江苏省如东高级中学2017_2018学年高二数学4月月考试题
江苏省如东县2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题
2017 ~ 2018学年度第-学期期末学情检测高二数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
1．命题“∀x ∈R ，x ﹣1＞0”的否定是 ▲ ．2．抛物线y ＝x 2的准线方程是 ▲ ．3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝9，a 5＝13，则S 7＝ ▲ ．4．不等式2x−1x+1＜0的解集是 ▲ ．5．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐进线平行于直线l ：y ＝x +4，且双曲线的一个焦点在直线l 上，则该双曲线的标准方程为 ▲ ．6．若x +2y ＝4，则2x +4y 的最小值是 ▲ ．7．实数x ，y ∈R ，则命题甲“{x +y ＞4xy ＞4”成立是命题乙“{x ＞2y ＞2”成立的 ▲ 条件．（用“充分必要”充分不必要“必要不充分”“既不充分也不必要”填空）8．若实数x ，y 满足：{x +y −1≥0x −y +1≥0x ≤1，则z ＝x 2+y 2的最小值为 ▲ ．9．已知等比数列19，13，1，⋯前n 项和为S n ，则使得S n ＞2018的n 的最小值为 ▲ ． 10．若P 是椭圆C ：x 225+y 216=1上任意一点，点A ，B 分别为椭圆C 的上、下顶点，若直线P A ，PB 的斜率都存在，分别记为k P A ，k PB ，则k P A •k PB 的值为 ▲ ．11．各项均为正数的数列{a n }满足a n +2＝a n +1+a n ，且a 5＝18，则a 1a 2的最大值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，设定点P （m ，m ），Q 是函数y =1x （x ＞0）图象上一动点，若点P ，Q 之间的最短距离为4√2，则所有满足条件的实数m 的值为 ▲ ．13．已知椭圆E ：x 24+y 23=1的左顶点为A ，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，过点A 作斜率为k （k ＞0）的直线交椭圆E 于另一点B ，直线BF 2交椭圆E 于点C ，若F 1C ⊥AB ，则实数k 的值是 ▲ ．14．已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为b ，等比数列{b n }的首项为b ，公比为a ，其中a ，b 都是大于1的正整数，且a 1＜b 1，b 2＜a 3，若对于任意的n ∈N *，总存在m ∈N *，使得a m +5＝b n 成立，则b n ＝ ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分。
江苏省如东高级中学2017-2018学年高二上学期阶段测试(二)数学试题
江苏省如东高级中学2017-2018学年高二上学期阶段测试（二） 数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．1．命题R x ∈∃，使得012≤+x 的否定为 . 2．抛物线y x 82=的准线方程为 .3．在等差数列}{n a 中，已知1182=+a a ，则1133a a +的值为 .4．下列命题：①45>或54>；②命题“若b a >，则c b c a +>+”的否命题；③命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为 . 5．能够使“设x 是实数，若1>x ，则311>-+x x ”是假命题的一个实数x 的值为 . 6．“3≥+y x ”是“1≥x 或2≥y ”的 条件.（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）7．已知双曲线1922=-ay x 的右焦点为)0,13(，则该双曲线的渐近线方程为 . 8．关于x 的不等式0>-b ax 的解集是)1,(-∞，则关于x 的不等式02>-+x bax 的解集是 .9．设y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤>1||||0y x x y y ，则y x 3+的最大值为 .10．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆与双曲线称为一对“相关曲线”，已知21,F F 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，若02160=∠PF F ，则这一对相关曲线中椭圆的离心率为 .11．在等比数列}{n a 中，1041=<<a a ，则能使不等式0)1()1()1(2211≤-++-+-nn a a a a a a 成立的最大正整数n 是 .12．已知实数y x ,满足322=+y x ，||||y x ≠，则22)2(4)2(1y x y x -++的最小值为 .13．各项均为正数的等比数列}{n a 中，),2(881211+∈>=⋅⋅⋅=N m m a a a a m m ，若从中抽掉一项后，余下的1-m 项之积为1)24(-m ，则被抽掉的是第 项．14．设c b a ,,是正实数，满足a c b ≥+，则ba cc b ++的最小值为 ． 二、解答题 （本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．命题p ：实数x 满足03422<+-a ax x （其中0>a ），命题q ：实数x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-0232|1|x x x .（1）若1=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.16．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的焦点为)0,4(1-F ，)0,4(2F ，且经过点)1,3(P . （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若点M 在椭圆上，且2121PF PF OM λ+=，求λ的值. 17．已知各项均为正数的数列}{n a 的首项11=a ，n S 是数列}{n a 的前n 项和，且满足：),0(*1111N n a a a a S a S a n n n n n n n n ∈≠=-+-++++λλ.（1）若321,,a a a 成等比数列，求实数λ的值； （2）若21=λ，求证：数列}1{n n a S +为等差数列； （3）在（2）的条件下，求n S .18．如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB 为2米，梯形的高为1米，CD 为3米，上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点.MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和C 平行.当MN 位于CD 下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH （阴影部分均不通风）.（1）设MN与AB之间的距离为25 0(<≤xx且)1≠x米，试将通风窗的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数)(xSy=；（2）当MN与AB之间的距离为多少时，通风窗的通风面积S取得最大值？19．已知椭圆C：)0(12222>>=+babyax的左焦点为)0,1(-F，左准线方程为2-=x. （1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l交椭圆C于BA,两点.①若直线l经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足AFPAλ=，BFPBμ=.求证：μλ+为定值；②若OBOA⊥（O为原点），求AOB∆面积的取值范围.20.若存在常数)2,(*≥∈kNkk、q、d，使得无穷数列}{na满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∉+=+**1,,NknqaNkndaannn，则称数列}{na为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差.设数列}{nb为“段比差数列”.（1）若}{n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3. ①当0=q 时，求2016b ；②当1=q 时，设}{n b 的前n 3项和为n S ，若不等式133-⋅≤n n S λ对*N n ∈恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设}{n b 为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的}{n b 并说明理由.试卷答案一、填空题1．R x ∈∀，使得012>+x 2．2-=y 3．22 4．1 5．2 6．充分不必要 7．x y 32±= 8．)2,1(- 9．2 10．3311．7≤n 12．5313．13 14．212-二、解答题15．（1）解：由03422<+-a ax x 得0))(3(<--a x a x ， 又0>a ，所以a x a 3<<，当1=a 时，31<<x ，即p 为真时，实数x 的取值范围是31<<x ，由⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-0232|1|x x x 得⎩⎨⎧>-≤≤≤-2331x x x 或，解得32≤<x ，即q 为真时，实数x 的取值范围是32≤<x ，若q p ∧为真，则p 真且q 真， 所以实数x 的取值范围是)3,2(.（2）由（1）知p ：a x a 3<<，则p ⌝：a x ≤或a x 3≥，q ：32≤<x ，则q ⌝：2≤x 或3>x因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则q p ⌝⇒⌝，所以⎩⎨⎧>≤<3320a a 解得21≤<a ，故实数a 的取值范围是]2,1(.16.（1）依题意，设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x261)43(1)43(||||2222221=+-+++=+=PF PF a ，∴23=a椭圆C 的标准方程为121822=+y x （2）)212,272()1,0()1,7(212121+--=-+--=+=λλλλPF PF 点M 的坐标为)212,272(+--λλM∵点M 在椭圆上，∴1)212(21)272(18122=+-+-⨯λλ即074202=-+λλ，解得21=λ或107-=λ.17.（1）令1=n ，得λ+=122a令2=n ，得32322332a a a a S a S a λ=-+-，所以)12)(1(423+++=λλλa由3122a a a =，得)12)(1(42)12(2+++=+λλλλ，因为0≠λ，所以1=λ.（2）当21=λ时，1111++++=-+-n n n n n n n n a a a a S a S a λ， 所以21111111=-+-++++n n n n n n a a a S a S ，即211111=+-+++n n n n a S a S 所以数列}1{n n a S +是以2为首项，公差为21的等差数列， 所以21)1(21⋅-+=+n a S n n ，即2321+=+n a S n n .