高中数学 第一章 等比数列课件 北师大版必修5(1)

回忆
什么是等差数列？
1, 3, 5, 7, 9…; 3, 0, -3, -6, … ;
1 10
(1) (2)
,
2 10
,
3 10
,
4 10
, . (3)
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一 项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。
ab
等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个 数就会成为一个等比数列： （1）1， ±3 ， 9 （2）-1， ±2 ，-4
±6 ，-3 （3）-12，
（4）1，±1 ，1
小 结：
知识内容
等比数列的概念。
研究方法 类比
思想方法 方程的思想。
名
称
等差数列
等比数列
定 义
如果一个数列从第2项 如果一个数列从第 2 起，每一项与前一项 项起，每一项与它前 的差等于同一个常数， 一项的比都等于同一 那么这个数列叫做等 个 常 数 , 那 么 这 个 数 差数列.这个常数叫做 列 叫 做 等 比 数 列 . 这 等差数列的公差，用d 个常数叫做等比数列 的公比，用q表示 表示
其数学表达式：
an an1 * q(n 2) 或 q(n N ) an1 an
问：如果an+1=anq(n∈N+,q为常数），那么数列{an}是 否是等比数列？为什么？
答：不一定是等比数列。这是因为：（1）若an=0,等 式an+1=anq对n∈N恒成立，但从第二项起，每一项与 它前一项的比就没有意义，故等比数列中任何一项都 不能为零；（2）若q=0，等式an+1=anq，对n∈N仍恒 成立，此时数列{an}从第二项起均为零，显然也不符 合等比数列的定义，故等比数列中的公比q不能为零。 所以，如果an+1=anq(n∈N，q为常数），数列{an}不 一定是等比数列。
比较下列数列
(1) 1, 2, 22 , 23 ,
……
, 263
1 1 1 1 , , , , …… (2) 2 4 8 16
(3Hale Waihona Puke Baidu9，92，93，94，95，96，
9
7
（ 4） 36，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…
共同特点？从第2项起，每一项与前一项的比都
等于同一常数.
等比数列定义 一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它 前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比 数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用 字母q表示。 (q≠0）
庄子 曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 意思：“一尺长的木棒， 每日取其一半，永远也 取不完” 。
如果将“一尺之棰”视为一份， 则每日剩下的部分依次为：
1 1 1 1 1， ， ， ， ， „ 2 4 8 16
某种汽车购买时的价格是36万元，每年 的折旧率是10%，求这辆车各年开始时的价 格（单位：万元）。 各年汽车的价格组成数列： 36，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…
(4)1, 0, 1, 0 ……
是 不是
q =1
思考：等比数列中
(1)公比q为什么不能等于０？首项能等于０吗？ (2)公比q=1时是什么数列？ (3)q>0数列递增吗？q<0数列递减吗？
说明： (1)公比q≠0，则an≠0(n∈N)；
(2)既是等差又是等比数列为非零常数列； (3) a1 0 a1 0 或 {an }递增； q 1 0 q 1 a1 0 a1 0 或 {an }递减； 0 q 1 q 1 q=1，常数列； q<0，摆动数列；
名 称
等差数列
等比数列
定 义
如果一个数列从第2 如果一个数列从第2 项起，每一项与它 项起，每一项与前 前一项的 比 都等于 一项的差都等于同 一个常数，那么这 同一个非 0 常数 , 那 个数列叫做等差数 么这个数列叫做等 列.这个常数叫做等 比数列. 这个常数 差数列的公差，用d 叫做等比数列的公 比，用q表示. 表示
例1:求出下列等比数列中的未知项. (1) 2. a, 8 (2) -4 , b, c,
a 8 （ 1 ）根据题意，得 解： 2 a
解得
a=4或a=-4
（ 2 ）根据题意，得
c b - 4 b 1 2 c c b
解得
b 2 c 1
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列， 那么G叫做a与b的等比中项。G
数学式 子表示
an+1-an=d an = a1 +（n-1）d
an1 q an
通项公式
?
猜一猜？
如果等比数列 {an}的首项是a1 ,公比是q,那么 这个等比数列的第n 项an 如何表示?
a3 a2 q q ∵ a1 a2 ∴ a2 a1 q
……
an q a n 1
a3 a2 q a1 q2 ……
注意：
1. 公比是等比数列，从第2项起，每一项与前 一项的比，不能颠倒。 2.对于一个给定的等比数列，它的公比是同一 个非零常数。
练习
1、判别下列数列是否为等比数列? (2)1.2, 2.4 , -4.8 , -9.6 …… 不是
2 1 (1) 2 , 1, , , 2 2
2 2
……
是
q=
(3)2, 2, 2, 2, …
上述棋盘中各格子里的 麦粒数按先后次序排成 一列数：
1， 2， 22 ， 23 ， ， 263
1844,6744,0737,0955,1615
力满足上述要求吗？
猜一猜：
给你一张足够大的纸，假设 其厚度为0.1毫米，那么当你 把这张纸对折了51次的时候， 所达到的厚度有多少？
把一张纸折叠51次， 得到的大约是地球与 太阳之间的距离！
等比数列
1
1 2 3 4 5 6 7 8
2
3
4
5
6
7 8
情景展示（1）
左图为国际象棋的棋盘，棋 盘有8*8=64格
国际象棋起源于印度，关 于国际象棋有这样一个传说，国 王要奖励国际象棋的发明者，问 他有什么要求，发明者说：“请 在棋盘上的第一个格子上放1粒麦 子，第二个格子上放2粒麦子，第 三个格子上放4粒麦子，第四个格 子上放8粒麦子，依次类推，直到 第64个格子放满为止。” 国王慷 慨地答应了他。你认为国王有能