线性方程组的公共解
第十七讲线性方程组的通解演示文稿
x1 x2
2 2
x3 x3
5
3 4
3
x4 x4
0, 0,
或用矩阵方程方程组(1)表示为: Ax 0
齐次线性方程组 Ax0 有非零解的判断与求解步骤： (1)对于齐次线性方程组 把它的系数矩阵A 化成行阶 梯形 从A的行阶梯形可同时看出R(A) 若R(A)n , 则齐次线性方程组只有零解
(2)若R(A) n 则进一步把A化成行最简形
(3)设R(A) r 把行最简形中 r 个非零行的首 非零元所对应的未知数取作非自由未知数 其 余nr个未知数取作自由未知数 并令自由未
例2 求解非齐次方程组的通解 解 对增广矩阵B进行初等变换
故方程组有解，且有
所以方程组的通解为
例3.为何值时，线性方程组
x1－2 x2 5 x3 3 x1 x2 5 x3
1 2
有解，
2 x1 2 x3
并求一般解。
解：
1 2 5 1
B
3 2
1 0
5 2
2
1 2 5 1
0
5
10
5
0 4 8 －2
1 2 5 1
0
1
2
1
0 4 8 －2
1 2 5 1
0
1
2
1
0 0 0 2
2 时方程组有解。
1 2 5 1
B
~
0 0
1 0
2 0
01
1 0 1 －1
0
1
2
1
0 0 0 0
x1 x2
1 1
x3 2 x3
所以方程组的通解为
知数分别等于c1 c2 cnr 由A的行最简
线性方程组的解法
迭代法的步骤： 选择初始解， 计算方程组的 残差，根据残 差更新解，重 复步骤直到满 足收敛条件。
迭代法的收敛 性：迭代法是 否能够收敛到 方程的解，以 及收敛的速度
和稳定性。
迭代法的应用 场景：适用于 大规模线性方 程组，特别是 系数矩阵难以 直接求解的情
况。
矩阵求解法
定义：矩阵求解 法是一种通过矩 阵运算来求解线 性方程组的方法
挑战：并行计算需要合理地分配任务和负载均衡，以避免计算资源的浪费和性能瓶颈。同时， 也需要解决并行计算中的通信和同步问题。
数值稳定性
数值稳定性对解法的影响 改进方向：提高算法的数值稳定性 数值不稳定的解法可能导致误差累积 数值稳定性的重要性在于实际应用中
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并行计算：利用多核处理器，加 速计算过程
并行计算
定义：并行计算是一种同时处理多个任务或操作的计算方式，通过多个核心或处理器同时工作 来加速计算过程。
应用场景：线性方程组解法可以通过并行计算来提高计算效率和精度，特别是在大规模和高维 度的线性方程组求解中。
优势：并行计算可以显著减少计算时间，提高计算效率，同时也可以利用多核处理器或分布式 计算资源来扩展计算能力。
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适用范围：适用 于系数矩阵是方 阵的线性方程组
步骤：将线性方 程组转化为矩阵 形式，然后进行 矩阵运算，得到 解矩阵
优缺点：矩阵求 解法计算量较大， 但适用于大规模 线性方程组的求 解
线性方程组的解法应用
在数学建模中的应用
描述线性方程组 在解决实际问题 中的应用场景
举例说明线性方 程组在经济学、 物理学等领域的 应用
线性代数第三章线性方程组第4节线性方程组解的结构
c1
1 0
c2
0 1
k1
1 1
k2
2 2
1
0
0
1
得 c1 k2
cc12
k1 k1
2k2 2k2
c1 k2
即 c1 k2 0
cc12
k1 k1
2k2 2k2
0 0
c1 k2 0
解得 c1 k2，c2 k2，k1 k2.
取
k2 k 0,
则方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)的公共解为
(kk21
(k1 k2 )
k2 k2
)0 0
解之得到
k1 k2.
当k1 k2 0时，向量
k1(0,1,1, 0)T k2 (1, 2, 2,1)T k2[(0,1,1, 0)T (1, 2, 2,1)T
满足方程组(Ⅰ).
k2 (1,1,1,1)T
并且它也是方程组(Ⅱ)的解，故它是方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的 公共解.
定理3.17 若0是非齐次线性方程组AX=b的一个解，则方程组 AX=b的任意一个解 都可以表示为 0 其中 是其导出组AX=0的某个解，0称为方程组
AX=b的一个特解.