（3）n n a nS )232(1+=+，①当2≥n 时，11)2321(1--+-=+n n a n S ，② ①-②得，12223-+-+=n n n a n a n a 即1)2()1(-+=+n n a n a n ，所以)2(121≥+=+-n n an a n n ，所以}2{+n a n 是首项为31的常数列，所以)2(31+=n a n ， 代入①得651)232(2n n a n S n n +=-+=.18.解：（1）当10<≤x 时，过A 作CD AK ⊥于K （如图）则x HM ABCD DK AK -==-==1,212,1，由2==DHMH DK AK ，得212xHM DH -==， ∴x DH HG +=-=223，∴2)2)(1()(2+--=+-=⋅=x x x x HG HM x S ；当251<<x 时，过E 作MN ET ⊥于T ，连结EN （如图），则1-=x ET ，222)1(49)1()23(2--=--==x x MNTN ，∴2)1(492--=x MN ， ∴)1()1(492)(2-⋅--=⋅=x x ET MN x S ，综上，⎪⎩⎪⎨⎧<<-⋅--<≤+--=251),1()1(49210,2)(22x x x x x x x S ； （2）当10<≤x 时，49)21(2)(22++-=+--=x x x x S 在)1,0[上递减， ∴2)0()(max ==S x S ；当251<<x 时，492)1(49)1(2)1()1(492)(222=--+-⋅≤-⋅--=x x x x x S ，当且仅当2)1(491--=-x x ，即)25,1(1423∈+=x 时取“=”， ∴49)(max =x S ，此时249)(max >=x S ，∴)(x S 的最大值为49.答：当MN 与AB 之间的距离为1423+米时，通风窗的通风面积S 取得最大值. 19.(1)由题设知c a ca c 2,2,122===， ∴1,22222=-==c a b a ，∴C ：1222=+y x （2）①由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(+=x k y ，则),0(k P 设),(),,(2211y x B y x A ，直线l 代入椭圆得2)1(2222=++x k x ，整理得，0224)21(2222=-+++k x k x k ，∴222122212122,214k k x x k k x x +-=+-=+由λ=，μ=知22111,1x x x x +-=+-=μλ， ∴4142122214121442142122222222*********-=---=+-++-++-++--=+++++-=+k k k k k k k k x x x x x x x x μλ（定值）②当直线OB OA ,分别与坐标轴重合时，易知AOB ∆的面积22=S ， 当直线OB OA ,的斜率均存在且不为零时，设OA ：kx y =，OB ：x ky 1-=， 设),(),,(2211y x B y x A ，将kx y =代入椭圆C 得到22222=+x k x ，∴2221221212,212k k y k x +=+=，同理222222222,22k y k k x +=+=， AOB ∆的面积)2)(12()1(22222+++=⋅=k k k OB OA S ， 令),1[12+∞∈+=k t ，221121)1)(12(tt t t t S -+=+-=， 令)1,0(1∈=tμ，则)22,32[49)211(12122∈+--=++-=μμμS 综上所述，)22,32[∈S . 20.(1)∵}{n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3 ∴0020132014=⨯=b b ，3320142015=+=b b ，∴6320152016=+=b b ∵}{n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3 ∴n n b b 313=+，∴621333333==-=-+++d b b b b n n n n ， ∴}{3n b 是首项为73=b ，公差为6的等差数列， ∴n n n n n b b b n 4362)1(72363+=⨯-+=+++ ， 易知}{n b 中删除}{3n b 的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列， ∴n n n n n b b b b b b n n -=-+⨯=+++++++-21323542162)12(212 ， ∴n n n n n n S n 39)6()43(2223+=-++=， ∵133-⋅≤n n S λ，∴λ≤-133n n S ，设133-=n nn S c ，则max )(n c ≥λ，又1212213)223(23393)1(3)1(9--+---=+-+++=-n n n n n n n n n n n c c当1=n 时，02232<--n n ，21c c <，当2≥n 时，02232>--n n ，n n c c <+1∴ >><321c c c ，∴14)(2max ==c c n ， ∴14≥λ，得),4[+∞∈λ.（2）设}{n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，①若2=k ，则d q d b b q d b b d b b b b ++=+=+==)(,)(,,4321，由2231b b b =，得bq d b =+，由2342b b b =，得d q d b q d b ++=+)()(2，联立两式，得⎩⎨⎧==10q d 或⎩⎨⎧-=-=12q b d ，则b b n =或b b n n 1)1(--=，经检验均合题意②若3≥k ，则b b =1，d b b +=2，d b b 23+=，由2231b b b =，得)2()(2d b b d b +=+，得0=d ，则b b n =，经检验均合题意 综上①②，满足条件的}{n b 的通项公式为b b n =或b b n n 1)1(--=.。
江苏省如东高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考数学试题(解析版)
如东高级中学2018-2019学年第一学期高二年级阶段测试（二）数学试卷（普通班）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．.1.命题“”的否定是______命题（填“真”或“假”）．【答案】，【解析】试题分析：“，”的否定是，考点：命题否定【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p（x）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x0，使p （x0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则就是假命题.2.已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是_______．【答案】【解析】【分析】先计算出平均值，然后根据方差的计算公式，计算出数据的方差.【详解】平均值为，所以方差为. 【点睛】本小题主要考查样本方差的运算，考查运算求解能力，属于基础题.3.一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000，3500）范围内的人数为_______．【答案】【解析】【分析】先计算出内的频率，然后乘以总人数，得到这个范围内的人数.【详解】内的频率为，故人数为人.【点睛】本小题主要考查频率分布直方图，考查频率的计算和频数的计算，属于基础题.4.若是不等式成立的充分不必要条件,则实数的范围是________.【答案】【解析】【分析】先求得不等式的解集，然后根据充分不必要条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】不等式可转化为，解得，由于是的充分不必要条件，结合集合元素的互异性，得到.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查充分不必要条件的概念，还考查了集合元素的互异性，属于基础题.一元二次不等式的解法主要通过因式分解，求得一元二次不等式对应的一元二次方程的两个根，由此解出不等式的解集.集合的三要素是：确定性、互异性以及无序性.5.运行如图所示的伪代码，其结果为______．【答案】【解析】【分析】根据伪代码的计算过程，列式，然后计算出最后的结果.【详解】伪代码用于计算.故结果为.【点睛】本小题主要考查求出程序运行的结果，根据循环结构列出表达式，由此计算得最后的结果，属于基础题.6.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为________．【答案】【解析】试题分析：由于，所以，的渐近线方程为.考点：双曲线的简单几何性质.7.为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本．其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是____．【答案】7500【解析】设总人数为，则分层抽取比例为，而大一，大二共抽取300人，且大一，大二的总人数为，所以得8.已知正六棱锥P－ABCDEF的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为．【答案】12【解析】试题分析：由己知正六棱锥的高为，底面面积为，所以. 考点：几何体的体积.9.若椭圆的离心率，则的值为.【答案】0或；【解析】试题分析：由题意得：，即或，考点：椭圆离心率【名师点睛】1.求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．2．e与a，b间的关系e2＝＝1－2.10.已知是直线，是平面，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若内不共线的三点到的距离都相等，则；④若，且，则；⑤若为异面直线，，则。
江苏省如东高级中学2017-2018学年高二4月月考试题
