【志鸿优化设计】高考数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数2.5指数与指数函数的图象和性质

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【优化方案】高三数学一轮复习第2章2.5指数与指数函数课件文北师大版

(3)在(－∞，＋ (3)在(－∞，＋∞) ∞)上是增函数上是________ ________ 减函数
课前热身
1 1 7 2 ( ) (1 ) 0 1．(教材习题改编)化简 4 ＋(－2.8) － 9 －2 ＋0.1 的结果为( ) 803 A．100 B. 8 797 403 C. D. 8 4
思考感悟
分数指数幂与根式有何关系？
提示：分数指数幂是根式的另一种写法，二
者可以互化，通常利用分数指数幂进行根式
的运算．
2．指数函数的图像与性质 y＝ a x 图像定义域 R ________ (0，＋∞) __________ a>1 0<a<1
值域
(1)过定点(0,1) (2)当x>0时， (2)当x>0时， y>1 ； 0<y<1当x<0时， _______ y>1 性当x<0时，0<y<1 _______ 质
等问题．
例2
1 x－2 x 已知 2x ＋x≤( ) ，求函数 y＝2 4
2
－2－x 的值域．
【思路点拨】
由y＝2x的单调性可得到关
于 x 的一元二次不等式求得 x 的范围，进而可求得函数y＝2x－2－x的值域．
【解】 2 ⇒x2＋x≤4－2x⇒x2＋3x－4≤0， ⇒－4≤x≤1. 1x －x ∵y＝2 ＝( ) 为 R 上的减函数， 2 －x ∴y＝－2 为 R 上的增函数，－x x ∴y＝2 －2 在[－4,1]上为增函数， 15 3 －x x ∴函数 y＝2 －2 的值域为[－15 ， ]． 16 2
x2 x
1 x 2 2 x x 4－2x ( ) 2 ⇒ ＋x≤2 ， 4

高考数学一轮复习第2章函数与基本初等函数第5讲指数与指数函数课件

a－3 ·b－2 ·a－2 ·b3
(2)原式＝
15
a6 ·b6
＝a－13
－1 2
－1 6
1
·b2
＋13
－56
＝1a．
12/11/2021
解
9
21
7 13 1
1
1
(3)原式＝(a2 a－3 )3 ÷(a－3 a 3 )2 ＝(a3)3 ÷(a2)2
＝a÷a＝1．
1
(4)将 a2
＋a－12
＝3 两边平方，得 a＋a－1＋2＝9，所以 a＋a－1＝7.将 a
m
(1)a n
＝□06 ___n _a_m___(a＞0，m，n∈N*，n＞1)；
1
1
m
(2)a－ n
＝□07 __a_mn___＝□08 __n_a_m__(a＞0，m，n∈N*，n＞1)；
(3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义．
3．有理数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②当 a>1 时，y＝|ax－1|的图象如图 2，而此时直线 y＝2a 不可能与 y＝|ax－1|的图象有两个交点．综上，0<a<12．
12/11/2021
解析
(1)研究指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象要抓住三个特殊点：(1，a)， (0,1)，－1，1a.
(2)与指数函数有关的函数图象问题的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
12/11/2021
[即时训练]
1.化简： 1 a4
a3b23 ab2
1
b2
4a－13
1

高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2 5指数与指数函

高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2 5指数与指数函高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数i2-5指数与指数函.......................................................................... .....................中考数学一轮备考第二章函数概念与基本初等函数i2-5指数与指数函数课时作业理练习基础稳固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.×0＋×－＝________.解析原式＝＝2.答案22．已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．解析∵a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1(舍)．函数f(x)＝3x在r上递增，由f(m)>f(n)，得m>n.答案m>n3．(2021衡水中学演示翻拍)若a＝x，b＝x2，c＝x，则当x>1时，a，b，c的大小关系是________(从小到大)．解析当x>1时，01，c＝x<0，所以c1/7.......................................................................... .....................4.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，给出下列结论：①a>1，b<0；②a>1，b>0；③00；④0其中推论恰当的结论存有________(填上序号)．解析由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0函数f(x)＝ax－b的图象就是在f(x)＝ax的基础上向左位移获得的，所以b<0.答案④5．(2021南京、盐城一模)已知c＝则a，b，c的大小关系是________．解析∵y＝x在r上为减函数，>，∴b，∴a>c，∴b6．(2021南京调研)已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，如果以p(x1，f(x1))，q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)f(x2)＝________.解析∵以p(x1，f(x1))，q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，2/7.......................................................................... .....................∴x1＋x2＝0.又∵f(x)＝ax，∴f(x1)f(x2)＝ax1ax2＝ax1＋x2＝a0＝1.答案17．(2021南通调研)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足用户f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是________．解析由f(1)＝，得a2＝，Champsaura＝或a＝－(舍弃)，即f(x)＝|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，所以f(x)在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增．答案[2，＋∞)8．(2021安徽江南十校联考)已知max(a，b)表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________．解析ex，x≥1，f(x)＝?e|x－2|，x<1.?当x≥1时，f(x)＝ex≥e(x＝1时，挑等号)，当x<1时，f(x)＝e|x－2|＝e2－x>e，因此x＝1时，f(x)存有最小值f(1)＝e.答案e二、答疑题9．已知f(x)＝x3(a>0，且a≠1)．(1)探讨f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．解(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．3/7.......................................................................... .....................对于定义域内任一x，存有f(－x)＝(－x)3＝(－x)3＝(－x)3＝x3＝f(x)．∴f(x)就是偶函数．(2)由(1)知f(x)为偶函数，∴只需探讨x>0时的情况，当x>0时，要使f(x)>0，即x3>0，即为＋>0，即为>0，则ax>1.又∵x>0，∴a>1.因此a>1时，f(x)>0.10．已知定义域为r的函数f(x)＝是奇函数．(1)谋a，b的值；(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.解(1)因为f(x)是定义在r上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，所以f(x)＝.又由f(1)＝－f(－1)言＝－，Champsaura＝2.(2)由(1)言f(x)＝＝－＋.由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f(x)在r上是减函数)．又因为f(x)就是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0等价于f(t2－2t)<4/7.......................................................................... .....................－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)．因为f(x)就是减至函数，由上式求出t2－2t>－2t2＋1，即3t2－2t－1>0，求解不等式只须t＞1或t＜－，故原不等式的边值问题为.能力提升题组(建议用时：20分钟)11．若存有正数x并使2x(x－a)<1设立，则a的值域范围就是________．解析因为2x>0，所以由2x(x－a)<1得a>x－x，令f(x)＝x－x，则函数f(x)在(0，＋∞)上就是增函数，所以f(x)>f(0)＝0－0＝－1，所以a>－1.答案(－1，＋∞)12．已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论：①a<0，b<0，c<0；②a<0，b≥0，c>0；③2－a<2c；④2a＋2c<2.其中一定成立的是________(填序号)．解析。

