2014届吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试理科数学试题(含答案解析)(2014.03)
吉林省长春市2013-2014学年高二上学期期末调研测试数学理试题 Word版含答案.pdf
长春市2013～2014学年度第一学期期末调研测试 高二数学（理科） 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分120分. 考试时间为100分钟. 注意事项： 答题前，考生必须将自己的姓名、班级、考号填写清楚. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀. 第Ⅰ卷（选择题，共48分） 一、选择题（本大题包括12小题，每小题4分，共48分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 在中，，则最短边的长 A. B. C. D. 2. 已知，则是的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3. 如图，在直三棱柱的底面中，，，，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 4. 设数列为等差数列，若，则 A. B. C. D. 5. 中心在原点，焦点在轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是 B. C. D. 6. 等比数列的前n项和为，若，则 B. C. D. 7. 经过双曲线的右焦点，倾斜角为直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为 B. C. D. 8. 已知，则的最小值是 B. C. D. 9. 中，角的对边分别为，若，则的形状一定为A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形 10. 已知正方体棱长为1，截面与平面相交于直线，则点到直线的距离为 B. C. D. 11. 抛物线与直线交于两点，则线段中点的坐标为 B. C. D. 12. 设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴相交于两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程为 B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共72分） 二、填空题(本大题包括4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13. 若实数满足，则的最大值为________________14. 给出命题，则为_____________15. 已知是抛物线的焦点，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，，则________________16. 已知数列中，，则=________. 三、解答题（本大题包括5小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分10分） 已知等比数列的各项均为正数， 求数列的通项公式； 设，求数列的前项和18.（本小题满分10分） 如图，如果你在海边沿着海岸线直线前行，请设计一种测量海中两个小岛A,B之间距离的方法. 19.（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形， ，侧棱底面， 点为侧棱的中点，且. 求证：； 求面与面所成锐二面角的余弦值. 20.（本小题满分12分） 如图，已知直线与抛物线交于两点， 为坐标原点，且求直线和抛物线的方程； 抛物线上一点从点运动到点时，求面积的最大值. 21.（本小题满分12分） 如图，在平面直角坐标系中，点是轴上的两个定点，，为坐标平面上的动点，，是的中点，点在线段上，且求点的轨迹方程； 若直线与点的轨迹有两个不同的交点，且，求实数的取值范围. 2013～20141. A 2. B 3. D4. B5. C6. A 7. C 8. C 9. B 10. D 11. B 12. D 简答与提示：1. A 因为角B最小，由正弦定理2. B 根据条件可求得，易知是的必要不充分条件3. D 以点为坐标原点，以所在直线分别作为轴建立空间直角坐标系，则可确定，于是，设所求角为，则4. B 由等差数列的性质，，所以由条件可得5.C 由已知可有，. 故6. A 根据等比数列的性质，设为其前n项和，时，仍成等比数列即可求解7. C 根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线平行，故有进而，可解得于是离心率8. C 根据基本不等式，可有9. B 由代入条件可得，，再根据正弦定理代换可有，于是10.D 因为∥，所以点到直线的距离是与之间距离，因为是等腰三角形，设点是的中点，则，所以为所求，（本题也可用空间向量求解） 11. B 将所给直线方程与抛物线方程联立有，由此可整理得： ，设，则，故线段中点的横坐标为，将其再代入直线方程即可得所求中点的坐标为12. D 由，可得，所以，代入可求得点的轨迹方程二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13． 14． 15． 16． 简答与提示： 13. 2 根据线性规划的知识易求解14. . 15. ，设，由得，求得，，故由抛物线的定义可得16. ，由得，以及，所以， ① ②，由①②联立求得通项公式. 17．（）由已知，解得，所以5分（）根据条件易得， 7分于是… …，以上二式相减，可得， +…，所以10分18．如图，设,是两个观测点，到的距离为m，在处测出，在处测出， ，据正弦定理，在中，可求得， 4分同理，在中，可求得8分在中，由余弦定理可得：10分19．建立如图所示空间直角坐标系，根据已知条件可有： 于是2分（）因为，所以故6分（）由已知，是平面的一个法向量，可设平面的法向量为 ，由，可得，根据这个方程组，可取 8分设所求二面角的平面角为，则，故所求二面角的余弦值为12分19．（）由得，设，则有 ，因为 ，所以，解得所以直线的方程为，抛物线的方程为6分（）由，得，于是，8分设，，于是当点到直线的距离最大时，所求三角形面积最大，这里 10分由，可得当时，，此时，故面积的最大值为. 12分．（1）因为，所以，又为中点，故，于是 ，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， ，，故点的轨迹方程为 6分（2）由整理得，设，则有①，且，8分若，则，即，整理得，再将①代入可有： ，整理得， 10分又因为，故，所以或12分。
吉林省长春市2014届高三毕业班第一次调研测试数学(理)试题
1 x 1 x
2013
1 x 2013 0 1 x
所 以 f ( x) 0 在 R 上 恒 成 立 ， 故 f ( x) 在 R 上 是 增 函 数 ， 又
f (1) f (0) 0 ，
∴ f ( x) 只有一个零点，记为 x ，则 x 1,0 . 1 1 同理可证明 g ( x) 也只有一个零点，记为 x ，且 x 1,2 .故 2 2
4 S
11.【试题答案】 C 【试题解析】不等式
9 ，故选 D . 2
x y
表示的平面区域如图
所示，函数 f ( x) 具有性质 S ，则函 数图像必须完全分布在阴影区域① 和②部分， f ( x) e x 1 分布在区 域①和③内， f ( x) ln( x 1) 分布 在区域②和④内， f ( x) sin x 图像 分布在区域①和②内， f ( x) tan x 在每个区域都有图像，故选 C 12.【试题答案】 C 【试题解析】验证 f (0) 1 0 ，
7.【试题答案】 A 【试题解析】由 z x y ，得 y x z ,则 z 表示该 组平行直线在 y 轴的截距。又由约束条件
y
A O
x 1 y a a 1 x y 0
作出可行域如图，先画出 y x ，经 1
yx ya
x
平移至经过 y x 和 y a 的交点 Aa, a 时，z 取得 最大值，代入 Aa, a ，即 z
0
3
， 设 公 比 为 q ， 又 a 9 ， 则 3
，即 2q 2 q 1 0 ，解得 q 1 或 1 ，故选 C . 9 9 q 9 27 2 q2 q 6.【试题答案】 D 【试题解析】由题意可知，程序框图的运算原理可视为函数 ， ab 1, a b S a b ab 1, a b
吉林省长春市2014届高中毕业班第二次调研测试数学(文)精彩试题(纯Word版,含问题详解)
