核实数据下的递归核密度估计_宇世航

n k （ A·h） ： （ i） h N ↓0 ，h N ∑ h2 j → 0； j =1
∫
（ ii） N －1 h N ( ∑ h i－1 ) → θ1 ，（ nN）
i∈V
－1
h N ( ∑ h j－1 + 2
珔 j∈ V
珔 k，j∈V ，j ＜ k
∑
－1 －1 0 ＜ θi ＜ ∞ ， h k－1 ) → θ2 ，N h N ∑ h j → θ3 ， j∈ 珔 V
科研项目（ 批准号： 11551543 ） ．
第5 期
宇世航，等： 核实数据下的递归核密度估计
925
珘 N － n 个独立同分布的主要观测数据｛ X 且核实数据样本独立于主要数据样本． 这里 V 为小部分 j ｝ j∈ 珔 V， V = ｛ 1， 2， …， N｝ － V 为主要数据下标集． 核实数据的下标集，而 珔 x －X 珘 ， x） = E K X =x 令 μ hj （ x 珓 珓，显然 hj 1 E 1 μ hj （ x K x － X → f（ x） ． ， x） = E 珓 hj hj hj 于是在一些正则条件下，f（ x） 可被如下递归核估计量一致估计 ： ～ x － Xi 1 1 1 珘 f R （ x） = K + ∑ μ hj （ X x） ． j， N ∑ h hi i∈V h i j 珔 j∈ V
{( {(
) [ ( ) [ (
－
1 x － Xi x － Xi K －E K ∑ nb h h hj i V n ∈ j 槡 N∑ 1 ～ hj 珘 N j∈ V 珔 f n（ X 槡 j） ^ ^ Δ21 （ x） + Δ22 （ x） ，
～
珘 珘 珘] }W ( X － X ) Ω )X b
j i i n
Abstract： In consideration of the probability density estimation problem with surrogate and validation data，a recursive kernel estimation of probability density function is so defined to comprise both surrogate and validation variates that the proposed estimators are proved to be asymptotically normal． The simulation results indicate at a given constant of N，the total number of data，the method performs better as the validation variate n increases． Also，for a given n，simulation result becomes better in terms of top as N increases，but becomes bad in terms of tail． We also noted that the simulation result，as N and n together increases，more approaches the f（ x） and is smoothing． Key words： recursive kernel estimation； asymptotically normal； kernel function ． Sepanski 等 研究了基于核实数据 基于替代数据和核实样本推断的研究目前已有许多结果 ［11 ］ 的非线性 EV 模型； Wolvreton 等 提出了 f（ x） 的递归型核密度估计： n 1 1 x － Xj f n （ x） = ∑ K ． n j = 1 hj hj 由于递归型核密度估计在添加样本点时 ，不必重新计算所有项，只需计算添加项，因此使计算更方便． 基于此，本文考虑借助于核实数据，构造一递归型概率密度估计量，并研究其渐近正态性．
N
∑ {E [ K ( i∈V
x － Xi hj
珘 珘 珘] － E [ K ( x － X ) X 珘] }W ( X － X ) )X h b + 珘－ X 珘 X ∑W( b )
j j i i j j n j i i∈V n
hj hi N i = 1 hi N j∈ 珔 V 槡 槡 ^ 1 （ x） + Δ ^ 2 （ x） + Δ ^ 3 （ x） + Δ ^ 4 （ x） + Δ ^ 5 （ x） ， Δ ^ 2 （ x） ，有 对于 Δ ^ 2 （ x） = Δ hN 槡 N 槡
(
)Hale Waihona Puke () ()
) ，

x 珓
