北师大版《等差数列前n项和》教学设计
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修5 2.2等差数列的前n项和》
?等差数列的前n项和公式?教学设计教学目标：1、知识与技能〔1〕掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法；〔2〕能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。
2、过程与方法经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，3、情感、态度与价值观通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自教学重点、难点：1、等差数列前n项和公式是重点。
2、获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。
教学过程：(一)创设问题情境故事引入：德国伟大的数学家高斯“神述求和〞的故事。
高斯在上小学四年级时，高斯的方法：首项与末项的和：1100=101第2项与倒数第2项的和：299=101第3项与倒数第3项的和：398=101……第50项与倒数第50项的和：5051=101∴前100个正整数的和为：101×50=5050〔二〕等差数列求和公式一般地，称为等差数列的前n项的和，用表示，即1、思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可由此得到等差数列的前n项和的公式对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前2、除此之外，等差数列还有其他方法吗？当然，对于等差数列求和公式的推导，这两个公式是可以相互转化的。
把代入中，就可以得到引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第〔三〕公式运用，变式训练见课后习题第一题〔四〕例题分析例1 假设等差数列{an}满足以下条件，求前n项和Sn：〔1〕a1=5，an=95，n=10；〔2〕a1=100，d=-2，n=50；〔3〕a1=12，a8=26，n=2021〔4〕假设a8=5，你能求出S15吗？例2等差数列{an}中，首项为a1，公差为d，项数n=15，第n项an=-10,前n项和为Sn （五）随堂练习1、见课本2、高考题〔六〕反思与评价1．用倒序相加法推导等差数列前n项和公式2．用推导的两个公式灵活解题。
数列第2节等差数列及其前n项和教案北师大版
等差数列及其前n 项和[考试要求]1.理解等差数列的概念. n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)，d 为常数．(2)等差中项：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫作a 与b 的等差中项，即A ＝a ＋b2.2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系(1)当d ≠0时，等差数列{a n }的通项公式a n ＝dn ＋(a 1－d )是关于d 的一次函数． (2)当d ≠0时，等差数列{a n }的前n 项和S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数． 4．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．[常用结论]等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d .(5)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12.(6)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1.(7)若{a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则.(8)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则 ①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶＝n ＋1n .一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的. ( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋ a n ＋2.( )(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×二、教材习题衍生1．等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d 等于( ) A ．14 B ．12 C ．2 D ．－12A [∵a 4＋a 8＝2a 6＝10，∴a 6＝5，又a 10＝6，∴公差d ＝a 10－a 610－6＝6－54＝14.故选A.]2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )A ．31B ．32C ．33D ．34B [设数列{a n }的公差为d ， 法一：由S 5＝5a 3＝30得a 3＝6， 又a 6＝2，∴S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 3＋a 6)2＝8(6＋2)2＝32.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋5×42d ＝30，得⎩⎨⎧a 1＝263，d ＝－43.∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝8×263－28×43＝32.]3．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为________． 487 [依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a 100＝－8＋99×5＝487.] 4．某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．820 [设第n 排的座位数为a n (n ∈N *)，数列{a n }为等差数列，其公差d ＝2，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1＋2(n －1)．由已知a 20＝60，得60＝a 1＋2×(20－1)，解得a 1＝22，则剧场总共的座位数为20(a 1＋a 20)2＝20×(22＋60)2＝820.]考点一 等差数列基本量的运算解决等差数列运算问题的思想方法1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2nA [设首项为a 1，公差为d . 由题知，⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋d 2×4×3＝0，a 5＝a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，∴a n ＝2n －5，S n ＝n 2－4n ，故选A.]2．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12 B [设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.]3．