四川省内江市2015届高三第四次模试考试数学(理)试题 Word版含答案

内江市高中2015届第四次模拟考试试题
数学（理工类）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、设全集{}U ,,,a b c d =，集合{},a b A =，{},,b c d B =，则()
(
)U U
A B =痧（ ）
A ．{},c d
B ．{},,,a b c d
C ．{},a d
D ．{},,a c d 2、复数
1
1i
-的共轭复数为（ ） A ．1122i + B ．
1122i -- C ．1122i - D ．11
22
i -+ 3、一几何体的三视图如()3图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A ．4π
B ．3π
C ．2π
D ．π
4、如图()4，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数
()sin y x b
ωϕ=A ++（其中0ω>，2π
ϕπ<<），则估计中午12时的温度近似为（ ） A ．30C B ．27C C ．25C D ．24C 5、执行如图()5所示的程序框图，如果输出3s =，那么判断框内应填入的条件是（ ）
A ．6k ≤
B ．7k ≤
C ．8k ≤
D ．9k ≤
6、若()
13
log f x x =，2R f a b ⎛⎫
= ⎪+⎝⎭，S f =，f T =，a ，b 为
正实数，则R ，S ，T 的大小关系为（ ）
A ．R S T ≥≥
B ．R S ≥T ≥
C ．R S ≥T ≥
D ．R S T ≥≥ 7、已知P 是抛物线24x y =上的一个动点，则点P 到直线1:l 4370x y --=和
2:l 10y +=的距离之和的最小值是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 8、某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（ ）
A ．360
B ．520
C ．600
D ．720 9、已知二面角l αβ--的平面角为θ，αPA ⊥，βPB ⊥，A ，B 为垂足，
且4PA =，5PB =，设A 、B 到二面角的棱l 的距离分别为x 、y ，当θ变化时，点(),x y 的轨
迹是下列图形中的（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10、已知定义在[]0,1上的函数()f x 满足：①()()010f f ==；②对所有x ，[]0,1y ∈，且x y ≠，有()()1
2
f x f y x y -<-．若对所有x ，[]0,1y ∈，()()f x f y k -<，则k 的最小值为（ ）
A ．12
B ．14
C ．12π
D ．18 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）
11、已知
n
展开式中所有项的二项式系数和为32，则其展开式中的常数
项为 ．
12、直角坐标系x y O 中，i ，j 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量．在直角
三角形C AB 中，若i kj AB =+，C 2i j A =+，且C 90∠=，则k 的值是 ．
13、若1
tan 42
πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ= ．
14、已知()l g ,02,0
x x x
f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，则函数()()2231y f x f x =-+的零点的个数
为 ．
15、下图展示了一个由区间()0,1到实数集R 的映射过程：区间()0,1中的实数m 对应数轴上的点M ，如图1；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()0,1，如图3．图3中直线AM 与x 轴交于点(),0n N ，则m 的象就是n ，记作()f m n =．
()1方程()0f x =的解是 ；
()2下列说法中正确命题的序号是 ．
（填出所有正确命题的序号） ①114f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭；②()f x 是奇函数；③()f x 在定义域上单调递增；④()f x 的图象关
于点1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
对称；⑤(
)f x >2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭．
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．）
16、（本小题满分12分）已知向量3sin ,4a x ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭，()cos ,1b x =-．
()1当//a b 时，求2cos sin 2x x -的值；
()2设函数()()2f x a b b =+⋅，已知在C ∆AB 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、
b 、c
．若a =2b =
，sin B =
，求()4cos 26y f x π⎛⎫=+A + ⎪⎝⎭（0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
）的取值范围．
17、（本小题满分12分）某品牌汽车的4S店对最近100位采用分期付款的购车者人数进行统计，统计结果如下表所示：
已知分3期付款的频率为0.15，并且4S店销售一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款，其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元，以频率作为概率．
()1求事件:A“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；()2用X表示销售一辆该品牌汽车的利润，求X的分布列及数学期望()
E X．
18、（本小题满分12分）在三棱柱
111
C C
AB-A B
中，已知
1
C
AB=A=AA
C4
B=，
1
A在底面C
AB的射影是线段C
B的中点O．
()1证明：在侧棱
1
AA上存在一点E，使得OE⊥平面
11
C C
BB，并求出AE的长；
()2求二面角
111
C C
A-B-的余弦值．
19、（本小题满分12分）已知数列{}n a为等比数列，其前n项和为n S，已知14
7
16
a a
+=-，且对于任意的n*
∈N有
n
S，
2
n
S
+
，
1
n
S
+
成等差数列．
()1求数列{}
n
a的通项公式；
()2已知
n
b n
=（n*
∈N），记3
12
123
n
n
n
b b
b b
a a a a
T=+++⋅⋅⋅+，若()()
2
11
n
n m n
-≤T--
对于2
n≥恒成立，求实数m的范围．
20、（本小题满分13分）在平面直角坐标系x y
O中，已知椭圆C:
22
22
1
x y
a b
+=（0
a b
>>）的离心率
1
2
e=，直线:l10
x my
--=（R
m∈）过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．
()1求椭圆C 的标准方程；
()2已知点5D ,02⎛⎫
⎪⎝⎭
，
连结D B ，过点A 作垂直于y 轴的直线1l ，设直线1l 与直线D B 交于点P ，试探索当m 变化时，是否存在一条定直线2l ，使得点P 恒在直线2l 上？
若存在，请求出直线2l 的方程；若不存在，请说明理由．
21、（本小题满分14分）已知定义在实数集上的函数()n n f x x =，n *∈N ，其导函数记为()n f x '，且满足()()()
2221212121
f x f x f x a x x x x -'+-=
⎡⎤⎣⎦-，a ，1x ，2x 为常数，
12x x ≠．
()1试求a 的值；
()2记函数()()()13F ln x bf x f x =-，(]0,x e ∈，若()F x 的最小值为6，求实数b 的
值；
()3对于()2中的b ，
设函数()3x
b g x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，()11,x y A ，()22,x y B （12x x <）是函数()g x 图象上两点，若()21021
y y
g x x x -'=-，试判断0x ，1x ，2x 的大小，并加以证明．
内江市高中2015届第四次模拟考试试题
数学（理工类）参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1、D
2、C
3、B
4、B
5、B
6、A
7、C
8、C
9、D 10、B。