2017级高中入学考试数学试题
安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2017-2018学年高一上学期入学考试数学试题
安徽六校教育研究会2017级高一新生入学素质测试高一数学试题一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.中国海军第一艘国产航母001A 型航母在2017年4月26日下水，该航母的飞行甲板长约300米，宽约70米，总面积约21000平方米，将21000用科学记数法表示应为（ ）A ．50.2110⨯B ．42.110⨯C ．32110⨯D ．52.110⨯2.下列整式计算的结果为6a 是（ ）A ．33a a +B ．122a a +C ．23()aD ．24()a 3.如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4.用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币“正面朝上”的概率为0.5是指（ ）A ．连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次B ．连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次C.抛掷2n 次硬币，恰好有n 次“正面朝上”D ．抛掷n 次，当n 越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.55.分式11x --可变形为（ ） A ．11x -- B ．11x + C. 11x -+ D ．11x -6.不等式12x +≥的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C.D ． 7.已知实数755+的小数部分为a ，575-的小数部分为b ，则57a b +的值为（ ） A ． 4 B ．5 C. 6 D ．78.在抛物线223y ax ax a =--上有1(0.5,)A y -、2(2,)B y 、3(3,)C y 三点，若抛物线与y 轴的交点在正半轴上，则1y 、2y 和3y 的大小关系为（ ）A ．312y y y <<B ．321y y y << C. 213y y y << D ．123y y y <<9.如图，在矩形ABCD 中，AB a =，AD b =，分别延长AB 至点E ，AD 至F ，使得()AF AE c b a c ==<<，连接EF ，交BC 于点M ，交CD 于点N ，则AMN ∆的面积为（ ）A ．1()2c a b c +-B ．1()2c b c a +- C. 1()2c a c b +- D ．1()2a b c a +- 10.挑棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走，如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走（ ）A ．②号棒B ．⑦号棒 C.⑩号棒 D ．⑧号棒二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）11.分解因式：224ax ay -= ．12.已知集合{||2|3}A x R x =∈+<，集合{|()(2)0}B x R x m x =∈--<，且(1,)AB n =-，则m = ，n = ．13.如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，以点A 为圆心，AB 长为半径画圆弧交边DC 于点E ，则BE 的长度为 ．14.如图，,AD AE 分别是ABC ∆的中线和交平分线，2AC =，5AB =，过点C 作CF AE ⊥于F ，连接DF ，有下列结论：①若将ACF ∆沿直线AE 折叠，则点C 恰好落在AB 上；②327AD <<；③若30B ∠=，15FCE ∠=，则55ACB ∠=；④若ABC ∆的面积为S ，则DFC ∆的面积为320S ． 其中正确的结论是 ．（把所有正确结论的序号都选上）三、解答题 （本大题共4小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.计算：01112cos 45(1)()42π--++. 16.已知函数2()426f x x ax a =+++.（1）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，求a 的值；（2）若函数()f x 的函数值均为非负数，求()2|3|g a a a =-+的值域.17. 如图，在平面直角坐标系中，已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(1,1)A -，(3,1)B -，(1,4)C -.（1）画出ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆；（2）将ABC ∆绕着点B 顺时针旋转90后得到22A BC ∆，请在图中画出22A BC ∆，并求出线段BC 旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）.18. 如图，在楼房AB 和塔CD 之间有一棵树EF ，从楼顶A 处经过树顶E 点恰好看到塔的底部D 点，且俯角α为45，从距离楼底B 点1米的P 点处经过树顶E 点恰好看到塔的顶部C 点，且仰角β为30，已知树高6EF =米，求塔CD 的高度.（结果保留根号）四、（本大题共2小题，每题6分，满分12分）19.在反比例函数6(0)y x x =>的函数图像上有点1231,,,,,n n P P P P P +，过点1231,,,,,n n P P P P P +分别作x 轴，y 轴的垂线段，构成若干个矩形，将图形中阴影部分面积从左至右依次记为123,,,,n S S S S .（1）若点1234,,,P P P P 的横坐标依次为1,2,3,4，则1S = ，2S = ，3S = ；（2）若点1231,,,,,n n P P P P P +的横坐标依次为2,4,6，…，则9S = ； 若点1231,,,,,n n P P P P P +的横坐标依次为,2,3,a a a ，则n S = .20.如图，圆O 与直线l 相离，OA l ⊥于点A ，OA 交圆O 于点C ，过点A 作圆O 的切线AB ，切点为B ，连接BC 交直线l 于点D .（1）求证：AB AD =；（2）若tan 2OCB ∠=，圆O 的半径为3，求BD 的长.五、（本大题共1小题，每题10分，满分10分）21.已知抛物线21222y x mx m =+--与x 轴交于,A B 两点，点A 在点B 的左边，与y 轴交于点C . （1）当1m =时，求点A 和点B 的坐标；（2）抛物线上有一点(1,)D n -，若ACD ∆的面积为5，求m 的值；（3）P 为抛物线上,A B 之间一点（不包含,A B ），PM x ⊥轴于点M ，求AM BM PM•的值. 六、（本大题共1小题，每题12分，满分12分）22.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知8AB =.问题思考：如图1，点P 为线段AB 上的一个动点，分别以,AP BP 为边在同侧作正方形APDC 与正方形PBFE .（1）在点P 运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果是请求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值.（2）分别连接,,AD DF AF ，AF 交DP 于点K ，当点P 运动时，在APK ∆、ADK ∆、DFK ∆中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.问题拓展：（3）如图2，以AB 为边作正方形ABCD ，动点,P Q 在正方形ABCD 的边上运动，且8PQ =，若点P 从点A 出发，沿A B C D →→→的线路，向D 点运动，求点P 从A 到D 的运动过程中，PQ 的中点O 所经过的路径的长.（4）如图3，在“问题思考”中，若点,M N 是线段AB 上的两点，且1AM BM ==，点,G H 分别是边,CD EF 的中点，请直接写出点P 从M 到N 的运动过程中，GH 的中点O 所经过的路径的长及OM OB +的最小值.安徽六校教育研究会2017级高一新生入学素质测试高一数学试题答案一、选择题1-5 B C A D D 6-10 D B A A C二、填空题11. )2)(2(y x y x a -+ 12.－1,1 13.π32 14. ①②④ 三、计算15.223+ 16.（1）－1或1.5 （2） g （a ）的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,419- 17.（1）略 （2）π413 18. 米)326(+ 四、 19.（1）3 121 （2） 151 （3） )1(6+n n 20.（1）证明：连接OB ，∵AB 是圆O 的切线，OA l ⊥，∴90OBA OAD ∠=∠=，又OB OC =，∴OBC COB ACD ∠=∠=∠，∴ADB ABD ∠=∠，∴AB AD =（2）∵tan tan 2AD OCB ACD AC ∠=∠==， 圆O 的半径为3，设AC a =，则2AB AD a ==，在Rt AOB ∆中，222OA AB OB =+，∴222(3)(2)3a a +=+，∴2a =过点A 作AE BD ⊥，则5BD BE ==，∴BD = 五、（1）∵m ＝1，∴ y ＝12x 2＋x －4． 当y ＝0时，12x 2＋x －4＝0， 解之，得x 1＝﹣4，x 2＝2．∴A （﹣4，0），B （2，0）；（2）过点D 作DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ．当y ＝0时，12x 2＋mx －2m －2＝0， ∴(x －2)(x ＋2m ＋2)＝0，x 1＝2，x 2＝﹣2m －2．∴点A 的坐标为：（﹣2m －2，0），C （0，﹣2m －2）．∴OA ＝OC ＝2m ＋2，∴∠OAC ＝45°．∵D （﹣1，n ），∴OE ＝1，∴AE ＝EF ＝2m ＋1．又∵n ＝﹣3m －32， ∴DE ＝3m ＋32， ∴DF ＝3m ＋32－(2m ＋1)＝m ＋12． 又∵S △ACD ＝12DF ·AO ． ∴12(m ＋12)(2m ＋2)＝5． 2m 2＋3m －9＝0，(2m －3)(m ＋3)＝0，（3）点A 的坐标为：（﹣2m －2，0），点B 的坐标为：（2，0）．设点P 的坐标为（p ，q ）．则AM ＝p ＋2m ＋2，BM ＝2－p ．AM ·BM ＝(p ＋2m ＋2)( 2－p )＝﹣p 2－2mp ＋4m ＋4．PM ＝﹣q ．因为，点P 在抛物线上，所以，q ＝12p 2＋mp －2m －2． 所以，AM ·BM ＝2 PM ．即，AM ·BM PM ＝2． 六、21.（1）不是定值，最小值32（2）存在设AP a =，则8PB BF a ==-，∵//PE BF ， ∴PK AP BF AB =，即88PK a a =-， ∴(8)8a a PK -=， ∴2(8)88a a a DK PD PK a -=-=-= ∴21(8)216APK a a S PK PA ∆-=•=，21(8)216DFK a a S DK EF ∆-=•=， ∴DFK APK S S ∆∆=（3）当点P 从点A 出发，沿A B C D →→→的线路，向点D 运动时，不妨设点Q 在DA 边上， 若点P 在点A ，点Q 在点D ，此时PQ 的中点O 即为DA 边的中点，若点Q 在DA 边上，且不在点D ，则点P 在AB 上，且不在点A ，此时，在Rt APQ ∆中，O 为PQ 的中点，所以142AO PQ ==， 所以点O 在以A 为圆心，半径为4，圆心角为90的圆弧上，PQ 的中点O 所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90的圆弧，如图所示，所以PQ 的中点O 所经过的路径的长为32464ππ⨯⨯=， （4）点O 所经过的路径的长为3，OM OB +113安徽六校教育研究会2017级高一新生入学素质测试高一数学试题答案一、选择题1-5 B C A D D 6-10 D B A A C三、填空题12. )2)(2(y x y x a -+ 12.－1,1 13.π32 14. ①②④ 四、计算 16.223+ 16.（1）－1或1.5 （2） g （a ）的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,419- 17.（1）略 （2）π413 18. 米)326(+ 四、 22.（1）3 121 （2） 151 （3） )1(6+n n 23.（1）略 （2）5516 五、（1）∵m ＝1，∴ y ＝12 x 2＋x －4． 当y ＝0时，12x 2＋x －4＝0，解之，得x 1＝﹣4，x 2＝2．∴A （﹣4，0），B （2，0）；……………………………3分（2）过点D 作DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ．当y ＝0时，12x 2＋mx －2m －2＝0， ∴(x －2)(x ＋2m ＋2)＝0，x 1＝2，x 2＝﹣2m －2．∴点A 的坐标为：（﹣2m －2，0），C （0，﹣2m －2）．……………………………4分 ∴OA ＝OC ＝2m ＋2，∴∠OAC ＝45°．∵D （﹣1，n ），∴OE ＝1，∴AE ＝EF ＝2m ＋1．又∵n ＝﹣3m －32， ∴DE ＝3m ＋32， ∴DF ＝3m ＋32－(2m ＋1)＝m ＋12．……………………………6分 又∵S △ACD ＝12DF ·AO ． ∴12(m ＋12)(2m ＋2)＝5． 2m 2＋3m －9＝0，(2m －3)(m ＋3)＝0，分（3）点A 的坐标为：（﹣2m －2，0），点B 的坐标为：（2，0）．设点P 的坐标为（p ，q ）．则AM ＝p ＋2m ＋2，BM ＝2－p ．AM ·BM ＝(p ＋2m ＋2)( 2－p )＝﹣p 2－2mp ＋4m ＋4．……………………………10分 PM ＝﹣q ．因为，点P 在抛物线上，所以，q ＝12 p 2＋mp －2m －2．所以，AM ·BM ＝2 PM ．即，AM ·BM PM ＝2．……………………………12分 六、24.（1）不是定值，最小值32（2）存在DFK APK DFK APK S S a a EF DK S a a PA PK S a a a a PK PD DK a a PK a a PK AB AP BF PK BFPE aBF PB a AP ∆∆∆∆=∴-=⋅=-=⋅=∴=--=-=∴-=∴=-=∴-===16)8(21,16)8(2188)8(8)8(888222，即，则设。
2017年呼和浩特高中招生考试数学试卷
