函数图像及其应用(一)
高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.4 函数的应用(一)
3.4函数的应用(一)知识解读•必须会知识点1 常见的几种函数模型1.（2022·安徽亳州高一期中）商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价20元,茶杯每个定价5元,该商店现推出两种优惠方案:①买一个茶壶赠送一个茶杯;②按购买总价的92%付款。
某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个)。
当购买茶杯x个时,付款为y 元,试分别建立两种优惠方案中的y与x之间的函数解析式,并指出如果该顾客需购买茶杯40个,应选择哪种优惠方案。
解析：由优惠方案①,得函数解析式为y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,x∈N*)。
由优惠方案②,得函数解析式为y2=(20×4+5x)×92%=4.6x+73.6(x≥4,x∈N*)。
当该顾客需购买茶杯40个时,采用优惠方案①应付款y1=5×40+60=260(元),采用优惠方案②应付款y2=4.6×40+73.6=257.6(元)。
由于y2<y1,故应选择优惠方案②。
知识点2 用函数模型解决实际问题的方法与步骤2.（2021·山东菏泽23校高一期末联考）为节约能源,倡导绿色环保,某主题公园有60辆电动观光车供租赁使用,管理这些电动观光车的费用是每日120元。
根据经验,若每辆电动观光车的日租金不超过5元,则电动观光车可以全部租出;若超过5元,则每超过1元,租不出的电动观光车就增加2辆。
为了便于结算,每辆电动观光车的日租金x(元)(x只取整数),并且要求出租电动观光车一日的收入必须高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租电动观光车的日净收入(即一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得)。
(1)求函数y=f(x)的解析式及其定义域;答案：(1)当x≤5时,y=60x-120,令60x-120>0,解得x>2,因为x∈N*,所以3≤x≤5。
当x>5时,y=[60-2(x-5)]x-120=-2x2+70x-120,令-2x2+70x-120>0,有x2-35x+60<0,上述不等式的整数解为2≤x ≤33(x ∈N *),所以5<x ≤33(x ∈N *)。
函数及其图象函数的图像函数的图象
函数及其图象xx年xx月xx日•函数的基本概念•函数的图像•不同类型函数的图像目录•函数图像的应用•函数图像的艺术01函数的基本概念设x和y是两个变量，D是一个给定的集合，在D上有唯一确定的y值与x对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)。
集合D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量。
函数的定义函数的表示方法解析法用等式表示函数，如y=2x+1。
图象法用图象表示函数，如f(x)=sinx的图象为一条周期性变化的曲线。
表列法用表格列出函数值，如f(x)={1,2,3,4}。
010203函数的分类•常数函数：f(x)=const，如f(x)=0。
•一次函数：f(x)=kx+b，如f(x)=2x+1。
•二次函数：f(x)=ax^2+bx+c，如f(x)=x^2-2x+1。
•反比例函数：f(x)=k/x，如f(x)=2/x。
•对数函数：f(x)=logax，如f(x)=log2x。
•幂函数：f(x)=xn，如f(x)=x^3。
•复合函数：由若干个基本初等函数复合而成，如f(x)=sin(x^2)。
02函数的图像1函数图像的概念23将函数表达式中自变量与因变量之间的关系用图形表示出来。
函数图像在平面直角坐标系中，以横轴表示自变量，纵轴表示因变量。
坐标系根据函数表达式的性质，图像呈现不同形状，如直线、曲线、折线等。
函数图像的形状描点法根据函数表达式，求出一些自变量对应的因变量值，然后在坐标系上描出对应的点，最后用平滑的曲线或直线将这些点连接起来。
图示法利用计算器或编程语言，直接在计算机上绘制出函数图像。
绘制函数图像的方法平移将函数图像沿横轴或纵轴方向移动一定距离。
将函数图像按比例进行缩放，使横轴或纵轴的长度发生改变。
将函数图像沿着一条直线翻折，使图像呈现镜像效果。
将函数图像沿着一定角度旋转一定角度，使图像的位置发生改变。
函数图像的变换伸缩翻折位移03不同类型函数的图像线性函数一次函数的图像是直线，表达式为$y=kx+b$，其中$k$是斜率，$b$是截距。
