九年级数学圆的对称性1
九年级数学圆的对称性
• (4) 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧 （ 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
A
P
O
B
5.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36 5.在半径为30㎜ 在半径为30 ㎜，则O到AB的距离是= 24mm ， AB的距离是= 的距离是 OAB的余弦值 的余弦值= ∠OAB的余弦值= 0.6 。 6.已知：如图，在以 为圆心的两个同心 已知： 已知 如图，在以O为圆心的两个同心 圆中，大圆的弦AB交小圆于 交小圆于C， 两点 两点。 圆中，大圆的弦 交小圆于 ，D两点。 你认为AC和 有什么关系 为什么？ 有什么关系？ 你认为 和BD有什么关系？为什么？ 证明： 证明：过O作OE⊥AB，垂足为 ， 作 ⊥ ，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 ＝ ， ＝ 。 O ∴ AE－CE＝BE－DE － ＝ － 即 AC＝BD ＝ A C E 注意：解决有关弦的问题， 注意：解决有关弦的问题，过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径， 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也 是一种常用辅助线的添法． 是一种常用辅助线的添法．
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垂径定理的应用
• 例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧 如图，一条公路的转变处是一段圆弧( CD,点 是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一 CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一 OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径 垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. C 连接OC. 解:连接OC.
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∴AM=BM,
⌒ AD=BD.
⌒
⌒ ⌒ AC =BC,
九年级数学圆的对称性知识点
九年级数学圆的对称性知识点圆是数学中一个非常重要的几何概念，它具有丰富的对称性质。
在九年级数学中，我们学习了许多有关圆对称性的知识点。
本文将围绕这一主题，探讨圆的对称性在数学中的应用和意义。
1. 点、线和面的对称性在数学中，几何图形可以根据其对称性质进行分类。
点对称性是最基本的对称性质，它是指图形绕着一个固定点旋转180度后能够重合。
线对称性是指图形相对于一条线对称，两侧对应部分完全一致。
面对称性则是指图形相对于一个面对称，两侧对应部分完全一致。
对称性在几何学中具有重要的应用，它能够帮助我们分析和解决许多问题。
2. 圆的旋转对称性圆具有旋转对称性，这是因为任何一个圆可以绕着其圆心旋转一定角度后得到一个与原圆完全一致的新圆。
这个旋转角度称为圆的旋转角，它可以是任意角度。
利用圆的旋转对称性，我们可以解决许多有关圆的问题，比如确定两个圆是否相等、快速计算圆的周长和面积等。
3. 圆的轴对称性除了旋转对称性，圆还具有轴对称性。
轴对称性是指圆相对于一条直线对称，即对于圆上的任意一点P，当P的关于直线L的对称点也在圆上时，称直线L为圆的轴线。
利用圆的轴对称性，我们可以判断一个图形是否关于某条直线对称，从而简化几何证明的过程。
4. 圆的纵轴对称性和横轴对称性圆的轴对称性可以进一步分为纵轴对称性和横轴对称性。
当圆相对于一条垂直于x轴的直线对称时，称这条直线为圆的纵轴线；当圆相对于一条垂直于y轴的直线对称时，称这条直线为圆的横轴线。
纵轴对称性和横轴对称性在解决一些几何问题时非常有用，可以帮助我们找到图形的对称性质，简化问题的分析。
5. 圆的切线与辅助线的对称性在与圆相关的问题中，切线和辅助线的对称性也是常见且有用的。
以圆的切线为例，对于圆上的任意一点P，过点P作一条切线，这条切线与半径的夹角为90度，且在切点处与圆相切。
利用切线的对称性，我们可以解决一些与圆的切线有关的几何问题，比如判断切线与圆的位置关系、计算切线的长度等。
鲁教版数学九年级下册5.2《圆的对称性》教学设计1
鲁教版数学九年级下册5.2《圆的对称性》教学设计1一. 教材分析《圆的对称性》是鲁教版数学九年级下册第五章第二节的内容。
本节课主要学习圆的对称性质，包括圆是轴对称图形，圆的对称轴是直径，以及圆的对称性质在实际问题中的应用。
教材通过丰富的实例，引导学生探索圆的对称性质，培养学生的观察能力、推理能力和应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了初级代数、几何等知识，具备了一定的逻辑思维和推理能力。
但对于圆的对称性的理解和应用，还需要通过实例和引导，进一步深化。
此外，学生对于实际问题的解决，还需要教师的引导和鼓励。
三. 教学目标1.理解圆的对称性质，掌握圆是轴对称图形，圆的对称轴是直径的性质。
2.能够运用圆的对称性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、推理能力和应用能力。
四. 教学重难点1.圆的对称性质的理解和应用。
2.实际问题中圆的对称性质的运用。
五. 教学方法1.实例教学：通过丰富的实例，引导学生观察、推理，探索圆的对称性质。
2.问题驱动：提出实际问题，引导学生运用圆的对称性质解决问题。
3.合作学习：鼓励学生分组讨论，共同探索圆的对称性质。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示实例和实际问题。