2017年呼和浩特市中考试卷数学试题（含答案全解全析）第Ⅰ卷(选择题,共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.我市冬季里某一天的最低气温是-10℃,最高气温是5℃,这一天的温差为()A.-5℃B.5℃C.10℃D.15℃2.中国的陆地面积约为9600000km2,将这个数用科学记数法可表示为()A.0.96×107km2B.960×104km2C.9.6×106km2D.9.6×105km23.下图中序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形,都是△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的,其中是通过轴对称得到的是()A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)4.如图是根据某市2010年至2014年工业生产总值绘制的折线统计图,观察统计图获得以下信息,其中信息判断错误的是()A.2010年至2014年间工业生产总值逐年增加B.2014年的工业生产总值比前一年增加了40亿元C.2012年与2013年每一年与前一年比,其增长额相同D.从2011年至2014年,每一年与前一年比,2014年的增长率最大5.关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为()A.2B.0C.1D.2或06.一次函数y=kx+b满足kb>0,且y随x的增大而减小,则此函数的图象不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M.若AB=12,OM∶MD=5∶8,则☉O的周长为()A.26πB.13πC.D.8.下列运算正确的是()A.(a2+2b2)-2(-a2+b2)=3a2+b2B.-a-1=C.(-a)3m÷a m=(-1)m a2mD.6x2-5x-1=(2x-1)(3x-1)9.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,E,F为BD所在直线上的两点.若AE=,∠EAF=135°,则以下结论正确的是()A.DE=1B.tan∠AFO=C.AF=D.四边形AFCE的面积为10.函数y=的大致图象是()第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)11.使式子有意义的x的取值范围为.12.如图,AB∥CD,AE平分∠CAB交CD于点E.若∠C=48°,则∠AED为°.13.下图是某几何体的三视图,根据图中数据,求得该几何体的表面积为.14.下面三个命题:①若是方程组的解,则a+b=1或a+b=0;②函数y=-2x2+4x+1通过配方可化为y=-2(x-1)2+3;③最小角等于50°的三角形是锐角三角形.其中正确命题的序号为.15.如图,在▱ABCD中,∠B=30°,AB=AC,O是两条对角线的交点,过点O作AC的垂线分别交边AD,BC于点E,F;点M是边AB的一个三等分点.则△AOE与△BMF的面积比为.16.我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”计算圆周率.随着时代发展,现在人们依据频率估计概率这一原理,常用随机模拟的方法对圆周率π进行估计.用计算机随机产生m个有序数对(x,y)(x,y是实数,且0≤x≤1,0≤y≤1),它们对应的点在平面直角坐标系中全部在某一个正方形的边界及其内部,如果统计出这些点中到原点的距离小于或等于1的点有n个,则据此可估计π的值为.(用含m,n的式子表示)三、解答题(本大题共9小题,满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(1)(5分)计算:|2-|-+;(2)(5分)先化简,再求值:÷+,其中x=-.18.(6分)如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线.(1)求证:BD=CE;(2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当△ABC的重心到顶点A 的距离与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.19.(10分)为了解某地某个季度的气温情况,用适当的抽样方法从该地这个季度中抽取30天,对每天的最高气温x(单位:℃)进行调查,并将所得的数据按照12≤x<16,16≤x<20,20≤x<24,24≤x<28,28≤x<32分成五组,得到下面的频数分布直方图.(1)求这30天最高气温的平均数和中位数(各组的实际数据用该组的组中值代表);(2)每月按30天计算,各组的实际数据用该组的组中值代表,估计该地这个季度中最高气温超过(1)中平均数的天数;(3)如果从最高气温不低于24℃的两组内随机选取两天,请你直接写出这两天都在气温最高一组内的频率.20.(7分)某专卖店有A,B两种商品.已知在打折前,买60件A商品和30件B商品用了1080元,买50件A商品和10件B商品用了840元;A,B两种商品打相同折以后,某人买500件A 商品和450件B商品一共比不打折少花1960元,计算打了多少折.21.(6分)已知关于x的不等式>x-1.(1)当m=1时,求该不等式的解集;(2)m取何值时,该不等式有解?并求出解集.22.(7分)如图,地面上小山的两侧有A,B两地,为了测量A,B两地的距离,让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向,以每分钟40m的速度直线飞行,10分钟后到达C处,此时热气球上的人测得CB与AB成70°角,请你用测得的数据求A,B两地的距离AB长.(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可)23.(7分)已知反比例函数y=(k为常数).(1)若点P1和点P2是该反比例函数图象上的两点,试利用反比例函数的性质比较y1和y2的大小;(2)设点P(m,n)(m>0)是其图象上的一点,过点P作PM⊥x轴于点M,若tan∠POM=2,PO=(O为坐标原点),求k的值,并直接写出不等式kx+>0的解集.24.(9分)如图,点A,B,C,D是直径为AB的☉O上的四个点,C是劣弧的中点,AC与BD交于点E.(1)求证:DC2=CE·AC;(2)若AE=2,EC=1,求证:△AOD是正三角形;(3)在(2)的条件下,过点C作☉O的切线,交AB的延长线于点H,求△ACH的面积.25.(10分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C,其顶点记为M,自变量x=-1和x=5对应的函数值相等.若点M在直线l:y=-12x+16上,点(3,-4)在抛物线上.(1)求该抛物线的解析式;(2)设y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P,在x轴上有一点A,试比较锐角∠PCO与∠ACO的大小(不必证明),并写出相应的P点横坐标x的取值范围;(3)直线l与抛物线另一交点记为B,Q为线段BM上一动点(点Q不与M重合).设Q点坐标为(t,n),过Q作QH⊥x轴于点H,将以点Q,H,O,C为顶点的四边形的面积S表示为t的函数,标出自变量t的取值范围,并求出S可能取得的最大值.答案全解全析：一、选择题1.D5-(-10)=15(℃).2.C用科学记数法写成a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,故9600000km2=9.6×106 km2,故选C.3.A根据轴对称的性质可知,序号(1)对应的三角形与△ABC的对应点所连的线段被一条直线(对称轴)垂直平分,故选A.4.D2012年比2011年增长了40-20=20亿元,增长率为100%;2013年比2012年增长了60-40=20亿元,增长率为50%;2014年比2013年增长了100-60=40亿元,增长率约为67%,故从2011年至2014年,每一年与前一年比,2012年的增长率最大.故选D.5.B由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=-(a2-2a),又互为相反数的两数之和为0,∴-(a2-2a)=0,解得a=0或2.当a=2时,原方程为x2+1=0,无解;当a=0时,原方程为x2-1=0,符合题意,故a=0.6.A由“y随x的增大而减小”可知k<0,又kb>0,所以b<0,所以函数y=kx+b的图象过第二、三、四象限.故选A.7.B连接OA,设OM=5x(x>0),则MD=8x,∴OA=OD=13x,又∵AB=12,AB⊥CD,∴AM=6.在Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=(舍负),∴半径OA=,∴☉O的周长为13π.8.C(a2+2b2)-2(-a2+b2)=a2+2b2+2a2-2b2=3a2,故A错误;-a-1==,故B错误;6x2-5x+1=(2x-1)(3x-1),故D错误,故选C.9.C∵四边形ABCD是边长为1的正方形,∴对角线AC、BD互相垂直平分且相等,∴AO=OD=,在Rt△AOE中,OE==,∴DE=OE-OD=,∴A选项错误;易知∠ADO=45°,∴∠ADE=135°,∴∠ADE=∠EAF,又∠AED=∠FEA,∴△DAE∽△AFE,∴===,∴AF=,∴C选项正确;在Rt△AOF中,OF==,∴tan∠AFO==,∴B选项错误;∵EF=OF+OE=,∴四边形AFCE的面积=EF·AC=××=,∴D选项错误.故选C.10.B由解析式可知,当x取互为相反数的两个数(x≠0)时,y的值相等,所以函数的图象关于y 轴对称,故排除D选项;当x无限接近于0时,y的值接近于+∞,故排除A选项;当x=1时,y取最小值,最小值为2,故排除C选项.故选B.二、填空题11.答案x<解析由题意可得1-2x>0,解得x<.12.答案114解析∵AB∥CD,∠C=48°,∴∠CAB=132°.又∵AE平分∠CAB,∴∠CAE=∠BAE=∠CAB=66°,∴∠AED=∠C+∠CAE=114°.13.答案(225+25)π解析该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的几何体,圆柱和圆锥的底面相同,且底面半径为5,圆柱的高为20,圆锥的高为5,∴该几何体的表面积=π×52+10π×20+π×5×5=(225+25)π.14.答案②③解析由已知可得当a=2时,b=1,当a=-2时,b=-7,∴a+b=3或a+b=-9,故①错误;y=-2x2+4x+1=-2x2+4x-2+3=-2(x-1)2+3,故②正确;由三角形的内角和为180°及最小角等于50°可知,最大角不超过80°,故③正确.15.答案3∶4解析如图,过点M作MP⊥BC于点P,过点A作AQ⊥BC于点Q,∵在平行四边形ABCD中,O是两条对角线的交点,∴△AOE≌△COF.∵∠B=30°,AB=AC,∴∠ACB=∠B=30°.∵AC⊥EF,∴在Rt△OFC中,设OF=x,则OC=x,FC=2x.∴S△AOE=S△OFC=OF·OC=x2.∵AB=AC=2OC=2x,∴在Rt△ABQ中,BQ=3x,∴BC=6x.∴BF=4x.∵点M是边AB的一个三等分点,∴MB=x.∴在Rt△BMP中,MP=MB=x,∴S△BMF=BF·MP=x2.∴S△AOE∶S△BMF=3∶4.16.答案解析如图所示,易知n与m的比等于扇形面积与正方形面积之比,即=,故可估计π的值为.三、解答题17.解析(1)|2-|-+=-2-++=2-1.(2)÷+=·+=+=,当x=-时,原式==-.18.解析(1)证明:∵AB,AC是等腰△ABC的两腰,∴AB=AC,∵BD,CE是中线,∴AD=AC,AE=AB,∴AD=AE,又∵∠A=∠A,∴△ABD≌△ACE,∴BD=CE.(2)四边形DEMN为正方形.提示:由MN、DE分别是△OBC、△ABC的中位线可得四边形DEMN是平行四边形,由(1)知BD=CE,故可证OE=OD,从而四边形DEMN是矩形,再由△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等可知四边形DEMN为正方形.19.解析(1)这30天最高气温的平均数为=20.4(℃),中位数为22℃.(2)×90=48(天),∴估计该地这个季度中最高气温超过20.4℃的天数为48.(3)P==.20.解析设打折前A商品和B商品的单价分别为x元,y元,据题意得解得500×16+450×4=9800(元),=0.8.答:打了八折.21.解析(1)当m=1时,>-1,2-x>x-2,2x<4,∴x<2.(2)>x-1,2m-mx>x-2,(m+1)x<2(m+1),当m≠-1时,不等式有解.当m>-1时,原不等式的解集为x<2;当m<-1时,原不等式的解集为x>2.22.解析如图,过点C作CM⊥AB交AB的延长线于点M,由题意得AC=40×10=400m,在Rt△ACM中,∵∠A=30°,∴CM=AC=200m,AM=AC=200m,在Rt△BCM中,∵tan20°=,∴BM=(200tan20°)m,∴AB=AM-BM=200-200tan20°=200(-tan20°)m.因此,A,B两地的距离AB长为200(-tan20°)m.23.解析(1)∵-k2-1<0,∴反比例函数y=在每个象限内y随x的增大而增大,又∵-<<0,∴y1>y2.(2)∵点P(m,n)在反比例函数y=的图象上,且m>0,∴n<0,∴OM=m,PM=-n,∵tan∠POM=2,∴==2,∴n=-2m,又∵PO=,∴m2+n2=5,∴m=1,n=-2,∴点P的坐标为(1,-2),∴-k2-1=-2,解得k=±1.①当k=-1时,不等式kx+>0的解集为x<-或0<x<;②当k=1时,不等式kx+>0的解集为x>0.24.解析(1)证明:∵C是劣弧的中点,∴∠DAC=∠CDB,又∵∠ACD=∠DCE,∴△ACD∽△DCE,∴=,∴DC2=CE·AC.(2)证明:∵AE=2,CE=1,∴AC=3,∴DC2=3,∴DC=,如图,连接OC,∵C是劣弧的中点,∴OC平分∠DOB,∴BC=DC=,∵AB是☉O的直径,∴AB==2,∴OB=OC=OD=,∴∠BOD=120°,∴∠DOA=60°,又∵OA=OD,∴△AOD是正三角形.(3)∵CH是☉O的切线,∴OC⊥CH,∵∠COH=60°,∴∠H=30°,∠CAB=30°,∴CH=AC=3,∴S△ACH=×3×=.25.解析(1)∵x=-1和x=5对应的函数值相等,∴抛物线的对称轴为直线x=2,设顶点M的坐标为(2,p),则p=-12×2+16=-8,∴M(2,-8).由题意得解得∴抛物线的解析式为y=4x2-16x+8.(2)由(1)知M(2,-8),易知C(0,8).当x=时,∠PCO=∠ACO;当2+<x<时,∠PCO<∠ACO;当<x<4时,∠PCO>∠ACO.(3)由解得或∴B点的坐标为(-1,28).∵Q为线段BM上一动点,且不与M重合,∴Q(t,-12t+16)(-1≤t<2).①当-1≤t<0时,S=(-t)(-12t+16-8)+8(-t)=6t2-12t=6(t-1)2-6,∵-1≤t<0,∴当t=-1时,S最大,且S max=18.②当0<t<时,S=t·8+t(-12t+16)=-6t2+12t=-6(t-1)2+6,∵0<t<,∴当t=1时,S最大,且S max=6.③当<t<2时,S=t·8+t(12t-16)=6t2-4t=6-,∵<t<2,∴此时S无最大值.。
2017年哈尔滨高中招生考试数学试卷