2014年长春市高中毕业班第二次调研测试数 学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150分，考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题—24题为选考题，其它题为必考题。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选填涂在答题卡上）. 1．设集合{}2|<=x x M ，集合{}10|<<=x x N ，则下列关系中正确的是 A ．M N =RB ．()MN =R R ðC ．()NM =R R ðD ．M N M =2．设i 是虚数单位，则i2i 1--等于 A ．0B ．4C ．2D ．23．已知向量(1,2)=a ,b (1,0)=,c (3,4)=,若λ为实数，()λ⊥b +a c ，则λ的值为A ．311-B ．113-C ．12D ．354．已知命题p ：函数1x y a +=的图象恒过定点(01)，；命题q ：若函数()y f x =为偶函数，则函数(1)y f x =+ 的图像关于直线1=x 对称，则下列命题为真命题的是A ．p q ∨B ．p q ∧C ．p q ⌝∧D ．p q ∨⌝ 5．运行如图所示的程序框图，若输出的S 是254，则①应为 A ．n ≤5? B ．n ≤6? C ．n ≤7?D ．n ≤8?6．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则它们的相关系数的绝对值越接近于1；③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；④对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大．其中真命题的序号为A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③ 7．抛物线2x my =上一点()0,3M x -到焦点的距离为5，则实数m 的值为A ．8-B ．4-C ．8D ．48．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为 A．B． C．(2+πD．2+29．设 2.8log 3.1,log ,log e a b e c ππ===，则 A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a c b <<10．已知函数2()212xf x x x =++-，则()y f x =的图象大致为AB C D11．已知直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点(A ，B 不在同一支上)，21,F F 为双曲线的两个焦点，则21,F F 在A ．以A ，B 为焦点的双曲线上 B ．以A ，B 为焦点的椭圆上C ．以A ，B 为直径两端点的圆上D ．以上说法均不正确12．设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有x x f x x f <'+)()(，则不等式0)2(2)2014()2014(>-+++f x f x 的解集为A ．(),2012-∞-B ．()20120-，C ．(),2016-∞-D ．()20160-，第5题图第8题图第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
2014年长春市高中毕业班第二次调研试题文科数学试题及参考答案与评分标准
2014年长春市高中毕业班第二次调研试题数学试题卷(文科)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第II卷22题一24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第I卷(选择题60分)一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1. 设集合M= {x|x<2 },集合N={ x|0<x<1},则下列关系中正确的是( )(A).M∪N=R(B) .M∪C R N=R(C).N∪C R M=R (D). M∩N=M2设i是虚数单位，则|1-i-2I| =( )(A). 0 (B). 4 (C) . 2(D) . √23.已知向量a=(1,2), b=(1,0),c=(3,4),若λ为实数，(b+λa)⊥c,则λ的值为( )A). − 311(B)− 113(C)12(D) 354.已知命题P：函数y=a x+1的图象恒过定点(0,1),命题q：若函数y=f(x)为偶函数，则函数y=f(x+1)的图象关于直线x=1对称. 则下列命题为真命题的是( )(A). p⋁q (B). p⋀q(C) .┐p⋀q(D).p⋁┐q5.运行如图所示的程序框图，若输出S为254，则图中的①应为( )(A).n≤5？(B). n≤6？(C). .n≤7？(D). n≤8？6.以下四个命题：①.从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②．若两个变量的线性相关越强，则它们的相关系数的绝对值越接近1;③．在残差图中，残差点分布的带状区的宽度越狭窄，其模型的拟合精度就越高;④．对分类变量X,Y 的随机变量k 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大. 其中真命题的序号为( )( A). ①④ (B). ②④ (C). ①③ (D). ②③ 7.抛物线x 2=my 上一点M(x 0,−3)到焦点的距离为5，则实数m 的值为( ) ( A). -8 ( B). -4 (C). 8 (D).4 8.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )( A).2+1+√52π (B ).2+1+2√52π (C).2+(1+√5) π(D).2+2+√52π 9.设a=log 2.83.1 , b=log πe , c=ln π ,则( )( A). a<c<b (B). c<a<b(C).b<a<c (D).b<c<a 10.已知函数f(x)=x 2+2X +1−2X,则函数y=f(x)的图象大致为( )第8题图俯视图左视图正视图11.已知直线l 与双曲线C 交于A,B 两点(A,B 不在同支上)F 1,F 2是双曲线的两个焦点，则F 1,F 2在(A). 以A,B 为焦点的双曲线上 (B). 以A,B 为焦点的椭圆上(C). 以A,B 为直径两端点的圆上 (D). 以上说法均不正确12.设函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数，其导函数为f ’(x),且有f(x)+x f′(x)<x,则不等式(x+2014) f(x+2014)+2f(-2)>0的解集为(A). (−∞,−2012) (B). (−2012,0) (C). (−∞,−2016) (D). (−2016,0)第二卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作 答，第22题-24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13.∆ABC 中，三个内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,若sin 2A+sin 2C-sin 2B=√14.实数x,y 满足{x +2y −5≤0x −y −2≤0x ≥0 ，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为 。
2014级高三二诊数学(理)参考答案及评分意见
( 一㊁ 选择题 : 每小题 ５ 分 , 共６ ０ 分) １． D; ２． A; ３． B; ４． A; ５． D; ; ; ; ; ７． B ８． C ９． D １ ０． C １ １． D; ) 第 Ⅱ 卷( 非选择题 , 共９ 分 ０ ( 二㊁ 填空题 : 每小题 ５ 分 , 共２ ０ 分) ２ n １ ３． ㊀㊀１ ４． ３ ２． ８; ㊀㊀１ ５． ４; ㊀㊀１ ６． ． －２; n ＋１ ( 三㊁ 解答题 : 共７ ０ 分) B E C E ( 解: 在 әB 据正弦定理 , 有 １ ７． Ⅰ) E C 中, ． ＝ s i n øB C E s i n B ２ π , ȵ øB ＝ B E ＝１, C E＝ ７, ３ ３ B E ������s i n B ２ ２ １ ʑ s i n øB C E＝ ． ＝ ＝ C E １ ４ ７ ( 由平面几何知识 , 可知 øD Ⅱ) E A ＝ øB C E． π 在R t әA E D中, ȵ øA ＝ , A E ＝５, ２ ３ ５７ ２ ʑc o s øD E A ＝ １－s i n øD E A ＝ １－ ＝ ． ２ ８ １ ４ 第 Ⅰ 卷( 选择题 , 共６ ０ 分) ６． C; １ ２． A．
ɡ ɡ ɡ
C D２ ＝ C E２ ＋D E２ －２ C E������D E������ c o s øC E D ＝ ７＋２ ８－２ˑ ７ ˑ２ ７ ˑ ( －
当 x ＝５ ７ ０时, ３ˑ５ ７ ０＋４ ３ ３． ２＝６ ０ ４． ２． y ＝０．
������������������������１ ０分
高三数学 ( 理科 ) 二诊测试参考答案第 ㊀ 共 ５页) １ 页(
