磁场的能量
磁场的能量和磁通量的关系
磁场的能量和磁通量的关系磁场是物质中的电荷和电流所产生的物理现象，它具有能量。
而磁通量是磁场通过某一面积的量度，它描述的是磁场的强弱程度。
磁场的能量与磁通量存在一定的关系，下面将对这种关系进行详细探讨。
一、磁场能量的定义和表达式磁场能量是指磁场中所储存的能量，它可以通过磁场对磁体的作用力所做的功来表达。
设磁场中的磁力线为B，作用在磁体上的磁力为F，磁体在磁场中运动的距离为l，则磁场对磁体所做的功W可以表示为：W = F × l磁场力F可以用磁场与电流之间的相互作用关系来表示。
当电流I在磁场中运动时，它受到的磁场力F与磁场B和电流I之间的关系可以用洛伦兹力公式表示：F = B × I × l将上式代入磁场对磁体所做的功的表达式中，得到：W = (B × I × l) × l根据电磁学的知识，磁场强度B与电流I、磁通量Φ的关系为：B = μ₀ × I / (2πr)其中，μ₀是真空中的磁导率，r是距离电流I所在位置的半径。
将上述磁场强度B的表达式代入磁场对磁体所做的功的表达式中，可以得到：W = (μ₀ × I × l / (2πr)) × I × l二、磁通量和磁感应强度的关系磁通量Φ是描述磁场通过某一面积的量度，它与磁感应强度B之间存在一定的关系。
根据电磁学的知识，磁通量Φ可以表示为磁感应强度B通过面积S的乘积：Φ = B × S当磁感应强度B的大小和方向随着时间变化时，磁通量Φ也会发生相应的变化。
根据法拉第电磁感应定律，磁通量Φ的变化率与磁场对导体电荷的感应电动势ε之间存在关系：ε = -dΦ / dt其中，dΦ / dt表示磁通量Φ对时间的变化率。
根据上述关系，我们可以得到磁通量Φ和磁感应强度B之间的关系：Φ = B × S三、磁场能量和磁通量的关系从磁场能量的表达式中可以看出，磁场能量与磁场强度B和电流I之间存在一定的关系。
磁场的能量与磁场能的计算
磁场的能量与磁场能的计算磁场是物质周围的物理场，对于我们的生活和科学研究具有重要的意义。
了解磁场的能量和如何计算磁场能量对于深入理解磁场的本质和应用具有重要的意义。
本文将介绍磁场的能量及其计算方法。
一、磁场的能量磁场是由带电粒子的运动产生的，磁场能量即为磁场中储存的能量。
磁场能量可以分为两种类型：势能和动能。
1. 势能磁场具有势能的体现是磁场对带电物体产生力的能力。
当带电物体在磁场中运动时，磁场力将对其进行做功，从而将能量转化为势能。
势能的计算公式如下：E_p = -m · B其中，E_p表示势能，m表示带电物体的磁矩，B表示磁感应强度。
在SI国际单位制中，磁感应强度的单位为特斯拉（T），磁矩的单位为安培-米²（A·m²）。
2. 动能磁场中的动能是带电粒子在磁场力的作用下所具有的能量。
当带电粒子在磁场中做加速运动时，由于受到磁场力的作用，其动能将被转化为磁场能量。
动能的计算公式如下：E_k = 1/2mv²其中，E_k表示动能，m表示带电物体的质量，v表示带电物体在磁场中的速度。
在SI单位制中，质量的单位为千克（kg），速度的单位为米/秒（m/s）。
二、磁场能的计算磁场能的计算涉及到磁场强度、磁通量和磁场能量密度等多个参数。
下面将介绍一些常见的磁场能计算方法。
1. 对于匀强磁场在匀强磁场中，磁感应强度是恒定的，磁场能计算比较简单。
磁场能可以通过下列公式计算：W = V · B²/2μ₀其中，W表示磁场能，V表示磁场体积，B表示磁感应强度，μ₀表示真空磁导率。
2. 对于非匀强磁场在非匀强磁场中，磁感应强度随位置的变化而变化，计算磁场能稍微复杂。
一种常见的方法是将非匀强磁场分解为无穷小体积，然后对每个小体积进行磁场能的计算，最后将所有小体积的磁场能相加得到总的磁场能量。
三、总结本文介绍了磁场的能量及其计算方法。
磁场的能量可以分为势能和动能，势能是磁场对带电物体产生力的能力，动能是带电粒子在磁场中具有的能量。
电动力学的磁场能量
电动力学的磁场能量电动力学是物理学中重要的一个分支，它研究电荷和电荷之间的相互作用。
电动力学的一个重要概念是电场和磁场，本文将重点讨论磁场能量的相关内容。
1. 磁场的基本概念磁场是指由磁力线构成的区域，它是由电流、磁矩等所产生的。
