等差数列求和1 北师大版
高中数学第一章数列1.2结合课本谈等差数列求和素材北师大版(1)
结合课本谈等差数列求和倒序相加求和设()(1)f x f x a +-=（x ∈Z ，a 为常数），求(5)(4)(0)(1)(5)(6)f f f f f f -+-++++++的值．分析：因为取5x =-就有16x -=，，显然倒序后形成两两的和相等，所以 可根据课本的等差数列求和的方法解之．我们称此方法为倒序相加法．解：记(5)(4)(0)(1)(5)(6)S f f f f f f =-+-++++++， 由(6)(5)(1)(0)(4)(5)S f f f f f f =++++++-+-，可知212S a =，即6S a =．因此原式的值为6a ．说明：此题是一道函数题，其求解时运用了倒序相加法，这是一种重要的解题方法，以后我们学习排列组合时还会经常用到．练习题：设()f x =(5)(4)(0)(1)(5)(6)f f f f f f -+-++++++的值．（提示：可以证明()(1)f x f x +-=）裂项求和 求1111133557(21)(21)n S n n =++++⨯⨯⨯-+． 解：由1111(21)(21)22121k k k k ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭， 令12k n =，，，， 可得111111111111233557212122121n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．说明：由1111(21)(21)22121k k k k ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭，可把每一项裂为两项，从而相加 后化无限项（看成是无限项）为有限项，使问题得到解决．一般地有1111(2)(2)22k m k n m n k m k n ⎛⎫=- ⎪-++-+⎝⎭．构造等式求和例3 求数列{}2n 的前n 项和n S ．解：由332(1)331k k k k +=+++（其中k *∈N ），即332(1)331k k k k +-=++，依次取123k n =，，，，，可得3322131311-=⨯+⨯+；3323232321-=⨯+⨯+； 3324333331-=⨯+⨯+，332(1)331n n n n +-=++．两边分别相加即得3(1)133(123)n n S n n +-=⨯+⨯+++++． 整理再分解因式可得1(1)(21)6n S n n n =++．注：此结论在以后的学习中我们会经常遇到，希望大家能够熟记．拆项法求和例4 求1427310(31)n n ⨯+⨯+⨯+++的和．分析：显然这是求数列{}n a 的前n 项和问题，其中2(31)3n a n n n n =+=+． 解：原式2222(311)(322)(333)(3)n n =⨯++⨯++⨯++++22223(123)(123)n n =⨯+++++++++2113(1)(21)(1)(1)62n n n n n n n =⨯++++=+．注：这里把积拆成了两项和的形式，从而转化成我们所熟悉的问题（等差） 使问题得到解决．由此可见，在平时的学习中我们应注意从课本的基础知识的学习中，挖掘其 中的数学思想方法及解题模式，这样更有利于拓展思维，提高解题能力．。
等差数列的前n项和+课件-2024-2025学年高二下学期北师大版(2019)选择性必修第二册
an )
பைடு நூலகம்
n1 2n
2
1
n2
典例分析
还有方 例2：在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古法代？皇 家建筑中包含许多与9相关的设计。例如北京天坛圆丘的地面由扇
圆形的石板铺成，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈
有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共9圈。请问：
(1)第9圈共有多少块石板；(2)前9圈一共有多少块石板.
若把次序颠倒是 Sn an an1 an2 an3 a1 (2) 由等差数列的性质 a1 an a2 an1 a3 an2
由(1)+(2)得 2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an )
即:
Sn
n(a1 2
an )
n个
等差数列的前n项和公式
项数 首项 第n项
答：底层有90盏彩灯，顶层有132盏彩灯。
小试牛刀
3.等差数列{an }中，a1 20, a5 12,求通项an 及前n项
和 Sn 的最大值.
