【精编】2018中考数学试题分类汇编考点37锐角三角函数和解直角三角形含解析
锐角三角函数与解直角三角形试题解析
2020^^1l m锐角三角展教与鮮直角三角形武题鮮析■汤文卿摘要:锐角三角函数与解直角三角形是中考的重要和必考内容，考题形式多样、问题新颖、内涵丰富、解 法灵活，很多问题常常与勾股定理、四边形、全等三角 形、相似三角形、圆等知识相结合，紧密联系实际，文章 对近年中考数学中的锐角三角函数与解直角三角形常 见题型进行分类和解析，同时给出了相应的求解策略.关键词：初中数学；銳角三角函数；解直角三角形锐角三角函数与解直角三角形是近年各地中考数 学试题的重要内容，必考知识点，考题形式多样、问题 新颖、内涵丰富、解法灵活，很多问题常常与勾股定理、 四边形、全等三角形、相似三角形、圆等知识相结合，紧 密联系实际，本文对近年中考数学中的锐角三角函数 与解直角三角形常见题型进行分类和解析，同时给出 相应的求解策略.一、求锐角三角函数值这类问题的常见题型有给出特殊角求其某一个三 角函数值（只要熟记特殊角的三角函数值即可），或给 出某角的一种三角函数值求此角另外的三角函数值， 亦或给出一个图形求其中某个角的三角函数值.例1 (2019年龙东地区）如图1，矩形/IBCD的对角线相交于点6C = 3 :2,过点B 作// A C ，过点C 作C E //D B ，B E ,C E 交于点E ，连接D E ,则 tan Z_£OC =( )(A )f (B )(C )f(D )盖解析:如图2,构作含有的直角三角形：作丄D C 交D C 的延长线于点F ，由已知可设/1S =31VICE /13k ，Jffj sin = sin 厶 BDC ，所以EFEC||，所以=2A :、/讯，所以狀“，由勾 股定理得 Cf’ =所以= |~i ，所以 t an z£/)C =盖=|，故选(A )_DF9例(2018年眉山市）如图3,在边长为1的小正方形网格中，点都在这些小正方形的顶点上，X I C D 相交于点 0,则 tanZ/IOZ) = ________.A C A E C解析:如图4,连接狀交(：/)于F ,由正方形性质得BE 丄 CK ，而/_B 0F = /_A 0D , iX tanZ /100 =tanZBOF ,只需求O F 即可.因为4C //B (所以KO ： CO = B K ： AC ^ \ 3 KO ：(J 2 - OK ) = 1 ：3,所以尺0 = f ,所以O F = f (发现0是狀的中作者简介:汤文卿（1966 -),男，江苏省海门人，本科，中学高级教师,主要从事初中数学教学研究•31 .数理化学习/2点），而方厂=^■，所以 tanZ40D = t a n Z B O F =召OF = 2.例3 (2019年自贡市）如图5,在由10个完全相同的正三角形构成的网络图中，Z_a 、乙/3如图所示，则 cos( a + p ) =z ________•图5 图6解析:如图6,连接S C ,易得zl/lCS = 90°，A /tD£S A C EB ，所以 AEBC = ADEA = a ,所以 AABC = a + y 8•设小正二角形的边长为a ，则/4C = 2a ，B C = v ^a ， 在 RtA/lBC 中，仙=V^"a ，所以 cos(a + 卢）=cos Z . ABCBCABy f i例4hl (2019年綿阳市）公元三世纪，我国汉代 数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图” 如图7所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的 小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积 是125，小正方形面积是25，则（sin0 - cos0)2 =()(A )+ (B )f (C )竽（D )务所以(sin 0 - cos 0)2 = ( - 士)2 =去，故选(A ).V5 5感悟:此题可由勾股定理求出a = 5,得出小直角 二角形另外一直角边长为10,从而准确求出sin0、cos0 的值得出所求结果，但不必要.评析:求一个锐角的函数值，一般需将这个角置于 一个直角三角形中，再运用锐角三角函数的定义求解， 因此巧妙合理的构造直角三角形（所构造的直角三角 形既要能含有这个角又要能够运用已知条件）是解题 的关键.解题时，常常用到勾股定理、全等三角形（例4)、相似三角形（例3)、四边形（例2)、圆（见例10)、解 直角三角形等知识点.另外，例3中的等角转换也是求 三角函数的一种好方法.二、由三角函数值反求锐角这类题比较简单，只要牢记3个特殊角（30°、45°、 60°)的函数值，利用对应关系求解即可.例5[1] (2019年甘肃省）在A /15C 中乙C =F x90o，t a i L 4 = 了，贝i j cosB = ________.解析：R t A 仙C 中，因为tao4 = f ,所以Z/l =30。
2018全国各地中考数学分类解析第20章 锐角三角函数及解直角三角形
第二十章 锐角三角函数及解直角三角形29.1 锐角三角函数以及特殊角<2018江苏省无锡市，2，3′）sin45°的值是< ） A. 12【解读】sin45°=2【答案】B【点评】本题主要考查常见锐角三角函数值。
需要学生记忆，这是对基础知识的考查，属于容易题。
<2018四川内江，11，3分）如图4所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为A ．12BCD【解读】欲求sinA ，需先寻找∠A 所在的直角三角形，而图形中∠A 所在的△ABC 并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD<如下图所示），恰好可证得CD ⊥AB ，于是有sinA ＝CD AC＝．UeWA3lDOAj【答案】B图4图4【点评】在斜三角形中求三角函数值时往往需要作高构造直角三角形，将这类问题以格点图形为背景展现时，要注意利用格点之间连线的特殊位置灵活构造．解决这类问题，一要注意构造出直角三角形，二要熟练掌握三角函数的定义．UeWA3lDOAj 29.2 三角函数的有关计算<2018福州，9，4分，）如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100M ，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是< ）UeWA3lDOAj A ．200M B.1)+M解读：由题意，∠A=30°，∠B=45°，则tan ,tan CD CD A B ADDB==，又CD=100，因此AB=AD+DB=00100100100tan tan tan 30tan 45CD CD A B +=+=。
答案：D点评：本题考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函数值，考察了用三角函数模型解决实际问题的能力，难度中等。
UeWA3lDOAj ( 2018年浙江省宁波市,8,3>如图，Rt △ABC,∠C=900,AB=6,cosB=错误!,则BC 的长为UeWA3lDOAj<A ）4 (B>2错误!! (D> 错误!UeWA3lDOAj cosB=错误!=错误!，又∵AB=6∴BC=4,故选AUeWA3lDOAj 【答案】A【点评】本题考查三角函数的定义，比较容易.8题图A BC<2018福州,15，4分，）如图，已知△ABC ，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是 ，cosA 的值是 .<结果保留根号）UeWA3lDOAj解读：由已知条件，可知△BDC 、△ADB 是等腰三角形，且DA=DB=BC ，可证△BDC ∽△ABC ，则有BC DC ACBC=，设BC=x ，则DC=1-x ，因此21,101x x x x x -=+-=即，解方程得，UeWA3lDOAj12x x ==不合题意，舍去），即AD=12； 又cosA=124AB AD===答案：点评：本题考查了等腰三角形的判定、性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，二次根式的化简，构造直角三角形求非特殊角的三角函数值等，涉及知识点较为广泛，具有较强的综合性，难度较大。
2018中考数学试题分类汇编考点37锐角三角函数和解直角三角形含解析
2018中考数学试题分类汇编：考点37锐角三角函数和解直角三角形一．选择题（共15小题）1．（2018•柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB==（）A．B．C．D．【分析】首先利用勾股定理计算出AB长，再计算sinB即可．【解答】解：∵∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB=5，∴sinB==，故选：A．2．（2018•孝感）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sinA等于（）A．B．C．D．【分析】先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，∴BC===6，∴sinA===，故选：A．3．（2018•大庆）2cos60°=（）A．1 B．C．D．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案．【解答】解：2cos60°=2×=1．故选：A．4．（2018•天津）cos30°的值等于（）A．B．C．1 D．【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．【解答】解：cos30°=．故选：B．5．（2018•贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC的值为（）A．B．1 C．D．【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．【解答】解：连接BC，由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，则tan∠BAC=1，故选：B．6．（2018•金华）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A．B．C．D．【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；【解答】解：在Rt△ABC中，AB=，在Rt△ACD中，AD=，∴AB：AD=： =，故选：B．7．（2018•宜昌）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（）A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度．【解答】解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．故选：C．8．（2018•威海）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是（）A．当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3mB．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势C．小球落地点距O点水平距离为7米D．斜坡的坡度为1：2【分析】求出当y=7.5时，x的值，判定A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出抛物线与直线的交点，判断C，根据直线解析式和坡度的定义判断D．【解答】解：当y=7.5时，7.5=4x﹣x2，整理得x2﹣8x+15=0，解得，x1=3，x2=5，∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5侧面cm，A错误，符合题意；y=4x﹣x2=﹣（x﹣4）2+8，则抛物线的对称轴为x=4，∴当x＞4时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，不符合题意；，解得，，，则小球落地点距O点水平距离为7米，C正确，不符合题意；∵斜坡可以用一次函数y=x刻画，∴斜坡的坡度为1：2，D正确，不符合题意；故选：A．9．（2018•淄博）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（）A．B．C．D．【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15，然后利用计算器求锐角α．【解答】解：sinA===0.15，所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为故选：A．10．（2018•重庆）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米，升旗台坡面CD的坡度i=1：0.75，坡长CD=2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6）A．12.6米B．13.1米C．14.7米D．16.3米【分析】如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．在Rt△CDJ中求出CJ、DJ，再根据，tan∠AEM=构建方程即可解决问题；【解答】解：如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．在Rt△CJD中， ==，设CJ=4k，DJ=3k，则有9k2+16k2=4，∴k=，∴BM=CJ=，BC=MJ=1，DJ=，EM=MJ+DJ+DE=，在Rt△AEM中，tan∠AEM=，∴1.6=，解得AB≈13.1（米），故选：B．11．（2018•重庆）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（）A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=，构建方程即可解决问题；【解答】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵==，设CN=4k，DN=3k，∴CD=10，∴（3k）2+（4k）2=100，∴k=2，∴CN=8，DN=6，∵四边形BMNC是矩形，∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，tan24°=，∴0.45=，∴AB=21.7（米），故选：A．12．（2018•长春）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（）A．800sinα米B．800tanα米C．米D．米【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题；【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，∴tanα=，∴AB==．故选：D．13．（2018•香坊区）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120米，这栋楼的高度BC为（）A．160米B．（60+160）C．160米 D．360米【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，然后利用三角函数求解即可求得答案．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，在Rt△ABD中，BD=AD•tan30°=120×=40（m），在Rt△ACD中，CD=AD•tan60°=120×=120（m），∴BC=BD+CD=160（m）．故选：C．14．（2018•绵阳）一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（）（结果保留小数点后两位）（参考数据：≈1.732，≈1.414）A．4.64海里B．5.49海里C．6.12海里D．6.21海里【分析】根据题意画出图形，结合图形知∠BAC=30°、∠ACB=15°，作BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°，设BD=x，则AB=BE=CE=2x、AD=DE=x，据此得出AC=2x+2x，根据题意列出方程，求解可得．【解答】解：如图所示，由题意知，∠BAC=30°、∠ACB=15°，作BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°，则∠BED=30°，BE=CE，设BD=x，则AB=BE=CE=2x，AD=DE=x，∴AC=AD+DE+CE=2x+2x，∵AC=30，∴2x+2x=30，解得：x=≈5.49，故选：B．15．（2018•苏州）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（）A．40海里B．60海里C．20海里D．40海里【分析】首先证明PB=BC，推出∠C=30°，可得PC=2PA，求出PA即可解决问题；【解答】解：在Rt△PAB中，∵∠APB=30°，∴PB=2AB，由题意BC=2AB，∴PB=BC，∴∠C=∠CPB，∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°，∴∠C=30°，∴PC=2PA，∵PA=AB•tan60°，∴PC=2×20×=40（海里），故选：D．二．填空题（共17小题）16．（2018•北京）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC ＞∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）【分析】作辅助线，构建三角形及高线NP，先利用面积法求高线PN=，再分别求∠BAC、∠DAE的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断．