磁感应强度B是磁场的物理量，表示单位面积上垂直于磁力线的磁力线数目。
在电动力学中，我们通常使用安培定律来描述磁场的产生与变化规律。
2. 磁场能量的定义根据电磁场的相互作用能量，我们可以得到磁场能量的定义。
当电流流过一个线圈时，线圈内部就会产生磁场。
这个磁场的能量可以通过一个简单的表达式来计算：W = (1/2)LI^2其中，W表示磁场的能量，L是线圈的感应系数，I是电流的大小。
3. 磁场能量的性质磁场能量具有一些重要的性质，这些性质反映了磁场的特点和变化规律。
3.1 磁场能量的密度磁场能量的密度是指单位体积内所包含的磁场能量。
它的计算公式为：u = (1/2)B^2其中，u表示磁场能量的密度，B是磁感应强度的大小。
3.2 磁场能量的守恒性在闭合磁路中，磁场能量是守恒的。
这意味着，磁场中的能量可以从一处转移到另一处，但总能量保持不变。
这一性质可以通过闭合磁路的内外环境进行能量交换来实现。
4. 磁场能量的应用磁场能量的概念和计算方法在实际应用中具有重要意义。
4.1 电动机电动机是一种将电能转换为机械能的设备，它的工作原理涉及到磁场能量的转换和利用。
通过电流在导线中产生的磁场，可以使得转子受到磁力的作用，从而转动电机。
4.2 变压器变压器也是利用磁场能量的一个典型例子。
它通过交变电流在铁芯中产生交变磁场，进而在次级线圈中感应出电动势，实现电压变换的功能。
4.3 电磁泵电磁泵是一种利用电磁力将液体或气体输送到目标位置的装置。
它通过电流在导线中产生的磁场，产生磁力，将液体或气体推动到需要的位置。
5. 结语磁场能量是电动力学中一个重要的概念，它与电磁场的相互作用有着密切的关系。
通过对磁场能量的理解和应用，我们可以更好地探索和利用电动力学的知识，推动科学技术的发展。
第二十八讲磁场的能量
后面将从能量观点证明
两个给定的线圈有： M21M12M
M就叫做这两个线圈的互感系数，简称为互感。
它的单位：亨利（H） 1H1Vs 1.s A
例题二：计算同轴螺旋管的互感
两个共轴螺旋管长为 l，匝数
分别为N1 、N2，管内充满磁
导率为 的磁介质 B1n1I1
l N 1
N2
线圈1产生的磁场通过线圈2的磁通链数 21Nl1 I1SN2
电缆单位长度的自感: Ll I1 2 lnR R1 2
例：求长直螺线管的自感系数
几何条件如图
解：设通电流 I
总长 l
总匝数 N
S
B
N l
I
NNBS
I
固有的性质 电惯性
L N2S
I
l
几何条件
二.互感现象 互感系数
当线圈 1中的电流变化时,所 激发的磁场会在它邻近的另 一个线圈 2 中产生感应电动 势;这种现象称为互感现象。 该电动势叫互感电动势。
可以仿照研究静电场能量的方法来讨论磁场的能量．
• 以自感电路为例，推导磁场能量表达式。
设：有一长为 l ，横截面为S,匝数
为N，自感为L的长直螺线管。电源 S
内阻及螺线管的直流电阻不计。
R
l
L k
当K接通时,在I↗过程中，L内产生与
电源电动势ε反向的自感电动势：
由欧姆定律： L dI RI
2 0r
以上是无漏磁情况下推导的，即彼此磁场完全穿过。
§5 磁场的能量 磁场能量密度
电场能量 W wdV 线圈 1所激发的磁场通过
在电容器充电过程中，外力克服静电力作功，将非静电力能→电能。
由电磁感应定律，自感电动势 e
磁场的能量的概述
2
放电时情况
K
L
R1 I
L
Lidt i Rdt (6)
idt
E
R2
i
dt内电阻消耗的能量 dt内自感电动势提供的能量 当电流从I 0时，对（6）式两边积分： 左边积分为自感电动势作功
0 di 1 2 A Lidt L dt Lidi LI I 自感电动势作的功 dt 2
总而言之： 互感电路的磁场能量
1 1 2 2 Wm L1 I10 L2 I 20 M I10 I 20 2 2
L1 M L2 磁通相助取正号；
I10
L1 M L2
I 20
磁通相消取负号；
I10
I 20
例1：求自感量分别为L1、L2、L2的两线圈串联后 的总自感量。 1 1 2 2 解：1）顺串： Wm L1 I L2 I 2 2 L1 M L2 1 2
L2
M 21
