(北师大版)必修五：1.3等差数列-课件
高中数学必修五-等差数列
等差数列知识集结知识元等差数列的性质知识讲解1．等差数列的性质【等差数列】如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：a n＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：S n＝na1+n（n﹣1）或S n＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2a m＝a p+a q（p，q，m都为自然数）例：已知等差数列{a n}中，a1＜a2＜a3＜…＜a n且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．（1）求此数列{a n}的通项公式；（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．又∵{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴a n＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此数列的第136项．这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．【等差数列的性质】（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则a m＝a n+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则a s+a t＝a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有a s+a t＝2a p；（5）若数列{a n}，{b n}均是等差数列，则数列{ma n+kb n}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）a n，a n﹣1，a n﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2a n+1＝a n+a n+2，2a n＝a n﹣m+a n+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）a m，a m+k，a m+2k，a m+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．例题精讲等差数列的性质例1.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=15-a5，则S9等于（）A．18B．36C．45D．60例2.记等差数列{a n}的前n项和为S n．若a5=3，S13=91，则a1+a11=（）A．7B．8C．9D．10例3.在等差数列{a n}中，a3+a9=24-a5-a7，则a6=（）A．3B．6C．9D．12等差数列的通项公式知识讲解1．等差数列的通项公式【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为a n＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为a m，则第n项为a n＝a m+（n﹣m）d．【例题解析】eg1：已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2+1，求数列{a n}的通项公式，并判断{a n}是不是等差数列解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴a n＝，把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{a n}不是等差数列考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中a n的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．eg2：已知等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：∵等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴数列a n是以1为首项，4为公差的等差数列，∴a n＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．【考点点评】求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．例题精讲等差数列的通项公式例1.在等差数列{a n}中，a4，a12是方程x2+3x+1=0的两根，则a8=（）A．B．C．D．不能确定例2.在等差数列{a n}中，a2+a10=0，a6+a8=-4，a100=（）A．212B．188C．-212D．-188例3.在等差数列{a n}中，若a2=5，a4=3，则a6=（）A．-1B．0C．1D．6当堂练习单选题练习1.在等差数列{a n}中，a3+a9=24-a5-a7，则a6=（）A．3B．6C．9D．12练习2.等差数列{a n}中，已知a2+a6=4，则a4=（）A．1B．2C．3D．4练习3.在等差数列{a n}中，若a3+a9=17，a7=9，则a5=（）A．6B．7C．8D．9练习4.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”（又称“物不知数题”），后来我国南宋数学家秦九韶在《数书九章∙大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题．后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为（）A．116B．131C．146D．161练习5.已知2，b的等差中项为5，则b为（）A．B．6C．8D．10练习6.数列{a n}是等差数列，a1=1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16=15，则实数λ的最大值为（）A．B．C．D．练习7.等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，a2+a3=10，S6=54，则该数列的公差d为（）A．2B．3C．4D．6练习8.等差数列{a n}中，a1+a8=10，a2+a9=18，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4练习9.在等差数列{a n}中，已知a2+a6=18，则a4=（）A．9B．8C．81D．63。
北师大版高中数学必修《等差数列》PPT模版教学2
若数列an已知首项 a1 且满足 an－an－1＝d(n∈ N*，n≥2，d 为常数)或 an＋1－an＝d(n∈N*，d 为常 数)，则数列an为等差数列．
