浙江高考数学一轮复习第十章计数原理10.2排列与组合讲义含解析

§10.2排列与组合1.排列与组合的概念2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示.(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示.3.排列数、组合数的公式及性质概念方法微思考1.排列问题和组合问题的区别是什么？提示元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合.2.排列数与组合数公式之间有何关系？它们公式都有两种形式，如何选择使用？提示(1)排列数与组合数之间的联系为C m n A m m＝A m n.(2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式.前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证.3.解排列组合综合应用问题的思路有哪些？提示解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手.“分析”是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( ×)(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( ×)(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( √)(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.( √)(5)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立.( ×)(6)k C k n＝n C k－1n－1.( √)题组二教材改编2.[P27A组T7]6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144B.120C.72D.24答案 D解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.3.[P19例4]用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )A.8B.24C.48D.120答案 C解析末位数字排法有A12种，其他位置排法有A34种，共有A12A34＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.题组三易错自纠4.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A.192种B.216种C.240种D.288种答案 B解析 第一类：甲在最左端，有A 55＝5×4×3×2×1＝120(种)排法； 第二类：乙在最左端，甲不在最右端， 有4A 44＝4×4×3×2×1＝96(种)排法. 所以共有120＋96＝216(种)排法.5.为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为( ) A.180B.240C.540D.630 答案 C解析 依题意，选派方案分为三类：①一个国家派4名，另两个国家各派1名，有C 46C 12C 11A 22·A 33＝90(种)；②一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有C 36C 23C 11A 33＝360(种)；③每个国家各派2名，有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90(种)，故不同的选派方案种数为90＋360＋90＝540.6.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A ，B ，C ，D ，E 五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种.(用数字作答) 答案 45解析 设5名同学也用A ，B ，C ，D ，E 来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E 同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC ，BDAC ，BCDA ，CADB ，CDAB ，CDBA ，DABC ，DCAB ，DCBA ，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9×5＝45(种).题型一 排列问题1.用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有( ) A.96个 B.78个 C.72个 D.64个答案 B解析 根据题意知，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字中的一个，当首位是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A 44＝24(个)；当首位是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(A 44－A 33)＝54(个)，因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求.故选B.2.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言.(用数字作答) 答案 1560解析由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1560(条)留言.3.6名同学站成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有________种不同站法.答案480解析方法一(位置优先法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有A25种站法；第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有A44种站法.由分步乘法计数原理可知，共有A25A44＝480(种)不同的站法.方法二(元素优先法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边)，再安排其他5人的位置，分为两步：第1步，将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A14种站法；第2步，余下5人站在剩下的5个位置上，有A55种站法.由分步乘法计数原理可知，共有A14A55＝480(种)不同的站法.思维升华排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.题型二组合问题例1男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员.解(1)分两步完成：第一步，选3名男运动员，有C36种选法；第二步，选2名女运动员，有C24种选法.由分步乘法计数原理可得，共有C36·C24＝120(种)选法.(2)方法一“至少有1名女运动员”包括以下四种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理可得总选法共有C14C46＋C24C36＋C34C26＋C44C16＝246(种).方法二“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解.从10人中任选5人有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种.