概率论与数理统计2005年期末考题及详细答案
学2005年考试试题(概率-A)
2003级《概率论与数理统计》考试试题—A 题一 填空题（每小题5分，共30分）：1． 设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于2719，则事件A 在一次试验中出现的概率为 2． 设随机变量X 的概率密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它022cos )(ππx x a x f则系数a 为3． 已知X~ t(n)，则X 2~4． 设某种药品中有效成分的含量服从正态总体),(2σμN ，原工艺生产的产品中有效成分的平均含量为a ,现在用新工艺试制了一批产品，测其有效成份的含量，以检验新工艺是否真的提高了有效成份的含量，要求当新工艺没有提高有效成分含量时，误认为新工艺提高了有效成分的含量的概率不超过5%，那么在假设检验中，应取原假设0H 和显著性水平α分别为5． 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（一小时计）分别为：6.0 5.7 5.8 6.57.0 6.3 5.6 6.1 5.0设干燥时间总体服从正态分布),(2σμN ，μ为未知参数，由以往经验知6.0=σ小时，求μ的置信度为 0.95的置信区间为（645.105.0=z 96.1025.0=z ）6． 设总体N(μ,1)的两个独立样本分别为12,,,n X X X 和12,,,m Y Y Y ，μ的一个无偏估计是11n mi j i j T a X b Y ===+∑∑ ,则a 和b 应满足的条件是二（15分） 设随机变量X 和Y 的联合分布函数为⎩⎨⎧≥≥+--=+---其它00,01),()(5.0 5.0 5.0 y x e e e y x F y x y x 试求：（1） （X, Y ）的联合概率密度函数),(y x f （2） （X, Y ）关于X 、关于Y 的边缘概率密度函数)( ),(y f x f Y X（3） 问X 、Y 是否独立？三 （15分）设n X X X ,,,21 是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的最大似然估计量及矩估计量。
概率论与数理统计试题(05-0620+B)与答案及评分标准
学生姓名______________ 学号______________ 所在院系________________ 班级________________烟台大学2004～2005学年第二学期概率论与数理统计 试卷B考试时间为120分钟提示:需要用到的数据包含在下面的表格中。
一、（本题15分） 设工厂A 和工厂B 的产品次品率分别为1％和2%, 现从工厂A 和工厂B 分别占60％和40%的一批产品中随机抽取一件,(1)求它是次品的概率； （2）若发现随机抽取的一件是次品,问该次品属于工厂A 生产的概率是多少？二、（本题15分) 设随机变量X 的密度函数为 ⎩⎨⎧≤≤=.,0,1,ln )(其它e x x A x f 求： （1）常数A ; （2)X 落在区间),1(e 内的概率; （3）X 的分布函数。
三、（本题15分） 设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<=.,010,,1),(其它，y y x y x f(1)求随机变量X 和Y 的(边缘)概率密度; （2)问X 与Y 是否相互独立？四、（本题15分） 设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=.,0,21,2,10,)(其它x x x x x f 试求X 的数学期望EX 和方差DX .五、（本题15分） 在每次试验中，事件A 发生的概率为0.5. 问在100次试验中,事件A 发生的次数在45与60之间的概率是多少？六、(本题10分) 设总体X 服从正态分布,均方差（标准差）为0。
9. 从中抽取容量为9的简单随机样本，算得样本均值25=X , 试求总体X 的均值μ的置信度为0。
95的置信区间.七、(本题15分)设总体X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<≥=--,,0,,)()(θθθx x e x f x 而n X X X ,,,21 是总体X 的简单随机样本,求θ的极大似然估计量。
概率论与数理统计期末试题与详细解答
《概率论与数理统计》期末试卷一、填空题（每题4分，共20分）1、假设事件A 和B 满足1)(=A B P ，则A 和B 的关系是_______________。
2、设随机变量)(~λπX ，且{}{},21===X P X P 则{}==k X P _____________。
3、设X 服从参数为1的指数分布，则=)(2X E ___________。
4、设),1,0(~),2,0(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，则~Y X Z -=___________。
5、),16,1(~),5,1(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，令12--=Y X Z ，则=YZ ρ____。
二、选择题（每题4分，共20分）1、将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ）A 、323B 、83C 、161D 、812、随机变量X 和Y 的,0=XY ρ则下列结论不正确的是（ ） A 、)()()(Y D X D Y X D +=- B 、a X +与b Y -必相互独立 C 、X 与Y 可能服从二维均匀分布 D 、)()()(Y E X E XY E =3、样本nX X X ,,,21 来自总体X ，,)(,)(2σμ==X D X E 则有（ ）A 、2i X )1(n i ≤≤都是μ的无偏估计 B 、X 是μ的无偏估计C 、)1(2n i X i ≤≤是2σ的无偏估计D 、2X 是2σ的无偏估计 4、设nX X X ,,,21 来自正态总体),(2σμN 的样本，其中μ已知，2σ未知，则下列不是统计量的是（ ） A 、ini X ≤≤1min B 、μ-X C 、∑=ni iX 1σ D 、1X X n -5、在假设检验中，检验水平α的意义是（ ） A 、原假设0H 成立，经检验被拒绝的概率 B 、原假设0H 不成立，经检验被拒绝的概率 C 、原假设0H 成立，经检验不能拒绝的概率D 、原假设0H 不成立，经检验不能拒绝的概率三、计算题（共28分）1、已知离散型随机变量的分布律为求：X 的分布函数，（2）)(X D 。