高考数学一轮复习第二篇函数及其性质专题2.5指数与指数函数练习(含解析)

高考数学一轮复习第二篇函数及其性质专题2.5指数与指数函数练习（含解析）【考试要求】1.通过对有理数指数幂a mn (a >0，且a ≠1；m ，n 为整数，且n >0)、实数指数幂a x(a >0，且a ≠1；x ∈R )含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质； 2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 【知识梳理】 1.根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(n a)n ＝a(a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，n an ＝a ，当n 为偶数时，nan ＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r ＋s；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .3.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x(a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象定义域 R 值域 (0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1【微点提醒】1.画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .2.在第一象限内，指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的图象越高，底数越大. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)4（－4）4＝－4.( )(2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数.( )(4)函数y ＝ax 2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞).( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×【解析】 (1)由于4（－4）4＝444＝4，故(1)错.(2)(－1)24＝4（－1）2＝1，故(2)错.(3)由于指数函数解析式为y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)，故y ＝2x －1不是指数函数，故(3)错.(4)由于x 2＋1≥1，又a ＞1，∴ax 2＋1≥a . 故y ＝ax 2＋1(a ＞1)的值域是[a ，＋∞)，(4)错.【教材衍化】2.(必修1P56例6改编)若函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象经过⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，则f (－1)＝( ) A.1 B.2C. 3D.3【答案】 C【解析】依题意可知a 2＝13，解得a ＝33，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫33x ，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33－1＝ 3. 3.(必修1P59A6改编)某种产品的产量原来是a 件，在今后m 年内，计划使每年的产量比上一年增加p %，则该产品的产量y 随年数x 变化的函数解析式为( ) A.y ＝a (1＋p %)x(0<x <m ) B.y ＝a (1＋p %)x(0≤x ≤m ，x ∈N ) C.y ＝a (1＋xp %)(0<x <m ) D.y ＝a (1＋xp %)(0≤x ≤m ，x ∈N ) 【答案】 B【解析】设年产量经过x 年增加到y 件，则第一年为y ＝a (1＋p %)，第二年为y ＝a (1＋p %)(1＋p %)＝a (1＋p %)2，第三年为y ＝a (1＋p %)(1＋p %)(1＋p %)＝a (1＋p %)3，…，则y ＝a (1＋p %)x(0≤x ≤m 且x ∈N ). 【真题体验】4.(2018·晋中八校一模)设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂，其结果是( )A.a 12 B.a 56 C.a 76 D.a 32【答案】 C 【解析】由题意得a 2a ·3a 2＝a2－12－13＝a 76.5.(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则f (x )( )A.是偶函数，且在R 上是增函数B.是奇函数，且在R 上是增函数C.是偶函数，且在R 上是减函数D.是奇函数，且在R 上是减函数【答案】 B【解析】函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝3－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－3x ＝－f (x )，∴函数f (x )是奇函数.又y ＝3x在R 上是增函数，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数，∴函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是增函数.6.(2019·潍坊检测)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.a <c <b C.b <a <cD.b <c <a【答案】 C【解析】根据指数函数y ＝0.6x在R 上单调递减可得0.61.5<0.60.6<0.60＝1，而c ＝1.50.6>1，∴b <a <c . 【考点聚焦】考点一指数幂的运算【例1】化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)a 3b23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0).【答案】见解析【解析】(1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝a b. 【规律方法】 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【训练1】化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0； (2)56a 13·b －2·(－3a －12b －1) ÷(4a 23·b －3)12. 【答案】见解析【解析】(1)原式＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫641 00015－5223－⎝ ⎛⎭⎪⎫27813－1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫410315×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－52×23－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32313－1＝52－32－1＝0. (2)原式＝－52a －16b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a －16b －3÷(a 13b －23)＝－54a －12·b －23＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.考点二指数函数的图象及应用【例2】 (1)(2019·镇海中学检测)不论a 为何值，函数y ＝(a －1)2x－a2恒过定点，则这个定点的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 (2)若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________. 【答案】 (1)C (2)(0，2)【解析】 (1)y ＝(a －1)2x －a 2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12－2x ，令2x－12＝0，得x ＝－1，故函数y ＝(a －1)2x－a 2恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12.(2)在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图象，如图所示.∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点.∴b的取值范围是(0，2).【规律方法】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.【训练2】 (1)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )A.a>1，b<0B.a>1，b>0C.0<a<1，b>0D.0<a<1，b<0(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________.【答案】(1)D (2)[－1，1]【解析】(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0.(2)画出曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示.由图象得|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].考点三指数函数的性质及应用多维探究角度1 指数函数的单调性【例3－1】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73B.0.6－1>0.62C.0.8－0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1)B (2)(－3，1)【解析】 (1)A 中，∵函数y ＝1.7x在R 上是增函数，2.5<3， ∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，正确； C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. ∵y ＝1.25x在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；D 中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，错误.(2)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7<1，则2－a <8，解之得a >－3，所以－3<a <0. 当a ≥0时，则a <1，0≤a <1.综上知，实数a 的取值范围是(－3，1). 角度2 与指数函数有关的复合函数的单调性【例3－2】 (1)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增加的，则m 的取值范围是______.(2)若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2＋2x ＋3的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，19，则f (x )的单调递增区间是________. 【答案】 (1)(－∞，4] (2)(－∞，－1]。

【优化设计】高考数学(人教版,文科)一轮总复习精品课件：2.5 指数与指数函数(共27张PPT)

=24×14·(-x)8×14·(-y)4×14 =2(-x)2·(-y)=-2x2y. D
7-7-
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解析答案
2.5 指数与指数函数第二章
8-8-
2.函数 y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,则有(
)
A.a=1 或 a=2
B.a=1
C.a=2
D.a>0 且 a≠1
由已知,得 ��2-3a + 3 = 1, �� > 0 且�� ≠ 1,
a3-2b3 a6
考点一考点二考点三误区警示
第二章
2.5 指数与指数函数
-1155-
考点二指数函数的图象与性质的应用
【例 2】 k 为何值时,方程|3x-1|=k 无解?有一解?有两解? 解:函数 y=|3x-1|的图象是由函数 y=3x 的图象向下平移一个单位长度后, 再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的,函数图象如图所示.
5-5-
(2)有理指数幂的运算性质
①aras= ar+s (a>0,r,s∈Q); ②(ar)s= ars (a>0,r,s∈Q); ③(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈Q).
(3)无理指数幂一般地,无理指数幂 aα(a>0,α 是无理数)是一个
指数幂的运算法则同样适用于无理指数幂.
当 x 逐渐增大时,图象逐渐上升
在 R 上递增当 x<0 时, 0<y<1 ; 当 x>0 时, y>1
第二章
2.5 指数与指数函数
基础自测
1.化简4 16x8y4(x<0,y<0)得(