江苏省如东高级中学2017-2018学年高二4月月考试题一、填空题 1. 若复数11iz i+=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为 ▲ ． 2． 用反证法证明某命题时，对结论“自然数,,a b c 中至多有2个偶数”的正确假设为“假设自然数,,a b c ▲ ”．3. 若复数z 满足232z z i +=+（i 为虚数单位），则z = ▲ ．4. 已知函数2()2(1)f x x xf '=+，则)1(f 的值为 ▲ ．5． 对大于1的自然数m 的3次方幂有如下分解方式： 3235=+，337+9+11=，3413+15+17+19=，根据上述分解规律，3m 的分解数中有一个是59，则m 的值是▲ ．6. 设点P 是曲线3y x b =+（b 为实常数）上任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 ▲ ． 7. 若复数21aii+-（a R ∈）是纯虚数（i 是虚数单位），则复数(3)z a a i =+-在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限．8. 已知函数3)(x x f =，则过（1,1）的切线方程为 ▲ ．9. 函数3()32f x x x =-+在区间2(,24)a a a -++上有极小值，则实数a 的取值范围为 ▲ ．10.已知函数2()sin cos f x x x x x =++，不等式1(1)(ln )2(1)f nx f f x+<的解集为 ▲ ．11. 椭圆中有如下结论：椭圆()222210x y a b a b+=>>上斜率为1的弦的中点在直线220x ya b+=上.类比上述结论，双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上斜率为1的弦的中点在直线 ▲ 上．12.已知函数3()6ln h x x x x =-+图象上任意不同的两点的连线的斜率都大于m ，则实数m 的取值范围为 ▲ ．13.已知函数2()(3)xf x x e =-，设关于x 的方程2()()0f x af x -=（a R ∈）有4个不同的实数解，则a 的取值范围是 ▲ ．14.已知函数ln ,(0)()21,(0)x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，()g x ax =，若两函数()f x 与()g x 的图像有三个不同的公共点(,()),(,()),(,()),A m f m B n f n C t f t m n t <<，则12n m++的范围为 ▲ ． 二、解答题 15. 已知复数212(1)1az a i a =+--，2(1)z m m i =+-（i 是虚数单位，a R ∈，m R ∈） （1）若1z 是实数，求a 的值；（2）在（1）的条件下，若12||||z z <，求实数m 的取值范围.16. 已知函数()x e af x x-=（a R ∈）（1）若函数()f x 在1x =时取得极值，求实数a 的值；（2）若函数()f x 在区间[2,4]上是单调增函数，求实数a 的取值范围.17. （本题满分16分）已知函数32()23f x x ax =-，（a R ∈且0a >） （1）若2a =，求函数()f x 在1x =处的切线方程.（2）对任意1[0,2]x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得12()'()f x f x ≥（其中'()f x 为()f x 的导数）成立，求实数a 的取值范围.18． 已知函数2()ln f x ax bx x =-+，（a ，b R ∈）. （1）若1a =，3b =，求函数()f x 的单调减区间；（2）若0b =时，不等式()0f x ≤在[1,+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当1a =，92b >时，记函数()f x 的导函数'()f x 的两个零点是1x 和2x （12x x <），求证：1263()()3ln 216f x f x ->-.19．已知函数()ln (1)f x x x k x =--，k R ∈ （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()y f x =在区间(1,)+∞上有1个零点，求实数k 的取值范围；（3）是否存在正整数k ，使得()0f x x +>在()1,x ∈+∞上恒成立？若存在，求出k 的最大值；若不存在，说明理由．20.曲线2cos3xy e x =⋅在()0,1处的切线与直线l l 的方程．21. 用数学归纳法证明：21427(31)(1)n n n n ⨯+⨯+++=+.22.已知函数32()ln(21)23x f x ax x ax =++--（a R ∈）. （1）若2x =为()f x 的极值点，求实数a 的值；（2）当12a =-时，方程3(1)(1)3xb f x x --=+有实根，求实数b 的最大值.23.已知函数1()f x =n ，有1()n f x +=()2n f x x =的所有解．参考答案一、填空题1. 1 2．均为偶数 4.3- 5．8 6. 20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭7.四 8. 414323+=-=x y x y 或 9. (1,1)- 10. 1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭11. 220x y a b -= 12. 8m ≤13. 36a e=或20e a -<< 14. 1(1,)e e + 二、解答题15. 解.（1）因为1z 是实数，所以21010a a ⎧-=⎨-≠⎩，解得：1a =-； …………7分（2）由第（1）问可得：11z =，因为2||z =21||||z z <，1>，解得：01m <<…14分16. 解：2(1)'()x x e af x x -+=（1）因为函数()f x 在1x =时取得极值，所以'(1)0f =，解得0a =，当0a =时，2(1)'()xx e f x x-=，()f x 在1x =时取得极值，所以0a =（未检验扣2分）………7分（2）因为函数()f x 在区间[2,4]上是单调增函数所以，'()0f x ≥在区间[2,4]上恒成立，即：(1)0xx e a -+≥在区间[2,4]上恒成立 记()(1)xg x x e a =-+，则min ()0g x ≥'()(1)x x x g x x e e xe =-+=，因为[2,4]x ∈，所以'()0g x >所以，()g x 在[2,4]上是增函数所以，2min ()(2)0g x g e a ==+≥，解得2a e ≥-所以：实数a 的取值范围为2a e ≥- ……14分17. 解：（1）若2a =，则若32()26f x x x =-，2'()612f x x x =-，'(1)6f =-，(1)4f =-所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为62y x =-+ …………6分 （2）对任意1[0,2]x ∈总存在2[0,1]x ∈，使得12()'()f x f x ≥成立 得1min 2min()'()f x f x ≥…8分 '()6()f x x x a =-①当02a <<时()f x 在[0,]a 上单调递减，在[,2]a 单调递增，所以()f x 在[0,2]上的最小值为3()f a a =-，'()f x 在[0,1]上的最小值为23'()22a f a =- 由1min 2min ()'()f x f x ≥得3232a a -≥-得302a <≤……12分 ②当2a ≥时()f x 在[0,2]单调递减所以()f x 在[0,2]上的最小值为(2)1612f a =-'()f x 在[0,1]上的最小值为'(1)66f a =-由1min 2min ()()f x f x ≥得161266a a -≥-无解……15分 综上实数a 的取值范围为302a <≤…………16分 18．解：（1）由题意：0x >，1a =，3b =时，2()3ln f x x x x =-+所以21231(21)(1)'()23x x x x f x x x x x-+--=-+==令'()0f x >，得(21)(1)0x x x -->，因为0x >，所以102x <<或1x >所以()f x 的单调减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭………4分 （2）0b =时，2()ln f x ax x =+，不等式()0f x ≤在[1,)+∞上恒成立即为：2ln xa x ≤-在区间[1,)+∞上恒成立令2ln ()x h x x =-，则32ln 1'()x h x x-=，令'()0h x =得：x =因为x ∈时，'()0h x <，)x ∈+∞时，'()0h x >，所以()h x 在上单调递减，在)+∞上单调递增所以min 1()2h x h e ==-，所以12a e≤-………10分 （3）方法一：因为1a =，所以2()ln f x x bx x =-+，从而221'()x bx f x x-+=（0x >）由题意知，1x ，2x 是方程2210x bx -+=的两个根，故1212x x =. 记2()21g x x bx =-+，则2120g b b⎛⎫=>⎪⎝⎭，因为92b >，所以119()()0442g b =-< (2)920g b =-<，所以111,4x b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2(2,)x ∈+∞，且221i i bx x =+（1i =，2）.2222111212121222()()()()ln()ln x x f x f x x x bx bx x x x x -=---+=--+ 因为1212x x =，所以221222221()()ln(2)4f x f x x x x -=--，2(2,)x ∈+∞.令222(8,)t x =∈+∞，121()()()ln 22t t f x f x t tϕ=-=--. 因为22(1)'()02t t t ϕ-=≥，所以()t ϕ在(8,)+∞单调递增， 所以63()(8)3ln 216t ϕϕ>=-，即1263()()3ln 216f x f x ->-.…16分 方法二：因为1a =，所以2()ln f x x bx x =-+，从而221'()x bx f x x-+=（0x >）.由题意知，1x ，2x 是方程2210x bx -+=的两个根.记2()21g x x bx =-+，则2120g b b⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 因为92b >，所以119()()0442g b =-<，(2)920g b =-<， 所以111,4x b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2(2,)x ∈+∞，且()f x 在12[,]x x 上为减函数.所以12111763()()()(2)(ln )(42ln 2)3ln 241644416b b f x f x f f b ->-=-+--+=--. 因为92b >12796363()()3ln 23ln 2421616f x f x ->⋅--=-.……16分19． 解：（1）当1k =时，()ln 1f x x x x =-+，()ln f x x '=．………………1分令()0f x '>，解得1x >，令()0f x '<，解得01x <<，∴()f x 的单调增区间为()1+∞，，单调减区间为()01，．……3分 （2）()ln 1f x x k '=+-，当1k ≤时，由1x >，知()0f x '>，所以，()f x 在()1+∞，上是单调增函数，且图象不间断， 又(1)0f =，∴当1x >时，()(1)0f x f >=，∴函数()y f x =在区间()1+∞，上没有零点，不合题意．…5分 当1k >时，由()0f x '=，解得11k x e -=>，若11k x e -<<，则()0f x '<，故()f x 在()11,k e -上是单调减函数， 若1k x e ->，则()0f x '>，故()f x 在()1,k e -+∞上是单调增函数， ∴当11k x e -<<时，()(1)0f x f <=，又∵()()10k k k f e ke k e k =--=>，()f x 在()1+∞，上的图象不间断， ∴函数()y f x =在区间()1+∞，上有1个零点，符合题意． ……………………7分 综上所述，k 的取值范围为()1+∞，． ………………………………………8分 （3）假设存在正整数k ，使得()0f x x +>在1x >上恒成立， 则由1x >知10x ->，从而ln 1x x x k x +<-对1x >恒成立（*）…9分记ln ()1x x x g x x +=-，得22ln ()(1)x x g x x --'=-， ……………………………10分 设()2ln h x x x =--，11()10x h x x x-'=-=>， ∴()h x 在()1+∞，是单调增函数， 又(3)1ln30(4)2ln 40()h h h x =-<=->，，在[3,4]上图象是不间断的，∴存在唯一的实数0(34)x ∈，，使得0()0h x =， ……………………12分∴当01x x <<时，()0()0()h x g x g x '<<，，在0(1)x ，上递减， 当0x x >时，()0()0()h x g x g x '>>，，在0(,)x +∞上递增，∴当0x x =时，()g x 有极小值，即为最小值，00000ln ()1x x x g x x +=-，…………………14分又000()2ln 0h x x x =--=，∴00ln 2x x =-，∴00()g x x =， 由（*）知，0k x <，又0(3,4)x ∈，*N k ∈，∴k 的最大值为3，即存在最大的正整数3k =，使得()0f x x +>在()1x ∈+∞，上恒成立． ………………16分 20. 