i 20 I2
1 2 L1 I10 2 M 21I10 I 20
与*式比较
…..**
1 1 2 2 Wm L1 I10 L2 I 20 M 12 I10 I 20…..* 2 2 W 'm Wm M12 M 21
以上只是磁通相的情况，磁通相消的情况呢？ L1 M L2 互感电动势与电流 i1 同向，即互感电 动势对外作功，能 量来之于磁能的减 i 20 I2 少。
i
即线圈磁场中 贮藏了能量： 放电时情况
K
1 2 0 Lidi 2 LI (4)
1 2 Wm LI (5) 2
R2 式（5）两边同乘
R1
L i( R1 R2 ) iR (5)
第8章_静磁能1__磁场的能量和能量密度__20101227
在物理上有时这样来看，将线圈1看成是外磁场，则
∫∫ 上式可进一步写成： W12 = I 2
r B1
(rr2
)
⋅
r dS
S2
其中 rr2是线圈2的面元 dSr对线圈1的位置矢量，S2 是线
圈流线2所圈张2在的外曲磁面场。这Br1中样所，具我有们的可磁将能该。系统的互能看成是载
后面还会将这一结果进一步推广。
§1. 磁场的能量和能量密度
在第三章中，我们介绍了电容器充电后能储存一定的
电能，即当电容器两极板之间的电压为u时，电容器所储
存的静电能为
We
=
1 2
Cu 2
现在我们已经讨论了自感和互感，自然会提出一个 问题：在电感元件中是否也有能量储存？如果有的话，以 什么形式储存？
下面就来讨论这个问题。
一.一个线圈的静磁能 （也称作自感磁能）
系满足右手定则。
讨论
r
在电介质中，我们得到电偶极子P
量表达式为
rr We = −P ⋅ E
=
1 2
r B1
⋅
r H1
=
1 2
B1H1
=
μ0I 2r2 8π 2a 4
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Wm1
=
a 0
2π l
ω m1rdϕdrdz
00
=
l 0
μ0I 2 8π 2a4
a
dz
0
2π
r 3dr dϕ
0
=
μ0I 2l 16π
注意
a. 在上面的积分中，根据对称性选取了柱坐标系。
b. 如果电流只分布在导线表面上，则此时 ∑ I = 0,
(( )) ( ) ∑I
磁场的能量公式
磁场的能量公式
1. 自感线圈磁场能量公式。
- 对于一个自感系数为L的线圈，当通过的电流为I时，其储存的磁场能量W = (1)/(2)LI^2。
- 推导过程：当电路中的电流I发生变化时，自感电动势E = - L(di)/(dt)。
在建立电流I的过程中，电源克服自感电动势做功，这个功就转化为磁场的能量。
根据能量守恒定律，设电流从0增加到I，电源克服自感电动势做的功W=∫_0^tEidt=∫_0^ILi
di=(1)/(2)LI^2。
2. 磁场能量密度公式。
- 在均匀磁场中，磁场能量密度w=(1)/(2)frac{B^2}{μ}，其中B是磁感应强度，μ是磁导率（对于真空μ=μ_0，对于介质μ = μ_rμ_0，μ_r是相对磁导率）。
- 推导过程：对于长直螺线管，内部磁场B=μ nI（n是单位长度的匝数），自感系数L=μ n^2V（V是螺线管的体积）。
根据W=(1)/(2)LI^2，将L和I=(B)/(μ n)代入可得W=(1)/(2)frac{B^2}{μ}V，所以磁场能量密度w = (W)/(V)=(1)/(2)frac{B^2}{μ}。
对于非均匀磁场，可以通过对体积元dV积分W=∫_Vw dV=∫_V(1)/(2)frac{B^2}{μ}dV
来计算磁场的总能量。
11-5磁场能量
Energy stored in a magnetic field
考察在开关合上后的一 段时间内， 段时间内，电路中的电流滋 长过程： 长过程：
L
R
ε
BATTE RY
电池
di 由全电路欧姆定律 − L + ε = iR dt ∞ I t ∞ 1 2 di = LI + ∫ i 2 Rdt ∫0 iεdt = ∫0 L dtidt + ∫0 iRidt 2 0
M12
I1 L1 I2 L2
M21
互感磁能
1 1 2 2 W = L I1 + L2 I2 + M 1I2 I 1 2 2
