吉林省吉林市2015届高三第三次模拟考试 数学理 Word版含答案

2015年吉林市普通高中高三复习第三次调研测试卷数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。

注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集*=N U ，集合},,,{98632=，A ，集合}N ,|{*∈3>=x x x B ，则图中阴影部 分所表示的集合是 （A ）}{2（B ）}{32， （C ）},{321，（D ）},{986，2．已知i 为虚数单位，则=+12ii- （A ）25 （B ）25 （C ）217 （D ）210 3．已知α是第四象限角，且43-=αtan ，则=αsin （A ）53-（B ）54-（C ）53 （D ）54 4．已知实数y x 、满足⎪⎩⎪⎨⎧0≥2-+20≤3--33≤y x y x y ，则目标函数y x z -2=的最大值为（A ）-4（B ）1（C ）2（D ）35. 已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，若P (ξ>3)＝0.023，则P (－1≤ξ≤3)等于 （A ）0.977（B ）0.954（C ）0.628（D ）0.4776．x x x d )(--1⎰102等于（A ）41 （B ）21 （C ）41-π （D ）42-π7．现有三个函数：①2+=-xx e e y ，②2-=-x x e e y ，③xx x x e e e e y --+-=的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是 （A ）①②③（B ）③①②（C ）②①③（D ）③②①8．已知执行如下左图所示的程序框图，输出的485=S ，则判断框内的条件可以是 （A ）?5<k （B ）?7>k （C ）?5≤k （D ）?6≤k9．一个几何体的三视图如上右图，则其表面积为（第9题图）（第8题图）（A ）20 （B ）18 （C ）32+14 （D ）22+1410．边长为4的正方形ABCD 的中心为O ，以O 为圆心，1为半径作圆，点M 是圆O 上的任意一点，点N 是边AB 、BC 、CD 上的任意一点（含端点），则⋅的取值范围是 （A ）][1818-，（B ）][1616-，（C ）][1212-，（D ）][88-，11．已知边长为1的等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角D AB C -- 的余弦值为33，若A 、B 、C 、D 、E 在同一球面上，则此球的体积为 （A ）π2（B ）π328（C ）π2（D ）π32 12．若存在直线l 与曲线1C 和曲线2C 都相切，则称曲线1C 和曲线2C 为“相关曲线”， 有下列四个命题：①有且只有两条直线l 使得曲线：1C 4=+22y x 和曲线0=4+2+4-+222y x y x C :为“相关曲线”； ②曲线1+21=21x y C :和曲线1-21=22x y C :是“相关曲线”； ③当0>>a b 时，曲线ax y C 4=21:和曲线2222=+a y b x C ）（-:一定不是“相关曲线”；④必存在正数a 使得曲线：1C x a y ln =和曲线:2C x x y -=2为“相关曲线”. 其中正确命题的个数为 （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答. 二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分。

13．从5名志愿者中选出4人，分别参加两项公益活动，每项活动2人，则不同安排方案的种数为 .（用数字作答）14．设}{n a 是公比不为1的等比数列，其前n 项和为n S ，若534a a a ，，成等差数列，则=24S S . 15．把函数21-+3=2x x x x f cos cos sin )(图象上各点向右平移)(0>ϕϕ个单位，得到函数x x g 2=sin )(的图象，则ϕ的最小值为 .16．已知直线0=1+-y x l :与抛物线y x C 2=2:交于A ，B 两点，点P 为直线l 上一动点，M ，N 是抛物线C 上两个动点，若//，||||<， 则△PMN 的面积的最大值为 .三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，设S 为△ABC 的面积，满足)(222-+43=b c a S . （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若3=b ，设x A =，c a y 2+13=）（-，求函数)(x f y =的解析式和最大值.18．（本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如下直方图:（Ⅰ）若直方图中前三组的频数成等比数列，后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1~50名和951~1000名的学生进行了调查，得到如下数据：根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?