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ，则a 1＝( )A ．23B ．32C ．35D ．38C [由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为－3，则9a 1＋9×82×(－3)＝207，解得a 1＝35，故选C.]点评：涉及等差数列基本量的运算问题其关键是建立首项a 1和公差d 的等量关系． 考点二 等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明的方法方法解读适合题型定义法若a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)为同一常数⇔{a n }是等差数列解答题中 证明问题 等差中项法 2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)成立⇔{a n }是等差数列通项公 式法 a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列选择、填空题中的判定问题前n 项 和公式法验证S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列[典例1] 若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1， 因为S n ≠0，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1S n ＝2n ，所以S n ＝12n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1).当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.点评：证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列的关键是1S n －1S n －1为与n 无关的常数，同时注意求数列{a n }的通项公式时务必检验其通项公式是否包含n ＝1的情形．[跟进训练]已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n . (1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．[解] (1)由已知，得a 2－2a 1＝4， 则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6. 由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15. (2)由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)， 得na n ＋1－(n ＋1)a n n (n ＋1)＝2，即a n ＋1n ＋1－a nn＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项a 11＝1，公差d ＝2的等差数列．则a nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n 2－n . 考点三 等差数列性质的应用利用等差数列的性质解题的两个关注点(1)两项和的转换是最常用的性质，利用2a m ＝a m －n ＋a m ＋n 可实现项的合并与拆分，在S n＝n(a1＋a n)2中，S n与a1＋a n可相互转化．(2)利用S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m.等差数列项的性质[典例2－1](1)已知数列{a n}是等差数列，若a9＝4，a5＋a6＋a7＝6，则S14＝() A．84 B．70C．49 D．42(2)已知在等差数列{a n}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝()A．10 B．20C．40 D．2＋log25(3)设数列{a n}，{b n}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于()A．0 B．37C．100 D．－37(1)D(2)B(3)C[(1)因为a5＋a6＋a7＝3a6＝6，所以a6＝2，又a9＝4，所以S14＝14×(a1＋a14)2＝7(a6＋a9)＝42.故选D.(2)log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log22a1＋log22a2＋…＋log22a10＝a1＋a2＋…＋a10＝5(a5＋a6)＝5×4＝20.故选B.(3)设{a n}，{b n}的公差分别为d1，d2，则(a n＋1＋b n＋1)－(a n＋b n)＝(a n＋1－a n)＋(b n＋1－b n)＝d1＋d2，所以{a n＋b n}为等差数列．又a1＋b1＝a2＋b2＝100，所以{a n＋b n}为常数列，所以a37＋b37＝100.]点评：一般地a m＋a n≠a m＋n，等号左右两边必须是两项相加，当然也可以是a m－n＋a m＋n ＝2a m.等差数列前n项和的性质[典例2－2](1)已知等差数列{a n}的前n项和为S n.若S5＝7，S10＝21，则S15等于() A．35 B．42C．49 D．63(2)已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＝－2 018，S2 0202 020－S2 0142 014＝6，则S2 021＝________.(1)B (2)4 042 [(1)由题意知，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等差数列， 即7,14，S 15－21成等差数列， ∴S 15－21＋7＝28， ∴S 15＝42，故选B.(2)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列，设其公差为d ，则S 2 0202 020－S 2 0142 014＝6d ＝6，∴d ＝1，∴S 2 0212 021＝S 11＋2 020d ＝－2 018＋2 020＝2， ∴S 2 021＝4 042.]点评：本例(2)，也可以根据条件先求出a 1，d ，再求结果，但运算量大，易出错． [跟进训练]1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m ＞1，且a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0，S 2m －1＝39，则m 等于( )A ．39B ．20C ．19D ．10B [数列{a n }为等差数列，则a m －1＋a m ＋1＝2a m ，则a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0可化为2a m－a 2m －1＝0，解得a m ＝1.又S 2m －1＝(2m －1)a m ＝39，则m ＝20.故选B.]2．等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是( ) A ．20 B ．22 C ．24D ．8C [因为a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，所以a 8＝24，所以2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.]3．