上海市长宁区2008学年高三年级第一次质量调研数学试卷(理)

上海市长宁区2008学年高三年级第一次质量调研数学试卷(理)2009.1一．填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，请将结果直接填在答题纸规定的横线上，每题填对得5分，否则一律得零分． 1．不等式1 03 2x ->-的解集为____________．2．函数1()2f x x=-的定义域为_____________ ． 3．函数()sin f x x x =的单调递增区间为______________． 4．方程|lg |30x x +-=实数解的个数是____________． 5．若指数函数()()x f x a x R =∈的部分对应值如右表： 则不等式1(|1|)0f x --<的解集为_____________．6．已知函数22()(3)3,[2,]f x ax b x x a a =+-+∈-是偶函数，则a b +=_____________． 7．等比数列{}n a 的公比为12-，前n 项和为n S 满足11lim n n S a →∞=，那么1a 的值为____________．8．如图，三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==，111213212223313233 a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的的概率为__________.9．若32(2)2(,3)nnnx x ax bx cx n N n +=+++++∈≥ 且:3:2a b =，则n =____________． 10．一个圆锥形的空杯子上面放着一个球形的冰淇淋，圆锥底的直径与球的直径相同均为10，如果冰淇淋融化后全部流在空杯子中，并且不会溢出杯子，则杯子的高度最小为____________．11.已知命题:(3)(1)0,p x x -+>命题22:210(0)q x x m m -+->>，若命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数m 的范围是____________.12.设函数()(0,1),[]1xx a f x a a m a =>≠+表示不超过实数m 的最大整数，则函数11()[()][()]22g x f x f x =-+--的值域为______________.二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须在答题纸上按正确填涂的方法用2B 铅笔将正确结论的字母代号框涂黑，每题涂对得 4分，否则一律得零分．13．如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -的中心，△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是（ ）ABC D A 1B 1C 1D 1P(1)(2)(3)(4)A. (1)、(2)、(3)、(4)B.(1)、(3)C.(1)、(4)D.(2)、(4) 14．设x C ∈，方程2||||0x x -=的解集为 ( ) A ．{0,1} B ．{0,1,1}- C ．{0,1,1,,}i i -- D ．以上都不对 15．下列三个命题中错误的个数是 （ ）①经过球上任意两点，可以作且只可以作球的一个大圆； ②球的面积是它的大圆面积的四倍；③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长. A.0 B. 1 C. 2 D.316.已知||2||0,a b =≠ 且关于x 的方程2||0x a x a b ++= 有实数根，则a b 与的夹角的取值范围是 ( ) A.[,]3ππ B.[0,]6πC.2[,]33ππD.[,]6ππ 三．解答题（满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分）第1、2小题满分各6分.已知向量(cos ,sin ),(cos ,cos ),(1,0)a x x b x x c ==-=-.(1)若,6x π=求向量a c与的夹角；(2)当9[,]28x ππ∈时，求函数()21f x a b =+的最大值.18．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分.直三棱柱111ABC A B C -中，O 1,90AB AC BAC ==∠=，且异面直线111A B B C 与所成的角等于O60，设1AA a =.(1)求a 的值； (2)求直线11B C 到平面1A BC 的距离.A BCA 1B 1C 119．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知关于t 的方程220t t a -+=的一个根为1.()a R +∈(1)求方程的另一个根及实数a 的值；(2)是否存在实数m ，使对x R ∈时，不等式22log ()22[1,2]a x a m km k k +≥-+∈-对恒成立？若存在，试求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由..20．（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知二次函数()y f x =对任意x R ∈满足(1)()f x f x -=-，且图像经过点(2,1)-及坐标原点. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）设数列{}n a 前n 项和()n S f n =，求数列{}n a 的通项公式n a ； (3）对(2)中n a ，设1,n n nb T a =为数列{}n b 前n 项和，试问：是否存在关于n 的整式()g n ，使得121(1)()n n T T T T g n -+++=- 对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出()g n 的解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由.21．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.如图是一个具有n 行n 列的数表，第一行是首项为1，公比为q 的等比数列，第一列是首项为1，公差为d 的等差数列，其它空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写。

设ij a 表示第i 行第j 列的数.(1)求22322,n a a a 及的表达式；(2)第二行能否构成等比数列？若能，求出,q d 满足的条件；若不能，请说明理由.(3)请根据这张数表提出一个与问题(2)相类似的问题，并加以研究和解决(根据所提问题的难度及解答情况评分).参考答案一、1.2(,)3+∞ 2.[1,2)(2,)-+∞ 3.5[2,2],66k k k Z ππππ-+∈ 4.2 5.(0,1)(1,2)6.47.±8.47 9.11 10.20 11.(0,2) 12.{1,0}-二、13.C 14.D 15.C 16.A 三、17.(Ⅰ)56πθ=； (Ⅱ)max ()1f x =. 18. (Ⅰ)1a =(Ⅱ19. (Ⅰ)另一根为1(1)(3)4a i ∴== (Ⅱ)设存在实数m 满足条件，不等式为22422log (4),m km k x -+≤+24l o g (4)x + 的最小值为1， 2221m k m k ∴-+≤对[1,2]k ∈-恒成立，即22(1)10m k m -+-≤对[1,2]k ∈-恒成立， 设2()2(1)1g k m k m =-+-则22(1)230(2)430g m m g m m ⎧-=+-≤⎪⎨=-+≤⎪⎩ 解得3113m m -≤≤⎧⎨≤≤⎩ 1m ∴=，因此存在1m =满足条件.20. (Ⅰ) 211()22f x x x =+ (Ⅱ)2*1()()2n n S n n a n n N =+⇒=∈(Ⅲ)1111,123n n b T n n==++++ 设存在满足条件的()g n .当122,(1)(2)n T T g ==-，解得(2)2g =. 当1233,(1)(3)n T T T g =+=-,解得(3)3g =. 猜想：()g n n =.下面用数学归纳法证明：*121(1)(2,)n n T T T T n n n N -+++=-≥∈ 证明：(1)当2n =时，由上述可知，结论成立，(2)假设当(2)n k k =≥时，结论成立，即121(1)k k T T T T k -+++=- 成立， 则1n k =+时，左边=121k k T T T T -++++ (1)k k T k T =-+111(1)1=()(1)1(1)1=(1)(1)k k k k T k k T k kk T k kT k +++=+--+-+=+---+=右即1n k =+时，结论也成立.根据(1)(2)可知，对*2,n n N ≥∈时，结论成立. 因此，存在()g n n =满足条件. 21. (Ⅰ)221,a d q =++322223,2122n a d q d aa n n q =++-=++- (Ⅱ)若2{}n a 成等比数列，则212223,,a a a 成等比数列，2222123a a a ∴= 22(1)(1)(1)d q d d q q ∴++=++++，整理，得1,1d q =-此时，2121n n a d q q q -=+++++111n nq q d q q -=+=-- 2(1)2n na q a +∴=，2{}n a 成等比数列，此时，1.1d q =- (Ⅲ)(以下根据提出问题的难易及解答情况给分)问题①：第2行能否成等差数列？研究：若2{}n a 成等差数列，则21222,,a a a 成等差数列，2221232a a a ∴=+ 解得，1q =，此时，2121n n a d q q q -=+++++ =n d =+， 2(1)21n n a a +-=，2{}n a 成等差数列，此时，1q =问题②：第2列能否成等差数列？研究略.问题③：第2列能否成等比数列？ 问题④：第3行能否成等差数列？。