可见，等差数列的意义用符号语言表示， 即a1＝a，an＝an－1＋d(n≥2)，其本质是等差数 列的递推公式．
北师大版高中数学必修《等差数列》P PT模版 教学2
你知道吗？
例如：判断下列数列是否为等差数列，如果不
是，请说明理由．
(1)
1,
1 3
,
1 3
,
1,
5 3
;
(2)1, 2, 3, 4, 5;
(3)6,6,6,6,6；
(4)0,1,3,5,7；
[点评] 等差数列的定义要求从第2项起，每项与其前一项 的差等于同一个常数，本题易把第(4)问中的数列判断成 是等差数列．
24
424
an 2 3n 1 an 3 2n 1
an an
1896 4n 1 1 1 n 1
24
北师大版高中数学必修《等差数列》P PT模版 教学2
北师大版高中数学必修《等差数列》P PT模版 教学2
an 2 3n 1 an 3 2n 1
an an
1896 4n 1 1 1 n 1
北师大版高中数学必修《等差数列》P PT模版下表所示：
年份
第1年年底 第2年年底 第3年年底 第4年年底
绿化覆盖率
22.2
23.8
25.4
27.0
（单位：%）
如果以后几年继续依此速度发展绿化，那么到第几年
年年底该区绿化覆盖率可超过35.0%？
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最新审定北师大版数学必修五：1.2《等差数列(第1课时)》ppt(优秀课件)
[解析] (1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2， 是 常数， ∴数列{an}是等差数列． (2)∵an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常 数， ∴数列{an}不是等差数列．
♥ [方法总结] (1)判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：an＋1 －an＝d(d为常数)，也可以用an＋1－an＝an－an－1(n≥2)进行判断． ♥ (2)要证明一个数列不是等差数列，只需举一个反例进行否定，也可证明 an＋1－an或an－an－1(n>1)不是一个常数，而是一个与n有关的变数．
最新审定北师大版数学必修五优秀课件
第一章
§2
第1课时
等差数列
等差数列的概念及通项公式
1
课前自主预习
2
课堂典例讲练
4
本节思维导图
3
易混易错点睛
5
课 时 作 业
课前自主预习
♥ 奥运会是举世瞩目、振奋人心的体育盛会．第一届现代奥运会于1896年 在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数 照算．学了本节知识后，你将知道举行奥运会的年份 1896,1900,1904，…，构成一个等差数列，你运用等差数列的知识，能 判断2008年的北京奥运会是第几届吗？你能写出举行前30届奥运会的所 有年份吗？2050应该举行奥运会吗？
1.等差数列 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与前一项的
差 是___________ 同一个常数 ，我们称这样的数列为等差数列． ________
2．等差中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 A，使 a，A，b 成等差数
a与b的等差中项 ． 列，那么 A 叫做________________
《等差数列》公开课教学PPT课件【高中数学必修5(北师大版)】
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-54（n-1）成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。
课时小结
①等差数列定义。[21 世纪教育网
即 an an1 d (n≥2) ②等差数列通项公式 an a1 (n 1)d (n≥1) 推导出公式： an am (n m)d
②
1 ; 2 ; 3 ; 4 ,1,;
③
5555
新课学习
对于数列① an n （1≤n≤6）； an an1 1（2≤n≤6）
对于数列② an 12 -2n（n≥1）
an an1 2 （n≥2）21 世纪教育网
对于数列③ an
Байду номын сангаас
n 5
（n≥1）
an
an1
1 5
（n≥2）
共同特点：从第 2 项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
n 5
（n≥1）
由上述关系还可得： am a1 (m 1)d
即： a1 am (m 1)d
则： an a1 (n 1)d = am (m 1)d (n 1)d am (n m)d
如： a5 a4 d a3 2d a2 3d a1 4d
新课学习
例1： （1）求等差数列8，5，2…的第20项 （2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是， 是第几项？
再见
新课学习
解：（1）由 a1 8, d 5 8 2 5 3 n=20，得 a20 8 (20 1) (3) 49 （2）由 a1 5, d 9 (5) 4 得数列通项公式为： an 5 4(n 1)
等差数列的定义与通项公式(北师大版,优秀获奖课件)
为同一常数，能否说明此数列为等差数列？ 不能
补充2：公差d一定是由 后 项减 前 项所得， 且公差是 唯一 的常数。
补充3：判断、证明一个数列是否为等差数列的方
法：
即an an1 d (n 2)或an1 an d (n 1)
补充4：设等差数列{an}的公差为d，当d＞0， d＜0，d＝0时，数列{an}的特点： d＞0时，{an}是递增数列； d＜0时，{an}是递减数列； d=0时，{an}是常数列.
公差是d，那么这个数列的通项公式是：
a1 ，
an a1 (n 1)d
1、已知等差数列的首项a1与公差d ，可求得 其任何一项； 2、在等差数列的通项公式中，a1，d，n，an 四个量中知三求一。
说明：由此可以看到：已知等差数列的两项就 可以确定这个数列.
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数 就会成为一个等差数列：
小结
1. {an}为等差数列 an= a1+(n-1) d
2
an+1- an=d
an+1=an+d
2. a、b、c成等差数列 ac b 3.更一般的情形，an=
b为a、c 的等差中项AA
an am am+(n - m) d ，d= nm
am+an=ap+aq
2b= a+c
5 D. 11
2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 .
2 2 300< 83+5×（n-1）<500 44 n 84 提示： 5 5
n=45，46，…，84
2021高考数学一轮复习第6章数列第2节等差数列及其前n项和课件文北师大版
又
1 a1
＝1，因此数列
1
an
是首项为1，公差为2的等差数列，所以
a1n＝1＋2(n－1)＝2n－1，
所以an＝2n1－1.]