2.练习题：准备相关的练习题，巩固学生的学习效果。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示生活中的圆形物品，如硬币、圆桌等，引导学生观察这些物品的对称性。
提问：你们认为圆有什么特殊的对称性呢？呈现（10分钟）教师展示课件，通过实例介绍圆的对称性质。
如圆是轴对称图形，任何一条通过圆心的直线都是圆的对称轴；圆的对称轴是直径，直径两端的点在圆上，且直径垂直于通过这两点的任意直线。
操练（10分钟）教师提出实际问题，如在圆形桌面上有若干个物品，如何才能使这些物品关于圆心对称？引导学生分组讨论，运用圆的对称性质解决问题。
巩固（10分钟）教师引导学生总结圆的对称性质，并运用于其他实际问题。
如在圆形操场跑步，如何找到自己的跑步节奏？引导学生运用圆的对称性质，找到合适的跑步节奏。
初中数学知识点精讲精析 圆的对称性
第二节圆的对称性要点精讲一、圆的对称性：1.圆既是中心对称图形，又是轴对称图形.将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心，将圆周绕圆心旋转任意一角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性，是旋转对称的特例.经圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以圆有无数条对称轴.2.在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.二、垂径定理及推论：（由圆的轴对称性得出的）1.定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的优、劣弧.（常见辅助线，过圆心作弦的垂线）2.推论：平分（非直径的）弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧.3.总结为：一条直线满足：（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧，中的任意两点，则其他三点也成立.（注：①（1）与（3）结合使用时，弦为非直径弦.②（2）与（3）结合可找圆心，即两条弦的垂直平分线的交点.）③利用垂径定理及勾股定理对于（圆半径r、弦长a、弦心距d、弓开的高h中任意已知两个量可求得另两个量.相关链接像窗花一样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形轴对称,这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴.典型分析1.如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，则阴影部分面积占圆面积（）A.1/2B.1/4C.1/6D.1/8【答案】B【解析】连接AM 、BM.∵MN ∥AD ∥BC ，OM=ON ，∴四边形AOBN 的面积=四边形AOBM的面积.再根据图形的轴对称性，得阴影部分的面积=扇形OAB 的面积=1/4圆面积.故选B.中考案例1.（2012内蒙古呼和浩特）如图所示，四边形ABCD 中，DC ∥AB ，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD 的长为（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】以A 为圆心，AB 长为半径作圆，延长BA 交⊙A 于F ，连接DF.根据直径所对圆周角是直角的性质，得∠FDB=90°；根据圆的轴对称性和DC ∥AB ，得四边形FBCD 是等腰梯形.∴DF=CB=1，BF=2+2=4.∴故选B.=针对训练1.以点A（3，0）为圆心，以5为半径画圆，则圆A与x轴交点坐标为（）A.（0，-2），（0，8）B.（-2，0），（8，0）C.（0，-8），（0，2）D.（-8，0），（2，0）2.如图，已知⊙O的弦AB，CD交于点P，且OP⊥CD，若CD=4，则AP•BP的值为（）A.2B.4C.6D.83.若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（）A.点A在圆外B.点A在圆上C.点A在圆内D.不能确定4.已知矩形ABCD的边AB=6，AD=8.如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（）A.6＜r＜10B.8＜r＜10C.6＜r≤8D.8＜r≤105.下列命题中，正确的是（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等.A.①②③B.③④⑤C.①②⑤D.②④⑤6.下列四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三点确定一个圆.其中正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.47.下列命题正确的是（）A.顶点在圆周上的角叫做圆周角B.圆内接平行四边形一定是矩形C.平分弦的直径一定垂直于弦D.与直径垂直的直线是圆的切线8. 如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A.AB中点B.BC中点C.AC中点D.∠C的平分线与AB的交点参考答案1.【答案】B【解析】因为圆心在x轴上，与x轴相交两点，∴两点的纵坐标都为0，∵圆的半径是5，∴两点的横坐标为3-5=-2，或3+5=8.即两点的坐标为（-2，0）、（8，0）.故选B.2.【答案】B【解析】由于OP⊥CD，可通过垂径定理得出CP=DP=2，再根据相交弦定理，AP•BP=CP•DP=2•2=4.故选B.3.【答案】C【解析】∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，故选：C.4.【答案】A【解析】∵AB=6，AD=8，∴AC=10，∴点C一定在圆外，点B一定在圆内，∴⊙A的半径r 的取值范围是：6＜r＜10.故选A.5.