2017-2018学年天津市五校期末数学试卷(理科)(含答案)

2016-2017学年天津市五校（宝坻一中、静海一中、杨村一中、芦台一中、蓟县一中）高三（上）期末数学试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={1，4}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∪B=（）A. {1，4}B. {0，1，4}C. {0，2}D. {0，1，2，4}2.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x-2y的最小值为（）A. B. -3 C. 0 D. 13.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出v的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 74.已知ABC是钝角三角形，若AC=1，BC=2，且ABC的面积为，则AB=.A. B. C. D. 35.设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为单调递增数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知双曲线的焦点的渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线x-2y+3=0平行，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.7.在△ABC中，D在AB上，AD：DB=1：2，E为AC中点，CD、BE相交于点P，连结AP．设=x+y（x，y∈R），则x，y的值分别为（）A. B. C. D.8.已知f（x）=（x2-3）e x（其中x∈R，e是自然对数的底数），当t1＞0时，关于x的方程[f（x）-t1][f（x）-t2]=0恰好有5个实数根，则实数t2的取值范围是（）A. （-2e，0）B. （-2e，0]C. [-2e，6e-3]D. （-2e，6e-3）二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1-2i）（2+ai）=b-2i，则a+b的值为______ ．10.在的展开式中，x-3的系数为______ ．（用数字作答）11.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是______ ．12.在平面直角坐标系xOy中，由曲线与直线y=x和y=3所围成的封闭图形的面积为______ ．13.在直角坐标系xOy中，已知曲线（t为参数），曲线（θ为参数，a＞1），若C1恰好经过C2的焦点，则a的值为______．14.已知，若方程f（x）=kx有且仅有一个实数解，则实数k的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，f（x）的最小值为2，求a的值．16.某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A学校且1名为女棋手，另外4名来自B学校且2名为女棋手．从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛（I）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；（Ⅱ）设X为选出的4名队员中A、B两校人数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，AD=BC=2，E在BC上，且BE=AB=1，侧棱PA⊥平面ABCD．（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；（2）若△PAB为等腰直角三角形．（i）求直线PE与平面PAC所成角的正弦值；（ii）求二面角A-PC-D的余弦值．18.已知数列{a n}的前n项和，数列{b n}的前n项和为B n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和C n；（3）证明：．19.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若△BF1F2的周长为6，且点F1到直线BF2的距离为b．（1）求椭圆C的方程；（2）设A1，A2是椭圆C长轴的两个端点，点P是椭圆C上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P交直线x=m于点M，若以MP为直径的圆过点A2，求实数m的值．20.已知函数，函数f（x）的图象记为曲线C．（1）若函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，求c的取值范围；（2）若函数y=f（x）-m有两个零点α，β（α≠β），且x=α为f（x）的极值点，求2α+β的值；（3）设曲线C在动点A（x0，f（x0））处的切线l1与C交于另一点B，在点B处的切线为l2，两切线的斜率分别为k1，k2，是否存在实数c，使得为定值？