珘的概率密度，且常数列 η n ，使得 P （ max f （ X 珘 （ A· f ） ： f （ x ） 是 X j ） ＜ ηn ） → 0； 珔 j V
∈
～
～
～
（ A·K ） ： K （ · ） 在有界支撑集上是 k 阶非负有界的核函数； ） 是非负有界的核函数，且 W（ u） du = 1 ； （ A·W ） ： W （ ·
{(
) [ (
) ] }+ ) ] } = I （ x）
^ 1 2
hN 1 x － Xi x － Xi 珘 槡 －E K Xi ∑ ∑ EK hj
{ (
) [ (
+ I2 （ x ） ， （ 4 ）
^
P （ I2 （ x ）
Recursive Kernel Estimation of Probability Density Function with Validation Data
YU Shihang1 ，ZHAO Shishun2
（ 1 ． College of Science，Qiqihar University，Qiqihar 161006 ，Heilongjiang Province，China； 2 ． College of Mathematics，Jilin University，Changchun 130012 ，China）
[ (
)
(
)] + ) ]} ( ) )
∑ {K ( i∈V
珘－ X 珘 x － Xi x － Xi 珘 X i －E K Xi W j hj hj bn + 珘－ X 珘 X i W j ∑ bn i∈V
) [ ( (
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吉 林 大 学 学 报 （ 理 学 版）
第 50 卷
hN 1 槡 ∑ h j N j∈ V 珔 槡
i = 1， 2， 3； V） ，h k / h j → 1 （ k，j∈珔 V） ； （ iii） h i / h j → γ（ i∈V，j∈珔 2k （ A·b n η n ） ： （ i） nb n →∞ ，nb n → 0 ；
3 k －1 （ ii） nb2 b2 / ηn → 0； n η n →∞ ， n n （ A·Nn） ： lim = λ， 0 ＜ λ ＜ 1． N 定理 1 在 Appendix A 条件下，有 2 Nh N （ f R （ x） － f（ x） ） → N（ 0 ， σ R （ x） ） ， 槡 2 2 2 其中 σ R （ x） = ［ θ1 + θ2］ σ （ x ） + 2 θ3 ν （ x ） ，σ （ x ） = f （ x ） ^
= （ 2）
其中： Ω =
珘 珘 f n（ X j ） － f （ Xj ）
～
～
珘 f（ X j）
珘 ～ ～ 珘的概率密度，它的核估计 f n （ x） = 1 ∑ W x － X i ； ； f （ x） 是 X nb n i∈V bn （ 3）
(
)
^ 21 （ x） = E （ Δ ^ 21 （ x） X ， ^ 21 （ x） － E （ Δ ^ 21 （ x） X ， 珘 珘， i ∈ V） + ［ X i ∈ V） ］ ． Δ Δ i， i Xi i hN 1 x － Xi x － Xi ^ 21 X ， 珘 E（ Δ X i ∈ V） = 槡 ∑ ∑ K －E K i， i h hj hj j i∈V n槡 N j∈ V 珔 hj i∈V n槡 N j∈ V 珔 hN 1 x － Xi ＞ ε） ≤ 2 ∑ E E2 ∑ K h n N i∈V hj j 珔 j∈ V hj
［110 ］ ［1 ］
(
)
1
主要结果
珘 X 令完整数据集包括 N 个观测数据，假设其中有 n 个独立同分布的核实观测数据 ｛ X i ， i ｝ i∈V 和
1214． 收稿日期： 2011mail： qqhrysh@ 163． com． 作者简介： 宇世航（ 1971 —） ，女，汉族，硕士，副教授，从事非参数统计推断和时间序列分析的研究，E基金项目： 国家自然科学基金（ 批准号： 10971081 ） 、教育部人文社会科学研究一般项目（ 批准号： 11YJAZH125 ） 和黑龙江省教育厅
L
∫K （ u） du，ν（ x）
2
= f（ x） K （ u） K （ γu） du，而
∫
2， 3 ） 和 γ 如 Appendix A 中的定义． θi （ i = 1 ， ： 证明 hN ^ 1 x － Xi x － Xi Nh N （ f R （ x） － f（ x） ） = 槡 ∑ K － EK 槡 h hi hi N i∈V i 槡 hN 1 槡 ∑ h j N j∈ 珔 V 槡
DOI:10.13413/ki.jdxblxb.2012.05.033
第 50 卷 第 5 期 2012 年 9 月
吉林大学学报（ 理学版） Journal of Jilin University （ Science Edition）