【高考讲坛】高考数学一轮复习 第5章 第2节 等差数列课后限时自测 理 苏教版
【创新设计】高三数学一轮复习 5-2等差数列课件 理 苏教版
设A＝ ，B＝a1－ ，上式可写成Sn＝An2＋Bn，当A≠0(即d≠0)时，Sn是关 于n的二次函数式(其中常数项为0)，那么(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图 象上．因此，当d≠0时，数列S1，S2，S3，…，Sn的图象为抛物线y＝Ax2＋Bx 上的一群孤立的点．
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等
∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0.∴
＝2(n≥2)．
由等差数列的定义知 是以
＝2为首项，以2为公差的等差数列．
(2)解：由(1)知
＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝
当n≥2时，有an＝－2Sn×Sn－1＝
，又∵a1＝
∴an＝
变式1：已知数列{an}中，a1＝ ，通项an＝2－
当a1＞0，d＜0时，数列{an}为递减数列，Sn有最大值，当d＝0时，{an}为常数列．
【高考真题】
【例4】 (2009·全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72， 则a2＋a4＋a9＝________. 分析：由S9＝72，可得到a5＝8，然后对a2＋a4＋a9进行定向分拆， 转化成a5的倍数即可．
【例1】 已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，
a1＝ ；(1)求证：
是等差数列；(2)求an的表达式．
思路点拨：(1)由an与Sn的关系先转化为an＝Sn－Sn－1，
然后利用定义证明．(2)先求Sn，再求an.
(1)证明：∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，
第2课时 等差数列
1．理解等差数列、等差中项的概念．掌握等差数列的通项公式与前n项和． 2．能在具体的情境中识别数列的等差关系，并能运用有关知识解决相关
高三数学一轮复习5.2等差数列部分 重点、考点知识、高考真题讲解及练习
项起是等差数列；
11）若数列
{an
}
是等差数列，前
n
项和为
S
n
，则
{
Sn n
}
也是等差数列，其首项和
{an
}
的首
1 项相同，公差是{an} 公差的 2 ；
12）若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为 x d , x, x d ；若四个数成等差数
列，则通常可设这四个数分别为 x 3d , x d , x d , x 3d ；
A． B． C． D．
【解答】解：∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a5=5，S8=36，
t
∴
t
，
解得 a1=1，d=1，
∴an=1+（n﹣1）×1=n，
∴
=
=
，
∴数列
的前 n 项和为：
Sn= 故选：B．
=1﹣
．
13．（2018•齐齐哈尔一模）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a3=3，S4=14．则 {an}的公差为（ ） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【解答】解：设等差数列{an}的公差为 d，∵a3=3，S4=14． ∴a1+2d=3，4a1+ d=14，
∴数列{an}是首项为 24，公差为 2 的等差数列，
∴Sn=24n+
=﹣n2+25n=﹣（n﹣ ）2+ ．
∴要使此数列的前 n 项和 Sn 最大，则 n 的值为 12 或 13．
故选：C．
12．（2018•宣城二模）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a5=5，S8=36，则数列 的前 n 项和为（ ）
A．20 B．35 C．45 D．90 【解答】解：由等差数列的性质得，a1+a9=a2+a8=10，S9=
高考数学一轮复习第5章数列第2讲等差数列及其前n项和知能训练轻松闯关文北师大版
第2讲 等差数列及其前n 项和1．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．3解析：选C.由题意可得S 3＝3a 1＋3d ＝12＋3d ＝6，解得d ＝－2，故选C. 2．已知等差数列{a n }，且3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48，则数列{a n }的前13项之和为( ) A ．24 B ．39 C ．104 D ．52解析：选D.因为{a n }是等差数列，所以3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝6a 4＋6a 10＝48，所以a 4＋a 10＝8，其前13项的和为13（a 1＋a 13）2＝13（a 4＋a 10）2＝13×82＝52，故选D.3．(2016·新余质检)在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11＝( )A ．24B ．48C ．66D ．132解析：选D.数列{a n }是等差数列，故a 6＋3d ＝12(a 6＋6d )＋6，所以a 6＝12.又S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11a 6，所以S 11＝132.4．(2016·淮北、淮南模拟)如果等差数列{a n }中，a 1＝－11，S 1010－S 88＝2，则S 11＝( )A ．－11B ．10C ．11D ．－10解析：选A.由S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，得S n n ＝a 1＋（n －1）2d ，由S 1010－S 88＝2，得a 1＋92d －⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋72d ＝2，解得d ＝2，S 1111＝a 1＋102d ＝－11＋5×2＝－1，所以S 11＝－11. 5．(2016·江西省白鹭洲中学高三模拟)等差数列{a n }中a 10a 9＜－1，它的前n 项和S n 有最大值，则当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．17B ．18C ．19D ．20解析：选A.由题意知，a 1＞0，d ＜0，因为a 10a 9＜－1，所以a 10＜－a 9＜0，即2a 1＜－17d . 所以S 18＝（a 1＋a 18）×182＝（2a 1＋17d ）×182＜0，S 17＝（a 1＋a 17）×172＝（2a 1＋16d ）×172＝(a 1＋8d )×17＞0.故选A.6．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 构成的集合为( ) A ．{5} B ．{6} C ．{5，6} D ．{7}解析：选C.在等差数列{a n }中，由S 10>0，S 11＝0，得S 10＝10（a 1＋a 10）2>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0，S 11＝11（a 1＋a 11）2＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，故可知等差数列{a n }是递减数列且a 6＝0，所以S 5＝S 6≥S n ，其中n ∈N *，所以k ＝5或6.7．(2016·淮北质检)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝__________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝6a 1＋6×52d ，a 1＋3d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2，所以a 5＝a 4＋d ＝1＋(－2)＝－1.答案：－18．(2016·驻马店调研)若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －4，则a n ＝________．解析：由3a n ＋1＝3a n －4，得a n ＋1－a n ＝－43，所以{a n }是等差数列，首项a 1＝15，公差d ＝－43，所以a n ＝15－43(n －1)＝49－4n3.答案：49－4n 39．(2016·东北三校联考)已知正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n a n ＋1＋a na n －1＝2，则a 12＝________．解析：因为a n a n ＋1＋a n a n －1＝2，所以1a n ＋1＋1a n －1＝2a n ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，且首项为1a 1＝12，公差为1a 2－1a 1＝12，所以1a n ＝12＋(n －1)×12＝n 2，所以a n ＝2n ，所以a 12＝16. 答案：1610．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝1＋a n a n，若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围为________．