例7 求线性方程组
x1 2x2 3x3 x4 3x5 5
3x1
2x1 4x2
x2 2x4 6x5 1 5x3 6x4 3x5
0 0
x1 5x2 6x3 8x4 6x5 0
的一个基础解系.并求方程组的通解.
解 方程组中方程个数小于未知量的个数，所以方程组有 无穷多解.
对方程组的系数矩阵施以初等行变换，化为简化的阶 梯形矩阵：
3 1 6 4 2
A 2
2
3 5
3
1 5 6 8 6
方程组公共解
方程组公共解首先是方程组公共解的意义。
公共解，指某一个或几个方程的根彼此都相等，对任意一个方程组，只要方程组中的某些方程同时具有公共解，那么这个方程组就叫做公共解方程组。
由于方程的公共解可以为零，所以在许多情况下，我们用方程组的公共解来代替方程的公共解。
1。
方程组有公共解的充要条件：方程组中有关联两方程中的每一个方程都是等式方程，且每一方程中的每一个未知数都是另一方程中的一个已知量。
2。
方程组有公共解的必要条件：有关联两方程中至少有一个方程是恒等方程。
3。
方程组有公共解的充分条件：两方程中有关联两方程中的每一个方程都是不等式方程，且每一方程中的每一个未知数都是另一方程中的一个已知量。
4。
方程组有公共解的必要条件：每一个方程都可以由其它任意一个方程的公共解来代替。
3。
假设甲、乙、丙三人都想钓鱼，但只有甲会钓鱼，三人各自独立钓鱼。
他们谁先钓上来，是甲的事情；谁最后钓上来，也是甲的事情。
四人中只有一人能钓到鱼，而且钓得又快又多，即乙钓到鱼了。
这时怎样安排三人去钓鱼呢？问题转化成了下面的情形：若丁先钓到鱼，又把鱼放回湖中，则甲三人仍在原地继续钓鱼。
5。
可以证明，如果乙在第一天下午钓到了10条鱼，那么第二天的第一条鱼就应当属于甲。
为什么呢？因为甲第一天钓到了8条鱼，而乙第一天钓到了10条鱼，这样两人钓到的鱼都比第二天多了2条，说明第一天乙的鱼钓得比甲多。
由此可知，乙钓到了8条鱼，这时甲钓到了9条鱼，乙钓到的比甲多的2条鱼正好属于甲。
因此，只有在乙第一天下午钓到了10条鱼，才有可能第二天的第一条鱼属于甲。
6。
设X是关于某点Y的一元二次方程的解。
证明： X=2;;Y（ 4）把（ 3）代入(4)并加上-1得： X=2（ 2）因此，只有当2是方程X=Y 的根时， Y才是方程X=2的解。
7。
设x是y=a x+b中的任一根，如果下列事实都存在，那么y 就是a或b中的一个。
（ 1）如果x=a，那么（ a+b)2=1，从而a=b （ 2）如果x=b，那么（ a+b)2=0，从而a=b（ 3）如果x不等于a，则a+b=0，则y=a8。
线性方程组的解的结构与求解
线性方程组的解的结构与求解线性方程组是数学中常见的重要概念，它在各个领域的应用广泛。
本文将探讨线性方程组解的结构以及求解方法。
一、线性方程组的基本概念在进行线性方程组的解析之前，首先我们需要了解线性方程组的基本概念。
线性方程组由多个线性方程组成的方程组，每个方程都是一次项之和等于常数的形式。
一般来说，线性方程组的形式可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为系数，x₁, x₂, ..., xₙ为未知数，b₁,b₂, ..., bₙ为常数。
二、线性方程组解的结构线性方程组的解的结构可以分为三种情况：有唯一解、无解和无穷多解。
1. 有唯一解的情况当线性方程组满足以下条件时，方程组有唯一解：- 方程组的系数矩阵的行列式不等于0（即系数矩阵可逆）；- 方程组的系数矩阵的秩等于方程组的未知数个数。
在这种情况下，解可以通过矩阵运算得到，即将方程组写成矩阵的形式（AX=B），其中A为系数矩阵，X为未知数的列向量，B为常数列向量。
解可以表示为X=A⁻¹B。
2. 无解的情况当线性方程组满足以下条件时，方程组无解：- 方程组的系数矩阵的行列式等于0；- 方程组的增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩。
无解的情况表示方程组的方程之间存在冲突，无法找到满足所有方程的解。
3. 无穷多解的情况当线性方程组满足以下条件时，方程组有无穷多解：- 方程组的系数矩阵的行列式等于0；- 方程组的增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，小于未知数的个数。
在这种情况下，方程组的解具有自由变量的形式，可以通过参数化表示。
通常，可以使用高斯消元法或矩阵的特殊解与齐次方程的通解相结合的方法求解。
三、线性方程组的求解方法求解线性方程组的方法有多种，包括高斯消元法、矩阵的逆和Cramer法则等。
关于含参线性方程组（齐次,非齐次）解的存在性讨论,求通解及特解.公共解,同..