2024春新教材高中数学3.4函数的应用(一)教学设计新人教A版必修第一册
（1）多媒体设备：教师利用多媒体课件，生动形象地展示函数的性质和图像，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
（2）教学软件：教师运用教学软件，如数学建模软件、函数图像绘制工具等，辅助教学，使学生更好地理解函数的应用。
核心素养目标分析
本节课的核心素养目标主要围绕数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象四个方面展开。
首先，通过实际问题引入函数模型，培养学生从复杂问题中抽象出函数关系的能力，即数学抽象素养。学生需要能够识别实际问题中的数量关系，自主构建函数模型，从而培养其抽象思维能力。
其次，通过对实际问题进行数学建模，让学生学会如何用函数来描述现实世界中的变化规律，培养学生的数学建模素养。学生需要能够将现实问题转化为数学问题，运用函数理论知识进行分析，进而提高其解决实际问题的能力。
（3）学生可以利用在线函数图像绘制工具，自主探索函数的性质和变化规律，加深对函数概念的理解。
（4）建议学生学习一些数学软件的使用方法，如MATLAB、Python等，掌握这些软件在函数分析和应用方面的功能，提高自己的实际问题解决能力。
内容逻辑关系
①函数应用的基本概念：
-重点词汇：函数、自变量、因变量、函数值、定义域、值域等。
选择几个典型的函数应用案例进行分析。
详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解函数应用的多样性或复杂性。
引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用函数解决实际问题。
4.学生小组讨论（10分钟）
目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。
过程：
将学生分成若干小组，每组选择一个与函数应用相关的主题进行深入讨论。
(完整版)高中化学常见函数图像
完整版)高中化学常见函数图像1.引言在高中化学学习中，我们经常会遇到各种各样的函数图像，这些函数图像代表了不同化学反应的关系式。
掌握常见的化学函数图像可以帮助我们更好地理解和分析化学反应的特性和规律。
本文将介绍高中化学中常见的函数图像及其特点。
2.常见的化学函数图像2.1 直线函数图像直线函数图像在化学中常用来描述比例关系或线性规律。
在化学实验中，当两个物质的反应遵循简单的比例关系时，函数图像往往是一条直线。
直线函数图像的特点是斜率恒定，代表了化学反应的恒定速率。
2.2 指数函数图像指数函数图像在化学中常用来描述指数衰减或指数增长的情况。
例如，放射性衰变反应的速率就遵循指数函数规律。
指数函数图像的特点是曲线逐渐上升或下降，且增长或衰减的速度逐渐加快。
2.3 对数函数图像对数函数图像在化学中常用来描述浓度和反应速率之间的关系。
当反应速率与浓度呈指数关系时，函数图像往往是一条对数曲线。
对数函数图像的特点是曲线呈现逐渐平缓的增长或衰减趋势。
2.4 正弦函数图像正弦函数图像在化学中常用来描述周期性变化的情况。
例如，电化学反应中的电势变化往往呈现正弦函数规律。
正弦函数图像的特点是周期性波动，曲线呈现出波峰和波谷的交替变化。
2.5 反比例函数图像反比例函数图像在化学中常用来描述浓度和反应速率之间的关系。
当反应速率与浓度呈反比关系时，函数图像往往是一条反比例曲线。
反比例函数图像的特点是曲线逐渐趋于水平轴，并且在某个点处存在间断。
3.总结掌握常见的化学函数图像有助于我们更好地理解和分析化学反应的规律和特性。
直线函数图像代表了恒定速率，指数函数图像代表了增长或衰减的速度逐渐加快，对数函数图像代表了增长或衰减的速度逐渐减慢，正弦函数图像代表了周期性变化，反比例函数图像代表了反比关系。
通过对这些函数图像的分析，我们可以更深入地理解和应用化学知识。
以上就是关于高中化学常见函数图像的介绍。
希望本文能帮助到你在学习中的理解和应用。
函数的图像及其变换
的图像可由y＝f(x)的图像向上平移b个单位 而得到．总之， 对于平移变换，记忆口诀为：左加右减，上加下减．
(2)对称变换 y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于 y轴 y＝－f(x)与y＝f(x)的图像关于 x轴 对称； 对称； 对称；
y＝－f(－x)与y＝f(x)的图像关于 原点
y＝|f(x)|的图像可将y＝f(x)的图像在x轴下方的部分
AD，当点C落在X轴上时，h′＝CF，显然AD＝CF，即 当“中心点”M位于最高处时，“最高点”与X轴的距离 相等，选项B不符，故选A.