【解答】解：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，S△ANH=2×2﹣﹣×1×1=AH•NP，=PN，PN=，Rt△ANP中，sin∠NAP====0.6，Rt△ABC中，sin∠BAC===＞0.6，∵正弦值随着角度的增大而增大，∴∠BAC＞∠DAE，故答案为：＞．17．（2018•滨州）在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB= ．【分析】直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：如图所示：∵∠C=90°，tanA=，∴设BC=x，则AC=2x，故AB=x，则sinB===．故答案为：．18．（2018•泰安）如图，在△ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为S=x2．【分析】可在直角三角形CED中，根据DE、CE的长，求出△BED的面积即可解决问题．【解答】解：（1）在Rt△CDE中，tanC=，CD=x∴DE=x，CE=x，∴BE=10﹣x，∴S△BED=×（10﹣x）•x=﹣x2+3x．∵DF=BF，∴S=S△BED=x2，故答案为S=x2．19．（2018•无锡）已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于15或10．【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得．【解答】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，在Rt△ACD中，∵AC=2，∴CD===，则BC=BD+CD=6，∴S△ABC=•BC•AD=×6×5=15；②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知，BD=5，CD=，则BC=BD﹣CD=4，∴S△ABC=•BC•AD=×4×5=10．综上，△ABC的面积是15或10，故答案为15或10．20．（2018•香坊区）如图，在△ABC中，AB=AC，tan∠ACB=2，D在△ABC内部，且AD=CD，∠ADC=90°，连接BD，若△BCD的面积为10，则AD的长为5．【分析】作辅助线，构建全等三角形和高线DH，设CM=a，根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC和AM的长，根据三角形面积表示DH的长，证明△ADG≌△CDH（AAS），可得DG=DH=MG=，AG=CH=a+，根据AM=AG+MG，列方程可得结论．【解答】解：过D作DH⊥BC于H，过A作AM⊥BC于M，过D作DG⊥AM于G，设CM=a，∵AB=AC，∴BC=2CM=2a，∵tan∠ACB=2，∴=2，∴AM=2a，由勾股定理得：AC=a，S△BDC=BC•DH=10，=10，DH=，∵∠DHM=∠HMG=∠MGD=90°，∴四边形DHMG为矩形，∴∠HDG=90°=∠HDC+∠CDG，DG=HM，DH=MG，∵∠ADC=90°=∠ADG+∠CDG，∴∠ADG=∠CDH，在△ADG和△CDH中，∵，∴△ADG≌△CDH（AAS），∴DG=DH=MG=，AG=CH=a+，∴AM=AG+MG，即2a=a++，a2=20，在Rt△ADC中，AD2+CD2=AC2，∵AD=CD，∴2AD2=5a2=100，∴AD=5或﹣5（舍），故答案为：5．．21．（2018•眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD= 2 ．【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF 的值，继而求得答案．【解答】解：如图，连接BE，∵四边形BCEK是正方形，∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，∴BF=CF，根据题意得：AC∥BK，∴△ACO∽△BKO，∴KO：CO=BK：AC=1：3，∴KO：KF=1：2，∴KO=OF=CF=BF，在Rt△PBF中，tan∠BOF==2，∵∠AOD=∠BOF，∴tan∠AOD=2．故答案为：222．（2018•德州）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是．【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：∵AB2=32+42=25、AC2=22+42=20、BC2=12+22=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，则sin∠BAC==，故答案为：．23．（2018•齐齐哈尔）四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD= 17 ．【分析】作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，根据正切的定义分别求出AH、BH，根据勾股定理求出HD，得到BD，根据勾股定理计算即可．【解答】解：作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，∵tan∠ABD=，∴=，设AH=3x，则BH=4x，由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，解得，x=4，则AH=12，BH=16，在Rt△AHD中，HD==5，∴BD=BH+HD=21，∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCH+∠CBD=90°，∴∠ABD=∠CBH，∴=，又BC=10，∴BG=6，CG=8，∴DG=BD﹣BG=15，∴CD==17，故答案为：17．24．（2018•广州）如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC= ．【分析】根据直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵旗杆高AB=8m，旗杆影子长BC=16m，∴tanC=，故答案为：25．（2018•枣庄）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为 6.2 米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米），答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．故答案为：6.2．26．（2018•广西）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B 处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是40m （结果保留根号）【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD，再利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：由题意可得：∠BDA=45°，则AB=AD=120m，又∵∠CAD=30°，∴在Rt△ADC中，tan∠CDA=tan30°==，解得：CD=40（m），故答案为：40．27．（2018•宁波）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为1200（﹣1）米（结果保留根号）．【分析】在Rt△ACH和Rt△HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．【解答】解：由于CD∥HB，∴∠CAH=∠ACD=45°，∠B=∠BCD=30°在Rt△ACH中，∵∴∠CAH=45°∴AH=CH=1200米，在Rt△HCB，∵tan∠B=∴HB====1200（米）．∴AB=HB﹣HA=1200﹣1200=1200（﹣1）米故答案为：1200（﹣1）28．（2018•黄石）如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、E在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是100（1+）米．（结果保留根号）【分析】如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在Rt△ACD中利用正切定义可计算出AD=100，在Rt△BCD中利用等腰直角三角形的性质得BD=CD=100，然后计算AD+BD 即可．【解答】解：如图，∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，∴∠A=60°，∠B=45°，在Rt△ACD中，∵tanA=，∴AD==100，在Rt△BCD中，BD=CD=100，∴AB=AD+BD=100+100=100（1+）．答：A、B两点间的距离为100（1+）米．故答案为100（1+）．29．（2018•咸宁）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC约为300 m（结果保留整数，≈1.73）．【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD•tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD•tan ∠CAD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可．【解答】解：如图，∵在Rt△ABD中，AD=90，∠BAD=45°，∴BD=AD=110（m），∵在Rt△ACD中，∠CAD=60°，∴CD=AD•tan60°=110×=190（m），∴BC=BD+CD=110+190=300（m）答：该建筑物的高度BC约为300米．故答案为300．30．（2018•天门）我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+）n mile处，则海岛A，C之间的距离为18n mile．【分析】作AD⊥BC于D，根据正弦的定义、正切的定义分别求出BD、CD，根据题意列式计算即可．【解答】解：作AD⊥BC于D，设AC=x海里，在Rt△ACD中，AD=AC×sin∠ACD=x，则CD=x，在Rt△ABD中，BD=x，则x+x=18（1+），解得，x=18，答：A，C之间的距离为18海里．故答案为：1831．（2018•潍坊）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时（结间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达．果保留根号）【分析】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，通过解直角△AQP、直角△BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角△BMN求得BM的长度，则易得所需时间．【解答】解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），所以 BQ=PQ﹣90．在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ•tan30°=PQ（海里），所以 PQ﹣90=PQ，所以 PQ=45（3+）（海里）所以 MN=PQ=45（3+）（海里）在直角△BMN中，∠MBN=30°，所以 BM=2MN=90（3+）（海里）所以=（小时）故答案是：．32．（2018•济宁）如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A 站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是km．【分析】首先由题意可证得：△ACB是等腰三角形，即可求得BC的长，然后由在Rt△CBD 中，CD=BC•sin60°，求得答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，根据题意得：∠CAD=90°﹣60°=30°，∠CBD=90°﹣30°=60°，∴∠ACB=∠CBD﹣∠CAD=30°，∴∠CAB=∠ACB，∴BC=AB=2km，在Rt△CBD中，CD=BC•sin60°=2×=（km）．故答案为：．三．解答题（共18小题）33．（2018•贵阳）如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：∵sinA=，sinB=∴c=，c=∴=根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．【分析】三式相等，理由为：过A作AD⊥BC，BE⊥AC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义表示出AD，在直角三角形ADC中，利用锐角三角函数定义表示出AD，两者相等即可得证．【解答】解： ==，理由为：过A作AD⊥BC，BE⊥AC，在Rt△ABD中，sinB=，即AD=csinB，在Rt△ADC中，sinC=，即AD=bsinC，∴csinB=bsinC，即=，同理可得=，则==．34．（2018•上海）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．【分析】（1）过A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．【解答】解：（1）作A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC==，AB=5，∴AE=3，BE=4，∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC==；（2）∵DF垂直平分BC，∴BD=CD，BF=CF=，∵tan∠DBF==，∴DF=，在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD==，∴AD=5﹣=，则=．35．（2018•自贡）如图，在△ABC中，BC=12，tanA=，∠B=30°；求AC和AB的长．【分析】如图作CH⊥AB于H．在Rt△求出CH、BH，这种Rt△ACH中求出AH、AC即可解决问题；【解答】解：如图作CH⊥AB于H．在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，∴CH=BC=6，BH==6，在Rt△ACH中，tanA==，∴AH=8，∴AC==10，∴AB=AH+BH=8+6．36．（2018•烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B 两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）【分析】先求得AC=PCtan∠APC=87、BC=PCtan∠BPC=21，据此得出AB=AC﹣BC=87﹣21=66，从而求得该车通过AB段的车速，比较大小即可得．【解答】解：在Rt△APC中，AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87，在Rt△BPC中，BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21，则AB=AC﹣BC=87﹣21=66，∴该汽车的实际速度为=11m/s，又∵40km/h≈11.1m/s，∴该车没有超速．37．（2018•绍兴）如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F．已知AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=40cm．（1）窗扇完全打开，张角∠CAB=85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；（2）窗扇部分打开，张角∠CAB=60°，求此时点A，B之间的距离（精确到0.1cm）．（参考数据：≈1.732，≈2.449）【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质可以解答本题；（2）根据锐角三角函数和题意可以求得AB的长，从而可以解答本题．【解答】解：（1）∵AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，∴四边形ACDE是平行四边形，∴AC∥DE，∴∠DFB=∠CAB，∵∠CAB=85°，∴∠DFB=85°；（2）作CG⊥AB于点G，∵AC=20，∠CGA=90°，∠CAB=60°，∴CG=，AG=10，∵BD=40，CD=10，∴CB=30，∴BG==，∴AB=AG+BG=10+10≈10+10×2.449=34.49≈34.5cm，即A、B之间的距离为34.5cm．38．（2018•临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？【分析】过B作BD⊥AC于D，解直角三角形求出AD=xm，CD=BD=xm，得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门，理由是：过B作BD⊥AC于D，∵AB＞BD，BC＞BD，AC＞AB，∴求出DB长和2.1m比较即可，设BD=xm，∵∠A=30°，∠C=45°，∴DC=BD=xm，AD=BD=xm，∵AC=2（+1）m，∴x+x=2（+1），∴x=2，即BD=2m＜2.1m，∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门．39．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈141，≈1.73）【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程．