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用 2.5 基本初

§2.5 基本初等函数(Ⅰ)(一)指数函数 1．根式(1)n 次方根：如果x n＝a ，那么x 叫做a 的，其中n ＞1，且n ∈N *.①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个数，负数的n 次方根是一个数，这时a 的n 次方根用符号表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有个，这两个数互为．这时，正数a 的正的n 次方根用符号表示，负的n 次方根用符号表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成．③负数没有偶次方根．④0的n (n ∈N *)次方根是，记作．(2)根式：式子na 叫做根式，这里n 叫做，a 叫做． (3)根式的性质：n 为奇数时，na n＝；n 为偶数时，na n ＝ .2．幂的有关概念及运算(1)零指数幂：a 0＝ .这里a 0. (2)负整数指数幂：a －n＝ (a ≠0，n ∈N *)．(3)正分数指数幂：a mn ＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)．(4)负分数指数幂：a -m n ＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)．(5)0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂． (6)有理指数幂的运算性质 ⎩⎪⎨⎪⎧a r a s＝________（a ＞0，r ，s ∈Q ），（a r ）s＝________（a ＞0，r ，s ∈Q ），（ab ）r ＝________（a ＞0，b >0，r ∈Q ）.(二)对数函数 1．对数(1)对数：如果a x＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的，记作x ＝ .其中a 叫做对数的，N 叫做．(2)两类重要的对数①常用对数：以为底的对数叫做常用对数，并把log 10N 记作； ②自然对数：以为底的对数称为自然对数，并把log e N 记作．注：(i)无理数e ＝2.718 28…； (ii)负数和零没有对数；(iii)log a 1＝，log a a ＝ . (3)对数与指数之间的关系当a ＞0，a ≠1时，a x ＝N x ＝log a N . (4)对数运算的性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： ①log a (MN )＝； ②log a M N＝； ③log a M n＝；一般地，na M m log ＝； (5)换底公式及对数恒等式 ①对数恒等式：Na alog ＝；②换底公式：log a b ＝_________ (a ＞0且a ≠1；c ＞0且c ≠1；b ＞0)．特别地，log a b＝_________.3.对数函数与指数函数的关系对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)与指数函数y＝a x(a>0且a≠1)互为反函数；它们的图象关于直线________对称．(三)幂函数1．幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．几个常用的幂函数的图象与性质自查自纠(一)1．(1)n 次方根 ①正负 na②两相反数 na －n a ±na④0n0＝0(2)根指数被开方数 (3)a |a | 2．(1)1 ≠ (2)1an (3)n a m(4)1na m(5)0 没有意义 (6)a r ＋sa rs a rb r3．R (0，＋∞) (0，1) 增函数减函数 (二)1．(1)对数 log a N 底数真数 (2)①10 lg N ②e ln N (iii)0 1 (3)⇔(4)①log a M ＋log a N ②log a M －log a N ③n log a M nmlog a M (5)①N ②log c b log c a 1log b a2．(0，＋∞) R (1，0) 增函数减函数 3．y ＝x(三)1．y ＝x α2．(1)(0，0)和(1，1) (1，1) (2)增函数减函数log 29×log 34＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4解：log 29×log 34＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4.故选D .(2015·四川)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b＞3”是“log a 3＜log b 3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：由3a ＞3b＞3知，a ＞b ＞1，则log a 3＜log b 3；反过来，设0＜a ＜1，b ＞1，依然有log a 3＜log b 3，但此时3a ＜3b.故选B .设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1，2]B ．[0，2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解：当x ≤1时，21－x≤2⇔1－x ≤1⇔x ≥0，∴0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2⇔log 2x ≥－1⇔x ≥12，∴x >1.综上可知x 的取值范围是[0，＋∞)．故选D .函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为____________．解：根据二次根式和对数函数有意义的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，1－2log 6x ≥0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，log 6x ≤12⇒⎩⎨⎧x ＞0，x ≤6 ⇒0＜x ≤ 6. 故填(0，6]．(2015·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．解：由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f (f (－3))＝0.又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3.故填0；22－3.类型一指数幂的运算(2013·济宁测试)化简下列各式： (1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0；(2)a 43－8a 13b 4b 23＋23ab ＋a 23÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b a 3322×a ×3a 25a ×3a. 解：(1)原式＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫64100015－5223－⎝ ⎛⎭⎪⎫27813－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫410315×⎝ ⎛⎭⎪⎫－52×23－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32313－1＝52－32－1 ＝0.(2)原式＝a 13[（a 13）3－（2b 13）3]（a 13）2＋a 13×（2b 13）＋（2b 13）2÷a 13－2b 13a ×（a ×a 23）12（a 12×a 13）15＝a 13(a 13－2b 13)×a a 13－2b 13×a 56a 16＝a 13×a ×a 23 ＝a 2.【点拨】指数幂的运算应注意：(1)运算的先后顺序；(2)化负数指数幂为正数指数幂；(3)化根式为分数指数幂；(4)化小数为分数．计算：(1)823×100－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34；(2)0.75－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫3212×⎝ ⎛⎭⎪⎫63414＋10(3－2)－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1300－12＋1614.解：(1)原式＝(23)23×(102)－12×(2－2)－3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34 ＝22×10－1×26×⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＝28×110×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝8625.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫312212×⎝ ⎛⎭⎪⎫27414＋10×13－2＋30012＋(24)14＝43×314212×334212－10(3＋2)＋103＋2 ＝43×32－103－20＋103＋2＝－16. 类型二指数型复合函数的定义域和值域求下列函数的定义域和值域．(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x ＋1|； (2)y ＝2x2x ＋1；(3)y ＝4322+--x x .解：(1)定义域为R .因为－|x ＋1|≤0，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x ＋1|≥⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1，所以值域为[1，＋∞)． (2)定义域为R .又因为y ＝2x 2x ＋1＝1－12x ＋1，而0＜12x ＋1＜1，所以－1＜－12x ＋1＜0，则0＜y ＜1，所以值域为(0，1)．(3)令－x 2－3x ＋4≥0，解得－4≤x ≤1，所以函数y ＝4322+--x x 的定义域为[－4，1]．设u ＝－x 2－3x ＋4(－4≤x ≤1)，易得u 在x ＝－32时取得最大值52，在x ＝－4或1时取得最小值0，即0≤u ≤52.所以函数y ＝2u 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤20，252，即函数y ＝4322+--x x 的值域为[1，42]．【点拨】指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的定义域为R ，所以y ＝a f (x )的定义域与f (x )的定义域相同；值域则要用其单调性来求，复合函数的单调性要注意“同增异减”的原则．求下列函数的定义域和值域．(1)y ＝812x －1； (2)y ＝4x ＋2x ＋1＋1；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－6x ＋17. 解：(1)因为2x －1≠0，所以x ≠12，所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠12.