解析：依题意得b n ＝1＋1a n，对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8，即数列{b n }的最小项是第8项，于是有1a n ≥1a 8.又数列{a n }是公差为1的等差数列，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a 8＜0，a 9＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＜0，a ＋8＞0，由此解得－8＜a ＜－7，即实数a 的取值范围是(－8，－7)． 答案：(－8，－7)11．(2016·无锡质检)已知数列{a n }的前n 项和S n 是n 的二次函数，且a 1＝－2，a 2＝2，S 3＝6.(1)求S n ；(2)证明：数列{a n }是等差数列．解：(1)设S n ＝An 2＋Bn ＋C (A ≠0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝A ＋B ＋C ，0＝4A ＋2B ＋C ，6＝9A ＋3B ＋C ，解得A ＝2，B ＝－4，C ＝0，故S n ＝2n 2－4n .(2)证明：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－4n －[2(n －1)2－4(n －1)]＝4n －6，a 1＝－2也满足．故a n＝4n －6(n ∈N *)．因为a n ＋1－a n ＝4，所以数列{a n }成等差数列．1．已知数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 6a 6＜0，它的前n 项和S n 有最小值，则S n 取到最小正数时n 的值为________．解析：由a 7＋a 6a 6＜0得a 6(a 7＋a 6)＜0，又数列{a n }的前n 项和S n 有最小值，所以公差d ＞0，则a 6＜0，a 7＞0，a 7＋a 6＞0，所以S 11＝11a 6＜0，S 12＝6(a 7＋a 6)＞0，即S n 取到最小正数时n的值为12. 答案：122．(2016·宿州模拟)已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7(n ∈N *)．(1)设函数y ＝f (x )的图像的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列； (2)设函数y ＝f (x )的图像的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n .解：(1)证明：因为f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8， 所以a n ＝3n －8，因为a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3， 所以数列{a n }为等差数列．(2)由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|， 所以当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，S n ＝b 1＋…＋b n ＝n （b 1＋b n ）2＝n [5＋（8－3n ）]2＝13n －3n 22；当n ≥3时，b n ＝3n －8， S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋1＋…＋(3n －8)＝7＋（n －2）[1＋（3n －8）]2＝3n 2－13n ＋282.所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧13n －3n22，1≤n ≤2，3n 2－13n ＋282，n ≥3.3．各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和． (1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)当n ＝1时，a 21＝4S 1－2a 1－1，即(a 1－1)2＝0，解得a 1＝1.当n ＝2时，a 22＝4S 2－2a 2－1＝4a 1＋2a 2－1＝3＋2a 2， 解得a 2＝3或a 2＝－1(舍去)．(2)a 2n ＝4S n －2a n －1，① a 2n ＋1＝4S n ＋1－2a n ＋1－1.②②－①得a 2n ＋1－a 2n ＝4a n ＋1－2a n ＋1＋2a n ＝2(a n ＋1＋a n )，即(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝2(a n ＋1＋a n )．因为数列{a n }各项均为正数，所以a n ＋1＋a n >0，a n ＋1－a n ＝2， 所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． 所以a n ＝2n －1.。
高考数学一轮复习 等差数列学案(含解析)苏教版必修5
等差数列【考点1】等差数列的定义（1）等差数列的定义：数列{}n a 中，若d a a n n =-+1（常数），对*∈N n 都成立，则数列{}n a 叫等差数列，常数d 叫等差数列的公差．等差数列的通项公式为d n a a n )1(1-+=通项公式推广：d m n a a m n )(-+=例1已知等差数列{}n a 中，1533a =,45153a =，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由．【点拨】判断某个数值是否为某数列中的项，基本的思路是先得到这个数列的通项公式，再验证这个数值是否为其中的某项．【解析】法一：由通项公式，得 ⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+==+=4231534433141145115d a d a a d a a ， ∴1(1)427n a a n d n =+-=-, 由217427n =-，解得61n =．∴217是此数列的第61项．法二：由等差数列性质得45153015333a a d -==-，即4d =,又15(15)n a a n d =+-， ∴217334(15)n =+-, 得61n =．∴217是此数列的第61项．法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点，∵点P （15,33）, ∴（45,153）, R （n,217）在同一条直线上，∴ 45153217154533153--=--n ，得61n =．∴217是此数列的第61项． 【答案】第61项．【小结】在解决等差数列、等比数列的有关问题时，要熟悉其基本概念，基本公式及性质．1．等差数列{a n }中，首项a 1＝3，公差d ＝5，如果a n ＝2013，则序号n 等于 ． 【解答过程】解析：由a 1＝3，d ＝5可得通项公式a n ＝a 1＋（n －1）d ＝3＋5（n －1）＝5n －2，由5n －2＝2013，得n ＝403．【考点2】等差数列的判定方法及分类 （1）等差数列的判定方法：①定义法：d a a n n =-+1⇔{}n a 是等差数列；②中项公式法：212+++=n n n a a a （n *N ∈）⇔{}n a 是等差数列；③通项公式法：q pn a n +=⇔{}n a 是等差数列；④前n 项和公式法：Bn An S n +=2（A,B,为常数）⇔{}n a 是等差数列． ⑤设｛n a ｝是等差数列，数列｛nS n｝是等差数列． （2）等差数列的分类：当0>d 时，}{n a 是递增数列；当0<d 时，}{n a 是递减数列；当0=d 时，}{n a 是常数列．例2已知数列{}n a 满足()11121,2n n n n n a a a n N a +*+==∈+，证明数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列． 【点拨】对1122n n n nn a a a ++=+左右两边同除以12n +得1122n n n n n a a a ++=+，然后倒置得11221n nn na a ++=+，移项根据等差数列的定义判别． 【解析】由已知可得1122n n n n n a a a ++=+，所以11221n n n n a a ++=+，即11221n nn n a a ++-=，∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列．【小结】本题考查倒置法构造等差数列．练习1：已知数列{}n a 中，()1121,2nn n a a a n N a *+==∈+，则n a 等于 ． 【解题过程】【解析】本题考查取倒数法构造等差数列间接求得数列{}n a 的通项公式，从而求得5a 的值．由122n n n a a a +=+得1211122n n n n a a a a +==++,11112n n a a +∴-=1n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以12为公差的等差数列．()11111,22n n n a +∴=+-⨯=21n a n ∴=+． 例3数列{}n a 满足14a =，144n n a a -=-（n ≥2），设n b =12n a -，判断数列{}n b 是否为等差数列并试证明．【点拨】利用等差数列的定义，144n n a a -=-代入1n n b b +-证得． 【解析】∵ 1112422n n n n n a b b a a +-=-=--，∴ 数列{}n b 是公差为12的等差数列． 【小结】本题考查等差数列的定义．练习1：在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n，设b n ＝a n2n －1．