上海市松江区2016学年第二次高考模拟高三数学试卷--含答案
上海市17区县2016届高三第二次模拟数学理试题分类汇编：三角函数剖析
三角函数
一、填空题Байду номын сангаас
1、（崇明县2016届高三二模）若函数 的最小正周期是 ，则 ．
2、（奉贤区2016届高三二模）在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 逆时针旋转 到点 ，若直线 的倾斜角为 ，则 的值为_______．
3、（虹口区2016届高三二模）已知 在 单调递增，则实数 的最大值为
参考答案
一、填空题
1、12、 3、 4、 5、 6、1
7、 8、29、 10、111、
12、 ，
二、选择题
1、B2、C3、C
三、解答题
1、（1）三角形ACD中， ，
由 ，得
.................................3分
三角形ABC中，
由 ，得
...................6分
（2）此公司应该如何设置 的值才能使制造路灯灯柱AB与
灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？
（结果精确到0.01米）
2、（奉贤区2016届高三二模）如图所示， 是两个垃圾中转站， 在 的正东方向 千米处， 的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在 的北面建一个垃圾发电厂 ．垃圾发电厂 的选址拟满足以下两个要求（ 可看成三个点）：
2、（黄浦区2016届高三二模）若 的三条边 、 、 满足 ，则 （）
A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形也可能是钝角三角形
3、（闵行区2016届高三二模）将函数 的图像向右平移 （ ）个单位后得到函数 的图像．若对满足 的 ，有 的最小值为 ．则 （ ）.
（2）三角形ABC中，
2024年上海市松江区高三数学4月二模考试卷附答案解析
2024年上海市松江区高三数学4月二模考试卷（满分150分，完卷时间120分钟）2024.4考生注意:1.本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分.2.答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号.3.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位.一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．函数lg(2)y x =-的定义域为2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=.3．已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ，且(35)0.3P X ≤≤=，则(5)P X >=.4．已知点A 的坐标为13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π2至OP ，则点P 的坐标为.5．已知7270127(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++- ，则5a =．6．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则此圆锥的体积为.（结果中保留π）7．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，若35a S =，则使得n n S a <成立的n 的最大值为.8．已知函数()2log f x x =，若()()()1212f x f x x x =≠，则124x x +的最小值为．9．12,F F 是双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点，若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为10．已知正三角形ABC 的边长为2，点D 满足CD mCA nCB =+，且0m >，0n >，21m n +=，则||CD 的取值范围是.11．已知02a <<，函数()1241,22,2x a x a x y a x -⎧-++≤=⎨>⎩，若该函数存在最小值，则实数a 的取值范围是.12．某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为1，2，3，…，30，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有种不同的选择方法.二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第13、14题选对得4分，第15、16题选对得5分，否则一律得零分.13．已知集合{|04}A x x =≤≤，{|2,Z}B x x n n ==∈，则A B = （）A ．{1,2}B ．{2,4}C ．{0,1,2}D ．{0,2,4}14．垃圾分类是保护环境，改善人居环境､促进城市精细化管理､保障可持续发展的重要举措.某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾x （千克）所需的费用y （角）的情况作了调研，并统计得到下表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为0.70.4y x =+，则下列说法错误的是（）x2345y22.33.4mA ．变量x 、y 之间呈正相关关系B ．可以预测当8x =时，y 的值为6C ． 3.9m =D ．由表格中数据知样本中心点为()3.5,2.8515．已知某个三角形的三边长为a 、b 及c ，其中a b <.若a ，b 是函数2y ax bx c =-+的两个零点，则a 的取值范围是（）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．15122⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．51,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭16．