山东省烟台市招远二中高三数学下学期诊断性测试试题 理

山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试理科数学试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.已知集合{}{}31,0,1,2,3,1log xA B x y =-==-,则集合A∩B=A. {}0,1,2B. {}1,2C. {}0,1,2,3D. {}1,2,32.已知复数543iz i=+ (i 是虚数单位),则z 的虚部为 A. 45i B. 45i - C. 45 D. 45-3.某产品广告宣传费与销售额的统计数据如右表，根据数据表可得回归直线方程y b x a ∧∧∧=+,其中2b ∧=,据此模型预测广告费用为9千元时,销售额为A.17万元B.18万元C.19万元D.20万元 4已知等差数数列{}n a 的前项和为S n ,若a 3+a 7=6,则S 9等于 A.15 B.18 C.27 D.395.定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)=f (x ),当(1,0)x ∈-时, ()xf x e -=,则9()2f = A. e B. e - C.e D. e- 6.已知32()n x x+的展开式的各项系数和为243,则展开式中x 2的系数为 A. 5 B.40 C.20 D.107.设变量x 、y 满足约束条件200240x y x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩,则12z x y =-的最最大值为A.-6B.32 C. 73D.3 8.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,书中有一问题:“今有方物一束,外周一匝有三十二枚,问积几何?“该著作中提出了一种解决此问题的方法:“重置二位,左位减八,余加右位,至尽虚减一,即得.”通过对该 题的研究发现,若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时,均可采用此方法求解,右图是解决这类问题的程序框图,若输入n=24,则输出 的结果为A.23B.47C.24D.48 9.若函数2()4sin sin ()cos 21(0)24x f x x x ωπωωω=⋅++->在2[,]33ππ-上是增函数,则ω的取值范围是A. [0,1)B. 3[,)4+∞ C. [1,)+∞ D. 3(0,]410.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为为F 1、F 2,过F 2作倾斜角为60︒的直线与y 轴和双曲线的左支分别交于点A 、B,若21()2OA OB OF =+u u u r u u u r u u u u r,则该双曲线的离心率为B.2C. 211.已知函数y =f(x )对任意的(0,)x π∈满足'()sin ()cos f x x f x x > (其中'()f x 为函 数f (x )的导函数),则下列不等式成立的是A. ()()46f ππ<B. ()()46f ππ>C. ()()64f ππ>D. ()()64f ππ<12.已知函数322()()3f x ax bx cx d a b =+++<在R 上是单调递增函数,则23cb a-的最小值是A.1B.2C.3D.4二、填空题:本大题共有4个小题,每小题5分,共20分13.若非零向量a r 、b r 满足2)0a a b a =-⋅=r r r r,则a r 与b r 的夹角为_______。

14.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若∠B=60°,a =3,b 则c 的值为____________。

15.已知F(2,0)为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点,过F 且垂直于x 轴的弦的长度为6,若A (-,点M 为椭圆上任一点,则MF MA +的最大值为_____。

16.如图,一张矩形白纸ABCD,AB=10,AD=,E,F 分别为AD,BC 的中点,现分别将△ABE,△CDF 沿BE,DF 折起,且A 、C 在平面BFDE 同侧,下列命题正确的是____________(写出所有正确命题的序号) ①当平面ABE∥平面CDF 时,AC∥平面BFDE ②当平面ABE∥平面CDF 时,AE∥CD ③当A 、C 重合于点P 时,PG⊥P D④当A 、C 重合于点P 时,三棱锥P-DEF 的外接球的表面积为150π三、解答题:共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:60分 17.(12分)已知各项均为正数的等比数列{}n a ,满足11a =,且123112a a a -= (1)求等比数列{}n a 的通项公式; (2)若数列{}n b 满足12log n an b +=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n18.(12分)如图,在三棱柱ABC-DEF 中,AE 与BD 相交于点O,C 在平面ABED 内的射影为O,G 为CF 的中点 (1)求证平由ABED⊥平面GED(2)若AB=BD=BE=EF=2,求二面角A-CE-B 的余弦值19.(12分)某高中学校对全体学生进行体育达标测试,每人测试A、B两个项目,每个项目满分均为60分.从全体学生中随机抽取了100人,分别统计他们A、B两个项目的测试成绩,得到A项目测试成绩的频率分布直方图和B项目测试成绩的频数分布表如下:将学生的成绩划分为三个等级如右表:(1)在抽取的100人中,求A项目等级为优秀的人数(2)已知A项目等级为优秀的学生中女生有14人,A项目等级为一般或良好的学生中女生有34人,试完成下列2×2列联表,并分析是否有95%以上的把握认为“A项目等级为优秀”与性别有关?2()p K k≥0.10 0.050 0.025 0.010 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828参考公式22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++其中n a b c d=+++(3)将样本的率作为总体的概率,并假设A项目和B项目测试成绩互不影响,现从该校学生中随机抽取1人进行调查,试估计其A项目等级比B项目等级高的概率,20.(12分)已知抛物线x 2=2P y (p>0)和圆x 2+y 2=r 2(r >0)的公共弦过抛物线的焦点F,且 弦长为4(1)求抛物线和圆的方程:(2)过点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点,抛物线在点A 处的切线与x 轴的交 点为M,求△ABM 面积的最小值21、(12分) 已知21()ln ()2f x x a x a R =-∈有两个零点 (1)求a 的取值范围(2)设x 1、x 2是f (x )的两个零点,求证证:x 1+x 2>(二)选考题:共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做,则按所做的第一题计分。