哈尔滨市2017年初中升学考试数学试题（含答案全解全析）第Ⅰ卷(选择题,共30分)一、选择题(每小题3分,共计30分)1.-7的倒数是()A.7B.-7C.D.-2.下列运算正确的是()A.a6÷a3=a2B.2a3+3a3=5a6C.(-a3)2=a6D.(a+b)2=a2+b23.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()4.抛物线y=--3的顶点坐标是()A. B. C. D.5.五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,其左视图是()6.方程=的解为()A.x=3B.x=4C.x=5D.x=-57.如图,☉O中,弦AB、CD相交于点P,∠A=42°,∠APD=77°,则∠B的大小是()A.43°B.35°C.34°D.44°8.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,则cos B的值为()A. B. C. D.9.如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DE∥BC,点F为BC边上一点,连接AF 交DE于点G.则下列结论中一定正确的是()A.=B.=C.=D.=10.周日,小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报,看了一段时间后,他按原路返回家中.小涛离家的距离y(单位:m)与他所用的时间t(单位:min)之间的函数关系如图所示.下列说法中正确的是()A.小涛家离报亭的距离是900mB.小涛从家去报亭的平均速度是60m/minC.小涛从报亭返回家中的平均速度是80m/minD.小涛在报亭看报用了15min第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(每小题3分,共计30分)11.将57600000用科学记数法表示为.12.函数y=中,自变量x的取值范围是.13.把多项式4ax2-9ay2分解因式的结果是.14.计算-6的结果是.15.已知反比例函数y=的图象经过点(1,2),则k的值为.16.不等式组的解集是.17.一个不透明的袋子中装有17个小球,其中6个红球、11个绿球,这些小球除颜色外无其他差别,从袋子中随机摸出一个小球,则摸出的小球是红球的概率为.18.已知扇形的弧长为4π,半径为48,则此扇形的圆心角为度.19.四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=6,对角线AC与BD相交于点O,点E在AC上,若OE=,则CE的长为.20.如图,在矩形ABCD中,M为BC边上一点,连接AM,过点D作DE⊥AM,垂足为E,若DE=DC=1,AE=2EM,则BM的长为.三、解答题(其中21~22题各7分,23~24题各8分,25~27题各10分,共计60分)21.(本题7分)先化简,再求代数式÷-的值,其中x=4sin60°-2.22.(本题7分)如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上.(1)在图中画出以AB为底、面积为12的等腰△ABC,且点C在小正方形的顶点上;(2)在图中画出平行四边形ABDE,且点D和点E均在小正方形的顶点上,tan∠EAB=.连接CD,请直接写出线段CD的长.23.(本题8分)随着社会经济的发展和城市周边交通状况的改善,旅游已成为人们的一种生活时尚.洪祥中学开展以“我最喜欢的风景区”为主题的调查活动,围绕“在松峰山、太阳岛、二龙山和凤凰山四个风景区中,你最喜欢哪一个(必选且只选一个)”的问题,在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图.请你根据图中提供的信息回答下列问题:(1)本次调查共抽取了多少名学生?(2)通过计算补全条形统计图;(3)若洪祥中学共有1350名学生,请你估计最喜欢太阳岛风景区的学生有多少名.24.(本题8分)已知:△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,连接AE、BD交于点O.AE 与DC交于点M,BD与AC交于点N.(1)如图1,求证:AE=BD;(2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形.图1图2威丽商场销售A,B两种商品,售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元;售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元.(1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元;(2)由于需求量大,A、B两种商品很快售完,威丽商场决定再一次购进A、B两种商品共34件,如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元,那么威丽商场至少需购进多少件A 种商品?已知:AB是☉O的弦,点C是的中点,连接OB、OC,OC交AB于点D.(1)如图1,求证:AD=BD;(2)如图2,过点B作☉O的切线交OC的延长线于点M,点P是上一点,连接AP、BP,求证:∠APB-∠OMB=90°;(3)如图3,在(2)的条件下,连接DP、MP,延长MP交☉O于点Q,若MQ=6DP,sin∠ABO=,求的值.图1图2图3如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,直线y=x-3经过B、C两点.(1)求抛物线的解析式;(2)过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D,点P是直线CD下方抛物线上的一个动点,且在抛物线对称轴的右侧,过点P作PE⊥x轴于点E,PE交CD于点F,交BC于点M,连接AC,过点M作MN⊥AC于点N,设点P的横坐标为t,线段MN的长为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);(3)在(2)的条件下,连接PC,过点B作BQ⊥PC于点Q(点Q在线段PC上),BQ交CD于点T,连接OQ交CD于点S,当ST=TD时,求线段MN的长.备用图答案全解全析：一、选择题1.D因为-7×=1,所以-7的倒数为-,故选D.2.C a6÷a3=a6-3=a3,选项A错误;2a3+3a3=5a3,选项B错误;(-a3)2=a6,选项C正确;(a+b)2=a2+2ab+b2,选项D错误,故选C.3.D选项A、B中的图形是轴对称图形,不是中心对称图形;选项C中的图形是中心对称图形,不是轴对称图形;选项D中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形,故选D.4.B∵抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h,k),∴抛物线y=--3的顶点坐标为.故选B.5.C由左视图的定义知选C.6.C方程两边同时乘(x+3)(x-1),得2(x-1)=x+3,解得x=5,经检验,x=5是原分式方程的解.故选C.7.B由三角形外角的性质可得∠C=∠APD-∠A=77°-42°=35°,∵∠B与∠C所对的弧均为,∴∠B=∠C=35°.故选B.8.A由勾股定理可得BC=,所以cos B==.故选A.9.C根据平行线分线段成比例定理可知=,=,=,=,所以选项A、B、D错误,选项C正确.故选C.10.D从题图可以看出0~15min小涛与家的距离随着时间的增大而增大,且在15min时达到最大值1200,所以小涛家离报亭的距离是1200m,选项A错误.在0~15min内小涛的速度是1200÷15=80(m/min),选项B错误.15min后的一段时间内,小涛与家的距离没有变,说明小涛在看报.之后的某一时间点后,小涛与家的距离变小,说明小涛开始返回家,该时间点未知.但已知35~50min内小涛步行了900 m,所以小涛返回家的速度是900÷15=60(m/min),选项C错误.报亭与家的距离是1200m,返回家的速度是60m/min,所以看完报纸后小涛需1200÷60=20 min到家,从题图可知小涛50min时到家,所以小涛在离家30min后开始返回家,在报亭看报用了30-15=15(min),选项D正确.故选D.二、填空题11.答案 5.76×107解析科学记数法是把一个数记作a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.57600000=5.76×107.12.答案x≠2解析由题意知x-2≠0,解得x≠2.13.答案a(2x+3y)(2x-3y)解析原式=a(4x2-9y2)=a[(2x)2-(3y)2]=a(2x+3y)·(2x-3y).14.答案解析-6=3-6×=3-2=.15.答案1解析∵图象过点(1,2),∴3k-1=xy=2,∴k=1.16.答案2≤x<3解析两个不等式的解集分别是x≥2,x<3,所以不等式组的解集为2≤x<3.17.答案解析摸到球的情况一共有17种,摸到红球的情况有6种,所以P(摸出的小球是红球)=.18.答案15解析根据弧长=得4π=,解得n=15.19.答案2或4解析根据菱形的性质可得∠BAO=30°,AC⊥BD,OA=OC.由AB=6可得OA=OC=3,当E在OA上时,CE=OC+OE=3+=4,当E在OC上时,CE=OC-OE=3-=2.综上,CE的长为4或2.20.答案解析∵∠BAM+∠EAD=90°,∠EAD+∠EDA=90°,∴∠BAM=∠EDA.又∵∠B=∠AED=90°,∴△ADE∽△MAB.∴=,即=.∴AE=BM.由AE=2EM可设AE=2x,EM=x(x>0),则BM=2x,在Rt△ABM中,由勾股定理可知(2x+x)2=12+(2x)2,解得x=(舍负),∴BM=2x=.三、解答题21.解析原式=÷-=·-=-=-.∵x=4sin60°-2=4×-2=2-2,∴原式=-=-=-.22.解析(1)正确画图.(2)正确画图.CD=.23.解析(1)10÷20%=50(名).∴本次调查共抽取了50名学生. (2)50-10-20-12=8(名).∴最喜欢二龙山风景区的学生有8名.补全条形统计图,如图所示.(3)1350×=540(名).∴估计最喜欢太阳岛风景区的学生有540名.24.解析(1)证明:∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,∴AC=BC,DC=EC,∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE,∴△ACE≌△BCD,∴AE=BD.(2)△ACB≌△DCE,△AON≌△DOM,△AOB≌△DOE,△NCB≌△MCE.25.解析(1)设每件A种商品售出后所得利润为x元,每件B种商品售出后所得利润为y元.根据题意,得解得∴每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为200元和100元.(2)设威丽商场需购进a件A种商品,则购进B种商品(34-a)件.根据题意,得200a+100(34-a)≥4000,解得a≥6.∴威丽商场至少需购进6件A种商品.26.解析(1)证明:如图,连接OA,∵C是的中点,∴=,∴∠AOC=∠BOC,∵OA=OB,∴OD⊥AB,AD=BD.(2)证明:如图,延长BO交☉O于点T,连接PT,∵BT是☉O的直径,∴∠BPT=90°,∴∠APT=∠APB-∠BPT=∠APB-90°,∵BM是☉O的切线,∴OB⊥BM,∴∠ABO+∠MBA=90°,又由(1)得,∠OMB+∠MBA=90°,∴∠ABO=∠OMB,又∠ABO=∠APT,∴∠OMB=∠APT,∴∠APB-90°=∠OMB,即∠APB-∠OMB=90°.(3)解法一:如图,连接MA,∵MO垂直平分AB,∴MA=MB,∴∠MAB=∠MBA,作∠PMG=∠AMB,在射线MG上截取MN=MP,连接PN、BN.则∠AMP=∠BMN,∴△APM≌△BNM,∴MP=MN,AP=BN,∠MAP=∠MBN,延长PD至点K,使DK=DP,连接AK、BK.则四边形APBK是平行四边形,∴AP=BK,AP∥BK,∴∠PAB=∠ABK,∠APB+∠PBK=180°,由(2)得∠APB-(90°-∠MBA)=90°,∴∠APB+∠MBA=180°,∴∠PBK=∠MBA,∴∠MBP=∠ABK=∠PAB,∵∠MAP+∠PAB=∠MBP+∠PBA,∴∠MAP=∠PBA=∠MBN,∴∠NBP=∠KBP,又PB=PB,BN=AP=BK,∴△PBN≌△PBK,∴PN=PK=2DP,过点M作MH⊥PN于点H,∴PN=2PH,∴PH=DP,∠PMH=∠OMB=∠ABO,∵sin∠PMH=,sin∠ABO=,∴=.∴=,设DP=3a,则MP=5a,∴MQ=6DP=18a,∴=.解法二:如图,连接OP,∵MB是☉O的切线,∴∠OBM=90°,由(1)得OD⊥AB,∴∠OMB+∠DBM=90°,又∠DBO+∠DBM=90°,∴∠DBO=∠OMB.∴sin∠OMB=sin∠ABO=,即==,∵P、B是☉O上的点,∴OP=OB,∴==.在△ODP和△OPM中,=,∠DOP=∠POM,∴△ODP∽△OPM,∴==,设DP=3a,则MP=5a,MQ=6DP=18a,∴=. 27.解析(1)由题意得B(3,0),C(0,-3),∵抛物线y=x2+bx+c经过B(3,0),C(0,-3),∴解得∴y=x2-2x-3.(2)如图,y=x2-2x-3,当y=0时,x2-2x-3=0,∴x1=-1,x2=3,∴A(-1,0),∴OA=1,OB=OC=3,∴∠ABC=45°,AC=,AB=4,∵PE⊥x轴,∴∠EMB=∠EBM=45°,∵点P的横坐标为t,∴EM=EB=3-t,连接AM,∵S△ABC=S△AMC+S△AMB,∴AB·OC=AC·MN+AB·EM.∴×4×3=×d+×4(3-t),∴d=t.(3)如图,∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴抛物线的对称轴为x=1,由抛物线的对称性可得D(2,-3).∴CD=2,过点B作BK⊥CD交直线CD于点K,∴四边形OCKB为正方形,∴∠OBK=90°,CK=OB=BK=3,∴DK=1,∵BQ⊥CP,∴∠CQB=90°,过点O作OH⊥PC交PC的延长线于点H,作OR⊥BQ交BQ于点I,交BK于点R.∴∠OHC=∠OIQ=∠CQB=90°,∴四边形OHQI为矩形,∵∠OCQ+∠OBQ=180°,∠OCH+∠OCQ=180°,∴∠OBQ=∠OCH,∴△OHC≌△OIB,∴OH=OI.∴四边形OHQI为正方形,∴∠QOI=45°,延长KB至点G使BG=CS,连接OG、SR,∴△OBG≌△OCS,∴OG=OS,∠GOB=∠SOC,∴∠SOG=90°,∴∠GOR=45°,又OR=OR,∴△OSR≌△OGR,∴SR=GR.∴SR=CS+BR,∵∠BOR+∠OB I=90°,∠OBI+∠TBK=90°,∴∠BOR=∠TBK,∴tan∠BOR=tan∠TBK,∴=,∴BR=TK,∵∠CTQ=∠BTK,∴∠QCT=∠TBK,∴tan∠QCT=tan∠TBK,设ST=TD=m,∴SK=2m+1,CS=2-2m,TK=m+1=BR,SR=GR=3-m,RK=2-m,在Rt△SKR中,∵SK2+RK2=SR2,∴(2m+1)2+(2-m)2=(3-m)2,∴m1=-2(舍去),m2=,∴ST=TD=,TK=.∴tan∠TBK==÷3=,∴tan∠PCD=,∵CF=OE=t,∴PF=t,∴PE=t+3,∴P,∴-t-3=t2-2t-3,∴t1=0(舍去),t2=,∴MN=d=t=×=.。
2017年普通高中招生考试数学试卷1
第17题图第18题图
18．在直角坐标系中，正方形 、 、…、 按如图所示的方式放置，其中点 …、 均在一次函数 的图象上，点 …、 均在x轴上．若点 的坐标为（1，1），点 的坐标为（3，2），则点A4的坐标为_________.
