第2章 函数-5 函数的图像及应用(理科)

D.C.B.A.OOl 1l第五节 函数的图像及应用题型27 识图(知式选图、知图选式)1. （2013江西理10）如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平 行线12,l l 之间，l ∥1l ,l 与半圆相交于F G ，两点，与三角形ABC两边,相交于E D ，两点，设弧 FG的长为(0π)x x <<， y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数()y f x =的图像大致是（ ）.2．（2013四川理7）函数331x x y =-的图象大致是（ ）3.（2013山东理8）函数cos sin y x x x =+的图像大致为（ ）.DC B A4.（2014 福建理4）若函数log a y x =()0,1a a >≠且的图像如图所示，则下列函数正确的是（）.5.（2014 新课标1 理 6）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）.6.(2015安徽理9)函数()()2ax bf x x c +=+的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）.A.0a >，0b >，0c <B.0a <，0b >，0c >C.0a <，0b >，0c <D.0a <，0b <，0c <6. 解析 由题可得≠-x c ，所以0->c ，即0<c ．令0=x ，则()200bf c =>， 所以0>b ．令0y =，则0+=ax b ，所以0bx a=->，所以0<a ．故选C ． 7.（2016全国乙理7）函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为（ ）.A .B .x-D .)aA.B.C.D.PAOMA. B. C. D. 7. D 分析 对于函数图像识别题一般是利用函数性质排除不符合条件的选项. 解析 设()22exf x x =-，由()228e f =-∈()0,1，可排除A （小于0），B （从趋势上超过1）；又()0,2x ∈时，()4e x f x x '=-，()()()014e 0f f ''⋅=--<， 所以()f x 在()0,1上不是单调函数，排除C.故选D.评注 排除B 选项的完整论述，设()g x =()f x '，则()4e x g x '=-.由()10g '>，()20g '<，可知存在()01,2x ∈使得()00g x '=且()0,2x x ∈时()0g x '<，所以()f x '在()0,2x 是减函数，即()0,2x x ∈时()f x 切线斜率随x 的增大而减小，排除B.题型28 作函数的图像——暂无 题型29 函数图像的应用1.（2013江苏理13）在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数xy 1=（0>x ） 图象上一动点，若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 . 2. (2013湖南理5）函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为（ ）.A ．3B ．2C ．1D ．0 3. (2013重庆理6）若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（ ）.A. ()a b ，和()b c ，内B. ()a -∞，和()a b ，内C. ()b c ，和()c +∞，内D. ()a -∞，和()c +∞，内 4. (2013辽宁理11）已知函数()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+.设()()(){}1max H x f x g x =，，()()(){}2min H x f x g x =，，{}max p q ，表示p q ，中的较大值，{}min p q ，表示p q ，中的较小值，记()1H x 得最大值为A ，()2H x 得最小值为B ，则A B -=（ ）.A. 2216a a --B. 2216a a +- C. 16- D. 165.(2013湖南理20）在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”.如图6所示的路径123MM M M N 与路径1MN N 都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14A B C -处. 现计划在x 轴上方区域（包含x 轴）内的某一点P 处修建一个文化中心.（1）写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（2）若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小.6. (2013安徽理8）函数()y f x =的图象如图所示，在区间[]a b ，上可找到()2n n ≥个不同的数12n x x x ，，，，使得()()()1212n nf x f x f x x x x ===，则n 的取值范围是（ ）. A. {}34， B. {}234，， C. {}345，， D. {}23，7.（2014 山东理 8）已知函数()21f x x =-+,()kx x g =.若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ).A.102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B.112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C.()1,2D.()2+∞， 7.（2014 江苏理 13）已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，()2122f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 ．8.（2014 天津理 14）已知函数()23f x x x =+，x R Î.若方程()10f x a x --=恰 有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________.8.（2014 浙江理 15）设函数()22,0,0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-⎪⎩…，若()()2f f a …，则实数a 的取值范围是______.9.（2015北京理14）设函数()()()2,1,42, 1.xa x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩…（1）若1a =，则()f x 的最小值为 ；（2）若()f x 恰有两个零点，则实数a 的取值范围是 .9. 