所以“至少有1名女运动员”的选法有C510－C56＝246(种).(3)方法一(直接法)可分类求解：“只有男队长”的选法种数为C48；“只有女队长”的选法种数为C48；“男、女队长都入选”的选法种数为C38，所以共有2C48＋C38＝196(种)选法.方法二(间接法)从10人中任选5人有C510种选法，其中不选队长的方法有C58种.所以“至少有1名队长”的选法有C510－C58＝196(种).(4)当有女队长时，其他人任意选，共有C49种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法，其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长时的选法共有(C48－C45)种.所以既要有队长又要有女运动员的选法共有C49＋C48－C45＝191(种).思维升华组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，当用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.跟踪训练1某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561种取法，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5984种取法.∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种.(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C215＝2100种取法.∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.(4)选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2100＋455＝2555(种).∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.(5)方法一(间接法)选取3种商品的总数为C335，选取3种假货有C315种，因此共有选取方式C335－C315＝6545－455＝6090(种).∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.方法二(直接法)选取0种假货有C320种，选取1种假货有C115C220种，选取2种假货有C215C120种，因此共有选取方式C320＋C215C120＋C115C220＝6090(种).∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.题型三排列与组合的综合问题命题点1 相邻问题例23名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为( ) A.2B.9C.72D.36答案 C解析可分两步完成：第一步，把3名女生作为一个整体，看成一个元素，3名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排有A22种排法；第二步，3名女生排在一起有A33种排法，3名男生排在一起有A33种排法，故排法种数为A22A33A33＝72.命题点2 相间问题例3某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168答案 B解析先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A22C13A23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A22A34＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法.命题点3 特殊元素(位置)问题例4(2018·浙江省金华名校统练)某公司安排五名大学生从事A，B，C，D四项工作，每项工作至少安排一人且每人只能安排一项工作，A项工作仅安排一人，甲同学不能从事B项工作，则不同的分配方案的种数为( )A.96B.120C.132D.240答案 C解析当甲选A时，共有C24C13A22＝36(种)分配方案；当甲不选A时，若B安排两人，共有C14C23 A22＝24(种)分配方案，若C或D安排两人，共有C14C13C23A22＝72(种)分配方案.所以一共有36＋24＋72＝132(种)分配方案.思维升华解排列、组合问题要遵循的两个原则①按元素(位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置).跟踪训练2(1)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.答案36解析将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A22A44种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A22A33种方法.于是符合题意的摆法共有A22A44－A22A33＝36(种).(2)(2017·浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法.(用数字作答)答案660解析方法一只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法.由分步乘法计数原理知，共有C12C36A24＝480(种)选法. 有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法.由分步乘法计数原理知，共有C26A24＝180(种)选法.所以依据分类加法计数原理知，共有480＋180＝660(种)不同的选法.方法二不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种).1.“中国梦”的英文翻译为“ChinaDream”，其中China又可以简写为CN，从“CNDream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( )A.360种B.480种C.600种D.720种答案 C解析从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列，共有C45A55＝600种，故选C.2.(2018·浙江省十校联盟高考适应性考试)某国际会议在杭州举行，为做好服务工作，若将4名志愿者分配到主会场附近的3个路口维持交通，每个路口至少安排1名志愿者，则不同的分配方案种数为( )A.12B.36C.72D.108答案 B解析由于元素个数多于位置个数，故先分堆再分位置，分两步完成：第一步，从4名志愿者中选出2名志愿者作为一组，其余2名志愿者各自为一组，共有C24种选法；第二步，将上述三组与3个路口对应，共有A33种分配方案.故不同的分配方案种数为C24A33＝36.故选B.3.(2018·浙江省镇海中学模拟)甲、乙、丙、丁四个人到A，B，C三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A景点的方案有( )A.18种B.12种C.36种D.24种答案 D解析①甲单独一人时，则甲只能去B，C两个景点中的一个，其余三人分为两组，然后分别去剩余的两个景点，则有C12C23A22＝12(种)；②甲与另外一人为一组，去B，C两个景点中的一个，其余两人分别各去一个景点，则有C13C12A22＝12(种).由分类加法计数原理可得总的方案为24种，故选D.4.(2018·杭州七校联考)一个盒中装有黑、白、红三种颜色的卡片共10张，其中黑色卡片3张.