若存在，求出c的值；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．【解析】解：∵集合A={1，4}，B={y|y=log2x，x∈A}={0，2}，∴A∪B={0，1，2，4}．故选D．2.【答案】A【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（，），由z=x-2y得：y=x-z，平移直线y=x，结合图象直线过A（，）时，z最小，z的最小值是：-，故选：A．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最小值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．3.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得n=2，a0=1，a1=2，a2=3，v=3，i=1满足条件i≥0，执行循环体，v=5，i=0满足条件i≥0，执行循环体，v=6，i=-1不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为6．故选：C．模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的v，i的值，当i=-1时不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为6．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，当循环次数不多或由规律时，常采用模拟运行程序的方法来解决，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：由题意得，钝角三角形ABC，若AC=1，BC=2，且ABC的面积为，则×sin C=，解得sin C=，由0＜C＜π得，C=或，当C=时，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2-2AC•BC•cos C=1+4-2×1×=3，AB=，则A是最大角，cos A=0，则A是直角，这与三角形是钝角三角形矛盾，所以C=，则AB2=AC2+BC2-2AC•BC•cos C=1+4+2×1×=7，则AB=，故选：B．根据题意和三角形的面积公式求出sin C的值，由内角的范围、特殊角的正弦值求出角C，再分别利用余弦定理求出AB的值，并利用余弦定理验证是否符合条件．本题考查余弦定理及其变形，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，注意内角的范围，考查化简、计算能力．5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键，根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：等比数列-1，-2，-4，…，满足公比q=2＞1，但{a n}不是递增数列，充分性不成立，若a n=-1（）n-1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选D.6.【答案】A【解析】解：双曲线的焦点的渐近线的距离为2，可得b=2；双曲线的一条渐近线与直线x-2y+3=0平行，可得，解得a=4．所求双曲线方程为：．故选：A．利用焦点的渐近线的距离为2，双曲线的一条渐近线与直线x-2y+3=0平行，求出a，b，即可得到双曲线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．7.【答案】C【解析】【分析】由D、P、C三点共线，则存在实数λ使得=λ+（1-λ），以及E、P、B三点共线，同理存在实数μ使得=+μ，根据平面向量基本定理即可得，解得λ或μ，再根据平面向量基本定理即可求出x，y的值．本题考查共线向量基本定理，以及向量的减法，以及平面向量基本定理，属于中档题【解答】解：由D、P、C三点共线，则存在实数λ使得=λ=λ（-），∴-==λ（-），∴=λ+（1-λ），∵AD：DB=1：2，∵=，∴=λ+（1-λ），由E为AC中点，由E、P、B三点共线，同理存在实数μ使得=+μ，∴，解得∴=+，∵=x+y（x，y∈R），∴x=，y=，故选：C.8.【答案】D【解析】解：f（x）=（x2-3）e x的导数为f′（x）=（x2+2x-3）e x=（x-1）（x+3）e x，当-3＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＞1或x＜-3时，f′（x）＞0，f（x）递增．可得f（x）的极小值为f（1）=-2e，极大值为f（-3）=6e-3，作出y=f（x）的图象，如图：当t1＞0时，关于x的方程[f（x）-t1][f（x）-t2]=0恰好有5个实数根，即为f（x）=t1或f（x）=t2恰好有5个实数根，若t1＞6e-3，f（x）=t1只有一个实根，不合题意；若0＜t1＜6e-3，f（x）=t1有三个实根，只要-2e＜t2≤0，满足题意；若t1=6e-3，f（x）=t1有两个实根，只要0＜t2＜6e-3，满足题意；综上可得，t2的范围是（-2e，6e-3）．故选：D．