（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，【解答】解：∵AB⊥CD，sin30°=，BC=80千米，∴CD=BC•sin30°=80×（千米），AC=（千米），AC+BC=80+40≈40×1.41+80=136.4（千米），答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；（2）∵cos30°=，BC=80（千米），∴BD=BC•cos30°=80×（千米），∵tan45°=，CD=40（千米），∴AD=（千米），∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米），∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．40．（2018•白银）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A 地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）【分析】过点C作CD⊥AB于点D，利用锐角三角函数的定义求出CD及AD的长，进而可得出结论．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ADC和Rt△BCD中，∵∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640，∴CD=320，AD=320，∴BD=CD=320，BC=320，∴AC+BC=640+320≈1088，∴AB=AD+BD=320+320≈864，∴1088﹣864=224（公里），答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．41．（2018•随州）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质计算DE的长；（2）作AH⊥BC于H，如图2，由于BD=DE=3，则AB=3BD=15，在Rt△ABH中，根据等腰直角三角形的性质可计算出BH=AH=15，然后在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AC的长．【解答】解：（1）∵∠ABC=∠DEB=45°，∴△BDE为等腰直角三角形，∴DE=BE=×6=3．答：最短的斜拉索DE的长为3m；（2）作AH⊥BC于H，如图2，∵BD=DE=3，∴AB=3BD=5×3=15，在Rt△ABH中，∵∠B=45°，∴BH=AH=AB=×15=15，在Rt△ACH中，∵∠C=30°，∴AC=2AH=30．答：最长的斜拉索AC的长为30m．42．（2018•遵义）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．（计算结果精确到0.1m，参考数据sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为11.4 m．（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数解答即可；（2）过点D作DH⊥地面于H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠BAC=64°，AC=5m，∴AB=（m）；故答案为：11.4；（2）过点D作DH⊥地面于H，交水平线于点E，在Rt△ADE中，∵AD=20m，∠DAE=64°，EH=1.5m，∴DE=sin64°×AD≈20×0.9≈18（m），即DH=DE+EH=18+1.5=19.5（m），答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m．43．（2018•资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．【分析】（1）在Rt△ACD中，由AD=可得答案；（2）设AF=x米，则BF=AB+AF=9+x，在Rt△BEF中求得AD=BE==18+x，由cos∠CAD=可建立关于x的方程，解之求得x的值，即可得出AD的长，继而根据CD=ADsin ∠CAD求得CD从而得出答案．【解答】解：（1）∵在Rt△ACD中，cos∠CAD=，AC=18、∠CAD=30°，∴AD====12（米），答：此时风筝线AD的长度为12米；（2）设AF=x米，则BF=AB+AF=9+x（米），在Rt△BEF中，BE===18+x（米），由题意知AD=BE=18+x（米），∵CF=10，∴AC=AF+CF=10+x，由cos∠CAD=可得=，解得：x=3+2，则AD=18+（3+2）=24+3，∴CD=ADsin∠CAD=（24+3）×=，则C1D=CD+C1C=+=，答：风筝原来的高度C1D为米．44．（2018•山西）祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．项目内容课题测量斜拉索顶端到桥面的距离测量示意图说明：两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C，分别与桥面交于A，B两点，且点A，B，C在同一竖直平面内．测量数据∠A的度数∠B的度数AB的长度38°28°234米……（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D．解直角三角形求出DC即可；（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D．设CD=x米，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠A=38°．∵，∴．在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠B=28°．∵，∴．∵AD+BD=AB=234，∴．解得x=72．答：斜拉索顶端点C到AB的距离为72米．（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等．（答案不唯一）45．（2018•常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）【分析】作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，则EM=BC，在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在Rt△MEF 中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解．【解答】解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示．∵AB=CD，AB+CD=AD=2，∴AB=CD=1．在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°，∴BE=AB•sin∠A≈0.6，AE=AB•cos∠A≈0.8．在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，∴CF=CD•sin∠D≈0.7，DF=CD•cos∠D≈0.7．∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CM，又∵BE=CM，∴四边形BEMC为平行四边形，∴BC=EM，CM=BE．在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，∴EM=≈1.4，∴B与C之间的距离约为1.4米．46．（2018•台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）【分析】作CE⊥BD于F，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，则EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，再计算出∠CAF=28°，则在Rt△ACF中利用正弦可计算出CF，然后计算CF+EF即可．【解答】解：作CE⊥BD于F，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°，在Rt△ACF中，∵sin∠CAF=，∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23，∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m），答：操作平台C离地面的高度为7.6m．47．（2018•岳阳）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD 保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）【分析】（1）构建直角△OMN，求ON的长，相加可得BN的长，即点M到地面的距离；（2）左边根据要求留0.65米的安全距离，即取CE=0.65，车宽EH=2.55，计算高GH的长即。
“三角函数”中考试题分类汇编(含答案)
1、锐角三角函数要点一：锐角三角函数的基本概念 一、选择题1.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（ ）A ．35B ．43 C ．34 D ．452.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝13，则sin B ＝（ ）A ．1010 B ．23C ．34D ．310103.（2009·齐齐哈尔中考）如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．434.（2009·湖州中考）如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ） A ．3sin A =B ．1tan 2A = C ．3cosB = D ．tan 3B =5.（2008·温州中考）如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，已知2CD =，3AC =，则sin B 的值是（ ）A ．23B ．32C ．34D ．436.（2007·泰安中考）如图，在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ，若23AC =，32AB =，则tan BCD ∠的值为（ ）（A ）2 （B ）22 （C ）63（D ）33二、填空题7.（2009·梧州中考）在△ABC 中，∠C ＝90°， BC ＝6 cm ，53sin =A ，则AB 的长是 cm ． .（2009·孝感中考）如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ．9.（2009·庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5A =，则这个菱形ACBD的面积= cm 2．答案：60 三、解答题10.(2009·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE =1213．（1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干？ 【11.（2009·綦江中考）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE ．（1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值．12.（2008·宁夏中考）如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =54，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值．DABCEFOEC D14.（2007·芜湖中考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠，(1) 求证：AC=BD ； (2)若12sin 13C =，BC =12，求AD 的长．要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题1.（2009·钦州中考）sin30°的值为（ ）A ．32B ．22C ．12D ．33答案：C2.（2009·长春中考）．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为（ ）A ．2，B ．2)，C ．211)，D ．(121)，答案：C3.(2009·定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米 B ．3 C 83米 D 43米4.（2008·宿迁中考）已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α等于（ ） Ａ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒805.（2008·毕节中考） A （cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A 1的坐标是（ ）A ．1323⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，B ．3323⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，C ．1323⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， D ．1322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 6.（2007·襄樊中考）计算：2cos 45tan 60cos30+等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）3 二、填空题7. （2009·荆门中考）104cos30sin 60(2)(20092008)-︒︒+---=______．答案：238.（2009·百色中考）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B 与钢缆固定点C 的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A 到地面的距离AB 是 米．（结果保留根号）．答案：439.（2008·江西中考）计算：（1）1sin 60cos302-= ． 答案：1410.（2007·济宁中考）计算sin 60tan 45cos30︒-︒︒的值是 。
江苏苏州市2018年中考数学《锐角三角函数》复习精讲
2018年中考数学《锐角三角函数》复习精讲一、重点、难点梳理本单元学习的重点是锐角三角函数的概念、特殊角的三角函数值、解直角三角形的方法以及它的实际应用.要正确理解其概念和意义，并能推出特殊角的三角函数值，会运用“转化”思想化斜三角形为直角三角形.通过建立解直角三角形的数学模型，解决距离、高度、角度等计算问题.在解决实际问题时，要正确理解俯角、仰角、方位角、方向角及坡角、坡度等常用术语.注意把握各类图形的特征，综合运用全等三角形、相似三角形和三角形的边角关系解决问题.学习的难点是构造直角三角形，从复杂的几何图形中找出基本图形，综合运用相关知识以及转化的思想、方程的思想、变与不变的思想等解决生产、生活中的实际问题.二、易混、易错点剖析不能准确把握直角三角形中边角之间的关系，张冠李戴，不管是否是直角三角形就盲目套用锐角三角函数的定义求解;不能正确迅速地从比较复杂的图形中找出基本图形，未能掌握“遇斜化直”的基本方法致使解题受阻;在求解直角三角形的应用问题时，不能正确理解常用术语的含义，出现计算、推理错误等等. 三、中考命题解读中考对锐角三角函数的概念及简单性质、特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角等知识点的考查，多以中低难度客观题的形式呈现;解直角三角形实际应用的题目几乎是每卷必考，一般是中等难度的解答题，背景公平，贴近生活，颇具时代性，且与全等三角形、平行四边形等知识适度融合，具有一定的综合性.围绕直角三角形边角关系的探索规律、猜想验证、知识拓展等创新性题目近年来也悄然兴起，成为中考试卷一道亮丽的风景. 四、考点题型精讲考点1 锐角三角函数的概念例1 (2017·兰州)如图1，一个斜坡长130 m ，坡顶离水平地面的距离为50 m ，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( ) A.513 B. 1213 C. 512 D. 1312 解析:如图1，在Rt ABC ∆中，90,130ACB AB ∠=︒=Q m, 50BC =m,120AC ∴==m.505tan 12012BC BAC AC ∴∠===, 故选C.例2 (2016·荆州)如图2，在4X4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，ABC ∆的顶点都在格点上，则ABC ∠的余弦值是( )A.2B.C. 12D. 解析:首要的问题是确定ABC ∆的形状，可以根据图形信息，尝试运用勾股定理的逆定理判断.易知，在ABC ∆中. 22220,5,25AC BC AB ===. ABC ∴∆是直角三角形，且90ACB ∠=︒.cos BC ABC AB ∴∠==故选D. 评注:锐角三角函数是在直角三角形中定义的，在求锐角三角函数值时，一定不能忽略这一点.例3 (2016·攀枝花)如图3，点(0,3),(0,0),(4,0)D O C 在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦，则sin OBD ∠=( )A.12 B. 34 C. 45 D. 35解析:依题意，易知3,4OD OC ==.90,5C O D C D ∠=︒∴=Q .如图3，连接CD ,由圆周角定理，得OBD OCD ∠=∠. 3s i ns i n 5OD OBD OCD CD ∴∠=∠==.故选D. 