22.【选修4一4,坐标系与参数方程】(10分)已知直线l的参数方程为122(122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）， 椭圆C 的参数方程为2cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数）。

在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点A 的极坐标为(2,)3π(1)求椭圆C 的直角坐标方程和点A 在直角坐标系下的坐标 (2)直线l 与椭圆C 交于P,Q 两点,求△APQ 的面积23.【选修4-5:不等式选讲】(10分) 已知函数()21,0f x x x a a =---≤. (1)当a =0时,求不等式f (x )<1的解集(2)若f (x )的的图象与x 轴围成的三角形面积大于32,求a 的取值范围参考答案一、选择题DCA CBBCBD C B A二、填空题13.6π14.4 15.82 16.①④ 三、解答题17. 解：（1）由已知123112a a a -=得：2111112a a q a q-=，………………………………1分2q ∴=或1q =-（舍去） ………………………………3分12n n a -∴=. ………………………………4分（2）2log 2n n b n ==，12nn n b n a -=………………………………5分01211232222n n n T -=++++L 123112322222n nn T =++++L 两式相减得：012111111222222n n n n T -=++++-L ………………………………8分1122212212nn n n n -+=-=--………………………………11分 -1242n n n T +∴=-. ………………………………12分 18. 解：（1）取DE 中点M ，在三角形BDE 中，//OM BE ，12OM BE =. ……1分又因为G 为CF 中点，所以//CG BE ，12CG BE =.//,CG OM CG OM ∴=. ∴四边形OMGC 为平行四边形.//MG OC ∴.…………………………2分因为C 在平面ABED 内的射影为O ，所以OC ⊥平面ABED . 所以GM ⊥平面ABED .…………………………3分 又因为GM DEG ⊂平面，所以平面ABED ⊥平面GED .…………………………4分 （2）∵CO ⊥面ABED ，∴CO ⊥AO ，CO ⊥OB 又∵AB BE =∴四边形ABED 为菱形，∴OB ⊥AO ，以O 为坐标原点，,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， ………………………6分于是A ，(0,1,0)B，(E，C ，向量(1,0)BE =-u u u r，向量(0BC =-u u u r，， …………………………8分设面BCE 的一个法向量为111(,,)x y z =m ，00BE BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r m m，即11110y y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，不妨令11z =时，则1y =11x =-，取(=-m .……………………10分 又(0,1,0)=n 为面ACE 的一个法向量. 设二面角A CE B --大小为θ，显然θ为锐角，于是cos cos ,5θ=<>===⋅g m n m n m n，故二面角A CE B --的余弦值为5．………………………………………………12分 19. 解：（1）由A 项目测试成绩的频率分布直方图，得A 项目等级为优秀的频率为0.04100.4⨯=， ……………………………………1分所以，A 项目等级为优秀的人数为0.410040⨯=．………………………………2分（2）由（1）知：A 项目等级为优秀的学生中，女生数为14人，男生数为26人.A 项目等级为一般或良好的学生中，女生数为34人，男生数为26人.作出22⨯列联表：优秀一般或良好合计男生数 26 26 52 女生数 1434 48 合计4060100………………………………4分计算22100(26342614) 4.51440604852K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，………………………………7分由于2 3.841K >，所以有95%以上的把握认为“A 项目等级为优秀”与性别有关．………………………………8分（3）设“A 项目等级比B 项目等级高”为事件C ．记“A 项目等级为良好”为事件1A ；“A 项目等级为优秀”为事件2A ；“B 项目等级为一般”为事件0B ；“B 项目等级为良好”为事件1B ． 于是1()(0.020.02)100.4P A =+⨯=，2()0.4P A =， 由频率估计概率得：0235()0.1100P B ++==，14015()0.55100P B +==. …………10分因为事件i A 与j B 相互独立，其中1,2,0,1i j ==．所以102120()()P C P A B A B A B =++0.40.10.40.10.40.550.3=⨯+⨯+⨯=．所以随机抽取一名学生其A 项目等级比B 项目等级高的概率为0.3．…………………12分 20. 