函数的应用举例(一)
函数的应用举例
解析】 【解析】住房率是每天房价的函数关系，每天
的收入是=房价 × 住房率 × 间数（100），我 们也可以列出相应的表格：ห้องสมุดไป่ตู้
每间房定价 住房率 收入 100元 65% 6500 90元 75% 6750 80元 85% 6800 60元 95% 5700
从表格中很清楚地看到，每天的房价定在80元 时，每天的收入最高。
解：设每床每夜提高租金 元(x = 2n, n ∈ N,0 ≤ n ≤ 10) 可获租金 y 元，依题意可得， y x y = (10 + x ) × (100 − × 10) 1125 2
= (1 0 + x ) × (1 0 0 − 5 x )
x
-10 0 20
5
= −5 x 2 + 50 x + 1000 2 = − 5( x − 5) + 1125
当 x = 4或 6 时， ymax
= 1120 （元）
为了投资少，则x应取6。
答：为了投资少而获租金多，每床每夜应提高租 金6元。
练习3 练习3
⑴一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营 实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：
每间房定价 住房率 100元 65% 90元 75% 80元 85% 60元 95%
练习1 练习1
A、B两地相距150km，某汽车以每小 两地相距150km， 150km 50km的速度从A地到B km的速度从 时50km的速度从A地到B地，在B地停 小时之后，又以每小时60km的速 60km 留2小时之后，又以每小时60km的速 度返回A 写出该车离开A 度返回A地。写出该车离开A地的距离 s(km)关于时间 关于时间t 小时）的函数关系。 s(km)关于时间t（小时）的函数关系。
单值函数和多值函数的举例
单值函数和多值函数的举例单值函数和多值函数是数学中的重要概念，它们描述了函数的值与函数自变量之间的关系。
下面我会先给出单值函数和多值函数的定义，然后分别举例介绍它们的特点和应用。
1. 单值函数的定义与特点：单值函数指的是，对于函数的每一个自变量值，函数的结果只有一个确定的函数值与之对应。
换句话说，即使自变量的取值可能有多个，但函数的取值只有一个。
单值函数是我们最为常见的函数类型，它的定义域中的每一个自变量值都唯一对应一个函数值。
举例 1：一次函数 y = 2x + 3这是一个单值函数的例子，对于任何给定的 x 值，都可以唯一确定 y 的值。
例如，当 x = 1 时，y = 2(1) + 3 = 5；当 x = 2 时，y = 2(2) + 3 = 7。
通过这个例子，我们可以看到给定一个 x 值，函数 y 的值是唯一确定的。
应用 1：物体的位置随时间的变化假设一个物体在 t 秒钟后的位置为 d(t)，那么 d(t) 就是一个关于时间的单值函数。
在给定一个特定的时间点 t，物体在该时刻的位置只有一个确定的值。
这个函数可以用来描述物体的运动轨迹或位置的变化趋势。
2. 多值函数的定义与特点：多值函数指的是，函数的结果与自变量之间存在多个对应关系。
换句话说，对于函数的某些自变量值，它们的函数值有可能有多个。
多值函数在复数域中特别常见，因为复数域中存在多个平方根等。
举例 2：平方根函数平方根函数f(x) = √x 就是一个多值函数的例子。
对于任何给定的自变量 x，它的平方根函数值有两个解：一个正数解和一个负数解。
例如，当 x = 4 时，f(4) = ± 2，即正负两个值。
因此，平方根函数是一个多值函数。
应用 2：复数域中的多值函数在复数域内，像指数函数、对数函数、三角函数等很多函数都是多值函数。
例如，幂函数 f(z) = z^a（其中 a 为实数）就是一个多值函数，因为给定一个复数 z，它的幂函数值有无数个解，这是由于复数域的特点所导致。
导数与函数的微积分应用举例
导数与函数的微积分应用举例微积分是高等数学中的重要分支，它研究的是函数的变化与求解问题的方法。
其中导数作为微积分的基础概念之一，是描述函数变化率的重要工具。
在日常生活和各个领域中，导数与函数的微积分应用广泛，下面将通过几个实际例子来说明。
例一：速度与加速度考虑一个物体在直线上运动的情况。
当我们观察物体的位置关于时间的变化时，可以得到一个函数，即位置函数。
导数则描述了该位置函数的斜率，也就是速度。