令t ＝12x －1，则t ∈R 且t ≠0，所以由y ＝8t(t ∈R ，t ≠0)得y ＞0且y ≠1.所以，原函数的值域是{y |y ＞0且y ≠1}． (2)定义域为R ，因为y ＝4x＋2x ＋1＋1＝(2x )2＋2·2x ＋1＝(2x ＋1)2，且2x＞0.所以y ＝4x＋2x ＋1＋1的值域为{y |y ＞1}．(3)设u ＝x 2－6x ＋17，由于函数u ＝x 2－6x ＋17的定义域是(－∞，＋∞)，故y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－6x ＋17的定义域为(－∞，＋∞)．又函数u ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12u ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫128，又⎝ ⎛⎭⎪⎫12u＞0，故原函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1256. 类型三指数函数的图象及其应用已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b ＝0.其中不可能．．．成立的关系有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解：作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象，然后作直线y ＝m ，y ＝n (0＜m ＜1＜n )．我们很容易得到a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0，即可能成立的为①②⑤，不可能成立的为③④.故选B .【点拨】与指数函数有关的比较大小问题，除了应用函数的单调性外，还用到指数函数图象的“陡峭”程度，也就是函数f (x )增(减)的快慢．(2013·合肥模拟)函数f (x )＝a x －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0解：由图象知f (x )是减函数，∴0＜a ＜1，又由图象在y 轴的截距小于1可知a －b＜1，即－b ＞0，∴b ＜0.故选D .类型四指数函数的综合问题(2015·北京)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ＜1，4（x －a ）（x －2a ），x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．解：(1)a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1， x ＜1，4（x －1）（x －2），x ≥1.当x ＜1时，f (x )∈(－1，1)，f (x )无最小值；当x ≥1时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32为减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞为增函数，当x ＝32时，f (x )取得最小值为－1.(2)①若函数g (x )＝2x－a 在x <1时与x 轴有一个交点，则a >0，并且当x ＝1时，g (1)＝2－a >0，则0<a <2；此时函数h (x )＝4(x －a )(x －2a )与x 轴只有一个交点，所以2a ≥1且a <1，则12≤a <1.综合得12≤a ＜1.②若函数g (x )＝2x－a 与x 轴有无交点，则函数h (x )＝4(x －a )(x －2a )与x 轴有两个交点．当a ≤0时，g (x )与x 轴无交点，h (x )＝4(x －a )(x －2a )在[1，＋∞)与x 轴也无交点，不合题意；当g (1)＝2－a ≤0时，a ≥2，h (x )与x 轴有两个交点，其横坐标为x ＝a 和x ＝2a ，由于a ≥2，两交点横坐标均满足x ≥1，符合题意．综合①②可得a 的取值范围为12≤a <1或a ≥2.故填－1；⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)．【点拨】解决指数函数的综合问题，首先要熟练掌握指数函数的基本性质，如函数值恒正，在R 上单调，过定点等．本题是指数函数与二次函数的综合问题，由于涉及分段函数的零点个数，故以分段函数在各段上的零点个数为标准，借助函数图象，分类讨论求解．已知函数f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当x ＜0时，f (x )＝0；当x ≥0时，f (x )＝2x－12x .由条件可知2x －12x ＝2，即22x －2·2x －1＝0，解得2x＝1± 2.∵2x ＞0，∴2x＝1＋2，即x ＝log 2(1＋2)．(2)当t ∈[1，2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，∵2t ＞0，两边同乘以2t ，即得m (22t －1)≥－(24t－1)． ∵22t－1＞0，∴m ≥－(22t＋1)．∵t ∈[1，2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]，故m 的取值范围是[－5，＋∞)．类型五对数的化简与求值(1)计算log 535＋2log 122－log 5150－log 514的值．(2)计算(log 2125＋log 425＋log 85)(log 1258＋log 254＋log 52)的值．(3)(2015·江苏模拟)设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg z4lg x＋lg zlg y的最小值为________．解：(1)原式＝log 535×5014＋2log 12212＝log 553－1＝2.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log 25＋log 25＋13log 25(log 52＋log 52＋log 52)＝133log 25×3log 52＝13. (3)因为x ，y ，z 均为大于1的实数，所以lg x >0，lg y >0，lg z >0，又由z 为x 和y 的等比中项，可得z 2＝xy .lg z 4lg x ＋lg z lg y ＝lg z ×4lg x ＋lg y 4lg x ×lg y ＝12lg xy ×4lg x ＋lg y 4lg x ×lg y＝()lg x ＋lg y ()4lg x ＋lg y 8lg x ×lg y ＝4()lg x 2＋5lg x ×lg y ＋()lg y 28lg x ×lg y ≥9lg x ×lg y 8lg x ×lg y ＝98.故填98.【点拨】对数式的化简、求值问题，要注意对数运算性质的逆向运用，但无论是正向还是逆向运用都要注意对数的底数须相同．(1)计算(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25的值；(2)计算(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)的值；(3)(2015·河南模拟)设函数f 1(x )＝x ，f 2(x )＝log 2015x ，a i ＝i2015(i ＝1，2，…，2015)，记I k ＝|f k (a 2)－f k (a 1)|＋|f k (a 3)－f k (a 2)|＋…＋|f k (a 2015)－f k (a 2014)|，k ＝1，2，则( )A ．I 1＜I 2B ．I 1＝I 2C ．I 1＞I 2D ．I 1与I 2的大小关系无法确定解：(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg2lg3＋lg2lg9⎝ ⎛⎭⎪⎫lg3lg4＋lg3lg8 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg2lg3＋lg22lg3⎝ ⎛⎭⎪⎫lg32lg2＋lg33lg2 ＝3lg22lg3×5lg36lg2＝54. (3)∵f 1(a i ＋1)－f 1(a i )＝i ＋12015－i 2015＝12015，∴I 1＝|f 1(a 2)－f 1(a 1)|＋|f 1(a 3)－f 1(a 2)|＋…＋|f 1(a 2015)－f 1(a 2014)|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12015×2014＝20142015.∵f 2(a i ＋1)－f 2(a i )＝log 2015i ＋12015－log 2015i 2015＝log 2015i ＋1i＞0，∴I 2＝|f 2(a 2)－f 2(a 1)|＋|f 2(a 3)－f 2(a 2)|＋…＋|f 2(a 2015)－f 2(a 2014)| ＝log 2015⎝ ⎛⎭⎪⎫21×32×…×20152014＝log 20152015＝1.∴I 1＜I 2.故选A .类型六对数函数图象的应用(2015·河北模拟)已知函数f (x )＝|log 2x |，0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若函数f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m 2＝( )A.14B. 2C.32D.12解：作出函数f (x )＝|log 2x |的图象如图．由题意可得0＜m ＜1＜n ，∴0＜m 2＜m ，结合图象可知函数f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)，则有－log 2m 2＝2，m 2＝2－2＝14.故选A .【点拨】先画出对数函数y ＝log 2x 的图象，再利用图象变换得到函数f (x )＝|log 2x |的图象，通过分析函数图象对应的函数性质，比较函数值大小．当0<x ≤12时，4x<log a x ，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2)解：构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的大致图象(易判断0＜a ＜1)．由图可知，若g (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则a ＝22，所以在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上log a x ＞log 22x (0＜a ＜1)即可，易得22＜a ＜1，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.故选B . 类型七对数函数性质的应用(2013·全国课标Ⅱ)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >bD ．a >b >c解：a ＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，所以a －1＝1log 23，b －1＝1log 25，c －1＝1log 27，∵y ＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数．∴0<log 23<log 25<log 27，∴1log 23>1log 25>1log 27，∴a －1>b －1>c －1>0，故a >b >c >1.