概率论期末试卷(05年1月)
《概率论与数理统计》期末试卷（2学分用，考试时间120分钟，2003级，2005年1月）注：标准正态分布的分布函数值φ（1.04）=0.8508，φ（1.29）=0.9015，φ（1.65）=0.9505，φ（1.96）=0.9750，φ（2.06）=0.9803一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设事件A 和B 的概率为P （A ）=21，P （B ）=32，则P （AB ）可能为 （ ） A.0 B.1 C. 53 D. 612.从1、2、3、4、5这五个数字中等可能、有放回地接连抽取两个数字，则这两个数字不相同的概率为 （ ） A.21 B. 252 C. 254D.以上都不对3.投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为 （ ） A. 185 B. 31 C. 21D.以上都不对4.某一随机变量的分布函数为F （x ）=xxe be a ++3，则F （0）的值为 （ ）A.0.1B.0.5C.0.25D.以上都不对5.一口袋中有3个红球和2个白球，某人从中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为 （ ） A.2.5 B.3.5 C.3.8 D.以上都不对二、填空题（每小题3分，共15分）1.设A 、B 是相互独立的随机事件，P （A ）=0.5，P （B ）=0.7，则P （A ∪B ）= 。
2.设随机变量ζ～B （n,p ），E （ζ）=3，D （ζ）=1.2，则n= 。
3.随机变量ζ的期望为E （ζ）=5，标准差为σ（ζ）=2，则E （ζ2）= 。
4.甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。
设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为 。
5.设连续型随机变量ζ的概率分布密度为f(x)=222++x x a，a 为常数，则P(ζ≥0)=。
三、（本题10分）将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率：（1）4个球全在一个盒子里； （2）恰有一个盒子有两个球四、（本题10分）设随机变量ζ的分布密度为f(x)={30,130,0≤≤+><x xAx x 当或当（1）求常数A; （2）求P(ζ<1); (3)求ζ的数学期望五、（本题10分）设二维随机变量（ζ，η）的联合分布是（1）ζ与ηη)六、（本题10分）有10盒种子，其中1盒发芽率为90% ，其它9盒为20% 。
概率论及数理统计期末考试题和答案解析
模拟试题一一、 填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。
P( A ∪B) = 。
2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ； 5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ； 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ； 7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k = 时，~(3)Y t =；8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本，11ni i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。
9、设样本129,,,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间： ；二、 计算题（35分）1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -；2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他1） 求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ； 2） 问X 与Y 是否独立？是否相关？3） 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ；3、（11分）设总体X 的概率密度函数为：1,0(),000xe x x x θϕθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。
2005级概率统计答案
2005级概率统计答案一：填空题1. 4/7;2. 1/1260;3. 2/3;4. 3/4;5. n, 2n;6. 1;7. (2)Φ;8. 1/8. 二：计算题1． 解：记A ：挑选出的人是男人；B ：挑选出的人是色盲. 取{,}A A 为样本空间的划分. 由贝叶斯公式：(|)()(|)(|)()(|)()P B A P A P A B P B A P A P B A P A =+0.050.520/210.050.50.00250.5⨯==⨯+⨯2． 解：随机变量X 所有可能的取值为:1,2,,,n ， 分布律为：1()(10.45)0.451,2,,,k P X k k n -==-= ,1{}{2}k X X k ∞=== 取偶数：一列互不相容的事件的和，所以21111{}[{2}]{2}0.550.4511/31k i i k P X P X k P X k ∞∞∞-=========∑∑ 取偶数.3． 解：记取出的四只电子管寿命分别为1234,,,X X X X ，所求概率为P ，则1234{min(,,,)180}P P X X X X =≥44{180}[1{180}] 1,2,3,4i i P X P X i =≥=-≤= 4[1(1)]0.00063=-Φ=4． 