具体来说，如果我们观察物体的位置函数为 s(t)，那么导数 s'(t) 即描述了物体在不同时间点的瞬时速度。
进一步，我们可以对速度进行求导，得到速度函数的导数，即加速度。
加速度描述了速度的变化率，表示物体在单位时间内速度的变化量。
如果速度函数为 v(t)，那么加速度函数 a(t) 即为 v'(t)。
通过速度和加速度的研究，我们可以更好地理解物体的运动规律，进而应用于交通工程、运动竞技等领域。
例二：曲线的切线与极值对于一个曲线上的点 P(x, y)，如果我们希望了解该点处曲线的形状和变化趋势，可以利用导数来求解曲线的切线。
切线可以通过求解导数的值来确定，具体而言，导数即为曲线在该点的斜率。
通过计算切线的斜率，我们可以确定切线方程，并进一步了解曲线在该点附近的性质。
另外，导数还可以帮助我们寻找函数的极值点。
对于一个函数f(x)，如果它在某个点 x0 处的导数为零，那么该点可能是函数的极值点。
通过求解导数为零的方程，我们可以得到函数的极值点，并通过判定二阶导数的正负来确定其是极大值还是极小值。
例三：应用于物理学微积分的应用不仅局限于数学领域，还广泛应用于物理学中。
以牛顿第二定律为例，它描述了物体受力后的加速度与力的关系。
如果我们已知物体所受的力函数 F(t)，可以根据牛顿第二定律得到物体的加速度函数 a(t)。
进一步，通过对加速度函数进行积分，可以得到速度函数和位移函数，从而描述物体在时间 t 上的速度和位移。
高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.4 函数的应用(一)
3.4函数的应用(一)知识解读•必须会知识点1 常见的几种函数模型1.（2022·安徽亳州高一期中）商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价20元,茶杯每个定价5元,该商店现推出两种优惠方案:①买一个茶壶赠送一个茶杯;②按购买总价的92%付款。
某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个)。
当购买茶杯x个时,付款为y 元,试分别建立两种优惠方案中的y与x之间的函数解析式,并指出如果该顾客需购买茶杯40个,应选择哪种优惠方案。
解析：由优惠方案①,得函数解析式为y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,x∈N*)。
由优惠方案②,得函数解析式为y2=(20×4+5x)×92%=4.6x+73.6(x≥4,x∈N*)。
当该顾客需购买茶杯40个时,采用优惠方案①应付款y1=5×40+60=260(元),采用优惠方案②应付款y2=4.6×40+73.6=257.6(元)。
由于y2<y1,故应选择优惠方案②。
知识点2 用函数模型解决实际问题的方法与步骤2.（2021·山东菏泽23校高一期末联考）为节约能源,倡导绿色环保,某主题公园有60辆电动观光车供租赁使用,管理这些电动观光车的费用是每日120元。
根据经验,若每辆电动观光车的日租金不超过5元,则电动观光车可以全部租出;若超过5元,则每超过1元,租不出的电动观光车就增加2辆。
为了便于结算,每辆电动观光车的日租金x(元)(x只取整数),并且要求出租电动观光车一日的收入必须高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租电动观光车的日净收入(即一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得)。
(1)求函数y=f(x)的解析式及其定义域;答案：(1)当x≤5时,y=60x-120,令60x-120>0,解得x>2,因为x∈N*,所以3≤x≤5。
当x>5时,y=[60-2(x-5)]x-120=-2x2+70x-120,令-2x2+70x-120>0,有x2-35x+60<0,上述不等式的整数解为2≤x ≤33(x ∈N *),所以5<x ≤33(x ∈N *)。
3.4 函数的应用(一)
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： 实际问题中四种函数模型：一次函数模型，二次函数模型，幂函数模型， 分段函数模型. 2.方法归纳：配方法、判别式法、换元法. 3.常见误区：函数的实际应用问题易忽视函数的定义域.
