大一线性代数练习题
大一线性代数期末考试试题
大一线性代数期末考试试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 向量空间的定义中，下列哪一项不是其公理化系统的一部分？A. 向量加法的封闭性B. 向量的数乘封闭性C. 向量加法的交换律D. 存在非零零向量2. 设A是一个3阶方阵，且满足A^2 - 2A + I = 0，其中I是3阶单位矩阵。
则A^3的值为：A. AB. 2AC. 3AD. 03. 在线性代数中，下列哪个矩阵是不可逆的？A. 单位矩阵B. 对角矩阵C. 行最简矩阵D. 行阶梯矩阵4. 特征值和特征向量的定义中，下列说法正确的是：A. 特征向量可以是零向量B. 每个特征值都有对应的特征向量C. 一个矩阵的特征值是唯一的D. 一个矩阵可能没有特征值5. 设T是一个线性变换，且T保持向量加法和数乘，那么T是一个：A. 线性变换B. 非线性变换C. 仿射变换D. 恒等变换二、填空题（每题2分，共10分）6. 若向量v = (1, 2, 3)，向量w = (x, y, z)，且v与w垂直，则x + y + z = _______。
7. 设矩阵A = (\*, \*, \*; \*, \*, \*; \*, \*, \*)，若A的行列式为0，则称A为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。
对于3阶方阵，其行列式计算公式为：det(A) = \*\*\* - \*\*\* + \*\*\* - \*\*\*+ \*\*\*。
8. 在求解线性方程组时，若系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则该方程组是_______的。
9. 设P是n阶置换矩阵，那么P的行（或列）向量中，有_______个1，n-_______个0。
10. 对于一个n维向量空间，其基可以通过_______个线性无关的向量来构造。
三、简答题（每题10分，共30分）11. 请简述线性相关与线性无关的定义，并给出一个例子说明两者的区别。
12. 给出一个具体的3维向量空间，并说明其基和维数。
13. 解释何为矩阵的秩，并举例说明如何计算一个矩阵的秩。
线性代数练习题(有答案)
《线性代数》 练习题一、选择题1、 设A ,B 是n 阶方阵,则必有 ……………………………………………（ A ）A 、|AB |=|BA | B 、2222)(B AB A B A ++=+C 、22))((B A B A B A -=-+D 、BA AB = 2、设A 是奇数阶反对称矩阵，则必有( B ) (A)、1=A (B)、0=A (C)、0≠A (D)、A 的值不确定3、向量组)0,1,1(，)9,0,3(-，)3,2,1(，)6,1,1(--的秩为____2 ________4、向量组)1,3,1,2(-，)4,5,2,4(-，)1,4,1,2(--的秩为______2__ ___.5、设A 是n m ⨯阶矩阵，r A r =)(,则齐次线性方程组O AX =的基础解系中包含解向量的个数为( C )(A)、r (B)、n (C)、r n - (D)、r m - 二、计算与证明题6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221021132B 求（1）32AB A -，（2）.T B A6、解（1）. A AB 23-2202313212120020122--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭2202212020-⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭2223186240-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭2202212020-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭210612622680-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）. 220231231212120120020122122T A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭222186240-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭7、设A ,B 是n 阶方阵满足AB B A =+，证明:E A -可逆. 7、解、1()A E B E --=-8、设方阵A 满足0332=--E A A ，证明:A 可逆,并求1-A .8、解、由2330A A E --=有A (3A E -）=3E ，于是，A [21(3A E -)]=E ,所以A 可逆，且11(3)3A A E -=-.9、计算行列式:1014300211321221---=D9、69D =-.10、计算行列式D =4232002005250230---- 10、解：D =423200200525230----0205252304--=55208---=80-=11、计算n 阶行列式abbb b a bb b a D =11、1[(1)]()n D a n b a b -=+--。
大学数学线性代数试题
大学数学线性代数试题一、选择题1. 线性代数中的“线性”一词主要是指：A. 向量线性组合的线性B. 方程组线性C. 空间中直线的线性D. 函数的线性2. 若矩阵A的秩为r，那么下列哪个选项是正确的？A. A的行向量或列向量中至少有r个是线性独立的。
B. A的前r列（或行）是线性独立的。
C. A的任意r+1个列（或行）都是线性相关的。
D. A的任意r个列（或行）都是线性独立的。
