第三章 复变函数的积分习题(2)
复变函数第三章-2
3
由此
f ( z) L z z0 dz
其中
f ( z ) f ( z0 ) f ( z 0 ) dz L z z0 1 f ( z ) f ( z0 ) f ( z0 ) L dz L dz z z0 z z0 f ( z ) f ( z0 ) 2if ( z0 ) L dz z z0
2 dz z 4 z 3
2 i 1 2 i 2 6 i
由平均值公式还可推出解析函数的一个重要性质, 即解析函数的最大模原理。
8
定理3.8 (最大模原理)
设函数 f ( z) 在区域D内解析，又 f ( z) 不是常数，
则在D内 f ( z) 没有最大值。
0
z z0
其实两者是相等的，即
f ( z0 ) 1 z z dz f ( z0 ) z z dz 2if ( z0 ) C C 0 0
f ( z) z z dz 2if ( z0 ) C 0
即有下面的定理。1
定理 (柯西积分公式) 设f(z)在简单闭曲线C所围成的区
解析函数的最大模原理说明：一个解析函数的模, 在区域内
的任何一点都达不到最大值, 除非这个函数恒等于常数。
f ( z) M。若 M ，则定理结论成立. [证] 记 max zD 现设 M ，用反证法，若D内有一点 z 0 使 f ( z0 ) M ，
则由推论1(平均值公式)，只要圆盘 | z z0 | R 含于D， 就成立着 于是
复变函数与积分变换答案(马柏林、李丹横、晏华辉)修订版,习题2
y
v ex ( y cos y x sin y) ex (sin y) ex ( y cos y x sin y sin y) x
v ex (cos y y( sin y ) x cos y) ex (cos y y sin y x cos y ) y
所以 u
v ,
u
v
xy
y
x
所以 f( z)处处可导，处处解析 .
v
xy
y
x
所以 v xv,v源自xyv ,即 u u v v 0
y
xyxy
从而 v 为常数， u 为常数，即 f(z)为常数 .
(3) Ref (z)=常数 .
证明：因为 Ref(z)为常数，即 u=C1, u x
u0 y
因为 f( z)解析， C-R 条件成立。故 u x
u 0 即 u=C2 y
从而 f( z)为常数 .
而 lim u x, y x, y 0,0
x 3 y3
lim
x, y 0,0
x2
y2
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7
—
∵
x3 x2
y3 y2
xy x y 1 x2 y2
∴ 0≤
x3 x2
y3 3 y2 ≤ 2 x
y
x3 y3
∴
lim
x, y 0,0
x2
y2
0
同理
x3
lim
x, y 0,0
x2
y3 y2
0
∴ lim f z 0 f 0 x, y 0,0
证明：因为 f ( z) 0 ，所以 u x
u 0, v
y
x
v 0.
y
所以 u,v 为常数，于是 f(z)为常数 .
第三章复变函数的积分
第三章复变函数的积分3.1 单项选择题3---1设C 是z=e θi ,θ从-π至π的一周，则，⎰Cdz z )Re(=( )(a) -π(B)π(C)- πi (D) πi3---2设C 同3-1题，⎰Cdz z )Im(=( )(A)-π (B) π (C)- πi (D) πi3---3积分曲线C 同上题，则⎰C dz z =( )(A) 0 (B)2π (C)2πi (D)-2πi 3---4设C 为z=eθi ,θ从-2π至2π的一段，则dz z C ⎰=（）(A) i (B)2i (c)-2i (D)-i3---5设C 是z=iy,-1≤y ≤1沿虚轴自上而下的线段，则dz z C⎰=（）（A ）i (B)-i (C)2i (D)-2i 3---6设C 是从z=0到z=1+i 的直线段，则dz z C⎰=()(A)1+i (B)21i + (C)e i 4π- (D)e i 4π3---7设C 是从z=0到z=1再到z=1+i 的折线段，则dz z C⎰=( )(A)21+i(22+iln(1+2)) (B) 21+2i (2+ln(1+2)) (C)21-2i (2+ln(1+2)) (D) 21+2i(2-ln(1+2)) 3---8设C 是从z=0到z=2+i 的线段, 则⎰Cdz z )Re(=( )(A) 2+i (B)2-i (C)1+i/2 (D)1-i/2 3---9设C 是从z=0到z=1再到z=1+i 的折线, 则⎰Cdz z )Re(=( )(A)2 (B)2i (C)2+2i (D)2-2i3---10设C 是z=(1+i)t,t 是从1到2的线段，则⎰Czdz arg =（）(A)4π (B)4πi (C) 4π(1+i) (D)1+i 3---11设C 是z=eθi ,θ从-π至π的一段，则⎰Czdz arg =（ ）（A ）-π-2i (B) -π (C) π+2i (D) π-2i3---12设C 是z=(1-i)t,t 是从1到0的一段, 则⎰C dz z =( )(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i 3---13设C 是z=eθi ,θ从0至2π的一周，则⎰C dz z =( )(A)0 (B)2π(C)-2π (D)2πi3---14设C 是以-1,1和i 三点为顶点的三角形边界，则dz z C⎰=()(A) 2+i (B)1+i (C) –2(1-i) (D)1-i3---15设C 是单位圆=1的上半部分逆时针方向，则dz z C⎰-)1(=( )(A) 2i (B)2 (C) –2i (D)-2 3---16设C 同上题，则⎰-Cdz z )1(=( )(A) 2i-π (B)π-2i (C) π (D) 2i3-17 设C 是单位圆z=ei θ， 从2π 至0，则dz z C⎰-1 =（）（A ）4 （B ）-4 （C ）8 （D ）-8 3-18 设C 是z=ei θ一周正向,则dz Cz ⎰2=( )(A) 2 (B)-2 (C)2i(D)03-19 设C 是单位圆1=z 正向一周,则=⎰dz z C( )(A)0(B)π2i (C)π2-i (D)π23-20 设C 是z=0到z=1+I 的直线段,则(=⎰dz Cze )(A)0 (B)()121--eii (C)()11--e ii (D)()eii --113-21 设C 为简单闭曲线正向,S 为C 所围成区域的面积,则=⎰dz z C ( )(A)2S (B-2S (C)2Si (D)-2Si3-22 C 为简单闭曲线,D 为C 所围区域,S 表示此区域的面积,则()dz z C⎰Im =( )(A)S (B)-S (C)Si (D)-Si 3-23 C 为简单闭曲线,D 为C 所围区域,S 是D 的面积,则()dz z C⎰Re =( )(A)S (B)-S (C)-Si (D)Is3-24 设C 是e i z θ=,θ从0至2π的弧段,则⎰C zdz ln =( ) (A)1-2π-i (B)2π-i (C)1-2π-i (D)1-2π+i3-25 C 是椭圆1422=+yx,则dz z zC⎰+2sin =( )(A)0 (B)-sin2 (c)2sin 2π (D)π2-isin2 3-26 设C 是圆e i z θ21=,则⎰-C z ee zsin dz=( ) (A)sin1 (B)π2i e1sin (C)e i 1sin 2π- (D)03-27⎰=12cos z zdz=( )(A)不存在 （B ）0 （C ）π （D ）π- 3-28⎰=++122z z z dz=( ).