评注:求一个角的三角函数值，通常有两种方法，找出(或构造)所求角所在的直角三角形，直接利用定义来求，如上面的例1，例2;抑或把所求角转化为直角三角形中与它相等的角间接求解，如本例和下面的例4等.例4 (2017·无锡)在如图4的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，,,,A B C D 都在格点处，AB 与CD 相交于O ，则tan BOD ∠的值等于 .解析:解题的关键是构造直角三角形.平移CD 到C D ''交AB 于O '(还有其他的平移方法吗?)，如图4所示，则BO D BOD ''∠=∠.tan tan BOD BO D ''∴∠=∠.设每个小正方形的边长为a ，则,,3O B O D BD a ''''=====.作BE O D ''⊥于点E ，则BD O F BE O D ''⋅===''2O E '∴===. tan 3BEBO E O E'∴∠=='，故tan 3BOD ∠=.故填3.评注:在求解涉及直角三角形边角关系的问题时，如果题中没有可用的直角三角形，需要添加辅助线构造直角三角形来解决.常见辅助线的作法有作高或作平行线两种.本题综合运用了这两种方法.其中体现的转化思想十分重要，需要同学们用心体悟. 考点2 求特殊角的三角函数值 例5 (2017·平凉)计算:0113tan 30(4)()2π-︒+--.解析:原式312121=-=-=. 评注:对特殊角的三角函数值的考查，一般有两种方式:一是在难度较低的混合运算题中，将其和二次根式化简、零指数幂、负整数指数幂等一并考查;二是在解直角三角形时，需要求出特殊角的三角函数值解决问题. 考点3 已知三角函数值求(锐)角例6 (2016·潍坊)若关于x 的一元二次方程2sin 0x α+=有两个相等的实数根，则锐角α等于( )A.15ºB.30 ºC.45 ºD.60 º解析: Q 关于x 的一元二次方程2sin 0x α+=有两个相等的实数根，2(4sin 24sin 0αα∴∆=-=-=，解得1sin 2α=. αQ 为锐角，30α∴=︒.故选B.评注:解题的关键是借助一元二次方程根的判别式得到一个关于sin α的等式，进而在sin α为锐角的约束条件下求解. 考点4 解直角三角形例7 (2016·西宁)⊙O 的半径为1，弦AB =AC BAC ∠的度数为 .解析:因为题目中没有给出弦,AB AC 的位置关系，所以需分情况讨论:①如图5，连接OA ，过O 作OE AB ⊥于,E OF AC ⊥于F .90OEA OFA ∴∠=∠=︒.由垂径定理，得AE AE BE AF CF OAE OA ====∠==, cos AF OAF OA ∠==, 30,45,304575OAE OAF BAC ∴∠=︒∠=︒∠=︒+︒=︒;②如图6所示，仿①中的方法，可求得30,45.453015OAE OAF BAC ∠=︒∠=︒∴∠=︒-︒=︒.综上，答案为75º或15º.评注:忽视分类讨论，就有可能造成漏解.例8 (2017·徐州)如图7，已知AC BC ⊥，垂足为,4,C AC BC ==将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60º，得到线段AD ,连接,DC DB . (1)线段DC = ;(2)求线段DB 的长度.解析:(1)∵AC AD =，60CAD ∠=︒， ∴ACD ∆是等边三角形， 故4DC AC ==.(2)为构造直角三角形，作DE BC ⊥于点E . ∵ACD ∆是等边三角形， ∴60ACD ∠=︒. 又∵AC BC ⊥，∴906030DCE ACB ACD ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴在Rt CDE ∆中，122DE DC ==，cos30CE DC =︒=∴BE BC CE =-=在Rt BDE ∆中，BD 评注:本题需要综合运用旋转、等边三角形以及直角三角形中的边角关系等知识和转化的思想方法解决问题.考点5解直角三角形的应用.例9 (2017·新疆建设兵团)如图8，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC 为30 m ，在A 点测得D 点的仰角EAD ∠为45︒，在B 点测得D 点的仰角CBD ∠为60︒，求这两座建筑物的高度(结果保留根号).解析:在Rt BCD ∆中，60CBD ∠=︒，30BC =m ， ∵tan CDCBD BC=∠，∴tan CD BC CBD =∠=g (m)，即乙建筑物的高度为m. 如图8，过A 作AF CD ⊥于点F ， 在Rt AFD ∆中，45FAD ∠=︒， ∴30DF AF BC ===m ，∴1)AB CF CD DF ==-=(m)，即为甲建筑物的高度.评注:解题的关键在于一是正确理解仰角、俯角等术语的含义，二是对特殊角的三角函数值能够了然于心.其实，特殊角的三角函数的取值和变化是有规律可循的，记忆起来并不难.如，正弦值逐渐增大，角度:(0)30456090α︒→︒→︒→︒→︒，01sin :(0)22α=→1=→=. 例10 (2017·庆阳)美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风景线是兰州最美的景观之一，数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的,A B 两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D 进行了测量.如图9，测得45DAC ∠=︒，65DBC ∠=︒，若132AB =米，求观景亭D 到南滨河路AC 的距离约为多少米?(结果精确到1米，参考数据: sin 650.91︒≈，cos 650.42︒≈，tan 65 2.14︒≈)图 9解析:易知，若过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ， 则可出现两个直角三角形. 设BE x =，在Rt DE ∆中，tan DEDBE BE∠=， ∵65DBC ∠=︒， ∴tan 65DE x =︒g . 又∵45DAC ∠=︒， ∴AE DE =∴132tan 65x x +=︒g ， 解得115.8x ≈. ∴248DE ≈(米). 答:(略).评注:本题的解答体现了方程思想.当三角形中的线段不易直接求出时，需要依托方程求解.运用三角函数的定义建立方程，选好三角函数是关键.其一般规律是，当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦，无斜边时，就用正切，即所谓的“有斜用弦，无斜用切”.还应注意，当所求元素既可用乘法算式又可用除法算式表示时，尽量用乘法算式;既可用已知数值又可用中间数值运算时，尽量用已知数值;不要企求每一步都得出具体数值，“能拖则拖”，尝试整体处理，尽量缩小误差，降低运算的繁杂程度.例11 (2017·泸州)如图10，海中一渔船在A 处且与小岛C 相距70. n mile ，若读刨nb 由西向东航行30 n mile 到达B 处，此时测得小岛C 位于B 的北偏东30º方向上，求该渔船此时与小岛C 之间的距离.解析:过点C 作CD AB ⊥于点D .由题意，得30BCD ∠=︒. 设BC x =，则在Rt BCD ∆中，1sin 302BD BC x =︒=g ，cos30CD BC x =︒=g .∴1302AD x =+. ∵222AD CD AC +=，即2221(30))702x x ++=， 解得50x =(舍去负值).答:(略).评注:通过添加辅助线，构造两个直角三角形，借助于勾股定理，建立起了已知量与未知量之间的相互联系，使问题顺利得以解决.例12 (2017·江西)如图11，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20º，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角” β约为100º.图11②是其侧面简化示意图，其中视线AB 水平，且与屏幕BC 垂直.(1)若屏幕上下宽20BC =cm ，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB 的长; (2)若肩膀到水平地面的距离100DG =cm ，上臂30DE =cm ，下臂EF 水平放置在键盘上，其到地面的距离72FH =cm.请判断此时β是否符合科学要求的100º?(参考数据:14sin 6915︒≈，14cos 2115︒≈，4tan 2011︒≈，14tan 4315︒≈，所有结果精确到个位) 解析:(1)∵在Rt ABC ∆中，tan BCA AB=，∴20554tan tan 2011BC BC AB A ==≈=︒(cm).(2)延长FE 交DG 于点I ，则2007228DI DG FH =-=-=(cm ).在Rt DEI ∆中，2814sin 3015DI DEI DE ∠===， ∵14sin 6915︒≈，∴69DEI ∠=︒，180********β∠=︒-︒=︒≠︒，故此时β不符合100º的科学要求.评注:本题取材既具有时代性，又十分贴近生活，还顺便普及了科学使用电脑的知识.命题者通过从现实场景中抽象出几何图形，用分数表出参考数据等举措，有效地降低了题目的难度.例13 (2017·威海)图12①是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角(θ)确定玻璃吸热管的倾斜角(太光线与玻璃吸热管垂直)，请完成以下计算:①②③图12如图12②，AB BC⊥，垂足为点B，EA AB⊥垂足为点A，//CD AB，10CD=cm，120DE=cm，FG DE⊥，垂足为点G.(1)若3750'θ∠=︒，则AB的长约为cm.(参考数据: sin3750'0.61︒≈，cos3750'0.79︒≈，tan3750'0.78︒≈)(2)若30FG=cm，60θ∠=︒，求CF的长.解析:(1)如图123，作EP BC⊥于点P，作DQ EP⊥于点Q，则10CD PQ==，2390∠+∠=︒.∵190θ∠+∠=︒，且12∠=∠，∴33750'θ∠=∠=︒，则sin3120sin3750'EQ DE=∠=︒g g，∴120sin3750'1083.2AB EP EQ PQ==+=︒+≈g(cm).(2)如图12③，延长ED，BC交于点K，由(1)知360Kθ∠=∠=∠=︒.在Rt CDK∆中，tanCDCKK==∠，在Rt KGF∆中，sinGFKFK===∠，则CF KF KC=-===，即为所求.评注:正确添加辅助线构造直角三角形，善于从复杂的图形中找出可用的简单图形和数量关系，是顺利解题的先决条件.考点6其他创新题型例14 (2017·嘉兴)如图13，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得1tan1BAC∠=，21tan3BA C∠=，31tan7BA C∠=，计算4tan BA C∠=，…按此规律，写出tannBA C∠=(用含n的代数式表示).解析:如图13，过点C作4CE A B⊥于E，易得441A BC BA A∠=∠，∴4411tan tan4A BC BA A∠=∠=.在Rt BCE∆中，由41tan4A BC∠=，得4BE CE=，而1BC=，则CE=BE=而4A B==∴44A E AB BE=-=.在4Rt A EC∆中，441tan13CEBA CA E∠==.又∵11tan1101BAC∠==⨯+，211tan3211BA C∠==⨯+，31tan 7BA C ∠=1321=⨯+， 411tan 13431BA C ∠==⨯+，…，由此规律，不难得出211tan (1)11n BA C n n n n ∠==⨯-+-+ 故答案为113，211n n -+. 评注:本题属于规律探究型问题，需运用定义，求出锐角三角函数的值，并结合已知数值，探求数字规律，现在的问题是，题目中与求解关联度很高的三角形都是斜三角形，需要“遇斜化直”，引垂线构造直角三角形，综合运用其中的边角关系解决问题.例15 (2017·福建)小明在某次作业中得到如下结果:2222sin 7sin 830.120.990.9945︒+︒≈+= 2222sin 22sin 680.370.93 1.0018︒+︒≈+= 2222sin 29sin 610.480.870.9873︒+︒≈+= 2222sin 37sin 530.600.80 1.0000︒+︒≈+=2222sin 45sin 45(()122︒+︒=+= 据此，小明猜想:对于任意锐角α，均有22sin sin (90)1αα+︒-=.(1)当30α=︒时，验证22sin sin (90)1αα+︒-=是否成立;(2)小明的猜想是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请举出一个反例.解:(1)当30α=︒时，22sin sin (90)αα+︒-22sin 30sin 60=︒+︒221()2=+ 1=∴22sinsin (90)1αα+︒-=成立.(2)小明的猜想成立，证明如下:如图14，在ABC ∆中，90C ∠=︒，设A α∠=，则90B α∠=︒- ∴22sinsin (90)αα+︒-22()()BC AC AB AB=+ 222BC AC AB +=22AB AB=1= 评注:本题属于归纳猜想型问题，证明猜想的思路是，回到锐角三角函数的定义，在直角三角形中，借助勾股定理进行推证.本例的结论揭示了直角三角形中两个互余锐角的同名函数(正弦、余弦)之间存在的一种平方关系，它又可表述为22sin cos 1αα+=，这是一个非常有用的结论. 【中考演练】1.(2017·烟台)在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2AB =，BC ，则sin2A= . 2.(2016·陕西)已知抛物线223y x x =--+与x 轴交于,A B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接,AC BC ，则tan CAB ∠的值为( )A.12 B. 5 C. 5D. 23.(2017·衢州)计算:0(1)2tan 60π+⨯--︒.4.(2017·台州)如图15是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙MN 平行且距离为0.8米，已知小汽车车门AO 宽为1.2米，当车门打开角度AOB ∠为40︒时，车门是否会碰到墙?请说明理由.(参考数据:sin 400.64︒≈，cos 400.77︒≈，tan 400.84︒≈)图 155.(2017·宜宾)如图16，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A ，又在河的另一岸边取两点B ，C ，测得30α∠=︒，45β∠=︒，量得BC 长为100米，求河的宽度(结果保留根号).6.(2017·黔东南州)如图17，某校教学楼AB 后方有一斜坡，已知斜坡CD 的长为12米，坡角α为60º，根据有关部门的规定，39α∠≤︒时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD 进行改造，在保持坡脚C 不动的情况下，学校至少要把坡顶D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全?(结果取整数)(参考数据:sin 390.63︒≈，cos390.78︒≈，tan 390.81︒≈ 1.41≈ 1.73≈ 2.24≈)7.(2017·河南)如图18所示，我国两艘海监船,A B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C .此时，B 船在A 船的正南方向5海里处，A 船测得渔船C 在其南偏东45º方向，B 船测得渔船C 在其南偏东53º方向.已知A 船的航速为30海里/时，B 船的航速为25海里/时，问C 船至少要等待多长时间才能得到救援?(参考数据: 4sin 535︒≈，3cos535︒≈，4tan 533︒≈)8. ( 2017·常德)图19和图20分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座0.60BC =米，底座BC 与支架AC 所成的角75ACB ∠=︒，支架AF 的长为2.50米，篮板顶端F 点到篮筐D 的距离 1.35FD =米，篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角60FHE ∠=︒，求篮筐D 到地面的距离(精确到0.01米).(参考数据:cos 750.2588︒≈，sin 750.9659︒≈，tan 75 3.732︒≈ 1.732≈ 1.414≈)图 19 图 209.(2017·舟山)如图21是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD )靠墙摆放，高80AD =cm ，宽48AB =cm ，小强身高166cm ，下半身100FG =cm ，洗漱时下半身与地面成80︒ (80FGK ∠=︒)，身体前倾成125︒(125EFG ∠=︒)，脚与洗漱台距离15GC = cm(点,,,D C G K 在同一直线上).(1)此时小强头部E 点与地面DK 相距多少？(2)小强希望他的头部E 恰好在洗漱盆AB 的中点O 的正上方，他应向前进或后退多少?(sin 800.98︒≈，cos800.18︒≈ 1.41≈，结果精确到0.1)10. (2017年赤峰)如图22，在ABC ∆中，设A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，会有sin AD C AC =，则12ABC S BC AD ∆=g 11sin sin 22BC AC C ab C ==g ，即1sin 2ABC S ab C ∆=. 艺同理，1sin 2ABC S bc A ∆=，1sin 2ABC S ac B ∆=.通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理一余弦定理:如图23，在ABC ∆中，若A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，则2222cos a b c bc A =+-， 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题:(1)如图24，在DE F ∆中，60F ∠=︒，D ∠，E ∠的对边分别是3和8.