3. 矩阵的特征值和特征向量描述了什么？A. 矩阵的旋转方向和旋转角度B. 矩阵的缩放效果C. 矩阵的对称性质D. 矩阵的行列式4. 在线性代数中，线性变换通常由什么表示？A. 一个向量B. 一个矩阵C. 一个方程D. 一个函数5. 行列式的主要性质不包括：A. 行列式与其转置行列式相等。
B. 行列式具有线性性质。
C. 行列式的值不变于行（列）的互换。
D. 行列式的值不变于行（列）的伸缩。
二、填空题1. 一个n阶方阵的逆矩阵，如果存在，那么称该矩阵为_________矩阵。
2. 矩阵的秩是指矩阵中最大的线性独立行或列的个数，记作_________。
3. 特征值和特征向量的定义是：对于方阵A，如果存在一个非零向量v和一个标量λ，使得Av=λv，则称λ为A的一个_________，v为对应的_________。
4. 行列式是由n个元素组成的一个多线性函数，通常记作_________。
三、简答题1. 请简述线性方程组的解的类型及其条件。
2. 解释什么是矩阵的秩，并给出计算一个3x3矩阵秩的步骤。
3. 描述特征值和特征向量在实际问题中的应用。
四、计算题1. 给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求其行列式和秩。
2. 设向量v = (1, 2, 3)，求其在基{e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}下的坐标表示。
3. 给定矩阵B = [1 2; 3 4]，求其逆矩阵。
大学线代期末试题及答案
大学线代期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设A为3阶方阵，且|A|=2，则|2A|等于多少？A. 4B. 8C. 16D. 32答案：B2. 若矩阵A可逆，则下列说法正确的是：A. A的行列式为0B. A的行列式不为0C. A的逆矩阵不存在D. A的逆矩阵是唯一的答案：B3. 向量组α1, α2, α3线性无关，则下列说法正确的是：A. 这三个向量可以构成一个平面B. 这三个向量可以构成一个空间C. 这三个向量可以构成一个直线D. 这三个向量可以构成一个点答案：B4. 设A是n阶方阵，如果A的特征值为λ，则下列说法正确的是：A. λ是A的最小特征值B. λ是A的最大特征值C. λ是A的特征值D. λ不是A的特征值答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 若矩阵A的秩为2，则矩阵A的行列式|A|等于______。
答案：02. 设向量组α1, α2, α3线性相关，则至少存在不全为零的实数k1, k2, k3使得k1α1 + k2α2 + k3α3 = ______。
答案：03. 若A是3阶方阵，且A的迹等于6，则A的特征值之和等于______。
答案：64. 设向量空间V中有两个子空间U和W，若U与W的交集只包含零向量，则称U和W为______。
答案：互补子空间三、解答题（每题15分，共40分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，求A的逆矩阵。
答案：首先计算A的行列式，|A| = 1*4 - 2*3 = -2。
然后计算A的伴随矩阵，即\[\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1\end{pmatrix}\]。
最后，A的逆矩阵为\[\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\] / (-2) = \[\begin{pmatrix} -2 & 1 \\1.5 & -0.5 \end{pmatrix}\]。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
大一线性代数练习题
线性代数（一）一.填空题（4x6=24分）1.计算3阶行列式21141183--=- - 4 。
2.已知排列1r46s97t3为奇排列，则r ，s ，t 的取值分别为 。
3.用行列式的性质计算：xy x y y x yx x yxy+++= -X^2-Y^2-XY 。
4.设A 为3阶方阵，而且2A =-,则=A A T 4=*A A1*4A A --=（注：*A 为A 的伴随矩阵.）5.设1114001205A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，, 则=AB ；T B A = ；=2A ；n A = 。
6. 设矩阵A 满足24A A E O +-=，则()1A E --= 。
二.选择题（4x9=36分） 1.12021k k -≠-的充分必要条件是（c ）。
A 、1k ≠- B 、3k ≠ C 、31k k ≠≠-且 D 、31k k ≠≠-或 2、如果1112132122233132331a a a D a a a a a a ==，1111121312121222331313233423423423a a a a D a a a a a a a a -=--，那么1D =（）。
A 、8 B 、-12 C 、24 D 、-243.如果304050x ky z y z kx y z +-=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩有非零解，则（）A 、01k k ==或B 、01k k ==-或C 、11k k ==-或D 、31k k =-=-或 4.设,(2)A B n n ≥为阶方阵，则必有（ ）.A 、AB A B +=+ B 、AB BA =;C 、 A B B A =;D 、 BA AB =.5.设cdb aa cb d ad b cd c b aD =4，则=+++44342414A A A A ( )。