证明：数列{b n }是等差数列． 【解答过程】【解析】由已知a n ＋1＝2a n ＋2n，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n2n＝a n2n －1＋1＝b n ＋1．∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1．∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．【考点3】通项公式求法：1．给出数列的前几项,求通项时,要对项的特征进行认真的分析、化归；2．数列前n 项的和n S 和通项n a 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式1n n n a S S -=-时，一定要注意条件2n ≥ ，求通项时一定要验证1a 是否适合．例4设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2(1)n n S na n n =--．求出数列{}n a 的通项公式．【点拨】递推()()11121n n S n a n n ++=+-+与2(1)n n S na n n =--相减化简即可求出通项公式．【解析】由)1(2--=n n na S n n 得n na a n S S a n n n n n 4)1(111--+=-=+++.41=-∴+n n a a 所以，数列}{n a 是以1为首项，4为公差的等差数列．()14143n a n n =+-=-． 【答案】()14143n a n n =+-=-． 【小结】本题考查等差数列的通项公式．练习1:已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1,n a n N *=+∈ ，求数列{}n a 的通项公式． 【解答过程】【解析】令1n =，则11S a =，则11a =+，解得11a =．由1,n a n N *=+∈得()214n na S +=，则()()22111144n n n n n a a a S S --++=-=-，化简得()()1120n n n n a a a a --+--=，则120n n a a ---=．即数列{}n a 是首相为1,公差为2的等差数列，21n a n =-．【考点4】等差数列的性质（1）对于任意正整数n ，都有121a a a a n n -=-+（2）数列}{n a 是等差数列⇔对于任意的正整数2≥n ，有112-++=n n n a a a （3）dk n a a k n )(-+=．（4）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+（反之也成立）（其中+∈N q p n m ,,,）如：=+=+=+--23121n n n a a a a a a ．（5）已知}{n a 、}{n b 是等差数列，则}{n n b a ±也是等差数列（6）已知}{n a 是等差数列，则}{},{},{},{},{23133122---n n n n n a a a a a …等都是等差数列 （7）等差中项：如果在b a ,中间插入一个数A ，使b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且2ba A +=．（8）三数成等差数列，可设为：d a d a a 2,,++或d a a d a +-,,．例5等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于 ．【点拨】利用q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+（反之也成立）（其中+∈N q p n m ,,,）及等差数列的前n 项和公式求解．【解析】147369464639,27,339,327,13,9a a a a a a a a a a ++=++=====91946999()()(139)99222S a a a a =+=+=+=． 【答案】99．【小结】本题考查等差数列的性质及前n 项和．练习1：等差数列}{n a 中，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=,则此数列前20项和等于 ． 【解题过程】拓展：两等差数列{a n }、{b n }的前n 项和的比'5327n n S n S n +=+，则55a b 的值是 ． 【解题过程】解析：19559559199()24829252()2a a a a Sb b S b b +⋅====+⋅． 【小结】若n n a b ，是等差数列，n n S T ，为前n 项和，则2121m m m m a S b T --=．例6已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数． 【点拨】设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，根据题意列方程组求解． 【解析】设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－＋－＋＋＋＋＝26，－＋＝40，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32.所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2． 【答案】2,5,8,11或11,8,5,2．【小结】若四个成等差数列，可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ．练习1：若等差数列的四个数之和为52，第二数与第三数之积为160，则这四个数依次为 ． 【解题过程】基础练习 （时间：６０分钟）1．等差数列{}n a 中，已知113=a ，a 2+a 5=4，a n =33，则n 是 ． 2．（2014·辽宁卷）设等差数列{a n }的公差为d ．若数列{2a 1a n }为递减数列，则 ． 3．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________． 4．若x≠y，且x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1＝________．5．已知方程22(2)(2)x x m x x n －＋－＋＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝________．6．若数列{}n a 为等差数列，1050100a a +=, 4515900⋅=a a ,且公差0d > 求60=a _____．7．已知正项数列{}n a 满足11a 2=，且n n 1na a 1a +=+，n a =_______． 8．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，a n ＝2S 2n2S n －1（n≥2），求n a =_______．9．（2014·重庆卷）设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b （n∈N *）．若b ＝1，求n a =_______．10．（黄冈中学2014届高三十月月考数学试卷）已知数列{}n a 的前n 项和222n S n n =-+，则n a =_______．11．设S n 是数列{a n }的前n 项和且n ∈N *，所有项a n >0，且S n ＝14a 2n ＋12a n －34．求n a =_______．12．（湖南常德市2013-2014学年度上学期高三检测考试）已知{n a }为等差数列，若1235a a a ++=，78910a a a ++=,则192021a a a ++=_______．13．等差数列}{n a 的公差为1，且99999821=++++a a a a ，则36a a ++996a a +++99a = ．14．在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ ．15．若一个等差数列{a n }的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有_______项．16．已知等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 与T n ，且S n T n ＝2n ＋13n ＋2．则a 9b 9等于________．17．三个数成等差数列，它们的和是15，它们的平方和等于83，则这三个数分别为 ． 18．已知{a n }是等差数列，a 1＝2，a 2＝3，若在每相邻两项之间插入3个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求： （1）原数列的第12项是新数列的第几项？ （2）新数列的第29项是原数列的第几项？19．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且1()2n n n a a S +=．求证：数列{}n a 为等差数列．20．已知数列{a n }，a n ∈N *，S n =2)2(81+n a ，求证：{a n }是等差数列；21．（2014·新课标全国卷Ⅰ）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． （1）证明：a n ＋2－a n ＝λ．（2）是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．22．已知数列{a n }满足a 1＝2a ，a n ＝2a －12-n a a （n≥2）．其中a 是不为0的常数，令b n ＝aa n -1．