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= (∠ACB+∠ACG)= ×180°=90°
∴四边形AECF是平行矩形；……………8分
（3）添加∠ACB=90°………………10分
27．解：(1)、∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90° 即AD是底边BC上的高．
又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴D是BC的中点………3分
22．（8分）如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离OA=75厘米．展开小桌板使桌面保持水平，此时CB⊥AO，∠AOB=∠ACB=37°，且支架长OB与BC的长度之和等于OA的长度．
（1）求∠CBO的度数；
（2）求小桌板桌面的宽度BC．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
21．解：（1）因为方程有两个不相等的实数根，所以根的判别式△=b2-4ac=（-4）2-4（k-2）×2=16-8k+16=32-8k>0,解得：k<4,因为是一元二次方程，所以k-2≠0,解得：k≠2,综上所述，k的取值范围是k<4且k≠2；……………4分
（2）k取符合条件的最大整数是3，代入含有k的方程得：x2-4x+3=0,即（x-3）(x-1)=0,解得：x1=3,x2=1,当x=3时，9+3m-1=0,解得：m= .当x=1时，1+m-1=0,解得：m=0.故m=0或 ………………8分
2017年武汉高中招生考试数学试卷
2017年武汉市初中毕业生学业考试数学试题（含答案全解全析）第Ⅰ卷(选择题,共30分)一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.计算的结果为()A.6B.-6C.18D.-182.若代数式在实数范围内有意义,则实数a的取值范围为()A.a=4B.a>4C.a<4D.a≠43.下列计算的结果是x5的为()A.x10÷x2B.x6-xC.x2·x3D.(x2)34.在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示:则这些运动员成绩的中位数、众数分别为()A.1.65,1.70B.1.65,1.75C.1.70,1.75D.1.70,1.705.计算(x+1)(x+2)的结果为()A.x2+2B.x2+3x+2C.x2+3x+3D.x2+2x+26.点A(-3,2)关于y轴对称的点的坐标为()A.(3,-2)B.(3,2)C.(-3,-2)D.(2,-3)7.某物体的主视图如图所示,则该物体可能为()8.按照一定规律排列的n个数:-2,4,-8,16,-32,64,….若最后三个数的和为768,则n为()A.9B.10C.11D.129.已知一个三角形的三边长分别为5,7,8,则其内切圆的半径为()A. B. C. D.210.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为()A.4B.5C.6D.7第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)11.计算2×3+(-4)的结果为.12.计算-的结果为.13.如图,在▱ABCD中,∠D=100°,∠DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE.若AE=AB,则∠EBC的度数为.14.一个不透明的袋中共有5个小球,分别为2个红球和3个黄球,它们除颜色外完全相同.随机摸出两个小球,摸出两个颜色相同的小球的概率为.15.如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,点D,E都在边BC上,∠DAE=60°.若BD=2CE,则DE的长为.16.已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0).若2<m<3,则a的取值范围是.三、解答题(共8小题,共72分)17.(本小题满分8分)解方程4x-3=2(x-1).18.(本小题满分8分)如图,点C,F,E,B在一条直线上,∠CFD=∠BEA,CE=BF,DF=AE.写出CD与AB之间的关系,并证明你的结论.某公司共有A,B,C三个部门,根据每个部门的员工人数和相应每人所创的年利润绘制成如下的统计表和扇形图.各部门人数及每人所创年利润统计表各部门人数分布扇形图(1)①在扇形图中,C部门所对应的圆心角的度数为;②在统计表中,b=,c=;(2)求这个公司平均每人所创年利润.某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工,计划购买甲、乙两种奖品共20件,其中甲种奖品每件40元,乙种奖品每件30元.(1)如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元,求甲、乙两种奖品各购买了多少件;(2)如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍,总花费不超过680元,求该公司有哪．几种．．不同的购买方案.21.(本小题满分8分)如图,△ABC内接于☉O,AB=AC,CO的延长线交AB于点D.(1)求证:AO平分∠BAC;(2)若BC=6,sin∠BAC=,求AC和CD的长.如图,直线y=2x+4与反比例函数y=的图象相交于A(-3,a)和B两点.(1)求k的值;(2)直线y=m(m>0)与直线AB相交于点M,与反比例函数y=的图象相交于点N,若MN=4,求m的值;(3)直接写出不等式>x的解集.23.(本小题满分10分)已知四边形ABCD的一组对边AD,BC的延长线相交于点E.(1)如图1,若∠ABC=∠ADC=90°,求证ED·EA=EC·EB;(2)如图2,若∠ABC=120°,cos∠ADC=,CD=5,AB=12,△CDE的面积为6,求四边形ABCD 的面积;(3)如图3,另一组对边AB,DC的延长线相交于点F,若cos∠ABC=cos∠ADC=,CD=5,CF=ED=n,直接写出AD的长(用含n的式子表示).24.(本小题满分12分)已知点A(-1,1),B(4,6)在抛物线y=ax2+bx上.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,点F的坐标为(0,m)(m>2),直线AF交抛物线于另一点G,过点G作x轴的垂线,垂足为H,设抛物线与x轴的正半轴交于点E,连接FH,AE,求证:FH∥AE;(3)如图2,直线AB分别交x轴,y轴于C,D两点,点P从点C出发,沿射线CD方向匀速运动,速度为每秒个单位长度,同时点Q从原点O出发,沿x轴正方向匀速运动,速度为每秒1个单位长度,点M是直线PQ与抛物线的一个交点,当运动到t秒时,QM=2PM,直接写出t的值.答案全解全析：一、选择题1.A因为62=36,所以36的算术平方根是6,即=6.2.D根据分式有意义的条件,得a-4≠0,解得a≠4.故选D.3.C选项A,x10÷x2=x8,该选项不符合题意;选项B,x6与x不能合并,该选项不符合题意;选项C,x2·x3=x5,该选项符合题意;选项D,(x2)3=x6,该选项不符合题意.故选C.4.C将数据从小到大排列为1.50,1.50,1.60,1.60,1.60,1.65,1.65,1.70,1.70,1.70,1.75,1.75,1.75,1.75,1.80.1.75出现的次数最多,故众数为1.75,最中间的数是1.70,故中位数为1.70,故选C.5.B(x+1)(x+2)=x2+2x+x+2=x2+3x+2.故选B.6.B根据关于y轴对称的两点坐标的特点:横坐标互为相反数,纵坐标相等,可得点A(-3,2)关于y轴对称的点的坐标为(3,2).7.A只有选项A中物体的主视图是圆,故选A.8.B根据规律可知,第n个数为(-1)n2n,则最后三个数为(-1)n-22n-2,(-1)n-12n-1,(-1)n2n,当n为奇数时,(-1)n-22n-2+(-1)n-12n-1+(-1)n2n=768,即-2n-2+2n-1-2n=768,∴-2n-2(1-2+4)=768,∴-2n-2=256,此方程无解;当n为偶数时,(-1)n-22n-2+(-1)n-12n-1+(-1)n2n=768,即2n-2-2n-1+2n=768,∴2n-2(1-2+4)=768,∴2n-2=28,∴n-2=8,∴n=10.9.C如图,AB=7,BC=5,AC=8.过点A作AD⊥BC于点D,设BD=x,则CD=5-x.由勾股定理得AB2-BD2=AD2,AC2-CD2=AD2,则72-x2=82-(5-x)2,解得x=1,∴AD=4.设△ABC的内切圆的半径为r,则有×(5+7+8)r=×5×4,解得r=.故选C.10.D①如图1,以B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,则△BCD就是等腰三角形;②如图2,以A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点E,则△ACE就是等腰三角形;③如图3,以C为圆心,BC长为半径画弧,交AB于M,交AC于点F,则△BCM、△BCF是等腰三角形;④如图4,作AC的垂直平分线交AB于点H,则△ACH就是等腰三角形;⑤如图5,作AB的垂直平分线交AC于点G,则△AGB就是等腰三角形;⑥如图6,作BC的垂直平分线交AB于I,则△BCI就是等腰三角形.故选D.二、填空题11.答案2解析2×3+(-4)=6-4=2.12.答案x-1解析-===x-1.13.答案30°解析∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,AB∥DC,∠ABC=∠D,∴∠DAB+∠D=180°,∵∠D=100°,∴∠DAB=80°,∠ABC=100°.又∵∠DAB的平分线交DC于点E,∴∠EAD=∠EAB=40°.∵AE=AB,∴∠ABE=×(180°-40°)=70°,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=100°-70°=30°.14.答案解析记2个红球分别为红1,红2,3个黄球分别为黄1,黄2,黄3,根据题意,列表如下:共有20种等可能的结果,其中两个颜色相同的共有8种结果,故摸出两个颜色相同的小球的概率为=.15.答案3-3解析如图,将△ABD沿AD翻折得△AFD,连接EF,∴AB=AF=AC,BD=DF,∠AFD=∠B=30°,∵∠BAC=120°,∠DAE=60°,∴∠BAD+∠CAE=60°,又∠BAD=∠FAD,∴∠FAD+∠CAE=60°,∴∠CAE=∠FAE,∴△ACE≌△AFE(SAS),∴CE=EF,∠AFE=∠C=30°,∴∠DFE=60°.过点E作EH⊥DF,交DF于点H,过点A作AM⊥BC,交BC于点M.设CE=2x,则BD=2CE=4x,EF=2x,DF=4x,FH=x,EH=x,DH=3x,又BC=2BM=2AB·cos30°=6,∴DE=6-6x,在Rt△DEH中,DE2=DH2+EH2,即(6-6x)2=(3x)2+(x)2,解得x1=,x2=(舍去).∴DE=6-6x=3-3.16.答案-3<a<-2或<a<解析把(m,0)代入y=ax2+(a2-1)x-a得,am2+(a2-1)m-a=0.解得m==,∴m1=,m2=-a,∵2<m<3,∴2<<3或2<-a<3,解得<a<或-3<a<-2.三、解答题17.解析去括号,得4x-3=2x-2,移项,得4x-2x=3-2,合并同类项,得2x=1,系数化为1,得x=.18.解析CD与AB之间的关系为CD=AB,且CD∥AB.证明:∵CE=BF,∴CF=BE.在△CDF和△BAE中,∴△CDF≌△BAE,∴CD=BA,∠C=∠B,∴CD∥BA.19.解析(1)①108°.②9;6.(2)10×(1-45%-30%)+8×45%+5×30%=7.6(万元).答:这个公司平均每人所创年利润是7.6万元.20.解析(1)设购买甲种奖品x件,则购买乙种奖品(20-x)件,由题意得40x+30(20-x)=650,解得x=5,∴20-x=15.答:购买甲种奖品5件,乙种奖品15件.(2)设购买甲种奖品y件,则购买乙种奖品(20-y)件,则解得≤y≤8,∵y为整数,∴y=7或8.当y=7时,20-y=13;当y=8时,20-y=12.答:该公司有两种不同的购买方案:方案一:购买甲种奖品7件,购买乙种奖品13件;方案二:购买甲种奖品8件,购买乙种奖品12件.21.解析(1)证明:连接BO.∵AB=AC,OB=OC,∴A、O在线段BC的中垂线上,∴AO⊥BC.又∵AB=AC,∴AO平分∠BAC.(2)如图,延长AO交BC于点H,过点D作DK⊥AO,交AO于点K.由(1)知AO⊥BC,∵OB=OC,BC=6,∴BH=CH=BC=3,∠COH=∠BOC,∵∠BAC=∠BOC,∴∠COH=∠BAC.∴sin∠COH=sin∠BAC==.∵CH=3,∴sin∠COH==,∴CO=AO=5,∴OH===4,∴AH=AO+OH=5+4=9,tan∠COH=tan∠DOK=.在Rt△ACH中,∠AHC=90°,AH=9,CH=3,∴tan∠CAH===,AC===3,由(1)知∠CAH=∠BAH,∴tan∠BAH=tan∠CAH=.设DK=3a(a>0),在Rt△ADK中,tan∠DAK=,在Rt△DOK中,tan∠DOK=,∴OK=4a,DO=5a,AK=9a,∴AO=OK+AK=13a=5,∴a=,∴DO=5a=,∴CD=OC+DO=5+=.22.解析(1)∵点A(-3,a)在直线y=2x+4上,∴a=2×(-3)+4=-2.∵点A(-3,-2)在y=的图象上,∴k=6.(2)∵点M是直线y=m与直线AB的交点,∴M.∵点N是直线y=m与反比例函数y=的图象的交点,∴N.∴MN=x N-x M=-=4或MN=x M-x N=-=4.解得m=2或m=-6或m=6±4,∵m>0,∴m=2或m=6+4.(3)x<-1或5<x<6.23.解析(1)证明:∵∠ADC=90°,∠EDC+∠ADC=180°,∴∠EDC=90°,又∠ABC=90°,∴∠EDC=∠ABC,又∠E为公共角,∴△EDC∽△EBA,∴=,∴ED·EA=EC·EB.(2)过点C作CF⊥AD,交AE于点F,过点A作AG⊥EB,交EB的延长线于点G.在Rt△CDF中,cos∠FDC=,∴=,又CD=5,∴DF=3,∴CF==4,又S△CDE=6,∴ED·CF=6,∴ED==3,∴EF=ED+DF=6.∵∠ABC=120°,∠G=90°,∠G+∠BAG=∠ABC,∴∠BAG=30°,在Rt△ABG中,BG=AB=6,AG==6,∵CF⊥AD,AG⊥EB,∴∠EFC=∠G=90°,又∠E为公共角,∴△EFC∽△EGA,∴=,∴=,∴EG=9,∴BE=EG-BG=9-6,∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CED=BE·AG-6=×(9-6)×6-6=75-18.(3)AD=.详解:过点C作CH⊥AD,交AE于点H,则CH=4,DH=3,∴EH=n+3,∴tan∠E=.过点A作AG⊥DF,交DF于点G,设AD=5a,则DG=3a,AG=4a,∴FG=FD-DG=5+n-3a,由CH⊥AD,AG⊥DF,∠E=∠F知△AFG∽△CEH,∴=,∴=,∴=,∴a=,∴AD=.24.解析(1)将点A(-1,1),B(4,6)代入y=ax2+bx有解得∴抛物线的解析式为y=x2-x.(2)证明:设直线AF的解析式为y=kx+m(k≠0).将点A(-1,1)代入解析式,得-k+m=1,∴m=k+1,∴直线AF的解析式为y=kx+k+1,∴F(0,k+1).由消去y得x2-x=kx+k+1,解得x1=-1,x2=2k+2,∴点G的横坐标为2k+2,又GH⊥x轴,∴点H的坐标为(2k+2,0).设直线FH的解析式为y=k0x+b0(k0≠0),则解得∴直线FH的解析式为y=-x+k+1.设直线AE的解析式为y=k1x+b1(k1≠0),易知点E的坐标为(1,0),则解得∴直线AE的解析式为y=-x+,∴FH∥AE.(3)t=或t=或t=或t=.详解:由已知易得,Q(t,0),P(t-2,t),由题意,知点M只可能在线段QP上或QP的延长线上.①若M在线段QP上,则利用QM=2PM,构造三角形相似,得M,代入抛物线y=x2-x,可得·=,解得t=;②若M在线段QP的延长线上,则由QM=2PM知点P为MQ的中点,构造三角形全等,得M(t-4,2t),代入抛物线y=x2-x,可得(t-4)(t-5)=2t,解得t=.综上所述,t的值为,,或.。
2017届高三上学期入学(理科)数学试卷 -答案