关于含参线性方程组(齐次,非齐次)解的存在性讨论,求通解及特解. 公共解,同解讨论及求取.宫庆义 08.12.24(1)解的存在性: 初等行变换, 通过秩确定参数[注:行变换时,倍乘系数分母不能含参数]()0()0()(|)b ()(|)b ()(|)1b R A n Ax R A n Ax R A R A b n Ax R A R A b n Ax R A R A b Ax =⇒=⎧⎪<⇒=⎪⎪==⇒=⎨⎪=<⇒=⎪⎪=-⇒=⎩只有零解有无穷多解有唯一解无穷多解无解(2)通解特解: 注意给自由变量赋初值时, 通过观察系数,尽量使其简单,尤其求特解时.(3)有公共解(齐,非),确定参数, 求取公共解12|.|A A R R n B B ββ⎛⎫⎛⎫=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a.已知两个基础解系0112201122;X k k l l ξξξηηη=+++=+++ 设公共解为()()()1212121200,,,,,,,,,Tk k l l ξξηηηξ--=- 方程 如果方程有解[讨论秩], 则有公共解.b.已知两个基础解系()()0112201122011220121201122012;,,,,,,,X k k l l k k R k k R ξξξηηηξξξηηηηηξξξηηη=+++=++++++-⇒+++-= 设公共解为则可以由线性表示c. 给出I 的方程, II 的解*1122x x k k ξξ=+++ .设公共解为:*1122X x k k ξξ=+++ 带入I 求出12,k k(4)同解(齐,非)::()().A R A R B R B ⎛⎫== ⎪⎝⎭法一 [两个方程都含参数] :I ,I II 法二①由秩先确定参数②求出解代入③验算[一个方程含参数](5)给出基础解系,及特解 反求方程组*12:,,,,s x ξξξ 已知基础解系为特解()()()121212*12,,,0,,,0:,,,,,"0",,,,,s T s t T t A y A t A Ax A ξξξξξξααααααββ==== 因为求出的基础解系根据题目确定矩阵的行数如果大于则补行令则即为所求(6) 解抽象方程组, 利用向量组之间线性表出关系, 基础解系的线性无关性, 令系数(含参)全0, 得方程组。
线性方程组解题方法技巧与题型归纳
线性方程组解题方法技巧与题型归纳题型一 线性方程组解的基本概念【例题1】如果α1、α2是方程组1231312332312104x x ax x x x ax x --=⎧⎪-=⎨⎪-++=⎩的两个不同的解向量，则a 的取值如何？解： 因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r(A)= r(Ab)＜3，对增广矩阵进行初等行变换： 21131132031022352104002314510a a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭易见仅当a=-2时，r(A)= r(Ab)=2＜3， 故知a=-2。
【例题2】设A 是秩为3的5×4矩阵， α1、α2、 α3是非齐次线性方程组Ax=b 的三个不同的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T, 3α1+α2= （2，4，6，8）T,求方程组Ax=b 的通解。
解:因为r(A)= 3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4- r(A)= 1个向量构成， 又因为（α1+α2+2α3）-（3α1+α2） =2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）T, 是Ax=0的解， 即其基础解系可以是（0，2，3，4）T,由A （α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b 知1/4 （α1+α2+2α3）是Ax=b 的一个解，故Ax=b 的通解是()1,0,0,00,2,3,42TT k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【例题3】已知ξ1=（-9，1，2，11）T ，ξ2=（1，- 5，13，0）T ，ξ3=（-7，-9，24，11）T是方程组12234411223441234432332494x a x x a x d x b x x b x x x x c x d+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩的三个解，求此方程组的通解。