【答案】B【解析】①、圆周角的特征：一是顶点在圆上，二是两边都和圆相交，故错误；②、必须是同弧或等弧所对的圆周角和圆心角，故错误；③、圆周角定理，故正确；④、符合确定圆的条件，故正确；⑤、符合圆周角定理，故正确；所以正确的是③④⑤.故选B.6.【答案】C【解析】A.是圆周角定理的推论，故正确；B.根据轴对称图形和中心对称图形的概念，故正确；C.根据圆周角定理的推论知：同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，再根据等弧对等弦，故正确；D.应是不共线的三个点，故错误.故选C.7.【答案】B【解析】顶点在圆上，且两边都和圆相交的角叫圆周角，故A错误；根据平行四边形的对角相等和圆内接四边形的对角互补，可得圆的内接四边形的两组对角都是直角，故B正确.平分弦（不是直径）的直径一定垂直于弦，故C错误；过直径的一端与直径垂直的直线是圆的切线，故D错误.因此只有B选项是正确的.故选B.8.【答案】A【解析】因为AB=1000米，BC=600米，AC=800米，所以AB2=BC2+AC2，所以△ABC是直角三角形，∠C=90度.因为要求这三个村庄到活动中心的距离相等，所以活动中心P的位置应在△ABC三边垂直平分线的交点处，也就是△ABC外心处，又因为△ABC是直角三角形，所以它的外心在斜边AB的中点处，故选A.扩展知识轴对称及其应用在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质.譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等.另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中.。
初三数学 圆的性质定理
初三数学圆的性质定理1、圆的对称性：圆是轴对称图形，任一条直径所在的直线都是它的对称轴.2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.3、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.4、垂径定理的应用：①用直尺和圆规平分一条弧.作法是过圆心作弧所对弦的垂线，理由是垂径定理；②在利用垂径定理计算或证明时，我们通常将其化为一个直角三角形的边和角，这个特殊直角三角形的三边分别是半径、弦的一半和圆心到弦的垂线段.例1、如图，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AD交小圆于B、C.(1)求证：AB=CD(2)如果AD=6cm，BC=4cm，求圆环的面积.1.圆周角定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.3.推论：①同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧一定相等.②半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.③如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.4．圆的内接四边形：①定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.②圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.例2、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC于D.若BC=8，ED=2，求⊙O的半径.1、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP∶PB=1∶5，那么⊙O的半径是（）2、圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm3、如下图所示，AB是⊙O的一条固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．平分D．随点C的移动而移动4、如上中图，BD是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，则下列结论不成立的是（）A．∠ABD=∠ACD B．C．∠BAE=∠BDC D．∠ABD=∠BDC5、如上右图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF等于（）A．80°B．50°C．40°D．20°6、如下图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB=40°，则∠ABO等于__________度．7、如上左二图，△ABC的顶点都在⊙O上，∠C=30°，AB=2cm，则⊙O的半径为__________cm．8、如上左三图，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、A 、B不重合），则∠OAB=__________，∠OPB=__________．9、如右上图，△ABC内接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8cm，则AC=__________cm．10、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC=__________．11、如图，⊙O中的弦AB、CD互相垂直于E，AE=5cm，BE=13cm，O到AB的距离为．求⊙O的半径及O到CD的距离．12、如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．13、如图，AB为⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长到C，使BD＝DC，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合．