39
2．在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项． 求证：数列an－1 1是等差数列，并求{an}的通项公式．
40
[证明] 由题意知2an＝1＋anan＋1， ∴an＋11－1－an－1 1 ＝aan－n＋11－－1aan＋n－1－11 ＝an＋1·ana－n－ana＋n1＋－1 an＋1＝2ana－n－ana＋n1＋－1 an＝1. 又a1＝2，a1－1 1＝1， ∴数列an－1 1是首项为1，公差为1的等差数列．
[答案](1)× (2)√ (3)√ (4)×
12
二、教材改编
1．等差数列11,8,5，…中，－49是它的( )
A．第19项
B．第20项
C．第21项
D．第22项
C [由题意知an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14，令－3n＋14 ＝－49得n＝21，故选C.]
13
2．在等差数列{an}中a1＝14.5，d＝0.7，an＝32，则Sn＝( )
等差中项 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是 法 等差数列
适合题型
解答题中 证明问题
30
通项公式 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成 选择、填
法 立⇔{an}是等差数列
空题中的
前n项和公 验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整 判定问题
式法 数n都成立⇔{an}是等差数列
4
课前自主回顾
5
1．等差数列的有关概念
高中数学北师大版必修五1.2.1【教学课件】《等差数列 》
阅读教材 P10～P11 例 1 以上部分，完成下列问题。 等差数列的概念
从第 2 项起，每一项与它前一项的 差 等于 同一个常数 ，这 文字语 样的数列就叫做等差数列．称这个常数为等差数列的公差 ， 言 通常用字母 d 表示 符号语 若 an－an－1＝d(n≥2) ，则数列{an}为等差数列 言
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第一单元 · 数列
等差数列
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新课导入
1.复习数列的概念以及通项公式 2.观察几个数列如： 数列 1,2,3,4,5,…， 数列 0,0,0,0,0,…， 数列 0,2,4,6,8,10,…等。
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探索新知
1. 等差数列的概念
例3： 已知等差数列{a }，a ＝1，d＝ 2 ，求通项 a n n 1
根据等差数列的通项公式直接写出通项即可。 解：
an ＝1＋(n－1)× 2
＝ 2n－ 2＋1。
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方法小结：
1．总结回顾这节课都学习了哪些知识？要注意的是什么？都用 到了哪些数学思想方法？你在这节课里最大的收获是什么？ 2．本节学习的重点内容是等差数列的定义及通项公式，等差数 列的基本性质是“等差”。这是我们研究有关等差数列的主要 出发点，是判断、证明一个数列是否为等差数列和解决其他问 题的一种基本方法，要注意这里的“等差”是对任意相邻两项 来说的。
当 当 当
d＞0
d＜0 d＝0
时，{an}为 递增数列 ，如图甲所示。 时，{an}为 递减数列 ，如图乙所示。 时，{an}为
解：
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变式训练2
已知数列的通项公式an＝6n－1，问这个数列是等差数列吗？若是等差数 列，其首项与公差分别是多少？ 解：
北师大版高中数学必修5：等差数列的前n项和_课件2(2)
方法三：由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0， 而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14， 故a13＋a14＝0. ∵d＝－2＜0，a1＞0，∴a13＞0，a14＜0， 故n＝13时，Sn有最大值169.
方法四：由 d＝－2，知 Sn 对应的二次函数图像开口向
假设在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管．
这样，每层的钢管数都等于 4＋9，共有 6 层．从而原来 一堆钢管的总数为6×42＋9＝39.
一般地，如何求等差数列{an}的前 n 项和 Sn?
1．等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 (1)设数列{an}的首项 a1，公差 d.
则aa1200＝ ＝aa11＋ ＋91d9＝ d＝305， 0， ∴ad1＝＝212， . ∴通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝10＋2n.
(2)由 Sn＝na1＋nn－ 2 1d 以及 a1＝12，d＝2，Sn＝242， 得方程 242＝12n＋nn－ 2 1×2， 即 n2＋11n－242＝0，得 n＝11，或 n＝－22， ∵n∈N＋，∴n＝11.
方法二：∵S6＝S5＋a6＝15， ∴15＝6a12＋a6，即 3(a1＋10)＝15. ∴a1＝－5，d＝a6－5 a1＝3. ∴a8＝a6＋2d＝16. (2)方法一：a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝458， 所以 a1＋2d＝254. 所以 S5＝5a1＋12×5×(5－1)d＝5a1＋2×5d ＝5(a1＋2d)＝5×254＝24.