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 2b 3＋b 13＋a 14b 5＋b 11的值为( ) A.2945B.1329C.919D.1930C [由题意可知b 3＋b 13＝b 5＋b 11＝b 1＋b 15＝2b 8，∴a 2b 3＋b 13＋a 14b 5＋b 11＝a 2＋a 142b 8＝a 8b 8＝S 15T 15＝2×15－34×15－3＝2757＝919.故选C.]考点四 等差数列的前n 项和及其最值求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[典例3] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8C [法一：(邻项变号法)由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0.根据首项等于13可推知这个数列为递减数列，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时S n 最大．法二：(函数法)由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n .根据二次函数的性质，知当n ＝7时S n 最大．法三：(图像法)根据a 1＝13，S 3＝S 11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减．根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图像的对称性，可得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值．][母题变迁]将本例中“a 1＝13，S 3＝S 11”改为“a 1＝20，S 10＝S 15”，则S n 最大时，n 为何值？ [解] 因为a 1＝20，S 10＝S 15，所以10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，所以d ＝－53.法一：由a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653，得a 13＝0. 即当n ≤12时，a n >0，当n ≥14时，a n <0. 所以当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值． 法二：S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53 ＝－56n 2＋1256n＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. 因为n ∈N *，所以当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值． 法三：由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. 所以5a 13＝0，即a 13＝0.所以当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值．点评：本例用了三种不同的方法，其中方法一是从项的角度分析函数最值的变化；方法二、三是借助二次函数的图像及性质给予解答，三种方法各有优点，灵活运用是解答此类问题的关键．[跟进训练]1．设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n 的值为( )A ．5B ．6C ．5或6D ．11C [由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，化简得a 1＝－5d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大．]2．(2019·北京高考)设{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．[解] (1)∵{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列． ∴(a 3＋8)2＝(a 2＋10)(a 4＋6)，∴(－2＋2d )2＝d (－4＋3d )，解得d ＝2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－10＋2n －2＝2n －12.(2)法一：(函数法)由a 1＝－10，d ＝2，得S n ＝－10n ＋n (n －1)2×2＝n 2－11n ＝⎝⎛⎭⎫n －1122－1214， ∴n ＝5或n ＝6时，S n 取最小值－30.法二：(邻项变号法)由(1)知，a n ＝2n －12. 所以，当n ≥7时，a n ＞0；当n ≤6时，a n ≤0. 所以S n 的最小值为S 5＝S 6＝－30.。
北师大版数学高二-必修5教案 1.2《等差数列的前n项和》
1.2《等差数列的前n 项和》教学设计【学习目标】1.掌握数列的前n 项和的概念，会根据前n 项和求通项．理解并掌握等差数列的前n 项和公式，掌握公式的推证方法——倒序相加法，掌握等差数列前n 项和公式的简单应用；2.会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题.【学习新课】1.复习回顾经过前面的学习，我们知道，在等差数列中： （1）a n －a n －1＝d (n ≥1)，d 为常数.（2）若a ，A ，b 为等差数列，则A ＝a ＋b2（3)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .（其中m ，n ，p ，q 均为正整数） 2. 问题情境导入：例：如图，一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V 形架上共放着多少支铅笔?这是一堆放铅笔的V 形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V 形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题.新课学习阶段1.等差数列的前n 项和的推导：首先，我们来看这样一个问题：1＋2＋3＋…＋100＝？对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果，你知道他是怎么算的吗？ 高斯的算法是：首项与末项的和：1＋100＝101， 第2项与倒数第2项的和：2＋99＝101，第3项与倒数第3项的和：3＋98＝101，……第50项与倒数第50项的和：，于是所求的和是这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n,…的前100项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.2.等差数列的前n项和的具体推导：有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决？分析题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自上而下各层的铅笔成等差数列，可记为{a n}，其中a1＝1，a120＝120，n＝120.解：例1等差数列－10，－6，－2，2，…前多少项的和是54?分析：解：例2 在等差数列{a n}中，（1）已知a2＋a5＋a12＋a15＝36，求S16（2）已知a6＝20，求S11.