解 y ′＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x ·(cos 3x )′＝2e 2x ·cos 3x －3e 2x ·sin 3x,∴y ′|x ＝0＝2.∴经过点(0,1)的切线方程为y －1＝2(x －0)，即y ＝2x ＋1. ………………5分 设适合题意的直线方程为y ＝2x ＋b ，根据题意，得5＝|b －1|5，∴b ＝6或－4. ∴适合题意的直线方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4. ………………10分 21.证明：（1）当1n =时，左边=144⨯=，右边=2124⨯=，所以等式成立 （2）假设当n k =时命题成立，即21427(31)(1)k k k k ⨯+⨯+++=+那么，当1n k =+时，21427(31)(1)(34)(1)(1)(34)k k k k k k k k ⨯+⨯++++++=++++[][]2(1)(1)(34)(1)(1)1k k k k k k =++++=+++即1n k =+时，命题成立由（1）（2）知等式对任意的n N +∈均成立 ………10分22.解：（1）2222[2(14)(42)]'()222121a x ax a x a f x x x a ax ax +--+=+--=++因为2x =为()f x 的极值点，所以(2)0f =，即22041aa a -=+，解得0a = 又当0a =时，()(2)f x x x '=-，从而2x =为()f x 的极值点成立……4分（2）若12a =-时，方程3(1)(1)3x b f x x --=+可化为，2ln (1)(1)bx x x x--+-= 问题转化为223ln (1)(1)ln b x x x x x x x x x x =--+-=+-在(0,)+∞上有解， 因为23()ln g x x x x x =+-，令2()ln h x x x x =+-（0x >）， 则1(21)(1)'()12x x h x x x x+-=+-=所以当01x <<，'()0h x >，从而()h x 在(0,1)上为增函数， 当1x >，'()0h x <，从而()h x 在(1,)+∞上为减函数，因此()(1)0h x h ≤=.而1x >，故()0b x h x =⋅≤，因此当1x =时，b 取得最大值0. …………10分23. 证明：（1）当1n =20x >，解得216x =， 又0x >，故 4x =是方程的解；…2分高中数学-打印版校对打印版 （2）假设4x =是()2k f x x =的解，即(4)8k f =，则1n k =+时，1(4)824k f +=⨯ 综合（1），（2）可知4x =是1()2k f x x +=的解；…4分另一方面，当1n =时，1()f x y x ===在(0,)+∞上单调递减；……6分 假设n k =时，()k f x y x=在(0,)+∞上单调递减， 则1n k =+时，1()n f x y x+==在(0,)+∞上单调递减， 故1n k =+时，1()n f x y x +=在(0,)+∞上单调递减，……8分 所以，()n f x y x =在(0,)+∞上单调递减，则()2n f x x =在(0,)+∞上至多一解； 综上：4x =是()2n f x x =的唯一解.……10分。
江苏省盐城市如东高级中学2018年高二数学文月考试题含解析
江苏省盐城市如东高级中学2018年高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为，再由点C沿北偏东方向走10到位置D，测得，则塔高是（）A． B．C． D．参考答案：D2. 如图，在△ABC中，是BN的中点，若，则实数m 的值是（）A. B. 1 C. D.参考答案：C【分析】以作为基底表示出，利用平面向量基本定理，即可求出。
【详解】∵分别是的中点，∴又，∴.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力。
3. 若双曲线的两条渐进线的夹角为，则该双曲线的离心率为A.2B.C.2或D.2或参考答案：D4. 由直线x=，x=2，曲线y=﹣及x轴所围图形的面积为（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．D．参考答案：B【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】导数的概念及应用．【分析】作出函数的图象，利用积分进行求解即可．【解答】解：如图：则阴影部分的面积S= [0﹣（﹣）]dx═dx=lnx|=ln2﹣ln=ln2+ln2=2ln2，故选：B【点评】本题主要考查定积分在求面积的应用，要求熟练掌握常见函数的积分公式．5. 若不等式的解集为，则实数等于A. B. C.D.参考答案：C6. 甲、乙两人下棋，和棋概率为，乙获胜概率为，甲获胜概率是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】由于甲获胜与两个人和棋或乙获胜成立；甲获胜概率等于1减去和棋概率再减去乙获胜概率即可．【解答】解：甲获胜概率是1﹣故选C【点评】求一个事件的概率关键是判断出此事件的类型，然后选择合适的公式．7. 已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】直线与平面所成的角．【分析】由图，过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，由题设条件证出∠ABF即所求线面角．由数据求出其正弦值．【解答】解：过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长2，∴AE=，AS=3，∴SE=2，AF=，∴sin∠ABF=．故选D．8. 已知两点，直线过点且与线段MN相交，则直线的斜率的取值范围是（）A．或 B． C． D．参考答案：D9. 已知函数：①；②；③；④．其中对于定义域内的任意一个自变量都存在唯一个自变量，使得成立的函数是( )Ａ．③Ｂ．②③Ｃ．①②④Ｄ．④参考答案：A略10. 已知圆C1：f（x，y）=0，圆C2：g（x，y）=0，若存在两点A（x1，y1），B（x2，y2）满足f（x1，y1）＜0，f（x2，y2）＞0，g（x1，y1）＜0，g（x2，y2）＜0，则C1与C2的位置关系为（）A．相交B．相离C．相交或C1在C2内D．相交或C2在C1内参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数的图像与函数的图像有两个公共点,则实数的取值范围是____________．参考答案：12. 与直线2x﹣6y+1=0垂直，且与曲线f（x）=x3+3x2﹣1相切的直线方程是．参考答案：3x+y+2=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设所求的直线方程为y=﹣3x+m，切点为（n，n3+3n2﹣1），根据函数在切点处的导数即为切线的斜率，求出n值，可得切点的坐标，用点斜式求得切线的方程．【解答】解：设所求的直线方程为y=﹣3x+m，切点为（n，n3+3n2﹣1）则由题意可得3n2+6n=﹣3，∴n=﹣1，故切点为（﹣1，1），代入切线方程 y=﹣3x+m可得m=﹣2，故设所求的直线方程为3x+y+2=0．故答案为：3x+y+2=0．【点评】本题考查两直线垂直的性质，两直线垂直斜率之积等于﹣1，函数在某点的导数的几何意义，求出切点的坐标是解题的关键．13. 如图，在等腰直角三角形中，，是的重心，是内的任一点（含边界），则的最大值为_________参考答案：4略14. 已知椭圆，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点，若= ．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】压轴题．【分析】A（x1，y1），B（x2，y2），设a=2t，c=t，b=t，设直线AB方程为x=sy+t，由此可知．【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），∵=3，∴y1=﹣3y2，∵e=，设a=2t，c=t，b=t，∴x2+4y2﹣4t2=0①，设直线AB方程为x=sy+t，代入①中消去x，可得（s2+4）y2+2sty﹣t2=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣，﹣2y2=﹣，﹣3=﹣，解得s2=，k=．故答案：．【点评】本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．15. 已知两个正数，的等差中项为，等比中项为，且，则椭圆的离心率为 .参考答案：16. 已知，则_____________．参考答案：17. 观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n个图案中正六边形的个数是.由，，，…，可推出．参考答案：271三、解答题：本大题共5小题，共72分。
如东县高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
如东县高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．甲、乙两所学校高三年级分别有1 200人，1 000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：乙校：则x，yA、12,7B、10,7C、10，8D、11,92．函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f（x）=（）A．e x+1B．e x﹣1C．e﹣x+1 D．e﹣x﹣13．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A.7B.8C. 9D. 10【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是循环语句循环终止的条件.4．2016年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（）A. 5B.6C.7D.10【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用，属容易题.5．如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．4 B．8 C．12 D．20【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 6． 已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若2PQ QF =，则直线PF 的方程为（ ）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++= 7． 