A 、0; B 、1； C 、2)(d c b a +++; D 、22222)(d c b a +++. 6.设11121314212223243132333441424344a a a a a a a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，14131211242322213433323144434241a a a a a a a a B a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 1001010000101000P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，21000001001000001P ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，其中A 可逆，则1B -等于（ ）。
线性代数考试试题
线性代数考试试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 1; 1, 0]2. 向量空间V的一组基具有n个向量，那么V的维数是：A. 0B. nC. 1D. 不确定3. 如果A和B是两个n阶方阵，那么AB和BA的行列式的值：A. 总是相等B. 只有在A和B可交换时相等C. 只有在A和B都是对角矩阵时相等D. 无法确定是否相等4. 对于任意的n维向量x，下列哪个选项是正确的？A. x^T * x是一个标量B. x^T * x是一个矩阵C. x * x^T是一个矩阵D. x + x^T是一个向量5. 特征值和特征向量的定义是什么？A. 对于矩阵A，如果存在标量λ和非零向量v，使得Av=λv，则λ是A的特征值，v是A的特征向量B. 对于矩阵A，如果存在标量λ和非零向量v，使得vA=λv，则λ是A的特征值，v是A的特征向量C. 对于矩阵A，如果存在标量λ和非零向量v，使得A^2v=λv，则λ是A的特征值，v是A的特征向量D. 以上都不是6. 下列哪个矩阵是对称矩阵？A. [1, 0; 0, -1]B. [0, 1; 1, 0]C. [1, 2; 2, 1]D. [2, 3; 3, 2]7. 对于矩阵A，其迹（trace）是：A. A的对角线元素之和B. A的行列式C. A的逆矩阵的对角线元素之和D. A的秩8. 如果矩阵A是正交矩阵，那么下列哪个陈述是正确的？A. A的行列式为1B. A的行列式为-1C. A的逆矩阵等于A的转置D. A的逆矩阵等于A本身9. 对于任意矩阵A，下列哪个选项是正确的？A. |A| 是 A 的行列式B. A^T 是 A 的转置C. A^-1 是 A 的逆矩阵D. A^* 是 A 的共轭转置10. 在线性代数中，线性无关的向量集合可以：A. 构成一个向量空间B. 构成一个基C. 确定一个唯一的解D. 以上都是二、填空题（每题4分，共20分）11. 矩阵的秩是指__________________________。
大一线代试题及答案
大一线代试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 线性代数中，向量空间的维数是指：A. 向量空间中的向量个数B. 向量空间中的基的个数C. 向量空间中任意向量的分量数D. 向量空间中最大的线性无关向量组的向量个数答案：D2. 对于任意的矩阵A，行列式|A|等于：A. 矩阵A的迹B. 矩阵A的秩C. 矩阵A的逆的负数D. 矩阵A的主对角元素的乘积答案：A3. 如果一个矩阵A可逆，那么下列哪个选项是正确的？A. |A| = 0B. A的秩小于A的阶数C. A的行列式不为零D. A的转置矩阵不可逆答案：C4. 对于n维向量空间中的任意两个向量，它们：A. 一定线性相关B. 一定线性无关C. 可以线性相关也可以线性无关D. 以上都不对答案：C5. 矩阵的特征值是：A. 矩阵的对角线元素B. 矩阵的迹C. 满足方程Ax = λx的非零向量x对应的λD. 矩阵的行列式的值答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 向量组α1, α2, ..., αk的秩为r，那么这组向量的极大无关组中包含的向量个数为________。
答案：r个7. 设A是一个m×n矩阵，B是一个n×m矩阵，若AB=I（单位矩阵），则称矩阵B为矩阵A的________。
答案：左逆矩阵8. 若向量β1, β2, ..., βs能由向量组α1, α2, ..., αt线性表示，且向量组α1, α2, ..., αt也能由向量组β1, β2, ...,βs线性表示，则称向量组α1, α2,..., αt和向量组β1,β2, ..., βs________。
答案：等价9. 设矩阵A的特征多项式为f(λ)=λ^2 - aλ + b，那么矩阵A的迹为________。
答案：a10. 对于任意的n阶方阵A，|A^T| = |A|________。
答案：相等三、解答题（共75分）11. （15分）已知矩阵A和B满足AB=BA，证明(A+B)^2 = A^2 + B^2 + 2AB。
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《线性代数（一）》2009年下半年第一次作业
一.填空题（4x6=24分）
1.计算3阶行列式2
01
1
411
8
3
--=- - 4 。
2.已知排列1r46s97t3为奇排列，则r ，s ，t 的取值分别为 。
3.用行列式的性质计算：
x
y x y y x y x x y
x
y
+++= -X^2-Y^2-XY 。
4.设A 为3阶方阵，而且2A =-,则=A A T 4
=*
A
A
1
*4A
A --=
（注：*
A 为A 的伴随矩阵.）
5.设
111400
12
5A B ⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，, 则
=AB ；
T
B A = ；=2
A ；n
A = 。
6. 设矩阵A 满足24A A E O +-=，则()1
A E --= 。
二.选择题（4x9=36分） 1.
