自动控制原理习题及答案

1. 采样系统结构如图所示，求该系统的脉冲传递函数。

答案:该系统可用简便计算方法求出脉冲传递函数。

去掉采样开关后的连续系统输出表达式为对闭环系统的输出信号加脉冲采样得再对上式进行变量替换得2. 已知采样系统的结构如图所示，，采样周期T=0.1s。

试求系统稳定时K的取值范围。

答案:首先求出系统的闭环传递函数。

由求得，已知T=0.1s，e-1=0.368，故系统闭环传递函数为，特征方程为D(z)=1+G(z)=z2+(0.632K-1.368)z+0.368=0将双线性变换代入上式得0.632ω2+1.264ω+(2.736-0.632K)=0要使二阶系统稳定，则有K＞0，2.736-0.632K＞0故得到K的取值范围为0＜K＜4.32。

3. 求下列函数的z变换。

(1). e(t)=te-at答案:e(t)=te-at该函数采样后所得的脉冲序列为e(nT)=nTe-anT n=0，1，2，…代入z变换的定义式可得E(z)=e(0)+P(T)z-1+e(2T)z-2+…+e(nT)z-n+…=0+Te-aT z-1+2Te-2aT z-2+…+nTe-naT z-n+…=T(e-aT z-1+2e -2aT z-2+…+ne-naT z-n+…)两边同时乘以e-aT z-1，得e-aT z-1E(z)=T(e-2aT z-2+2e-3aT z-3+…+ne-a(n+1)T z-(n+1)+…)两式相减，若|e-aT z-1|＜1，该级数收敛，同样利用等比级数求和公式，可得最后该z变换的闭合形式为(2). e(t)=cosωt答案:e(t)=cosωt对e(t)=cosωt取拉普拉斯变换．得展开为部分分式，即可以得到化简后得(3).答案:将上式展开为部分分式，得查表可得(4).答案:对上式两边进行z变换可得得4. 求下列函数的z反变换(1).答案:由于所以得所以可得E(z)的z反变换为e(nT)=10(2n-1)(2).答案:由于所以得所以E(z)的z反变换为e(nT)=-n-1n+2n=2n-n-1(3).答案:由长除法可得E(z)=2z-1-6z-3+10z-5-14z-7+…所以其反变换为e*(t)=2δ(t-T)-6δ(t-3T)+10δ(t-5T)-14δ(t-7T)+18δ(t-9T)+…(4).答案:解法1：由反演积分法，得解法2：由于所以得最后可得z反变换为5. 分析下列两种推导过程：(1). 令x(k)=k1(k)，其中1(k)为单位阶跃响应，有答案:(2). 对于和(1)中相同的x(k)，有x(k)-x(k-1)=k-(k-1)=1试找出(2)与(1)中的结果为何不同，找出(1)或(2)推导错误的地方。

答案:x(k)-x(k-1)=k(k)-(k-1)1(k-1)=0，1，2，…Z[x(k)-x(k-1)]=(1-Z-1)X(z)按z变换定义有将上述结果代入Z[x(k)-x(k-1)]=(1-Z-1)X(z)中可得可见，(1)的推导正确，(2)的推导第一步就错了，导致最后结果错误。

6. 假设一个序列f(k)，有如下的z变换形式(1). 求f(k)。

答案:首先求出F(z)的z反变换由此可得f(k)=0.33(-0.6)k1(k)-0.0476(0.3)k1(k)+0.71·1(k) k=0，1，2，…--(2). 序列的稳态值为多少?答案:在计算序列的稳态值之前，应该先判断(z-1)F(z)的稳定性。

通过查看(z-1)F(z)的极点z1=-0.6，z2=0.3，可见(z-1)F(z)是稳定的。

由终值定理可得7. 某一过程的离散传递函数为(1). 计算输出c(k)关于r(k)的单位阶跃响应。

答案:单位阶跃信号的z变换为，因此z反变换为c(k)=11.426e j2.594(0.64e j0.675)·1(k)+11.426e-j2.594(0.64e-j0.675)k·1(k)+19.5·1(k)=11.426( 0.64)k(e j2.594+j0.675k+e-j2.594-j0.675k)·1(k)+19.5·1(k)=22.85(0.64)k cos(0.675k+2.594)·1(k) +19.5·1(k) k=0，1,2，...(2). c(k)的稳态值为多少?答案:可知，c(k)的稳态值为19.5。

可以通过终值定理来检验这一结果的正确性，稳态增益为8. 考虑如下的差分方程：y(k+1)+0.5y(k)=z(k)则当输入x(k)为单位阶跃序列时，零初始条件下响应y(k)等于多少?答案:同时对方程两边进行z变换，得zY(z)+0.5Y(z)=X(z)当输入信号为单位阶跃序列时因此所得结果为9. 已知系统传递函数为，试求能控标准型、能观测标准型、约当标准型，并画出状态变量图。

答案:(1)能控标准型为(2)能观测标准型为(3)由上式可得对角型状态结构图分别如下图(a)、(b)和(c)所示。

http://221.174.24.96:801/YFQUESTION/YFVOICEPIC/DB_25/Catalog_9875/QId_555745/AI d_688732/PIC/9.4404E7.jpg[提示] 需要注意的是：当传递函数的分子与分母的阶次相等时，d≠0。