（1）求证：数列{b n }是等差数列． （2）求数列{a n }的通项公式．23．已知数列{}n a 的首项为1a =3，通项n a 与前n 项和之间满足2n a =·1-（n ≥2）． （1）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列，并求公差； （2）求数列{}n a 的通项公式．参考答案1．【解析】由已知得251112541335013⎧⎪+=+=⎪⎪=+-=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩（）n a a a d a a n d n a2．【解析】 令b n ＝2a 1a n ，因为数列{2a 1a n }为递减数列，所以b n ＋1b n ＝2a 1a n ＋12a 1a n ＝2a 1（a n ＋1－a n ）＝2a 1d<1，所得a 1d<0．3．【解析】设a n ＝－24＋（n －1）d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d≤0a 10＝－24＋9d>0解得：83<d≤3．4．【解析】由题知a 2－a 1＝d 1＝y －x 3，b 2－b 1＝d 2＝y －x 4，∴a 2－a 1b 2－b 1＝43．5．【解析】设220x x m －＋＝的根为12x x ,且12x x <，220x x n －＋＝的根为34x x ,且34x x <，不妨设1x ＝14．∵122x x ＋＝，∴ 2x ＝74．又∵ 342x x ＋＝，且1342x x x x ,,,成等差数列，∴ 公差d ＝171344⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭＝12，∴ 3x ＝34，4x ＝54．∴|m n －|＝17354444⨯-⨯＝12．6．【解析】∵{}n a 为等差数列 ∴10501545100a a a a +=+=又∵4515900⋅=a a ∴45a 、15a 是方程21009000x x -+=的根∴15451090a a =⎧⎪⎨=⎪⎩或15459010a a =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）得60130a =． 7．【解析】由n n 1n a a 1a +=+，可变形为：n 1n n 1n a a a =a +++ ∴n 1n11=1a a +-．∵11a 2=∴数列n 1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列．n 12n 1n 1a =+-=+，∴n1a n 1=+． 8．【解析】当n≥2时，将S n －S n －1＝a n 代入式子a n ＝2S 2n 2S n －1，得S n －S n －1＝2S 2n2S n －1．整理，得S n －1－S n ＝2S n ·S n －1．两边同除S n ·S n －1得1S n －1S n －1＝2（n≥2）．∴数列{1S n }是以2为公差的等差数列．则1S n ＝1S 1＋2（n －1）＝2n －1．∴S n ＝12n －1（S 1＝a 1＝1也适合此式）．当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2－－．当n ＝1时，a 1＝1不适合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝1，－2－－，n ≥2.9．【解析】a 2＝2，a 3＝2＋1．再由题设条件知（a n ＋1－1）2＝（a n －1）2＋1．从而{（a n －1）2}是首项为0，公差为1的等差数列，故（a n －1）2＝n －1，即a n ＝n －1＋1（n∈N *）． 10．【解析】当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，123n n n a S S n -=-=-．由于当1n =时1a 的值不适合2n ≥的解析式．11．【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1－34，解得a 1＝3或a 1＝－1（舍去）． 当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14（a 2n ＋2a n －3）－14（a 2n －1＋2a n －1－3）． ∴4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1．∴（a n ＋a n －1）（a n －a n －1－2）＝0．∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝2（n≥2）．∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列．∴a n ＝3＋2（n －1）＝2n ＋1．12．【解析】设数列的公差为d ，则78912366651810a a a a d a d a d d ++=+++++=+=，所以185d =，故192021a a a ++=789121212a d a d a d +++++103620d =+=13．略．14．【解析】∵d＝a 6－a 5＝－5，∴a 4＋a 5＋…＋a 10＝49)2(72)(75104-=+=+d a a a ． 15．【解析】a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180，所以3（a 1＋a n ）＝180，即a 1＋a n ＝60．由S n ＝390，知1＋a n 2＝390．所以n×602＝390，解得n ＝13． 16．【解析】a 9b 9＝17a 917b 9＝S 17T 17＝2×17＋13×17＋2＝3553． 17．略．18．【解析】∵数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，d ＝a 2－a 1＝3－2＝1，∴a n ＝a 1＋（n －1）d ＝2＋（n －1）×1＝n ＋1．设新数列为{b n }，公差为d′，据题意知b 1＝2，b 5＝3，则d′＝b 5－b 15－1＝3－24＝14， ∴b n ＝2＋（n －1）×14＝n 4＋74．（1）a 12＝12＋1＝13，令n 4＋74＝13，得n ＝45， 故原数列的第12项是新数列的第45项．（2）b 29＝294＋74＝9， 令n ＋1＝9，得n ＝8，故新数列的第29项是原数列的第8项．19．【解析】由1()2n n n a a S +=得111(1)()2n n n a a S ++++=，所以 11111(1)()()22n n n n n n a a n a a a S S ++++++=-=- 整理得11(1)n n n a na a +--=-，又得11(2)(1)(1)n n n a n a a n ----=-> 相减并整理得: 112(2)n n n a a a n +-+=≥所以数列{}n a 是个等差数列20．【解析】a n+1 = S n+1–S n 221)2(81)2(81+-+=+n n a a , ∴8a n+1 =221)2()2(+-++n n a a ,∴0)2()2(221=+--+n n a a ,∴11()(4)0n n n n a a a a +++--=，∵a n ∈N *，∴10n n a a ++≠， ∴140n n a a +--=，即14n n a a +-=，∴数列{a n }是等差数列．21．【解析】（1）证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1， 两式相减得a n ＋1（a n ＋2－a n ）＝λa n ＋1．因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ．（2）由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得 a 2＝λ－1， 由（1）知，a 3＝λ＋1．若{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4． 由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1． 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2．因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．22．【解析】∵ ⑴ a n ＝2a －12-n a a （n≥2） ∴ b n ＝)(111112a a a a a a a a a n n n n -=-=---- （n≥2） ∴b n －b n －1＝aa a a a a a n n n 11)(111=------ （n≥2） ∴ 数列{b n }是公差为a 1的等差数列． ⑵ ∵b 1＝aa -11＝a 1 故由⑴得：b n ＝a 1＋（n －1）×a 1＝a n 即：aa n -1＝a n 得：a n ＝a （1＋n 1） 23．【解析】（１）由条件得2（1--n n S S ）=1-⋅n n S S ，∴ 11112n n S S --=-, ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列，且公差为－21． （2）解：由（1）知n S n S n n 356)21)(1(311-=⇒--+= ． 当时，； 当时，S n －S n-1=)83)(53(18--n n ． ∴3(1),18(2).(35)(38)n n n n =⎧⎪⎨⎪--⎩≥。
2021届新高考数学一轮：第五章 第2讲 等差数列
有
3.平常学习过程中，能通过题目
关知识解决相应的问题.