如果对定义在R 上的函数)(x f ，对任意n m ≠，均有0)()()()(>--+m nf n mf n nf m mf 成立，则称 函数)(x f 为“H 函数”.给出下列函数： ①()ln25x f x =-；②34)(3++-=x x x f ；③)cos (sin 222)(x x x x f --=；④⎩⎨⎧=≠=0,00|,|ln )(x x x x f ．其中函数是“H 函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ． 4【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力，对函数的单调性定义能从不同角度来刻画，对于较复杂函数也要有利用导数研究函数单调性的能力，由于是给定信息题，因此本题灵活性强，难度大．8． 已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为，设物体第n 秒内的位移为a n ，则数列{a n }是（ ） A ．公差为a 的等差数列 B ．公差为﹣a 的等差数列C ．公比为a 的等比数列D ．公比为的等比数列9． 如图，三行三列的方阵中有9个数a ij （i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．10．若实数x ，y 满足，则（x ﹣3）2+y 2的最小值是（ ）A ．B ．8C ．20D ．211．已知三次函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则=（ ）A ．﹣1B ．2C ．﹣5D ．﹣312．（+）2n （n ∈N *）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（ ）A ．120B ．210C ．252D ．45二、填空题13．一个总体分为A ，B ，C 三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15的样本，若B 层中每个个体被抽到的概率都为，则总体的个数为 ．14．已知圆C 的方程为22230x y y +--=，过点()1,2P -的直线与圆C 交于,A B 两点，若使AB 最小则直线的方程是 ． 15．已知=1﹣bi ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则|a ﹣bi|= ．16．已知函数21()sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6x π=，则函数()f x 的最大值为___________．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．17．如图，正方形''''O A B C 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的 周长为 ．1111]18．在等差数列{a n}中，a1=7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n=8时S n取得最大值，则d的取值范围为．三、解答题19．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0（1）若a=1，且q∧p为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q必要不充分条件，求实数a的取值范围．20．（本小题满分12分）设f（x）＝－x2＋ax＋a2ln x（a≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）是否存在a＞0，使f（x）∈[e－1，e2]对于x∈[1，e]时恒成立，若存在求出a的值，若不存在说明理由．21．已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，且，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若，求实数k的值；（Ⅲ）过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．22．（本题满分13分）已知圆1C 的圆心在坐标原点O ，且与直线1l ：062=+-y x 相切，设点A 为圆上 一动点，⊥AM x 轴于点M ，且动点N 满足OM OA ON )2133(21-+=，设动点N 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）若动直线2l ：m kx y +=与曲线C 有且仅有一个公共点，过)0,1(1-F ，)0,1(2F 两点分别作21l P F ⊥，21l Q F ⊥，垂足分别为P ，Q ，且记1d 为点1F 到直线2l 的距离，2d 为点2F 到直线2l 的距离，3d 为点P到点Q 的距离，试探索321)(d d d ⋅+是否存在最值？若存在，请求出最值.23．某农户建造一座占地面积为36m 2的背面靠墙的矩形简易鸡舍，由于地理位置的限制，鸡舍侧面的长度x 不得超过7m ，墙高为2m ，鸡舍正面的造价为40元/m 2，鸡舍侧面的造价为20元/m 2，地面及其他费用合计为1800元．（1）把鸡舍总造价y 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域． （2）当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？24．（本小题满分12分）2014年7月16日，中国互联网络信息中心发布《第三十四次中国互联网发展状况报告》，报告显示：我国网络购物用户已达3.32亿．为了了解网购者一次性购物金额情况，某统计部门随机抽查了6月1日这一天100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表．已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4．（Ⅰ）确定x，y，p，q的值；（Ⅱ）为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关，对这100名网购者调查显示：购物金额在2000元以上的网购者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的网购者中网龄不足3年的有20人．（参考公式：()()()()()2n ad bca b c d a c b d-K=++++，其中n a b c d=+++）如东县高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】B【解析】 1从甲校抽取110× 1 2001 200＋1 000＝60人，从乙校抽取110× 1 0001 200＋1 000＝50人，故x ＝10，y ＝7.2． 【答案】D【解析】解：函数y=e x 的图象关于y 轴对称的图象的函数解析式为y=e ﹣x，而函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x的图象关于y 轴对称，所以函数f （x ）的解析式为y=e ﹣（x+1）=e ﹣x ﹣1．即f （x ）=e ﹣x ﹣1．故选D ．3． 【答案】A【解析】运行该程序，注意到循环终止的条件，有n =10，i =1；n =5，i =2；n =16，i =3；n =8，i =4；n =4，i =5；n =2，i =6；n =1，i =7，到此循环终止，故选 A. 4． 【答案】C5． 【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，所以此四棱锥体积为1231231=⨯⨯，故选C. 6． 【答案】B 【解析】考点：抛物线的定义及性质．【易错点睛】抛物线问题的三个注意事项：（1）求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程．（2）注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．（3）直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行（或重合）时，直线与抛物线也只有一个交点．7．【答案】B第8．【答案】A【解析】解：∵，∴a n=S（n）﹣s（n﹣1）==∴a n﹣a n﹣1==a∴数列{a n}是以a为公差的等差数列故选A【点评】本题主要考察了数列的递推公式求解数列的通项公式，等差数列的定义的应用，属于数列知识的简单应用9．【答案】D【解析】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；概率与统计．【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得结论．【解答】解：从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，三个数分别位于三行或三列的情况有6种；∴所求的概率为=故选D．【点评】本题考查计数原理和组合数公式的应用，考查概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较简单．10．【答案】A【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由图象得P（3，0）到平面区域的最短距离d min=，∴（x﹣3）2+y2的最小值是：．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．11．【答案】C【解析】解：由三次函数的图象可知，x=2函数的极大值，x=﹣1是极小值，即2，﹣1是f′（x）=0的两个根，∵f（x）=ax3+bx2+cx+d，∴f′（x）=3ax2+2bx+c，由f′（x）=3ax2+2bx+c=0，得2+（﹣1）==1，﹣1×2==﹣2，即c=﹣6a，2b=﹣3a，即f′（x）=3ax2+2bx+c=3ax2﹣3ax﹣6a=3a（x﹣2）（x+1），则===﹣5，故选：C【点评】本题主要考查函数的极值和导数之间的关系，以及根与系数之间的关系的应用，考查学生的计算能力．12．【答案】B【解析】【专题】二项式定理．【分析】由已知得到展开式的通项，得到第6项系数，根据二项展开式的系数性质得到n，可求常数项．【解答】解：由已知（+）2n（n∈N*）展开式中只有第6项系数为最大，所以展开式有11项，所以2n=10，即n=5，又展开式的通项为=，令5﹣=0解得k=6，所以展开式的常数项为=210；故选：B【点评】本题考查了二项展开式的系数以及求特征项；解得本题的关键是求出n，利用通项求特征项．二、填空题13．【答案】300．【解析】解：根据分层抽样的特征，每个个体被抽到的概率都相等，所以总体中的个体的个数为15÷=300．故答案为：300．【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题，是基础题目．14．【答案】30x y -+= 【解析】试题分析：由圆C 的方程为22230x y y +--=，表示圆心在(0,1)C ，半径为的圆，点()1,2P -到圆心的距()1,2P -在圆内，所以当AB CP ⊥时，AB 最小，此时11,1CP k k =-=，由点斜式方程可得，直线的方程为21y x -=+，即30x y -+=.考点：直线与圆的位置关系的应用.15．【答案】 ．【解析】解：∵=1﹣bi ，∴a=（1+i ）（1﹣bi ）=1+b+（1﹣b ）i ，∴，解得b=1，a=2．∴|a ﹣bi|=|2﹣i|=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．16．【答案】1 【解析】17．【答案】8cm 【解析】考点：平面图形的直观图．