������������������������１ 特征量 y 的估计值为 ６ ʑ 当 x ＝５ ７ ０时, ０ ４． ２． ２分 ( 解: 如图 , 作 GM ʊ C 交B 连接 MF ． １ ９． Ⅰ) D, C 于点 M , 作 BH ʊ AD , 交 GM 于 N , 交D C 于H． ȵE F ʊC D ,ʑGM ʊ E F． ʑGN ＝A B ＝３, HC ＝９． ȵA B ʊ GM ʊ D C, NM BM A G ２ ʑ ＝ ＝ ＝ ． HC B C AD ３ ʑNM ＝６． ʑGM ＝GN ＋ NM ＝９． ������������������������４ 分 ʑGM ������E F． ʑ 四边形 GMF E 为平行四边形 ． ʑG E ʊ MF ． 又 MF ⊂ 平面 B C F, G E ⊄ 平面 B C F, ������������������������６ 分 ʑG E ʊ 平面 B C F． ( Ⅱ )ȵ 平面 AD E ʅ 平面 C D E F, AD ʅ D E, AD ⊂ 平面 AD E, ʑAD ʅ 平面 C D E F． 以 D 为坐标原点 , D C 为x 轴 , D E 为y 轴 , DA 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系D x z． y ʑ E (０, ４, ０) , F (９, ４, ０) , C (１ ２, ０, ０) , B (３, ０, ４ ３) ． ң ң , , , ( ) ʑE F ＝ ９００ E B ＝ (３, ４ ３) ． －４, 设平面 E B F 的法向量n１ ＝ (x１ , z１ ) ． y１ , ң x１ ＝０ n ������E F ＝０, ９ 由 １ 得 ． ң ３ x１ －４ z１ ＝０ ������ y１ ＋４ ３ n１ E B ＝０ ������������������������８ 分 取 y１ ＝ ３ , 得 n１ ＝ (０,３, １) ． ң ң 同理 , F C ＝ (３, ０) , F B ＝ ( －６, －４, ４ ３) ． －４, , ) 设平面 B C F 的法向量n２ ＝ ( x２ , z ． y２ ２ ң ３ x ４ ������ － ＝０ ２ ２ y n F C ＝０, 由 ２ 得 ． ң x２ －４ z２ ＝０ －６ y２ ＋４ ３ n２ ������F B ＝０ ������������������������１ 取 x２ ＝４, 得 n２ ＝ (４, ０分 ３, ３ ３) ． n１ ������ n２ ０ˑ４＋ ３ ˑ３＋１ˑ３ ３ ６３ ３ ３ ９ ʑ c o s＜ n１ , n２ ＞＝ ． ＝ ＝ ＝ n１ | n２ | ２ ６ | | ２ˑ １ ６＋９＋２ ７ ２ˑ２ １ ３ ������������������������１ １分 ȵ 二面角 E －B F －C 为钝二面角 ,
2014年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)
2014年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合M={x|x＜2}，集合N={x|0＜x＜1}，则下列关系中正确的是（）A.M∪N=RB.M∪∁R N=RC.N∪∁R M=RD.M∩N=M【答案】B【解析】解：A、∵集合M={x|x＜2}，集合N={x|0＜x＜1}，∴M∪N={x|x＜2}≠R，故错误；B、∵集合N={x|0＜x＜1}，全集为R，∴C R N={x|x≤0或x≥1}，又集合M={x|x＜2}，则M∪C R N=R，本选项正确；C、∵集合M={x|x＜2}，全集为R，∴C R M={x|x≥2}，又集合N={x|0＜x＜1}，则N∪C R M={x|0＜x＜1或x≥2}≠R，故错误；D、∵集合M={x|x＜2}，集合N={x|0＜x＜1}，∴M∩N={x|0＜x＜1}≠M，故错误，故选BA、由集合M与N，根据并集的定义：属于集合M又属于集合N的元素组成的集合为M与N的并集，确定出并集即可做出判断；B、先由全集R，及集合N，根据补集的定义，在R中找出不属于N的部分，确定出N 的补集，然后找出补集与M的公共元素即可确定出所求，做出判断；C、同理由全集R和集合M求出M的补集，然后求出补集与N的并集，即可做出判断；D、由集合M和N，找出两集合的公共元素，确定出两集合的交集，做出判断．此题考查了交集、并集及补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，学生在求补集时注意全集的范围．2.设i是虚数单位，则|（1-i）-|等于（）A.0B.4C.2D.【答案】D【解析】解：∵1-i-=1-i+2i=1+i，∴|1+i|=，故选：D．根据复数的四则运算进行化简即可．本题主要考查复数的四则运算以及复数模长的计算，比较基础．3.已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（+λ）⊥，则λ=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意可知：=（1，0）+λ（1，2）=（1+λ，2λ）由（）⊥可得：3（1+λ）+4×2λ=0，解之可得λ=故选A由向量的运算可得的坐标，由向量的垂直可得关于λ的方程，解之可得答案．本题考查平面向量数量积的运算以及向量的垂直与数量积的关系，属中档题．4.已知命题p：函数y=2-a x+1恒过（1，2）点；命题q：若函数f（x-1）为偶函数，则f （x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A.p∧qB.￢p∧￢qC.￢p∧qD.p∧￢q【答案】B【解析】解：函数y=2-a x+1的图象可看作把y=a x的图象先沿轴反折，再左移1各单位，最后向上平移2各单位得到，而y=a x的图象恒过（0，1），所以函数y=2-a x+1恒过（-1，1）点，所以命题p假，则￢p真．函数f（x-1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f（x-1）向左平移了1各单位，所以f（x）的图象关于直线x=-1对称，所以命题q假，则命题￢q 真．综上可知，命题￢p∧￢q为真命题．故选B复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．复合命题的真值表：5.运行如图框图输出的S是254，则①应为（）A.n≤5B.n≤6C.n≤7D.n≤8【答案】C【解析】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．∵S=2+22+…+26+27=254，故①中应填n≤7．故选C．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．6.以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ位于区域（0，1）内的概率为0.4，则ξ位于区域（0，2）内的概率为0.8；④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握越大．其中真命题的序号为（）A.①④B.②④C.①③D.②③【答案】D【解析】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统（等距）抽样，不是分层抽样，∴①是假命题；②∵线性相关系数r的绝对值越接近1，两变量间线性关系越密切，∴“两个变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1”是真命题；③∵变量ξ～N（1，σ2），∴P（0＜ξ＜2）=2P（0＜ξ＜1）=0.8，∴③是真命题；④∵随机变量K2的观测值k越大，判断“X与Y有关系”的把握越大，∴④是假命题．∴以上真命题的序号是②③；故选：D．①根据系统抽样与分层抽样的特征，可以判定命题是否正确；②由线性相关系数r的特征，可以判定命题是否正确；③由变量ξ～N（1，σ2），求出P（0＜ξ＜2）的值，判定命题是否正确；④由随机变量K2与观测值k之间的关系，判断命题是否正确．本题通过命题真假的判定，考查了统计学中有关的特征量问题，解题时应明确这些特征量的意义是什么，是易错题．7.已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=-1的距离d2=a2+1；P到直线l1：4x-3y+6=0的距离d1=则d1+d2=a2+1=当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选B设出抛物线上一点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出P到直线l1和直线l2的距离d1和d2，求出d1+d2，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值．此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题8.计划将排球、篮球、乒乓球3项目的比赛安排在4不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2的安排方案共有（）A.60种B.42种C.36种D.24种【答案】A【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①、若3个项目分别安排在不同的场馆，则安排方案共有A43=24种，②、若有两个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，则安排方案共有C32A42=36种；所以在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有24+36=60种；故选：A．