2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(浙江卷)

浙江文科1.(2012浙江,文1)设全集U ={1,2,3,4,5,6},集合P ={1,2,3,4},Q ={3,4,5},则P ∩(∁U Q )=( ). A .{1,2,3,4,6} B .{1,2,3,4,5} C .{1,2,5}D .{1,2}D 由已知得,∁U Q ={1,2,6},所以P ∩(∁U Q )={1,2}. 2.(2012浙江,文2)已知i 是虚数单位,则3i 1i+-=( ). A .1-2iB .2-iC .2+iD .1+2iD ∵3i 1i +-=(3i)(1i)(1i)(1i)++-+=233i i i 2+++=1+2i ,∴选D .3.(2012浙江,文3)已知某三棱锥的三视图(单位:cm )如图所示,则该三棱锥的体积是( ).A .1 cm 3B .2 cm 3C .3 cm 3D .6 cm 3A 由三视图得,该三棱锥底面面积S =12×2×1=1(cm 2),高为3 cm ,由体积公式,得V =13Sh =13×1×3=1(cm 3).4.(2012浙江,文4)设a ∈R ,则“a =1”是“直线l 1:ax +2y -1=0与直线l 2:x +2y +4=0平行”的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件C l 1与l 2平行的充要条件为a ×2=2×1且a ×4≠-1×1,得a =1,故选C . 5.(2012浙江,文5)设l 是直线,α,β是两个不同的平面,( ). A .若l ∥α,l ∥β,则α∥β B .若l ∥α,l ⊥β,则α⊥β C .若α⊥β,l ⊥α,则l ⊥βD .若α⊥β,l ∥α,则l ⊥βB A 选项中由l ∥α,l ∥β不能确定α与β的位置关系,C 选项中由α⊥β,l ⊥α可推出l ∥β或l ⊂β,D 选项由α⊥β,l ∥α不能确定l 与β的位置关系.6.(2012浙江,文6)把函数y =cos 2x +1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是( ).A y =cos 2x +1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y 1=cos x +1,再向左平移1个单位长度得y 2=cos (x +1)+1,再向下平移1个单位长度得y 3=cos (x +1),故相应图象为A . 7.(2012浙江,文7)设a ,b 是两个非零向量.( ). A .若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB .若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C .若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得b =λaD .若存在实数λ,使得b =λa ,则|a +b |=|a |-|b |C 由|a +b |=|a |-|b |两边平方可得,|a |2+2a ·b +|b |2=|a |2-2|a ||b |+|b |2,即a ·b =-|a ||b |,∴cos <a ,b >=-1,即a 与b 反向,根据向量共线定理,则存在实数λ,使得b =λa.8.(2012浙江,文8)如图,中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M ,N 是双曲线的两顶点.若M ,O ,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( ). A .3B .2CDB 由题意可知椭圆的长轴长2a 1是双曲线实轴长2a 2的2倍,即a 1=2a 2,而椭圆与双曲线有相同的焦点.故离心率之比为21ca c a =12a a =2.9.(2012浙江,文9)若正数x ,y 满足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值是( ). A .245B .285C .5D .6C ∵x +3y =5xy ,∴15y +35x=1.∴3x +4y =(3x +4y )×1=(3x +4y )135y 5x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=3x 5y +95+45+12y 135x5≥+5, 当且仅当3x 5y =12y 5x ,即x =1,y =12时等号成立.10.(2012浙江,文10)设a >0,b >0,e 是自然对数的底数,( ). A .若e a +2a =e b +3b ,则a >b B .若e a +2a =e b +3b ,则a <b C .若e a -2a =e b -3b ,则a >bD .若e a -2a =e b -3b ,则a <bA 考查函数y =e x +2x 为单调增函数,若e a +2a =e b +2b ,则a =b ;若e a +2a =e b +3b ,∴a >b .故选A .11.(2012浙江,文11)某个年级有男生560人,女生420人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本,则此样本中男生人数为 .160 根据分层抽样的特点,此样本中男生人数为560560420+×280=160. 12.(2012浙江,文12)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为的概率是 . 25 五点中任取两点的不同取法共有25C =10种,的情况有4种,故概率为410=25.13.(2012浙江,文13)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是.1120 当i =1时,T =11=1,当i =2时,T =12,当i =3时,T =123=16,当i =4时,T =164=124,当i =5时,T =1245=1120,当i =6时,结束循环,输出T =1120.14.(2012浙江,文14)设z =x +2y ,其中实数x ,y 满足x y 10,x y 20,x 0,y 0,-+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z 的取值范围是.70,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦不等式组表示的可行域如图阴影部分,结合图象知,O 点,C 点分别使目标函数取得最小值、最大值,代入得最小值为0,最大值为72.15.(2012浙江,文15)在△ABC 中,M 是线段BC 的中点,AM =3,BC =10,则AB ·AC= . -16AB ·AC =(AM+MB )·(AM +MC )=2AM +AM ·MC +AM ·MB +MB ·MC =|AM |2+(MB +MC )·AM +|MB ||MC|cos π=9-25=-16.16.(2012浙江,文16)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x ∈[0,1]时,f (x )=x +1,则f 32⎛⎫ ⎪⎝⎭= . 