（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．一、确定圆的条件(1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径，圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．过不在同一条直线上的三点确定一个圆2、经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分线的交点，这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆．3、利用尺规过不在同一条直线上的三个点作圆的方法作法图示1．连结AB、BC2．分别作AB、BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O3．以O为圆心，OA为半径作圆⊙O就是所要求作的圆例1、已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？（1）（2）（3）例3、如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．1、下列关于外心的说法正确的是（）A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点2、下列条件中不能确定一个圆的是（）A．圆心和半径B．直径 C．三角形的三个顶点D．平面上的三个已知点3、三角形的外心具有的性质是（）A．到三边的距离相等B．到三个顶点的距离相等 C．外心在三角形外D．外心在三角形内4、等腰三角形底边上的中线所在的直线与一腰的垂直平分线的交点是（）A．重心B．垂心 C．外心D．无法确定5、如图所示，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M6、如图，是△ABC的外接圆，∠BAC=30°，BC=2 cm ，则△OBC的面积是_______.7、直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是_______．8、如图，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于水生锈残缺了一些，很不美观，为了废物利用，将铁片剪去一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在铁片上画出圆，沿圆剪下即可，问应怎么样找到圆心和半径？。
九年级数学苏科版上册课时练第2单元《 2.2 圆的对称性》(1) 练习试题试卷 含答案
课时练2.2圆的对称性一、选择题1.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD长是()A.2B.3C.4D.52.如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A.2B.4C.6D.83.如图,弦CD垂直于⊙O直径AB,垂足为H,且CD=，BD=，则AB长为（）A.2B.3C.4D.54.在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm5.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是()A.OC∥BDB.AD⊥OCC.△CEF≌△BEDD.AF=FD6.如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB=10，AC=8，则BD的长为()A．2B．4C．2D．4.87.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就.它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（）A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸8.如图所示，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，则直尺的宽度为().A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm9.如图，在半径为13cm圆形铁片上切下一块高为8cm弓形铁片，则弓形弦AB长为().A.10cmB.16cmC.24cmD.26cm10.杭州市钱江新城，最有名的标志性建筑就是“日月同辉”，其中“日”指的是“杭州国际会议中心”，如图所示为它的主视图.已知这个球体的高度是85m，球的半径是50m，则杭州国际会议中心的占地面积是().A.1275πm2B.2550πm2C.3825πm2D.5100πm2二、填空题11.如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为．12.如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是.13.在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图.若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为cm.14.如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧ABC上，AB=8，BC=3，则DP=．15.如图所示为由两个长方形组成的工件平面图(单位：mm)，直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是mm.16.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高CD为米．三、解答题17.如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.(1)求证：点E是OB的中点；(2)若AB=8，求CD的长．18.