分析：（1）由于本题只给了一个等式，不能直接利用条件求出a1，a16，d，但由等差数列的性质，可以直接利用条件求出a1＋a16的和，于是问题得以解决.（2）要求S11只需知道a1＋a11即可，而a1与a11的等差中项恰好是a6，从而问题获解.解：例3有一项数为2n＋1的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比.例4 若两个等差数列的前n项和之比是（7n＋1）∶(4n＋27)，试求它们的第11项之比.课堂小结通过本节学习，要熟练掌握等差数列前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2 ＝na 1＋n （n －1）2d 及其获取思路. 作业见同步练习部分拓展提升1.设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝ （ )A.310B.13C.18D.192.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，6636,324,144(6)n n S S S n -===>，则n 等于（ ）A. 15B. 16C. 17D. 183.在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，则n a 中最大的负数为 （ ） A. 17S B. 18S C. 19S D. 20S4.数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n .5.已知等差数列{}n a 共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是 .6.设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = .7.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，100,7,141===n S a a ，则=n . 8.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，10,10010010==S S ，求110S .9．已知数列{}n a 满足()1111,32n n n a a a n --==+≥.（Ⅰ）求23,a a ； （Ⅱ）证明：312n n a -=.10.⑴已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ； ⑵若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n .11.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，31=a ，)2(21≥=-n a S S n n n . ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵数列{}n a 中是否存在正整数k ，使得不等式1+>k k a a 对任意不小于k 的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k ，若不存在，说明理由.12.已知等差数列{}n a 中，21920,28a a a =-+=- ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵若数列{}n b 满足2log n n a b =，设12n n T b b b =，且1n T =，求n 的值.13.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，.16,2541==a a ⑴当n 为何值时，n S 取得最大值；⑵求208642a a a a a +++++ 的值； ⑶求数列{}n a 的前n 项和.n T参考答案 新授课阶段1.等差数列的前n 项和的推导： 50＋51＝101； 101×1002＝5050.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n①把项的次序反过来，S n 又可写成S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1②①＋②⇒2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1) 又∵a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3＝…＝a n ＋a 1 ∴2S n ＝n (a 1＋a n ) 即：S n ＝n （a 1＋a n ）2若根据等差数列{a n }的通项公式，S n 可写为：S n =a 1+(a 1+d )+…+①,把项的次序反过来，S n 又可写为：S n =a n +(a n －d )+…+,把①、②两边分别相加，得2S n ＝个n n n n a a a a a a )()()(111++⋅⋅⋅++++＝n (a 1＋a n )即：S n ＝n （a 1＋a n ）2.由此可得等差数列{a n }的前n 项和的公式S n ＝n （a 1＋a n ）2.也就是说，等差数列的前n 项和等于首末两项的和与项数乘积的一半. 用这个公式来计算1＋2＋3＋…＋100＝？我们有S 100＝100（1＋100）2＝5050.又∵a n ＝a 1+(n －1)d ,∴S n ＝n （a 1＋a n ）2 ＝n [a 1＋a 1＋（n －1）d ）]2 ＝na 1＋n （n －1）2 d∴S n ＝n （a 1＋a n ）2 或S n ＝na 1＋n （n －1）2d有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决？ 分析题意可知，这个V 形架上共放着120层铅笔，且自上而下各层的铅笔成等差数列，可记为{a n }，其中a 1＝1，a 120＝120，n ＝120.解：设自上而下各层的铅笔成等差数列{a n }，其中n ＝120，a 1＝1，a 120＝120. 则：S 120＝120（1＋120）2 ＝7260答案：这个V 形架上共放着7260支铅笔. 例1分析：先根据等差数列所给出项求出此数列的首项，公差，然后根据等差数列的求和公式求解.解：设题中的等差数列为{a n }，前n 项为的S n ，由题意可知：a 1＝－10，d ＝(－6)－(－10)＝4，S n ＝54由等差数列前n 项求和公式可得： －10n ＋n （n －1）2 ×4＝54解之得：n 1＝9，n 2＝－3(舍去)答案：等差数列－10，－6，－2，2，…前9项的和是54. 例2分析：（1）由于本题只给了一个等式，不能直接利用条件求出a 1，a 16，d ，但由等差数列的性质，可以直接利用条件求出a 1＋a 16的和，于是问题得以解决.（2）要求S 11只需知道a 1＋a 11即可，而a 1与a 11的等差中项恰好是a 6，从而问题获解. 解：（1）∵a 2＋a 15＝a 5＋a 12＝a 1＋a 16＝18 ∴S 16＝16（a 1＋a 16）2 ＝8×18＝144.（2）∵a 1＋a 11＝2a 6∴S 11＝11（a 1＋a 11）2 ＝11a 6＝11×20＝220.例3分析一：利用S n ＝na 1＋n （n －1）2d 解题.解法一：设该数列的首项为a 1，公差为d ，奇数项为a 1，a 1＋2d ，…其和为S 1，共n ＋1项；偶数项为a 1＋d ，a 1＋3d ，a 1＋5d ，…，其和为S 2，共n 项.