故选D . 【点拨】比较大小问题是高考的常考题型，应熟练掌握比较大小的基本方法：①作差(商)法；②函数单调性法；③介值法(特别是以0和1为媒介值)．利用对数函数单调性比较大小的基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫340.5，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫430.4，c ＝log 34(log 34)，则( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．c <a <bD ．a <c <b解：∵0<⎝ ⎛⎭⎪⎫340.5<⎝ ⎛⎭⎪⎫340＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫430.4>⎝ ⎛⎭⎪⎫430＝1， log 34(log 34)<log 34(log 33)＝0，即0＜a ＜1，b ＞1，c ＜0， ∴c <a <b .故选C .类型八对数型复合函数的有关问题已知函数f (x )＝log 12(x 2－2ax ＋3)．(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围；(3)若函数f (x )在[－1，＋∞)内有意义，求实数a 的取值范围； (4)若函数f (x )的值域为(－∞，－1]，求实数a 的值．解：(1)由f (x )的定义域为R ，知x 2－2ax ＋3＞0的解集为R ，则Δ＝4a 2－12＜0，解得－3＜a ＜ 3. ∴a 的取值范围为(－3，3)．(2)函数f (x )的值域为R 等价于u ＝x 2－2ax ＋3取(0，＋∞)上的一切值，所以只要u min＝3－a 2≤0⇒a ≤－3或a ≥ 3.所以实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)． (3)由f (x )在[－1，＋∞)内有意义，知u (x )＝x 2－2ax ＋3＞0对x ∈[－1，＋∞)恒成立，因为y ＝u (x )图象的对称轴为x ＝a ，所以当a ＜－1时，u (x )min ＝u (－1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1，2a ＋4＞0，解得－2＜a ＜－1；当a ≥－1时，u (x )min ＝u (a )＝3－a 2＞0，即－3＜a ＜3，所以－1≤a ＜ 3. 综上可知，a 的取值范围为(－2，3)．(4)因为y ＝f (x )≤－1，所以u (x )＝x 2－2ax ＋3的值域为[2，＋∞)，又u (x )＝(x －a )2＋3－a 2≥3－a 2，则有u (x )min ＝3－a 2＝2，解得a ＝±1.【点拨】(1)首先要在函数定义域内研究函数的单调性；(2)此题中定义域为R 的问题实质上与值域为R 的问题正好相反，都是利用对数函数的定义域和值域进行分析．(2013·济南模拟)已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：(1)∵f (1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，∴a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3＞0得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1，3)．令u (x )＝－x 2＋2x ＋3.则u (x )在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，又y ＝log 4u 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3)． (2)假设存在实数a ，使f (x )的最小值是0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，显然a ≠0，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4a ×3－224a＝3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值等于0.类型九对数函数的综合问题已知函数f (x )＝log a 1－mxx －1是奇函数(a ＞0，a ≠1)．(1)求m 的值；(2)判断f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性；(3)当a ＝12时，若对于[3，4]上的每一个x 的值，不等式f (x )＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋b 恒成立，求实数b 的取值范围．解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )在其定义域内恒成立，即log a 1＋mx －x －1＝－log a 1－mxx －1，∴1－m 2x 2＝1－x 2恒成立，∴m ＝－1或m ＝1(舍去)，即m ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝log a x ＋1x －1(a ＞0，a ≠1)，令u ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，则u 在(1，＋∞)上为减函数．∴当a ＞1时，f (x )在(1，＋∞)上是减函数；当0＜a ＜1时，f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(3)对于[3，4]上的每一个x 的值，不等式f (x )＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋b 恒成立⇔f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＞b 在[3，4]上恒成立．令g (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，由(2)知，g (x )在[3，4]上是单调递增函数，所以b ＜g (x )min ＝g (3)＝－98，即b 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－98. 【点拨】解第(1)问时要特别注意“脱去”对数符号后恒成立的等式只是f (x )为奇函数的必要条件，而不是充要条件，所以要检验；第(2)问也可用单调函数的定义来判断，但很复杂；第(3)问利用函数与方程思想对恒成立问题进行了等价转化．已知f (x )＝lg 2x ax ＋b ，f (1)＝0，当x >0时，恒有f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝lg x . (1)求f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝lg(m ＋x )的解集是∅，求实数m 的取值范围．解：(1)∵当x >0时，f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝lg x 恒成立，∴lg2x ax ＋b －lg 2bx ＋a＝lg x ，即(a －b )x 2－(a －b )x ＝0. ∵x ≠0，∴上式若恒成立，则只能有a ＝b ，又f (1)＝0，即a ＋b ＝2，从而a ＝b ＝1，∴f (x )＝lg 2x 1＋x.(2)由lg 2xx ＋1＝lg(m ＋x )知⎩⎪⎨⎪⎧2xx ＋1＝m ＋x ，2xx ＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（m －1）x ＋m ＝0，x <－1或x >0，由于方程的解集为∅，故有如下两种情况： ①方程x 2＋(m －1)x ＋m ＝0无解，即Δ<0，解得3－22<m <3＋22；②方程x 2＋(m －1)x ＋m ＝0有解，两根均在区间[－1，0]内，令g (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m ，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，g （－1）≥0，g （0）≥0，－1≤1－m2≤0，即⎩⎨⎧m ≤3－22或m ≥3＋22，1≤m ≤3，无解．综合①②知，实数m 的取值范围是{m |3－22<m <3＋22}．类型十幂函数的图象与性质如图，曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象，已知n 取2，3，12，－1四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为．解法一(数形结合法)：如图，作直线x ＝t (t >1)，由于函数y ＝x n的图象与直线x ＝t 的交点为(t ，t n)，可见指数n 的大小与图象交点的“高低”是一致的，结合图象，可得答案．解法二(特殊值法)：当x ＝2时，y 1＝23＝8，y 2＝22＝4，y 3＝20.5＝2，y 4＝2－1＝12，∵8>4＞2＞12，∴y 1＞y 2＞y 3＞y 4，故填3，2，12，－1.【点拨】(1)利用幂函数的性质比较大小，往往伴随着指数函数单调性的应用，此题应用了y ＝a x(a ＞1)的单调递增的性质．当然在利用指数函数的单调性比较大小时，也会伴随着幂函数单调性质的应用．(2)当两个幂的底数和指数都不相同时，可以寻找一个中间量，以它作为桥梁，分别构造指数函数和幂函数，通过比较它们和这个中间量的大小解决问题．(2014·天门、仙桃、潜江期末)在下列直角坐标系的第一象限内分别画出了函数y ＝x ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1的部分图象，则函数y ＝2x的图象通过的阴影区域是( )解：函数y ＝2x 的图象位于函数y ＝x 与y ＝x 2的图象之间，对比各选项中的阴影区域，知C 正确．故选C .1．指数函数的图象、性质在应用时，如果底数a 的取值范围不确定，则要对其进行分类讨论．2．比较两个幂的大小，首先要分清是底数相同还是指数相同．如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可转化为底数相同，或利用幂函数的单调性，也可借助函数图象；如果指数不同，底数也不同，则要利用中间量．3．熟练掌握指数式与对数式的互化，它不仅体现了两者之间的相互关系，而且为对数的计算、化简、证明等问题提供了更多的解题途径．4．作指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)和对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象应分别抓住三个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a ，(0，1)，(1，a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，(1，0)，(a ，1)．5．比较两个对数的大小的基本方法(1)若底数为同一常数，则由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对这一字母进行分类讨论．