10. 已知系统和，判断Φ1与Φ2是否是状态转移矩阵。

若是，试确定系统矩阵A；如果不是，说明理由。

答案:状态转移矩阵应满足：，Φ(0)=I，则假设Φ1(t)与Φ2(t)为转移矩阵，则则所以Φ1(t)不是转移矩阵，Φ2(t)是转移矩阵，其系统矩阵为。

[提示] 由状态转移矩阵的定义可知，判断是否符合，状态转移矩阵必须满足的两个条件：(1)Φ(0)=I；(2)交换律。

11. 已知系统矩阵，至少用两种方法求状态转移矩阵Φ(t)。

答案:(1)定义法(2)拉氏反变换法[提示] 求取状态转移矩阵的方法有多种，对于阶次3阶以下的系统，采用拉氏反变换法计算较为简单。

12. 已知系统状态方程为，初始条件为x1(0)=1，x2(0)=0。

试求系统在单位阶跃输入作用下的响应。

答案:此题为求非齐次状态方程的解，对于非齐次状态方程，有[提示] 状态方程的解是两部分的叠加，即初始状态引起的自由运动(零输入响应)和控制输入引起的强制运动(零状态响应)，解的公式为。

13. 给定二阶系统，t≥0，现知对应于两个不同初态时状态响应为时，时，试求系统矩阵A。

答案:方法1：先计算状态转移矩阵Φ(t)。

设齐次状态方程的解x(t)=Φ(t)x0，依题意应有(9-21)(9-22)解方程组得φ11(t)=2e-t-e-2tφ12(t)=2e-t-2e-2tφ21(t)=-e-t+e-2tφ22(t)=-e-t+2e-2t故方法2：根据式(9-21)、式(9-22)可以列出下面式子，用以求得Φ(t)。

[提示] 齐次状态方程，t≥0，x(0)=x0的解为x(t)=Φ(t)x0，已知x0和x(t)，则可先求出Φ(t)，再求系统矩阵A。

14. 已知连续系统的动态方程为，y=[1 0]x设采样周期T=1s，试求离散化动态方程。

答案:状态转移矩阵：则y(k)=Cx(k)=[1 0]x(k)[提示] 连续时间系统的离散化模型的系数矩阵G和H满足：G=Φ(T)=e AT，，而系数矩阵C和D与连续系统相同。

15. 线性系统的空间描述为http://221.174.24.96:6088/Latex/latex.action?latex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17 Y31cZG90e3h9PVxsZWZ0W1xiZWdpbnthcnJheX17Y2N9XGFs%0D%0AcGhhICYxXFwgMCZcYmV0YVxlb mR7YXJyYXl9XHJpZ2h0XXgrXGxlZnRbXGJlZ2lue2FycmF5fXtj%0D%0AfTFcXCAxXGVuZHthcnJheX 1ccmlnaHRddVxcIHk9WzHjgIAtMV1444CA44CAXGVuZHthcnJheX0%3D，确定使系统为状态完全能控和状态完全能观测的待定常数α和β。

答案:能控性判别矩阵若系统状态完全能控，则｜M｜≠0，即α和β应满足：β-α-1≠0能观性判别矩阵(9-23)若系统状态完全能观测，则|N|≠0，即α和β应满足：-β+α+1≠0 (9-24)联立式(9-23)、式(9-24)，得β≠α+1[提示] 单输入单输出系统状态完全能控的充要条件是：能控性判别矩阵M=[b Ab … A n-1 b]满秩，即det(M)≠0；同理，状态完全能观测的充要条件是：能观测判别矩阵满秩，即det(N)≠0。

16. 设系统状态方程为，并设系统状态能控且能观测，试求a值。

答案:在任意3阶实现情况下能控且能观测，则a≠1，2，4(没有零极点对消)。

[提示] 系统状态能控性与能观测性与传递函数零极点的关系是：当传递函数出现零极点对消时，状态不是完全能控且能观测的，即当传递函数出现了零极点对消，系统的状态可能会出现：能控不能观测、不能控能观测或既不能控又不能观测。

17. 已知系统传递函数为，试写出系统能控不能观测，不能控能观测，不能控不能观测的实现。

答案:传递函数有零极点对消，因此系统状态不是能控且能观测的。

能控不能观测实现：y=[1 1]x不能控能观测实现：y=[0 1]x不能控不能观测实现：y=[0 1]x[提示] 当传递函数出现零极点对消时，状态不是完全能控且能观测的，即当传递函数出现了零极点对消，系统的状态可能会出现：能控不能观测、不能控能观测或既不能控又不能观测。

18. 设线性定常系统为y=[1 -1 1]x判别其能控性，若不是完全能控的，试将该系统按能控性分解。

答案:系统能控性判别矩阵为其秩rankM=2＜n，所以系统是不完全能控的。

构造非奇异变换阵R c：，，(其中R3是任意的，只要能保证R c为非奇异即可)即，变换后的状态空间描述为http://221.174.24.96:801/YFQUESTION/YFVOICEPIC/DB_25/Catalog_9875/QId_555754/AI d_688741/PIC/9.A8BB30.jpg[提示] 当系统状态不完全能控时，即rankM=n1＜n(n为系统矩阵A的维数)，则有n=n1个状态是不完全能控的，可按能控性分解：系统的状态空间被分解成能控的和不能控的两部分，引入线性变换，选择非奇异变换矩阵http://221.174.24.96:801/YFQUESTION/YFVOICEPIC/DB_25/Catalog_9875/QId_555754/AI d_688741/PIC/9.B881A4.jpg，其中n个列矢量可以按如下方法构成：前n1个列矢量是能控性判别矩阵M 中的n1个线性无关的列，另外n-n1个列在确保R c为非奇异条件下，完全是任意的。