所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.
三、分段函数模型的应用
例 3 经市场调查，某新开业的商场在过去一个月内(以 30 天计)，顾客人 数 f(t)(千人)与时间 t(天)的函数关系近似满足 f(t)＝4＋1t (t∈N*)，人均消费 g(t)(元)与时间 t(天)的函数关系近似满足 g(t)＝110300－t，t，1≤7<t≤t≤7，30t，∈tN∈*，N*. (1)求该商场的日收益w(t)(千元)与时间t(天)(1≤t≤30，t∈N*)的函数解 析式；
60t，0≤t≤2.5，
所求函数的解析式为 x＝150，2.5<t≤3.5， －50t＋325，3.5<t≤6.5.
(2)求当t＝5小时时汽车离A地的距离.
解 当t＝5时，x＝－50×5＋325＝75， 即当t＝5小时时汽车离A地75千米.
3 课堂练习
PART THREE
1.小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进 价为6元，若日均销售量Q(束)与销售单价x(元)的关系为Q＝100－5x，则 当该店每天获利最大时，每束花应定价为
二、二次函数与幂函数模型的应用
例2 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低 于50元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平 均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱. (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； 解 根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简， 得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N).
函数的实际应用及举例
函数的实际应用及举例函数是编程中非常重要的概念，它是为了实现特定功能而组织在一起的一段代码。
函数可以将代码模块化，提高代码的可读性和可维护性。
在实际应用中，函数有着广泛的用途，包括数学计算、数据处理、图像处理、网络通信等。
本文将以几个典型应用领域为例，介绍函数的实际应用。
1.数学计算数学计算是函数应用的一个重要领域。
函数可以用于实现复杂的数学运算、求解方程、计算数列等。
例如，计算圆的面积和周长的函数可以定义如下：pythondef calculate_circle(radius):area = 3.14 * radius * radiusperimeter = 2 * 3.14 * radiusreturn area, perimeter这个函数接受圆的半径作为参数，并返回圆的面积和周长。
2.数据处理函数在数据处理中也有着广泛的应用。
函数可以用于数据的读取、转换、清洗、分析等操作。
例如，以下是一个用于计算列表中数字平均值的函数：pythondef calculate_average(numbers):total = sum(numbers)average = total / len(numbers)return average这个函数接受一个数字列表作为参数，并返回平均值。
3.图像处理图像处理是另一个常见的应用领域。
函数可以用于图像的读取、处理、分析、转换等操作。
例如，以下是一个用于将图像转换为灰度图的函数：pythondef convert_to_grayscale(image):gray_image = cv2.cvtColor(image, cv2.COLOR_BGR2GRAY)return gray_image这个函数接受一个彩色图像作为参数，并返回一个灰度图像。
4.网络通信函数在网络通信中也有着重要的应用。
函数可以用于发送和接收网络数据、处理网络请求、解析网络协议等操作。
例如，以下是一个用于发送HTTP请求并获取响应的函数：pythonimport requestsdef send_http_request(url, method='GET', data=None, headers=None): response = requests.request(method, url, data=data,headers=headers)return response.text这个函数接受一个URL作为参数，并返回HTTP响应的内容。
函数的实际应用举例
用28米的栅栏在 一块一面靠墙的 空地里围一片长 方形菜地，使面 积最大
26米的栅栏
7 6
9 8
9
13
13
不靠墙
一边靠墙
两边靠墙
