江苏省2010届高三数学专题专练：函数

江苏省2010届高三数学专题专练函 数1．设映射x x x f 2:2+-→是实数集A 到实数集B 的映射，若对于实数B k ∈，在A 中不存在原象，则k 的取值范围是 2．A =｛1，2，3，4，5，｝，B =｛6，7，8，｝从集合A 到B 的映射中满足f （1）≤f （2）≤f （3）≤f （4）≤f （5）的映射有 个3．若对正常数m 和任意实数x,等式)x (f 1)x (f 1)m x (f -+=+成立,则下列说法正确的是( )A. 函数)x (f 是周期函数,最小正周期为2mB. 函数)x (f 是奇函数,但不是周期函数C. 函数)x (f 是周期函数,最小正周期为4 mD. 函数)x (f 是偶函数,但不是周期函数4．判断函数f(x)=(x －1)xx-+11的奇偶性为____________________ 5．已知函数)12(log )(2++=ax x x f a 的值域为R ，则a 的取值范围是6．对于[]1,1-∈a ，函数a x a x x f 24)4()(2-+-+=的值恒大于零，则x 的取值范围是 7．已知函数)12(log )(2++=ax x x f a 的值域为R ，则a 的取值范围是 。

8．如果函数⎩⎨⎧<>-=0),(0,32x x f x x y 是奇函数，则)(x f = 。

9．已知函数),1,1(,5sin )(-∈+=x x x x f 如果,0)1()1(2<-+-a f a f 则a 的取值范围是____。

10．关于x 的方程aa x -+=535有负根，则a 的取值范围是 。

11．已知函数f (x )=l og 2(x +1)，若－1<a <b <c ，且abc ≠0，则a a f )(、bb f )(、c c f )(的大小关系是 。