根据题意，分分2种情况讨论：①、若3个项目分别安排在不同的场馆，②、若有两个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，由组合数公式可得每种情况下的安排方案数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查计数原理的应用，解题时注意正确理解题意，确定分类讨论的依据，分类讨论注意做到不重不漏．9.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由三视图知几何体为半个圆锥，且圆锥的底面圆半径为1，高为2，∴母线长为，圆锥的表面积S=S底面+S侧面=×π×12+×2×2+×π×=2+．故选A．由三视图知几何体为半个圆锥，且圆锥的底面圆半径为1，高为2，求出圆锥的母线长，圆锥的表面积等于底面半圆面积+侧面三角形面积+圆锥侧面积的一半．本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．10.已知函数f（x）=x2+2x+1-2x，则y=f（x）的图象大致为（）A. B. C.D.【答案】A【解析】解：f（x）=x2+2x+1-2x=（x+1）2-2x，令g（x）=（x+1）2，h（x）=2x，则f（x）=g（x）-h（x），在同一坐标系下作出两个函数的简图，根据函数图象的变化趋势可以发现g（x）与h（x）共有三个交点，横坐标从小到大依次令为x1，x2，x3，在（-∞，x1）区间上有g（x）＞h（x），即f（x）＞0；在区间（x1，x2）有g（x）＜h （x），即f（x）＜0；在区间（x2，x3）上有g（x）＞h（x），即f（x）＞0；在区间（x3，+∞）有有g（x）＜h（x），即f（x）＜0．故选：A．由题设，可构造两个函数g（x）=（x+1）2，h（x）=2x，作出它们的图象，根据两者的位置关系研究函数f（x）的图象的位置关系，从而得出正确选项．本题考查函数图象特征与函数值正负的对应，确定出对应区间上函数值的符号是解答的关键．11.已知直线l与双曲线C于A，B两点（A，B在同一支上），F1，F2为双曲线的两个焦点，则F1，F2在（）A.以A，B为焦点的椭圆上或线段AB的垂直平分线上B.以A，B为焦点的双曲线上或线段AB的垂直平分线上C.以AB为直径的圆上或线段AB的垂直平分线上D.以上说法均不正确【答案】B【解析】解：当直线l垂直于实轴时，F1，F2在AB的垂直平分线上；当直线l不垂直于实轴时，设双曲线焦点在x轴，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，且A、B都在右支上，由双曲线定义：|AF1|-|AF2|=2a，|BF1|-|BF2|=2a，则|AF2|-|BF2|=|AF|-|BF1|＜|AB|，由双曲线定义知F1，F2在以A、B为焦点的双曲线上，故选：B．当直线l垂直于实轴时，F1，F2在AB的垂直平分线上；当直线l不垂直于实轴时，由双曲线定义推导出|AF2|-|BF2|=|AF|-|BF1|＜|AB|，由此能求出结果．本题考查双曲线的简单性质的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线定义的合理运用．12.设函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）-4f（-2）＞0的解集为（）A.（-∞，-2012） B.（-2012，0）C.（-∞，-2016）D.（-2016，0）【答案】C【解析】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0），得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，即[x2f（x）]′＜x3＜0，令F（x）=x2f（x），则当x＜0时，得F′（x）＜0，即F（x）在（-∞，0）上是减函数，∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（-2）=4f（-2），即不等式等价为F（x+2014）-F（-2）＞0，∵F（x）在（-∞，0）是减函数，∴由F（x+2014）＞F（-2）得，x+2014＜-2，即x＜-2016，故选：C．根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A+sin2C-sin2B=sin A sin C，则B= ______ ．【答案】【解析】解：在△ABC中，∵sin2A+sin2C-sin2B=sin A sin C，∴利用正弦定理得：a2+c2-b2=ac，∴cos B==，∴B=，故答案为：．由条件利用正弦定理可得a2+c2-b2=ac，由此求得cos B=的值，可得B的值．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．14.的展开式中的常数项为a，则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为______ ．【答案】【解析】解：=，则（1+x3）3的展开式的通项公式为，当k=1时，展开式的常数项a=，即a=3，此时直线y=ax=3x，由得x2=3x，解得x=0或x=3，则由积分公式得=（）|=，故答案为：；先根据二项式定理求出常数a，然后利用积分的几何意义求区域面积．本题主要考查利用积分求区域面积，利用二项式定理的知识求出常数项a是解决本题的关键．15.用一个边长为4的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为1的鸡蛋（视为球体）放在其上（如图），则鸡蛋中心（球心）与蛋托底面的距离为______ ．【答案】【解析】解：由题意可知折叠后的蛋槽的上顶点在底面的射影如图中红线三角形，蛋槽的底面是正三角形边长为2，∴蛋槽的高为，且折起三个小三角形顶点构成边长为1的等边三角形A′B′C′，O-A′B′C′是列出为1的正四面体，∴球心到面A′B′C′的距离，∴鸡蛋中心与蛋巢底面的距离为．故答案为：．画出图形，判断蛋槽的底面三角形的形状，求出蛋槽的高，判断球心与蛋槽的上底面三棱锥的形状，然后求出棱锥的高即可．本题考查空间想象能力，逻辑推理能力，点到平面距离的求法，考查计算能力．16.已知数列{a n}中，a1=1，a2n=n-a n，a2n+1=a n+1，则a1+a2+a3+…+a100= ______ ．【答案】1306【解析】解：∵a2n=n-a n，a2n+1=a n+1，∴a n=n-a2n，a n=a2n+1-1，∴a2n+1+a2n=n+1，∴a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a98+a99）=1+2+3+…+50=1275，a100=50-a50=50-（25-a25）=25+a12+1=26+（6-a6）=32-（3-a3）=29+（a1+1）=31，∴a1+a2+a3+…+a100=1275+31=1306．故答案为：1306．由已知条件得a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a98+a99）=1+2+3+…+50=1275，a100=50-a50=29+（a1+1）=31，由此能求出a1+a2+a3+…+a100．本题考查数列的前100项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．三、解答题(本大题共8小题，共90.0分)17.已知α为锐角，且tanα=-1，函数f（x）=2xtan2a+sin（2a+），数列{a n}的首项a1=1，a n+1=f（a n）．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和S n．【答案】解：（Ⅰ）∵tanα=-1，∴tan2α===1，又α为锐角，∴2α=，∴sin（2α+）=1，∴f（x）=2x+1；（Ⅱ）∵a n+1=f（a n）=2a n+1，∴a n+1+1=2（a n+1），∵a1=1，∴数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n+1=2•2n-1=2n，∴a n=2n-1，∴na n=n•2n-n，下面先求{n•2n}的前n项和T n：T n=1×2+2×22+3×23+…+（n-1）•2n-1+n•2n，2T n=1×22+2×23+…+（n-1）•2n+n•2n+1，两式相减得：-T n=2+22+23+…+2n-n•2n+1=-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1，∴T n=2+（n-1）•2n+1，∴S n=2+（n-1）•2n+1-．【解析】（Ⅰ）利用二倍角的正切可求得tan2α=1，α为锐角，可求得sin（2α+）=1，于是可知函数f（x）的表达式；（Ⅱ）依题意，可知数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，于是可求得a n=2n-1，na n=n•2n-n，先用错位相减法求得{n•2n}的前n项和T n，再利用分组求和法求得S n．