∴S 1S 2 ＝（n ＋1）a 1＋12 （n ＋1）[（n ＋1）－1]2dn （a 1＋d ）＋12 n （n －1）2d＝n ＋1n. 分析二：利用S n ＝n （a 1＋a n ）2解题.解法二：由解法一知：S 1＝（n ＋1）（a 1＋a 2n ＋1）2 ，S 2＝n （a 2＋a 2n ）2例4分析一：利用性质m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q 解题.解法一：设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为T n . 则：a 11＝a 1＋a 212 ，b 11＝b 1＋b 212,∴a 11b 11 ＝a 1＋a 212 b 1＋b 212 ＝a 1＋a 212 ·21b 1＋b 212 ·21 ＝S 21T 21 ＝7×21＋14×21＋27 ＝43分析二：利用等差数列前n 项和S n ＝An 2+Bn 解题. 解法二：由题设，令S n ＝(7n ＋1)·nk ，T n ＝(4n ＋27)·nk 由a n ＝S n －S n －1＝k (14n －6)，得a 11＝148k ，n ≥2 b n ＝T n －T n －1＝k (8n －23)，得b 11＝111k ，n ≥2, ∴a 11b 11 ＝148k 111k ＝43. 评述：对本例，一般性的结论有：已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，则：（1）a n b n ＝S 2n －1T 2n －1 ；(2) a m b n ＝2n －12m －1 ·S 2m －1T 2n －1 .拓展提升1.A 【解析】根据等差数列的性质232,,m m m m m S S S S S --……成等差数列，即可得解.2.D 【解析】由6324,144n n S S -==得12345180n n n n n n a a a a a a -----+++++=，再由161()326,36,324,182n n n n a a S a a S n +=∴+=∴==∴= 3.C 【解析】1910201011190,10()0S a S a a =<=+>.4.24【解析】 由492-=n a n 知{}n a 是等差数列，.250>⇒>n a n ∴.24=n5.4【解析】 已知两式相减，得.4205=⇒=d d6.1)1(21++n n 【解析】 利用迭加法（或迭代法），也可以用归纳—猜想—证明的方法.7.解：设等差数列的公差为d ，则23171414=-=--=a a d101002)1(21=⇒=⨯-+=n n n n S n . 8.解：方法1：设等差数列的公差为d ，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+=+100109950111049501001004510111d a d a d a ∴110109110211101110-=⨯⨯+=d a S ；方法2： 2902)(90100111001110100-=+⇒-=+=-a a a a S S∴1102)(1102)(110100*********-=+=+=a a a a S .9.解：（Ⅰ）解：∵11,a =∴223314,3413a a =+==+=. （Ⅱ）证明：由已知113n n n a a ---=，故112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+123331n n --=++++312n -=，∴ 312n n a -=10. 分析：⑴利用等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=求出1a 及d ，代入n S 可求项数n ；⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出n a a +1，代入n S 可求项数n . 解：⑴设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则3,186893111-==⇒⎩⎨⎧-=+=+d a d a d a∴7,663)1(231821==⇒=--=n n n n n S n ⑵ 124,363214321=+++=+++---n n n n a a a a a a a a3423121---+=+=+=+n n n n a a a a a a a a ∴40160)(411=+⇒=+n n a a a a ∴39780207802)(1=⇒=⇒=+=n n a a n S n n 11.解：⑴当2≥n 时，)(22111----=⇒=n n n n n n n S S S S a S S∴21111-=--n n S S ，且3111=S ，∴{}n a 是以21-为公差的等差数列，其首项为31 .∴nS n n S S n n 356635)1(21111-=⇒-=--= ∴当2≥n 时，)53)(83(18211--==-n n S S a n n n 当1=n 时，11018)53)(83(18a ≠=--，∴⎪⎩⎪⎨⎧≥--=)2()53)(83(18)1(3n n n n ；⑵0)23)(53)(83(181>---=-+k k k a a k k ，得3532<<k 或38>k ，∴当3≥k 时，1+>k k a a 恒成立，所求最小的正整数.3=k12.解：⑴设数列{}n a 的公差为d ，则2,22288220111=-=⇒⎩⎨⎧-=+-=+d a d a d a ∴242)1(222-=-+-=n n a n⑵ 242log 2-=n b n ，∴2422-=n n b∴n n n n n n n b b b b T 24)1(24)321(232122-+-++++===令(1)240n n n +-=，得23=n ∴当23n =时，.1=n T 13.解：⑴ 等差数列{}n a 中，.16,2541==a a ∴公差31414-=--=a a d ∴283+-=n a n ，令90283≤⇒>+-=n n a n∴当9≤n 时，0>n a ；当9>n 时，0<n a .∴当9=n 时，n S 取得最大值；⑵ 数列{}n a 是等差数列∴208642a a a a a +++++ 20)9325(10102)(1011202-=⨯-==+=a a a ；⑶由⑴得，当9≤n 时，0>n a ；当9>n 时，0<n a∴n n n S S a a a a a a T -=+++-+++=911109212)(印刷版高中数学 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⨯-⨯=)1(2325)336259(2n n n 234253232+-=n n。
《等差数列的前n项和》教案
《等差数列的前n项和》教案阜阳师范学校顾文同一、教材分析：（一）教材的地位与作用本节课是《北师大版普通高中课程标准实验教科书·数学·必修5》的〈第一章§2.2 等差数列的前n项和〉的第一课时：等差数列的前n项和公式的推导和简单应用问题。
本节对“等差数列前n 项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，其学习平台是学生已掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。
对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。
（二）教学目标依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以学情分析，我制定了如下教学目标：知识与技能：(1)掌握等差数列前n项和公式;(2)掌握等差数列前n项和公式的推导过程;(3)会简单运用等差数列的前n项和公式。