解析 （1）若1a =，()()()21,1,412, 1.xx f x x x x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩….函数()f x 的值域为[)1,-+∞，因此()f x 的最小值为1-. （2）依题意，函数()21xy a x =-<至多有一个零点.若函数()f x 恰有两个零点，则有两种情形：①函数2xy a =-，1x <无零点，函数()()()42f x x a x a =--，1x …有两个零点；②函数2xy a =-，1x <有1个零点，函数()()()42f x x a x a =--，1x …有一个零点.当函数()f x 满足情形①时，可得20121a a a -⎧⎪⎨⎪⎩………，解得2a ….当函数()f x 满足情形②时，可得20121a a a ->⎧⎪<⎨⎪⎩…，解得112a <….综上，若函数()f x 恰有两个零点，则实数a 的取值范围是[)1,12,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.10.（2015湖南理15）已知()32,,x x af x x x a⎧=⎨>⎩…，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a 的取值范围是 .10. 解析 利用数形结合解题. 问题等价于函数()y f x =与y b =有两个交点时a 的取值范围. 令2x =3x , 解得0x =或1x =.当a ∈(),0-∞，a ∈[]0,1，a ∈()1,+∞时的()f x 的图像分别如图（1）（2）（3）所示，上下平移y b =可知，图（1）和图（3）与y b =有两个交点. 所以a 的取值范围为(),0-∞ ()1,+∞.图（1） 图（2） 图（3）11.（2015江苏13）已知函数()ln f x x =，()20,0142,1x g x x x <⎧⎪=⎨-->⎪⎩…，则方程()()1f x g x +=实根的个数为 ． 11. 解析 解法一（逐步去绝对值）：1︒当01x <…时，()()f x g x +=ln 0ln 1x x +==，故ln 1x =±，e x =（舍）或1e x =，即在(]0,1上有一解为1ex =． 2︒当1x >时，ln 0x >，故()ln ln f x x x ==，()()2ln 421f x g x x x +=+--=，①当12x <<时，2ln 21x x -+=，不妨设()2ln 2h x x x =-+，()2112'20xh x x x x-=-=<对()1,2x ∈恒成立， 故()h x 单调递减，()()min 2ln22ln2111h x h ==-=--<-，()()max 11h x h ==， 根据绝对值函数的性质分析，在()1,2x ∈上有一解； ②当2x …时，2ln 61x x +-=，不妨设()2ln 6m x x x =+-，则()1'20m x x x=+>对[)2,x ∈+∞恒成立， 故()m x 单调递增，()()min 2ln22ln2111h x h ==-=--<-，又()612e e1m =>，根据绝对值函数的性质分析，在[)2,x ∈+∞上有两解． 综上所述：方程()()1f x g x +=实根的个数为4．解法二（直接去绝对值）：设()()()h x f x g x =+，则()22ln ,01ln 2,12ln 62x x h x x x x x x x -<⎧⎪=+-<<⎨⎪+-⎩……，下仿照解法一分析． 或者通过分析()1h x =±的解亦可． 解法三（图像转化）：因为()()1f x g x +=，所以()()1f x g x +=±， 从而()()1g x f x =±-，即()()1g x f x =-或()()1g x f x =--． 先分别画出()f x 与()g x 的图形，如图所示：得到图形中弯折、端点部位的具体值，然后分别研究()()1g x f x =-与()()1g x f x =--的图像，如下图所示（绿色点表示交点），易见共有4个交点． ()()1g x f x =-图形分析 ()1()g x f x =--图形分析评注 本题考查函数的零点，函数的零点问题一般从函数的零点、方程的根、图像的交点角度解决，从方程的角度分析此题侧重去绝对值的步步考查，从函数的零点分析此题侧重对图像中部分点的精确取值．同样的零点求解问题，此题难度明显高于去年．12.（2015天津理8）已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩… ，函数()()2g x b f x =-- ， 其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）. A.7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B.7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.7,24⎛⎫⎪⎝⎭12. 解析 由()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩…得2220(2)0x x f x x x ⎧--⎪-=⎨<⎪⎩，，…， 所以2220()(2)420222(2)2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---⎨⎪--+->⎩，，，剟，即2220()(2)202582x x x y f x f x x x x x ⎧++<⎪=+-=⎨⎪-+>⎩，，，剟()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--，所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图像的4个公共点，由图像可知724b <<.13.（2015山东理10）设函数311()21xx x f x x -<⎧=⎨⎩≥，，,则满足()()()2f a f f a =的a 的取值范围是( ). A ．213⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．[]01，C ．23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．[)1+∞，13.解析 因为()()()2=f aff a ，所以()1f a ?．①当1a <时，()311=-f a a …，解得213a <…；②当1a …时，()21=a f a …，解得1a …． 综上所述，23a …．故选C ．14.(2015北京理7)如图所示，函数()f x 的图像为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +卨的解集是（ ）.A. {}10x x -<…B. {}11x x-剟C. {}11x x -<…D. {}12x x -<…14. 解析 函数不等式的求解，利用函数图像求解不等式.在同一坐标系中画出()y f x =及()2log 1y x =+的图像，如图所示.可知()()2log 1f x x +…的解集为(]1,1-. 