分析：求Ax=b 的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。
关于线性方程组的解的几个结论
关于线性方程组的解的几个结论
1、关于线性方程组的解：
(1)线性方程组有唯一解：当且仅当它的系数矩阵是可逆的时候，线性
方程组有唯一的解。
(2)线性方程组的解的形式：线性方程组的解可以用矩阵的乘法表示出来，也可以用分解的方式表示出来。
(3)线性方程组有无穷多个解：如果系数矩阵是奇异的，则线性方程组
有无穷多个解；如果系数矩阵是正确的，则线性方程组有唯一解。
(4)线性方程组无解：如果系数矩阵不正确，则线性方程组不存在解。
(5)特征根与解：如果系数矩阵有特征根，则线性方程组有无限多个解。
(6)特殊解：如果系数矩阵有非常规解，则线性方程组也有可能存在非
常规解。
2、线性方程组求解的方法：
(1)列主元高斯消元法：由行级元列优先求解的算法，是一种有效的数
值方法；
(2)分解方法：分解后可得出系数矩阵，提取出其中的特征值，进而得
出解；
(3)矩阵乘法：矩阵乘法可将线性方程组化为矩阵形式，可求出解；
(4)块分解法：使用这种法可以利用稀疏性，把矩阵分解成小的子矩阵，进行求解。
3、线性方程组的应用：
(1)统计学中的概率分布：利用多元正态分布可使用线性方程组来求解
均值和方差；
(2)复数可能性：利用复数线性方程组可以用来解决涉及多个平行、垂
直可能性组合的复数学问题；
(3)数据分析：线性方程组可以用来分析因变量与自变量之间的关系；
(4)线性规划：线性方程组可以用来解决线性规划问题，求出一组最优解。
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线性方程组的公共解
问题：如何求解线性方程组的公共解？
线性方程组是高代学习的一个重点内容，它的一般形式为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++bs
asnxn x as x as b nxn a x a x a b nxn a x a x a ...2211...,22...222121,11...212111 而线性方程组的求解也是这部分学习的重点和难点。
其中求解线性方程组的公共解也是高等代数学习所必须掌握的一个知识点。
例1、证明：对于n 元齐次线性方程组（Ⅰ）AX=0与（Ⅱ）BX=0，有非零公共解的充要条件是
r(B A
)<n 。
（出自定理）
证：必要性：设（Ⅰ）与（Ⅱ）的非零公共解为X0，即AX0=0，BX0=0
从而（B A ）X0=0，即线性方程组（B A
）X=0有非零解
从而r （B
A ）<n 充分性：由r(
B A )<n,则线性方程组（B A ）X=0有非零解，设为X0，即（B A
）X0=0
从而AX0=0，BX0=0
（Ⅰ）与（Ⅱ）的非零公共解为X0。
例2、设四元齐次线性方程组（Ⅰ）为
⎩⎨⎧=-=+0
42031x x x x
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欢迎下载 2 又已知某齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为
k1(0,1,1,0)’+k2(-1,2,2,1)’
问（Ⅰ）与（Ⅱ）是否有非零公共解？若有，则求出所有公共解，若没有，则说明理由。
（出自2005年中科院）
解：方法一：将（Ⅱ）的通解代入方程组（Ⅰ）得
⎩⎨⎧=+=+0
21021k k k k 解得k1=-k2,故方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）有非零公共解，所有非零公共解为k （1,1,1,1）’，k ≠0为任意常数
方法二：令方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的通解相同，即
k1（0,1,1，0）’+k2(-1,2,2,1)’=k3(-1,0,1,0)’+k4(0,1,0,1)’
得到关于k1,k2,k3,k4的一个方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-+=-+=-0
420
422103221032k k k k k k k k k k 可求其通解为（k1,k2,k3,k4)’=k(-1,1,1,1)’
将k1=-1,k2=k 代入（Ⅰ）的通解可得所有非零公共解为k （1,1,1,1）’，k ≠0为任意常数 方法三：方程组（Ⅱ）可以是
⎩⎨⎧=+=+-0
41032x x x x 解（Ⅰ）与（Ⅱ）的联立方程组可得所有非零公共解为k （1,1,1,1）’，k ≠0为任意常数
韩梦雪
20132113429。