(2)若底数不同真数相同，则可先换底再进行比较．(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．6．幂函数的图象特征与指数的大小关系，大都可通过幂函数的图象与直线x ＝2或x ＝12的交点纵坐标的大小反映．一般地，在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大、图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，图象越远离x 轴(不包括幂函数y ＝x 0)．7．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，则要看函数的定义域和奇偶性．函数的图象最多只能同时出现在两个象限内，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．8．判断一个函数是否为指数函数或对数函数或幂函数，一定要根据三种函数定义给出的“标准”形式．如f (x )＝2x 2不是指数函数，而f (x )＝23x是指数函数，因为f (x )＝23x＝8x，此时a ＝8，同样f (x )＝2x ＋1也不是指数函数，因为f (x )＝2x ＋1＝2·2x ，不是f (x )＝a x(a＞0，且a ≠1)的形式．1．(2013·江西九校联考)若点(a ，9)在函数y ＝3x的图象上，则tana π6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 3解：由题意知3a＝9，解得a ＝2，则tana π6＝tan π3＝ 3.故选D . 2．(2014·浙江)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ＞0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )解：两图象均不可能过点(0，1)，A 错；B 选项中f (x )＝x a中a 满足a ＞1，而g (x )＝log a x 中a 满足0＜a ＜1，矛盾，B 错；类似B 选项的判断方法知C 错；D 正确．故选D .3．(2015·广东模拟)已知log 2a >log 2b ，则下列不等式一定成立的是( ) A.1a >1bB ．log 2(a －b )>0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b D ．2a －b<1解：因为log 2a >log 2b ，所以a >b >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13b <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b.故选C .4．(2013·北京)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e－x ＋1D ．e－x －1解：图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的函数是y ＝e －x，再向左平移一个单位，即得到函数y ＝f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.故选D .5．(2015·山东模拟)已知函数f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(其中a ＞0且a ≠1)，若f (4)·g (－4)＜0，则f (x )，g (x )在同一坐标系内的大致图象是( )解：因为f (4)·g (－4)＝a 2×log a 4＜0，所以0＜a ＜1，则根据函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数可否定C ，D ，根据f (x )为减函数可否定A.故选B .6．(2013·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0. 若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0]解：数形结合：作出函数y ＝|f (x )|的图象，如图．当|f (x )|≥ax 恒成立时，必有k ≤a ≤0，其中k 是y ＝x 2－2x (x ≤0)在原点处的切线斜率，因为y ′＝2x －2，所以y ′|x ＝0＝－2，k ＝－2.所以a 的取值范围是[－2，0]．故选D .7．(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6， x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解：当x ≤2时，－x ＋6≥4，要使得函数f (x )的值域为[4，＋∞)，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，解得1＜a ≤2.故填(1，2]．8．(2015·湖南模拟)给机器人输入一个指令(m ，2m＋48)(m >0)，则机器人在坐标平面上先面向x 轴正方向行走距离m ，接着原地逆时针旋转90°再面向y 轴正方向行走距离2m＋48，这样就完成一次操作．机器人的安全活动区域是：⎩⎪⎨⎪⎧x ≤6，y ∈R .开始时机器人在函数f (x )＝2x图象上的点P 处且面向x 轴正方向，经过一次操作后机器人落在安全区域内的一点Q 处，且点Q 恰好也在函数f (x )图象上，则向量PQ →的坐标是________．解：设P (x 0，2x 0)，则Q 为(x 0＋m ，2x 0＋m )在安全区域， ∴x 0＋m ≤6，∴x 0≤6－m ，∴2x 0≤26－m，2x 0＋m ＝2x 0＋2m＋48，∴2x 0(2m－1)＝2m＋48，则26－m (2m －1)≥2m ＋48.整理可得：2m＋642m ≤16.又因为2m ＋642m ≥264＝16，当且仅当2m ＝642m 成立时取等号，此时22m＝64，m ＝3，PQ →＝(x 0＋m ，2x 0＋2m＋48)－(x 0，2x 0)＝(3，56)．故填(3，56)．9．解答下列各题：(1)若2.4a ＞2.5a，求a 的取值范围； (2)若a －2＞3－2，求a 的取值范围．解：(1)2.4a和2.5a可视为幂函数y ＝x a的两个函数值，由于2.5＞2.4＞0，且f (2.5)＜f (2.4)．所以y ＝x a 在(0，＋∞)上为减函数，因此a 的取值范围为{a |a ＜0}．另解：也可由⎝ ⎛⎭⎪⎫2.42.5a＞1及0＜2.42.5＜1得a ＜0. (2)由a －2＞3－2，得1a 2＞132，所以0＜a 2＜32，由于幂函数y ＝x 2是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又|a |2＜32，∴0＜|a |＜3，解得－3＜a ＜3且a ≠0.因此a 的取值范围是{a |－3＜a ＜0或0＜a ＜3}．另解：由⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2＞1得3a ＞1或3a＜－1，可获解．10．已知f (x )＝lg 1＋2x ＋4x·a3，其中a ∈R ，若x ∈(－∞，1]时，f (x )有意义，求a的取值范围．解：原题等价于当x ∈(－∞，1]时，1＋2x ＋4x·a 3＞0恒成立，即a ＞－⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在x ≤1时恒成立．设⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，∵x ≤1，∴t ≥12，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝－t 2－t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14，在t ≥－12时递减，而⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞， ∴当t ＝12，即x ＝1时，函数－⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，1]上取得最大值－34，故a >－34.故a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa ＞－34. 11．设a ＞1，若仅有一个常数c 使得对于任意的x ∈[a ，2a ]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝c ，求a 的值．解：∵log a x ＋log a y ＝log a (xy )＝c (a ＞1)，∴y ＝a cx.∵a ＞1，∴y ＝a cx 在x ∈[a ，2a ]上单调递减，∴y max ＝a c a ＝a c －1，y min ＝a c 2a ＝12a c －1，⎩⎪⎨⎪⎧a c －1≤a 2⇒c ≤3，12a c －1≥a ⇒a c －2≥2⇒c ≥log a 2＋2. ∵log a 2＋2≤c ≤3且c 值只有1个， ∴log a 2＋2＝c ＝3，即log a 2＝1，故a ＝2.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ∈[－1，1]，函数g (x )＝f 2(x )－2af (x )＋3的最小值为h (a )．(1)求h (a )；(2)是否存在实数m ，n ，同时满足以下条件： ①m ＞n ＞3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]．若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．解：(1)因为x ∈[－1，1]，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 设⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＝t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3，则g (x )＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2. 当a ＜13时，h (a )＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝289－2a 3；当13≤a ≤3时，h (a )＝φ(a )＝3－a 2；当a ＞3时，h (a )＝φ(3)＝12－6a .所以h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a ＜13，3－a 2， 13≤a ≤3，12－6a ， a ＞3.(2)假设存在满足条件的实数m ，n .因为m ＞n ＞3，a ∈[n ，m ]，所以h (a )＝12－6a .因为h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，且h (a )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 2，12－6n ＝m 2，两式相减得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，因为m ＞n ，所以m －n ≠0，得m ＋n ＝6，但这与“m ＞n ＞3”矛盾，故不存在满足条件的实数m ，n .。