解一：由 a1
20, d
a5 a1 5 1
2，得
an a1 (n 1)d 2n 22，
Sn
(a1
an )n 2
n2
21n，二次函数 y
x2
21x
(2)知三求二 建立方程或方程组求解
课后习题
1.求 sin2 10 sin2 20 sin2 30 sin2 80 2.何时可以使用倒序相加法？ 3.P17练习1.2.3
课后思考
已知数列{an}的通项公式an＝ 项和．
1 n(n
1)
，求数列{an}的前n
感谢指导
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北师大版 高中数 学必修 《等差 数列》P PT免费 课件2( 完美课 件)
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命题角度2 实际应用 例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150 元，购买当天 先付150 元，以后每月的这一天都交付50 元，并加付欠款利息，月利率 为1%.若交付150 元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付 款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多 少钱？ 解答
问题导学
知识点一 等差数列前n项和公式的推导
思考
高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51) ＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．但如果是求1＋2 ＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？ 答案
不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用 倒序相加来回避这个问题：设Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n， 又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1， ∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，
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知识点二 等差数列前n项和公式的特征
思考1
在等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？ 答案
S3＝3a12＋a3＝3×a1＋2 a3＝3a2＝21.
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题型探究
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类型一 等差数列前n项和公式的应用
命题角度1 方程思想 例1 已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1 220， 由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？ 解答
等差数列求和ppt3 北师大版
例 ： 已 知 一 个 等 差 数 列 的 前 1 0 项 之 和 为 1 0 0 ， 前 1 0 0 项 的 和 为 1 0 ， 求 前 1 1 0 项 之 和 。
则 S 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0
解 ： S 1 0 0 , S 1 0 1 0 1 0 0
解 得 ： S 2 1 0 3 k
已知等差数列an ，公差为d ,
na ( a ) 共有2n项，则S 2 n n n 1
S偶 S奇 n d an S奇 a n 1 S
偶
已 知 等 差 数 列 an ， 公 差 为 d ,
共 有 2 n 1项 ， 则 S ( 2 n 1 ) a 2 n 1 n S奇 S偶 an S奇 S偶
a1 2 d 1 S 1 1 n a ( n 1 ) d 2 ( n 1 ) 1 n 2 2
Sn1 Sn 1 n 1 n 2
s 1 n 数 列 以 2 为 首 项 ， 以 为 公 差 的 等 差 数 列 。 n 2
数 列 { a } 是 等 差 数 列 , a 1 1 , d 2 n 1
n 6.5 ( 2 ) . 令 a 1 32 n 0 n
当 n 6 时 ， a > 0 当 n > 6 时 ， a < 0 n n
当 n 6时 ，
T a a a n 1 2 n
a a a 1 2 n nn ( 1 ) 1 1 n 2
12nn
2
2
当 n 6时 ，
S ( S S ) 2S6 Sn 6 n 6
2
T a a a a a n 1 2 6 7 n
等差数列求和(共24张PPT)
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数 列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除 以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后 一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。
03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的 项进行分组求和，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的 项进行倒序相加，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和 ，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等 。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
北师大版高中必修52.2等差数列的前n项和教学设计
北师大版高中必修5 2.2等差数列的前n项和教学设计一、教学目标1.知道等差数列的概念与性质，会判断一个数列是否为等差数列。
2.熟练掌握等差数列的通项公式、前n项和公式和其简单应用。
3.能使用前n项和公式解决等差数列实际问题。
二、教学重难点1.等差数列前n项和公式的理解与应用;2.等差数列的真正意义以及其在实际生活中的应用。
三、教学内容1. 等差数列的概念与性质1.1 等差数列的定义等差数列是指从第二项开始，每项与其前一项的差相等的一种数列，这个差叫做等差数列的公差。
1.2 等差数列的性质•通项公式：a n=a1+(n−1)d•前n项和公式：$S_n=\\frac{(a_1+a_n)n}{2}=\\frac{2a_1+(n-1)d}{2}×n$•等差中项：$a_m=\\frac{a_n+a_1}{2}$2. 等差数列的前n项和公式的应用以数列 $\\{4,7,10,...\\}$ 为例，在确定其为等差数列后，我们可以用前n项和公式计算前10项的和:$S_{10}=\\frac{(4+31)×10}{2}=175$3. 等差数列的实际应用等差数列在实际中的很多场景中都有应用，特别是在数理金融、经济策略等领域。
例如，假设你每个月存款1000元，而存款利息每年15%的情况下，求10年后本金和利息的总和。
数字小说以等差数列 $\\{12000,12600,13200,...\\}$ 来表示10年后每年的本息总和。
因此，我们可以使用前n项和公式来计算该数列的和：$S_{10}=\\frac{(24000+37200)×10}{2}=306000$四、教学过程1. 复习让学生们回顾等差数列的定义和通项公式，在黑板上让学生们做一些简单的题目。
2. 教学1.介绍等差数列的前n项和公式，并给出一个实例来说明该公式的应用；2.引入等差数列的实际场景，并尝试将其转化为等差数列；3.让学生尝试使用前n项和公式来计算等差数列的总和并解决实际问题。
等差数列前n项和(北师大版,优质课比赛,优秀获奖课件)
想 一 想
在等差数列 {an} 中，如果已知五个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否 求出其余两个量 ?