本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定，求得a n=2n-1是关键，也是难点，突出考查错位相减法与分组求和法，属于难题．18.据IEC（国际电工委员会）调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，假设投资A项目的资金为（≥0）万元，投资B项目资金为y（y≥0）万元，调研结果是：未来一年内，位于一类风区的A项目获利30%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；位于二类风区的B项目获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.1，不赔不赚的可能性是0.3．（1）记投资A，B项目的利润分别为ξ和η，试写出随机变量ξ与η的分布列和期望Eξ，Eη；（2）某公司计划用不超过100万元的资金投资于A，B项目，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目，根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z=Eξ+Eη的最大值．【答案】解：（1）∵投资A项目的资金为x（x≥0）万元，未来一年内，位于一类风区的A项目获利30%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4，∴A项目投资利润ξ的分布列：∴Eξ=0.18-0.08=0.1．∵投资B项目资金为y（y≥0）万元，未来一年内，位于二类风区的B项目获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.1，不赔不赚的可能性是0.3．∴B项目投资利润η的分布列：∴∴η=0.21y-0.01y=0.2y．…（6分），…（9分）（2）由题意知x，y满足的约束条件为，由（1）知，z=Eξ+Eη=0.1x+0.2y，当x=50，y=50，∴z取得最大值15．∴对A、B项目各投资50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元．…（12分）【解析】（1）由已知条件，利用概率分布列的性质和计算公式能求出能求出随机变量ξ与η的分布列和期望Eξ，Eη．（2）由题意列出x，y满足的约束条件，由此估计一年后两个项目的平均利润之和z=Eξ+Eη的最大值．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，是中档题，在历年高考中都是必考题型．19.如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是等腰梯形，且AB∥CD，O是AB中点，PO⊥平面ABCD，PO=CD=DA=AB=4，M是PA中点．（1）证明：平面PBC∥平面ODM；（2）求平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明：∵BC=CD=DA，PO=CD=DA=AB=4，M是PA中点．∴BO=OA=CD=DA=4，∵底面ABCD是等腰梯形，且AB∥CD，…（2分）∵CD平行且等于BO，∴四边形OBCD是平行四边形，∴BC∥OD．∵AO=BO，AM=PM，∴OM∥PB，又∵BC∥OD，∴OD∥平面PBC，OM∥平面PBC，∴平面PBC∥平面ODM．…（6分）（2）以O为原点，BA方向为x轴，以平面ABCD内过O点且垂直于AB方向为y轴，以OP方向为z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则P（0，0，4），B（-4，0，0），A（4，0，0），C（-2，-2，0），D（2，-2，0），…（8分）∴=（-4，0，-4），=（2，-2，0），设平面PBC的法向量，，，则，取x=，得，，，又，，，，，，设平面PAD的法向量，，，则，取，得，，，设平面PBC与平面PAD所成锐二面角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=||=，∴平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值为．…（12分）【解析】（1）由已知条件推导出四边形OBCD是平行四边形，从而得到BC∥OD．进而得到OD∥平面PBC，OM∥平面PBC，由此能够证明平面PBC∥平面ODM．（2）以O为原点，BA方向为x轴，以平面ABCD内过O点且垂直于AB方向为y轴，以OP方向为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值．本题考查平面与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点，问：△PF2Q的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．【答案】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上，∴由题意，得，…（2分）解得a=3，b=2…（4分）∴椭圆方程为．…（5分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），（|x1|≤3）∴|PF2|2=（x1-1）2+y12=（x1-9）2，∴|PF2|=3-x1，------------------------（8分）连接OM，OP，由相切条件知：|PM|2=|OP|2-|OM|2=x12+y12-8=x12，∴|PM|=x1，∴|PF2|+|PM|=3----------------------------------（11分）同理可求|QF2|+|QM|=3∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=6为定值．…（12分）【解析】（1）由椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上，建立方程组，可得a值，进而求出b值后，可得椭圆方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），分别求出|F2P|，|F2Q|，结合相切的条件可得|PM|2=|OP|2-|OM|2求出|PQ|，可得结论．本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的性质是解答本题的关键．21.已知函数f（x）=xlnx．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），且x1≠x2，证明：＜f′（）．【答案】（1）解：定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+x•=1+lnx，令f′（x）＞0，则lnx＞-1=ln，∴x＞；令f′（x）＜0，则lnx＜-1=ln，∴0＜x＜，∴f（x）的单调增区间是（，+∞），单调减区间是（0，）．f（x）极小值=f（）==-，f（x）无极大值．（2）证明：不妨设x1＜x2，＜′⇔＜ln+1，即＜-+x2-x1，＜，两边同除以x1得，＜ln-1，令=t，则t＞1，即证：tln＜ln+t-1，令g（t）=tln-t+1，g′（t）=ln+t+-1=ln=ln（1+）-，令（x＞0），h（x）=ln（1+x）-x，h′（x）=＜0，h（x）在（0，+∞）上单调递减，∴h（x）＜h（0）=0，即ln（1+x）＜x，即g′（t）=ln（1+）-＜0恒成立，∴g（t）在（1，+∞）上是减函数，所以g（t）＜g（1）=0，∴tln＜ln+t-1得证，∴＜′成立．【解析】（1）求导，在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得单调区间，有极值点的定义可求极值；（2）不妨设x1＜x2，＜′⇔＜ln+1，即证＜，两边同除以x1得，＜ln-1，令=t，则t＞1，只证：tln＜ln+t-1，令g（t）=tln-t+1，利用导数证明g（t）＜0即可；该题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查不等式的证明，考查学生的运算推理能力和转化问题的能力．22.如图：AB是⊙O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作⊙O的切线，切点为H．（Ⅰ）求证：C，D，E，F四点共圆；（Ⅱ）若GH=6，GE=4，求EF的长．【答案】证明：（1）连接DB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，在R t△ABD和R t△AFG中，∠ABD=∠AFE，又∵∠ABD=∠ACD，∴∠ACD=∠AFE．∴C，D，E，F四点共圆；（2）∵C，D，E，F四点共圆，∴GE•GF=GC•GD．∵GH是⊙O的切线，∴GH2=GC•GD，∴GH2=GE•GF．又因为GH=6，GE=4，所以GF=9．∴EF=GF-GE=9-4=5．