四川省成都七中2017届高三上学期入学（理科）数学试卷答 案1~5．DCCAA6~10．ADADA 11~12．DB13． 14．7415．816．12717．解：（Ⅰ）Q 对任意实数α、β，恒有()cos 0f α≤，()2sin 0f β-≥， ()()cos010f f ∴=≤，且()π2sin 102f f ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭， 即()10f =，则13044m +-=，解得12m =， ()2113424f x x x ∴=+-， ()()2n n n n S f a a a n +∴==+∈-N ， 可得2111113424n n n S a a ++++-=， 故()()22111114n n n n n n n a S S a a a a ++++==+---， 即()()1120n n n n a a a a ++--+=，{}n a Q 是正数数列，10n n a a +∴+>，12n n a a +-∴=，即数列{}n a 是等差数列， 又2111113424a a a =+-，且10a >，可得13a =， ()32121n a n n ∴=+-=+；11122n a n ==++， 则()()()()22111212322221n b n n n n =<=++++-11122123n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭ 16n T ∴<，证明如下： 12n n T b b b =++⋯+1111111235572123n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦K ()111111232362236n n ⎛⎫=-=-< ⎪++⎝⎭． 18．解：（Ⅰ）根据频率分布表知，第一组的人数为1202000.6=， 频率为0.0450.2⨯=，所以样本容量为20010000.2n ==； 由题可知，第二组的频率为()10.040.040.030.020.0150.3-++++⨯=，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p ==； 第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=， 所以1500.460a =⨯=；补全频率分布直方图如下；（Ⅱ）根据频率分布直方图知， 众数为最高小矩形的底边中点坐标，是303532.52+=； 又0.20.30.5+=，所以中位数为35； 平均数为27.50.232.50.337.50.242.50.1547.50.152.50.0536.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（Ⅲ）年龄在[]40,55的三组“经纪人”的数量是60、30和15，现从中采用分层抽样法抽取7人，则分别抽取的人数为4、2和1；这7人站成一排照相，相同年龄段的人必须站在一起，共有423423288A A A =g g 种不同站法．19．解：（1）该组合体的主视图和侧视图如图示：证明：（2）EC PD Q ∥，PD ⊂平面PDA ，EC ⊄平面PDA ，EC ∴∥平面PDA ，同理可得BC ∥平面PDA ，EC ⊂Q 平面EBC ，BC ⊂平面EBC ，且EC BC C =I ，∴平面BEC ∥平面PDA ，又BE ⊂Q 平面EBC ，BE ∴∥平面PDA ．解：（3）Q 底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC PC ∥，且22PD AD EC ===，∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，()2,0,0A ，()0,0,2P ，()2,2,0B ，()0,2,1E ，()2,0,2PA =-u u u r ，()2,2,2PB =-u u u r ，()0,2,1PE =-u u u r ，设平面APB 的法向量(),,n x y z =r ，则2202220n PA x z n PB x y z ⎧=-=⎪⎨=+-=⎪⎩r u u u r g r u u u r g ，取1x =，得()1,0,1n =r ， 设平面PBE 的法向量(),,n a b c =r ，则222020m PB a b c m PE b c ⎧=+-=⎪⎨=-=⎪⎩u r u u u r g u u u r g ，取1b =，得()1,1,2m =u r ， 设二面角A PB E --的平面角为θ，则cos m n m nθ===u r r g u r r g ∴二面角A PB E --．20．解：（Ⅰ）由题意可知，1224PF PF a ==+，可得2a =，又c a =222a c b -=， 可得1b =，即有椭圆1C 的方程为2214x y +=； （Ⅱ）椭圆2C ：22143x y +=． 将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程223412x y +=中，得()2224384120k x kmx m +-++=． 由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，()()2222644434120k m k m +-∆-==， 化简得：2243m k =+．设11d F M ==22d F M ==当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ， 则12tan d d MN θ=⨯-，()121222118121m S d d d d k k m m∴=-+==++g g g2243m k =+Q ，∴当0k ≠时，m >，1m m ∴+>，S ∴<．当0k =时，四边形12F MNF是矩形，S =所以四边形12F MNF 面积S的最大值为．21．（1）解：()e x f x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>，则函数()f x 是单调增函数，这与题设矛盾．0a ∴>，令()0f x '=，则ln x a =．当ln x a <时，()0f x '<，()f x 是单调减函数；当ln x a >时，()0f x '>，()f x 是单调增函数；于是当ln x a =时，()f x 取得极小值．Q 函数()()e x f x ax a a -=+∈R 的图象与x 轴交于两点()1,0A x ，()2,0B x ()12x x <，()()ln 2ln 0f a a a ∴=-<，即2e a >．此时，存在1ln a <，()1e>0f =；存在3ln ln a a >，()3323ln 3ln 30f a a a a a a a a -+>-=+>，又()f x 在R 上连续，故2e a >为所求取值范围．（2）证明：1212e 0e 0x x ax a ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩Q ，两式相减得2121e e x x a x x -=-． 记212x x t -=，则()121221212221e e e e 2e e 22x x x x x x t t x x f t x x t ++-+-⎛⎫⎡⎤'=-=-- ⎪⎣⎦-⎝⎭， 设()()2e e t t g t t =--﹣，则()()2e e 0t t g t '=-+<﹣， ()g t ∴是单调减函数，则有()()00g t g <=，而122e 02x x t +>，1202x xf +⎛⎫'∴< ⎪⎝⎭． 又()e x f x a '=-是单调增函数，且122x x +0f '∴<． 22．解：（1）曲线C 的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数）()0p >，消去t 可得：22y px =． 直线l 经过曲线C 外一点()2,4A --且倾斜角为π4，可得参数方程为：2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩． （2）把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：()28320t t p ++=-，12t t ∴+=，1212832.0t t p t t =+<<． 不妨设11AM t =，1221M M t t -=，22AM t =， 则1221M M t t ===- 1AM Q ，12M M ，2AM 成等比数列，21212M M AM AM ∴=⨯， 2832832p p p ∴+=+，化为2340p p +-=，0p >．解得1p =．23．解：（Ⅰ）1x a -<Q ，11a x a ∴-<<+，()1,1x ∈-Q ，不等式1x a -<恒成立，1111a a -≥-⎧∴⎨+≤⎩，解得0a =，∴实数a 的取值范围构成的集合{}0四川省成都七中2017届高三上学期入学（理科）数学试卷解析1．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】确定集合A，B，求出∁R B，再根据集合的基本运算即可求A∩∁R B【解答】解：由题意：全集U=R，集合A={x∈N||x﹣2|＜3}={0，1，2，3，4}，B={x|y=lg（9﹣x2）}={x|﹣3＜x＜3}，则∁R B={x|x≥3或x≤﹣3}，那么：A∩∁R B={3，4}故选D2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】先由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求出实数x、y的值，得到复数z，求出，再由复数求模公式得到|z|，代入，然后运用复数的除法运算化简即可得答案．【解答】解：∵复数z=x+yi（x、y∈R），且有=1+yi，∴．∴x+xi=2+2yi∴x=2y=2．解得：y=1，x=2．则z=2+i，|z|=|2+i|=，．∴==．则的虚部为：．故选：C．3．【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心，代入回归方程求出a．【解答】解：∵=3.2， =，回归直线方程=x+1．∴=3.2+1，解得m=1.675．故选：C．4．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用阴影部分与矩形的面积比等于落入阴影部分的豆子数与所有豆子数的比，由此求出阴影部分的面积．【解答】解：由题意设阴影部分的面积为S，则，所以S=；故选：A．5．【考点】简单线性规划的应用．【分析】先根据向量数量积化简约束条件，画出可行域，数形结合得答案．【解答】解：∵P（3，3），Q（3，﹣3），O为坐标原点，∴，又动点M（x，y），即，∴由，得，画出可行域如图，由点到直线的距离公式可得O到直线x+y﹣3=0的距离d=．∴点M所构成的平面区域的内切圆和外接圆半径之比为=．故选：A．6．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】记A1在面ABCD内的射影为O，O在∠BAD的平分线上，说明∠BAD的平分线即菱形ABCD 的对角线AC，在三角形AA1O中，求出A1O即为高．【解答】解：记A1在面ABCD内的射影为O，∵∠A1AB=∠A1AD，∴O在∠BAD的平分线上，又AB=AD，∴∠BAD的平分线即菱形ABCD的对角线AC，故O在AC上；∵cos∠A1AB=cos∠A1AO×cos∠OAB∴cos∠A1AO=，∴sin∠A1AO=，在△A1AO中，AA1=∴点A1到平面ABCD的距离为A1O=1．故选：A．7．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】先根据正弦定理找到角与边的关系，即用角的正弦表示出边，然后再用余弦定理可求出角C的余弦值，从而利用二倍角公式化简所求得到答案．【解答】解：在△ABC中，根据正弦定理设ka=sinA，kb=sinB，kc=sinC，∵4（sin2A+sin2B﹣sin2C）=3sinA•sinB．∴4（k2a2+k2b2﹣k2c2）=3ka•kb，即：a2+b2﹣c2=a•b，∴由余弦定理cosC===．∴sin2====．故选：D．8．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由条件利用直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式求得sinθ=．再结合θ为锐角，可得θ=，从而求得直线xcosθ+ysinθ﹣1=0的斜率﹣的值．【解答】解：由题意可得圆心（cosθ，1）到直线xcosθ+ysinθ﹣1=0的距离等于半径，即=，化简可得|sinθ﹣sin2θ|=，即sinθ﹣sin2θ=，求得sinθ=．再结合θ为锐角，可得θ=，故直线xcosθ+ysinθ﹣1=0的斜率为﹣=﹣，故选：A．9．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出f（x）的周期及对称中心，作出f（x）的函数图象草图，利用对称性得出四个根之和．【解答】解：∵f（x﹣2）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（x+2），∴f（x+2）=f（x﹣2），∴f（x）的周期为4．又f（x﹣1）关于（1，0）对称，∴f（x）的图象关于（0，0）对称，∴f（x）是奇函数．作出f（x）的大致函数图象如图所示：设方程f（x）=m在区间[﹣4，4]上有4个不同的根从小到大依次为a，b，c，d，当m＞0，a+b=﹣6，c+d=2，∴a+b+c+d=﹣4，当m＜0时，a+b=﹣2，c+d=6，∴a+b+c+d=4．故选：D．10．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ﹣μ=，解之可得λμ的值，由λ•μ=，可得a，c的关系，由离心率的定义可得．【解答】解：双曲线的渐近线为：y=±x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，﹣），P（c，），因为=λ+μ所以（c，）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），所以λ+μ=1，λ﹣μ=，解得：λ=，μ=，又由λ•μ=得： =，解得：b2=c2，所以a2=c2，所以，e=．故选：A．11．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令h（x）=0得出g（f（x））=1，设g（t）=1的解，作出f（x）的函数图象，根据图象判断f （x）=t的解得个数．【解答】解：令h（x）=0得g（f（x））=1，令g（x）=1得或，解得x=0或x=e或x=．∴f（x）=0或f（x）=e或f（x）=．作出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知f（x）=0有4个解，f（x）=e有两个解，f（x）=有4个解，∴h（x）共有10个零点．故选：D．12．【考点】函数恒成立问题．【分析】设f（x）=lnx﹣x+1+a，g（x）=x2e x，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值，建立条件关系进行求解即可．【解答】解：设f（x）=lnx﹣x+1+a，f′（x）=，当x∈[e﹣1，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，e]时，f′（x）＜0，∴f（x）在[e﹣1，1）上是增函数，在x∈（1，e]上是减函数，∴f（x）max=a，又f（e﹣1）=a﹣，f（e）=2+a﹣e，∴f（x）∈[a+2﹣e，a]，设g（x）=x2e x，∵对任意的x1∈[e﹣1，e]，总存在唯一的x2∈[﹣1，1]，使得lnx1﹣x1+1+a=x22e成立，∴[a+2﹣e，a]是g（x）的不含极值点的单值区间的子集，∵g′（x）=x（2+x）e x，∴x∈[﹣1，0）时，g′（x）＜0，g（x）=x2e x是减函数，当x∈（0，1]，g′（x）＞0，g（x）=x2e x是增函数，∵g（﹣1）=＜e=g（1），∴[a+2﹣e，a]⊆（，e]，∴，解得．故选：B．13．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】由条件求得cos（）的值，可得cosθ的值，再利用两个向量的数量积的定义、两个向量的数量积公式求得x1x2+y1y2的值．【解答】解：由题意可得＜θ＜π，sin（）=＞0，∴还是钝角，∴cos（）=﹣，∴，∴cosθ=﹣．∴•=x1•x2+y1•y2=||•||cosθ=1×1×（﹣）=﹣，故答案为：．14．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累加S的值并输出，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序运行过程中，各变量值变化情况如下表：第一（i=1）步：s1=s1+x i=0+1=1第二（i=2）步：s1=s1+x i=1+1.5=2.5第三（i=3）步：s1=s1+x i=2.5+1.5=4第四（i=4）步：s1=s1+x i=4+3=7，s=×7=第五（i=5）步：i=5＞4，输出s=．故答案为：74．15．【考点】二次函数的性质．【分析】由题意可得b＞a＞0，再由△≤0，得到c≥，把c代入M，将关于a，b的不等式利用基本不等式的性质就能求得最小值．【解答】解：∵a＜b，二次函数y=ax2+bx+c≥0对任意实数x恒成立．∴△≤0，解得：c≥，a＞0，b﹣a＞0，∴M=≥==≥=8．当且仅当2a=b﹣a，取得等号．∴M的最小值是8，故答案为：816．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】根据定义分别求出f（x）=0和g（x）=0，将函数方程转化为sin2[x]+sin2{x}﹣1=0和[x]•{x}=+1，分别利用图象讨论两个函数零点的个数．