作业： 课本P57页第2题：二次函数最优化方案 • 一个方法：数学模型方法 • 一种数学思想：经济实用 • 一种意识： 数学“源于生活、寓于生活、用于生活”
养蟹场要新建一个长方形蟹塘，为 防止蟹逃走，四周需要用网围起来。 网的长度是80米，怎样围，蟹塘的 面积最大？
80÷4 = 20 （米）
20×20=400（平方米）
例题
例题：王老师计划围一块 矩形养鸡场，他已备足了 可以围10米长的竹篱笆， 问矩形的长和宽各是多少 时，场地的面积最大？最 大面积是多少？
例题
例题：王老师计划一面靠 墙围一块矩形养鸡场，他 已备足了可以围10米长的 竹篱笆，问矩形的长和宽 各是多少时，场地的面积 最大？最大面积是多少？
解：设矩形长x米(0<x<10),宽y米
• X+2y=10 y=0.5(10-x)
面积s=xy=xy=0.5 (10-x) =- 0.5 x²+ 5x
=- 0.5（ x² -10x+25）+12.5
这节课你有何收获，能与大家 分享、交流你的感受吗？
学以致用
•围成面积最大的长方形 •1，一面靠墙时，让长等于宽 的2倍. •2，不靠墙时，让长等于宽
3.4 函数的应用(一)-(新教材人教版必修第一册)(34张PPT)
确定的函数模型解决实际问题．(重 升数学运算素养.
点、难点)
自主预习 探新知
常见的几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
分段函数模型
f1x，x∈D1 f(x)＝f…2x…，x∈D2
数学（人教版）
必修第一册
第三章 函数概念与性质
3.4 函数的应用(一)
学习目标
核心素养
1.了解函数模型(如一次函数、二次
函数、分段函数等在社会生活中普 1. 通过建立函数模型解决实际问
遍使用的函数模型)的广泛应用. 题，培养数学建模素养.
2.能够利用给定的函数模型或建立 2. 借助实际问题中的最值问题，提
(3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200， 所以当x<60时，w随x的增大而增大． 又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125. 所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润 为1 125元．
二次函数模型的解析式为gx＝ax2＋bx＋ca≠0.在函数建模中，它 占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判 别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际 问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.
(1)把 A，B 两城月供电总费用 y(万元)表示成 x(km)的函数，并求定义 域；
(2)核电站建在距 A 城多远，才能使供电总费用最小．
[解] (1)由题意设甲城的月供电费用为y1，则y1＝λ×20x2. 设乙城的月供电费用为y2，则y2＝λ×10×(100－x)2， ∴甲、乙两城月供电总费用y＝λ×20x2＋λ×10×(100－x)2. ∵λ＝0.25， ∴y＝5x2＋52(100－x)2(10≤x≤90)．
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有一堵长为30米的墙，现有50米的篱笆，如果利 引 用这堵墙为一边，将篱笆围成一个长方形的鸡舍,
例 请写出鸡舍的面积S与其宽x的关系式．
30米
S=x (50-2x)= - 2x2+50x
y
x
S
定义域:{x|10≤x<25}
当长为25米,宽为12.5米时
50-2x
面积最大.
引 将如申：何如确果定O在它1现的01有长2.条和5 件宽2下呢5 想？得x到一个面积最大的鸡舍，
欢迎指导！ 谢谢！
小
结
推理演算
实际问题的解 还原说明 数学模型的解
例3，在边长为4的正方形ABCD的边上有一动点P,从 B点出发沿折线BCDA向A点运动,设P点移动的路程 为x, 三角形ABP的面积为y。
（1）求函数的解析式。
（2）求函数的最大值。
D
C
A
B
例4某人开汽车沿一条直路以 60 km/h 的速度从A地到 150 km远处的B地, 在B地停留1 h后,再以 50 km/h的
d d0
0 t0 tB
d d0
0 t0 tC
0 t0 tD
小结
求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用
示意图表示为：
实际问题
抽象概括
数学模型
推
答
理 演
实际问题的解
还原说明
算
数学模型的解
➢解应用问题的一般步骤：设、列、解、答.