强化对基础知识的认识、理解和
4. 体会等差数列与一次函数 应用，以便解决与其他章节有联
的关系
系的题目
1.等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于 同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等 差数列的公差，通常用字母___d___表示.
考点 2 等差数列的基本性质及应用
例 2：(1)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S10＝1，
S30＝5，则 S40＝( )
A.7
B.8
C.9
D.10
思维点拨：思路1，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 根据题意列方程组求得a1，d，进而可用等差数列前n 项和公式 求S40；
4.已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋12(n≥2)，则数列{an} 的前 9 项和等于____2_7___.
解析：∵当 n≥2 时，an＝an－1＋12，且 a2＝a1＋12， ∴{an}是以 1 为首项，12为公差的等差数列. ∴S9＝9×1＋9×2 8×12＝9＋18＝27.
考点 1 等差数列的基本运算
或 Sn＝na1＋nn2－1d.
5.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 Sn＝d2n2＋a1－d2n. 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数). 6.等差数列的常用性质 (1)若数列{an}是等差数列，则数列{an＋p}，{pan}(p 是常数) 都是等差数列. (2)若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq； 特别地，若 m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则 am＋an＝2ap.
第2讲 等差数列
高考数学(文科)江苏版一轮复习：第5章 2 第2讲 等差数列及其前n项和分层演练直击高考数学
1．(2018·南通模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＝1，a 4＝5，则S 5＝________. [解析] 法一：由等差数列的通项公式，得5＝1＋2d ，d ＝2，a 1＝－1，S 5＝15. 法二：S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5（a 2＋a 4）2＝5×62＝15.[答案] 152．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为________． [解析] a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37.所以m ＝37. [答案] 373．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝__________． [解析] 设{a n }的公差为d ，由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝6a 1＋6×52d ，a 1＋3d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2，所以a 5＝a 4＋d ＝1＋(－2)＝－1.[答案] －14．(2018·温州模拟)记S n 为等差数列{a n }前n 项和，若S 33－S 22＝1，则其公差d ＝________．[解析] 由S 33－S 22＝1，得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝1，即a 1＋d －⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋d 2＝1，所以d ＝2.[答案] 25．已知{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝________.[解析] 由a 11a 10<－1，得a 11＋a 10a 10<0，且它的前n 项和S n 有最大值，则a 10>0，a 11<0，a 11＋a 10<0，则S 19>0，S 20<0，那么当S n 取得最小正值时，n ＝19.[答案] 196．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(四))已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则S 3S 7－S 4的值为________．[解析] 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1，a 3，a 4成等比数列， 所以a 23＝a 1a 4，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，因为d ≠0，所以a 1＝－4d ，所以S 3S 7－S 4＝3a 1＋3×22d7a 1＋7×62d －⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋4×32d ＝3a 1＋3d3a 1＋15d ＝－9d3d ＝－3.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1，a 3，a 4成等比数列， 所以a 23＝a 1a 4，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，因为d ≠0，所以a 1＝－4d ， 所以S 3S 7－S 4＝3a 23a 6＝a 1＋d a 1＋5d ＝－3dd ＝－3.[答案] －37．(2018·泰安模拟)正项数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝2，2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N ，n ≥2)，则a 7＝________. [解析] 因为2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N ，n ≥2)，所以数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以d ＝a 22－a 21＝3为公差的等差数列，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝3n －2，n ≥1，所以a 7＝3×7－2＝19.[答案]198．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值为________．[解析] 由a 1>0，a 10·a 11<0可知d <0，a 10>0，a 11<0， 所以T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60.[答案] 609．在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }的前n 项和，若S n 取得最大值，则n 等于________．[解析] 因为3a 4＝7a 7，所以3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )， 所以a 1＝－334d >0，所以d <0，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝d4(4n －37)，当n ≤9时，a n >0，当n ≥10时，a n <0， 所以使S n 取得最大值的n ＝9. [答案] 910．(2018·南京模拟)已知正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a na n ＋1＋a na n －1＝2，则a 12＝________．[解析] 因为a na n ＋1＋a na n －1＝2，所以1a n ＋1＋1a n －1＝2a n ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，且首项为1a 1＝12，公差为1a 2－1a 1＝12，所以1a n ＝12＋(n －1)×12＝n 2，所以a n ＝2n ，所以a 12＝16. [答案] 1611．(2018·徐州调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n＝1a n(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：因为b n ＝1a n ，且a n ＝a n －12a n －1＋1，所以b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n2a n ＋1＝2a n ＋1a n，所以b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n －1a n＝2.