【解析】（1）连接DB，利用AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，在R t△ABD和R t△AFG中，∠ABD=∠AFE，又同弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠ABD，进而得到∠ACD=∠AFE 即可证明四点共圆；（2）由C，D，E，F四点共圆，利用共线定理可得GE•GF=GC•GD．由GH是⊙O的切线，利用切割线定理可得GH2=GC•GD，进而得到GH2=GE•GF．即可熟练掌握圆的切线的性质、同弧所对的圆周角相等、四点共圆的判定方法、切割线定理、割线定理等是解题的关键．23.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ-）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ-）的公共点，求x+y的取值范围．【答案】解：（1）因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ-），所以ρ2=4ρ（sinθ-cosθ），所以圆C的直角坐标方程为：x2+y2+2x-2y=0．…（5分）（2）设z=x+y由圆C的方程x2+y2+2x-2y=0，可得（x+1）2+（y-）2=4所以圆C的圆心是（-1，），半径是2将代入z=x+y得z=-t…（8分）又直线l过C（-1，），圆C的半径是2，由题意有：-2≤t≤2所以-2≤t≤2即x+y的取值范围是[-2，2]．…（10分）【解析】（1）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆C的直角坐标方程；（2）将代入z=x+y得z=-t，又直线l过C（-1，），圆C的半径是2，可得结论．本题考查直线的参数方程与圆的极坐标方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．24.设函数f（x）=|x-2a|，a∈R．（1）若不等式f（x）＜1的解集为{x|1＜x＜3}，求a的值；（2）若存在x∈R，使得f（x）+x＜3成立，求a的取值范围．【答案】解：（1）由于函数f（x）=|x-2a|，由不等式f（x）＜1，可得-1＜x-2a＜1，解得2a-1＜x＜2a+1．再由此不等式的解集为{x|1＜x＜3}，可得2a-1=1，且2a+1=3，解得a=1．（2）若存在x∈R，使得f（x）+x＜3成立，即不等式|x-2a|＜3-x有解，即x-3＜x-2a ＜3-x有解，即＜＜有解，即＜＜有解，故有a＜，即a的范围为（-∞，）．【解析】（1）解不等式f（x）＜1，可得2a-1＜x＜2a+1．再由此不等式的解集为{x|1＜x＜3}，可得2a-1=1，且2a+1=3，由此解得a的值．（2）由题意可得不等式|x-2a|＜3-x有解，即x-3＜x-2a＜3-x有解，即＜＜有解，即＜＜有解，由此求得a的范围．本题主要考查绝对值不等式额解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．。
数学_2014年吉林省某校高考数学二模试卷(理科)(含答案)
2014年吉林省某校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知U ＝R ，M ＝{x|−l ≤x ≤2}，N ＝{x|x ≤3}，则(∁U M)∩N ＝（ ） A {x|2≤x ≤3} B {x|2<x ≤3} C {x|x ≤−1, 或2≤x ≤3} D {x|x <−1, 或2<x ≤3}2. 复数z =2+i1+i 在复平面内对应的点在( )A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3. 在等差数列{a n }中，a 1+a 5=8，a 4=7，则a 5等于（ ） A 3 B 7 C 10 D 114. 抛物线y 2=2px(p >0)的准线经过双曲线x 2−y 2=1的左焦点，则p =( ) A √22B √2C 2√2D 4√25. 将函数y =sin2x +cos2x 的图象向左平移π4个单位，所得图象的解析式是（ ） A y =cos2x +sin2x B y =cos2x −sin2x C y =sin2x −cos2x D y =cosxsinx 6. 先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为（ ）A 16B 15C 13D 257. 一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A 12 B 32 C 1 D 138. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A 20B 30C 40D 509. 一个空间四边形ABCD 的四条边及对角线AC 的长均为√2，二面角D −AC −B 的余弦值为13，则下列论断正确的是( )A 空间四边形ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3πB 空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4π C 空间四边形ABCD 的四个顶点在同一球上且此球的表面积为3√3π D 不存在这样的球使得空间四边形ABCD 的四个顶点在此球面上10. 如图，在四面体OABC 中，AC =BC,|OA →|=3，|OB →|=1，则OC →⋅BA →=( )A 8B 6C 4D 311. 已知f(x)是定义在R 上的增函数，函数y =f(x −1)的图象关于点(1, 0)对称．若对任意的x ，y ∈R ，不等式f(x 2−6x +21)+f(y 2−8y)<0恒成立，则当x >3时，x 2+y 2的取值范围是（ ）A (3, 7)B (9, 25)C (13, 49)D (9, 49)12. 若2014=2a 1+2a 2+...+2a n ，其中a 1，a 2，…，a n 为两两不等的非负整数，令x =sin ∑a i n i=1，y =cos ∑a i n i=1，z =tan ∑a i ni=1，则x ，y ，z 的大小关系是（ ） A x <y <z B z <x <y C x <z <y D y <z <x二、填空题（每小题5分，共20分）13. 将某班的60名学生编号为：01，02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是________． 14. 设n =∫2#/DEL/#1#/DEL/#(3x 2−2)dx ，则(x +√x )n 的展开式中含x 2项的系数是________．15. 在△ABC 中，C =π3，AB =√3，AB 边上的高为43，则AC +BC =________．16. 若直角坐标平面内，A 、B 两点满足条件：①点A 、B 都在函数f(x)图象上；②点A 、B关于原点对称，则称点对(A 、B)是函数f(x)的一个“姐妹点对”（点对(A 、B)与点(B 、A)可看作同一个“姐妹对”）．已知函数f(x)={x 2+2x 2e x (x <0)(x ≥0)，则f(x)的“姐妹点对”有________个．三．解答题：（本大题共5小题，共60分）17. 已知α为锐角，且tanα=√2−1，函数f(x)=2xtan2a +sin(2a +π4)，数列{a n }的首项a 1=1，a n+1=f(a n )． (1)求函数f(x)的表达式；(2)求数列{na n }的前n 项和S n ．18. 如图，四棱锥A −BCDE 中，△ABC 是正三角形，四边形BCDE 是矩形，且平面ABC ⊥平面BCDE ，AB =2，AD =4． （1）若点G 是AE 的中点，求证：AC // 平面BDG ；（2）试问点F 在线段AB 上什么位置时，二面角B −CE −F 的余弦值为313√13．19. 某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的结果如下：（1）求表中a ，b 的值（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立， ①求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X 表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求X 的分布列和期望．20. 已知点F(0, 1)，直线l:y =−1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →⋅QF →=FP →⋅FQ →．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）已知圆M 过定点D(0, 2)，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A 、B 两点，设|DA|=l 1，|DB|=l 2，求l 1l 2+l2l 1的最大值．21. 已知函数f(x)=mxx 2+n (m, n ∈R)在x =1处取到极值2 （1）求f(x)的解析式；（2）设函数g(x)=ax −lnx ．