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，有以下两个命题：①若{}n a 是公差不为零的等差数列且N k ∈，2k ≥，则12210k S S S -⋅= 是120k a a a ⋅= 的必要非充分条件；②若{}n a 是等比数列且N k ∈，2k ≥，则120k S S S ⋅= 的充要条件是10k k a a ++=.那么（）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，①是真命题C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．设2()sinsin(0)222f x x x x ωωωω=>，函数()y f x =图象的两条相邻对称轴之间的距离为π．(1)求函数()y f x =的解析式；(2)在ABC 中，设角A 、B 及C 所对边的边长分别为a、b 及c ，若a =b ，3()2f A =，求角C ．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.(1)设平面ABE 与直线PC 相交于点F ，求证：//EF CD ；(2)若2AB =，60DAB ∠=︒，PD =，求直线BE 与平面PAD 所成角的大小.19．某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为1p 、2p 、3p ，假定1p 、2p 、3p 互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立.(1)计划依次派甲乙丙进行闯关，若13p 4=，223p =，312p =，求该小组比赛胜利的概率；(2)若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目X 的分布，并求X 的期望()E X ；(3)已知1231p p p >>>，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出.20．如图，椭圆22:12y x Γ+=的上、下焦点分别为1F 、2F ，过上焦点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆于M 、N两点，动点P 、Q 分别在直线MN 与椭圆Γ上.(1)求线段MN 的长；(2)若线段PQ 的中点在x 轴上，求2F PQ △的面积；(3)是否存在以2F Q 、2F P 为邻边的矩形2F QEP ，使得点E 在椭圆Γ上？若存在，求出所有满足条件的点Q 的纵坐标；若不存在，请说明理由.21．已知函数ln y x x a =⋅+（a 为常数），记()()y f x x g x ==⋅.(1)若函数()y g x =在1x =处的切线过原点，求实数a 的值；(2)对于正实数t ，求证：()()()ln 2f x f t x f t t a +-≥-+；(3)当1a =时，求证：e ()cos xg x x x +<.1．2+∞（，）【详解】要使函数lg(2)y x =-有意义，则202x x ->⇒>，所以函数lg(2)y x =-的定义域为2+∞（，），故答案为2+∞（，）.2．2i -+##i-2【分析】根据复数的乘法运算求解即可.【详解】由题意知，12z i =+，则i i (12i)2i z ⋅=⋅+=-+，故答案为：2i -+3．0.2##15【分析】根据题意，结合正态分布的对称性，即可求解.【详解】因为随机变量X 服从正态分布()23,N σ，且(35)0.3P X ≤≤=，可得(5)0.5(35)0.50.30.2P X P X >=-≤≤=-=.故答案为：0.2.4．21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】由题意可求π3xOA ∠=，5π326ππxOP ∠=+=，利用任意角的三角函数的定义即可求解．【详解】因为点A 的坐标为12⎛ ⎝⎭，可得π3xOA ∠=，所以5π326ππxOP ∠=+=，可得5πcos6P x ==，5π1sin 62P y ==，所以点P 的坐标为12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故答案为：12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.5．21【分析】先将7x 变形为7[1(1)]x +-的形式，再应用二项式定理求解即可.【详解】77[1(1)]x x =+-，由二项式定理得：5567C (1)T x =-，所以5257776C C 2121a ⨯====⨯.故答案为：21.6【分析】通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．【详解】由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则212ππ2l =，所以2l =，则半圆的弧长为2π，所有圆锥的底面半径为2π2πr =，1r =，所以圆锥的体积为：21π1π33⨯⨯=．．7．5【分析】根据题意，列出方程求得14a =-，得到25n S n n =-且26n a n =-，结合n n S a <，列出不等式，即可求解.【详解】由等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，若35a S =，可得115422522a a ⨯+=+⨯⨯，解得14a =-，所以2(1)4252n n n S n n n -=-+⨯=-，且3(1)226n a n n =-+-⨯=-，因为n n S a <，即2526n n n -<-，整理得27+60n n -<，解得16n <<，因为N n *∈，所以使得n n S a <成立的n 的最大值为5.故答案为：5.8．4【分析】由题意及对数的运算与对数函数的性质可得121x x ⋅=，利用基本不等式即可求解．【详解】()222log ,01log log ,1x x f x x x x -<<⎧==⎨≥⎩，若()()()1212f x f x x x =≠，不妨设1201x x <<≤，则2122log log x x -=，所以2122212log log log 0x x x x +=⋅=，即121x x ⋅=，所以1244x x +≥=，当且仅当112x =，22x =时，等号成立．故答案为：4．9【分析】根据双曲线的定义可求得1a =，290ABF ∠=︒，再利用勾股定理可求得122||c F F =，从而可求得双曲线的离心率．