过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。
体会模仿与创新的重要性（三）重点难点1、重点：等差数列n项和公式的推导及简单应用2、难点：等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。
（四）课程资源的开发与信息技术的整合本节复习课以课本例题、习题为切入点，充分利用课本资源，加强例题和习题挖掘，既达到复习重点概念和基本方法的目的，又指导和改进学生的学习方式、方法。
在课堂教学中充分利用信息技术的优势，使课堂教学直观、生动，启发学生开启智慧之门，激发学生的学习兴趣。
二、学情分析知识基础：我班学生已掌握了函数，数列等有关基础知识，并且在初中已了解特殊的数列求和。
认知水平与能力：学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。
但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。
北师大版高中必修52.2等差数列的前n项和教学设计
北师大版高中必修5 2.2等差数列的前n项和教学设计一、教学目标1.知道等差数列的概念与性质，会判断一个数列是否为等差数列。
2.熟练掌握等差数列的通项公式、前n项和公式和其简单应用。
3.能使用前n项和公式解决等差数列实际问题。
二、教学重难点1.等差数列前n项和公式的理解与应用;2.等差数列的真正意义以及其在实际生活中的应用。
三、教学内容1. 等差数列的概念与性质1.1 等差数列的定义等差数列是指从第二项开始，每项与其前一项的差相等的一种数列，这个差叫做等差数列的公差。
1.2 等差数列的性质•通项公式：a n=a1+(n−1)d•前n项和公式：$S_n=\\frac{(a_1+a_n)n}{2}=\\frac{2a_1+(n-1)d}{2}×n$•等差中项：$a_m=\\frac{a_n+a_1}{2}$2. 等差数列的前n项和公式的应用以数列 $\\{4,7,10,...\\}$ 为例，在确定其为等差数列后，我们可以用前n项和公式计算前10项的和:$S_{10}=\\frac{(4+31)×10}{2}=175$3. 等差数列的实际应用等差数列在实际中的很多场景中都有应用，特别是在数理金融、经济策略等领域。
例如，假设你每个月存款1000元，而存款利息每年15%的情况下，求10年后本金和利息的总和。
数字小说以等差数列 $\\{12000,12600,13200,...\\}$ 来表示10年后每年的本息总和。
因此，我们可以使用前n项和公式来计算该数列的和：$S_{10}=\\frac{(24000+37200)×10}{2}=306000$四、教学过程1. 复习让学生们回顾等差数列的定义和通项公式，在黑板上让学生们做一些简单的题目。
2. 教学1.介绍等差数列的前n项和公式，并给出一个实例来说明该公式的应用；2.引入等差数列的实际场景，并尝试将其转化为等差数列；3.让学生尝试使用前n项和公式来计算等差数列的总和并解决实际问题。
北师大版《等差数列前n项和》教学设计
《等差数列的前n 项和》教学设计一、概念的提出与逆项相加原理设}{n a 是等差数列，n S 为}{n a 前n 项的和，则n n a a a S +++=...21.这就是我们这节课要学习的内容，即等差数列前n 项的求和问题.下面我们来认识一个因为高斯而著名的例题，并给出高斯算法.例1 }{n a 的通项公式为,n a n =求100S .高斯算法：10099984321100+++++++=...S123979899100100+++++++=...S因为这两项上下对应项的和均为101，所以101001011011012100100=+++= 个...S所以， 5050.210100S 100== 这里运用了一种原理，叫作逆项相加原理。
我们就以这种方法去获取等差数列前n 项和的公式.二、等差数列前n 项求和公式的推导设n S 是等差数列}{n a 前n 项和，即n n a a a S +++=...21.根据等差数列}{n a 的通项公式，上式可以写成])([...)()(d n a d a d a a S n 121111-+++++++=再把项的次序倒过来，可以写成])([...)()(d n a d a d a a S n n n n n 12--++-+-+=把两式等号两边分别相加，得个n n n n n a a a a a a S )(...)()(++++++=1112 )(n a a n +=1于是，首项为1a ，末项为n a ，项数为n 的等差数列的前n 项和21)(n n a a n S += )(* 这个公式表明，等差数列的前n 项和等于首末项的和与项数乘积的一半.例2 联系例1中的等差数列，求（1）;...99321++++ (2);...99531++++(3);...97741++++ (4)....80222120++++三、进一步拓展（1）将d n a a n )(11-+=代入)(*得d n n n a S n 211)(-+=. (2)利用等差数列的如下性质”则“若q p n m a a a a q p n m +=++=+,，可得 11121a a a a a a a a n m n m n n +==+==+=++--......进而有 .,)(n m a a n S m n m n ≤≤+=+-121 （3）几种常见数列的前n 项和公式)a 正整数列,...},...,,,{n 321：.)(21+=n n S n )b 奇数列：2n S n =)c 正偶数列：)(1+=n n S n 例3 已知等差数列}{n a 的首项.,,101S 45求==d a例4 在等差数列中，已知40153=+a a ，求.17S三、公式的运用：用方程的思想由已知的几个量求另外几个量。
北师大版高中数学必修五教学案等差数列的前n项和
3.已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n项和为286，则项数n为（）
A. 24 B. 26 C. 27 D. 28
4.在等差数列 中， ， ，则 .
5.在等差数列 中， ， ，则 .
6.下列数列是等差数列的是（）.
A. B.
C. D.
7.等差数列{ }中，已知 ，那么 （）.
例2已知一个等差数列 前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
等差数列 中，已知 ， ， ，求n.
等差数列{ }中， ＝－15，公差d＝3，求 .
三巩固练习
1.在等差数列 中， ，那么 （）.
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
2.在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（ ）.
教案、学案用纸
年级高二
学科数学
课题
等差数列的前n项和
授课时间
撰写人
学习重点
等差数列前n项和公式
学习难点
等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.
学习目标
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；
2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.
教学过程
一自主学习
数列 的前n项的和：
一般地，称为数列 的前n项的和，用 表示，即
根据下列各题中的条件，求相应的等差数列 的前n项和 .
⑴
⑵ .
1.用 ，必须具备三个条件：.
2.用 ，必须已知三个条件：.