【解答】解：由f（x）=sin2[x]+sin2{x}﹣1=0得sin2{x}=1﹣sin2[x]=cos2[x]．则{x}=+2kπ+[x]或{x}=﹣+2kπ+[x]，即{x}﹣[x]= +2kπ或{x}﹣[x]=﹣+2kπ．即x=+2kπ或x=﹣+2kπ．若x=+2kπ，∵0≤x≤100，∴当k=0时，x=，由x=+2kπ≤100，解得k≤15.68，即k≤15，此时有15个零点，若x=﹣+2kπ，∵0≤x≤100，∴当k=0时，x=﹣不成立，由x=﹣+2kπ≤100，解得k≤16.28，此时有15个零点，综上f（x）=sin2[x]+sin2{x}﹣1的零点个数为15+15=30个．∵{x }=，∴[x ]•{x }=，由g （x ）=0得[x ]•{x }=+1，分别作出函数h （x ）=[x ]{x }和y =+1的图象如图：由图象可知当0≤x ＜1和1≤x ＜2时，函数h （x ）=[x ]{x }和y =+1没有交点，但2≤x ＜3时，函数h （x ）=[x ]{x }和y =+1在每一个区间上只有一个交点，∵0≤x ＜100，∴g （x ）=[x ]•{x }﹣﹣1的零点个数为100﹣2﹣1=97个．故m =30，n =97．m +n =127．故答案为：127．17．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）令α=0，β=，根据f （cosα）≤0，f （2﹣sinβ）≥0化简后，列出方程求出m ，根据函数解析式和条件表示出S n 和S n +1，根据a n +1=S n +1﹣S n 化简后，由等差数列的定义判断出{a n }是等差数列，求得a 1利用等差数列的通项公式求出a n ；（Ⅱ）把a n 代入中求得b n ，利用裂项法求出T n ，即可证明T n ＜．【解答】解：（Ⅰ）Q 对任意实数α、β，恒有()cos 0f α≤，()2sin 0f β-≥，()()cos010f f ∴=≤，且()π2sin 102f f ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭， 即()10f =，则13044m +-=，解得12m =， ()2113424f x x x ∴=+-， ()()2n n n n S f a a a n +∴==+∈-N ， 可得2111113424n n n S a a ++++-=， 故()()22111114n n n n n n n a S S a a a a ++++==+---， 即()()1120n n n n a a a a ++--+=，{}n a Q 是正数数列，10n n a a +∴+>，12n n a a +-∴=，即数列{}n a 是等差数列， 又2111113424a a a =+-，且10a >，可得13a =， ()32121n a n n ∴=+-=+；11122n a n ==++， 则()()()()22111212322221n b n n n n =<=++++- 11122123n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭ 16n T ∴<，证明如下： 12n n T b b b =++⋯+1111111235572123n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦K ()111111232362236n n ⎛⎫=-=-< ⎪++⎝⎭． 18．【考点】频率分布直方图；分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）根据频率分布表，结合频率分布直方图，即可求出n 、p 和a 的值；再补全频率分布直方图即可；（Ⅱ）根据频率分布直方图，求出众数、中位数和平均数；（Ⅲ）求出年龄在[40，55]的三组“经纪人”的数量以及采用分层抽样法抽取7的人数，利用排列组合法求出不同的站法即可．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布表知，第一组的人数为1202000.6=， 频率为0.0450.2⨯=，所以样本容量为20010000.2n ==； 由题可知，第二组的频率为()10.040.040.030.020.0150.3-++++⨯=，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p ==； 第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=， 所以1500.460a =⨯=；补全频率分布直方图如下；（Ⅱ）根据频率分布直方图知， 众数为最高小矩形的底边中点坐标，是303532.52+=； 又0.20.30.5+=，所以中位数为35； 平均数为27.50.232.50.337.50.242.50.1547.50.152.50.0536.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（Ⅲ）年龄在[]40,55的三组“经纪人”的数量是60、30和15，现从中采用分层抽样法抽取7人，则分别抽取的人数为4、2和1；这7人站成一排照相，相同年龄段的人必须站在一起，共有423423288A A A ••=种不同站法． 19．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）按照三视图所在的平面两两垂直，看不见的线用虚线，看得见的用实线画出．（2）由EC ∥PD ，得EC ∥平面PDA ，同时，有BC ∥平面PDA ，因为EC ⊂平面EBC ，BC ⊂平面EBC 且EC ∩BC =C ，得到平面BEC ∥平面PDA ，进而有BE ∥平面PDA ．（3）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A ﹣PB ﹣E 的余弦值．【解答】解：（1）该组合体的主视图和侧视图如图示：证明：（2）EC PD Q ∥，PD ⊂平面PDA ，EC ⊄平面PDA ，EC ∴∥平面PDA ，同理可得BC ∥平面PDA ，EC ⊂Q 平面EBC ，BC ⊂平面EBC ，且EC BC C =I ，∴平面BEC ∥平面PDA ，又BE ⊂Q 平面EBC ，BE ∴∥平面PDA ．解：（3）Q 底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC PC ∥，且22PD AD EC ===，∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，()2,0,0A ，()0,0,2P ，()2,2,0B ，()0,2,1E ，()2,0,2PA =-u u u r ，()2,2,2PB =-u u u r ，()0,2,1PE =-u u u r ，设平面APB 的法向量(),,n x y z =r ，则2202220n PA x z n PB x y z ⎧•=-=⎪⎨•=+-=⎪⎩r u u u r r u u u r ，取1x =，得()1,0,1n =r ， 设平面PBE 的法向量(),,n a b c =r ，则222020m PB a b c m PE b c ⎧•=+-=⎪⎨•=-=⎪⎩u r u u u r u u u r ，取1b =，得()1,1,2m =u r ， 设二面角A PB E --的平面角为θ，则cos m n m nθ•===•u r r u r r ． ∴二面角A PB E --．20．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，计算即可得到b ，进而得到椭圆C 的方程；（Ⅱ）将直线l 的方程y =kx +m 代入椭圆C 的方程3x 2+4y 2=12中，得到关于x 的一元二次方程，由直线l与椭圆C 仅有一个公共点知，△=0，即可得到m ，k 的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到d 1=|F 1M |，d 2=|F 2N |．当k ≠0时，设直线l 的倾斜角为θ，则|d 1﹣d 2|=|MN |×|tanθ|，即可得到四边形F 1MNF 2面积S 的表达式，利用基本不等式的性质即可得出S 的最大值【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，1224PF PF a ==+，可得2a =，又c a =222a c b -=， 可得1b =，即有椭圆1C 的方程为2214x y +=； （Ⅱ）椭圆2C ：22143x y +=．将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程223412x y +=中，得()2224384120k x kmx m +-++=． 由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，()()2222644434120k m k m +-∆-==， 化简得：2243m k =+．设11d F M ==22d F M ==当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ， 则12tan d d MN θ=⨯-，()121222118121m S d d d d k k m m∴=••-•+==++2243m k =+Q ，∴当0k ≠时，m >，1m m ∴+>，S ∴<．当0k =时，四边形12F MNF是矩形，S =所以四边形12F MNF 面积S的最大值为．21．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由f （x ）=e x ﹣ax +a ，知f ′（x ）=e x ﹣a ，再由a 的符号进行分类讨论，能求出f （x ）的单调区间，然后根据交点求出a 的取值范围；（2）由x 1、x 2的关系，求出＜0，然后再根据f ′（x ）=e x ﹣a 的单调性，利用不等式的性质，问题得以证明．【解答】（1）解：()'e x f x a =-．若0a ≤，则()'0f x >，则函数()f x 是单调增函数，这与题设矛盾．0a ∴>，令()'0f x =，则ln x a =．当ln x a <时，()'0f x <，()f x 是单调减函数；ln x a >时，()'0f x >，()f x 是单调增函数；于是当ln x a =时，()f x 取得极小值．Q 函数()()e x f x ax a a -=+∈R 的图象与x 轴交于两点()1,0A x ，()2,0B x ()12x x <，()()ln 2ln 0f a a a ∴=-<，即2e a >．此时，存在1ln a <，()1e>0f =；存在3ln ln a a >，()3323ln 3ln 30f a a a a a a a a -+>-=+>，又()f x 在R 上连续，故2e a >为所求取值范围．（2）证明：1212e 0e 0x x ax a ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩Q ，两式相减得2121e e x x a x x -=-． 记212x x t -=，则()121221212221e e e 'e 2e e 22x x x x x x t t x x f t x x t ++-+-⎛⎫⎡⎤=-=-- ⎪⎣⎦-⎝⎭， 设()()2e e t t g t t =--﹣，则()()2e e 0t t g t '=-+<﹣， ()g t ∴是单调减函数，则有()()00g t g <=，而122e 02x x t +>，12'02x xf +⎛⎫∴< ⎪⎝⎭． 又()'e x f x a =-是单调增函数，且122x x +0f ∴'<． 22．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C 的参数方程为（t 为参数）（p ＞0），消去t 可得普通方程．利用点斜式可得直线l 的参数方程．（2）把直线l 的参数方程代入抛物线方程可得：t 2﹣+8p +32=0，可得t 1+t 2=p ，t 1t 2=8p +32.0＜t 1＜t 2．不妨设|AM 1|=t 1，|M 1M 2|=t 2﹣t 1，|AM 2|=t 2，则|M 1M 2|=t 2﹣t 1=．由于|AM 1|，|M 1M 2|，|AM 2|成等比数列，可得=|AM 1|×|AM 2|．【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数）()0p >，消去t 可得：22y px =． 直线l 经过曲线C 外一点()2,4A --且倾斜角为π4，可得参数方程为：24x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩． （2）把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：()28320t t p ++=-，12t t ∴+=，1212832.0t t p t t =+<<． 不妨设11AM t =，1221M M t t -=，22AM t =， 则1221M M t t ===- 1AM Q ，12M M ，2AM 成等比数列，21212M M AM AM ∴=⨯， 2832832p p p ∴+=+，化为2340p p +-=，0p >．解得1p =．23．【考点】函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）先解绝对值不等式，再根据集合之间的关系即可求出a 的范围（Ⅱ）化简|f （x ）﹣f （a ）|为|x ﹣a ||x +a ﹣1|，小于|x +a ﹣1|即|（x ﹣a ）+（2a ﹣1）|．再由|（x ﹣a ）+（2a ﹣1）|≤|x ﹣a |+|2a ﹣1|＜1+2|a |+1，从而证得结论．【解答】解：（Ⅰ）1x a -<Q ，11a x a ∴-<<+， ()1,1x ∈-Q ，不等式1x a -<恒成立，1111a a -≥-⎧∴⎨+≤⎩， 解得0a =，∴实数a 的取值范围构成的集合{}0（Ⅱ）证明：Q 函数()2f x x x c =-+，实数a 满足1x a -<，()()()2211f x f a x x c a a c x a x a x a ∴-=--<+-+=-+-+-()()21x a a =-+-()2112121x a a a a ≤-+-<++=+，即()()()21f x f a a <-+成立．。
级高中入学考试数学试题
2017级高中入学考试数学试题（总分150分，考试时间120分钟）一．选择题（每小题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）1．若不等式组⎩⎨⎧<≥m x x 3无解，则m 的取值范围是（ ） （A ）3≥m （B ）3≤m （C ）3>m （D ）3<m2．若“!”是一种运算符号，并定义：1!=1；2!=2×1=2；3!=3×2×1=6；……，则!98!100 的值为（ ） （A ）4950（B ）99! （C ）9900 （D ）2! 3．化简a1-的结果是（ ） （A ）a a -1 （B ）a a--1 （C ）a a - （D ）a a -- 4．已知A ∠为锐角，且2tan 3A =，那么下列判断正确的是（ ） （A ）0°A <∠<30° （B ）30°A <∠<45° （C ）45°A <∠<60° （D ）60°A <∠<90° 切点，5. 如图，PA 和PB 是O e 的切线，点A 和B 是 AC 是O e 的直径，已知P ∠=40°，则ACB ∠的大小是（ ）（A ）60° （B ）65° （C ）70° （D ）75°6．若,,a b c 都是非零实数，且0a b c ++=，那么abcabcc c b b a a +++的所有可能的 值为（ ）（A ）1或1- （B ）0或2- （C ）2或2- （D ）0 7．已知x x xx +=-+2322，则代数式x x 222+的值是（ ） （A ）2 （B ）6- （C ）2或6- （D ）2-或68．如图，已知ABC ∆为直角三角形，分别以直角边,AC BC 为直径作半圆AmC 和BnC ，以AB 为直径作半圆ACB ，记两个月牙形阴影部分的面积之和为1S ，ABC ∆的面积为2S ，则1S 与2S 的大小关系为（ ）（A ）12S S > （B ）12S S < 定（C ）12S S = （D ）不能确9．已知12(,2016),(,2016)A x B x 是二次函数)0(82≠++=a bx ax y 的图象上两点，则当12x x x =+时，二次函数的值为（ ）（A ）822+a b （B ）2016 （C ）8 （D ）无法确定 10. 关于x 的分式方程121k x -=-的解为非负数，且使关于x 的不等式组6112x xk x <-⎧⎪⎨+-≥⎪⎩有解的所有整数k 的和为（ ）（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）211．已知梯形的两对角线分别为a 和b ，且它们的夹角为60°，则梯形的面积为（ ）（A ）ab 23 （B ）ab 43 （C ）ab 83（D ）ab 3 （提示：面积公式1sin 2ABC S ab C ∆=⋅）12．将棱长相等的正方体按如图所示的形状摆放，从上往下依次为第一层、第二层、第三层……， 则第2004层正方体的个数是（ ）（A ）2009010 （B ）2005000 （C ）2007005 （D ）2004二． 填空题（每小题5分，共20分）13．分解因式：4244x x x -+-= 14．右图是一个立方体的平面展开图形，每个面上都有一个自然数，且相对的两个面上两数之和都相等，3913若13,9,3的对面的数分别是,,a b c ，则bc ac ab c b a ---++222的值为15．书架上有两套同样的书，每套书分上下两册，在这两套书中随机抽取出两本，恰好是一套书的概率是16．已知关于x 的方程22230x kx k k ++++=的两根分别是12,x x ，则2212(1)(1)x x -+-的最小值是三． 解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．（1）计算：()2016672127sin 60tan602009sin 253⎛⎫⨯+︒⋅︒++︒ ⎪⎝⎭（2）先化简再求值：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++12222222b a b b a a b a a b ab a a ，其中23+=a ，23-=b 。