【详解】解：22||:||:||3:4:5AB BF AF = ，不妨令||3AB =，2||4BF =，2||5AF =，22222||||||AB BF AF += ，290ABF ∴∠=︒，又由双曲线的定义得：12||||2BF BF a -=，21||||2AF AF a -=，11||345||AF AF ∴+-=-，1||3AF ∴=．12||||3342BF BF a ∴-=+-=，1a ∴=．在Rt △12BF F 中，222221212||||||6452F F BF BF =+=+=，2212||4F F c = ，2452c ∴=，13c ∴=．∴双曲线的离心率13c e a==．故答案为：13．10．()1,2【分析】取AC 的中点E ，由题意可得2CD mCE nCB =+，从而推得,,B D E 三点共线，进而得出CE CD CB <<，即可得出答案.【详解】取AC 的中点E ，则2CA CE =，又2CD mCA nCB mCE nCB =+=+，又因为21m n +=，故,,B D E 三点共线，即点D 在中线BE 上运动，在正三角形ABC 中，BE AC ⊥，又0m >，0n >，则CE CD CB <<，故()1,2CD ∈ .故答案为：()1,211．1{|02a a <≤或1}a =【分析】令()(2)41g x a x a =-++，(],2x ∞∈-，1()2x h x a -=，(2,)x ∈+∞，分类讨论a 的取值范围，判断()g x ，()h x 的单调性，结合()f x 存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案．【详解】由题意，令()(2)41g x a x a =-++，(],2x ∞∈-，1()2x h x a -=，(2,)x ∈+∞，当01a <<时，()g x 在(],2-∞上单调递减，()h x 在(2,)+∞上单调递减，则()h x 在(2,)+∞上的值域为(0,2)a ，因为()f x 存在最小值，故需()2(2)2410g a a =-⨯++≤，解得12a ≤，结合01a <<，此时102a <≤；当12a <<时，()g x 在(],2-∞上单调递减，()h x 在(2,)+∞上单调递增，则()h x 在(2,)+∞上的值域为(2,)a +∞，因为()f x 存在最小值，故需()22g a ≤，即(2)2412a a a -⨯++≤，解得34a ≤，这与12a <<矛盾；当1a =时，()5g x x =-+在(],2-∞上单调递减，且在(],2-∞上的值域为[)3,+∞，()2h x =，此时存在最小值2；则实数a 的取值范围为1{|02a a <≤或1}a =．故答案为：1{|02a a <≤或1}a =．12．1540【分析】根据题意，设挑选出的三名学生的学号分别为x ，y ，z ，不妨设x y z <<，结合题意转化为()()()443123x y x z y z +--+--+-=，进而转化为四个正整数的和为23，结合隔板法，即可求解.【详解】设挑选出的三名学生的学号分别为x ，y ，z ，不妨设x y z <<，则有恒等式()()()()3030*x y x z y z +-+-+-=，其中1x ≥，5y x -≥，5z y -≥，300z -≥，即1x ≥，41y x --≥，41z y --≥，311z -≥，故()*式为()()()443123x y x z y z +--+--+-=，上式四个正整数的和为23，相当于23个1分成四组，运用隔板法，在22个空中放3块板，故有322C 1540=种方法．故答案为：1540．13．D【分析】直接根据交集概念求解.【详解】因为集合{|04}A x x =≤≤，{|2,Z}B x x n n ==∈，所以{0,2,4}A B = .故选：D.14．C【分析】利用回归直线方程可判断A 选项；将8x =代入回归直线方程可判断B 选项；计算出样本的中心点坐标，结合平均数公式可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，因为回归直线方程0.70.4y x =+，故变量x 、y 之间呈正相关关系，A 对；对于B 选项，当8x =时，0.780.46y =⨯+=，B 对；对于CD 选项，23453.54x +++== ，则0.7 3.50.4 2.85y =⨯+=，故样本的中心点的坐标为()3.5,2.85，另一方面，2 2.3 3.4 2.854my +++==，解得 3.7m =，C 错D 对.故选：C.15．B【分析】由a ，b 为函数2()f x ax bx c =-+的两个零点可得()222ax a a b x a b ax bx c -++=-+，即可得21a b a =-、41a c a =-，由两边之和大于第三边，结合题意可得15122a <<.【详解】由,ab 为函数2()f x ax bxc =-+的两个零点，故有()()2a x a xb ax bxc --=-+，即()222ax a a b x a b ax bx c -++=-+恒成立，故()a a b b +=，2a b c =，则21a b a =-，242211a a c a b a a a==⨯=--，由a ，b ，c 为某三角形的三边长，且a b <，故10a ->，且21a a a<-，则112a <<，因为b c a +>必然成立，所以a c b a b c +>⎧⎨+>⎩，即42241111a a a a a a a a a a⎧+>⎪⎪--⎨⎪+>⎪--⎩，解得10201a a ⎧<<⎪⎨⎪<<⎩，所以1122a <<，故a的取值范围是：11,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：B.16．C【分析】根据题意，由等差数列和等差数列的前n 项和性质分析①的真假，由等比数列和等比数列的前n 项和性质分析②的真假，综合可得答案.