求DEF S ∆和2DE . 1sin 2DEF S EF DF F ∆==g ;2222cos DE EF DF EF DF F =+-=g .(2)如图25，在ABC ∆中，已知AC BC >，60C ∠=︒，'ABC ∆，'BCA ∆，'ACB ∆分别是以AB ，BC ，AC 为边长的等边三角形，设ABC ∆，'ABC ∆，'BCA ∆，'ACB ∆的面积分别为1234,,,S S S S ，求证:1234S S S S +=+.答案:1. 122. D3.0(1)2tan 60π+⨯--︒122=⨯=4. 依题意，过A 作AC OB ⊥于点C ， 在Rt AOC ∆中，40AOC ∠=︒， ∴sin 40ACOA︒=. ∵ 1.2OA =，∴sin 40 1.20.640.768AC OA =︒≈⨯=(米). ∵0.7680.8AC =<， ∴车门不会碰到墙.5.过点A 作AD BC ⊥于点D . ∵45β∠=︒，90ADC ∠=︒， ∴AD CD =.设AD CD x ==m ，则tan 30100x x ︒==+，解得1)x =.答：(略)6.如图27，假设点D 移到'D 的位置时，恰好39α∠=︒，过点D 作DE AC ⊥于点E ，作''D E AC ⊥于点'E .∵ 1.2CD =米，60DCE ∠=︒，∴sin 6012DE CD =︒==米)， 1cos 601262CE CD =︒=⨯=(米). ∵DE AC ⊥，''D E AC ⊥，'//'DD CE ， ∴四边形''DEE D 是矩形.∴''DE D E ==米) ∵''39D CE ∠=︒，∴'''12.8tan 39D E CE =≈≈︒，∴''12.86 6.8EE CE CD =-=-=(米). 答:(略).7. 过点C 作CD AB ⊥交AB 的延长线于点D ， 则90CDA ∠=︒.已知45CAD ∠=︒，设CD x =， 则AD CD x ==.∴5BD AD AB x =-=-.在Rt BDC ∆中，tan 53CD BD =︒g ， 即(5)tan53x x =-︒g ，∴455tan 533204tan 53113x ⨯︒=≈=︒--. ∴20254sin 53sin 535CD x BC ==≈=︒︒∴B 船到达C 船处约需时间:25251÷=(小时).在Rt ADC ∆中，AC ==0.94=. 故C 船至少要等待0.94小时才能得到救援.8.如图28，过点E 作EP BC ⊥于P ，过点A 作AQ FP ⊥于Q . 在Rt ABC ∆中，∵tan ABACB CB∠=∴tan 750.60 3.732 2.239AB CB =︒≈⨯=g (米)，易知四边形ABPQ 是矩形. ∴ 2.239PQ =米.又∵HE FP ⊥，AQ FP ⊥， ∴//HE AQ ，60FAQ FHE ∠=∠=︒. 在Rt FAQ ∆中，sin FQFAQ FA∠=，∴ 2.50 2.1652FQ =⨯≈(米). ∴ 2.165 1.350.815DQ FQ FD =-=-=(米)，0.815 2.239 3.05DP DQ PQ =+=+≈(米).答:(略).9.(1)如图29，过点F 作FN DK ⊥于点N ，过点E 作EM FN ⊥于点M . ∵166,100EF FG FG +==， ∴66EF =.∵80FGK ∠=︒，∴100sin8098FN =︒≈. 又∵125EFG ∠=︒，∴1801251045EFM ∠=︒-︒-︒=︒.∴66cos4546.53FM =︒=≈.∴144.5MN FN FM =+≈.故此时小强头部E 点与地面DK 相距约144.5 cm.(2)如图29，过点E 作EP AB ⊥于点P ，延长OB 交MN 于点H . ∵48AB =，O 为AB 的中点， ∴24AO BO ==.∵66sin 4546.53EM =︒≈，即46.53PH ≈，100cos8018GN =︒≈，15CG =， ∴24151857OH =++=，5746.5310.4710.5OP OH PH =-=-=≈. 故小强应向前讲约10.5 cm.10.(1)在DEF ∆中，60F ∠=︒，D ∠，E ∠的对边分别是3和8，∴11sin 38sin 6022DEF S EF DF F ∆==⨯⨯⨯︒=g 222222cos 38238cos6049DE EF DF EF DF F =+-=+-⨯⨯︒=g(2)证明:如题图25， ∵60C ∠=︒，∴222222cos60AB AC BC AC BC AC BC AC BC =+-︒=+-g g ， 即222AB AC BC AC BC =+-g两边同乘以告1sin 602︒， 得2221111sin 60sin 60sin 60sin 602222AB AC BC AC BC ︒=︒+︒-︒g ， 即2221111sin 60sin 60sin 60sin 602222AC BC AB AC BC ︒+︒=︒+︒g . 又∵'ABC ∆，'BCA ∆，'ACB ∆都是等边三角形，∴11sin 602S AC BC =︒g221sin 602S AB =︒，231sin 602S BC =︒，241sin 602S AC =︒，故1234S S S S +=+.。
2018年全国各地中考数学真题汇编：锐角三角函数
中考数学真题汇编:锐角三角函数一、选择题1.的值等于（）A. B. C. 1 D.【答案】B2.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】B3.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( )A.3B.C.D.【答案】D4.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：，，）A. 12.6米B. 13.1米C. 14.7米D. 16.3米【答案】B5.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：）（）A. 4.64海里B. 5.49海里C. 6.12海里D. 6.21海里【答案】B6.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A. B. C. D.【答案】B7. 如图，已知在中，，，，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A8. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B 在同一条直线上）（）A. B. C. D. h•cosα【答案】B二、填空题9.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行________小时即可到达(结果保留根号)【答案】10.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________。
2018年全国各地中考数学真题汇编：锐角三角函数(及答案)
中考数学真题汇编:锐角三角函数一、选择题1.的值等于（）A. B. C. 1 D.【答案】B2.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】B3.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( )A.3B.C.D.【答案】D4.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：，，）A. 12.6米B. 13.1米C. 14.7米D. 16.3米【答案】B5.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：）（）A. 4.64海里B. 5.49海里C. 6.12海里D. 6.21海里【答案】B6.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A. B. C. D.【答案】B7. 如图，已知在中，，，，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A8. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B 在同一条直线上）（）A. B. C. D. h•cosα【答案】B二、填空题9.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行________小时即可到达(结果保留根号)【答案】10.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________。
江苏苏州市2018年中考数学《锐角三角函数》复习精讲
2018年中考数学《锐角三角函数》复习精讲一、重点、难点梳理本单元学习的重点是锐角三角函数的概念、特殊角的三角函数值、解直角三角形的方法以及它的实际应用.要正确理解其概念和意义，并能推出特殊角的三角函数值，会运用“转化”思想化斜三角形为直角三角形.通过建立解直角三角形的数学模型，解决距离、高度、角度等计算问题.在解决实际问题时，要正确理解俯角、仰角、方位角、方向角及坡角、坡度等常用术语.注意把握各类图形的特征，综合运用全等三角形、相似三角形和三角形的边角关系解决问题.学习的难点是构造直角三角形，从复杂的几何图形中找出基本图形，综合运用相关知识以及转化的思想、方程的思想、变与不变的思想等解决生产、生活中的实际问题.二、易混、易错点剖析不能准确把握直角三角形中边角之间的关系，张冠李戴，不管是否是直角三角形就盲目套用锐角三角函数的定义求解;不能正确迅速地从比较复杂的图形中找出基本图形，未能掌握“遇斜化直”的基本方法致使解题受阻;在求解直角三角形的应用问题时，不能正确理解常用术语的含义，出现计算、推理错误等等. 三、中考命题解读中考对锐角三角函数的概念及简单性质、特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角等知识点的考查，多以中低难度客观题的形式呈现;解直角三角形实际应用的题目几乎是每卷必考，一般是中等难度的解答题，背景公平，贴近生活，颇具时代性，且与全等三角形、平行四边形等知识适度融合，具有一定的综合性.围绕直角三角形边角关系的探索规律、猜想验证、知识拓展等创新性题目近年来也悄然兴起，成为中考试卷一道亮丽的风景. 四、考点题型精讲考点1 锐角三角函数的概念例1 (2017·兰州)如图1，一个斜坡长130 m ，坡顶离水平地面的距离为50 m ，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( ) A.513 B. 1213 C. 512 D. 1312 解析:如图1，在Rt ABC ∆中，90,130ACB AB ∠=︒=Q m, 50BC =m,120AC ∴==m. 505tan 12012BC BAC AC ∴∠===, 故选C.例2 (2016·荆州)如图2，在4X4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，ABC ∆的顶点都在格点上，则ABC ∠的余弦值是( )A.2B.5 C. 12D. 5 解析:首要的问题是确定ABC ∆的形状，可以根据图形信息，尝试运用勾股定理的逆定理判断.易知，在ABC ∆中. 22220,5,25AC BC AB ===. ABC ∴∆是直角三角形，且90ACB ∠=︒.cos BC ABC AB ∴∠==故选D. 评注:锐角三角函数是在直角三角形中定义的，在求锐角三角函数值时，一定不能忽略这一点.例3 (2016·攀枝花)如图3，点(0,3),(0,0),(4,0)D O C 在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦，则sin OBD ∠=( )A.12 B. 34 C. 45 D. 35解析:依题意，易知3,4OD OC ==.90,5C O D C D ∠=︒∴=Q .如图3，连接CD ,由圆周角定理，得OBD OCD ∠=∠.3s i n s i n 5OD OBD OCD CD ∴∠=∠==.故选D. 评注:求一个角的三角函数值，通常有两种方法，找出(或构造)所求角所在的直角三角形，直接利用定义来求，如上面的例1，例2;抑或把所求角转化为直角三角形中与它相等的角间接求解，如本例和下面的例4等.例4 (2017·无锡)在如图4的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，,,,A B C D 都在格点处，AB 与CD 相交于O ，则tan BOD ∠的值等于 .解析:解题的关键是构造直角三角形.平移CD 到C D ''交AB 于O '(还有其他的平移方法吗?)，如图4所示，则BO D BOD ''∠=∠.tan tan BOD BO D ''∴∠=∠.设每个小正方形的边长为a ，则,,3O B O D BD a ''''=====.作BE O D ''⊥于点E ，则BD O F BE O D ''⋅===''2O E '∴===. tan 3BEBO E O E'∴∠=='，故tan 3BOD ∠=.故填3.评注:在求解涉及直角三角形边角关系的问题时，如果题中没有可用的直角三角形，需要添加辅助线构造直角三角形来解决.常见辅助线的作法有作高或作平行线两种.本题综合运用了这两种方法.其中体现的转化思想十分重要，需要同学们用心体悟. 考点2 求特殊角的三角函数值 例5 (2017·平凉)计算:0113tan 30(4)()2π-︒+--.解析:原式312121=-=-=. 评注:对特殊角的三角函数值的考查，一般有两种方式:一是在难度较低的混合运算题中，将其和二次根式化简、零指数幂、负整数指数幂等一并考查;二是在解直角三角形时，需要求出特殊角的三角函数值解决问题. 考点3 已知三角函数值求(锐)角例6 (2016·潍坊)若关于x 的一元二次方程2sin 0x α+=有两个相等的实数根，则锐角α等于( )A.15ºB.30 ºC.45 ºD.60 º解析: Q 关于x 的一元二次方程2sin 0x α+=有两个相等的实数根，2(4sin 24sin 0αα∴∆=-=-=，解得1sin 2α=. αQ 为锐角，30α∴=︒.故选B.评注:解题的关键是借助一元二次方程根的判别式得到一个关于sin α的等式，进而在sin α为锐角的约束条件下求解. 考点4 解直角三角形例7 (2016·西宁)⊙O 的半径为1，弦AB =AC =BAC ∠的度数为 .解析:因为题目中没有给出弦,AB AC 的位置关系，所以需分情况讨论:①如图5，连接OA ，过O 作OE AB ⊥于,E OF AC ⊥于F .90OEA OFA ∴∠=∠=︒.由垂径定理，得,cos 2AE AE BE AF CF OAE OA ====∠==, cos 2AF OAF OA ∠==, 30,45,304575OAE OAF BAC ∴∠=︒∠=︒∠=︒+︒=︒;②如图6所示，仿①中的方法，可求得30,45.453015OAE OAF BAC ∠=︒∠=︒∴∠=︒-︒=︒.综上，答案为75º或15º.评注:忽视分类讨论，就有可能造成漏解.例8 (2017·徐州)如图7，已知AC BC ⊥，垂足为,4,C AC BC ==，将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60º，得到线段AD ,连接,DC DB . (1)线段DC = ;(2)求线段DB 的长度.解析:(1)∵AC AD =，60CAD ∠=︒， ∴ACD ∆是等边三角形， 故4DC AC ==.(2)为构造直角三角形，作DE BC ⊥于点E . ∵ACD ∆是等边三角形， ∴60ACD ∠=︒. 又∵AC BC ⊥，∴906030DCE ACB ACD ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴在Rt CDE ∆中，122DE DC ==，cos30CE DC =︒=∴BE BC CE =-=在Rt BDE ∆中，BD == 评注:本题需要综合运用旋转、等边三角形以及直角三角形中的边角关系等知识和转化的思想方法解决问题.考点5解直角三角形的应用.例9 (2017·新疆建设兵团)如图8，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC 为30 m ，在A 点测得D 点的仰角EAD ∠为45︒，在B 点测得D 点的仰角CBD ∠为60︒，求这两座建筑物的高度(结果保留根号).解析:在Rt BCD ∆中，60CBD ∠=︒，30BC =m ， ∵tan CDCBD BC=∠，∴tan CD BC CBD =∠=g (m)，即乙建筑物的高度为如图8，过A 作AF CD ⊥于点F ， 在Rt AFD ∆中，45FAD ∠=︒， ∴30DF AF BC ===m ，∴1)AB CF CD DF ==-=(m)，即为甲建筑物的高度.评注:解题的关键在于一是正确理解仰角、俯角等术语的含义，二是对特殊角的三角函数值能够了然于心.其实，特殊角的三角函数的取值和变化是有规律可循的，记忆起来并不难.如，正弦值逐渐增大，角度:(0)30456090α︒→︒→︒→︒→︒，01sin :(0)22α=→1222=→→→=. 例10 (2017·庆阳)美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风景线是兰州最美的景观之一，数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的,A B 两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D 进行了测量.如图9，测得45DAC ∠=︒，65DBC ∠=︒，若132AB =米，求观景亭D 到南滨河路AC 的距离约为多少米?(结果精确到1米，参考数据: sin650.91︒≈，cos650.42︒≈，tan65 2.14︒≈)图 9解析:易知，若过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ， 则可出现两个直角三角形. 设BE x =，在Rt DE ∆中，tan DEDBE BE∠=， ∵65DBC ∠=︒， ∴tan65DE x =︒g . 又∵45DAC ∠=︒， ∴AE DE =∴132tan65x x +=︒g ， 解得115.8x ≈. ∴248DE ≈(米). 