(A) 2πi (B)-2πi (C)0 (D)2π 解 z 2+2z+2=0的零点是-1+-i ，故被积函数在z 〈1内无奇点，积点为0. 选（C ） 3-29⎰=+122cos z z zdz=( ).(A)0 (B)-πi ( C)πi (D)2πi解 被积函数在z 〈1内处处解析，故积分为0. 选（A ）3-30 设C 是沿抛物线y=x 2-1,从（-1，0）至（1，0）的弧段，则dz z c⎰+)1sin(=（）。
复变函数的——积分习题二答案
1
直线x − 上可导，在z 平面上处处不解析。
2
∂u 2 ∂u ∂v ∂v 2
----------------------- Page 1-----------------------
习题二解答
1．利用导数定义推出：
1 1
⎛ ⎞ z +∆z z
2 ）⎜ ⎟' lim −lim =− 2
z ∆→z 0 ∆z ∆→z 0 z(z +∆z) z
在z 平面上处处连续，且当且仅当z=0 时，u,v 才满足C-R 条件，故 () 2 2
f z xy +i x y 仅在点z 0
z −1 cz +d
′ 4 ()
解 （1）由于f z 5(z =−1) ，故f z 在z 平面上处处解析。
() ′( )
（1）如果f z 在z0 点连续，那么f z0 存在。
′( ) ( )
（2 ）如果f z0 存在，那么f z 在z0 点解析。
2x 3y ,即 2x ± 3y 0 时，u,v 才满足C-R 条件，故
3 3
f z u =+iv 2x =+3y i 仅在直线 2x ± 3y 0 上可导，在z 平面上处处不解析。
−1
知 () ()
f z 在除去点z ±1外的z 平面上处处可导。处处解析，z ±1是f z 的奇点。
1
----------------------- Page 2-----------------------
ad −bc
f ′z ()
（3）由于 ′( )
f z 2 − 2 2
2 ( )( )
复变函数习题答案第3章习题详解
第三章习题详解1． 沿下列路线计算积分⎰+idz z 302。
1) 自原点至i +3的直线段；解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3()()()⎰⎰+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+131033233023313313i t i dt t i dz z i2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3；解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz =3303323233131=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰t dt t dz z连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz =()()()331031023323313313313-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰+i it idt it dz z i()()()333310230230233133********i i idt it dt t dz z i+=-++=++=∴⎰⎰⎰+ 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。
解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz =()()310312023131i it idt it dz z i=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz =()()()33103102323113131i i i t dt i t dz z ii-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰+()()333332023021313113131i i i i dz z dz z dz z iiii+=-++=+=∴⎰⎰⎰++ 2． 分别沿x y =与2x y =算出积分()⎰++idz iy x102的值。
解：x y = ix x iy x +=+∴22()dx i dz +=∴1()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴⎰⎰+i i x i x i dx ix x i dz iy x i213112131111023102102 2x y = ()22221x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴()()()()()⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴+1104321022131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy xi而()i i i i i 65612121313121311+-=-++=⎪⎭⎫⎝⎛++3． 设()z f 在单连通域B 内处处解析，C 为B 内任何一条正向简单闭曲线。
复-第三章 复变函数的积分 作业题
∫ ∫
x
0 x
v y
px
dx +
y=0
∫
y
0
v dy + c x x
px
0
e dx
∫
y
0
pe
sin y dy + c (cos y 1) + c