18．【答案】（﹣1，﹣）．【解析】解：∵S n =7n+，当且仅当n=8时S n取得最大值，∴，即，解得：，综上：d的取值范围为（﹣1，﹣）．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，解不等式方程组，属于中档题．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0⇔（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0为，所以a＜x＜3a；当a=1时，p：1＜x＜3；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0⇔2≤x≤3；若p∧q为真，则p真且q真，∴2≤x＜3；故x的取值范围是[2，3）（2）p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p；∴（a，3a）⊃[2，3]⇔，1＜a＜2∴实数a的取值范围是（1，2）．【点评】考查解一元二次不等式，p∧q的真假和p，q真假的关系，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．属于基础题．20．【答案】【解析】解：（1）f（x）＝－x2＋ax＋a2ln x的定义域为{x|x＞0}，f′（x）＝－2x＋a＋a 2x＝－2（x＋a2）（x－a）x.①当a＜0时，由f′（x）＜0得x＞－a2，由f′（x）＞0得0＜x＜－a2.此时f（x）在（0，－a2）上单调递增，在（－a2，＋∞）上单调递减；②当a＞0时，由f′（x）＜0得x＞a，由f′（x）＞0得0＜x＜a，此时f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，＋∞）上单调递减．（2）假设存在满足条件的实数a，∵x∈[1，e]时，f（x）∈[e－1，e2]，∴f（1）＝－1＋a≥e－1，即a≥e，①由（1）知f（x）在（0，a）上单调递增，∴f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（e）＝－e2＋a e＋e2≤e2，即a≤e，②由①②可得a＝e，故存在a＝e，满足条件．21．【答案】【解析】【分析】（I）设圆心C（a，a），半径为r，利用|AC|=|BC|=r，建立方程，从而可求圆C的方程；（II）方法一：利用向量的数量积公式，求得∠POQ=120°，计算圆心到直线l：kx﹣y+1=0的距离，即可求得实数k的值；方法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程代入圆的方程，利用韦达定理及=x1•x2+y1•y2=，即可求得k的值；（III）方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，求得，根据垂径定理和勾股定理得到，，再利用基本不等式，可求四边形PMQN面积的最大值；方法二：当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，可求面积S；当直线l的斜率k≠0时，设，则，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0，求得|PQ|，|MN|，再利用基本不等式，可求四边形PMQN面积的最大值．【解答】解：（I）设圆心C（a，a），半径为r．因为圆经过点A（﹣2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r，所以解得a=0，r=2，…（2分）所以圆C的方程是x2+y2=4．…（4分）（II）方法一：因为，…（6分）所以，∠POQ=120°，…（7分）所以圆心到直线l：kx﹣y+1=0的距离d=1，…（8分）又，所以k=0．…（9分）方法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0．…（6分）由题意得：…（7分）因为=x1•x2+y1•y2=﹣2，又，所以x1•x2+y1•y2=，…（8分）化简得：﹣5k2﹣3+3（k2+1）=0，所以k2=0，即k=0．…（9分）（III）方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S．因为直线l，l1都经过点（0，1），且l⊥l1，根据勾股定理，有，…（10分）又根据垂径定理和勾股定理得到，，…（11分）而，即…（13分）当且仅当d1=d时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分）方法二：设四边形PMQN的面积为S．当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，此时．…（10分）当直线l的斜率k≠0时，设则，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0所以同理得到．…（11分）=…（12分）因为，所以，…（13分）当且仅当k=±1时，等号成立，所以S 的最大值为7．…（14分） 22．【答案】【解析】【命题意图】本题综合考查了圆的标准方程、向量的坐标运算，轨迹的求法，直线与椭圆位置关系；本题突出对运算能力、化归转化能力的考查，还要注意对特殊情况的考虑，本题难度大.（2）由（1）中知曲线C 是椭圆，将直线2l ：m kx y +=代入 椭圆C 的方程124322=+y x 中，得01248)34(222=-+++m kmx x k由直线2l 与椭圆C 有且仅有一个公共点知， 0)124)(34(4642222=-+-=∆m k m k ，整理得3422+=k m …………7分且211||k k m d +-=，221||kk m d ++=1当0≠k 时，设直线2l 的倾斜角为θ，则|||tan |213d d d -=⋅θ，即||213kd d d -= ∴2222121213211||4||||)()(km k d d k d d d d d d d +=-=-+=+ ||1||16143||42m m m m +=+-= …………10分∵3422+=k m ∴当0≠k 时，3||>m∴334313||1||=+>+m m ，∴34)(321<+d d d ……11分 2当0=k 时，四边形PQ F F 21为矩形，此时321==d d ，23=d∴34232)(321=⨯=+d d d …………12分综上1、2可知，321)(d d d ⋅+存在最大值，最大值为34 ……13分23．【答案】 【解析】解：（1）…=…定义域是（0，7]… （2）∵，…当且仅当即x=6时取=…∴y ≥80×12+1800=2760…答：当侧面长度x=6时，总造价最低为2760元．…24．【答案】【解析】（Ⅰ）因为网购金额在2000元以上的频率为40.， 所以网购金额在2000元以上的人数为10040.⨯=40 所以4030=+y ，所以10=y ，……………………1分15=x ，……………………2分所以10150.,.==q p ……………………4分⑵由题设列联表如下……………………7分所以))()()(()(d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22=5656040257554020351002.)(≈⨯⨯⨯⨯-⨯…………9分 因为0245565..>……………………10分所以据此列联表判断，有597.%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关．……………………12分。
江苏省如东高级中学2017-2018学年高二上学期期中考试
2017-2018学年度第一学期期中学情检测高二数学一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程，请将答案直接填写在相应位置..1. 命题：“，”的否定为__________.【答案】，【解析】由题意得，根据全称命题与特称命题的关系可知，命题“”的否定为“”2. 不等式的解集是__________．【答案】【解析】由题意得，不等式可化为，所以不等式的解集为.3. 已知数列的前项和为，且，则数列的首项为__________．【答案】【解析】设等差数列的首项为，公差为，由，得，所以.4. 关于的不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意得，不等式的解集为，要使得不等式成的充分不必要条件是，则，解得，所以不存在这样的实数，所以实数的取值范围为.5. 若正项等比数列满足，则的最大值为__________．【答案】2【解析】根据等比中项可知，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.6. 若直线上存在点满足条件，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，因为过坐标原点，其中表示直线的斜率，所以可行域内能使得斜率取得最大值，可行域内能使得斜率取得最小值，由，解得，此时，由，解得，此时，所以实数的取值范围是.7. 等比数列的前项和为，已知，，则公比__________．【答案】或【解析】∵，①当时,，满足条件。
②当时,可得.解得.综上可知：或.点睛：等比数列求和公式中当和时，公式不一样，切勿用错.当时，；当时，.8. 设与是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么__________．【答案】【解析】由等差数列的前项和公式，可设，则，，所以............................【答案】10【解析】设这种汽车最多使用年报废最合算，用年汽车的总费用为万元，故年汽车每年的平均费用为万元，当且仅当时等号成立，故汽车使用年报废最合算.10. 下列说法中所有正确命题的序号是__________．①“”是“”成立的充分非必要条件；②、，则“”是“”的必要非充分条件；③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；④设等比数列的前项和为，则“”是“”成立的充要条件.【答案】②③④【解析】对于①中，，则，所以是的必要不充分条件，所以不正确；对于②中，由时，则，而当，则成立，所以是的必要不充分条件，所以知正确的；对于③中，原命题的逆命题与原命题的否命题，互为逆否关系，说以一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真是正确的；对于④中，在等比数列中，当时，，即成立，当时，则，所以，所以在等比数列中，是的充要条件，所以是正确的，故选②③④.11. 设是数列的前项和，且，，则__________．【答案】【解析】原式为，整理为：，即，即数列是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以，即.【点睛】这类型题使用的公式是，一般条件是，若是消，就需当时构造，两式相减，再变形求解；若是消，就需在原式将变形为：，再利用递推求解通项公式.视频12. 已知实数，满足约束条件，若（）的最大值为，则的最小值为__________．【答案】【解析】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又且，则且，所以当直线过点时，目标函数取得最大值，又由，解得，即，所以，又，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.13. 对于数列，定义为的“优值”，现在已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由题设可知，则，以上两式两边相减可得，即，故，则，由题意，即，应填答案。
2018-2019江苏省如东高二月考数学试题
不等式可转化为
，解得
，由于
是
的充分不必
要条件，结合集合元素的互异性，得到
.