自感磁能 互感磁能
2、磁场的能量 、 螺线管特例： 螺线管特例：
L = µn V H = nI B = µnI
2
1 1 2 B 2 1 B2 1 2 W = LI = µn V( ) = V = BHV 2 2 2 µ 2 µn
I 解: H = 2πr
µI B= dV = 2πrldr R2 2πr R 1 1 W = ∫V wdV = ∫V µH2dV
2
1 I 2 µ( ) 2πrldr =∫ R 2 1 2πr µI 2l R2 ln( ) = 4π R1
ln( 2 ) LI = W = R 4 π 2 1
磁场能量密度： 磁场能量密度：单位体积中储存的磁场能量 wm
W 1 B2 1 1 2 w= = = µH = BH V 2 µ 2 2 任意磁场 dW = wdV = 1 BHdV 2
1 W = ∫V wdV = ∫V BHdV 2
例
如图.求同轴传输线之磁能及自感系数 如图 求同轴传输线之磁能及自感系数
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§6-4 磁场的能量
一 自感磁能
图6 - 16 自感磁能
当开关K 倒向1时，自感为L 的线圈中的电流i 将由零增大到恒定值I ，灯泡会逐渐亮起来。
这一电流变化在线圈中产生的自感电动势的方向与电流方向相反，起着阻碍电流增大的作用，自感电动势εL t i L d /d -=作负功。
在建立电流I 的整个过程中，外电源不仅要供给电路中产生焦耳热所需要的能量，而且还要抵抗自感电动势作功A L ，即
⎰=L L A A d ⎰
∞-=0(εL ) i d t ⎰∞=0d d d t i t
i
L ⎰
=I
i i L 0
d 22
1
I L =. A L 转化成为储存在线圈中的自感磁能，用W L 或W m 表示。
当开关K 倒向2切断电源时，线圈中的电流i 将由恒定值I 减小到零。
电流的减小在线圈中所产生的自感电动势εL t i L d /d -=作正功，阻碍电流的减小。
在电流由I 减小到零的过程中，自感电动势所作的总功为
⎰=t i A L L d ε⎰-=t i t
i L d )d d (⎰-=0d I i i L 221I L =. 切断电源后，线圈中所储存的自感磁能，通过自感电动势作功全部释放出来，转变
成了焦耳热，灯泡逐渐熄灭。
自感为L 的线圈，通有电流I 时储存的自感磁能为
22
1
I L W L =. (6.23)
二 互感磁能
若有两个相邻的线圈1和2，它们的自感分别为L 1和L 2，互感为M ，在其中分别有电流I 1和I 2. 在建立电流的过程中，电源除了供给线圈中产生焦耳热的能量和抵抗自感电动势作功外，还要抵抗互感电动势作功A M ，即
⎰⎰∞
∞
--=+=022*******d d t i t
i A A A M εε
⎰∞
+=0122121
12d )d d d d (t t i i M t
i i M ⎰∞=021d )(d d
t i i t
M
⎰==2
102121)(d I I I I M i i M .
电源抵抗两个线圈中的互感电动势所作的功，以磁能的形式储存起来，称为互感磁能，用W M 或W m 来表示，即
21I I M W M
=.
(6.24)
一旦电流中止，磁能就通过互感电动势作功全部释放出来。
总之，两个相邻的载流线圈所储存的总磁能为
M L L W W W W ++=21m
212222112
121I I M I L I L ++=. (6.25)
自感磁能不可能是负的，但互感磁能却可以是负的。
例如，当线圈1中的电流I 1
所产生的通过线圈2的磁通与线圈2中的电流I 2在自身中所产生的磁通同号时，I 1与I 2同号，互感磁能为正；否则，互感磁能为负。
若把上式写成对称形式，即
12212112222211m 2
1212121I I M I I M I L I L W +++=, 则可以将式(6.25)推广到k 个线圈的普遍情形，即
∑∑=≠=+=k i k
j i j i j i j i i i I I M I L W 1)
(1
,2m 2
121.