1 = ( e px 1) + pe p
px
1 解: u = ( e px 1 ) + pe px (cos y 1 ) + c p 1 1 px px = ( p ) e + pe cos y + c , p p 当 p = ± 1时 u = pe f ( z ) = u + iv = pe
2
7.沿指定曲线的正向计算 下列各积分: ez 1) ∫C z 2 dz , C : z 2 = 1; 解:根据柯西积分公式
∫
C
f (z) dz = 2πif ( z 0 )得 z z0
ez dz = 2πi e z = 2πie 2 ∫C z 2 z = z0 = 2 1 2) 2 ∫C z a 2 dz , C : z a = a; 解:因 a > 0, 被积函数的奇点 : z = a在 C 内, z = a在 C 外,根据柯西积分公式 得
∫
C
it 2π 2e 2π z it dz = ∫ 2ie dt =∫ 2idt =4πi 0 0 z 2
2)C为正向圆周z = 4.由柯西积分公式: f ( z) ∫C z z0 dz = 2πi f ( z0 ) 得∫
C
z z zz 4 dz =∫ dz =∫ dz =∫ dz =8πi z =4 z z z =4 z z z =4 z z
(完整版)《复变函数与积分变换》习题册(2)
第一章 复数与复变函数本章知识点和基本要求掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算; 熟悉复平面、模与辐角的概念;熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式； 了解区域的概念;理解复变函数的概念; 理解复变函数的极限和连续的概念。
一、填空题1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______.2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-,则x = ，y =3、若1231izi i，则z4、若(3)(25)2i i zi,则Re z5、若421iz i i+=-+，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+,则arg z =7复数1z i =-的三角表示式为 ，指数表示式为 .8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为_________________. 9、设i z 21=，i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____。
10、设4i e 2z π=，则Rez=____________. Im()z = 。
z11、。
方程0273=+z 的根为_________________________________。
12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程为 . 13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________.14、复变函数12+-=z z w 的实部=),(y x u _________，虚部=),(y x v _________。
15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线 的内部.16二、判断题（正确打√，错误打⨯）1、复数7613i i +>+. （ ）2、若z 为纯虚数，则z z ≠. （ ）3、若 a 为实常数，则a a = （ ）4、复数0的辐角为0.5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在00(,)x y 点连续。
复变函数习题答案第3章习题详解.docx
第三章习题详解1・沿下列路线计算积分J；' z2dz o1）自原点至3 + i的直线段；解：连接自原点至34-1的直线段的参数方程为：z =（3+》0<r<l dz =（3 + i）dt2）自原点沿实轴至3,再由3铅直向上至3 +八解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：z = t 0</<1 dz = dt3 1=-33 «3连接自3铅直向上至3 +,的参数方程为：z = 3 + ir O<Z<1 dz = idt J J z2dz = £(3 + it)2 idt = -(34-17)3=-(3 + i)3彳" 3 n 3・・・ f z2dz = £t2dt 4- £(3 + it)2id/ = 133 4-1(3 4-1)3 - i33 = |(3 + i)33)自原点沿虚轴至i,再由i沿水平方向向右至3+i。
解：连接自原点沿虚轴至i的参数方程为：z = it 0</<1 dz = idtJ：Z2dz = J；(it)2 idt = | (i/)3= * 尸连接自i沿水平方向向右至3 + i的参数方程为：z = t^i 0<^<1 dz = dtr*edz=jo edz+广eaz=y+敦+厅-|/3=|（1+厅2.分别沿y =兀与y =兀2算出积分J；'（兀2 + iy^dz的值。
解：•/ j = x x2 + iy = x2 + ix ••• dz = (1 + i)dx・・・『(x2 + iy)dz = (1+ (x2 + ix)dx = (1 +•/ y = x2A x2 + iy = x2 4- ix2 = (1 + i)x2:. rfz = (1 + ilx)dxf 衣=［（3+03&二（3+讥♦3+i0=(3 + 厅0 d^ed Z=[\2dt=护而（W 宙討…T + 一 11.1.11 5. i = 1—i3 3 2 26 6/(z) =1 _ 1 z 2+2z + 4~ (z + 2)2在c 内解析，根据柯西一古萨定理,$匹J z 2 + 2z + 4/. £1+，(x 2+ iy)dz = (1 + /)£ * (1 + ilx)dx = (14-彳+ 设/(z)在单连通域〃内处处解析，C 为B 内任何一条正向简单闭曲线。
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i 0
z
sin
zdz
sin
z
z
cos
z
|0i
sin
i
i
cos
i
例3 计算积分I L z cos zdz的值，其中L是右半椭圆
x2 4 y2 - 4 y 0( x 0), 从 z 0 到 z i 的一段弧.