2017届高三上学期开学数学试卷(理科) Word版含解析
2017届高三上学期开学数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，A∩B=B，则实数m的值为（）A．2 B．3 C．1或2或3 D．2或33．如果sin（π﹣A）=，那么cos（﹣A）=（）A．﹣ B．C．﹣D．4．设x，y∈R，向量=（1，x），=（3，2﹣x），若⊥，则实数x的取值为（）A．1 B．3 C．1或﹣3 D．3或﹣1的大致图象是（）5．函数y=log2A． B．C． D．6．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．7．如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=120°，C为OB的中点，AC的延长线交⊙O于点D，连接BD，则弦BD 的长为（）A．B．C．D．8．若函数f（x）=x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．（1，2）B．[1，2）C．[0，2）D．（0，2）二、填空题9．抛物线x 2=ay 的准线方程是y=2，则a= ．10．极坐标系中，直线ρsin （﹣θ）+1=0与极轴所在直线的交点的极坐标为 （只需写出一个即可）11．点P 是直线l ：x ﹣y+4=0上一动点，PA 与PB 是圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=4的两条切线，则四边形PACB 的最小面积为 ．12．已知双曲线C 的渐进线方程为y=±x ，则双曲线C 的离心率为 ．13．集合U={1，2，3}的所有子集共有 个，从中任意选出2个不同的子集A 和B ，若A ⊈B 且B ⊈A ，则不同的选法共有 种．14．已知数列{a n }是各项均为正整数的等差数列，公差d ∈N *，且{a n }中任意两项之和也是该数列中的一项．（1）若a 1=4，则d 的取值集合为 ；（2）若a 1=2m （m ∈N *），则d 的所有可能取值的和为 ．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f （x ）=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x ．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若x ∈[0，]，求函数f （x ）的最值及相应x 的取值．16．已知递减等差数列{a n }满足：a 1=2，a 2•a 3=40．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（Ⅱ）若递减等比数列{b n }满足：b 2=a 2，b 4=a 4，求数列{b n }的通项公式．17．某公司每月最多生产100台警报系统装置，生产x 台（x ∈N *）的总收入为30x ﹣0.2x 2（单位：万元）．每月投入的固定成本（包括机械检修、工人工资等）为40万元，此外，每生产一台还需材料成本5万元．在经济学中，常常利用每月利润函数P （x ）的边际利润函数MP （x ）来研究何时获得最大利润，其中MP （x ）=P （x+1）﹣P （x ）．（Ⅰ）求利润函数P （x ）及其边际利润函数MP （x ）；（Ⅱ）利用边际利润函数MP （x ）研究，该公司每月生产多少台警报系统装置，可获得最大利润？最大利润是多少？18．已知函数f （x ）=axe x ，其中常数a ≠0，e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，求函数f （x ）的极值；（Ⅲ）若直线y=e （x ﹣）是曲线y=f （x ）的切线，求实数a 的值．19．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0），离心率e=，已知点P （0，）到椭圆C 的右焦点F 的距离是．设经过点P 且斜率存在的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线与x 轴相交于一点Q ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求点Q 的横坐标x 0的取值范围．20．对于序列A0：a，a1，a2，…，an（n∈N*），实施变换T得序列A1：a1+a2，a2+a3，…，an﹣1+an，记作A1=T（A0）：对A1继续实施变换T得序列A2=T（A1）=T（T（A）），记作A2=T2（A）；…；An﹣1=Tn﹣1（A）．最后得到的序列An﹣1只有一个数，记作S（A）．（Ⅰ）若序列A0为1，2，3，求S（A）；（Ⅱ）若序列A0为1，2，…，n，求S（A）；（Ⅲ）若序列A和B完全一样，则称序列A与B相等，记作A=B，若序列B为序列A：1，2，…，n的一个排列，请问：B=A0是S（B）=S（A）的什么条件？请说明理由．2017届高三上学期开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．【解答】解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．2．已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，A∩B=B，则实数m的值为（）A．2 B．3 C．1或2或3 D．2或3【考点】交集及其运算．【分析】根据A，B，以及两集合的交集为B，得到B为A的子集，确定出实数m的值即可．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={1，m}，且A∩B=B，∴B⊆A，则实数m的值为2或3，故选：D．3．如果sin（π﹣A）=，那么cos（﹣A）=（）A．﹣ B．C．﹣D．【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．【分析】直接利用诱导公式化简求解函数值即可．【解答】解：sin（π﹣A）=，可得sinA=，cos（﹣A）=sinA=，故选：B．4．设x，y∈R，向量=（1，x），=（3，2﹣x），若⊥，则实数x的取值为（）A．1 B．3 C．1或﹣3 D．3或﹣1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由⊥，可得=0，解出即可得出．【解答】解：∵⊥，∴=3+x（2﹣x）=0，化为x2﹣2x﹣3=0，解得x=3或﹣1．故选：D ．5．函数y=log 2的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【分析】分析出函数的定义域和单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：函数y=log 2的定义域为（1，+∞），故排除C ，D ；函数y=log 2为增函数，故排除B ，故选：A ．6．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=3x ﹣y 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．[﹣1，6]D ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z 的几何意义可求z 的最大值与最小值，进而可求z 的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x ﹣y 可得y=3x ﹣z ，则﹣z 为直线y=3x ﹣z 在y 轴上的截距，截距越大，z 越小结合图形可知，当直线y=3x ﹣z 平移到B 时，z 最小，平移到C 时z 最大由可得B （，3），=6由可得C（2，0），zmax∴故选A7．如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=120°，C为OB的中点，AC的延长线交⊙O于点D，连接BD，则弦BD 的长为（）A．B．C．D．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】在△OAC中，运用余弦定理可得AC，cos∠ACO，延长CO交圆于E，再由圆的相交弦定理，可得AC•CD=BC•CE，求得CD，再在△BCD中，运用余弦定理可得BD的长．【解答】解：在△OAC中，OA=2，OC=1，∠AOC=120°，可得AC2=OA2+OC2﹣2OA•OC•cos∠AOC=4+1﹣2•2•1•cos120°=5+2=7，即AC=，cos∠ACO===，延长CO交圆于E，由圆的相交弦定理，可得AC•CD=BC•CE，即CD===，在△BCD中，BD2=BC2+DC2﹣2BC•DC•cos∠BCD=1+﹣2•1••=．可得BD=．故选：C．8．若函数f（x）=x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．（1，2）B．[1，2）C．[0，2）D．（0，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的定义域和导数，判断函数的单调性和极值，即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），∴函数的f′（x）=x﹣=，由f′（x）＞0解得x＞1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0解得0＜x＜1，此时函数单调递减，故x=1时，函数取得极小值．①当k=1时，（k﹣1，k+1）为（0，2），函数在（0，1）上单调减，在（1，2）上单调增，此时函数在（0，2）上不是单调函数，满足题意；②当k＞1时，∵函数f（x）在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，∴x=1在（k﹣1，k+1）内，即，即，即0＜k＜2，此时1＜k＜2，综上1≤k＜2，故选：B．二、填空题9．抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则a= ‐8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】依题意可求得抛物线x2=ay的准线方程是y=﹣，而抛物线x2=ay的准线方程是y=2，从而可求a．【解答】解：∵抛物线x2=ay的准线方程是y=﹣，又抛物线x2=ay的准线方程是y=2，∴﹣=2，∴a=﹣8．故答案为：﹣8．10．极坐标系中，直线ρsin（﹣θ）+1=0与极轴所在直线的交点的极坐标为（2，π）（只需写出一个即可）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】令θ=π，可得： +1=0，解得ρ即可得出．【解答】解：令θ=π，可得： +1=0，解得ρ=2，可得交点（2，π）．故答案为：（2，π）．11．点P是直线l：x﹣y+4=0上一动点，PA与PB是圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4的两条切线，则四边形PACB 的最小面积为 4 ．【考点】圆的切线方程．【分析】利用切线与圆心的连线垂直，可得S PACB =2S ACP ．，要求四边形PACB 的最小面积，即直线上的动点到圆心的距离最短，利用二次函数的配方求解最小值，得到三角形的边长最小值，可以求四边形PACB 的最小面积．【解答】解：根据题意：圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=4，圆心为（1，1），半径r=2，∵点P 在直线x ﹣y+4=0上，设P （t ，t+4），切线与圆心的连线垂直，直线上的动点到圆心的距离d 2=（t ﹣1）2+（t+4﹣1）2，化简：d 2=2（t 2+2t+5）=2（t+1）2+8，∴，那么：，则|PA|min =2，三角形PAC 的最小面积为：=2， 可得：S PACB =2S ACP =4，所以：四边形PACB 的最小面积S PABC =4，故答案为：4．12．已知双曲线C 的渐进线方程为y=±x ，则双曲线C 的离心率为 或 ． 【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线的渐近线为y=±x ，可得=或3，利用e==，可求双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的渐近线为y=±x ，∴=或3，∴e===或．故答案为：或．13．集合U={1，2，3}的所有子集共有8 个，从中任意选出2个不同的子集A和B，若A⊈B且B⊈A，则不同的选法共有9 种．【考点】子集与真子集．【分析】根据含有n个元素的集合，其子集个数为2n个，即可得到子集个数．从中任意选出2，A⊈B且B⊈A．先去掉{1，2，3}和∅，还有6个子集，为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，从这6个中任选2个都是：A⊈B且B⊈A，即可得到答案．【解答】解：集合U={1，2，3}含有3个元素，其子集个数为23=8个．从中任意选出2个不同的子集A和B，A⊈B且B⊈A．先去掉{1，2，3}和∅，还有6个子集，为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，从这6个中任选2个都是：A⊈B且B⊈A，有①{1}，{2}、②{1}，{3}、③{1}，{2，3}、④{2}，{3}、⑤{2}，{1，3}、⑥{3}，{1，2}、⑦{1，2}，{1，3}、⑧{1，2}，{2，3}、⑨}{1，3}，{2，3}，则有9种．故答案为：8，9．14．已知数列{an }是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{an}中任意两项之和也是该数列中的一项．（1）若a1=4，则d的取值集合为{1，2，4} ；（2）若a1=2m（m∈N*），则d的所有可能取值的和为2m+1﹣1 ．【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】由题意可得，ap +aq=ak，其中p、q、k∈N*，利用等差数列的通项公式可得d与a1的关系，然后根据d的取值范围进行求解．【解答】解：由题意可得，ap +aq=ak，其中p、q、k∈N*，由等差数列的通向公式可得a1+（p﹣1）d+a1+（q﹣1）d=a1+（k﹣1），整理得d=，（1）若a1=4，则d=，∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，∴k﹣p﹣q+1∈N*，∴d=1，2，4，故d的取值集合为 {1，2，4}；（2）若a1=2m（m∈N*），则d=，∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，∴k﹣p﹣q+1∈N*，∴d=1，2，4，…，2m，∴d 的所有可能取值的和为1+2+4+…+2m ==2m+1﹣1， 故答案为（1）{1，2，4}，（2）2m+1﹣1．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f （x ）=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x ．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若x ∈[0，]，求函数f （x ）的最值及相应x 的取值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）运用二倍角的正弦和余弦公式，及两角和的正弦公式，化简函数f （x ），再由正弦函数的周期和单调增区间，解不等式即可得到．（Ⅱ）由x 的范围，可得2x ﹣2x+的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到最值．