(1) 使实际问题数学化 (2)用数学思想、方法解决数学问题 (3)就是将数学结论转译成实际问题的结论。 (4)就是对实际问题的结论作出回答
矩形面积
实际应用问题
函数关系式
解决数学问题
解函数应用问题的基本步骤:
函
第一步：引入变量，抽象数量关系；
数
第二步：尝试建立函数关系式；
法
第三步：解决这个已转化成的函数问题；
第四步：将所得结论转绎成具体问题的解答.
例1.用长为m的铁丝弯成下部为矩形，上部为 半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x， 求此框架的面积y与x的函数式，并写出它的定 义域。
x
150,
t [0,2.5), t [2.5,3.5),
150 50(t 3.5), t [3.5,6.5].
x (km)
150 100
50
O1
2.5 3.5
6.5 t (h)
例4 某人开汽车沿一条直路以 60 km/h 的速度从A地
到 150 km远处的B地, 在B地停留1 h后,再以 50
km/h的速度返回A地. 把汽车与A地的距离 x (km)表
示为时间 t (h) (从A地出发时开始)的函数,并画出函数
的图象;再把车速 v km/h表示为时间 t (h) 的函数,并
画出函数的图象.
v
=60km/h 150km
A
B
x km
v = 50km/h
车速v(km / h)与时间t(h)的函数关系式:
60, t [0,2.5),
v
0,
t [2.5,3.5),
Байду номын сангаас
50, t [3.5,6.5].
v (km/h)
60 40 20
O1 -20 -40 -50
2.5 3.5
6.5 t (h)
课堂练习
1.书p88-课堂练习1、2
2.长为20m的铁丝网围成一个长方形场地，最大 面积为____,若一边靠墙，能围成的最大面积为___.
论这个函数的定义域．
x
x aa-2x
V x(a 2x)2
a-2x
a-2x
定义域为{x | 0 x a }. 2
某学生从家去学校的路上，先跑步前进，跑累了后行 走，走完余下的路程。如果用纵轴表示离家的距离， 横轴表示出发后的时间，则下列四个图象比较符合此 人走法的是（ ）
d
d
d0
d0
0 t0 tA
2x
例2.如图，有一块半径为R的半圆形钢板 ,计划剪裁 成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB为⊙ O直径， 上底CD的端点在圆周上。写出这个梯形周长y和腰
长x间的函数式，并求出它的定义域。
D
引申:求这个梯形 周长的最大值?
x
AE
O
C B
函数应用题的解题步骤可以用下面 的框图表示:
实际应用问题 抽象概括 数学模型
x,截面的面积为S，求面积S以 x为自变量的函数式，
并写出它的定义域．
S x d2 x2
A
D
x Od
B
C
d2 x2
定义域为{x | 0 x d}.
练习二 如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其 四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个 无盖的盒子，写出体积V以x为自变量 的函数式，并讨
3、如图所示，在
y
△ABC中，∠B=90，
AB=BC，C点坐标为
B
（6，0），一条垂直于
x轴的直线以每秒1厘米
的速度从y轴出发向右
运动。设它在t时刻内扫
过△ABC内的面积为
A
t
6 Cx
S(t)，求S(t)的表达式。
练习一 将一个底面圆的直径为 d的圆柱截成横截
面为长方形的棱柱，若这个长方形截面的一条边长为
速度返回A地. 把汽车与A地的距离 x (km)表示为时间 t
(h) (从A地出发时开始)的函数,并画出函数的图象;再把车
速 v km/h表示为时间 t (h) 的函数,并画出函数的图象.
v
=60km/h 150km
A
B
x km
v = 50km/h
距离x(km)与时间t(h)之间函数关系式是:
60t,