【答案】 A
·高中总复习（第1轮）·理科数学 ·全国版
立足教育 开创未来
► 探究点3 判断、证明函数的单调性 题型三：函数图象的应用及对称问题 3. 已知f(x)=| x2 -4x+3|. (1)求f(x)的单调区间; (2)求m的取值范围， 使方程f(x)=mx有4个不同实根.
方法二 y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像分别由y＝f(x) 与y＝f(－x)的图像同时向右平移一个单位而得，又y＝f(x) 与y＝f(－x)的图像关于y轴对称． ∴y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于直线x＝1对 称．
【答案】 (1)g(x)＝－ln(x－1) (2)D
变式
(1)已知函数 f(2x＋1)是奇函数， 则函数 y＝f(2x) )
【解析】 如图所示，不妨设正三角形ABC的边长 为a，记“中心点”M与X轴的距离为h，记“最高点”与 X轴的距离为h′.由图可知，当三段弧的中点落在X轴上 时，h最小，此时h＝MD；当点A、B、C落在X轴上时， h最大，h＝MC，故“中心点”M的位置先低后高，呈周 期性变化，排除选项C与D.当点D落在X轴上时，h′＝
数学中的函数图像的绘制与应用
数学中的函数图像的绘制与应用在数学中，函数是一个非常重要的概念。
而函数图像则是对函数进行可视化的一种方式，它可以让我们更加直观地理解函数的特征和性质。
本文将探讨函数图像的绘制方法、常见的函数图像形态及其应用。
一、函数图像的绘制方法函数图像绘制是一种基于函数的可视化表示方法。
为了绘制函数图像，我们需要先确定要绘制的函数。
这样才能在坐标系内绘制出函数的图像。
下面将介绍如何在笛卡尔坐标系中绘制常见的函数图像。
1. 直线函数的图像绘制直线函数方程为y=kx+b（其中k、b为常数），其图像通常是一条斜率为k，截距为b的直线。
这里以y=2x+1为例，绘制其函数图像的步骤如下：（1）构建坐标系：在纸上画一个直角坐标系。
（2）确定坐标：通过设定变量的值进行逐一计算；或设置x轴和y轴的单位间隔，根据方程中的值确定函数图像上的点坐标。
（3）依据坐标绘图：在坐标系中依照前面计算出来的坐标，描绘出直线。
2. 幂函数的图像绘制幂函数的方程通常具有以下形式：y=x^n（其中n为常数）。
幂函数的图像形态与其幂指数的正负有关。
当幂指数为正数时，函数的图像呈现出向上的凸形状；当幂指数为负数时，函数的图像则呈现出向下的凹形状。
以y=x^2为例，绘制其函数图像的步骤如下：（1）构建坐标系：在纸上画一个直角坐标系。
（2）确定坐标：通过设定变量的值进行逐一计算；或设置x轴和y轴的单位间隔，根据方程中的值确定函数图像上的点坐标。
（3）依据坐标绘图：在坐标系中依照计算出来的坐标，连结相邻的点形成一条曲线。
由于幂函数的曲线通常比较平滑，因此绘制时需要分段绘制（例如x<0部分，x=0的位置，x>0部分等），并且需要足够细致。
3. 三角函数的图像绘制三角函数具有周期性的特点，也就意味着可以将函数图像沿周期区间翻折并重叠，以此来推出整个函数图像的形态。
以下以正弦函数y=sin(x)为例，绘制其函数图像的步骤如下：（1）构建坐标系：在纸上画一个直角坐标系。
6.3 一次函数图像的应用(一)
初一下数学教学案42 §6.3 一次函数图像的应用（一）【学习目标】1．能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；2．在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系。
【教学重点】初步体会方程与函数的关系【教学难点】初步体会方程与函数的关系一、考考你在一次函数y kx b=+中当0k>时，y随x的增大而增大，当时，直线交y轴于正半轴，必过象限；当0b<时，直线交y轴于，必过象限。
当0k时，y随x的增大而减小，<当0b>时，直线交y轴于，必过一、二、四象限；当时，直线交y轴于负半轴，必过二、三、四象限。
二、自主学习，合作探究（预习书本P152-P153）活动一由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少．干旱持续时间t(天)与蓄水量V(万米3)的关系如下图所示，回答下列问题：(1)干旱持续10天后，蓄水量为多少？连续干旱23天后呢？(2)蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报。
干旱多少天后将发出严重干旱警报？(3)按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？活动二1．某种摩托车的油箱最多可储油10升，加满油后，油箱中的剩余油量y(升)与摩托车行驶路程x(千米)之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题：（1）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？（2）摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油？（3）油箱中的剩余油量小于1升时，摩托车将自动报警，行驶多少千米后，摩托车将自动报警？三、堂中测评某植物t天后的高度为y厘米。