（Ⅲ）在（Ⅱ）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1~50名的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 附：))()()(()(d b c a d c b a bc ad n K ++++-=224.0 4.2 4.4 4.6 4.85.0 5.219．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，CD AD CD AB ⊥，//，1==AD AB ,2=CD ，N M 、分别为EC 和BD 的中点.（Ⅰ）求证：⊥BC 平面BDE ；（Ⅱ）求直线MN 与平面BMC 所成的角的正弦值.20．（本小题满分12分）已知椭圆)(:0>>1=+2222b a by a x C 的左、右焦点分别为)(011，-F 、)(012，F ，过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△2ABF 的周长为24. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点)(04，作与直线l 平行的直线m ，且直线m 与抛物线x y 4=2交于P 、Q 两点，若A 、P 在x 轴上方，直线PA 与直线QB 相交于x 轴上一点M ，求直线l 的方程.ABFEDCNM21．（本小题满分12分）设函数1++1+2=2x x x x f )ln()(.（Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有)(x f ≤ax ，求a 的最小值；（Ⅲ）已知数列}{n a 中，1=1a ，且1=+1-11+))((n n a a ，若数列}{n a 的前n 项和为n S ，求证：1+1+-2>n nn n a a a S ln .请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，在△ABC 中， 90=∠B ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于E ，AE 交⊙O 于点F ． （Ⅰ）证明：E 是BC 的中点； （Ⅱ）证明：AF AE AC AD ⋅=⋅.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中曲线C 的极坐标方程为0=-2θθρcos sin ，点)(21π，M . 以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．斜率为1-的直线l 过点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点.（Ⅰ）求出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （Ⅱ）求点M 到A ，B 两点的距离之积.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲E已知函数⎪⎩⎪⎨⎧1<<011≥=x xx x x f ,)(，，||)()(2--=x x af x g ，R ∈a .（Ⅰ）当0=a 时，若b x x g +1-≤||)(对任意)(∞+0∈，x 恒成立，求实数b 的取值范围； （Ⅱ）当1=a 时，求函数)(x g y =的最小值.2015年吉林市普通高中高三复习第三次调研测试卷数学(理科)参考答案及评分标准评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：每小题5分13.30 14. 5 15.12π16.1 三、解答题 17.解：（Ⅰ）由已知及三角形面积公式和余弦定理得B ac B ac cos sin 2⋅43=21 ……2分∴3=B tan ，又)(π，0∈B……4分所以3=πB……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知3=πB ，△ABC 的内角和π=++C B A ，又0>0>C A ，得32<<0πA ． ……6分 由正弦定理，知x x A Bba sin sin sinsin sin 2=33==π， ……7分)sin(sin sin x C B b c -322==π ……8分所以c a y 2+13=）（-)32sin(4sin 1-32x x -+=π）（ x x cos 32sin 32+=))(sin(32<<04+62=ππx x ……10分 当2=4+ππx ，即4=πx 时，y 取得最大值62 ……12分 18.解：（Ⅰ）设各组的频率为),,,,,(654321=i f i ，由前三组的频数成等比数列，后四组的频数成等差数列，可得前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，故030=20⨯150=1...f ，090=20⨯450=2...f ，270==1223.f f f ……1分所以由)..()(090+030-1=24⋅+63f f 得170=6.f ， ……2分所以视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83， ……3分 故全年级视力在5.0以下的人数约为830=830⨯1000. ……4分（Ⅱ）8413>1104≈73300=27⨯73⨯50⨯509⨯32-18⨯41⨯100=22..)