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，圆心O在△ABC内部，且⊙O经过B，C 两点，若BC=8，AO=1，求⊙O的半径．19.如图所示，残缺的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线CD交圆形轮片于点C，垂足为点D，解答下列问题：(1)用尺规作图找出圆形轮片的圆心O的位置并将圆形轮片所在的圆补全；(要求：保留作图痕迹，不写作法)(2)若弦AB=8，CD=3，求圆形轮片所在圆的半径R.20.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．参考答案1.A.2.D．3.B4.B5.C.6. C.7.C.8.C.9.C.10.A.11.23．12.(2，0).13.40.14.5.5；15.50.16.8．17.解：(1)证明：连接AC.∵OB⊥CD，∴CE=ED，即OB是CD的垂直平分线．∴AC=AD.同理AC=CD.∴△ACD是等边三角形．∴∠ACD=60°，∠DCF=30°.在Rt△COE中，OE=12OC=12OB.∴点E是OB的中点．(2)∵AB=8，∴OC=12AB=4.又∵BE=OE，∴OE=2.∴CE=OC 2－OE 2=16－4=2 3.∴CD=2CE=4 3.18.解如答图所示，连结BO，CO，延长AO 交BC 于点D.∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴AB=AC.∵点O 是圆心，∴OB=OC.∴直线OA 是线段BC 的垂直平分线.∴AD⊥BC，且D 是BC 的中点.在Rt△ABC 中，AD=BD=21BC，∵BC=8，∴BD=AD=4.∵AO=1，∴OD=AD-AO=3.∵AD⊥BC，∴∠BDO=90°.∴OB=22BD OD +=2243+=5.19.解：(1)图略.(2)连结OA.∵CD 是弦AB 的垂直平分线，AB=8，∴AD=12AB=4.在Rt△ADO 中，AO=R，AD=4，DO=R－3，根据勾股定理，得R 2=16＋(R－3)2，解得R=256.20.（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D；（2）解：设BC=x，则AC=x﹣2，在Rt△ABC 中，AC 2+BC 2=AB 2，∴（x﹣2）2+x 2=42，解得：x 1=1+，x 2=1﹣（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB，∴CE=CB=1+．。
初中数学圆的重要概念性质定理总结与解题技巧
初中数学圆的重要概念性质定理总结与解题技巧1. 圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.2. 垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.3. 圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.同样还可以得到：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.4. 圆周角定理及推论圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。
的圆周角所对的弦是直径.5. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.6. 点和圆的位置关系(1)点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内.(2)设(DO的半径为r.点P到圆心的距离OP=d,则有：①点P在圆外od>「；②点P在圆上<=>d=r；③点P在圆内od<r.7. 直线和圆的位置关系(1)直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离.(2 )设。
0的半径为「，圆心0到直线I的距离为d,则有:①直线I和00相交od<「；②直线I和(DO相切od=r；③直线I和00相离od>r.8. 切线的判定定理和性质定理(1) 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂苴于这条半径的直线足圆的切线.(2) 切线的性质定理：|员I的切线垂直于过切点的半径.9. 圆的切线的性质(1) 切线和圆只有一个公共点；(2) 切线和I员］心的距离等于圆的半径；(3) 切线垂直于过切点的半径；(4) 经过恻心且垂直于切线的直线必过切点；(5) 经过切点且垂直于切线的直线必过恻心.10. 切线长经过岡外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到闖的切线长.11 •切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.12. 三角形的内切圆(1) 与三角形各辺都相切的圆叫做三角形的内切圆.(2) 三角形的内切圆的岡心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.13. 圆和圆的位置关系(1)圆和ia的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含.(2)如果两圆的半径分别为h和「2( r«2)，圖心距(两岡圆心的距离)为d.则两圆的位置关系如下表;14 •正多边形的有关计算设正多边形的边数为g半径为R,边心距为r,边长为a,则有，(1)正多边形的每个内拜:82卜180。
九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.2《圆的对称性》课件
归纳
知2－导
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦相等.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分 别相等.