求出f（x）的导数，单调区间和极值，画出f（x）的大致图象，讨论t1的范围，确定t2的范围，通过图象即可得到所求范围．本题考查函数和方程的转化思想，考查数形结合思想方法运用，以及导数的运用：求单调区间和极值，属于中档题．9.【答案】8【解析】解：∵（1-2i）（2+ai）=（2+2a）+（a-4）i=b-2i，∴，解得．则a+b的值为：8．故答案为：8．利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的充要条件，是基础题．10.【答案】-24【解析】解：的展开式的通项公式为T r+1=•（4x2）6-r•（-）r=（-1）r•46-r••x12-3r，令12-3r=-3，解得r=5，∴展开式中x-3的系数为-24．故答案为-24．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于-3，求出r的值，即可求得x-3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．11.【答案】【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，底面面积为：×2×4=4，底面周长为：2+4+=6+2，故棱柱的表面积S=2×4+4×（6+2）=，故答案为：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，代入棱柱表面积公式，可得答案．本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度基础．12.【答案】4-ln3【解析】【分析】本题考查封闭图形的面积的计算，考查定积分知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．由题意，由曲线与直线y=x和y=3所围成的封闭图形的面积为+，即可得出结论．【解答】解：由题意，由曲线与直线y=x和y=3所围成的封闭图形的面积为+=（3x-ln x）+2=4-ln3．故答案为4-ln3．13.【答案】【解析】解：∵曲线（t为参数），曲线（θ为参数，a＞1），∴曲线C1的普通方程为x2-y2=4，曲线C2的普通方程为=1，a＞1，∵C1恰好经过C2的焦点（，0），∴a2-1=4，解得a=．故答案为：．求出曲线C1的普通方程为x2-y2=4，曲线C2的普通方程为=1，a＞1，由此能求出结果．本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、普通方程的互化及椭圆、双曲线性质的合理运用．14.【答案】（-∞，e）【解析】解：，若方程f（x）=kx有且仅有一个实数解，就是分段函数的图象与y=kx的图象只有一个交点，如图：显然k小于直线OA的斜率时满足题意，y=e x，x≥1，导函数为y′=e x，是增函数，当x=1时，函数取得最小值，此时OA的斜率最小，为e，可得k＜e．故答案为（-∞，e）．画出分段函数与y=kx的图象，利用方程f（x）=kx有且仅有一个实数解，判断k的范围即可．本题考查函数的零点的求法，导数的应用，函数的单调性与导数的关系，考查学生的计算能力．15.【答案】解：（1）函数=，…（4分）∴f（x）的最小正周期为π；（2）当时，2x+∈[，]，∴f（x）的最小值为-1+a+1=2，∴a=2．【解析】（1）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，即可求f（x）的最小正周期；（2）当时，2x+∈[，]，利用f（x）的最小值为2，求a的值．本题考查二倍角、辅助角公式，化简函数，考查函数的性质，属于中档题．16.【答案】解：（I）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A=“恰有1位女棋手”，则，…（4分）所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为．…（5分）（II）随机变量X的所有可能取值为0，2，4．其中，，．…（9分）所以，随机变量X分布列为随机变量X的数学期望．…（13分）【解析】（Ⅰ）利用古典概型的概率求解方法求出概率即可；（Ⅱ）求出随机变量X的所有可能取值，求出相应的概率，得到X的分布列，然后求解数学期望．本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，又∵AB⊥AD，故可建立建立如图所示坐标系．由已知D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ），（λ＞0）∴=（2，4，0），=（0，0，λ），=（2，-1，0），∴=4-4+0=0，．∴DE⊥AC，DE⊥AP，且PA∩AC=A，∴ED⊥平面PAC，∵ED⊂平面PDE，平面PDE⊥平面PAC．解：（2）（i）由（1）得，平面PAC的一个法向量是=（2，-1，0），∵△PAB为等腰直角三角形，故PA=2，．设直线PE与平面PAC所成的角为θ，则===，∴直线PE与平面PAC所成角的正弦值为．（ii）设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），=（2，2，0），=（0，-2，2），则，令x=1，则=（1，-1，-1），∴cos＜＞==．