答:(略).评注:本题的解答体现了方程思想.当三角形中的线段不易直接求出时，需要依托方程求解.运用三角函数的定义建立方程，选好三角函数是关键.其一般规律是，当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦，无斜边时，就用正切，即所谓的“有斜用弦，无斜用切”.还应注意，当所求元素既可用乘法算式又可用除法算式表示时，尽量用乘法算式;既可用已知数值又可用中间数值运算时，尽量用已知数值;不要企求每一步都得出具体数值，“能拖则拖”，尝试整体处理，尽量缩小误差，降低运算的繁杂程度.例11 (2017·泸州)如图10，海中一渔船在A 处且与小岛C 相距70. n mile ，若读刨nb 由西向东航行30 n mile 到达B 处，此时测得小岛C 位于B 的北偏东30º方向上，求该渔船此时与小岛C 之间的距离.解析:过点C 作CD AB ⊥于点D .由题意，得30BCD ∠=︒. 设BC x =，则在Rt BCD ∆中，1sin 302BD BC x =︒=g ，cos30CD BC x =︒=g .∴1302AD x =+. ∵222AD CD AC +=，即2221(30))702x x ++=， 解得50x =(舍去负值).答:(略).评注:通过添加辅助线，构造两个直角三角形，借助于勾股定理，建立起了已知量与未知量之间的相互联系，使问题顺利得以解决.例12 (2017·江西)如图11，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角” α约为20º，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角” β约为100º.图11②是其侧面简化示意图，其中视线AB 水平，且与屏幕BC 垂直.(1)若屏幕上下宽20BC =cm ，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB 的长; (2)若肩膀到水平地面的距离100DG =cm ，上臂30DE =cm ，下臂EF 水平放置在键盘上，其到地面的距离72FH =cm.请判断此时β是否符合科学要求的100º?(参考数据:14sin 6915︒≈，14cos 2115︒≈，4tan 2011︒≈，14tan 4315︒≈，所有结果精确到个位) 解析:(1)∵在Rt ABC ∆中，tan BCA AB=，∴20554tan tan 2011BC BC AB A ==≈=︒(cm).(2)延长FE 交DG 于点I ，则2007228DI DG FH =-=-=(cm ).在Rt DEI ∆中，2814sin 3015DI DEI DE ∠===， ∵14sin 6915︒≈，∴69DEI ∠=︒，180********β∠=︒-︒=︒≠︒，故此时β不符合100º的科学要求.评注:本题取材既具有时代性，又十分贴近生活，还顺便普及了科学使用电脑的知识.命题者通过从现实场景中抽象出几何图形，用分数表出参考数据等举措，有效地降低了题目的难度.例13 (2017·威海)图12①是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角(θ)确定玻璃吸热管的倾斜角(太光线与玻璃吸热管垂直)，请完成以下计算:①②③图12如图12②，AB BC⊥，垂足为点B，EA AB⊥垂足为点A，//CD AB，10CD=cm，120DE=cm，FG DE⊥，垂足为点G.(1)若3750'θ∠=︒，则AB的长约为cm.(参考数据: sin3750'0.61︒≈，cos3750'0.79︒≈，tan3750'0.78︒≈)(2)若30FG=cm，60θ∠=︒，求CF的长.解析:(1)如图123，作EP BC⊥于点P，作DQ EP⊥于点Q，则10CD PQ==，2390∠+∠=︒.∵190θ∠+∠=︒，且12∠=∠，∴33750'θ∠=∠=︒，则sin3120sin3750'EQ DE=∠=︒g g，∴120sin3750'1083.2AB EP EQ PQ==+=︒+≈g(cm).(2)如图12③，延长ED，BC交于点K，由(1)知360Kθ∠=∠=∠=︒.在Rt CDK∆中，tanCDCKK==∠在Rt KGF∆中，sinGFKFK===∠，则CF KF KC=-===，即为所求.评注:正确添加辅助线构造直角三角形，善于从复杂的图形中找出可用的简单图形和数量关系，是顺利解题的先决条件.考点6其他创新题型例14 (2017·嘉兴)如图13，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得1tan1BAC∠=，21tan3BA C∠=，31tan7BA C∠=，计算4tan BA C∠=，…按此规律，写出tannBA C∠=(用含n的代数式表示).解析:如图13，过点C作4CE A B⊥于E，易得441A BC BA A∠=∠，∴4411tan tan4A BC BA A∠=∠=.在Rt BCE∆中，由41tan4A BC∠=，得4BE CE=，而1BC=，则CE=BE=而4A B==∴44A E AB BE=-=在4Rt A EC∆中，441tan13CEBA CA E∠==.又∵11tan1101BAC∠==⨯+，211tan3211BA C∠==⨯+，31tan 7BA C ∠= 1321=⨯+， 411tan 13431BA C ∠==⨯+，…， 由此规律，不难得出211tan (1)11n BA C n n n n ∠==⨯-+-+故答案为113，211n n -+. 评注:本题属于规律探究型问题，需运用定义，求出锐角三角函数的值，并结合已知数值，探求数字规律，现在的问题是，题目中与求解关联度很高的三角形都是斜三角形，需要“遇斜化直”，引垂线构造直角三角形，综合运用其中的边角关系解决问题.例15 (2017·福建)小明在某次作业中得到如下结果:2222sin 7sin 830.120.990.9945︒+︒≈+= 2222sin 22sin 680.370.93 1.0018︒+︒≈+= 2222sin 29sin 610.480.870.9873︒+︒≈+= 2222sin 37sin 530.600.80 1.0000︒+︒≈+=2222sin 45sin 45((122︒+︒=+= 据此，小明猜想:对于任意锐角α，均有22sin sin (90)1αα+︒-=. (1)当30α=︒时，验证22sin sin (90)1αα+︒-=是否成立;(2)小明的猜想是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请举出一个反例.解:(1)当30α=︒时，22sin sin (90)αα+︒-22sin 30sin 60=︒+︒221()2=+ 1=∴22sin sin (90)1αα+︒-=成立.(2)小明的猜想成立，证明如下:如图14，在ABC ∆中，90C ∠=︒，设A α∠=，则90B α∠=︒- ∴22sin sin (90)αα+︒-22()()BC AC AB AB=+ 222BC AC AB +=22AB AB=1= 评注:本题属于归纳猜想型问题，证明猜想的思路是，回到锐角三角函数的定义，在直角三角形中，借助勾股定理进行推证.本例的结论揭示了直角三角形中两个互余锐角的同名函数(正弦、余弦)之间存在的一种平方关系，它又可表述为22sin cos 1αα+=，这是一个非常有用的结论. 【中考演练】1.(2017·烟台)在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2AB =，BC =，则sin2A= . 2.(2016·陕西)已知抛物线223y x x =--+与x 轴交于,A B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接,AC BC ，则tan CAB ∠的值为( )A.12B. C. D. 23.(2017·衢州)计算:0(1)2tan 60π+⨯--︒.4.(2017·台州)如图15是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙MN 平行且距离为0.8米，已知小汽车车门AO 宽为1.2米，当车门打开角度AOB ∠为40︒时，车门是否会碰到墙?请说明理由.(参考数据:sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈)图 155.(2017·宜宾)如图16，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A ，又在河的另一岸边取两点B ，C ，测得30α∠=︒，45β∠=︒，量得BC 长为100米，求河的宽度(结果保留根号).6.(2017·黔东南州)如图17，某校教学楼AB 后方有一斜坡，已知斜坡CD 的长为12米，坡角α为60º，根据有关部门的规定，39α∠≤︒时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD 进行改造，在保持坡脚C 不动的情况下，学校至少要把坡顶D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全?(结果取整数)(参考数据:sin390.63︒≈，cos390.78︒≈，tan390.81︒≈ 1.41≈ 1.73≈ 2.24≈)7.(2017·河南)如图18所示，我国两艘海监船,A B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C .此时，B 船在A 船的正南方向5海里处，A 船测得渔船C 在其南偏东45º方向，B 船测得渔船C 在其南偏东53º方向.已知A 船的航速为30海里/时，B 船的航速为25海里/时，问C 船至少要等待多长时间才能得到救援?(参考数据: 4sin 535︒≈，3cos535︒≈，4tan 533︒≈)8. ( 2017·常德)图19和图20分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座0.60BC =米，底座BC 与支架AC 所成的角75ACB ∠=︒，支架AF 的长为2.50米，篮板顶端F 点到篮筐D 的距离 1.35FD =米，篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角60FHE ∠=︒，求篮筐D 到地面的距离(精确到0.01米).(参考数据:cos750.2588︒≈，sin750.9659︒≈，tan75 3.732︒≈ 1.732≈ 1.414≈)图 19 图 209.(2017·舟山)如图21是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD )靠墙摆放，高80AD =cm ，宽48AB =cm ，小强身高166cm ，下半身100FG =cm ，洗漱时下半身与地面成80︒ (80FGK ∠=︒)，身体前倾成125︒(125EFG ∠=︒)，脚与洗漱台距离15GC = cm(点,,,D C G K 在同一直线上).(1)此时小强头部E 点与地面DK 相距多少？(2)小强希望他的头部E 恰好在洗漱盆AB 的中点O 的正上方，他应向前进或后退多少?(sin800.98︒≈，cos800.18︒≈ 1.41≈，结果精确到0.1)10. (2017年赤峰)如图22，在ABC ∆中，设A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，会有sin AD C AC =，则12ABC S BC AD ∆=g 11sin sin 22BC AC C ab C ==g ，即1sin 2ABC S ab C ∆=. 艺同理，1sin 2ABC S bc A ∆=，1sin 2ABC S ac B ∆=.通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理一余弦定理:如图23，在ABC ∆中，若A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，则2222cos a b c bc A =+-， 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题:(1)如图24，在D E F∆中，60F ∠=︒，D ∠，E ∠的对边分别是3和8.求DEF S ∆和2DE .1sin 2DEF S EF DF F ∆==g ;2222cos DE EF DF EF DF F =+-=g .(2)如图25，在ABC ∆中，已知AC BC >，60C ∠=︒，'ABC ∆，'BCA ∆，'ACB ∆分别是以AB ，BC ，AC 为边长的等边三角形，设ABC ∆，'ABC ∆，'BCA ∆，'ACB ∆的面积分别为1234,,,S S S S ，求证:1234S S S S +=+.答案:1. 122. D3.0(1)2tan 60π+⨯--︒122=⨯-=4. 依题意，过A 作AC OB ⊥于点C ， 在Rt AOC ∆中，40AOC ∠=︒， ∴sin 40ACOA︒=. ∵ 1.2OA =，∴sin 40 1.20.640.768AC OA =︒≈⨯=(米). ∵0.7680.8AC =<， ∴车门不会碰到墙.5.过点A 作AD BC ⊥于点D . ∵45β∠=︒，90ADC ∠=︒， ∴AD CD =.设AD CD x ==m ，则tan 30100x x ︒==+，解得1)x =.答：(略)6.如图27，假设点D 移到'D 的位置时，恰好39α∠=︒，过点D 作DE AC ⊥于点E ，作''D E AC ⊥于点'E .∵ 1.2CD =米，60DCE ∠=︒，∴sin 6012DE CD =︒==米)， 1cos601262CE CD =︒=⨯=(米). ∵DE AC ⊥，''D E AC ⊥，'//'DD CE ， ∴四边形''DEE D 是矩形.∴''DE D E ==米) ∵''39D CE ∠=︒，∴'''12.8tan 39D E CE =≈≈︒，∴''12.86 6.8EE CE CD =-=-=(米). 答:(略).7. 过点C 作CD AB ⊥交AB 的延长线于点D ， 则90CDA ∠=︒.已知45CAD ∠=︒，设CD x =， 则AD CD x ==.∴5BD AD AB x =-=-.在Rt BDC ∆中，tan53CD BD =︒g ， 即(5)tan 53x x =-︒g ，∴455tan 533204tan 53113x ⨯︒=≈=︒--. ∴20254sin 53sin 535CD x BC ==≈=︒︒∴B 船到达C 船处约需时间:25251÷=(小时).在Rt ADC ∆中，AC ==，0.9430=. 故C 船至少要等待0.94小时才能得到救援.8.如图28，过点E 作EP BC ⊥于P ，过点A 作AQ FP ⊥于Q . 在Rt ABC ∆中，∵tan ABACB CB∠=∴tan750.60 3.732 2.239AB CB =︒≈⨯=g (米)，易知四边形ABPQ 是矩形. ∴ 2.239PQ =米.又∵HE FP ⊥，AQ FP ⊥， ∴//HE AQ ，60FAQ FHE ∠=∠=︒. 在Rt FAQ ∆中，sin FQFAQ FA∠=，∴ 2.50 2.165FQ =≈(米). ∴ 2.165 1.350.815DQ FQ FD =-=-=(米)，0.815 2.239 3.05DP DQ PQ =+=+≈(米).答:(略).9.(1)如图29，过点F 作FN DK ⊥于点N ，过点E 作EM FN ⊥于点M . ∵166,100EF FG FG +==， ∴66EF =.∵80FGK ∠=︒，∴100sin8098FN =︒≈. 又∵125EFG ∠=︒，∴1801251045EFM ∠=︒-︒-︒=︒.∴66cos 4546.53FM =︒=≈.∴144.5MN FN FM =+≈.故此时小强头部E 点与地面DK 相距约144.5 cm.(2)如图29，过点E 作EP AB ⊥于点P ，延长OB 交MN 于点H . ∵48AB =，O 为AB 的中点， ∴24AO BO ==.∵66sin 4546.53EM =︒≈，即46.53PH ≈，100cos8018GN =︒≈，15CG =， ∴24151857OH =++=，5746.5310.4710.5OP OH PH =-=-=≈. 故小强应向前讲约10.5 cm.10.(1)在DEF ∆中，60F ∠=︒，D ∠，E ∠的对边分别是3和8，∴11sin 38sin 6022DEF S EF DF F ∆==⨯⨯⨯︒=g 222222cos 38238cos6049DE EF DF EF DF F =+-=+-⨯⨯︒=g(2)证明:如题图25， ∵60C ∠=︒，∴222222cos60AB AC BC AC BC AC BC AC BC =+-︒=+-g g ， 即222AB AC BC AC BC =+-g两边同乘以告1sin 602︒， 得2221111sin 60sin 60sin 60sin 602222AB AC BC AC BC ︒=︒+︒-︒g ， 即2221111sin 60sin 60sin 60sin 602222AC BC AB AC BC ︒+︒=︒+︒g . 又∵'ABC ∆，'BCA ∆，'ACB ∆都是等边三角形，∴11sin 602S AC BC =︒g221sin 602S AB =︒，231sin 602S BC =︒，241sin 602S AC =︒，故1234S S S S +=+.。