12．若方程042)4(4=+⋅++x x a 有解，则实数a 的取值范围是 ．13．已知奇函数)(x f 的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，且对任意正实数)(2121x x x x ≠、，恒有0)()(2121>--x x x f x f ，则一定有（ D ）A ．12(cos600)(log f f ? B ．12(cos600)(log f f ?-C ．12(cos600)(log f f -? D ．12(cos600)(log f f -?-14．若f(n)为n 2＋1(n ∈N*)的各位数字之和，如142＋1＝197，1＋9＋7＝17，则f(14)＝17；记f 1(n)＝f(n)，f 2(n)＝f(f 1(n))，…，f k ＋1(n)＝f(f k (n))，k ∈N*，则f 2008(8)＝ （ A ） A ．11 B ．8 C ．6 D ．515．在计算机的算法语言中有一种函数[]x 叫做取整函数（也称高斯函数），它表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数．例如：[2]2,[3.1]3,[ 2.6]3==-=-．设函数21()122x x f x =-+，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为 （ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ． {}1,0,1-D ． {}2,0-16、已知：函数()21xf x x =+．（I ）证明：()f x 与()1f x -的交点必在在直线y ＝x 上．（II ）是否存在一对反函数图象的交点不一定在直线y ＝x 上，若存在，请举例说明；若不存，请说明理由． （III ）研究（I ）和（II ），能否得出一般性的结论，并进行证明．17．已知,,a b c R ∈，且三次方程()f x =320x ax bx c -+-=有三个实根123,,x x x ．（1）类比一元二次方程根与系数的关系，写出此方程根与系数的关系； （2）若,,a b c 均大于零，试证明：123,,x x x 都大于零；（3）若,||2a Z b Z b ∈∈<且，()f x 在,x x αβ==处取得极值且101αβ-<<<<，试求此方程三个根两两不等时c 的取值范围．18．已知函数f (x )定义域为[0，1]，且同时满足（1）对于任意x ∈[0，1]，且同时满足； （2）f (1)＝4；（3）若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则有 f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)－3． （Ⅰ）试求f (0)的值；（Ⅱ）试求函数f (x )的最大值；（Ⅲ）设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1＝1，S n ＝21(a n －3)，n ∈N *． 求证：f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )< 23log 3227na ．19．已知函数33()2()()f x x m x m N =+-∈*．(1)若12,(0,)x x m ∈，证明：1212()()2();2x x f x f x f ++≥ (2)若(),1,2,,1,n a f n n m ==⋅⋅⋅-证明：1122;m m a a a a --+≥+(3)对于任意的2,,[,],23m a b c m ∈问以(),(),()f a f b f c 的值为边长的三条线段是否可构成三角形?并说明理由．参考答案1、(1,)k ∈+∞2、213、C4、非奇非偶5、(1,)a ∈+∞6、(,1)(3,)-∞⋃+∞7、),1(+∞8、32)(+=x x f 9、)2,1( 10、（-3,1） 11、cc f bb f aa f )()()(>>12、]8,(--∞ 13、D 14、A 15、B16、分析：问题（I ）易于解答，而问题（II ）解答必须认真思考()f x 的性质，从性质的差异去寻求特例．问题（III ）的证明着眼于函数单调性的差异解答．解答：（I ）y x =+21与其反函数y x =-12的交点坐标为（－1，－1），∴()f x 与()1f x -的交点必在在直线y ＝x 上．（II ）y x =-+1与其反函数y x x =-≤210，()的交点坐标为（152152--，），（－1，0），（0，－1），∴原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线y ＝x 上． （III ）研究（I ）和（II ）能得出：如果函数f x ()是增函数，并且f x ()的图象与其反函数的图象有交点，则交点一定在直线y x =上；如果函数f x ()是减函数，并且f x ()的图象与其反函数的图象有交点，则交点不一定在直线y ＝x 上．证明：设点（a ，b ）是f x ()的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关于直线y ＝x 对称，则点（b ，a ）也是f x ()的图象与其反函数图象的交点，且有b f a a f b ==()()，若a ＝b 时，交点显然在直线y x =上． 若a<b ，且f x ()是增函数时，有f b f a ()()<，从而有b<a ，矛盾；若b<a 且f x ()是增函数时，有f a f b ()()<，从而有a<b ，矛盾．若a<b ，且f x ()是减函数，有f b f a ()()<，从而a<b 成立，此时交点不在直线y ＝x 上；同理，b<a 且f x ()是减函数时，交点也不在直线y ＝x 上．综上所述，如果函数f x ()是增函数，并且f x ()的图象与其反函数的图象有交点，则交点一定在直线y x =上；如果函数f x ()是减函数，并且f x ()的图象与其反函数的图象有交点，则交点不一定在直线y ＝x 上．说明：试题紧扣江苏新考纲，突显解决问题的探索性和研究性．试题难度较大．17． 分析：（1）联想二次方程根与系数关系，写出三次方程的根与系数． （2）利用（1）的结论进行证明；（3）三次函数的问题往往都转化为二次方程来研究． 解：（1）由已知，得32123()()()x ax bx c x x x x x x -+-=---，比较两边系数，得123122331123,,a x x x b x x x x x x c x x x =++=++=．（2）由0c >，得123,,x x x 三数中或全为正数或一正二负．若为一正二负，不妨设1230,0,0.x x x ><<由1230x x x a ++=>，得123()x x x >-+，则212323()()x x x x x +<-+．又2122331123232323()()b x x x x x x x x x x x x x x x =++=++<-++＝2222330x x x x ---<，这与0b >矛盾，所以123,,x x x 全为正数．（3）令32()f x x ax bx c =-+-，要()0f x =有三个不等的实数根，则函数()f x 有一个极大值和一个极小值，且极大值大于0，极小值小于0．由已知，得'2()320f x x ax b =-+=有两个不等的实根,αβ，101αβ-<<<<，320(1)(2)320(3)a b b a b ++>⎧⎪∴<⎨⎪-+>⎩，由（1）（3），得3b >-． 又||2,0b b <<，1b ∴=-，将1b =-代入（1）（3），得0a =．'2()31f x x ∴=-，则,33αβ==，且()f x在3x =-3x =处取得极小值， 故()0f x =要有三个不等的实数根，则必须(00.f f ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，得c <<．18． 分析：（Ⅰ）令x ＝y ＝0赋值法和不等号的性质求f (0)的值；（Ⅱ）证明函数f (x )在[0，1]上的单调性求f (x )的最大值；（Ⅲ）先根据条件求数列{a n }的通项公式，利用条件f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)－3放大f (131-n )，再利用求和的方法将f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )放大，证明不等式成立．解答：（Ⅰ）令x 1＝x 2＝0，则有f (0)≥2f (0)－3，即f (0)≤3．又对任意x ∈[0，1]，总有f (x )≥3，所以f (0)＝3．（Ⅱ）任取x 1，x 2∈[0，1]，x 1<x 2，f (x 2)＝f[x 1＋(x 2－x 1)]≥f(x 1)＋f(x 2－x 1)－3． 因为0<x 2－x 1≤1， ∴f(x 2－x 1)≥3． ∴f(x 2)≥f(x 1)＋3－3＝f(x 1)． ∴当x ∈[0，1]时，f (x )≤f (1)＝4，所以函数f (x ) 的最大值为4． （Ⅲ）当n >1时，a n ＝S n ―S n －1＝21(a n －3) ―21（a n －1―3），∴1-n n a a ＝31． ∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，公比为31的等比数列． a n ＝1×(31)n －1＝131-n ，f (1)＝f [3n －1·131-n ]＝f [131-n ＋(3n －1－1)×131-n ]≥f (131-n )＋f [(3n －1－1)131-n ]－3≥……4≥3n －1f (131-n )－3n ＋3．∴f (131-n )≤1313-+n n ＝3＋131-n ，即f (a n )≤3＋131-n ．∴f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )≤(3＋1131-)＋(3＋1231-)＋…＋(3＋131-n )＝3n ＋311]311[1-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅n ＝3n ＋23－1321-⨯n <3n ＋23＝3（n ＋21）．又23log 3227na ＝23log 333·32n －2＝23(2n ＋1)＝3(n ＋21)，∴原不等式成立．．19． 解：(1)33333332212121212121212()(4433)24x x x x x x x x x x x x ++-=+----212123()()4x x x x =+-． 333121212,(0,),2222()2x x x x m x x +∈∴+≥⋅，同理3333121212()()2()2()22m x m x x xm x m x m -+-+-+-≥=-，故得1212()()2();2x xf x f x f ++≥(2) 由(1)知1322433544652,2,2,2,a a a a a a a a a a a a +≥+≥+≥+≥⋅⋅⋅，3122m m m a a a ---+≥，由以上3m -个式子相加得1122.m m a a a a --+≥+(3)设以(),(),(f a f b f c 的值为边长的线段可以构成三角形，事实上因为33()2()f x x m x =+-，所以2222'()63()363.f x x m x x mx m =--=+-显然当2[,]23m x m ∈时，'()0f x >，即()f x 在2[,]23m m 上是增函数，在2m x =处取得最小值338m ，在23m x =处取得最大值31727m ．不妨设a b c ≤≤，则33317()()()827m f a f b f c m ≤≤≤≤，而3333317()()2(),8427f a f b m m m f c +≥⋅=>≥因此以(),(),()f a f b f c 的值为边长的三条线段可以构成三角形．。