下图l反映了y与t之间的关系。
根据图象回答下列问题：（1）3天后该植物高度为多少？（2）预测该植物12天后的高度；（3）几天后该植物的高度为10厘米?四、课堂小结谈谈你本节课的收获五、课后反思。
届高三数学一轮复习-函数的图像及其应用(共58张PPT)
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
作函数的图象
[例 1] 作出下列函数的图象： (1)y＝12|x|； [解] 作出 y＝12x 的图象，保留 y＝12x 图 象中 x≥0 的部分，加上 y＝12x 的图象中 x>0 部 分关于 y 轴的对称部分，即得 y＝12|x|的图象， 如图中实线部分．
(2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝2xx－－11； [解] (2)将函数 y＝log2x 的图象向左平移 1 个 单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去，即可 得到函数 y＝|log2(x＋1)|的图象，如图． (3)因为 y＝2xx－－11＝2＋x－1 1，故函数图象可 由 y＝1x的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位而得，如图．
(2)伸缩变换：
f(ωx) ． y＝f(x)―0―<AA>―<1―，1，―横横―坐坐―标―标不―不变―变，―，纵―纵―坐坐―标标―伸缩―长―短为―为原―原来―来的―的―AA倍―倍→ y＝ Af(x) ．
(3)对称变换： y＝f(x)―关―于―x―轴―对―称→y＝－f(x) ； y＝f(x)―关―于―y―轴―对―称→y＝ f(－x)； y＝f(x)―关―于―原――点―对―称→y＝ －f(－x) ． (4)翻折变换： y＝f(x)―去将―掉―y轴y―轴右―左边―边的―图―图， ―象―保翻―留折―y到轴―左―右边―边―去图→y＝ f(|x|) ； y＝f(x)―将―x―轴―下―方保―的 留―图x―轴象―上翻―方―折图―到―上―方―去→y＝ |f(x)| .
⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段
AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，
左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是
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函数图像及其应用
第1题. (2006 常州课改)已知：如图1，点G 是B C 的中点，点H 在A F 上，动点P 以每秒2cm 的速度沿图1的边线运动，运动路径为：G C D E F H →→→→→，相应的A B P △的面积2(cm )y 关于运动时间
(s)t 的函数图象如图2．若6cm A B =，则下列四个结论中正确的个数有（ ）
①图1中的B C 长是8cm ， ②图2中的M 点表示第4秒时y 的值为224cm ， ③图1中的C D 长是4cm ， ④图2中的N 点表示第12秒时y 的值为218cm ．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
答案：D
第2题. (2006 梅州课改)我市大部分地区今年5月中、下旬的天气情况是：前5天小雨，后5天暴雨．那么能反映我市主要河流水位变化情况的图象大致是（ ）
答案：B
第3题. (2006 成都课改)右图表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车沿相同路线行驶45千米，由A 地到B 地时，行驶的路程y （千米）与经过的时间x （小时）之间的函数关系．
请根据这个行驶过程中的图象填空：汽车出
发
小时与电动自行车相遇；电动自行车的速度为 千米/小时；汽车的速度为 千米/小时；汽车比电动自行车早 小时到达B 地．
答案：0.5，9，45，2
第4题. (2006 泰安非课改)如图，是一同学骑自行车出行时所行路程s （km ）与时间t （m in ）的函数关系图象，从中得到的正确信息是（ ）
图1 G B
(s)t
图2
第17题 A ．
B ．
C ．
D ．
（小时）
/m in
t
Ａ．整个行程的平均速度为
7km /h 60
Ｂ．前二十分钟的速度比后半小时的速度慢
Ｃ．前二十分钟的速度比后半小时的速度快 Ｄ．从起点到达终点，该同学共用了50m in
答案：Ｃ
第5题. （2006 滨州非课改）如图（单位：m ），直角梯形A B C D 以
2m/s 的速度沿直线l 向正方形C E F G 方向移动，直到A B 与F E 重
合，直角梯形A B C D 与正方形C E F G 重叠部分的面积S 关于移动时间t 的函数图象可能是（ ）
答案：C