(6.26)
三 磁场的能量
按照近距作用观点，磁能是定域在磁场中的，可以从自感储存磁能的公式
2/2I L W L =导出磁场能量密度公式。
理想化的例子：设细螺绕环的平均半径为R ，总匝数为N ，其中充满相对磁导率为μr 的各向同性线性磁介质。
根据安培环路定理，当螺绕环通有电流I 时，可得
I n H =,
I n B r 0μμ=.
于是，按定义式(6.17)，可得螺绕环的自感为
V n I
S
I n N I S B N I L 20r 0r μμμμψ
====,
式中R N n R S V π=π=2/,2. 按式(6.23)，该螺绕环所储存的自感磁能为
V I n I L W 2
20r 2m 2121μμ==V I n I n )()(210r μμ=, 即
V H B W 21
m =.
上式表明，磁能W m 的大小与磁场所占体积V 成正比，即磁能分布在磁场中。
因此，
我们可以定义磁能密度为
H B V W w 2
1
m m ==. 可以证明，在普遍情况下，磁场中的磁能密度可以表达为
H B ⋅=2
1
m w . (6.27)
总磁能W m 等于w m 对磁场所占有的全部空间的积分，即
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=
=V V w W d 21
d m m H B ,
(6.28)
把磁场的能量及其密度与描述磁场的B 和H 联系了起来。
对于一个载流线圈，利用磁能公式(6.23)和式(6.28)可得
V I L d 2
1212⎰⎰⎰⋅=H B .
(6.29)
这不仅为自感L 提供了另一种计算方法，而且对于有限横截面积的导体来说，它还为自感提供了基本的定义。
如前所述，自感L 的另外两种定义是：
I L =ψ
,
(6.17) ε t
I L
t d d d d -=-=ψ.
(6.18)
对于有两个载流线圈同时存在的情况，不仅要考虑自感磁能，而且还要考虑互感磁
能。
设两个线圈上的电流分别为I 1和I 2，它们各自产生的磁场强度分别为H 1和H 2，磁感应强度分别为B 1和B 2，则总的磁场强度、磁感应强度和磁能分别为：
21=H H H +, 21=B B B +.
⎰⎰⎰⋅=V W d 21m H B ⎰⎰⎰+⋅+=V d )()(2
1
2121H H B B
⎰⎰⎰⋅++=V H H d )2(2
12122210r H H μμ. (6.30)
式中前两项分别为两个线圈的自感磁能，第三项为互感磁能。
自感磁能密度总是正的，互感磁能密度在H 1⋅H 2成锐角的地方是正的，成钝角的地方是负的。
由式(6.30)还可以看出，系统的总磁能只与最后所达到的状态有关，而与磁场建立的过程无关。
[例题6.9] 同轴电缆由半径分别为R 1和R 2的两个无限长同轴长导体柱面组成，它们所通过的电流大小相等、方向相反。
试求无限长同轴电缆中长度为l 的一段的磁场能量及其自感。
图6 - 17 同轴电缆
[解] ( 1 ) 解法一：根据安培环路定理，磁场只存在于两导体面之间，即当2
1R r R <<时，有
r I H π=2,
r
I
H B π=
=20r 0r μμμμ,
222
0r m 821r
I H B w π==μμ. 在长度为l 的一段同轴线内的总磁能为
⎰
⎰
π
=
π=
21
2
1d 4d 220r m
m R R R R r r l
I r r l w W μμ1
2
20r ln
4R R l I π=μμ.
再根据式(6.29)，可以得到这段同轴电缆的自感为
1
2
0r m ln 22R R l
I W L l π==
μμ.
( 2 ) 解法二：先利用两柱面间的磁感应强度分布求出面元l d r 的磁通量Φd ，然
后求出长度为l 的一段同轴线内的总磁通量
⎰⎰
π==r r
l
I R R d 2d 21
r 0μμΦΦ
1
2r 0ln 2R R l
I π
=
μμ，
最后利用自感的定义式(6.17)可得上述结果。