又b 1＝1a 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n ，所以a n ＝1b n ＝12n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1.12．(2018·南京、盐城高三模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }，{c n }满足(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S n n，(n ＋2)·c n ＝a n ＋1＋a n ＋22－S nn，其中n ∈N *.(1)若数列{a n }是公差为2的等差数列，求数列{c n }的通项公式；(2)若存在实数λ，使得对一切n ∈N *，有b n ≤λ≤c n ，求证：数列{a n }是等差数列． 解：(1)因为{a n }是公差为2的等差数列， 所以a n ＝a 1＋2(n －1)，S n n＝a 1＋n －1.因为(n ＋2)c n ＝a 1＋2n ＋a 1＋2（n ＋1）2－(a 1＋n －1)＝n ＋2，所以c n ＝1.(2)证明：由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S n n，得n (n ＋1)b n ＝na n ＋1－S n ，(n ＋1)(n ＋2)b n ＋1＝(n ＋1)·a n ＋2－S n ＋1， 两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2)b n ＋1－nb n . 从而(n ＋2)c n ＝a n ＋1＋a n ＋22－S n n＝a n ＋1＋a n ＋22－[a n ＋1－(n ＋1)b n ]＝a n ＋2－a n ＋12＋(n ＋1)b n ＝（n ＋2）b n ＋1－nb n 2＋(n ＋1)b n ＝n ＋22(b n ＋b n ＋1)，因此c n ＝12(b n ＋b n ＋1)．因为对一切n ∈N *，有b n ≤λ≤c n ，所以λ≤c n ＝12(b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ.所以(n ＋1)λ＝a n ＋1－S n n，①(n ＋2)λ＝12(a n ＋1＋a n ＋2)－S nn，②②－①得12(a n ＋2－a n ＋1)＝λ，即a n ＋2－a n ＋1＝2λ，故a n ＋1－a n ＝2λ(n ≥2)．又2λ＝a 2－S 11＝a 2－a 1，则a n ＋1－a n ＝2λ(n ≥1)．所以数列{a n }是等差数列．1．已知等差数列{a n }中，a 8≥15，a 9≤13，则a 12的取值范围是________．[解析] 因为a 8＝a 1＋7d ≥15，a 9＝a 1＋8d ≤13，所以a 12＝a 1＋11d ＝－3(a 1＋7d )＋4(a 1＋8d )≤7. [答案] (－∞，7]2．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，则这五个数的积为________．[解析] 设第三个数为a ，公差为d ，则这五个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ， 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧（a －2d ）＋（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＋（a ＋2d ）＝5，（a －2d ）2＋（a －d ）2＋a 2＋（a ＋d ）2＋（a ＋2d ）2＝859， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，d ＝±23.所求5个数分别为－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.故它们的积为－3581.[答案] －35813．下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题： ①数列{a n }是递增数列；②数列{na n }是递增数列；③数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；④数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为________．(填序号)[解析] 因为d >0，所以a n ＋1>a n ，所以①是真命题．因为n ＋1>n ，但是a n 的符号不知道，所以②是假命题．同理③是假命题．由a n ＋1＋3(n ＋1)d －a n －3nd ＝4d >0，所以④是真命题．[答案] ①④4．(2018·江西省七校联考改编)《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题．《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织 ，日益功疾(注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则第2天织的布的尺数为________．[解析] 由题意可知，织布数量是以5为首项的等差数列，且前30项的和为390.设公差为d ，30×5＋30×29d 2＝390 ，解得d ＝1629，所以第2天织布的尺数为d ＋5＝16129. [答案] 161295．已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋cn (n ＋1)(c 为常数)．(1)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)若{a n }是正数组成的数列，试给出不依赖于n 的一个充要条件，使得数列{a n }是等差数列，并说明理由．[解] (1)证明：由na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋cn (n ＋1)，可得a n ＋1n ＋1＝a nn ＋c ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为首项，c 为公差的等差数列． (2)由(1)可知，a n n＝1＋(n －1)c ，则a n ＝n ＋n (n －1)c . {a n }是等差数列的充要条件是a n ＝an ＋b ，即a 2n 2＋2abn ＋b 2＝cn 2＋(1－c )n ，则c ＝1.6．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(九))已知正项数列：a 1，a 2，…，a m (m ≥4，m ∈N *)满足a 1，a 2，a 3，…，a k －1，a k (k <m ，k ∈N *)是公差为d 的等差数列，a 1，a m ，a m －1，…，a k ＋1，a k 是公比为2的等比数列．(1)若a 1＝d ＝2，k ＝8，求数列a 1，a 2，…，a m 的所有项的和S m ； (2)若a 1＝d ＝2，m <2 016，求m 的最大值．[解] (1)由已知k <m ，k ∈N *，当n ≤k ，n ∈N *时，a n ＝2n ，a k ＝a 8＝16， 故a 1，a 2，a 3，…，a k －1，a k (k <m ，k ∈N *)为2，4，6，8，10，12，14，16. 又a 1，a m ，a m －1，…，a k ＋1，a k 的公比为2，则对应的数为2，4，8，16， 从而a 1，a 2，…，a m 即为2，4，6，8，10，12，14，16，8，4. 此时m ＝10，S m ＝8（2＋16）2＋8＋4＝84.(2)a 1，a 2，a 3，…，a k －1，a k (k <m ，k ∈N *)是首项为2，公差为2的等差数列， 故当n ≤k ，n ∈N *时，a n ＝2n ，从而a k ＝2k .而a 1，a m ，a m －1，…，a k ＋1，a k 是首项为2，公比为2的等比数列，且a k ＝2m －k ＋2. 故有2k ＝2m －k ＋2，即k ＝2m －k ＋1，则k 必是2的正整数幂．又k ·2k ＝2m ＋1，若m 最大，k 必须最大，又k <m <2 016，故k 的最大值为210. 所以210×2210＝210×21 024＝21 034＝2m ＋1，即m 的最大值为1 033.。
2021高考数学(苏教,理科)复习课件：第五章 数列第二节 等差数列及其前n项和
又由(1)知 am＋2＝2m－3 为奇数，所以 am＋2＝2m－3＝±1，解得 m＝1
或 2.
经检验，符合题意的正整数 m＝2.