若对任意的x 1∈[12,2]，总存在唯一的x 2∈[1e 2,1e ]，使得g(x 2)=f(x 1)，求实数a 的取值范围．选考题：（本小题满分10分）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 已知A 、B 、C 、D 为圆O 上的四点，直线DE 为圆O 的切线，AC // DE ，AC 与BD 相交于H 点．(Ⅰ)求证：BD 平分∠ABC ；(Ⅱ)若AB ＝4，AD ＝6，BD ＝8，求AH 的长．23. 已知某圆的极坐标方程为：ρ2−4√2ρcos(θ−π4)+6=0．(1)将极坐标方程化为直角坐标方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点P(x, y)在该圆上，求x+y的最大值和最小值．24. 已知关于x的不等式|ax−1|+|ax−a|≥1(a>0)．（1）当a＝1时，解不等式；（2）若不等式的解集为R，求实数a的取值范围．2014年吉林省某校高考数学二模试卷（理科）答案1. D2. D3. C4. C5. B6. C7. A8. B9. A10. C11. C12. B13. 16、28、40、5214. 4015. √1116. 217. 解：(1)∵ tanα=√2−1，∴ tan2α=2tanα1−tan2α=√2−1)1−(√2−1)2=1，又α为锐角，∴ 2α=π4，∴ sin(2α+π4)=1，∴ f(x)=2x+1；(2)∵ a n+1=f(a n)=2a n+1，∴ a n+1+1=2(a n+1)，∵ a1=1，∴ 数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴ a n+1=2⋅2n−1=2n，∴ a n=2n−1，∴ na n=n⋅2n−n，下面先求{n⋅2n}的前n项和T n：T n=1×2+2×22+3×23+...+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n，2T n=1×22+2×23+...+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1，两式相减得：−T n=2+22+23+...+2n−n⋅2n+1=2−2n+11−2−n ⋅2n+1=2n+1−2−n ⋅2n+1， ∴ T n =2+(n −1)⋅2n+1， ∴ S n =2+(n −1)⋅2n+1−(1+n)n 2．18. 解：（1）证明：连接CE 、BD ，设CE ∩BD =O ，连接OG ， 由三角形的中位线定理可得：OG // AC ， ∵ AC ⊄平面BDG ，OG ⊂平面BDG ， ∴ AC // 平面BDG ．（2）∵ 平面ABC ⊥平面BCDE ，DC ⊥BC ， ∴ DC ⊥平面ABC ，∴ DC ⊥AC ，则△ACD 为直角三角形． ∵ △ABC 是正三角形，∴ 取BC 的中点M ，连结MO ，则MO // CD ， ∴ MO ⊥面ABC ，以M 为坐标原点，以MB ，M0，MA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， ∵ AB =2，AD =4，∴ AM =√3，∴ B(1, 0, 0)，C(−1, 0, 0)，A(0, 0, √3)，在Rt △ACD 中，CD =√AD 2−AC 2=√42−22=√12=2√3． ∴ BE =CD =2√3，即E(1, 2√3, 0) 则BA →=(−1,0,√3)， ∵ 点F 在线段AB 上，∴ 设BF =xBA ，(0≤x ≤1) 则BF →=xBA →∴ F(1−x, 0, √3x)，则CE →=(2,2√3,0)，CF →=(2−x,0,√3x)， 设面CEF 的法向量为n →=(a,b,c)，则由{n →⋅CF →=0˙得，{2a +2√3b =0(2−x)a +√3xc =0，令a =√3，则b =−1，c =x−2x，即n →=(√3,−1,x−2x)，平面BCE 的法向量为m →=(0,0,1)， 二面角B −CE −F 的余弦值为|m →|⋅|n →|˙=3√1313，即|x−2x|√(√3)+1+(x−2x)=3√1313， ∴(x−2x)√4+(x−2x)2=3√1313，平方得(x−2x)24+(x−2x)2=913，解得：(x−2x)2=9，解得x =−1（舍去）或x =12．即F 是线段AB 的中点时，二面角B −CE −F 的余弦值为313√13．19. ∵ 100.2=50∴ a =2550=0.5，b =1550=0.3①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p ＝0.5 设5天中该种商品有X 天的销售量为1.5吨，则X ∼B(5, 0.5)P(X ＝2)＝C 52×0.52×(1−0.5)3＝0.3125 ②X 的可能取值为4，5，6，7，8，则 p(X ＝4)＝0.22＝0.04p(X ＝5)=2×0.2×0.5＝0.2p(X ＝6)=0.52+2×0.2×0.3＝0.37 p(X ＝7)=2×0.3×0.5＝0.3 p(X ＝8)＝0.32＝0.09 所有X 的分布列为：EX ＝4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09＝6.2． 20. （1）解：设P(x, y)，则Q(x, −1)， ∵ QP →⋅QF →=FP →⋅FQ →，∴ (0, y +1)⋅(−x, 2)=(x, y −1)⋅(x, −2)． 即2(y +1)=x 2−2(y −1)，即x 2=4y ， 所以动点P 的轨迹C 的方程x 2=4y ．（2）解：设圆M 的圆心坐标为M(a, b)，则a 2=4b ．① 圆M 的半径为|MD|=√a 2+(b −2)2．圆M 的方程为(x −a)2+(y −b)2=a 2+(b −2)2． 令y =0，则(x −a)2+b 2=a 2+(b −2)2， 整理得，x 2−2ax +4b −4=0．② 由①、②解得，x =a ±2．不妨设A(a −2, 0)，B(a +2, 0)，∴ l 1=√(a −2)2+4，l 2=√(a +2)2+4． ∴ l 1l 2+l2l 1=l 12+l 22l 1l 2=2√a 4+64=2√(a 2+8)2a 4+64=2√1+16a 2a 4+64，③当a ≠0时，由③得，l 1l 2+l 2l 1=2√1+16a 2+64a2≤2√1+162×8=2√2．当且仅当a =±2√2时，等号成立． 当a =0时，由③得，l1l 2+l 2l 1=2．故当a =±2√2时，l1l 2+l 2l 1的最大值为2√2．21. 解：（1）f′(x)=m(x 2+n)−2mx 2(x 2+n)2=m(n−x 2)(x 2+n)2f(x)在x =1处取到极值2，故f′(1)=0，f(1)=2即{mn−m (1+n)2=0m1+n=2，解得m =4，n =1，经检验，此时f(x)在x =1处取得极值．故f(x)=4xx 2+1（2）由（1）知f′(x)=4(1−x)(1+x)(x 2+1)2，故f(x)在(12，1)上单调递增，在(1, 2)上单调递减，由f(1)=2,f(2)=f(12)=85，故f(x)的值域为[85，2] 依题意g′(x)=a −1x =a(x−1a)x，记M =[1e 2，1e ]，∵ x ∈M∴ e ≤1x ≤e 2（1）当a ≤e 时，g ′(x)≤0，g(x)，依题意由{g(1e )≤85g(1e 2)≥2得0≤a ≤35e ，故此时0≤a ≤35e（2）当e <a ≤e 2时，1e>1a>1e 2当x ∈(1e2，1a)时，g′(x)<0，当x ∈(1a，1e)时，g′(x)>0．依题意由g(1a)≤85，得1−ln 1a≤85，即a ≤e 35．与a >e 矛盾（3）当a >e 2时，1a <1e 2，此时g′(x)>0，g(x)．依题意得{a >e 2g(1e )≥2g(1e2≤85即{a >e 2a e +1≥2a e 2+2≤85此不等式组无解综上，所求a 取值范围为0<a ≤35e22. （1）∵ AC // DE ，直线DE 为圆O 的切线，∴ D 是弧AĈ的中点，即AD ̂=DC ̂ 又∠ABD ，∠DBC 与分别是两弧AD̂,DC ̂所对的圆周角，故有∠ABD ＝∠DBC ， 所以BD 平分∠ABC（2）∵ 由图∠CAB ＝∠CDB 且∠ABD ＝∠DBC ∴ △ABH ∽△DBC ，∴ AHCD =ABBD 又AD̂=DC ̂ ∴ AD ＝DC ，∴AH AD=AB BD∵ AB ＝4，AD ＝6，BD ＝8 ∴ AH ＝323. 解：(1)ρ2−4√2ρcos(θ−π4)+6=0 ，即 ρ2−4√2( √22ρcosθ+√22ρsinθ )+6=0，即 x 2+y 2−4x −4y +6=0．配方为：(x −2)2+(y −2)2=2， 可得圆的参数方程为：{x =2+√2cosα，y =2+√2sinα.(2)圆的参数方程为 {x =2+√2cosα，y =2+√2sinα，∴ x +y =4+√2(sinα+cosα) =4+2sin(α+π4)．由于−1≤sin(α+π4)≤1，∴ 2≤x +y ≤6，故x +y 的最大值为6，最小值为 2．24. 当a ＝1时，可得2|x −1|≥1，即|x −1|≥12，解得x ≥32x ≤12， ∴ 不等式的解集为(−∞,12]∪[32,+∞)．∵ |ax −1|+|ax −a|≥|a −1|，不等式|ax −1|+|ax −a|≥1解集为R ，等价于|a −1|≥1．解得a ≥2，或a ≤0． 又∵ a >0，∴ a ≥2． ∴ 实数a 的取值范围为[2, +∞)．。