解：f (z) z cos z处处解析，因此积分在复平面上 与路径无关，
i )2 i )2
dz
C2
(z (z
i )2 i )2
dz
2i
(2 1)!
(z
ez i)2
2i
(2 1)!
(z
ez i)2
zi
zi
(1 i)(ei ie i )
2
(1 i)2 (cos1 sin 1) i 2 sin(1 )
z(z 1)2 z(z 1)2 (z 1)2 z(z 1)
1 1 1 (z 1)2 z 1 z
I
C
(
z
e
z
1)2
dz
e z dz C z1
e z dz Cz
(1) 当C 为| z 1 | 1 的正向时, 2
由Cauchy公式和Cauchy定理，得
sin z z 0
0
2) ( 1 2 )dz dz
2 dz
z 4 z 1 z 3
z 4 z 1 z 4 z 3
f ( z )1及2
2i 1 2i 2 6i
例2
计算积分I
L
sin z z2 z
dz,其中L为圆周 z
4的正向。
解 sin z sin z sin z z2 z z 1 z
I
L
sin z
zdz 1
L
sin z
zdz
2 i sin z |z1 2 i sin z |z0
2 i sin1
例3
设C 表圆周x2 y2 3, f (z)
C
3
2 7 z
第三章 柯西积分公式（2）
例1 计算积分
I=
C
1 z2
dz，
其中C为半圆周：z 3, Re z 0, 起点为 3i, 终点为3i.
解法1
C :z
3e i ,
:
,
22
C
1 z2
dz
2 2
3 ie i 9e 2 i
d
1 3
2 2
1.3高阶导数
例1 求下列积分值 C : z r 1
1)
C
cos z
(z 1)5
dz
2)
C
(1
ez z2 )2
dz
解 1)cosz在全平面处处解析
C
cosz
(z 1)5
dz
（521i）! (cosz)(4)
z1
2i ( 4 ) 5 i
1d
,
求f (1 i).
解 3z2 7z 1在全平面上处处解析，
f (z)
C
3
2 7 z
1d
0
2
i
(
3
z
2
7z
1)
z 3 z 3
又
f
'( z )
0
2
i(6z
7)
z 3 z 3
故 f '(1 i) 2 i[6(1 i) 7] 2 (13i 6)
i e i
d
2i 3
解法2
1 z2
在
Re
z
0，z
0上解析,
故
C
1 z2
dz
1 21
z 21
|3i
3i
2i 3
例2 计算下列积分：
i z 2dz i
z3 3
|ii
2i 3
zndz
n
1
1
z n1
|
1 n1
n1 n1
4!
12
2)
(
z
ez 2
1)2
在z
i处不解析.取C1 :
zi
1
C2 : z i 2 C1, C2不相交且在C的内部
C
(1
ez z2
)2
dz
C1
ez (1 z2 )2
dz
C2
ez (1 z2 )2
dz
ez
ez
C1
(z (z
I
i 0
z
cos
zdz
[z
sin
z
cos
z
]
i 0
i sin i cos i 1 e 1 1
1.2 柯西积分公式
例1
求：1)
1
2i
sin z z 4 z
dz
2) （ 1 2 ）dz z 4 z 1 z 3
解
1)
1
2
i
sin z dz z 4 z
I 2 i (e z ) |z1 2 i e z |z1 0 0
(2) 当C 为| z | 2 的正向时, 由Cauchy公式和Cauchy定理，得
I 2 i (e z ) |z1 2 i e z |z1 2 i e z |z0 2 i
2
4
例2 求下列积分值, C : z r 1,
C
ez zn
dz.
n 1, 原式 2i;
n
1, 原式
2i
(n 1)!
例3 计算积分 I
C
ez z(z 1)2
dz，其中C 为
(1) | z 1 | 1 的正向。 2
（2）| z | 2 的正向。
解
1 z ( z 1) 1 1