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2018中考数学试题分类汇编：考点37锐角三角函数和解直角三角形一．选择题（共15小题）1．（2018•柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB==（）A．B．C．D．【分析】首先利用勾股定理计算出AB长，再计算sinB即可．【解答】解：∵∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB=5，∴sinB==，故选：A．2．（2018•孝感）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sinA等于（）A．B．C．D．【分析】先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，∴BC===6，∴sinA===，故选：A．3．（2018•大庆）2cos60°=（）A．1 B．C．D．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案．【解答】解：2cos60°=2×=1．故选：A．4．（2018•天津）cos30°的值等于（）A．B．C．1 D．【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．【解答】解：cos30°=．故选：B．5．（2018•贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC的值为（）A．B．1 C．D．【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．【解答】解：连接BC，由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，则tan∠BAC=1，故选：B．6．（2018•金华）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A．B．C．D．【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；【解答】解：在Rt△ABC中，AB=，在Rt△ACD中，AD=，∴AB：AD=： =，故选：B．7．（2018•宜昌）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（）A．100sin35°米B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度．【解答】解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．故选：C．8．（2018•威海）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是（）A．当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3mB．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势C．小球落地点距O点水平距离为7米D．斜坡的坡度为1：2【分析】求出当y=7.5时，x的值，判定A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出抛物线与直线的交点，判断C，根据直线解析式和坡度的定义判断D．【解答】解：当y=7.5时，7.5=4x﹣x2，整理得x2﹣8x+15=0，解得，x1=3，x2=5，∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5侧面cm，A错误，符合题意；y=4x﹣x2=﹣（x﹣4）2+8，则抛物线的对称轴为x=4，∴当x＞4时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，不符合题意；，解得，，，则小球落地点距O点水平距离为7米，C正确，不符合题意；∵斜坡可以用一次函数y=x刻画，∴斜坡的坡度为1：2，D正确，不符合题意；故选：A．9．（2018•淄博）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（）A．B．C．D．【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15，然后利用计算器求锐角α．【解答】解：sinA===0.15，所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为故选：A．10．（2018•重庆）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米，升旗台坡面CD的坡度i=1：0.75，坡长CD=2米，若旗杆底部到坡面CD 的水平距离BC=1米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6）A．12.6米B．13.1米C．14.7米D．16.3米【分析】如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．在Rt △CDJ中求出CJ、DJ，再根据，tan∠AEM=构建方程即可解决问题；【解答】解：如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．在Rt△CJD中， ==，设CJ=4k，DJ=3k，则有9k2+16k2=4，∴k=，∴BM=CJ=，BC=MJ=1，DJ=，EM=MJ+DJ+DE=，在Rt△AEM中，tan∠AEM=，∴1.6=，解得AB≈13.1（米），故选：B．11．（2018•重庆）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（）A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=，构建方程即可解决问题；【解答】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵==，设CN=4k，DN=3k，∴CD=10，∴（3k）2+（4k）2=100，∴k=2，∴CN=8，DN=6，∵四边形BMNC是矩形，∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，tan24°=，∴0.45=，∴AB=21.7（米），故选：A．12．（2018•长春）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（）A．800sinα米B．800tanα米C．米D．米【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题；【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，∴tanα=，∴AB==．故选：D．13．（2018•香坊区）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120米，这栋楼的高度BC为（）A．160米B．（60+160）C．160米 D．360米【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，然后利用三角函数求解即可求得答案．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，在Rt△ABD中，BD=AD•tan30°=120×=40（m），在Rt△ACD中，CD=AD•tan60°=120×=120（m），∴BC=BD+CD=160（m）．故选：C．14．（2018•绵阳）一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（）（结果保留小数点后两位）（参考数据：≈1.732，≈1.414）A．4.64海里B．5.49海里C．6.12海里D．6.21海里【分析】根据题意画出图形，结合图形知∠BAC=30°、∠ACB=15°，作BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°，设BD=x，则AB=BE=CE=2x、AD=DE=x，据此得出AC=2x+2x，根据题意列出方程，求解可得．【解答】解：如图所示，由题意知，∠BAC=30°、∠ACB=15°，作BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°，则∠BED=30°，BE=CE，设BD=x，则AB=BE=CE=2x，AD=DE=x，∴AC=AD+DE+CE=2x+2x，∵AC=30，∴2x+2x=30，解得：x=≈5.49，故选：B．15．（2018•苏州）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B 处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（）A．40海里B．60海里C．20海里D．40海里【分析】首先证明PB=BC，推出∠C=30°，可得PC=2PA，求出PA即可解决问题；【解答】解：在Rt△PAB中，∵∠APB=30°，∴PB=2AB，由题意BC=2AB，∴PB=BC，∴∠C=∠CPB，∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°，∴∠C=30°，∴PC=2PA，∵PA=AB•tan60°，∴PC=2×20×=40（海里），故选：D．二．填空题（共17小题）16．（2018•北京）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC ＞∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）【分析】作辅助线，构建三角形及高线NP，先利用面积法求高线PN=，再分别求∠BAC、∠DAE的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断．【解答】解：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，S△ANH=2×2﹣﹣×1×1=AH•NP，=PN，PN=，Rt△ANP中，sin∠NAP====0.6，Rt△ABC中，sin∠BAC===＞0.6，∵正弦值随着角度的增大而增大，∴∠BAC＞∠DAE，故答案为：＞．17．（2018•滨州）在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB= ．【分析】直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：如图所示：∵∠C=90°，tanA=，∴设BC=x，则AC=2x，故AB=x，则sinB===．故答案为：．18．（2018•泰安）如图，在△ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF 的面积为S，则S与x之间的函数关系式为S=x2．【分析】可在直角三角形CED中，根据DE、CE的长，求出△BED的面积即可解决问题．【解答】解：（1）在Rt△CDE中，tanC=，CD=x∴DE=x，CE=x，∴BE=10﹣x，∴S△BED=×（10﹣x）•x=﹣x2+3x．∵DF=BF，∴S=S△BED=x2，故答案为S=x2．19．（2018•无锡）已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于15或10．【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得．【解答】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，在Rt△ACD中，∵AC=2，∴CD===，则BC=BD+CD=6，∴S△ABC=•BC•AD=×6×5=15；②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知，BD=5，CD=，则BC=BD﹣CD=4，∴S△ABC=•BC•AD=×4×5=10．综上，△ABC的面积是15或10，故答案为15或10．20．（2018•香坊区）如图，在△ABC中，AB=AC，tan∠ACB=2，D在△ABC内部，且AD=CD，∠ADC=90°，连接BD，若△BCD的面积为10，则AD的长为5．【分析】作辅助线，构建全等三角形和高线DH，设CM=a，根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC和AM的长，根据三角形面积表示DH的长，证明△ADG≌△CDH（AAS），可得DG=DH=MG=，AG=CH=a+，根据AM=AG+MG，列方程可得结论．【解答】解：过D作DH⊥BC于H，过A作AM⊥BC于M，过D作DG⊥AM于G，设CM=a，∵AB=AC，∴BC=2CM=2a，∵tan∠ACB=2，∴=2，∴AM=2a，由勾股定理得：AC=a，S△BDC=BC•DH=10，=10，DH=，∵∠DHM=∠HMG=∠MGD=90°，∴四边形DHMG为矩形，∴∠HDG=90°=∠HDC+∠CDG，DG=HM，DH=MG，∵∠ADC=90°=∠ADG+∠CDG，∴∠ADG=∠CDH，在△ADG和△CDH中，∵，∴△ADG≌△CDH（AAS），∴DG=DH=MG=，AG=CH=a+，∴AM=AG+MG，即2a=a++，a2=20，在Rt△ADC中，AD2+CD2=AC2，∵AD=CD，∴2AD2=5a2=100，∴AD=5或﹣5（舍），故答案为：5．．21．（2018•眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD= 2 ．【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．【解答】解：如图，连接BE，∵四边形BCEK是正方形，∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，∴BF=CF，根据题意得：AC∥BK，∴△ACO∽△BKO，∴KO：CO=BK：AC=1：3，∴KO：KF=1：2，∴KO=OF=CF=BF，在Rt△PBF中，tan∠BOF==2，∵∠AOD=∠BOF，∴tan∠AOD=2．故答案为：222．（2018•德州）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是．【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：∵AB2=32+42=25、AC2=22+42=20、BC2=12+22=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，则sin∠BAC==，故答案为：．23．（2018•齐齐哈尔）四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD= 17 ．【分析】作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，根据正切的定义分别求出AH、BH，根据勾股定理求出HD，得到BD，根据勾股定理计算即可．【解答】解：作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，∵tan∠ABD=，∴=，设AH=3x，则BH=4x，由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，解得，x=4，则AH=12，BH=16，在Rt△AHD中，HD==5，∴BD=BH+HD=21，∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCH+∠CBD=90°，∴∠ABD=∠CBH，∴=，又BC=10，∴BG=6，CG=8，∴DG=BD﹣BG=15，∴CD==17，故答案为：17．24．（2018•广州）如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC= ．【分析】根据直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵旗杆高AB=8m，旗杆影子长BC=16m，∴tanC=，故答案为：25．（2018•枣庄）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为 6.2 米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米），答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．故答案为：6.2．26．（2018•广西）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是40m（结果保留根号）【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD，再利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：由题意可得：∠BDA=45°，则AB=AD=120m，又∵∠CAD=30°，∴在Rt△ADC中，tan∠CDA=tan30°==，解得：CD=40（m），故答案为：40．27．（2018•宁波）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为1200（﹣1）米（结果保留根号）．【分析】在Rt△ACH和Rt△HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．【解答】解：由于CD∥HB，∴∠CAH=∠ACD=45°，∠B=∠BCD=30°在Rt△ACH中，∵∴∠CAH=45°∴AH=CH=1200米，在Rt△HCB，∵tan∠B=∴HB====1200（米）．∴AB=HB﹣HA=1200﹣1200=1200（﹣1）米故答案为：1200（﹣1）28．（2018•黄石）如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、E在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是100（1+）米．（结果保留根号）【分析】如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在Rt△ACD中利用正切定义可计算出AD=100，在Rt△BCD中利用等腰直角三角形的性质得BD=CD=100，然后计算AD+BD 即可．【解答】解：如图，∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，∴∠A=60°，∠B=45°，在Rt△ACD中，∵tanA=，∴AD==100，在Rt△BCD中，BD=CD=100，∴AB=AD+BD=100+100=100（1+）．答：A、B两点间的距离为100（1+）米．故答案为100（1+）．29．