2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第5讲指数与指数函数pptx课件

[解析] ①将
＝3 两边平方，得 a＋a－1＋2＝9，所以 a＋a－1
＝7. ②将 a＋a－1＝7 两边平方，得 a2＋a－2＋2＝49，所以 a2＋a－2＝47.
a2＋a－2＋1 47＋1 ③由①②可得 a＋a－1＋1 ＝ 7＋1 ＝6.
名师点拨：指数幂运算的一般原则 1．有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． 2．先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． 3．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． 4．若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 5．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．
2
2 ，f(－1)＝
22－1＝
2.
题组三走向高考 5．(2017·北京)已知函数 f(x)＝3x－13x，则 f(x)( A ) A．是奇函数，且在 R 上是增函数 B．是偶函数，且在 R 上是增函数 C．是奇函数，且在 R 上是减函数 D．是偶函数，且在 R 上是减函数
[解析] 因为 f(x)＝3x－13x，且定义域为 R，所以 f(－x)＝3－x－13－x ＝13x－3x＝－3x－13x＝－f(x)，即函数 f(x)是奇函数．又 y＝3x 在 R 上是增函数，y＝13x 在 R 上是减函数，所以 f(x)＝3x－13x 在 R 上是增函数，故选 A.
双基自测题组一走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
4
(1)
－44＝－4.(
×
)
(2)2a·2b＝2ab.( × )
(3)
(n，m∈N*)．( × )
(4)函数 y＝3·2x，与 y＝2x＋1 都不是指数函数．( √ )

2020高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数第5讲指数与指数函数分层演练文-精装版

教学资料范本2020高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数第5讲指数与指数函数分层演练文-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx 最新高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数第5讲指数与指数函数分层演练文一、选择题1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )解析：选A.将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．化简4a·b－÷的结果为( ) ．－A 8a b ．－BC ．－D ．－6ab 23－－b －a 原式＝C.解析：选＝－6ab －1＝－，故选C.3．已知实数a ，b 满足等式＝，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b.其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B.函数y1＝与y2＝的图象如图所示．由＝得，a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．4．若函数f(x)＝a|2x －4|(a>0，a ≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 解析：选B.由f(1)＝得a2＝，所以a ＝或a ＝－(舍去)，即f(x)＝.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.5．设a ＝1.90.9，b ＝0.91.9，c ＝0.99.1，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b 解析：选A.因为函数y ＝0.9x 在R 上是减函数，所以0.91.9＞0.99.1，且0.91.9＜0.90＝1.即c ＜b ＜1.又函数y＝1.9x在R上是增函数．所以1.90.9＞1.90＝1即a＞1.所以a＞b＞c.故选A. 6．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( ) B．(－1，0)A．(－∞，－1)C．(0，1) D．(1，＋∞)解析：选C.因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－，整理得(a－1)(2x＋1)＝0，所以a＝1，所以f(x)>3即为>3，当x>0时，2x－1>0，所以2x＋1>3·2x－3，解得0<x<1；当x<0时，2x－1<0，所以2x＋1<3·2x－3，无解．所以x的取值范围为(0，1)．二、填空题7．函数y＝的值域是________．解析：因为4x>0，所以16－4x<16，所以0≤16－4x<16，即0≤y<4.答案：[0，4) 8．若函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a＝________．解析：当a>1时，f(x)＝ax－1在[0，2]上为增函数，则a2－1＝2，所以a＝±，又因为a>1，所以a＝.当0<a<1时，f(x)＝ax－1在[0，2]上为减函数，又因为f(0)＝0≠2，所以0<a<1不成立．综上可知，a＝.答案：3 9．若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．解析：因为f(x)＝2|x－a|，所以f(x)的图象关于x＝a对称．又由f(1＋x)＝f(1－x)，知f(x)的图象关于直线x＝1对称，故a＝1，且f(x)的增区间是[1，＋∞)，由函数f(x)在[m，＋∞)上单调递增，知[m，＋∞)⊆[1，＋∞)，所以m≥1，故m的最小值为1.答案：110.已知函数y ＝ax ＋b(a>0，且a ≠1，b>0)的图象经过点P(1，3)，如图所示，则＋的最小值为________，此时a ，b 的值分别为________．解析：由函数y ＝ax ＋b(a>0且a≠1，b>0)的图象经过点P(1，3)，得a ＋b ＝3，所以＋＝1，又a>1，则＋＝(＋)＝2＋＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即a ＝，b ＝时取等号，所以＋的最小值为.23，答案：三、解答题11．已知函数f(x)＝b ·ax(其中a ，b 为常量，且a>0，a ≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．若不等式＋－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解：把A(1，6)，B(3，24)代入f(x)＝b·ax，⎩⎨⎧6＝ab ，24＝b·a3，得 ⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3.，解得≠1a ，且a>0结合所以f(x)＝3·2x.要使＋≥m 在x∈(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝＋在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．因为函数y ＝＋在(－∞，1]上为减函数，所以当x ＝1时，y ＝＋有最小值.所以只需m≤即可．即m 的取值范围为.12．已知函数f(x)＝.(1)若a ＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f(x)＝，令g(x)＝－x2－4x ＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝在R 上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g(x)＝ax2－4x ＋3，f(x)＝，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，因此必有解得a ＝1，即当f(x)有最大值3时，a 的值为1.。