2014长春市二模理科数学答案
数学（理）参考答案及评分标准1．【答案】：B【解析】：{}2|<=x x M ，{|0=≤x N x R ð或}1x ≥，则()=M N R R ð，故选B2．【答案】：D【解析】：21i =1i 2i 1i i---+=+=D 3．【答案】：A 【解析】：(1,0)(1,2)(1,2)λλλλ+=+=+b a ，(3,4)=c ，又()λ⊥b +a c ，∴()0λ⋅b+a c =，即(1,2)(3,4)3380λλλλ+⋅=++=，解得311λ=-， 故选A 4．【答案】：D 【解析】：函数12+-=x ay 的图象可看出先把函数xy a =的图象上每一个点的横坐标向左平移一个单位，再将所得图象沿x 轴作翻折，最后再整体向上平移2个单位得到，而xy a =的图象恒过(0,1)，所以12+-=x ay 的图象恒过(1,1)-，因此p 为假命题；若函数)1(-=x f y 为偶函数，即图象关于y 轴对称，()=y f x 的图象即)1(-=x f y 整体向左平移一个单位得到，所以()=y f x 的图象关于直线1x =-对称，则q 为假命题；参考四个选项可知，故选D5．【答案】：C【解析】：由程序框图算法可知，1222S =++………2n+，由于输出S 254=，即2(12)25412n -=-，解得7n =，故①应为“7n ≤？”，故选C6．【答案】：D【解析】：①应为系统（等距）抽样；②线性相关系数r 的绝对值越接近1，两变量间线性关系越密切；③变量ξ~2(1,)N σ，(02)ξ<<P 2(01)0.8ξ=<<=P ； ④ 显然错误．故选D7．【答案】：B【解析】：由题可知2:1l x =-是抛物线24y x =的准线，设抛物线的焦点(1,0)为F ，则动点P到2l 的距离等于PF ，则动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值，即焦点F到直线1:4360l x y -+=的距离，所以最小值是40625-+=，故选B 8．【答案】：A【解析】：若3个项目分别安排在不同的场馆，则安排方案共有3424A =种；若有两个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，则安排方案共有223436C A ⋅=种；所以在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有243660+=种。
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第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有 ．． 一项 是符合题目要求的，请将正确选填涂在答题卡上）. ．． 1．设集合 M x | x 2，集合 N x | 0 x 1，则下列关系中正确的是 A． M N R C． N (R M ) R 2．设 i 是虚数单位，则 1 i A． 0 B． 4 B． M (R N ) R D． M N M
1+ 5 2
B． 2+
1+2 5 2
C． 2+ 1+ 5
2
D． 2+
x
2+ 5 2
第 9 题图
10．已知函数 f ( x) x 2 x 1 2 ，则 y f ( x) 的图象大致为
A 则 F1 , F2 在
B
C
D
11.已知直线 l 与双曲线 C 交于 A ， B 两点( A ， B 在同一支上), F1 , F2 为双曲线的两个焦点, A．以 A ， B 为焦点的椭圆上或线段 AB 的垂直平分线上 B．以 A ， B 为焦点的双曲线上或线段 AB 的垂直平分线上 C．以 AB 为直径的圆上或线段 AB 的垂直平分线上 D．以上说法均不正确 0) 上 的 可 导 函 数 ， 其 导 函 数 为 f ( x ) ， 且 有 12 ． 设 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 ( ，
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2
D．②③
7．已知直线 l1 : 4 x 3 y 6 0 和直线 l2 : x 1 ，抛物线 y 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是 A．
2
3 5 5
B．2
C．
11 5
D．3
8．计划将排球、篮球、乒乓球 3 个项目的比赛安排在 4 个不同的体育馆举办，每个项目的 比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过 2 个的安排方案 共有 A． 60 种 B． 42 种 C． 36 种 D． 24 种 9．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为 A． 2+
第 2 页 共 14 页 第 15 题图
.
球体）放在其上（如图） ，则鸡蛋中心（球心）与蛋托底 面的距离为 . 16．已知数列a n 中, a1 1 , a2 n n an , a 2 n 1 a n 1 , 则 a1 a 2 a3 …… a100 = . 三、解答题（本大题包括 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17． （本小题满分 12 分）
2 等于 i
C． 2 D． 2
3．已知向量 a (1, 2) , b (1, 0) , c (3, 4) ,若 为实数， (b + a ) c ，则 的值为
11 1 3 C． D． 3 2 5 x 1 4．已知命题 p ：函数 y 2 a 的图象恒过定点 (1,2) ；命题 q ：若函数 y f ( x 1) 为 偶函数，则函数 y f ( x ) 的图象关于直线 x 1 对称，则下列命题为真命题的是 A． p q B． p q C． p q D. p q 5. 运行如图所示的程序框图，若输出的 S 是 254 ，则①应为 A．n≤5 ? B．n≤6 ? C．n≤7 ? D． n≤8 ?
2014 年长春市高中毕业班第二次调研测试
数
学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间为 120 分钟，其中第Ⅱ卷 22 题—24 题为选考题，其它题为必考题。考试结束后，将试卷和答 题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域 内。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工 整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
A． B． 6．以下四个命题中： ①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 10 分钟从中抽取一 件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样； ②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 ；
第 5 题图
3 11
③在某项测量中，测量结果 服从正态分布 N (1, ) ( 0) ，若 位于区域 (0,1) 内的 概率为 0.4 ，则 位于区域 (0, 2) 内的概率为 0.8 ； ④对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2 的观测值 k 来说，k 越小，判断“ X 与 Y 有关系” 的把握越大．其中真命题的序号为 A．①④ B．②④ C．①③
2 f ( x) xf ( x) x 2 ，则不等式 ( x 2014) 2 f ( x 2014) 4 f (2) 0 的解集为 0 C． , 2016 0 A． , 2012 B． 2012， D． 2016，
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~21 题为必考题，每个试题考生都必须作 答。第 22 题~24 题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题（本大题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上）. 13. 在 △ ABC 中 ， 三 个 内 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 若 . sin 2 A sin 2C sin 2 B 3sinAsinC ,则 B = 1 14．设( x 2 ) 3 的展开式的常数项为a ，则直线 y ax 与曲线 y x 2 围成图形的面积为 x 15．用一个边长为 4 的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折 起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为 1 的鸡蛋（视为