字母的值或取值范围3．【2015·咸宁】已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．利用根的判别式求代数式的值4．已知关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，求m －1（2m －1）2＋2m的值．利用根的判别式解与函数综合问题5．【2016·黔南州】y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数，则一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的根的情况为( )A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有两个相等的实数根利用根的判别式确定三角形的形状6．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．利用根的判别式探求菱形条件7．(中考·淄博】已知▱ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个根．(1)m 为何值时，▱ABCD 是菱形？并求出菱形的边长．(2)若AB 的长为2，求▱ABCD 的周长是多少？答案1．解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.对于方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0，Δ2＝(2m)2－4·m(m ＋1)＝－4m>4，∴方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0有两个不相等的实数根．2．解：(1)Δ＝b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4m 2－4m 2＋4＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入方程中，得9＋2m ×3＋m 2－1＝0，即m 2＋6m ＋9＝1，∴(m ＋3)2＝1.∴m ＋3＝±1.∴m 1＝－2，m 2＝－4.3．(1)证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵不论m 为何值，(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解：解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，得x ＝m ＋2±Δ2m ＝m ＋2±（m －2）2m. ∴x 1＝2m，x 2＝1. ∵方程的两个根都是正整数，∴2m是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等，∴m ≠2，∴m ＝1.4．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，即2m －1＝±4.∴m ＝52或m ＝－32. 当m ＝52时，m －1（2m －1）2＋2m ＝52－116＋5＝114； 当m ＝－32时，m －1（2m －1）2＋2m ＝－32－116－3＝－526.5．A 点拨：∵y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数， ∴k －1≠0.∴k －1>0，解得k>1.又一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的判别式Δ＝4－4k ，∴Δ<0.∴一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0无实数根，故选A .6．解：∵方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b 2－4(a ＋c)·a －c 4＝b 2－(a 2－c 2)＝0. 即b 2＋c 2＝a 2，∴此三角形是直角三角形．7．解：(1)∵▱ABCD 是菱形，∴AB ＝AD.∴Δ＝0，即m 2－4⎝⎛⎭⎫m 2－14＝m 2－2m ＋1＝0，∴m ＝1. 此时原方程为x 2－x ＋14＝0， ∴x 1＝x 2＝12， ∴当m ＝1时，▱ABCD 是菱形，菱形ABCD 的边长为12. (2)∵AB ＝2，∴将x ＝2代入原方程得4－2m ＋m 2－14＝0， 解得m ＝52， 故原方程为x 2－52x ＋1＝0， 解得x 1＝2，x 2＝12，∴AD ＝12. 故▱ABCD 的周长为2×⎝⎛⎭⎫2＋12＝5.专训 可化为一元二次方程的分式方程的应用名师点金：可化为一元二次方程的分式方程的实际应用较广泛，一般应用于营销、行程、工程等问题中，解分式方程的基本思路就是化归，去掉分母后转化为一元二次方程，但最后一定要验根，有时可能会产生增根或不符合题意的根．营销问题1．某玩具店采购人员第一次用100元去采购某种玩具，很快售完，第二次去采购时发现批发价每件上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的售价均为2.8元，问：第二次采购玩具多少件？(说明：根据销售常识，批发价应该低于销售价)【导学号：83182030】2．