故选C.15.（2015全国I 理12）设函数()()e21xf x x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得()00f x <，则a 的取值范围是（ ）. A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭15.解析 由()()e 21xf x x ax a =--+，且1a <，知()010f a =-<.所以满足题意的00x =.又()()21e xf x x a '=+-.当0x …时，()0f x '>，函数()f x 在[)0,+∞上单调递增； 当1x -…时，()0f x '<，函数()f x 在(],1-∞-上单调递增. 因此，若存在唯一整数00x =，使得()00f x <，则()()1010f f -⎧⎪⎨⎪⎩……，即13e 20e 0a -⎧-+⎨⎩……，解得32e a …，又1a <，所以a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选D. 16.（2017全国3理15）设函数()1020x x x f x x +⎧=⎨>⎩，，…，则满足()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是_________.16.解析 因为()1,02 ,0x x x f x x +⎧=⎨>⎩≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭.由图像变换可作出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图像如图所示.由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解集为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.1)2-)17.（2017山东理10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图像与y m 的图像有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ）. A.(])0,1⎡+∞⎣B.(][)0,13,+∞C.()⎡+∞⎣D.([)3,+∞17.解析 解法一：()222121y mx m x mx =-=-+过点()0,1且对称轴为1x m=. 当01m <<时，11m>，从而2221y mx mx =-+在区间()0,1上单调递减，函数()21y m x =-与y m 的草图如图所示，此时有一个交点；当1m >时，11m <，所以2221y m x mx =-+在区间10m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.若函数()21y m x=-与y m 有一个交点，草图如图所示，则()211m m ⨯-?，解得3m …；当1m =时，函数()21y x =-与1y =显然在区间[]0,1有且只有一个交点为()0,1.综上所述，m 的取值范围是(][)0,13+∞ ，.故选B.解法二：若m =则)[]21,0,1y x =-∈的值域为[]0,1；[]0,1y x =∈的值域为+，所以两个函数的图像无交点，故排除C 、D ；若3m =，则点()1,4是两个函数的公共点.故选B. 题型33 函数中的创新题1.(2015全国II 理10)如图所示，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边,BC CD 与DA 运动，BOP x ∠=.将动点P 到,A B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()f x 的图像大致为（ ）．OA424424424424A. B. C. D.1. 解析 由已知可得，当P 点在BC 边上运动时，即π04x 剟时，tan PA PB x +；当P 点在CD 边上运动时，即π3π44x 剎?，π2x ≠时，PA PB +=； 当π2x =时，PA PB += 当P 点在AD 边上运动时，即3ππ4x 剎?时，tan PA PB x +. 从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线π2x =对称，ππ42f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且轨迹非直线型.故选B.2.（2015四川理13）某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：C)满足函数关系ekx by += (e =2.718 为自然对数的底数，,k b 为常数).若该食品在0C的保鲜时间是192h 小时，在22C的保鲜时间是48h ，则该食品在33C的保鲜时间是 .2. 解析 由题意可得22192e48e bk b+⎧=⎪⎨=⎪⎩，即11192e 1e2bk ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以当33x =时，()333333111e e e ee 19224.2k b k b k b y +⎛⎫==⋅=⋅=⨯= ⎪⎝⎭3.（2015四川理15）已知函数()2xf x =，()2g x x ax =+（其中a ∈R ）.对于不相等的实数12,x x ，设()()1212f x f x m x x -=-，()()1212g x g x n x x -=-，现有如下命题：①对于任意不相等的实数12,x x ，都有0m >；②对于任意的a 及任意不相等的实数12,x x ，都有0n >； ③对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =； ④对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =-. 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号). 3. 解析 ①.由()()1212f x f x m x x -=-得()()1122f x mx f x mx -=-.令()()2xF x f x mx mx =-=-，则()()12F x F x =，故()F x 不单调. 当0m …时，()F x 为单调递减函数，不符合题意.当0m >时，()2ln 2xF x m '=-,由于2ln 2xy =是值域为()0,+∞的单调递增函数，故必存在一个0x ，使得()00F x '=.且当()00,x x ∈时，()0F x '<.当()0,x x ∈+∞时，()0F x '>.即()F x 不单调.所以①正确.②.由()()1212g x g x n x x -=-得()()1122g x nx g x nx -=-.令()()()22G x g x nx x ax nx x a n x =-=+-=+-，则()()12G x G x =，即对任意的a ，()G x 不单调.取0a =，则()2G x x nx =-。