（2018•咸宁）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC约为300 m（结果保留整数，≈1.73）．【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD•tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD•tan ∠CAD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可．【解答】解：如图，∵在Rt△ABD中，AD=90，∠BAD=45°，∴BD=AD=110（m），∵在Rt△ACD中，∠CAD=60°，∴CD=AD•tan60°=110×=190（m），∴BC=BD+CD=110+190=300（m）答：该建筑物的高度BC约为300米．故答案为300．30．（2018•天门）我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B 的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+）n mile处，则海岛A，C之间的距离为18n mile．【分析】作AD⊥BC于D，根据正弦的定义、正切的定义分别求出BD、CD，根据题意列式计算即可．【解答】解：作AD⊥BC于D，设AC=x海里，在Rt△ACD中，AD=AC×sin∠ACD=x，则CD=x，在Rt△ABD中，BD=x，则x+x=18（1+），解得，x=18，答：A，C之间的距离为18海里．故答案为：1831．（2018•潍坊）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达．（结果保留根号）【分析】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，通过解直角△AQP、直角△BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角△BMN 求得BM的长度，则易得所需时间．【解答】解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），所以 BQ=PQ﹣90．在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ•tan30°=PQ（海里），所以 PQ﹣90=PQ，所以 PQ=45（3+）（海里）所以 MN=PQ=45（3+）（海里）在直角△BMN中，∠MBN=30°，所以 BM=2MN=90（3+）（海里）所以=（小时）故答案是：．32．（2018•济宁）如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是km．【分析】首先由题意可证得：△ACB是等腰三角形，即可求得BC的长，然后由在Rt△CBD 中，CD=BC•sin60°，求得答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，根据题意得：∠CAD=90°﹣60°=30°，∠CBD=90°﹣30°=60°，∴∠ACB=∠CBD﹣∠CAD=30°，∴∠CAB=∠ACB，∴BC=AB=2km，在Rt△CBD中，CD=BC•sin60°=2×=（km）．故答案为：．三．解答题（共18小题）33．（2018•贵阳）如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：∵sinA=，sinB=∴c=，c=∴=根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．【分析】三式相等，理由为：过A作AD⊥BC，BE⊥AC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义表示出AD，在直角三角形ADC中，利用锐角三角函数定义表示出AD，两者相等即可得证．【解答】解： ==，理由为：过A作AD⊥BC，BE⊥AC，在Rt△ABD中，sinB=，即AD=csinB，在Rt△ADC中，sinC=，即AD=bsinC，∴csinB=bsinC，即=，同理可得=，则==．34．（2018•上海）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．【分析】（1）过A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．【解答】解：（1）作A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC==，AB=5，∴AE=3，BE=4，∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC==；（2）∵DF垂直平分BC，∴BD=CD，BF=CF=，∵tan∠DBF==，∴DF=，在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD==，∴AD=5﹣=，则=．35．（2018•自贡）如图，在△ABC中，BC=12，tanA=，∠B=30°；求AC和AB的长．【分析】如图作CH⊥AB于H．在Rt△求出CH、BH，这种Rt△ACH中求出AH、AC即可解决问题；【解答】解：如图作CH⊥AB于H．在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，∴CH=BC=6，BH==6，在Rt△ACH中，tanA==，∴AH=8，∴AC==10，∴AB=AH+BH=8+6．36．（2018•烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）【分析】先求得AC=PCtan∠APC=87、BC=PCtan∠BPC=21，据此得出AB=AC﹣BC=87﹣21=66，从而求得该车通过AB段的车速，比较大小即可得．【解答】解：在Rt△APC中，AC=PCtan∠AP C=30tan71°≈30×2.90=87，在Rt△BPC中，BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21，则AB=AC﹣BC=87﹣21=66，∴该汽车的实际速度为=11m/s，又∵40km/h≈11.1m/s，∴该车没有超速．37．（2018•绍兴）如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F．已知AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=40cm．（1）窗扇完全打开，张角∠CAB=85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；（2）窗扇部分打开，张角∠CAB=60°，求此时点A，B之间的距离（精确到0.1cm）．（参考数据：≈1.732，≈2.449）【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质可以解答本题；（2）根据锐角三角函数和题意可以求得AB的长，从而可以解答本题．【解答】解：（1）∵AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，∴四边形ACDE是平行四边形，∴AC∥DE，∴∠DFB=∠CAB，∵∠CAB=85°，∴∠DFB=85°；（2）作CG⊥AB于点G，∵AC=20，∠CGA=90°，∠CAB=60°，∴CG=，AG=10，∵BD=40，CD=10，∴CB=30，∴BG==，∴AB=AG+BG=10+10≈10+10×2.449=34.49≈34.5cm，即A、B之间的距离为34.5cm．38．（2018•临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？【分析】过B作BD⊥AC于D，解直角三角形求出AD=xm，CD=BD=xm，得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门，理由是：过B作BD⊥AC于D，∵AB＞BD，BC＞BD，AC＞AB，∴求出DB长和2.1m比较即可，设BD=xm，∵∠A=30°，∠C=45°，∴DC=BD=xm，AD=BD=xm，∵AC=2（+1）m，∴x+x=2（+1），∴x=2，即BD=2m＜2.1m，∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门．39．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈141，≈1.73）【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程．【解答】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°=，BC=80千米，∴CD=BC•sin30°=80×（千米），AC=（千米），AC+BC=80+40≈40×1.41+80=136.4（千米），答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；（2）∵cos30°=，BC=80（千米），∴BD=BC•cos30°=80×（千米），∵tan45°=，CD=40（千米），∴AD=（千米），∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米），∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．40．（2018•白银）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）【分析】过点C作CD⊥AB于点D，利用锐角三角函数的定义求出CD及AD的长，进而可得出结论．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ADC和Rt△BCD中，∵∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640，∴CD=320，AD=320，∴BD=CD=320，BC=320，∴AC+BC=640+320≈1088，∴AB=AD+BD=320+320≈864，∴1088﹣864=224（公里），答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．41．（2018•随州）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质计算DE的长；（2）作AH⊥BC于H，如图2，由于BD=DE=3，则AB=3BD=15，在Rt△ABH中，根据等腰直角三角形的性质可计算出BH=AH=15，然后在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AC的长．【解答】解：（1）∵∠ABC=∠DEB=45°，∴△BDE为等腰直角三角形，∴DE=BE=×6=3．答：最短的斜拉索DE的长为3m；（2）作AH⊥BC于H，如图2，∵BD=DE=3，∴AB=3BD=5×3=15，在Rt△ABH中，∵∠B=45°，∴BH=AH=AB=×15=15，在Rt△ACH中，∵∠C=30°，∴AC=2AH=30．答：最长的斜拉索AC的长为30m．42．（2018•遵义）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．（计算结果精确到0.1m，参考数据sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为11.4 m．（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数解答即可；（2）过点D作DH⊥地面于H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠BAC=64°，AC=5m，∴AB=（m）；故答案为：11.4；（2）过点D作DH⊥地面于H，交水平线于点E，在Rt△ADE中，∵AD=20m，∠DAE=64°，EH=1.5m，∴DE=sin64°×AD≈20×0.9≈18（m），即DH=DE+EH=18+1.5=19.5（m），答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m．43．（2018•资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．【分析】（1）在Rt△ACD中，由AD=可得答案；（2）设AF=x米，则BF=AB+AF=9+x，在Rt△BEF中求得AD=BE==18+x，由cos∠CAD=可建立关于x的方程，解之求得x的值，即可得出AD的长，继而根据CD=ADsin∠CAD求得CD从而得出答案．【解答】解：（1）∵在Rt△ACD中，cos∠CAD=，AC=18、∠CAD=30°，∴AD====12（米），答：此时风筝线AD的长度为12米；（2）设AF=x米，则BF=AB+AF=9+x（米），在Rt△BEF中，BE===18+x（米），由题意知AD=BE=18+x（米），∵CF=10，∴AC=AF+CF=10+x，由cos∠CAD=可得=，解得：x=3+2，则AD=18+（3+2）=24+3，∴CD=ADsin∠CAD=（24+3）×=，则C1D=CD+C1C=+=，答：风筝原来的高度C1D为米．44．（2018•山西）祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．项目内容课题测量斜拉索顶端到桥面的距离测量示意图说明：两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C，分别与桥面交于A，B两点，且点A，B，C在同一竖直平面内．测量数据∠A的度数∠B的度数AB的长度38°28°234米……（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D．解直角三角形求出DC即可；（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D．设CD=x米，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠A=38°．∵，∴．在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠B=28°．∵，∴．∵AD+BD=AB=234，∴．解得x=72．答：斜拉索顶端点C到AB的距离为72米．（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等．（答案不唯一）45．（2018•常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）【分析】作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，则EM=BC，在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在Rt △MEF中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解．【解答】解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示．∵AB=CD，AB+CD=AD=2，∴AB=CD=1．在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°，∴BE=AB•sin∠A≈0.6，AE=AB•cos∠A≈0.8．在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，∴CF=CD•sin∠D≈0.7，D F=CD•cos∠D≈0.7．∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CM，又∵BE=CM，∴四边形BEMC为平行四边形，∴BC=EM，CM=BE．在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，∴EM=≈1.4，∴B与C之间的距离约为1.4米．46．（2018•台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）【分析】作CE⊥BD于F，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，则EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，再计算出∠CAF=28°，则在Rt△ACF中利用正弦可计算出CF，然后计算CF+EF 即可．【解答】解：作CE⊥BD于F，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°，在Rt△ACF中，∵sin∠CAF=，∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23，∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m），答：操作平台C离地面的高度为7.6m．47．（2018•岳阳）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）【分析】（1）构建直角△OMN，求ON的长，相加可得BN的长，即点M到地面的距离；（2）左边根据要求留0.65米的安全距离，即取CE=0.65，车宽EH=2.55，计算高GH的长即可，与3.5作比较，可得结论．【解答】解：（1）如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，Rt△OMN中，∠NOM=60°，OM=1.2，∴∠M=30°，∴ON=OM=0.6，∴NB=ON+OB=3.3+0.6=3.9；即点M到地面的距离是3.9米；（2）取CE=0.65，EH=2.55，∴HB=3.9﹣2.55﹣0.65=0.7，过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P，。