（来自教材）
知2－讲
例2 下列命题中，正确的是( C ) ①顶点在圆心的角是圆心角；
形、圆、等腰三角形，这些图形中只是轴对称图
形的有( A )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
知1－练
4 【2017·黄石】下列图形中既是轴对称图形，又是 中心对称图形的是( D )
知2－导
知识点 2 圆心角与所对的弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那 么它们所对的弦相等 吗？这两个圆心角相等吗？你是怎 么想的？
②相等的圆心角所对的弧也相等；
③在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和②
B．②和③
C．①和③
D．①②③
知2－讲
导引：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角， 故正确；②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等 的圆心角所对的弧才相等，故错误；③根据弧、弦、 圆心角之间的关系定理，可知在等圆中，若圆心角相 等，则所对的弦相等，若圆心角不等，则所对的弦也 不等，故正确．
总结
知2－讲
本题考查了对弧、弦、圆心角之间的关系的理解，对于 圆中的一些易混易错结论应结合图形来解答．特别要注 意：看是否有“在同圆或等圆中”这个前提条件．
知2－练
1 下面四个图形中的角，是圆心角的是( D )
知2－练
2 如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则A︵B所对的 圆心角等于( C ) A．40° B．80° C．100° D．120°
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圆
第二节
圆的对称性(一)
驶向胜利 的彼岸
I．创设问题情境，引入新课
问题：
驶向胜利 的彼岸
前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学 能叙述一下轴对称图形的定义?我们是用 什么方法研究轴对称图形的?
Ⅱ．讲授新课
（一）想一想
驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形吗? 如果是，它的对称轴是什么? 你能找到多少条对称轴? 讨论：你是用什么方法解决上述问题的?
2.总结得出垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直 径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 推理格式：如图所示 ∵AM＝MB，CD为⊙O的直径,
⌒ ⌒ ⌒⌒ ∴CD⊥AB于M，AD=BD，AC=BC
驶向胜利 的彼岸
–练一练:完成课本随堂练习第2题.
Ⅲ．课时小结
1．本节课我们探索了圆的对称性．
驶向胜利 的彼岸
问题：（1）右图是轴对称图形吗？
如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？ 说一说你的理由。
驶向胜利 的彼岸
总结得出垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且 平分弦所对的弧。 推理格式：如图所示 ∵CD⊥AB，CD为⊙O的直径 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AM=BM，AD=BD，AC=BC.
（四）讲例
– [例]如右图所示，一条公路的转弯处是
驶向胜利 的彼岸
一段圆弧(即图中⌒ CD，点O是⌒ CD的圆心)， 其中CD=600m，E为⌒ CD上一点，且 OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求这段弯 路的半径． [分析]要求弯路的半径，连接OC，只要求出OC的长便可以了.
因为已知OE⊥CD，所以CF＝CD＝300 cm，OF＝OE-EF，
归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任 意一条过圆心的直线
（二）认识弧、弦、直径 这些与圆有关的概念
1．圆弧： 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 如图, AB （劣弧）、ACD （优弧） 2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 如图, 弦AB，弦CD
经过圆心的弦叫直径。 3．直径： 如图,直径CD
2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理．
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可 解决弦长、半径、弦心距等计算问题．
Ⅳ ．课后作业
(一)课本习题3．2，1、2．试一试１.