解：(1) ||1||1()(,)0 0 X dy x x f x f x y dy ππ∞-∞⎧⎧⎪⎪≤≤===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其它其它 由对称性||1||1()(,)0 0 Y dy y y f y f x y dx π∞-∞⎧≤⎪≤===⎨⎪⎪⎩⎩⎰其它其它222222111()0,()0,()0x y x y x y xyxyE X dxdy E Y dxdy E XY dxdy πππ+≤+≤+≤======⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以cov(,)()()()0,0X Y E XY E X E Y ρ=-==X,Y 从而 (2) 由0ρ=X,Y ，X 与Y 不相关；X 与Y 也不独立，因为1(,)()()X Y f x y f x f y π=≠5． 解：记一周内流水线产生的利润为Y ，则Y 的所有取值为：-2，6，20 分布律为所以544()200.960.50.92(1 1.40.9)13.6E Y =⨯+⨯⨯-⨯-⨯≈万元 三：解：（1） 矩法估计量()()| |x x x x xE X xf x dx edx xeedxe μμμθθθμμμμθμθμθμθ------+∞+∞+∞∞-∞--+∞===-+=-=+⎰⎰⎰2222222()()|2 2()()x x x x E X x f x dx edx x exedxμμμθθθμμμθμθμθμθθ------+∞+∞+∞∞-∞===-+=++=++⎰⎰⎰令 2222()()()()E X XE X A μθμθθ⎧=+=⎨=++=⎩解之得,μθ的矩法估计量:ˆX μ=ˆθ= （2） 极大似然估计1111(,)exp{()}min{,,}ni n ni L x n x x μθμμθθ==--<∑111ln ln ()min{,,}ni n i L n x n x x θμμθ==---<∑ln L nμθ∂=∂>0, 故ln L 是μ的递增函数，故1ˆmin{,}n x x μ= 由ln 0L θ∂=∂得 1ˆmin{,,}n x x x θ=- ，所以极大似然估计量为1ˆmin{,}n X X μ= ，1ˆmin{,,}nX X X θ=- 四：证明：记Z X Y =+，则Z 所有可能的取值为：0,1,2,,,n ， 由离散卷积公式有()()()ki P Z k P X i P Y k i =====-∑20!!()!!!()!ik ik kki i e k eei k i k i k i λλλλλλ----====--∑∑22(2)20,1,,,!!k k ke e k n k k λλλλ--===即Z X Y =+服从参数为2λ的泊松分布.五：构造检验统计量2122S F S =，当0H 为真时，211222~(1,1)S F F n n S =--,当0H 不真而1H 为真时，由2222111122222222/./S S F S S σσσσ==，即一个12(1,1)F n n --的统计量乘以一个大于1的数，2122S F S =有偏大的趋势. 所以当2122S F S =偏大时我们拒绝0H 而接受1H ，拒绝域的形式是:2122S F K S =>.由0H 为真时211222~(1,1)S F F n n S =--确定常数K ，得拒绝域为：211222(1,1)S F F n n S α=>--.。
大学《概率论与数理统计》期末考试试卷含答案
大学《概率论与数理统计》期末考试试卷含答案一、填空题(每空 3 分，共 30分)在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小，则只有增加 样本容量 .设随机变量具有数学期望与方差，则有切比雪夫不等式 .设为连续型随机变量,为实常数，则概率= 0 . 设的分布律为，,若绝对收敛(为正整数),则=.某学生的书桌上放着7本书，其中有3本概率书,现随机取2本书,则取到的全是概率书的概率为. 设服从参数为的分布,则=. 设，则数学期望= 7 .为二维随机变量, 概率密度为, 与的协方差的积分表达式为 .设为总体中抽取的样本的均值,则＝ . (计算结果用标准正态分布的分布函数表X ()E X μ=2()D X σ={}2P X μσ-≥≤14X a {}P X a =X ,{}1,2,k k P X x p k ===2Y X =1n k k k x p ∞=∑n()E Y 21k k k x p ∞=∑17X λpoisson (2)E X 2λ(2,3)YN 2()E Y (,)X Y (,)f x y X Y (,)Cov X Y (())(())(,)d d x E x y E y f x y x y +∞+∞-∞-∞--⎰⎰X N （3，4）14,,X X {}15P X ≤≤2(2)1Φ-()x Φ示)10. 随机变量,为总体的一个样本，,则常数=.A 卷第1页共4页 概率论试题(45分) 1、(8分)题略解：用，分别表示三人译出该份密码,所求概率为 （2分）由概率公式 （4分）（2分） 2、(8分) 设随机变量，求数学期望与方差.解：(1) = （3分） (2) （3分） （2分）(8分) 某种电器元件的寿命服从均值为的指数分布,现随机地取16只，它们的寿命相互独立，记，用中心极限定理计算的近似值(计算结果用标准正态分布的分布函数表示).2(0,)XN σn X X X ,,,21 X221()(1)ni i Y k X χ==∑k 21n σA B C 、、P A B C （）P A B C P ABC P A P B P C （）=1-（）=1-（）（）（）1-1-1-p q r =1-（）（）（）()1,()2,()3,()4,0.5XY E X D X E Y D Y ρ=====()E X Y +(23)D X Y -()E X Y +E X E Y （）+（）=1+3=4(23)4()9()12ov(,)D X Y D X D Y C X Y -=+-8361244XYρ=+-=-100h i T 161ii T T ==∑{1920}P T ≥()x Φ解： （3分） （5分）(4分)(10分)设随机变量具有概率密度,.(1)求的概率密度； (2) 求概率.