【点睛】 本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查充分不必要条件的概念，还考查了集合元 素的互异性，属于基础题.一元二次不等式的解法主要通过因式分解，求得一元二次不 等式对应的一元二次方程的两个根，由此解出不等式的解集.集合的三要素是：确定性、 互异性以及无序性. 5．运行如图所示的伪代码，其结果为______．
12．如图,用一边长为 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋
巢，将体积为 的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与 蛋巢底面的距离为_______．
【答案】 【解析】 【分析】 先求得球的半径，画出组合体截面的图像，通过构造直角三角形来求得蛋中心(球心) 与蛋巢底面的距离. 【详解】
故②正确. ③如下图所示， 三个点不共线，它们到 的距离都相等，当时两个平面
相交，故③错误.对于④，由于 两条直线不一定相交，所以无法判断两个平面平行， 故④错误.对于⑤命题等价于平面内两条相交直线和另一个平面平行，可以推出面面平 行，故⑤正确.综上所述，正确的是②⑤.
【点睛】 本小题主要考查空间点线面的位置关系，考查面面平行的判定定理的理解，属于基础题.
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考点：椭圆离心率
【名师点睛】
1.求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出 a，c 的值；二是由
已知条件得出关于 a，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率 e 的一元二次方程求
解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
2．e 与 a，b 间的关系 e2＝＝1－2.
10．已知 是直线， 是平面，给出下列命题：①若
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江苏省如东高级中学2017-2018学年高二数学4月月考试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1. 若复数11iz i+=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为 ▲ ． 2． 用反证法证明某命题时，对结论“自然数,,a b c 中至多有2个偶数”的正确假设为“假设自然数,,a b c▲ ”． 3. 若复数z 满足232z z i +=+（i 为虚数单位），则z = ▲ ． 4. 已知函数2()2(1)f x x xf '=+，则)1(f 的值为 ▲ ．5． 对大于1的自然数m 的3次方幂有如下分解方式： 3235=+，337+9+11=，3413+15+17+19=，根据上述分解规律，3m 的分解数中有一个是59，则m 的值是▲ ．6. 设点P 是曲线3y x b =+（b 为实常数）上任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 ▲ ．7. 若复数21aii+-（a R ∈）是纯虚数（i 是虚数单位），则复数(3)z a a i =+-在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限．8. 已知函数3)(x x f =，则过（1,1）的切线方程为 ▲ ．9. 函数3()32f x x x =-+在区间2(,24)a a a -++上有极小值，则实数a 的取值范围为 ▲ ．10.已知函数2()sin cos f x x x x x =++，不等式1(1)(ln )2(1)f nx f f x+<的解集为 ▲ ．11. 椭圆中有如下结论：椭圆()222210x y a b a b+=>>上斜率为1的弦的中点在直线220x ya b +=上.类比上述结论，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上斜率为1的弦的中点在直线 ▲ 上．12.已知函数3()6ln h x x x x =-+图象上任意不同的两点的连线的斜率都大于m ，则实数m的取值范围为 ▲ ．13.已知函数2()(3)x f x x e =-，设关于x 的方程2()()0f x af x -=（a R ∈）有4个不同的实数解，则a 的取值范围是 ▲ ．14.已知函数ln ,(0)()21,(0)x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，()g x ax =，若两函数()f x 与()g x 的图像有三个不同的公共点(,()),(,()),(,()),A m f m B n f n C t f t m n t <<，则12n m++的范围为 ▲ ．二、解答题 ：（本大题共6小题，共90分.） 15. （本题满分14分） 已知复数212(1)1az a i a =+--，2(1)z m m i =+-（i 是虚数单位，a R ∈，m R ∈） （1）若1z 是实数，求a 的值；（2）在（1）的条件下，若12||||z z <，求实数m 的取值范围.16. （本题满分14分）已知函数()x e af x x-=（a R ∈）（1）若函数()f x 在1x =时取得极值，求实数a 的值；（2）若函数()f x 在区间[2,4]上是单调增函数，求实数a 的取值范围.17. （本题满分14分）如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC 与BD 焊接而成，焊接点 D 把杆AC 分成 AD ， CD 两段，其中两固定点A ，B 间距离为1 米，AB 与杆 AC 的夹角为，杆AC 长为 1 米，若制作 AD 段的成本为a 元/米，制作 CD 段的成本是 2a 元/米，制作杆BD 成本是 3a 元/米. 设，则制作整个支架的总成本记为 S 元.（1）求S 关于的函数表达式，并求出的取值范围；（2）问 BD 段多长时，S 最小？18. （本题满分16分）已知函数32()23f x x ax =-，（a R ∈且0a >）（1）若2a =，求函数()f x 在1x =处的切线方程.（2）对任意1[0,2]x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得12()'()f x f x ≥（其中'()f x 为()f x 的导数）成立，求实数a 的取值范围.19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x ax bx x =-+，（a ，b R ∈）. （1）若1a =，3b =，求函数()f x 的单调减区间；（2）若0b =时，不等式()0f x ≤在[1,+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当1a =，92b >时，记函数()f x 的导函数'()f x 的两个零点是1x 和2x （12x x <），求证：1263()()3ln 216f x f x ->-.20．（本小题满分16分）已知函数()ln (1)f x x x k x =--，k R ∈ （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()y f x =在区间(1,)+∞上有1个零点，求实数k 的取值范围；（3）是否存在正整数k ，使得()0f x x +>在()1,x ∈+∞上恒成立？若存在，求出k 的最大值；若不存在，说明理由．加试题解答题：本大题共4小题，共40分.21.曲线2cos3x y e x =⋅在()0,1处的切线与直线l l 的方程．22. 用数学归纳法证明：21427(31)(1)n n n n ⨯+⨯+++=+L .23.已知函数32()ln(21)23x f x ax x ax =++--（a R ∈）. （1）若2x =为()f x 的极值点，求实数a 的值；（2）当12a =-时，方程3(1)(1)3x b f x x--=+有实根，求实数b 的最大值.24.已知函数1()f x =，对任意正整数n ，有1()n f x +=，求方程()2n f x x =的所有解．参考答案一、填空题1. 1 2．均为偶数3- 5．8 6. 20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭7.四 8. 414323+=-=x y x y 或 9. (1,1)- 10. 1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭11. 220x y a b -= 12. 8m ≤13. 36a e=或20e a -<< 14. 1(1,)e e + 二、解答题 ：（本大题共6小题，共90分.）15. 解.（1）因为1z 是实数，所以21010a a ⎧-=⎨-≠⎩，解得：1a =-； ………………7分（2）由第（1）问可得：11z =，因为2||z =21||||z z <，1>，解得：01m << ………………14分16. 解：2(1)'()x x e af x x -+=（1）因为函数()f x 在1x =时取得极值，所以'(1)0f =，解得0a =，当0a =时，2(1)'()xx e f x x -=，()f x 在1x =时取得极值，所以0a =（未检验扣2分）………7分（2）因为函数()f x 在区间[2,4]上是单调增函数所以，'()0f x ≥在区间[2,4]上恒成立，即：(1)0xx e a -+≥在区间[2,4]上恒成立 记()(1)xg x x e a =-+，则min ()0g x ≥'()(1)x x x g x x e e xe =-+=，因为[2,4]x ∈，所以'()0g x >所以，()g x 在[2,4]上是增函数所以，2min ()(2)0g x g e a ==+≥，解得2a e ≥- 所以：实数a 的取值范围为2a e ≥- …………14分17.解：在△ABD 中,由正弦定理得12sin sin sin()33BD ADππαα==-，所以1,2sin 2sin 2BD AD ααα==+，则11)2[1)]322S a a a =+-++3)2a =，由题意得2(,)ππα∈ （定义域错扣2分）…………7分（21cos 3α=，设01cos 3α=，02((,))33ππα∈ …………9分…………12分 所以当1cos 3α=时，S 最小，此时sin 32sin 8BD αα===∴ 当BD =时S 最小. …………14分18. 