数学
第二节 等差数列及其前n项和
[类题通法] 1．等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a1， an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组 解决问题的思想． 2．数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换 的作用，而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知 和未知是常用方法．
解析：由题知 a3＋a5＋a7＝3a5＝9，则 a5＝3，所以 S9＝ 9a5＝27. 答案：27
数学
第二节 等差数列及其前n项和
1.(2013·新课标卷Ⅰ改编)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sm －1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则 m＝________. 解析：根据已知条件，得到 am 和 am＋1，再根据等差数列的定 义得到公差 d，最后建立关于 a1 和 m 的方程组求解． 由 Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3， 得 am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，
数学
第二节 等差数列及其前n项和
3．设{an}是公差不为零的等差数列，Sn 为其前 n 项和，且满足 a22＋ a23＝a42＋a25，S7＝7. (1)求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn； (2)试求所有的正整数 m，使得amamam＋＋ 2 1为数列{an}中的项． 解：(1)由题意可设等差数列{an}的通项公式 an＝a1＋(n－1)d，d≠0. 由 a22＋a23＝a24＋a25化简得 2a1＋5d＝0.① 又因为 S7＝7，所以 a1＋3d＝1.②
数学
第二节 等差数列及其前n项和
【高考讲坛】高考数学一轮复习 第5章 第5节 数列的综合应用课后限时自测 理 苏教版
【高考讲坛】2023届高考数学一轮复习 第5章 第5节 数列的综合应用课后限时自测 理 苏教版[A 级 根底达标练]一、填空题1．(2023·南通质检)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n >0，a 2n ＋1－a 2n ＝1(n ∈N *)，那么使a n <5成立的n 的最大值________．[解析] 由a 2n ＋1－a 2n ＝1(n ∈N *)知，数列{a 2n }是首项为1，公差为1的等差数列，那么a 2n ＝1＋(n －1)×1＝n .由a n <5得n <5，∴n <25，那么n 的最大值为24. [答案] 242．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中连续的三项，那么数列{b n }的公比q ＝________.[解析] 设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 23＝a 1a 7得(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d .故数列{b n }的公比q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝2a 1a 1＝2.[答案] 23．(2023·泰州模拟)设数列{a n }是首项大于零的等比数列，那么“a 1<a 2”是“数列{a n }是递增数列”的________条件．[解析] {a n }为等比数列，a 1>0，当a 1<a 2时，q >1.{a n }为递增数列；假设{a n }为递增数列，那么q >1，a 1<a 2成立．[答案] 充要4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1，n ∈N *)，第k 项满足750＜a k ＜900，那么k ＝________.[解析] 由a n ＋1＝3S n 及a n ＝3S n －1(n ≥2)， 得a n ＋1－a n ＝3a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)， 又a 2＝3S 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n ＝1，3×4n －2n ≥2，又750＜a k ＜900，验证得k ＝6. [答案] 65．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，那么a 9＋a 10a 7＋a 8＝________.[解析] 设等比数列的公比为q ，由题意知a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ， ∴q 2－2q －1＝0，解得q ＝1＋2或q ＝1－2(舍去)．∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 7＋a 8q 2a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. [答案] 3＋2 26．(2023·盐城模拟)已知a ，b ，c (a <b <c )成等差数列，将其中的两个数交换，得到的三个数依次成等比数列，那么a 2＋c 22b2的值为________．[解析] ∵a ，b ，c (a <b <c )成等差数列， ∴设a ＝b －d ，c ＝b ＋d (d >0)，①假设交换a ，b ，那么b ，b －d ，b ＋d 成等比数列，得(b －d )2＝b (b ＋d )，解得d ＝3b ，∴a ＝－2b ，c ＝4b .∴a 2＋c 22b 2＝20b 22b2＝10.②假设交换a ，c ，那么d ＝0(舍去)．③假设交换b ，c 也可得a 2＋c 22b 2＝10，综上，a 2＋c 22b2＝10.[答案] 107．从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，那么至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.[解析] 设倒n 次后纯酒精与总溶液的体积比为a n ，那么a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<10%，∴n ≥4.[答案] 48．已知数列{a n }为等差数列，公差为d ，假设a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么使得S n <0的n 的最小值为________．[解析] 根据S n 有最大值知，d <0，那么a 10>a 11， 由a 11a 10<－1知，a 10>0>a 11，且a 11<－a 10即a 10＋a 11<0，从而S 19＝19a 1＋a 192＝19a 10>0，S 20＝20a 1＋a 202＝10(a 10＋a 11)<0，那么使S n <0的n 的最小值为20. [答案] 20 二、解答题9．(2023·天津高考)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．[解] (1)设等比数列{a n }的公比为q . 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列， 所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又因为a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)证明：S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，S n ＋1S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋12n2n＋1，n 为奇数，2＋12n2n－1，n 为偶数，当n 为奇数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小．所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.当n 为偶数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.10．某企业在第1年初购置一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开场，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式； (2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，假设A n 大于80万元，那么M 继续使用，否那么需在第n 年初对M 更新．证明：需在第9年初对M 更新．[解] (1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，a n ＝120－10(n －1)＝130－10n .当n ≥7时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6.因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6，n ≥7.(2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n ≤6时，S n＝120n －5n (n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ；当n ≥7时，由于S 6＝570， 故S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n ) ＝570＋70×34×4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6.A n ＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6n.因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列，又A 8＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫3428＝824764>80，A 9＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫3439＝767996<80，所以需在第9年初对M 更新．[B 级 能力提升练]一、填空题1．(2023·盐城模拟)已知{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝2，b 1＝1，a 2＝b 2,2a 4＝b 3，且存在常数α，β，使得a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 恒成立，那么αβ＝________.[解析] 由题意，可设a n ＝2＋(n －1)d ，b n ＝qn －1，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2，2a 4＝b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧2＋d ＝q ，2×2＋3d ＝q 2，∵d ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝4，∴a n ＝2n ，b n ＝22n －2，代入a n ＝log αb n ＋β，即2n ＝(2n －2)log α2＋β， 即2n (1－log α2)＝β－2log α2，∴⎩⎪⎨⎪⎧log α2＝1，β－2log α2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝2，β＝2，故αβ＝22＝4.[答案] 42．(2023·江苏高考)在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3，那么满足a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．[解析] 设{a n }的公比为q (q ＞0)， 那么由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4＝12，12q ＋q2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝132，q ＝2.于是a 1＋a 2＋…＋a n ＝1321－2n1－2＝132(2n－1)，a 1a 2…a n ＝a n 1qn n －12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132n 2nn －12.由a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n 得132(2n －1)＞⎝ ⎛⎭⎪⎫132n 2n n －12，那么2n－1＞212n 2－112n ＋5 .由2n＞212n 2－112n ＋5，得n ＞12n 2－112n ＋5，∴n 2－13n ＋10＜0，解得13－1292＜n ＜13＋1292，验证当n ＝12时，满足a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n .n ≥13时，不满足a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n .故n 的最大值为12.[答案] 12 二、解答题3．(2023·江苏高考)已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足：a n ＋1＝a n ＋b na 2n ＋b 2n，n ∈N *.(1)设b n ＋1＝1＋b n a n ，n ∈N *，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2是等差数列；(2)设b n ＋1＝2·b na n，n ∈N *，且{a n }是等比数列，求a 1和b 1的值． [解] (1)证明：由题设知a n ＋1＝a n ＋b na 2n ＋b 2n＝1＋b na n1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2＝b n ＋11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2，所以b n ＋1a n ＋1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋1an ＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2＝1(n ∈N *)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎪⎫b n an2是以1为公差的等差数列．(2)因为a n >0，b n >0，所以a n ＋b n22≤a 2n ＋b 2n <(a n ＋b n )2，从而1<a n ＋1＝a n ＋b na 2n ＋b 2n≤ 2.(*) 设等比数列{a n }的公比为q ，由a n >0知q >0.下证q ＝1. 假设q >1，那么a 1＝a 2q<a 2≤2，故当n >log q2a 1时，a n ＋1＝a 1q n>2，与(*)矛盾；假设0<q <1，那么a 1＝a 2q>a 2>1，故当n >log q 1a 1时，a n ＋1＝a 1q n<1，与(*)矛盾．综上，q ＝1，故a n ＝a 1(n ∈N *)，所以1<a 1≤ 2. 又b n ＋1＝2·b n a n＝2a 1·b n (n ∈N *)，所以{b n }是公比为2a 1的等比数列． 假设a 1≠2，那么2a 1>1，于是b 1<b 2<b 3.又由a 1＝a 1＋b n a 21＋b 2n得b n ＝a 1±a 212－a 21a 21－1，所以b 1，b 2，b 3中至少有两项相同，矛盾．所以a 1＝2，从而b n ＝a 1±a 212－a 21a 21－1＝ 2.所以a 1＝b 1＝ 2.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第5章 第2节 等差数列课
后限时自测 理 苏教版
[A 级 基础达标练]
一、填空题
1．(2013·重庆高考)若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝________.