小明的爸爸下岗后，做起了经营水果的生意，一天，他先去水果批发市场，用100元购甲种水果，用150元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多购进10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.50元，然后到零售市场，都按每千克2.8元零售，结果乙种水果很快售完，甲种水果售出45时，出现滞销，他便按原售价的5折售完剩下的水果，请你帮小明的爸爸算一算，这天卖水果是赔钱了还是赚钱了(不考虑其他因素)？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？行程问题3．【中考·青海】穿越青海境内的兰新铁路极大地改善了沿线人民的经济文化生活．该铁路沿线甲、乙两城市相距480 km ，乘坐高铁列车比乘坐普通列车能提前4 h 到达．已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160 km /h .设普通列车的平均行驶速度为x km /h ，依题意，下面所列方程正确的是( )A .480x ＋160－480x ＝4B .480x －480x ＋160＝4C .480x －480x －160＝4D .480x －160－480x＝4工程问题4．【中考·深圳】施工队要铺设一段全长2 000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x 米，则根据题意所列方程正确的是( )A .2 000x －2 000x ＋50＝2B .2 000x ＋50－2 000x ＝2 C .2 000x －2 000x －50＝2 D .2 000x －50－2 000x ＝25．【中考·呼和浩特】某一公路的道路维修工程，准备从甲、乙两个工程队选一个队单独完成．根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知，若由两队合做此项维修工程，6天可以完成，共需工程费用385 200元，若单独完成此项维修工程，甲队比乙队少用5天，每天的工程费用甲队比乙队多4 000元．从节省资金的角度考虑，应选哪个工程队？【导学号：83182031】答案1．解：方法一：设第二次采购玩具x 件，则第一次采购玩具(x －10)件，由题意得100x －10＋0.5＝150x. 整理得x 2－110x ＋3 000＝0.解得x 1＝50，x 2＝60.经检验x 1＝50，x 2＝60都是原方程的解．当x ＝50时，第二次采购时每件玩具的批发价为150÷50＝3(元)，高于玩具的售价，不合题意，舍去；当x ＝60时，第二次采购时每件玩具的批发价为150÷60＝2.5(元)，低于玩具的售价，符合题意．因此第二次采购玩具60件．方法二：设第一次采购玩具x 件，则第二次采购玩具(x ＋10)件，由题意得100x＋0.5＝150x ＋10. 整理得x 2－90x ＋2 000＝0.解得x 1＝40，x 2＝50.经检验，x 1＝40，x 2＝50都是原方程的解．第一次采购40件时，第二次采购40＋10＝50(件)，批发价为150÷50＝3(元)，不合题意，舍去；第一次采购50件时，第二次采购50＋10＝60(件)，批发价为150÷60＝2.5(元)，符合题意．因此第二次采购玩具60件．2．解：设小明的爸爸购乙种水果x 千克，则购甲种水果(x －10)千克，所以甲种水果的批发价为每千克100x －10元，乙种水果的批发价为每千克150x 元．根据题意得150x －100x －10＝0.5. 整理得x 2－110x ＋3 000＝0.解之得x 1＝50，x 2＝60.经检验，x 1＝50，x 2＝60都是方程的根．当x ＝50时，乙种水果的批发价为每千克15050＝3(元)，高于水果零售价，不合题意，舍去．当x ＝60时，乙种水果的批发价为每千克15060＝2.5(元)，符合题意；甲种水果的批发价为每千克10060－10＝2(元)，也符合题意． 因此，小明的爸爸购进乙种水果60千克，购进甲种水果60－10＝50(千克)，小明的爸爸这一天卖水果盈利：(50×45×2.8＋50×15×2.8×12＋60×2.8)－(100＋150)＝44(元)．∴小明的爸爸这一天卖水果赚钱了，赚了44元．3．B4．A 点拨：原计划每天施工x 米，则实际每天施工(x ＋50)米，∴原计划施工2 000x天，实际每天施工2 000x ＋50天，∵原计划施工天数比实际施工天数多2天，∴2 000x －2 000x ＋50＝2. 故选择A .5．解：设甲队单独做x 天完成，则乙队单独做(x ＋5)天完成，根据题意，得1x ＋1x ＋5＝16. 整理，得x 2－7x －30＝0.解得x 1＝10，x 2＝－3.经检验，x 1＝10，x 2＝－3都是原方程的根，但x 2＝－3不合题意，舍去，此时x ＋5＝15，即单独做甲、乙两队分别需要10天、15天完成任务．设乙队每天工程费用为y 元，则甲队每天工程费用为(y ＋4 000)元，根据题意，得6(y ＋y ＋4 000)＝385 200.解得y ＝30 100.∴y ＋4 000＝34 100.即甲、乙两队每天的工程费用分别为34 100元、30 100元．∵34 100×10＝341 000(元)，30 100×15＝451 500(元)，∴从节省资金的角度考虑，应选甲工程队．。