解：（1）若2a =，则若32()26f x x x =-，2'()612f x x x =-，'(1)6f =-，(1)4f =-所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为62y x =-+ …………6分（2）对任意1[0,2]x ∈总存在2[0,1]x ∈，使得12()'()f x f x ≥成立 得1min 2min ()'()f x f x ≥ …………8分'()6()f x x x a =-①当02a <<时()f x 在[0,]a 上单调递减，在[,2]a 单调递增，所以()f x 在[0,2]上的最小值为3()f a a =-，'()f x 在[0,1]上的最小值为23'()22a f a =-由1min 2min ()'()f x f x ≥得3232a a -≥-得302a <≤…………12分②当2a ≥时()f x 在[0,2]单调递减所以()f x 在[0,2]上的最小值为(2)1612f a =-'()f x 在[0,1]上的最小值为'(1)66f a =-由1min 2min ()()f x f x ≥得161266a a -≥-无解 …………15分综上实数a 的取值范围为302a <≤…………16分19．解：（1）由题意：0x >，1a =，3b =时，2()3ln f x x x x =-+所以21231(21)(1)'()23x x x x f x x x x x-+--=-+==令'()0f x >，得(21)(1)0x x x -->，因为0x >，所以102x <<或1x >所以()f x 的单调减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭…………4分 （2）0b =时，2()ln f x ax x =+，不等式()0f x ≤在[1,)+∞上恒成立即为：2ln xa x≤-在区间[1,)+∞上恒成立令2ln ()x h x x =-，则32ln 1'()x h x x -=，令'()0h x =得：x =因为(1x ∈时，'()0h x <，)x ∈+∞时，'()0h x >，所以()h x 在上单调递减，在)+∞上单调递增所以min 1()2h x h e==-，所以12a e ≤-…………10分（3）方法一：因为1a =，所以2()ln f x x bx x =-+，从而221'()x bx f x x-+=（0x >）由题意知，1x ，2x 是方程2210x bx -+=的两个根，故1212x x =. 记2()21g x x bx =-+，则2120g b b⎛⎫=> ⎪⎝⎭，因为92b >，所以119()()0442g b =-< (2)920g b =-<，所以111,4x b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2(2,)x ∈+∞，且221i i bx x =+（1i =，2）.2222111212121222()()()()ln()ln x x f x f x x x bx bx x x x x -=---+=--+ 因为1212x x =，所以221222221()()ln(2)4f x f x x x x -=--，2(2,)x ∈+∞. 令222(8,)t x =∈+∞，121()()()ln 22t t f x f x t tϕ=-=--. 因为22(1)'()02t t tϕ-=≥，所以()t ϕ在(8,)+∞单调递增， 所以63()(8)3ln 216t ϕϕ>=-，即1263()()3ln 216f x f x ->-. …………16分方法二：因为1a =，所以2()ln f x x bx x =-+，从而221'()x bx f x x-+=（0x >）.由题意知，1x ，2x 是方程2210x bx -+=的两个根.记2()21g x x bx =-+，则2120g b b⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 因为92b >，所以119()()0442g b =-<，(2)920g b =-<， 所以111,4x b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2(2,)x ∈+∞，且()f x 在12[,]x x 上为减函数.所以12111763()()()(2)(ln )(42ln 2)3ln 241644416b b f x f x f f b ->-=-+--+=--. 因为92b >，故12796363()()3ln 23ln 2421616f x f x ->⋅--=-. …………16分 20． 解：（1）当1k =时，()ln 1f x x x x =-+，()ln f x x '=． …………………1分令()0f x '>，解得1x >，令()0f x '<，解得01x <<，∴()f x 的单调增区间为()1+∞，，单调减区间为()01，． …………………3分（2）()ln 1f x x k '=+-，当1k ≤时，由1x >，知()0f x '>，所以，()f x 在()1+∞，上是单调增函数，且图象不间断， 又(1)0f =，∴当1x >时，()(1)0f x f >=，∴函数()y f x =在区间()1+∞，上没有零点，不合题意． (5)分当1k >时，由()0f x '=，解得11k x e -=>，若11k x e -<<，则()0f x '<，故()f x 在()11,k e -上是单调减函数， 若1k x e ->，则()0f x '>，故()f x 在()1,k e -+∞上是单调增函数， ∴当11k x e -<<时，()(1)0f x f <=，又∵()()10k k k f e ke k e k =--=>，()f x 在()1+∞，上的图象不间断， ∴函数()y f x =在区间()1+∞，上有1个零点，符合题意． ……………………7分综上所述，k 的取值范围为()1+∞，． ………………………………………8分（3）假设存在正整数k ，使得()0f x x +>在1x >上恒成立，则由1x >知10x ->，从而ln 1x x x k x +<-对1x >恒成立（*） ……………9分记ln ()x x x g x +=，得22ln ()(1)x x g x x --'=-， ……………………………10分设()2ln h x x x =--，11()10x h x x x-'=-=>，∴()h x 在()1+∞，是单调增函数， 又(3)1ln30(4)2ln 40()h h h x =-<=->，，在[3,4]上图象是不间断的，∴存在唯一的实数0(34)x ∈，，使得0()0h x =， ……………………12分∴当01x x <<时，()0()0()h x g x g x '<<，，在0(1)x ，上递减， 当0x x >时，()0()0()h x g x g x '>>，，在0(,)x +∞上递增， ∴当0x x =时，()g x 有极小值，即为最小值，00000ln ()1x x x g x x +=-，…………………14分又000()2ln 0h x x x =--=，∴00ln 2x x =-，∴00()g x x =， 由（*）知，0k x <，又0(3,4)x ∈，*N k ∈，∴k 的最大值为3，即存在最大的正整数3k =，使得()0f x x +>在()1x ∈+∞，上恒成立． ………………16分加试1. 解 y ′＝(e 2x)′·cos 3x ＋e 2x·(cos 3x )′＝2e 2x·cos 3x －3e 2x·sin 3x,∴y ′|x ＝0＝2.∴经过点(0,1)的切线方程为y －1＝2(x －0)，即y ＝2x ＋1. ………………5分设适合题意的直线方程为y ＝2x ＋b ， 根据题意，得5＝|b －1|5，∴b ＝6或－4. ∴适合题意的直线方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4. ………………10分 2.证明：（1）当1n =时，左边=144⨯=，右边=2124⨯=，所以等式成立 （2）假设当n k =时命题成立，即21427(31)(1)k k k k ⨯+⨯+++=+那么，当1n k =+时， 21427(31)(1)(34)(1)(1)(34)k k k k k k k k ⨯+⨯++++++=++++[][]2(1)(1)(34)(1)(1)1k k k k k k =++++=+++即1n k =+时，命题成立由（1）（2）知等式对任意的n N +∈均成立 ………………10分3.解：（1）2222[2(14)(42)]'()222121a x ax a x a f x x x a ax ax +--+=+--=++因为2x =为()f x 的极值点，所以(2)0f =，即22041aa a -=+，解得0a = 又当0a =时，()(2)f x x x '=-，从而2x =为()f x 的极值点成立 ……………4分（2）若12a =-时，方程3(1)(1)3x b f x x--=+可化为，2ln (1)(1)bx x x x --+-= 问题转化为223ln (1)(1)ln b x x x x x x x x x x =--+-=+-在(0,)+∞上有解， 因为23()ln g x x x x x =+-，令2()ln h x x x x =+-（0x >）， 则1(21)(1)'()12x x h x x x x+-=+-= 所以当01x <<，'()0h x >，从而()h x 在(0,1)上为增函数， 当1x >，'()0h x <，从而()h x 在(1,)+∞上为减函数， 因此()(1)0h x h ≤=.而1x >，故()0b xhx =⋅≤，因此当1x =时，b 取得最大值0. …………10分4. 证明：（1）当1n =20x >，解得216x =，又0x >，故 4x =是方程的解； ……2分（2）假设4x =是()2k f x x =的解，即(4)8k f =，则1n k =+时，1(4)824k f +==⨯综合（1），（2）可知4x =是1()2k f x x +=的解； ……4分另一方面，当1n =时，1()f x y x===在(0,)+∞上单调递减； ……6分 假设n k =时，()k f x y x=在(0,)+∞上单调递减，则1n k =+时，1()n f x y x +===在(0,)+∞上单调递减， 故1n k =+时，1()n f x y x+=在(0,)+∞上单调递减， ……8分 所以，()n f x y x=在(0,)+∞上单调递减，则()2n f x x =在(0,)+∞上至多一解；综上：4x =是()2n f x x=的唯一解. ……10分。