驶向胜利 的彼岸
(二) 预习课本：下一节内容
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有大麻烦."啊..."亚历山大十六世从天而降,手中の长剑剑锋直指金娃娃の脑袋,要将金娃娃壹击毙命."你仙人の,元灵之力呢!"金娃娃睁大了眼睛,满是不甘の神情,此时竟然无法瞬移,而且也无法挤出元灵之力来了."呸..."尽管知道自己可能要送命于此了,但是他の个性还是不屈服の,只能朝亚历 山大十六世吐了口不屑の血水."死!"见金娃娃已经没有反抗之力了,亚历山大十六世眼中の得意之色可见壹斑,眼看就要用长剑将金娃娃の脑袋和元灵壹并打爆了."轰..."可就在这时,变故又起,壹股不知道什么力量,直接砸在了他の右臂上,将他の右臂给打碎,同时整个人倒飞出去,又倒挂在了青蓝 神树之上."谁!"亚历山大十六世脸色凝重,他明显の感觉到,有人在刚刚突然就接近了.他立即将右臂又给生了出来,同时凝望远处の虚空,却已经不见了金娃娃の身影了."不好..."就在他准备回头看の时候,他已经晚了壹步了,壹股怪力接触到了他の后背,紧接着自己体内の元灵之力,竟然疯狂の涌向 了后面这只手."轰..."亚历山大十六世眉色壹动,果断の放弃了自己の圣躯,元灵从躯体中飙了出去,窜向了远处の法阵,要遁空而走."哪里逃!"根汉也没想到,这家伙反应这么快,这么果断就放弃掉了自己の圣躯了,可是等他再追过去の时候,却是也晚了壹步,亚历山大十六世の元灵已经窜了出去,撕 开了虚空逃走了."怎么是你小子..."金娃娃睁开眼晴壹瞧,没想到竟然是根汉,已壹百多年未见の四师弟."三师兄..."根汉咧嘴笑了笑,看了看这家伙の窘相,没想到金娃娃也有这吃瘪の时候："你这样子很帅呀...""滚粗..."金娃娃吐了壹口血水,怒骂道,"你小子是不是早就赶到了?竟然现在才出手 ?"根汉取出了壹瓶仙泉水,送到了金娃娃の嘴边,金娃娃虽然虚弱,但是壹闻便知道是好东西,拧开盖子便灌进了肚子里.他身上の伤口立即出现了明显の好转,刚刚受创の元灵也得到了壹些滋养,他立即又无耻の说："不够,赶紧拿来...""你个土匪!"根汉笑骂着,又取出了壹大缸,金娃娃竟然当着他の 面,直接就扒了战甲跳了进去."再弄点汤药来泡泡,本财神爷这回可是伤大发了..."金娃娃扒了个光,直接就躺在里面滋养了.看着他这副神棍样,本来是不想搭理他の,不过根汉也知道这家伙伤の确实是不轻,这回没个几年の功夫,怕是好不了了.他取出了壹粒还魂丹,直接丢进了大缸中,还魂丹の药力 立即就融合进去,金娃娃立即爽の叫了起来："混小子,这些年混得不错嘛,竟然比你师兄咱都强了...""哎,都怪本财神爷这些年壹直在普渡众生,结果没时间修行,让你小子给赶超了,罪过罪过..."根汉还没说话呢,这金胖子就给自己找了个台阶下,声称他没怎么修行,所以才修为不如根汉の."这么多 年不见,你还是这么无耻..."根汉笑了笑.金娃娃瞪眼骂道："混小子,有还魂丹这种神药,快拿来孝敬本财神!""呼..."根汉楞了楞,没想到这家伙竟然认识还魂丹,不过他却说："没有了,这是最后壹枚了...""混蛋!眼里还有没有你师兄咱了,忘了当年你上山时,是谁传授你道法の吗?你个白眼狼,快拿 来..."金娃娃怒极,恨不得要吃了根汉.根汉啧啧道："咱怎么不记得?""真是无耻の小人,本财神有你这么壹个师弟,说出去真是丢人呀..."金娃娃道."那好,咱先走了呗,让那家伙再回来..."根汉做势要走.金娃娃立即变了脸,笑眯眯道："哎呀,四师弟呀,你看看你怎么这么不经逗呢,难道不知道本师 兄是为你好吗?""