二师生互动
例12000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
最新北师大版高中数学必修五等差数列的前n项和教案(精品教学设计)
等差数列的前n 项和一、教学目标1、知识与技能：（1）进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；（2）了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；（3）会利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究S n 的最值。
2、过程与方法：（1）经历公式应用的过程，形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；（2）学会其常用的数学方法和体现出的数学思想，促进学生的思维水平的发展。
3、情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。
二、教学重点 熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点 灵活应用求和公式解决问题. 三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、导入新课师 首先回忆一下上一节课所学主要内容.生 我们上一节课学习了等差数列的前n 项和的两个公式： (1)2)(1n n a a n S +=；(2)2)1(1d n n na S n -+=.师 对，我们上一节课学习了等差数列的前n 项和的公式，了解等差数列的一些性质.学会了求和问题的一些方法，本节课我们继续围绕等差数列的前n 项和的公式的内容来进一步学习与探究.（二）、推进新课［合作探究］师 本节课的第一个内容是来研究一下等差数列的前n 项和的公式的函数表示，请同学们将求和公式写成关于n 的函数形式.生 我将等差数列{a n }的前n 项和的公式2)1(1d n n na S n -+=整理、变形得到：)2(212d a n d S n -+=n.(*)师 很好!我们能否说(*)式是关于n 的二次函数呢? 生1 能，(*)式就是关于n 的二次函数.生2 不能，(*)式不一定是关于n 的二次函数.师 为什么?生2 若等差数列的公差为0，即d=0时，(*)式实际是关于n 的一次函数!只有当d ≠0时，(*)式才是关于n 的二次函数.师 说得很好!等差数列{a n }的前n 项和的公式可以是关于n 的一次函数或二次函数.我来问一下：这函数有什么特征? 生 它一定不含常数项，即常数项为0.生 它的二次项系数是公差的一半.……师 对的，等差数列{a n }的前n 项和为不含常数项的一次函数或二次函数.问：若一数列的前n 项和为n 的一次函数或二次函数，则这数列一定是等差数列吗? 生 不一定，还要求不含常数项才能确保是等差数列.师 说的在理.同学们能画出(*)式表示的函数图象或描述一下它的图象特征吗?生 当d=0时，(*)式是关于n 的一次函数，所以它的图象是位于一条直线上的离散的点列，当d ≠0时，(*)式是n 的二次函数，它的图象是在二次函数x d a x d y )2(212-+=的图象上的一群孤立的点.这些点的坐标为(n,S n )(n=1，2，3，…). 师 说得很精辟.［例题剖析］【例】 (课本例4)分析:等差数列{a n }的前n 项和公式可以写成n d a n d S n )2(212-+=，所以S n 可以看成函数x d a x d y )2(212-+= (x∈N *)当x=n 时的函数值.另一方面，容易知道S n 关于n 的图象是一条抛物线上的点.因此我们可以利用二次函数来求n 的值.(解答见课本第52页) 师 我们能否换一个角度再来思考一下这个问题呢？请同学们说出这个数列的首项和公差.生 它的首项为5，公差为75-.师 对，它的首项为正数，公差小于零，因而这个数列是个单调递减数列，当这数列的项出现负数时，则它的前n 项的和一定会开始减小，在这样的情况下，同学们是否会产生新的解题思路呢？生 老师，我有一种解法：先求出它的通项，求得结果是a n =a 1+(n-1)d=74075+-n . 我令74075+=n a n ≤0，得到了n ≥8，这样我就可以知道a 8=0，而a 9＜0.从而便可以发现S 7=S 8，从第9项和S n 开始减小，由于a 8=0对数列的和不产生影响，所以就可以说这个等差数列的前7项或8项的和最大.师 说得非常好!这说明我们可以通过研究它的通项取值的正负情况来研究数列的和的变化情况. ［方法引导］师 受刚才这位同学的新解法的启发，我们大家一起来归纳一下这种解法的规律①当等差数列{a n }的首项大于零，公差小于零时，它的前n 项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n 的值? 生S n 有最大值，可通过⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 求得n 的值.师 ②当等差数列{a n }的首项不大于零，公差大于零时，它的前n 项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n 的值?生 S n 有最小值，可以通过⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 求得n 的值. ［教师精讲］好!有了这种方法再结合前面的函数性质的方法，我们求等差数列的前n 项的和的最值问题就有法可依了.主要有两种：(1)利用a n 取值的正负情况来研究数列的和的变化情况；(2)利用S n ：由n d a n d S n )2(212-+=利用二次函数求得S n 取最值时n 的值. （三）、课堂练习：请同学们做下面的一道练习： 已知：a n =1 024+lg21-n (lg2=0.3 01 0)n ∈*.问多少项之和为最大？前多少项之和的绝对值最小？(让一位学生上黑板去板演)解：1°⎩⎨⎧-=≥-+=+02lg 102402lg )1(10241＜n a n a n n 2lg 10242lg 1024≤⇒n ＜+1⇒3 401＜n ＜3 403.所以n=3 402.2°S n =1 024n+2)1(-n n (-lg2)，当S n =0或S n 趋近于0时其和绝对值最小，令S n =0，即1 024+2)1(-n n (-lg2)=0,得n =2lg 2048+1≈6 804.99.