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课时作业8 指数与指数函数的图象和性质
一、填空题
1．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝2x
－3，则f (－2)＋f (0)＝__________.
2．若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x
在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．
3．不等式224
2x x +-≤12
的解集为________．
4．函数f (x )的定义域为R ，f (2＋x )＝f (2－x )，又－1≤x ≤2时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，f (1)，f (4)的大小关系是________．
5．定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧
a ，a ≤
b ，
b ，a >b ，如1]．
6．若函数f (x )＝a x
(a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝__________.
7．(2012苏北四市调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋12，x ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫0，12，2x －1
，x ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，2，
若存在x 1，x 2，当
0≤x 1＜x 2＜2时，f (x 1)＝f (x 2)，则x 1f (x 2)的取值范围是__________．
8．对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)； ②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f x 1－f x 2x 1－x 2
＞0；
④f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22. 当f (x )＝2x
时，上述结论中正确结论的序号是______．
9．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －1， x >0，
－x 2－2x ， x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数
m 的取值范围是__________．
二、解答题
10．已知f (x )＝log 4(4x
－1)． (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性；
(3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2上的值域． 11．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (mg)与时间t (h)成正比例．药物释放完毕后，y 与t 的函数关系
式为y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫116t －a
(a 为常数)．如图所示，根据图中提供的信息，求解下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (mg)与时间t (h)之间的函数关系式；
(2)据测定，当空气中每立方米含药量降低为0.25 mg以下时方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过几小时后，学生才能回到教室？
12．已知函数f(x)＝2x－
1
2|x|
.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)若2t f(2t)＋mf(t)≥0对于t [1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案
一、填空题
1．－1 解析：由题意得f (0)＝0，f (－2)＝－f (2)＝－(22
－3)＝－1， ∴f (－2)＋f (0)＝－1.
2．(0,1] 解析：f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x
在区间[1,2]上都是减函数，即
⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤1，a ＋1>1.
故0＜a ≤1.
3．[－3,1] 解析：由题设得224
2x x +-≤2－1
，所以x 2
＋2x －4≤－1，解得－3≤x ≤1.
4．f (1)＜f (4)＜f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12 解析：∵f (x )关于直线x ＝2对称， ∴f (4)＝f (0)．
又f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
在[－1,2]上是减函数且－12＜0＜1，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＞f (0)＞f (1)，即f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＞f (4)＞f (1)． 5．(0,1] 解析：由题意可知f (x )=2,0,
2,0.
x x x x -⎧≤⎪⎨>⎪⎩作出f (x )的图象(实线部分)如右：
由图可知f (x )的值域为(0,1]．
6.1
4 解析：∵g (x )＝(1－4m )x 在(0，＋∞)上单调递增， ∴m ＜14
.
当a ＞1时，f (x )的最大值为a 2＝4，即a ＝2，最小值为m ＝2－1
＝12＞14，与m ＜14
相矛盾，
舍去；
当0＜a ＜1时，f (x )的最大值为a －1
＝4，即a ＝14，最小值为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142＜14
成立．
7.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2－24
，12 解析：
由题意得0≤x 1＜12＜x 2＜2，设存在x 0∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，
即x 0＋1
2
＝1
122-
所以x 0＝2－1
2
. 由于存在x 1，x 2，当0≤x 1＜x 2＜2时，f (x 1)＝f (x 2)，
所以2－12≤x 1＜12.
所以22≤x 1＋12＜1，即2
2≤f (x 1)＜1. 因此
2
2
≤f (x 2)＜1，
从而2－24≤x 1f (x 2)＜12，
即x 1f (x 2)的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2－24
，12. 8．①③④
9．(0,1) 解析：函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x
－1，x >0，
－x 2
－2x ，x ≤0的图象如图所示．
该函数的图象与直线y ＝m 有三个交点时m ∈ (0,1)，此时函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点．
二、解答题
10．解：(1)由4x
－1＞0解得x ＞0，因此f (x )的定义域为(0，＋∞)．
(2)设0＜x 1＜x 2，则0＜4x 1－1＜4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)＜log 4(4x 2－1)，
即f (x 1)＜f (x 2)，f (x )在(0，＋∞)上递增．
(3)f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2上递增，又f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2上的值域为[0，log 415]． 11．解：(1)若0≤t ＜0.1，则y ＝10t ；若t ≥0.1，则由y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫116t －a
图象过点(0.1,1)，
得1＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1160.1－a ，解得a ＝0.1，所以y ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫116t －0.1.
故y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
10t ，0≤t <0.1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫116t －0.1
，t ≥0.1.
(2)由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1≤0.25＝14，即⎝ ⎛⎭⎪⎫142(t －0.1)≤14，
所以2(t －0.1)≥1，解得t ≥0.6(h)．
故至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室． 12．解：(1)当x ＜0时，f (x )＝0；
当x ≥0时，f (x )＝2x
－12x .
由条件，可知2x
－12
＝2，
即22x
－2×2x －1＝0，解得2x
＝1± 2. ∵2x ＞0，∴2x
＝1＋ 2.
∴x ＝log 2(1＋2)．
(2)当t ∈ [1,2]时，2t ⎝
⎛⎭⎪⎫22t
－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，
即m (22t －1)≥－(24t
－1)．∵t ∈[1,2]，
又∵22t －1＞0，∴m ≥－(22t
＋1)． ∵t ∈[1,2]，
∴－(1＋22t
) ∈[－17，－5]．故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。