(k ……6分因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系. ……7分（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1~50名和951~1000名分别有3人和6人， ……8分 X 可取0,1,2,38420==0=3936C C X P )(， 8445==1=391326C C C X P )(， 8418==2=392316C C C X P )(， 841==3=3933C C X P )(……11分X 的数学期望1=841⨯3+8418⨯2+8445⨯1+8420⨯0=)(X E ……12分19.解：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，取CD 中点H ，连接BH ，因为AB AD =，CD AD CD AB ⊥，//，所以四边形ADHB 为正方形，又2=+=222AB AD BD ，2=+=222HB HC BC ，所以222+=BC BD CD ，所以BD BC ⊥ ……2分又平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD DE AD ⊥=，，所以⊥DE 平面ABCD ， ……4分DE BC ⊥，又D DE BD = ，故⊥BC 平面BDE . ……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知⊥CD 平面ABCD ，CD AD ⊥，所以DE ,DA ,DC 两两垂直.以D 为坐标原点建立如图所示直角坐标系xyz D -，则),,(020C ，),,(011B ，),,(100E ，),,(2110M ，),,(02121N ，),,(011-=，),,(21-10=MC……7分设),,(z y x n =为平面BMC 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧0=⋅0=⋅MC n BC n ，即⎪⎩⎪⎨⎧0=21-0=+-z y y x 可取),,(211=n ， ……9分又)(212121=--，，，所以32-=>=<||||cos MN n MN n ， ……11分直线MN 与平面BMC 所成的角的正弦值为32……12分20．解：（Ⅰ）依题意，24=4a ，1=-22b a……2分所以2=a ，1=1-=22a b ……3分故椭圆C 的方程为1=+222y x ……4分（Ⅱ）设)()()()(44332211y x Q y x P y x B y x A ，，，，，，，,)(04，N 直线l 的方程为：1-=ty x ，直线m 的方程为4+=ty x 依题意得||||||||||||QN BF MN MF PN AF 111== 则||||||||4231=y y y y ，可得4321=y y y y ，令)(0<==4321λλy y y y， ……5分 由⎪⎩⎪⎨⎧1=+21-=22y x ty x 消去x ，得0=1-2-2+22ty y t )(， ……6分 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧2+1-=2+2=+221221t y y t t y y ，把21=y y λ代入，整理，得2+4=+1222t t -λλ)(① ……8分由⎩⎨⎧4=4+=2xy ty x 消去x ，得0=16-4-2ty y ， ……9分 则⎩⎨⎧16-=4=+4343y y t y y ，把43=y y λ代入，整理，得22=+1t -λλ)(② ……10分由①②消去λ，得222=2+4t t t ，解得0=t 或2=t 或2-=t ……11分 故直线l 的方程为：1-=x 或0=1+2-y x 或0=1+2+y x ……12分 21. 解：（Ⅰ） )(x f 的定义域为)(∞+1-，，221+2+4+=')()(x x x x f ……1分当2+2-<<1-x 时，0<')(x f ，当2+2->x 时，0>')(x f ……2分 所以函数)(x f 在)(2+21--，上单调递减，在),(+∞2+2-单调递增. ……3分（Ⅱ）设ax x x x x g -+++=1)1ln(2)(2，则a x a x x x a x x x x g -2+1-1+1-=-1+1-1+2+1+=-1+2+4+='22222)()()()()()( 因为x ≥0，故0≤1-1+1-<1-2)(x ……5分 （ⅰ）当2≥a 时，0≤-2a ，0)(≤'x g ，所以)(x g 在),0[∞+单调递减，而0)0(=g ，所以对所有的x ≥0，)(x g ≤0，即)(x f ≤ax ； （ⅱ）当21<<a 时，1<-2<0a ，若),(1--2+-20∈a aa x ，则0)(>'x g ，)(x g 单调递增，而0)0(=g ，所以当)122,0(--+-∈a aa x 时，0)(>x g ，即ax x f >)(；（ⅲ）当1≤a 时，1≥-2a ，0)(>'x g ，所以)(x g 在),0[∞+单调递增，而0)0(=g ，所以对所有的0>x ，0)(>x g ，即ax x f >)(； 综上，a 的最小值为 2. ……8分（Ⅲ）由1=+1-11+))((n n a a 得，11++⋅=-n n n n a a a a ，由1=1a 得，0≠n a ， 所以1111=-+n n a a ，数列}1{n a 是以1=11a 为首项，1为公差的等差数列， 故n a n =1，n a n 1=，111+=+n a n ……9分 1+1+-2>n nn n a a a S ln ⇔n n n n 131211)1(2)1ln(++++<+++由（Ⅱ）知2=a 时，x x x x 21)1ln(22≤+++，0>x ，即x x x x <+++)1(2)1ln(2，0>x . ……10分 法一：令nx 1=，得n n n n n 1)1(211ln <+++，即nn n n n 1)111(21ln )1ln(<+-+-+ 因为)()ln()](ln )[ln(1+2+1+=1+1-121+-1+∑1=n nn k k k k nk ……11分 所以nn n n 131211)1(2)1ln(++++<+++ ……12分故1+1+-2>n nn n a a a S ln ……12分 法二：1+1+-2>n nn n a a a S ln ⇔)()ln(1+2+1+>1++31+21+1n nn n 下面用数学归纳法证明．（1）当1=n 时，令1=x 代入x x x x <+++)1(2)1ln(2，即得41+2>1ln ，不等式成立（2）假设)1,N (≥∈=*k k k n 时，不等式成立，即)()ln(1+2+1+>1++31+21+1k kk k 则1+=k n 时，1+1+1+2+1+>1+1+1++31+21+1k k k k k k )()ln( 令11+=k x 代入x x x x <+++)1(2)1ln(2，得))((ln 2+1+21+1+2+>1+1k k k k k ))((ln )()ln()()ln(2+1+21+1+2++1+2+1+>1+1+1+2+1+k k k k k k k k k k k )()ln())(()()ln(2+21++2+=2+1+21+2++2+=k k k k k k k k 即)()ln(2+22+2+>1+1+1++31+21+1k k k k 由（1）（2）可知不等式)()ln(1+2+1+>1++31+21+1n nn n 对任何n *∈N 都成立.故1+1+-2>n nn n a a a S ln ……12分 22.解：（Ⅰ）证明：连接BD ，因为AB 为⊙O 的直径，所以AC BD ⊥，又 90=∠B ，所以CB 切⊙O 于点B ，且ED 切于⊙O 于点E ，因此ED EB =，……2分EDB EBD ∠=∠，C EBD EDB CDE ∠+∠==∠+∠ 90，所以C CDE ∠=∠，得ED EC =，因此EC EB =，即E 是BC 的中点 ……5分 （Ⅱ）证明：连接BF ，可知BF 是Rt △ABE 斜边上的高，可得△ABE ∽△AFB 于是有ABAEAF AB =，即AF AE AB ⋅=2， ……8分 同理可证AC AD AB ⋅=2 所以AF AE AC AD ⋅=⋅……10分23.解：（Ⅰ）θρcos =x ，θρsin =y ，由0=-2θθρcos sin 得θρθρcos sin 22=．所以x y =2即为曲线C 的直角坐标方程； ……2分 点M 的直角坐标为)10(，， ……3分 直线l 的倾斜角为43π，故直线l 的参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧+==43sin 143cos ππt y t x （t 为参数）即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 22122（t 为参数） ……5分（Ⅱ）把直线l 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 22122（t 为参数）代入曲线C 的方程得t t 22)221(2-=+，即02232=++t t ， ……7分 01024)23(2>=⨯-=∆，设A 、B 对应的参数分别为21t t 、，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=+2232121t t t t ……8分又直线l 经过点M ，故由t 的几何意义得点M 到A ，B 两点的距离之积2||||||||||2121=⋅==⋅t t t t MB MA ……12分 24．解：（Ⅰ）当0=a 时，)0(|2|)(>--=x x x g ，|2||1||1|)(-+-≤-⇔+-≤x x b b x x g ……1分 1|)2()1(||2||1|=---≥-+-x x x x ，当且仅当21≤≤x 时等号成立 ……4分 实数b 的取值范围是)[∞+1-， ……5分（Ⅱ）（Ⅱ）当1=a 时， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤-<<-+=2,221221021)(x x x x x x x g ，，， ……7分当10<<x 时，0=2-1⋅2>2-+1=xx x x x g )(； ……8分 当1≥x 时，0)(≥x g ，当且仅当1=x 等号成立； ……9分故当1=x 时，函数)(x g y =取得最小值0. ……10分。