解: (1) （1分）A 卷第2页共4页（2分）（2分）概率密度函数 （2分）(2) . （3分） (11分) 设随机变量具有概率分布如下,且.i i ET D T E T D T 2（）=100，（）=100，（）=1600，（）=160000{1920}0.8}1P T P ≥=≥≈-Φ（0.8）X 11()0x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩，，其它21Y X =+Y ()Y f y 312P Y ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭12Y Y y F y y F y≤>时（）=0,时（）=1212,{}{1}()d Y y F yP Y y P X y f x x <≤≤=+≤=（）=02d 1x y ==-2()=Y Y y f y F y≤⎧'⎨⎩1,1<（）=0，其它3102Y YP Y F F ⎧⎫-<<=-=⎨⎬⎩⎭311（）-（-1）=222(,)X Y {}110P X Y X +===(1)求常数； (2)求与的协方差,并问与是否独立?解: (1) （2分）由（2分） 可得 （1分）(2), , （3分） （2分） 由可知与不独立 （1分） 三、数理统计试题(25分)1、(8分) 题略. A 卷第3页共4页 证明:,相互独立（4分） ,（4分）,p q X Y (,)Cov X Y X Y 1111134123p q p q ++++=+=，即{}{}{}{}{}101011010033P X Y X P Y X p P X Y X P X P X p +====+========+，，1p q ==EX 1（）=2E Y 1（）=-3E XY 1（）=-6,-CovX Y E XY E X E Y （）=（）（）（）=0..ij i j P P P ≠X Y 222(1)(0,1),(1)X n S N n χσ--22(1)X n S σ-2(1)X t n -(1)X t n -(10分) 题略解：似然函数 （4分）由 可得为的最大似然估计 (2分)由可知为的无偏估计量，为的有偏估计量 (4分) 、(7分) 题略 解： （2分）检验统计量，拒绝域 （2分）而 （1分）因而拒绝域，即不认为总体的均值仍为4.55 （2分）A 卷第4页共4页2221()(,)2n i i x L μμσσ=⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭∑2221()ln ln(2)ln() 222ni i x n n L μπσσ=-=---∑2222411()ln ln 0,022n ni i i i x x L L nμμμσσσσ==--∂∂===-+=∂∂∑∑221111ˆˆ,()n n i i i i x x n n μσμ====-∑∑2,μσ221ˆˆ(),()n nE E μμσσ-==11ˆn i i x n μ==∑μ2211ˆ()ni i x n σμ==-∑2σ01: 4.55: 4.55H H μμ=≠x z =0.025 1.96z z ≥=0.185 1.960.036z ==>0H。
概率论与数理统计考试试卷与答案
n05——06一.填空题（每空题2分，共计60分）1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)(,4.0)A (p ===A B P ，则=)B A (p 0.6 ,=)B -A (p 0.1 ，)(B A P ⋅= 0.4 , =)B A (p 0.6。
2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。
（1）从中不放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 1/3 。
（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 9/25 。
（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 21/55 。
3、设随机变量X 服从B （2，0.5）的二项分布，则{}=≥1X p 0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从 B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ，方差D(X+Y)= 25 。
4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15．现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。
（1）抽到次品的概率为： 0.12 。
（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： 0.5 ． 5、设二维随机向量),(Y X 的分布律如右，则=a 0.1,=)(X E 0.4，Y X 与的协方差为: - 0.2 ，2Y X Z +=的分布律为:6、若随机变量X ~)4 ,2(N 且8413.0)1(=Φ，9772.0)2(=Φ,则=<<-}42{X P 0.8185 ，(~,12N Y X Y 则+= 5 ， 16 ）。
7、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X 、Y 相互独立，则：=-)2(Y X E - 4 ，=-)2(Y X D 6 。
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哈工大各学院2005 /2006 学年 秋季学期
概率试 题
解：
1
2()(2ln )
())(y X e
Y X F y P Y y f x P y dx
-+∞
=≤-==≤⎰
注意行为规范
遵守考场纪律
！
1111
2
2
221
21122
1,02()()()0,0y y y y Y X X y
e
e
e f y f e e y f y -----⎛⎫⨯=-= ⎪-⨯⎧⎝⎭≤>⎪=⎨⎪⎩
3. 已知一批零件的长度2(,)X N μσ ，若σ未知，从中随机地抽
x 2
：
()2(,)
29427XY D X Y DX DY Cov X Y DX DY ρ-=+-=+-=+-=2
(||4)(|()4)
()79
1116164P X Y P X Y E X Y D X Y -≤=---≤-≥-=-=
二、单项选择题
1. 设0()1,0()1,(|)(|)1P A P B P A B P A B <<<<+=，则上式
不等价的是__________.