第6题. （2006 枣庄非课改）小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示．若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是（ ） Ａ．37.2分钟 Ｂ．48分钟 Ｃ．30分钟
Ｄ．33分钟
答案：Ａ
第7题. （2006 北京非课改）如右图，在梯形A B C D 中，A D B C ∥，90B ∠=
，3122
A D A
B B
C ==
=，，，P 是B C 边上的一个动点（点P 与
点B 不重合，可以与点C 重合），D E AP ⊥于点E ．设AP x =，DE y =． 在下列图象中，能正确反映y 与x 的函数关系的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． Ａ G F
l
10 10 D B
C E
5
10
360时间／分钟
y
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
A
D
E
答案：Ｂ
第8题. （2006 长沙课改）某游泳池分为深水区和浅水区，每次消毒后要重新将水注满泳池，假定进水管的水速是均匀的，那么泳池内水的高度h 随时间t 变化的图象是（ ）
答案：Ｂ
第9题. （2006 常德课改)若用（1），（2），（3
）
，（
4）四幅图象分别表示变量之间的关系，将下面的（a ），（b ），（c ），（
d ）对应的图象排序：
（a ）面积为定值的矩形（矩形的相邻两边长的关系） （b ）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）
（c ）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物质量的关系）
（d ）某人从A 地到B 地后，停留一段时间，然后按原速返回（离开A 地的距离与时间的关系）
，其中正确的顺序是（
）
Ａ．（3）
（4）
（
1）
（2）
Ｂ．（3）
（2）（1）
（4
） Ｃ．（4）（3）（1）（2）
Ｄ．（3）（4）（2）（1）
答案：Ａ
第10题. （2006 德州非课改）如图所示，边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t ，大正方形内除去小正方形部分的面积为S （阴影部分），那么S 与t 的大致图象应为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
（1） （2） （3） （4） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
第11题. (2006 上海非课改)某型号汽油的数量与相应金额的关系如图所示，那么这种汽油的单价是每升__________元． 答案：5.09
第12题. (2006 湖北十堰课改)学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻画，这幅图是下图中的（ ）
答案：Ａ
第13题. (2006 烟台非课改)若用（1）（2）（3）（4）四幅图象分别表示下面四个函数的关系，请根据图象所给顺序，将下面的（a ）（b ）（c ）（d ）四个函数关系对应排序：
（a ）静止的小车从光滑的斜面上滑下，小车的速度y 与时间x 的关系 （b ）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物，弹簧长度y 与所挂重量x 的关系 （c ）运动员推出去的铅球，铅球的高度y 与时间x 的关系
（d ）小明从A 到B 后，停留一段时间，然后按原速度原路返回，小明到A 的距离y 与时间x 的关系 正确的顺序是（ ）
Ａ．（c ）（d ）（a ）（b ） Ｂ．（a ）（b ）（c ）（d ） Ｃ．（c ）（b ）（a ）（d ） Ｄ．（d ）（a ）（c ）（b ）
答案：A
第14题. （2006 湛江课改）小颖从家出发，直走了20分钟，到一个离家1000米的图书室，看了40分钟的书后，用15分钟返回到家，下图中表示小颖离家时间与距离之间的关系的是（ ）
数量（单位：
升）
O
时间
Ａ．
高度
O
时间
Ｂ．
高度
O
时间 Ｃ．
高度
O
时间
Ｄ．
高度 O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
（1） （2） （3） （4）
x （分）
D ．
A ．
B ．
C ．
第15题. (2006 镇江课改)已知：如图1，点G 是B C 的中点，点H 在A F 上，动点P 以每秒2cm 的速度沿图1的边线运动，运动路径为：G C D E F H →→→→→，相应的A B P △的面积2(cm )y 关于运动时间(s)t 的函数图象如图2，若6cm A B =，则下列四个结论中正确的个数有（ ） ①图1中的B C 长是8cm ， ②图2中的M 点表示第4秒时y 的值为224cm ， ③图1中的C D 长是4cm ， ④图2中的N 点表示第12秒时y 的值为218cm ．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
答案：D
图1
G B
(s)t
图2。