1202
1
k k -≠-的充分必要条件是（c ）。
A 、1k ≠-
B 、3k ≠
C 、31k k ≠≠-且
D 、31k k ≠≠-或
2、如果11
121321
222331
32
33
1a a a D a a a a a a ==，11111213
121
21222331
3132
33
423423423a a a a D a a a a a a a a -=--，那么1D =（）。
A 、8 B 、-12 C 、24 D 、-24
3.如果30
4050x ky z y z kx y z +-=⎧⎪
+=⎨⎪--=⎩
有非零解，则（）
A 、01k k ==或
B 、01k k ==-或
C 、11k k ==-或
D 、31k k =-=-或 4.设,(2)A B n n ≥为阶方阵，则必有（ ）.
A 、A
B A B +=+ B 、AB BA =;
C 、 A B B A =;
D 、 BA AB =.
5.设c
d
b
a
a c
b d a d b
c
d c b a D =
4，则=+++44342414A A A A ( )。
A 、0;
B 、1；
C 、2)(d c b a +++;
D 、2
2222)(d c b a +++.
6.设11121314212223243132333441
42
43
44a a a a a a a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=
⎪
⎪ ⎪⎝⎭，14
13121124
232221
3433323144
43
42
41a a a a a a a a B a a a a a a a a ⎛⎫
⎪ ⎪=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
， 100010100001010
0P ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭，2
1
0000010
010000
1P ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，其中A 可逆，则1B -等于（ ）。
A 、112A P P -； B 、112P A P -； C 、 112P P A -； D 、 121P A P -。
7.设A 是s p ⨯的矩阵，B 是n m ⨯的矩阵，如果B AC T 有意义，则C 是（C ）矩阵.
A 、n p ⨯
B 、m p ⨯
C 、 s m ⨯
D 、 m s ⨯. 8．设B A ,均为n 阶方阵，则必有（C ）
A 、
1
11
)
(---=B
A A
B B 、BA AB =；
C 、T T T B A B A +=+)(;
D 、111)(---+=+B A B A . 9．设C B A ,,为n 阶矩阵，则（ ）成立.
A 、如果AC A
B =，则
C B =; B 、如果222)(B A AB =,则BA AB =；
C 、 如果B A ,是非零的数量矩阵，则BA AB =;
D 、 如果B A ,可逆，则BA AB =.
三．（8分）计算行列式：
1211
211211231
2
3
11111
n n n n
x a a a a x a a a a x a a a a x a a a a ---……………………………
四．（8分）若齐次线性方程组 (3)1420
2(8)023(2)0x y z x y z x y z λλλ+++=⎧⎪
-+--=⎨⎪--+-=⎩ 有非零解，求λ的值。
五．（8分）设135347,.12
2A AX A X 骣÷ç÷ç÷ç÷==-ç÷ç÷ç÷÷
ç桫
求矩阵.X 六．(8分) 设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛----=32
321
321k k k A ，问k 为何值时，可使：
（1）1)(=A R , (2)2)(=A R .
七.(8分) 设B A ,为n 阶方阵，若B A AB +=,证明：E A -可逆，且BA AB =.。