[时求题，a后n，a感1＝最悟后S]1，验已求证知得a1前a是1，n否项再符和由合Snna求≥n，2通时若项，符aan合n，＝则先Sn统－由一Snn＝用－11 一个解析式表示．若不符合，则通项公式应用分 段式表示．
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解：由题意得， a6=a1+5d＞0
a7=a1+6d＜0
应 用 延 2. 已知等差数列 {an} 的首项为 30 ，这个数列从 第12项起为负数，求公差d的范围。 伸 解：a12=30+11d＜0 a11=30+10d≥0 ∴ -3≤d＜-30/11 即公差d的范围为：-3≤d＜-30/11
∴-23/5＜d＜-23/6 ∵d∈Z ∴d=-4
等 差 数 列 的 定 义
一般地，如果一个数列从第二项起，每
一项与它的前一项的差等于同一个常数，那
么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做 等差数列的公差。公差通常用字母d表示。
d:
等 差 数 列 的 公 差
1.an-an-1=d (n≥2)（数学表达式）
2.常数 如2，3，5，9，11就不是 等差数列
an=a1+(n-1)d
返 回
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0
●
（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
●
●
等差数列的图象1
●
●
1
●
●
2
3
4
5
6
7
8
9
10
等 差 数 列 的 图 象 2
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0
（2）数列：7，4，1，-2，…
●
●
●
1
2
3
4
●
5
6
7
2）已知a1=3,an=21,d=2,求n 3）已知a1=12,a6=27,求d 解：a6=a1+5d,即27=12+5d d=3 4）已知d=-1/3,a7=8,求a1 解：a7=a1+6d 8=a1+6×(1/3) ∴a1=10
课堂练习二
2 a3 5 d 求 1 已知等差数列 an中，
等差数列
（第一课时）
数列的定义 给出数列的方法
你还记得吗？
请看以下几例： 1) 4，5，6，7，8，9，10，· · · · · · 2) 3，0，-3，-6，-9，-12，· · · · · ·
3) 1/10,2/10,3/10,4/10,5/10· · · · · ·
4) 3，3，3，3，3，3，3，· · · · · ·
法一 a1 2d 法二
a7
5 a1 1
a7 a1 6d 13
a7 a3 4d 13
2 考虑等差数列an 中an 与 ak 关系
an a1 n 1d
ak a1 k 1d
an ak n k d
例1. 1）等差数列8，5，2,······ 的第20项是几？ 2 ） -401 是不是等差数列 -5,-9,-13······ 的项？如果 是，是第几项？ 等
∴ a1=1, d=2
∴a6=a1+5d=1+5×2=11 a8=a1+7d=1+7×2=15
2.在等差数列｛an｝中，已知a3=9,a9=3,求a12
答案：a12=0
本节小结
你都掌握 了吗？
1.等差数列的定义
2.等差数列的通项公式 及其应用
1.一个首项为 23，公差为整数的等差数列，如果前六 项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？
8
9
10
10 9 等8
（1）数列：4，4，4，4，4，4，4，…
差 数 列 的 图 象 3
7 6 5 4
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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在等差数列｛an｝中， 1）已知a1=2,d=3,n=10,求an
课 堂 练 习 一
解：a10=a1+9d=2+9×3=29 解：21=3+(n-1)×2 n=10
3.d的范围 d∈R
如果等差数列｛an｝的首项是 ，公差是 d，那么根据等差数列的定义得到： a
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等 差 数 列 的 通 项 公 式
a2-a1=d
a3-a2=d a4-a3=d
a2=a1+d a3=a1+2d a4=a1+3d
an-an-1=d
an-a1=(n-1)d 由此得到
an=a1+(n-1)d
差 解： 1）由题意得，a1=8,d=-3 数 ∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49 列 2）由题意得,a1=-5,d=-4,an=-401 的 应 an=a1+(n-1)d 用 -401=-5+(n-1)×(-4) ∴n=100 ∴-401是这个数列的第100项。
3)-20是不是等差数列0,-3.5,-7· · · 的 项？如果是，是第几项？如果不是， 说明理由。 解：a1=0,d=-3.5 -20=0+(n-1)×(-3.5) n=47/7 ∴-20不是这个数列中的项。
例 2. 在 等 差 数 列 ｛ an} 中 ， 已 知 a5=10,a12=31,求首项a1与公差d。
等 差 数 列 的 应 用
解：由题意，a5=a1+4d a12=a1+11d 即 10=a1+4d 31=a1+11d 解之得 a1=-2 d=3
若让求a7，怎样求？
1. 在等差数列｛ an ｝中，已知 a2=3,a4=7,求a6、a8 课 堂 练 习 三 解：由题意得，a1+d=3, a1+3d=7