已知从盒中任意摸出2张卡片，摸出的2张卡片中至少有1张是白色的情况有35种，则盒中红色卡片的张数为( )A.1B.2C.3D.4答案 B解析设盒中白色卡片有x张，则C210－C210－x＝35，∴x2－19x＋70＝0，∴x＝5或x＝14(舍去)，∴红色卡片的张数为10－3－5＝2.故选B.5.(2019·台州质检)有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是( )A.144B.216C.288D.432答案 D解析第一步，老师站中间，分别选一个男生与一个女生站在老师两边，共有C13C13A22＝18(种)排法；第二步剩余的学生全排列，共有A44＝24(种)排法，根据分步乘法计数原理得排法共有18×24＝432(种)，故选D.6.(2018·浙江联盟校联考)近年来，随着高考制度的改革，高考分数不再是高校录取的唯一标准，自主招生、“三位一体”综合评价招生的出现，使得学生的选择越来越多.2018年有3所高校欲通过“三位一体”综合评价招生共招收24名高三学生，若每所高校至少招收一名学生，且人数各不相同，则不同的招生方法种数是( )A.252B.253C.222D.223答案 C解析采用隔板法，在24名学生排列所形成的23个间隔中，任插入2个隔板，分成三组，共有C223＝253种，其中三组人数都相同的情况是(8，8，8)，1种；有两组人数相同的人数组合情况是(1，1，22)，(2，2，20)，(3，3，18)，(4，4，16)，(5，5，14)，(6，6，12)，(7，7，10)，(9，9，6)，(10，10，4)，(11，11，2)，则有两组人数相同的情况共有10×3＝30种.所以每所高校至少招收一名学生，且人数各不相同的招生方法有253－1－30＝222种.故选C.7.(2018·浙江)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案1260解析不含有0的四位数有C25×C23×A44＝720(个).含有0的四位数有C25×C13×C13×A33＝540(个).综上，四位数的个数为720＋540＝1260.8.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种.(用数字作答)答案60解析分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A34种分法；第二类：3张中奖奖券分给2个人，相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有C23A24种分法.总获奖情况共有A34＋C23A24＝60(种).9.要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种.(用数字作答)答案120解析先从除了甲、乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有C16A22＝12(种)，把这三个人看成一个整体，与从剩下的五人中选出的一个人全排列，有C15A22＝10(种)，故不同的发言顺序共有12×10＝120(种).10.用数字0，1，2，3，4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有________个.答案240解析 由题意知本题是一个分步计数问题，从1，2，3，4四个数中选取一个有四种选法，接着从这五个数中选取3个在中间三个位置排列，共有A 35＝60(个)，根据分步乘法计数原理知，有60×4＝240(个).11.(2018·温州普通高中高考适应性测试)学校高三大理班周三上午四节、下午三节有六门科目可供安排，其中语文和数学各自都必须上两节而且两节连上，而英语、物理、化学、生物最多上一节，则不同的功课安排有______种情况. 答案 336解析 当语文和数学都安排在上午时，不同的功课安排有A 22A 34种情况；当语文和数学有一科安排在上午，一科安排在下午时，不同的功课安排有C 24C 12A 33C 12A 22种情况，所以不同的功课安排一共有A 22A 34＋C 24C 12A 33C 12A 22＝336(种)情况.12.某宾馆安排A ，B ，C ，D ，E 五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A ，B 不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法.(用数字作答) 答案 114解析 5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3，1，1)和(2，2，1)两种，当为(3，1，1)时，有C 35·A 33＝60(种)，A ，B 住同一房间有C 13·A 33＝18(种)，故有60－18＝42(种)，当为(2，2，1)时，有C 25·C 23A 22·A 33＝90(种)，A ，B 住同一房间有C 23·A 33＝18(种)，故有90－18＝72(种)，根据分类加法计数原理可知，共有42＋72＝114(种).13.7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为( ) A.120B.240C.360D.480 答案 C解析 前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有C 14C 13种方法，对于后排，若插入的2人不相邻，有A 25种方法；若相邻，有C 15A 22种，故共有C 14C 13(A 25＋C 15A 22)＝360(种)，故选C.14.设三位数n ＝abc ，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有多少个？解 a ，b ，c 要能构成三角形的边长，显然均不为0，即a ，b ，c ∈{1，2，3，…，9}.①若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n 1，由于三位数中三个数字都相同，所以n 1＝C 19＝9；②若构成等腰(非等边)三角形，设这样的三位数的个数为n 2，由于三位数中只有2个不同数字，设为a ，b ，注意到三角形腰与底可以互换，所以可取的数组(a ，b )共有2C 29组，但当大数为底时，设a >b ，必须满足b <a <2b ，此时，不能构成三角形的数字是共20种情况.同时，每个数组(a，b)中的两个数字填上三个数位，有C23种情况，故n2＝C23(2C29－20)＝156.综上，n＝n1＋n2＝165.15.设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7)|x i∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5，6，7}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋…＋|x7|≤4”的元素个数为( )A.938B.900C.1200D.1300答案 A解析A中元素为有序数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7)，题中要求有序数组的7个数中仅有1个±1，仅有2个±1，仅有3个±1或仅有4个±1，所以共有C17×2＋C27×22＋C37×23＋C47×24＝938(个).16.(2018·浙江教育绿色评价联盟高考适应性考试)有7个球，其中红色球2个(同色不加区分)，白色，黄色，蓝色，紫色，灰色球各1个，将它们排成一行，要求最左边不排白色，2个红色排一起，黄色和红色不相邻，则有______种不同的排法(用数字回答).答案408解析不考虑白色球排列限制，先不排黄色球和红色球，其他球任意排列共有A44种排法，再将2个红色球(排一起)和黄色球插入5个空隙中，有A25种排法，即此时排法共有A44A25＝480(种)，而最左边排白色球的排法共有A33A24＝72(种)，故符合条件的排法共有480－72＝408(种).11。