n（n 1) S n na1 d 2
an a1 (n 1)d
说明：两个等差数列的求和公式及通项公式，一共涉 及到5个量，通常已知其中3个，可求另外2个。
两个公式共同的已知量是 a1和n, 不同的已知量是 : 公 式（1）已知an,公式（2）已知d 。 已知三个量就可以求 出Sn ，我们要根据具体题目，灵活采用这两个公式。
特别地，当 a1 1, d 1时， n 个连续正整数的和
Sn 1 2 3 n n ( n 1) . 2
a9 a1 (9 1)d 9 (9 1) 9 81 （块） .
（2）由等差数列的前n项和公式，得前9圈一共有石板
S9 9a1 9(9 1) 98 d 99 9 405(块). 2 2
答 第9圈有81块石板，前9圈一共有405块石板.
1.等差数列的前项和公式1：
n（a1 an ) Sn 2
(4)a1 14.5, d 0.7, an 32.
an a1 (n 1)d
32 14.5 26 (14.5 32) n 1 26, S 26 604 .5. 0.7 2
课堂练习 第n项为an，前n项和为Sn，请填写下表： a1
2.等差数列的前项和公式2：
3.(1)倒序相加法求和
n( a1 an ) Sn 2 n(n 1) S n na1 d 2
(2)“知三求二”方程思想：在两个求和公式中,各有五个元素,
只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.
等差数列求和1 北师大版精品课件
S199
(1
199) 199 2
=19900
猜想 设Sn是等差数列{an}的前n项的和,
即 Sn a1 a2 an1 an
n(a1 an ) 2
a 问题：设等差数列an 的首项为
，公差为
1
d
，
Sn a1 a2 a3 an ?
四项和为63，前n项和为286，求项数n。
解： a1 a2 a3 a4 25 (1)
an an1 an2 an3 63 (2)
2 1得 4(a1 an ) 88
a1 an2
证明： 将成等差数列的三条边的长从小到大排列，
它们可以表示为 a-d, a, a+d (这里a-d>0,d>0)
由勾股定理，得到
(a d)2 a2 (a d)2
解得
a 4d
从而这三边的长是
3d, 4d, 5d,
因此，这三条边的长的比是3：4：5
S 练习 1.根据下列条件，求相应的等差数列 an 的 n
(1)任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与 末项的和; (2)所求的和可以用首项、末项及项数来表示.
计算: 1+2+…3++199=? … 解：设 s199= 1+ 2+ 3+ +197+198+199
s199=199+198+197+ + 3+ 2 + 1
… 2s199=(1+199)+(2+198)+(3+197)+ …
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(4)如果a, A, b 成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.
A ab 2
S n a 1 a 2 a 3 a n 1 a n 叫做数列 a n 的前n项和。
an
Sn
S1(n 1) Sn1(n
等差数列的 前n项和(1)Fra bibliotek复习：
(1)什么叫等差数列?
如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等差数列.其表示为:
anan1d(d为常 ,n2 数 )
(2)a等n=差a数1+列(n的-1通)d项公a n 式 是a 什m 么( ?n m ) d(其 中 n ,m N )
2.
求正整数中前n个数的和.
Sn
Snn(1 2n)n(n21).
Snn（na（ 12aa12n)an)
3.求正整数中前n个偶数的和.
Snn(222n)n(n1).
小结
1. 等差前n项和Sn公式的推导； 2. 等差前n项和Sn公式的记忆与应用；
Snn(a12 an)n(am 2anm 1)
S nn a 1n (n 2 1 )dn a n （ nn 2 1 )d
an an1 an2 an3 63 (2)
2 1得 4(a1 an ) 88
a1 an
22
Q sn
n(a1 an ) 286 2
n 26
例4 求集合 M m |m 7 n ,n N * ,且 m 1 0 0
的元素个数，并求这些元素的和.
解：7n100n100142
说明：两个求和公式的使用-------知三求一.