(A) A 与B 独立; (B) (|)(|)P B A P B A =; (C) (|)(|)P A B P A B =; (D) A 与B 不独立.
;
12,X X 的分布函数; (D) 0,
157(),1116
162,
1x F x x x x <-⎧⎪⎪
=+-≤<⎨⎪≥⎪⎩.
解：由分布函数的性质0()1F x ≤≤及()1F +∞=排除法排除(B)、(C)和(D)，故答案为(A)。
4. 某学校数学考试时有四道选择题，每道选择题附4个答案，其中
只有一个正确，现一个考生随意地选择每道题的答案，则他至少答对三道题的概率为__________.
(A)
81256; (B) 4
256; (C) 13256; (D) 12256
.
解：因3344
444413113(3)(4)()()()444256
P P C C +=+=，故答案为(C)。
三、（10分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2
件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率
解：设A =‘从箱中任取2件都是一等品’
i B =‘丢失i 等品’ 1,2,3i =. 则 11223
3()()(|)
()(|)()(|)
P A P B P A B P B P A B P B P A B =++
222
5542229991312
21059
C C C C C C =⋅+⋅+⋅=；
，解 f 11()2,12,120,0,
Z z f z z z dx z -⎪⎪
==-<≤⎨⎨<≤⎪⎪⎩⎪⎩⎰其它其它
五、（10分）在长为单位长度1的线段上随机取两点，求两点间距离Z 的
数学期望EZ 和方差DZ .
解：（1）第一种解法：
设v r ⋅Y X ,分别表示两个随机点坐标，由题意知：X 与Y 独立且()pdf Y X v r ,⋅为：
()()()1,01,01
,X Y x y f x y f x f y <<<<⎧==⎨
E 1019dx ⎫-⎪⎭11
2
3200111111393239x x dx x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎰ 111
6918
=
-=
2
(),()()()0()01() 1.01()()(,)1(1)Z Z Z Z Z x y z
F z z R F z P Z z P X Y z z F z z F z z F z P X Y z f x y dxdy z F f -≤∀∈=≤=-≤≤=≥=<<=-≤=
=--⎰⎰
（2）第二种解法：
令Z=X-Y 的分布函数为，则当时，；时，当时，
n
解：（1）参数2
,μσ的矩估计:
22222
*(),EX EX DX EX X
S μμσμ
μμσμμμμσσ∧
∧
==⎧⎨=+=+⎩==-⎧=⎪∴⎨⎪=⎩
12212122和的矩估计为
参数2,μσ的极大似然估计
: 2
22
1,,;21
2
22
2
1
()(,)exp 21(2)
()
exp ()20n n
i n i n
n
i
i n
x L x x x
μμσσπσμσ
-
=-=⎧⎫-=
-⎨⎬
⎩⎭⎧
⎫
=--⎨⎬
⎩⎭
∑ 似然函数
取对数
1222222
11()i n n n n n n
μσμσμσσ=-=+--=≠∴2
2
2*2*2221
1()1n
i i S S S
X X n σσσ==--∑为的有偏估计，但是为的渐近无偏估计。
而为的无偏估计.
七、（6分）一个袋中含有a 个白球，b 个黑球，从中摸出c 个球
（c a b ≤+）,求摸出白球个数X 的数学期望
i=1:1,2,,(1),i c
i
i X i i c X X a P X a b ====+∑ 解令表示第次取到白球的个数(),则
又
（t
注意行为规范
遵
守考场纪律
！。