解：（1）由题意可知，24p =，所以2p =，故抛物线的方程为24x y =. …………………………2分又222()2p p r +=，所以25r =， …………………………3分所以圆的方程为225x y +=. …………………………4分 （2）设直线l 的方程为：1y kx =+，并设1122(,),(,)A x y B x y ，联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消y 可得，2440x kx --=.所以12124,4x x k x x +==-； ……………………5分212|||4(1)AB x x k =-==+. ……………………6分2xy '=，所以过A 点的切线的斜率为12x ，切线为111()2x y y x x -=-， 令0y =，可得，1(,0)2xM ， ……………………7分所以点M 到直线AB的距离1|1|x k d ⋅+=， ……………………8分故121|1|14(1)2|2ABM x k S k kx ∆⋅+=⨯+=+， ……………………9分 又21111144y x k x x --==，代入上式并整理可得： 2211(4)116||ABMx S x ∆+=， ……………………10分 令22(4)()||x f x x +=，可得()f x 为偶函数，当0x >时，223(4)16()8x f x x x x x +==++， 2222216(4)(34)()38x x f x x x x +-'=+-=，令()0f x '=，可得x =当x ∈，()0f x '<，当)x ∈+∞，()0f x '>，所以3x =()f x取得最小值9，故ABM S ∆的最小值为116=. ……………………12分21.解：（1）()2()0a x af x x x x x-'=-=>， …………………………………………1分当0a ≤时，()0f x '>，此时()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x 至多有一个零点.…………………………………………2分当0a >时，令()0f x '=，解得x =当x ∈时，()0f x '<，()f x单调递减，当)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，故当x =(1ln ).2af a =-…………………4分 ① 当0e a <≤时，1ln 0a -≥，即0f ≥，所以()f x 至多有一个零点.…………………………………………5分② 当e a >时，1ln 0a -≤，即(1ln )0.2af a =-< 因为1(1)02f =>，所以()f x在x ∈有一个零点； ………………6分 因为ln 1a a ≤-，所以ln 221a a ≤-，22(2)2ln22(21)0f a a a a a a a a=-≥--=>，由于2a>，所以()f x在)x∈+∞有一个零点.综上，a的取值范围是(e,+)∞.………………………………………………………7分（2）不妨设12x x<，由（1）知，1x∈，2)x∈+∞.构造函数()))(0g x f x f x x=-≤<，…………………………8分则)())ln.g x a x a x=-+()g x'==…………………………9分因为0x<<，所以()0g x'<，()g x在单调递减.所以当x∈时，恒有()(0)0g x g<=，即)).f x f x<……10分因为1x∈1x∈于是()21111()())])].f x f x f x f x f x==>=…11分又21)x x∈+∞∈+∞，且()f x在)+∞单调递增，所以21x x>，即12x x+>………………………………………………12分22. 解：(1)由{2cos sinxy=α=α得2214x y+=. …………………………2分因为A的极坐标为(2,)3π,所以2cos13xπ==，2sin3yπ=∴A在直角坐标系下的坐标为 . …………………………4分（2）将1212xy⎧=⎪⎨⎪=⎩代入2214x y+=，化简得210110t--=,设此方程两根为1,2t t,则12t t+,121110t t=-. ………………………6分5PQ∴==. ………………………8分因为直线l的一般方程为01=-+yx,- 11 - 所以点A 到直线l 的距离2623==d . ………………………9分 APQ ∴∆的面积为5342652821=⨯⨯.………………………10分23. 解：（1）当0a =时，()1f x <化为|21|||10.x x ---<.当0x ≤时，不等式化为0x >，无解； 当102x <≤时，不等式化为0x >，解得102x <≤； 当12x >时，不等式化为2x <，解得122x <<；综上，()1f x <的解集为{}|02x x <<.………………………4分（2）由题设可得()1,,131,,211,.2x a x a f x x a a x x a x ⎧⎪-+-<⎪⎪=-++≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩…………………………6分所以()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为1(,0)3a+，(1,0)a -，11(,)22a -，该三角形的面积为2(12).6a -…………………………8分 由题设2(12)362a ->，且0a <，解得 1.a <-所以a 的取值范围是(),1-∞-.………………………10分。