3. 等差前n项和Sn公式的理解.
同学们，再见！
老师问：“你是如何算出答案的？
高斯的算法： 首项与末项的和：1+100=101, 第2项与倒数第2项的和：2+99=101, 第3项与倒数第3项的和：3+98=101, ……
第50项与倒数第50项的和：50+51=101. 于是所求的和为：(110)01005050 上述求解过程带给我们什么启2示？
(S 3 5)a 0 15 0 3 2 1,a 0 n 0 22 3,n ( 1 2) ;425 Sn5 n0 （a12an)
1 4 [2/3( 3/2 )] 35
S 14
2
. 6
(4 )a 1 1.5 4 ,d 0 .7 ,a n 3.2
n320.174.5126, S26 2 6(12 .5 4 a3 n )2 a16 (0 n.5 .4 1)d
2Snn(a1an)
于是有：Sn
n(a1 an) 2
.这就是倒序相加法.
等差数列的前n项和公式
Sn
n（a1an) 2
n(am
anm1) 2
a na 1(n 1 )dSn n1an（n21)d
a 1a n(n 1 )dSn nann（n21)d
例1. 求等差数列5，7，9 … ， 2n+7的各项之和.
例5 已知一个直角三角形的三条边的长成等 差数列，求证它们的比是3：4：5.
证明： 将成等差数列的三条边的长从小到大排列，
它们可以表示为 a-d, a, a+d (这里a-d>0,d>0)
由勾股定理，得到
(ad)2a2(ad)2
解得
a4d
从而这三边的长是
3d, 4d, 5d,
因此，这三条边的长的比是3：4：5
为回避个数问题，做一个改写
S n a 1 a 2 a 3 a n 2 a n 1 a n ，
S n a n a n 1 a n 2 a 3 a 2 a 1 ，
两式左右分别相加，得
2Sn(a1an)(a2an1)(a3an2) (an2a3)(an1a2)(ana1)
7
7
所以集合M中的元素共有14个. 将它们从小到大列出，得
7 , 27, 37, 47, , 147,
即 7，14，21，28，…，98
这个数列是成等差数列，记为 a n
a 17,a 14 9,n 814 S1414(7298 )73.5
Sn
n（a1an) 2
答：集合M共有14个元素，它们的和等于735.
S 练习 1.根据下列条件，求相应的等差数列 a n 的 n
( (1 2 )) a a S1 1 1 0 5 1 1,a 0 n ,(0 d 5 25 9 （ 95 0 0 ,5 )2 n 5 0 ,1 n 5 )1 0.5 ;00 ;0 SnSnn1an（ n（ an2121)adn)
(1)任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与 末项的和; (2)所求的和可以用首项、末项及项数来表示.
计算: 1+2+…3++199=? … 解：设 s199= 1+ 2+ 3+ +197+198+199
… s199=199+198+197+ + 3+ 2 + 1
2s199=(1+199)+(2+198)+(3+197)+ … +(197+3)+(198+2)+(199+1)
2)
“小故事”:
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁 时，有一次老师出了一道题目，老师说: “现在 给大家出道题目:
1+2+…100=?”
过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6； 4+6=10… 算 得 不 亦 乐 乎 时 ， 高 斯 站 起 来 回 答 说 ：
“1+2+3+…+100=5050。
由公式可得 10nn(n1)454 2
解之得： n19,n23（舍去）
∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54
例 3 、 以 知 等 差 数 列 a n 的 前 四 项 和 为 2 5 ， 最 后
四 项 和 为 6 3 ， 前 n 项 和 为 2 8 6 ， 求 项 数 n 。
解：Q a1 a2 a3 a4 25 (1)
S199(119291) 99 =19900
猜想 设Sn是等差数列{an}的前n项的和,
即 S n a 1 a 2 a n 1 a n
n(a1 an) 2
问题：设等差数列a n 的首项为 a 1 ，公差为d，
S n a 1 a 2 a 3 L a n ?
a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 L ，
解： 此题中的等差数列共有n+2项
所以各项之和为：
S(52n7)(n2) 2
(n6)n (2)
n28n12
例2. 等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？
解：设题中的等差数列为{ a n } ，前n项和为 S n 则 a 1 1 ,d 0 ( 6 ) ( 1 ) 0 4 ,S n 54