[解析] 由题意得该等差数列的公差d ＝9－25－1＝74
， 所以c －a ＝2d ＝72
. [答案] 72
2．在等差数列{a n }中，d ＝2，a 15＝－10，则S 15＝________.
[解析] 由a 15＝a 1＋14×2＝－10得a 1＝－38，
所以S 15＝a 1＋a 152＝－38－2＝－360.
[答案] －360
3．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和，若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.
[解析] 由S 9－S 4＝0，即a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0，即a 7＝0.
又a k ＋a 4＝0＝2a 7，故k ＝10.
[答案] 10
4．(2012·福建高考改编)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为________．
[解析] 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得{ 2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7， 解得{ a 1＝1，d ＝2.∴d ＝2.
法二：∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5.
又a 4＝7，∴公差d ＝7－5＝2.
[答案] 2
5．如果等差数列{a n }中，a 5＋a 6＋a 7＝15，那么a 3＋a 4＋…＋a 9＝________.
[解析] ∵等差数列{a n }中，a 5＋a 6＋a 7＝15，由等差数列的性质可得3a 6＝15，解得a 6＝5.
那么a 3＋a 4＋…＋a 9＝7a 6＝35.
[答案] 35
6．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
[解析] 设自上第一节竹子容量为a 1，则第9节容量为a 9，且数列{a n }为等差数列． 则{ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 1＋6d ＝3，
a 7＋a 8＋a 9＝3a 1＋21d ＝4.
解之得a 1＝1322，d ＝766
， 故a 5＝a 1＋4d ＝6766
. [答案] 6766 7．(2012·辽宁高考改编)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝________.
[解析] S 11＝
a 1＋a 112＝a 4＋a 82＝88. [答案] 88
8．(2013·重庆高考)已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________.
[解析] ∵a 1，a 2，a 5成等比数列，∴a 22＝a 1a 5，
∴(1＋d )2＝1×(4d ＋1)，∴d 2－2d ＝0.
∵d ≠0，∴d ＝2.
∴S 8＝8×1＋8×72
×2＝64. [答案] 64
二、解答题
9．(2014·湖北高考)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．
[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，
化简得d 2
－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4.
当d ＝0时，a n ＝2；
当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，
从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2.
(2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n ＜60n ＋800，
此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝
n [2＋n －2＝2n 2. 令2n 2＞60n ＋800，即n 2－30n －400＞0， 解得n ＞40或n ＜－10(舍去)，
此时存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ； 当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.
10．(2013·福建高考)已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n .
(1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1；
(2)若S 5>a 1a 9，求a 1的取值范围．
[解] (1)因为数列{a n }的公差d ＝1，且1，a 1，a 3成等比数列，所以a 2
1＝1×(a 1＋2)， 即a 21－a 1－2＝0，解得a 1＝－1或a 1＝2.
(2)因为数列{a n }的公差d ＝1，且S 5>a 1a 9， 所以5a 1＋10>a 21＋8a 1，
即a 21＋3a 1－10<0，解得－5<a 1<2.
故a 1的取值范围为(－5,2)． [B 级 能力提升练]
一、填空题
1．(2013·安徽高考改编)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝________.
[解析] 由等差数列性质及前n 项和公式，得S 8＝a 1＋a 82＝4(a 3＋a 6)＝4a 3，所以
a 6＝0.又a 7＝－2，所以公差d ＝－2，所以a 9＝a 7＋2d ＝－6.
[答案] －6
2．(2014·南通质检)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 014＝________.
[解析] ∵S n ＝An 2＋Bn 知S n n ＝An ＋B ， ∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 是首项为S 11＝－2 012的等差数列， 由S 1212－S 1010＝2，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差为1.
∴S 2 0142 014＝－2 012＋(2 014－1)×1＝1， 故S 2 014＝2 014.
[答案] 2 014
二、解答题
3．(2014·常州调研)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，已知S 3＝a 5，S 5＝25.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若p ，q 为互不相等的正整数，且等差数列{b n }满足ba p ＝p ，ba q ＝q ，求数列{b n }的前n 项和T n .
[解] (1)由已知，得{ 3a 1＋3d ＝a 1＋4d ，a 1＋10d ＝25，解得{ a 1＝1，d ＝2.
∴a n ＝2n －1.
(2)p ，q 为正整数，由(1)得a p ＝2p －1，a q ＝2q －1. 进一步由已知，得b 2p －1＝p ，b 2q －1＝q . ∵{b n }是等差数列，p ≠q ， ∴{b n }的公差d ′＝q －p 2q －2p ＝12
. 由b 2p －1＝b 1＋(2p －2)d ′＝p ，得b 1＝1. ∴T n ＝nb 1＋n n －2d ′＝n 2＋3n 4.。