【解答】解：（Ⅰ）f （x ）=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x=sin2x+2cos 2x+1=sin2x+cos2x+2=sin （2x+）+2，令2k π﹣≤2x+≤2k π+，k ∈Z ， 则k π﹣≤x ≤k π+，k ∈Z ，则有函数的单调递增区间为[k π﹣，k π+]，k ∈Z ．（Ⅱ）当x ∈[0，]时，2x+∈[，]， 则有sin （2x+）∈[﹣1，1]， 则当x=时，f （x ）取得最小值，且为1，当x=时，f （x ）取得最大值，且为+2．16．已知递减等差数列{a n }满足：a 1=2，a 2•a 3=40．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（Ⅱ）若递减等比数列{b n }满足：b 2=a 2，b 4=a 4，求数列{b n }的通项公式．【考点】数列的求和．【分析】（I ）格局等差数列的通项公式列方程组解出公差，得出通项公式，代入求和公式计算S n ； （II ）根据等比数列的通项公式列方程组解出首项和公比即可得出通项公式．【解答】解：（I ）设{a n }的公差为d ，则a 2=2+d ，a 3=2+2d ，∴（2+d ）（2+2d ）=40，解得：d=3或d=﹣6．∵{a n }为递减数列，∴d=﹣6．∴a n =2﹣6（n ﹣1）=8﹣6n ，Sn=•n=﹣3n2+5n．（II）由（I）可知a2=﹣4，a4=﹣16．设等比数列{bn}的公比为q，则，解得或．∵{bn}为递减数列，∴．∴bn=﹣2•2n﹣1=﹣2n．17．某公司每月最多生产100台警报系统装置，生产x台（x∈N*）的总收入为30x﹣0.2x2（单位：万元）．每月投入的固定成本（包括机械检修、工人工资等）为40万元，此外，每生产一台还需材料成本5万元．在经济学中，常常利用每月利润函数P（x）的边际利润函数MP（x）来研究何时获得最大利润，其中MP（x）=P（x+1）﹣P（x）．（Ⅰ）求利润函数P（x）及其边际利润函数MP（x）；（Ⅱ）利用边际利润函数MP（x）研究，该公司每月生产多少台警报系统装置，可获得最大利润？最大利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）利用利润是收入与成本之差，求利润函数P（x），利用MP（x）=P（x+1）﹣P（x），求其边际利润函数MP（x）；（Ⅱ）利用MP（x）=24.8﹣0.4x是减函数，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，x∈[1，100]，且x∈N*P（x）=R（x）﹣C（x）=30x﹣0.2x2﹣（5x+40）=﹣0.2x2+25x﹣40，MP（x）=P（x+1）﹣P（x）=﹣0.2（x+1）2+25（x+1）﹣40﹣[﹣0.2x2+25x﹣40]=24.8﹣0.4x，（Ⅱ）∵MP（x）=24.8﹣0.4x是减函数，∴当x=1时，MP（x）的最大值为24.40（万元）18．已知函数f（x）=axe x，其中常数a≠0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅲ）若直线y=e（x﹣）是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，根据函数极值和导数之间的关系即可求函数f（x）的极值；（Ⅲ）设出切点坐标为（m，ame m），求出切线斜率和方程，根据导数的几何意义建立方程关系即可求实数a 的值．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=a（e x+xe x）=a（1+x）e x，若a ＞0，由f′（x ）＞0得x ＞﹣1，即函数的单调递增区间为（﹣1，+∞），由f′（x ）＜0，得x ＜﹣1，即函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），若a ＜0，由f′（x ）＞0得x ＜﹣1，即函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），由f′（x ）＜0，得x ＞﹣1，即函数的单调递减区间为（﹣1，+∞）；（Ⅱ）当a=1时，由（1）得函数的单调递增区间为（﹣1，+∞），函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）， 即当x=﹣1时，函数f （x ）取得极大值为f （﹣1）=﹣，无极小值；（Ⅲ）设切点为（m ，ame m ），则对应的切线斜率k=f′（m ）=a （1+m ）e m ，则切线方程为y ﹣ame m =a （1+m ）e m （x ﹣m ），即y=a （1+m ）e m （x ﹣m ）+ame m =a （1+m ）e m x ﹣ma （1+m ）e m +ame m =a （1+m ）e m x ﹣m 2ae m ，∵y=e （x ﹣）=y=ex ﹣e ，∴∴，即若直线y=e （x ﹣）是曲线y=f （x ）的切线，则实数a 的值是．19．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0），离心率e=，已知点P （0，）到椭圆C 的右焦点F 的距离是．设经过点P 且斜率存在的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线与x 轴相交于一点Q ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求点Q 的横坐标x 0的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I ）由题意可得：e==， =，又a 2+b 2=c 2．联立解出即可得出． （II ）设直线AB 的方程为：y=kx+，（k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点M （x 3，y 3），直线AB 的方程与题意方程联立化为：（1+4k 2）x 2+12kx ﹣7=0，利用中点坐标公式与根与系数的关系可得可得中点M 的坐标，可得线段AB 的中垂线方程，令y=0，可得x 0，通过对k 分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（I ）由题意可得：e==， =，又a 2+b 2=c 2．联立解得：c 2=12，a=4，b=2．∴椭圆C 的标准方程为： =1．（II ）设直线AB 的方程为：y=kx+，（k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点M （x 3，y 3），线段AB 的中垂线方程为：y ﹣y 3=﹣（x ﹣x 3）．联立，化为：（1+4k 2）x 2+12kx ﹣7=0，△＞0，∴x 1+x 2=﹣， ∴x 3==﹣．y 3=kx 3+=．∴线段AB 的中垂线方程为：y ﹣=﹣（x+）．令y=0，可得x 0==，k ＞0时，0＞x 0≥．k ＜0时，0＜x 0≤．k=0时，x 0=0也满足条件．综上可得：点Q 的横坐标x 0的取值范围是．20．对于序列A 0：a 0，a 1，a 2，…，a n （n ∈N *），实施变换T 得序列A 1：a 1+a 2，a 2+a 3，…，a n ﹣1+a n ，记作A 1=T （A 0）：对A 1继续实施变换T 得序列A 2=T （A 1）=T （T （A 0）），记作A 2=T 2（A 0）；…；A n ﹣1=T n ﹣1（A 0）．最后得到的序列A n ﹣1只有一个数，记作S （A 0）．（Ⅰ）若序列A 0为1，2，3，求S （A 0）；（Ⅱ）若序列A 0为1，2，…，n ，求S （A 0）；（Ⅲ）若序列A 和B 完全一样，则称序列A 与B 相等，记作A=B ，若序列B 为序列A 0：1，2，…，n 的一个排列，请问：B=A 0是S （B ）=S （A 0）的什么条件？请说明理由．【考点】数列与函数的综合．【分析】（I ）序列A 0为1，2，3，A 1：1+2，2+3，A 2：1+2+2+3，即可得出S （A 0）． （II ）n=1时，S （A 0）=1+2=3；n=2时，S （A 0）=1+2+2+3=1+2×2+3；n=3时，S （A 0）=1+2+2+3+2+3+3+4=1+3×2+3×3+4，…；取n 时，S （A 0）=•1+•2+•3+…+•n +•（n+1）；利用倒序相加法和二项式定理的性质，即可求得结果．（III ）序列B 为序列A 0：1，2，…，n 的一个排列，B=A 0⇒S （B ）=S （A 0）．而反之不成立．例如取序列B 为：n ，n ﹣1，…，2，1．满足S （B ）=S （A 0）．即可得出．【解答】解：（I ）序列A 0为1，2，3，A 1：1+2，2+3，A 2：1+2+2+3，即8，∴S （A 0）=8． （II ）n=1时，S （A 0）=1+2=3．n=2时，S （A 0）=1+2+2+3=1+2×2+3=8，n=3时，S （A 0）=1+2+2+3+2+3+3+4=1+3×2+3×3+4， …，取n ﹣1时，S （A 0）=•1+•2+•3+…+（n ﹣1）+•n，取n 时，S （A 0）=•1+•2+•3+…+•n +•（n+1），利用倒序相加可得：S （A 0）=×2n =（n+2）•2n ﹣1． 由序列A 0为1，2，…，n ，可得S （A 0）=（n+2）•2n ﹣1． （III ）序列B 为序列A 0：1，2，…，n 的一个排列，B=A 0⇒S （B ）=S （A 0）．而反之不成立． 例如取序列B 为：n ，n ﹣1，…，2，1．满足S （B ）=S （A 0）． 因此B=A 0是S （B ）=S （A 0）的充分不必要条件．。
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2017级高中入学考试数学试题
（总分150分，考试时间120分钟）
一．选择题（每小题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）
1．若不等式组⎩
⎨⎧<≥m x x 3
无解，则m 的取值范围是（ ）
（A ）3≥m （B ）3≤m （C ）3>m （D ）3<m
2．若“!”是一种运算符号，并定义：1!=1；2!=2×1=2；3!=3×2×1=6；……，则!
98!
100 的值为（ ） （A ）
49
50
（B ）99! （C ）9900 （D ）2! 3．化简a
1
-的结果是（ ） （A ）
a a -1 （B ）a a
--1 （C ）a a - （D ）a a -- 4．已知A ∠为锐角，且2
tan 3
A =，那么下列判断正确的是（ ）
（A ）0°A <∠<30° （B ）30°A <∠<45° （C ）45°A <∠<60° （D ）60°A <∠<90°
5. 如图，PA 和PB 是O 的切线，点A 和B 是切点， AC 是O 的直径，已知P ∠=40°， 则ACB ∠的大小是（ ） （A ）60° （B ）65° （C ）70° （D ）75°
6．若,,a b c 都是非零实数，且0a b c ++=，那么
abc
abc c c b b a a +++的所有可能的 值为（ ）
（A ）1或1- （B ）0或2- （C ）2或2- （D ）0 7．已知
x x x
x +=-+232
2
，则代数式x x 222+的值是（ ） （A ）2 （B ）6- （C ）2或6- （D ）2-或6
m
n
8．如图，已知ABC ∆为直角三角形，分别以直角边,AC BC 为直径作半圆AmC 和BnC ， 以AB 为直径作半圆ACB ，记两个月牙形阴影部分的面积之和为1S ，ABC ∆的面积为
2S ，则1S 与2S 的大小关系为（ ）
（A ）12S S > （B ）12S S < （C ）12S S = （D ）不能确定
9．已知12(,2016),(,2016)A x B x 是二次函数)0(82
≠++=a bx ax y 的图象上两点， 则当12x x x =+时，二次函数的值为（ ）
（A ）822
+a b （B ）2016 （C ）8 （D ）无法确定 10. 关于x 的分式方程121k x -=-的解为非负数，且使关于x 的不等式组6112
x x
k x <-⎧⎪
⎨+-≥⎪⎩有
解的所有整数k 的和为（ ）
（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2
11．已知梯形的两对角线分别为a 和b ，且它们的夹角为60°，则梯形的面积为（ ） （A ）
ab 23 （B ）ab 43 （C ）ab 8
3
（D ）ab 3 （提示：面积公式1
sin 2
ABC S ab C ∆=⋅）
12．将棱长相等的正方体按如图所示的形状摆放， 从上往下依次为第一层、第二层、第三层……， 则第2004层正方体的个数是（ ） （A ）2009010 （B ）2005000 （C ）2007005 （D ）2004
二． 填空题（每小题5分，共20分）
13．分解因式：4244x x x -+-= 14．右图是一个立方体的平面展开图形，每个面上都 有一个自然数，且相对的两个面上两数之和都相等， 若13,9,3的对面的数分别是,,a b c ，
则bc ac ab c b a ---++2
22的值为
3
9
13
15．书架上有两套同样的书，每套书分上下两册，在这两套书中随机抽取出两本，恰好 是一套书的概率是
16．已知关于x 的方程22230x kx k k ++++=的两根分别是12,x x ， 则2212(1)(1)x x -+-的最小值是
三． 解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17．（1）计算：()2016
672127sin 60tan602009sin 253⎛⎫⨯+︒⋅︒++︒ ⎪
⎝⎭
（2）先化简再求值：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++12222222b a b b a a b a a b ab a a ，其中23+=a ，23-=b 。
18．（1）已知1=+b a ，求ab b a 333++的值；
（提示：3322()()x y x y x xy y +=+-+）
（2）已知253-=x ，求1
2
42++x x x 的值。
19．解方程或方程组：
（1）8219533+=-+-x x x ； （2）⎩⎨⎧=++-+=+-0
4)(5)(4
22
22y x y x y xy x
20．已知关于x 的方程0)1(22
2
=+--k x k x 有两个实数根21,x x .
（1）求k 的取值范围； （2）若12121x x x x +=-，求k 的值．
21．已知在ABC ∆中，AD 为BAC ∠的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延
长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且B CAE ∠=∠，:4:3EF FD =. （1）求AED ∠的余弦值；
（2）若10BD =，求ABC ∆的面积。
22. 已知抛物线t ax ax y ++=42
与x 轴的一个交点为(1,0)A -.
（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；
（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形
ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5 : 2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使APE ∆的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
2017级高中入学考试数学试题答题卷一．选择题（每小题5分，共60分）
二．填空题（每小题5分，共20分）
13．14．
15．16．
三．解答题（共70分）
【21题】（本题满分12分）
2017级高中入学考试数学试题参考答案
一．选择题（每小题5分，共60分）
二．填空题（每小题5分，共20分）
13．2(2)(1)(2)x x x x +--+ 14．76 15．13
16．8
三．解答题（共70分）
17．（1）72； （2）原式a b a b -=+18．（1）1； （2）先变形为1x x +的形式，再代值得1
8
.
19．（1=
平方整理得23280x x +-=，解出7x =-或4x =，检验得4x =.
（2）3212
x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩或31x y =⎧⎨=⎩或1232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或13x y =⎧⎨
=⎩ 20．（1）1
2
k ≤
；（2）使用韦达定理，并结合（1）得：3k =-. 22．（1）3(1)(3)(3,0)t a y a x x B =⇒=++⇒-；
（2）(0,3)2,4D a AB CD ⇒==，代入易得1a =±；
（3）(2,5)(0)E k k k ->，由题知0a >，代入243y x x =++得1
4
k =
或3（舍） 所以15(,)24
E -，A 关于对称轴的对称点为B ，
故PA PE PB PE BE +=+≥，由直线方程计算易得1(2,)2
P -.。