∵二面角A-PC-D的平面角是锐角，∴二面角A-PC-D的余弦值为．【解析】（1）由AB⊥PA，AB⊥AD，建立建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面PDE⊥平面PAC．（2）（i）求出平面PAC的一个法向量和，利用向量法能求出直线PE与平面PAC所成角的正弦值．（ii）求出平面PCD的一个法向量，利用向量法能求出二面角A-PC-D的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值和二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18.【答案】解：（1）当n≥2时，，，两式相减：a n=A n-A n-1=2n-1；当n=1时，a1=A1=1，也适合a n=2n-1，故数列{a n}的通项公式为a n=2n-1；（2）由题意知：，C n=c1+c2+…+c n，，，两式相减可得：，即，，.（3），显然，即b n＞2，B n=b1+b2+…+b n＞2n；另一方面，，即，，…，，，即：2n＜B n＜2n+2.【解析】本题考查数列递推式的应用，突出考查错位相减法求和与累加法求和的综合运用，考查推理与运算能力，属于难题．（1）当n≥2时，利用a n=A n-A n-1可得a n=2n-1，再验证n=1的情况，即可求得数列{a n}的通项公式；（2）由题意知：，利用错位相减法即可求得数列{c n}的前n项和C n；（3）利用基本不等式可得＞，可得B n=b1+b2+…+b n ＞2n；再由b n=，累加可，于是可证明：．19.【答案】解：（1）由已知得，解得．所以椭圆C的方程为．（2）由题意知A1（-2，0），A2（2，0），设P（x0，y0），则，得．且由点P在椭圆上，得．若以MP为直径的圆过点A2，则，所以，因为点P是椭圆C上不同于A1，A2的点，所以x0≠±2．所以上式可化为，解得m=14．【解析】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系，向量的数量积的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．（1）由已知列出方程，求出a，b，即可得到椭圆方程．（2）由题意知A1（-2，0），A2（2，0），设P（x0，y0），求出M坐标，由点P在椭圆上，以MP为直径的圆过点A2，则，求出x0≠±2．然后求解m即可．20.【答案】解法一：（1）f'（x）=x2-2x+c，当x∈[0，+∞）时f'（x）=x2-2x+c≥0所以（x2-2x+c）min≥0，而x2-2x+c在x=1处取得最小值，所以1-2+c≥0，c≥1；…（4分）（2）因为x=α为f（x）的极值点，所以，所以c=-α2+2α，又因为y=f（x）-m有不同的零点α，β，所以f（α）=f（β），即，整理得：，所以2α+β=3．…（9分）（3）满足条件的实数c存在，由f'（x）=x2-2x+c，知过A（x0，f（x0））点与曲线相切的直线l1为：y=f'（x0）（x-x0）+f（x0），且k1=-2x0+c，将y=f'（x0）（x-x0）+f（x0）与y=f（x）联立即得B点得横坐标，所以f'（x0）（x-x0）+f（x0）=f（x）即：整理得：由已知x≠x0，所以x+2x0-3=0所以x=3-2x0，即B点的横坐标为3-2x0所以过点B的曲线的切线斜率为：===4k1+3-3c因此当且仅当 3-3c=0时，k1、k1成比例，这时c=1即存在实数c=1，使为定值．…（14分）解法二：（1）f'（x）=x2-2x+c，当x∈[0，+∞）时f'（x）=x2-2x+c≥0，所以c≥-（x2-2x）对任意的x∈[0，+∞）恒成立，故c≥[-（x2-2x）]max，即[-（x2-2x）]max=1，故c的取值范围是[1，+∞）；…（4分）（2）因为x=α为f（x）的极值点，且y=f（x）-m有两个零点α，β（α≠β），所以f（x）-m=0的三个实数根分别为α，α，β，由根与系数的关系得；…（9分）（3）满足条件的实数c存在，因为f'（x）=x2-2x+c，所以过A（x0，f（x0））点且与曲线C相切的直线l1为：y=f'（x0）（x-x0）+f（x0），其中．设l1与C交于另一点B（x1，y1），则x0，x0，x1必为方程f（x）=f′（x0）（x-x0）+f （x0）的三个实数根，由f（x）=f′（x0）（x-x0）+f（x0）得，因为上述方程的右边不含三次项和二次项，所以，所以x1=3-2x0，所以===4k1+3-3c．因此当且仅当 3-3c=0时，k1、k1成比例，这时c=1，即存在实数c=1，使为定值．…（14分）【解析】（1）求出函数的导数，根据x=1是函数的最小值点，得到关于c的不等式，解出即可；（2）求出c=-α2+2α，根据f（α）=f（β）得：，从而求出α和β的关系；（3）求出函数f（x）的导数，得到x+2x0-3=0，即B点的横坐标为3-2x0所以过点B的曲线的切线斜率，根据k1，k2的值，作商即可．（1）求出函数的导数，分离参数c，根据函数的单调性求出c的范围即可；（2）根据根与关系判断即可；（3）分别求出k1，k2的值，作商即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及直线的斜率问题，考查转化思想，是一道综合题．。