因为n ∈N *，所以有n=6 805.(教师可根据学生的解答情况和解题过程中出现的问题进行点评)［合作探究］师 我们大家再一起来看这样一个问题：全体正奇数排成下表：13 57 9 1113 15 17 1921 23 25 27 29…………此表的构成规律是：第n行恰有n个连续奇数;从第二行起，每一行第一个数与上一行最后一个数是相邻奇数，问2 005是第几行的第几个数?师此题是数表问题，近年来这类问题如一颗“明珠”频频出现在数学竞赛和高考中，成为出题专家们的“新宠”，值得我们探索.请同学们根据此表的构成规律，将自己的发现告诉我.生1 我发现这数表n行共有1+2+3+…+n个数，即n行共有2)1(+nn个奇数.师很好!要想知道2 005是第几行的第几个数，必须先研究第n行的构成规律.生2 根据生1的发现，就可得到第n行的最后一个数是2×2)1(+nn-1=n2+n-1.生3 我得到第n行的第一个数是(n2+n-1)-2(n-1)=n2-n+1.师现在我们对第n行已经非常了解了，那么这问题也就好解决了，谁来求求看?生4 我设n2-n+1≤2 005≤n2+n-1，解这不等式组便可求出n=45，n2-n+1=1 981.再设2 005是第45行中的第m个数，则由2 005=1 981+(m-1)×2，解得m=13.因此，2 005是此表中的第45行中的第13个数.师 很好!由这解法可以看出，只要我们研究出了第n 行的构成规律，则可由此展开我们的思路.从整体上把握等差数列的性质，是迅速解答本题的关键.（四）、课堂小结：本节课我们学习并探究了等差数列的前n 项和的哪些内容?生1我们学会了利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究S n 的最值的方法：①利用a n ：当a n ＞0，d ＜0，前n 项和有最大值.可由a n ≥0，且a n+1≤0，求得n 的值；当a n ≤0，d ＞0，前n 项和有最小值.可由a n ≤0，且a n+1≥0，求得n 的值.②利用S n ：由S n =2d n 2+(a 1-2d )n 利用二次函数求得S n 取最值时n 的值.生2 我们还对等差数列中的数表问题的常规解法作了探究，学习了从整体上把握等差数列的性质来解决问题的数学思想方法.师 本节课我们在熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式的基础上，进一步去了解了等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.学会了一些常用的数学方法和数学思想，从而使我们从等差数列的前n 项和公式的结构特征上来更深刻地认识等差数列.（五）、布置作业课本习题1-2 A 组14、15 B 组4预习提纲：①什么是等比数列？②等比数列的通项公式如何求？五、教学反思：。
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《等差数列的前n 项和》教学设计
一、概念的提出与逆项相加原理
设}{n a 是等差数列，n S 为}{n a 前n 项的和，则n n a a a S +++=...21.这就是我们这节课要学习的内容，即等差数列前n 项的求和问题.
下面我们来认识一个因为高斯而著名的例题，并给出高斯算法.
例1 }{n a 的通项公式为,n a n =求100S .
高斯算法：10099984321100+++++++=...S
123979899100100+++++++=...S
因为这两项上下对应项的和均为101，所以
101001011011012100100=+++= 个
...S
所以， 5050.2
10100S 100== 这里运用了一种原理，叫作逆项相加原理。
我们就以这种方法去获取等差数列前n 项和的公式.
二、等差数列前n 项求和公式的推导
设n S 是等差数列}{n a 前n 项和，即
n n a a a S +++=...21.
根据等差数列}{n a 的通项公式，上式可以写成
])([...)()(d n a d a d a a S n 121111-+++++++=
再把项的次序倒过来，可以写成
])([...)()(d n a d a d a a S n n n n n 12--++-+-+=
把两式等号两边分别相加，得
个
n n n n n a a a a a a S )(...)()(++++++=1112 )(n a a n +=1
于是，首项为1a ，末项为n a ，项数为n 的等差数列的前n 项和
2
1)(n n a a n S += )(* 这个公式表明，等差数列的前n 项和等于首末项的和与项数乘积的一半.
例2 联系例1中的等差数列，求
（1）;...99321++++ (2);...99531++++
(3);...97741++++ (4)....80222120++++
三、进一步拓展
（1）将d n a a n )(11-+=代入)(*得
d n n n a S n 2
11)(-+=. (2)利用等差数列的如下性质
”则“若q p n m a a a a q p n m +=++=+,，可得 11121a a a a a a a a n m n m n n +==+==+=++--......
进而有 .,)(n m a a n S m n m n ≤≤+=+-12
1 （3）几种常见数列的前n 项和公式
)a 正整数列,...},...,,,{n 321：.)(2
1+=
n n S n )b 奇数列：2n S n =
)c 正偶数列：)(1+=n n S n 例3 已知等差数列}{n a 的首项.,,101S 45求==d a
例4 在等差数列中，已知40153=+a a ，求.17S
三、公式的运用：用方程的思想由已知的几个量求另外几个量。
例5 设}{n a 为等差数列，
（1） 已知,,15685==a a 求;12S
（2） 已知,,51066==S a 求1a 和;d
（3） 已知,,16848128==S S 求.n a
课时小结 （1）提出了等差数列前n 项和的概念；
（2）通过观察和体会，获得高斯算法中的逆项相加原理，并用以推导等差数列前n 项的求和公式。
（3）对)(*及其文字描述作了一个探究，指出在一个情境中可能有若干个等差数列，要善于发现这些数列并作出处理。
（4）对等差数列前n 项的求和公式作了一些拓展。
（5）尝试了用方程的思想去运用今天所学的知识。
作业 ;221题第,P .1022题第,P。