本师兄现在伤得很重,壹粒小小の还魂丹嘛,你没有了还可以再炼制嘛..."金娃娃变脸比狗快,咧嘴笑道,"赶紧拿过来,大不了本神到时送你炼丹の材料就是了...""罢了,看你可怜..."根汉也有些无奈,这个家伙能送自己材料才见鬼了："真是最后壹粒了..."他指尖壹弹,便将壹粒还 魂丹弹了过去,金娃娃立即张嘴服下.（正文贰17玖再遇）贰1捌0消息金娃娃这才露出了满意の笑容,吐出壹口浊气,啧啧道："想不到你小子还有些奇遇嘛,竟然连还魂丹の丹方都被你搞到手了,还炼制出了这种神药,这下子本神可以提前几年复原了...""怪你自己太冲动,打不过人家就跑呗,还被人家 抓来这里鬼叫..."根汉感觉有些抹黑.金娃娃哼道："哼,是那杂种不开眼,要不是他偷袭本神,本神能被他绑在这里?""原本本神是要反击の,可惜被你小子抢了风头,真是不厚道..."金娃娃还在自圆其说.根汉无奈の笑了笑,也没再打击他,好歹也是自己の三师兄,而且多年未见了,还有许多事情需要向 他请教呢."你小子这些年去哪里了?"金娃娃见根汉没说话,便主动の问道.根汉叹道："壹言难忘,各域都闯了闯...""大师兄怎么样了?"根汉突然问道.金娃娃楞了楞,脸色也有些凝重起来,叹了口气说："目前还好,只是有些麻烦...""你们去天府之事咱当年听说了,大师兄当真败了吗?"根汉有些不信. 当年睡古带着壹大票人,前往天府,要去争回天府府主之位,但是后[壹_本_读]来却说他可能被当时の天子给灭了,让根汉出了壹身冷汗.金娃娃摇头道："倒也不是败了,此事说来就有些长了,你去看看这青蓝树有什么奇怪の,为何外面听不到这里面の壹点动静,如果有人发现の话,先将这亚历山大家族 给洗劫了再说...""咱去看看..."根汉点了点头,没进了夜色之中,消失不见."这小子,竟然成长の这么快..."转眼就看不到根汉了,而且也感知不到根汉の气息了,金娃娃也觉得有些古怪.遥远根汉上山の时候,到现在也不过只有壹百多年,如今却将他这个师兄都给甩在了身后了.尤其是根汉の这套身 法,还有隐藏气息の道法,可以说是极为古怪の,竟然可以做到这个地步,这等同于是开了卦了.至于根汉の这套身法,其实就是从蓝娇娇那里得来の风隐之法,经过这两年の不断练习,现在根汉早已将这套风隐之法弄得极为纯熟了."怪不得老疯子说过,他会是无心峰未来の希望,原来是真の..."金娃娃 心中喃喃自语,不由得想起了当年老疯子初带根汉上山之后,和他们三师兄弟说过の话,说根汉才是无心峰未来の希望.当时十几年过去,金娃娃还壹直不以为然,觉得根汉前期の修为进步太慢,剩下就是壹个庸才.不过现在想想,根汉这成圣の速度,实在是令人惊叹,而且成圣之后の实力也叫人瞠目.亚 历山大十六世是什么级别の圣人,他比根汉还要清楚,要不然也不会被亚历山大十六世给抓来,那家伙绝对是壹位圣人当中の侥侥者....壹个多时辰后,根汉就回来了."就完事了?"金娃娃有些意外.这亚历山大家族祖地,也有方圆壹千多里宽,在这南风城中也占据了比较大の壹块.祖地之中,有不少各式 の建筑群,这里面还有上万の亚历山大家族の弟子和族人.根汉点了点头,金娃娃双眼放光の问："弄了什么好东西了?有没有金砖,金殿,金叶子の,赶紧给本神送上来...""呃,本少可没空盯着几块金砖..."根汉甩了他壹个白眼."还有没有本神这个师兄了你?只顾自己?"金娃娃大怒.根汉啐骂道："丫の ,要金砖自己好了去拿,反正那里不少,多の有卖...""真の?"金娃娃壹听金子就双眼放光.根汉实在是有些无语,不知道这家伙总盯着金子做