32 f 32⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 322⎛⎫- ⎪⎝⎭=f 12⎛⎫- ⎪⎝⎭=f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=12+1=32.17.(2012浙江,文17)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=.94x2+(y+4)2=2到直线y=x所以y=x2+a到y=x而与y=x,分别是y=x+2与y=x-2,而抛物线y=x2+a开口向上,所以y=x2+a与y=x+2相切,可求得a=94.18.(2012浙江,文18)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b sin A cos B.(1)求角B的大小;(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.解:(1)由b sin A cos B及正弦定理aAsin =bB sin,得sin B B,所以tan B所以B=3.(2)由sin C=2sin A及aAsin =cCsin,得c=2a.由b=3及余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B,得9=a2+c2-ac.所以a c=19.(2012浙江,文19)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2n2+n,n∈N*,数列{b n}满足a n=4log2b n+3,n∈N*.(1)求a n,b n;(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.解:(1)由S n=2n2+n,得当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,a n=S n-S n-1=4n-1.所以a n=4n-1,n∈N*.由4n-1=a n=4log2b n+3,得b n=2n-1,n∈N*.(2)由(1)知a n b n=(4n-1)·2n-1,n∈N*.所以T n=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1,2T n=3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n,所以2T n-T n=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]=(4n-5)2n+5.故T n=(4n-5)2n+5,n∈N*.20.(2012浙江,文20)如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB,AB AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点.(1)证明:①EF∥A1D1;②BA1⊥平面B1C1EF;(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值.(1)证明:①因为C1B1∥A1D1,C1B1⊄平面ADD1A1,所以C1B1∥平面A1D1DA.又因为平面B1C1EF∩平面A1D1DA=EF,所以C1B1∥EF,所以A1D1∥EF.②因为BB1⊥平面A1B1C1D1,所以BB1⊥B1C1.又因为B1C1⊥B1A1,所以B1C1⊥平面ABB1A1,所以B1C1⊥BA1.在矩形ABB 1A 1中,F 是AA 1的中点,tan ∠A 1B 1F =tan ∠AA 1B即∠A 1B 1F =∠AA 1B ,故BA 1⊥B 1F . 所以BA 1⊥平面B 1C 1EF .(2)解:设BA 1与B 1F 交点为H ,连结C 1H.由(1)知BA 1⊥平面B 1C 1EF ,所以∠BC 1H 是BC 1与面B 1C 1EF 所成的角. 在矩形AA 1B 1B 中,ABAA 1=2,得BH.在直角△BHC 1中,BC 1=BH得sin ∠BC 1H =1BH BC所以BC 1与平面B 1C 1EF21.(2012浙江,文21)已知a ∈R ,函数f (x )=4x 3-2ax +a . (1)求f (x )的单调区间;(2)证明:当0≤x ≤1时,f (x )+|2-a |>0. (1)解:由题意得f '(x )=12x 2-2a .当a ≤0时,f '(x )≥0恒成立,此时f (x )的单调递增区间为(-∞,+∞).当a >0时,f '(x )=12x x ⎛+ ⎝,此时函数f (x )的单调递增区间为⎛-∞ ⎝和⎫+∞⎪⎪⎭.单调递减区间为⎡⎢⎣.(2)证明:由于0≤x ≤1,故当a ≤2时,f (x )+|a -2|=4x 3-2ax +2≥4x 3-4x +2.当a >2时,f (x )+|a -2|=4x 3+2a (1-x )-2≥4x 3+4(1-x )-2=4x 3-4x +2.设g (x )=2x 3-2x +1,0≤x ≤1,则g '(x )=6x 2-2=6x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭,于是所以,g (x )min =g ⎝⎭=10.所以当0≤x ≤1时,2x 3-2x +1>0. 故f (x )+|a -2|≥4x 3-4x +2>0.22.(2012浙江,文22)如图,在直角坐标系xOy 中,点P 11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭到抛物线C :y 2=2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t ,1)是C 上的定点,A ,B 是C 上的两动点,且线段AB 被直线OM 平分. (1)求p ,t 的值;(2)求△ABP 面积的最大值.解:(1)由题意知2pt 1,p 51,24=⎧⎪⎨+=⎪⎩得1p ,2t 1.⎧=⎪⎨⎪=⎩(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),线段AB 的中点为Q (m ,m ). 由题意知,设直线AB 的斜率为k (k ≠0).由211222y x ,y x ,⎧=⎨=⎩得(y 1-y 2)(y 1+y 2)=x 1-x 2, 故k ·2m =1.所以直线AB 方程为y -m =12m(x -m ),即x -2my +2m 2-m =0.由22x 2my 2m m 0,y x,⎧-+-=⎨=⎩ 消去x ,整理得y 2-2my +2m 2-m =0,所以Δ=4m -4m 2>0,y 1+y 2=2m ,y 1·y 2=2m 2-m . 从而|AB 211k +|y 1-y 2214m +24m 4m -设点P 到直线AB 的距离为d ,则d 2214m +设△ABP 的面积为S ,则S =12|AB |·d =|1-2(m -m 2)|2m m -.由Δ=4m -4m 2>0,得0<m <1.令u 2m m -0<u ≤12,则S =u (1-2u 2).设S (u )=u (1-2u 2),0<u ≤12,则S '(u )=1-6u 2.由S '(u )=0,得u 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以S (u )max =S ⎝⎭.故△ABP .。