【详解】根据题意，对于命题①，{}n a 是公差不为零的等差数列，若120k a a a ⋅= ，则在12,,,k a a a 中，至少有一项为0，假设()0,1m a m k =≤≤，则()()()12121212102m m m m a a S m a ---+==-=，必有12210k S S S -⋅= ，反之，在等差数列{}n a 中，若23n a n =-，则121,1a a =-=，有20S =，则120k S S S ⋅= 成立，但120k a a a ⋅= 不成立，故12210k S S S -⋅= 是120k a a a ⋅= 的必要非充分条件，故①正确；对于命题②，若{}n a 是等比数列，设其公比为q ，若N k ∈，2k ≥时，有120k S S S ⋅= ，则12,,,k S S S 中，至少有一项为0，则1q ≠，假设0,m S =则有()110,1mm a q S q-==-必有1mq=，又由1q ≠，必有m 为偶数且1q =-，故10k k a a ++=，反之，若10k k a a ++=，则1q =-，必有20S =，则有N k ∈，2k ≥，则120k S S S ⋅= ，若{}n a 是等比数列且N k ∈，2k ≥，则120k S S S ⋅= 的充要条件是10k k a a ++=，故②正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键点是，熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，从而分析得解.17．(1)π1()sin(62f x x =-+(2)π12【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简()f x ，再根据()y f x =图象的两条相邻对称轴之间的距离为π求出ω即可；（2）由3()2f A =得出2π3A =，过点C 作AB CD ⊥于点D ，得出π6ACD ∠=，分别求出,AD CD 的长，结合AB即可得出BD CD =，进而得出BCD ∠，根据ACB BCD ACD ∠=∠-∠即可求得答案．【详解】（1）1cos 3π1()sin sin()2262x f x x x ωωω-=+=-+，因为函数()y f x =图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，所以π2T =,则2π2πT ω==，解得1ω=，所以π1()sin()62f x x =-+．（2）由3()2f A =得，π13ππ()sin(2π,Z 62262f A A A k k =-+=⇒-=+∈，因为(0,π)A ∈，所以ππ62A -=，即2π3A =，22221cos22b c a A bc +-===-，解得622c =(舍负)，过点C 作AB CD ⊥于点D ，如图所示，由π2π,23D BAC ∠=∠=得，π6ACD ∠=，则1π,cos 2262AD AC CD AC ===⨯=，所以BD AB AD =+=BD CD =，所以π4BCD ∠=，则πππ4612ACB BCD ACD ∠=∠-∠=-=．18．(1)证明见解析(2)π6【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证出//AB 平面PCD ，然后根据平面ABE ⋂平面PCD EF =，利用线面平行的性质定理证出//EF CD ；（2）连接BD ，取AD 中点H ，连接BH 、EH ，根据线面垂直的判定定理，证出BH ⊥平面PAD ，可得BEH ∠是直线BE 与平面PAD 的所成角，然后在Rt BEH △中利用锐角三角函数的定义算出答案．【详解】（1）证明： 平面ABE 与直线PC 相交于点F ，∴平面ABE ⋂平面PCD EF =，四边形ABCD 是菱形，//AB CD ∴，AB ⊄ 平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，//AB ∴平面PCD ，AB ⊂ 平面ABE ，平面ABE ⋂平面PCD EF =，//EF CD ∴；（2）连接BD ，取AD 中点H ，连接BH 、EH ，菱形ABCD 中，AB AD =，60DAB ∠=︒，ABD ∴ 是等边三角形，H 是AD 中点，BH AD ∴⊥，PD ⊥ 平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，BH PD ∴⊥，PD 、AD ⊂平面PAD ，PD AD D = ，BH ∴⊥平面PAD ．BEH ∴∠是直线BE 与平面PAD 的所成角，E 是PD 中点，PD =12DE PD ∴==PD ⊥ 平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，PD AD ∴⊥，H 为AD 中点，112DH AD ∴==，Rt DEH △中，3EH =，等边ABD △中，高BH AD ==Rt BEH ∴ 中，tan BH BEH EH ∠=可得π6BEH ∠=，即直线BE 与平面PAD 的所成角等于π6．19．(1)2324(2)121223p p p p --+(3)先派出甲【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解；（2）由题意可知，X 的所有可能取值为1，2，3，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到X 的分布，再结合期望公式求解；（3）分别计算出依次派甲乙丙进行闯关和依次派丙乙甲进行闯关，所派出人员数目的期望，再利用作差法比较大小即可．【详解】（1）设事件A 表示“该小组比赛胜利”，则()3121112344343224P A =+⨯+⨯⨯=；（2）由题意可知，X 的所有可能取值为1，2，3，则1(1)P X p ==，12(2)(1)P X p p ==-，12(3)(1)(1)P X p p ==--，所以X 的分布为：X123P 1p 12(1)p p -12(1)(1)p p --所以112121212()2(1)3(1)(1)23E X p p p p p p p p p =+-+--=--+；（3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为1E ，由（2）可知，1121223E p p p p =--+，若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为2E ，则2323223E p p p p =--+，则1212123232121323(23)(23)22E E p p p p p p p p p p p p p p -=--+---+=--+21313132()2()()(2)p p p p p p p p =---=--，因为1231p p p >>>，所以130p p ->，220p -<，所以120E E -<，即12E E <，所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲．20．(1)MN =22(3)2-1-.【分析】（1）根据已知求出点N 的横坐标，根据对称性可得线段MN 的长；；（2）线段PQ 的中点在x 轴上，得Q 点纵坐标，代入椭圆方程得Q 点横坐标，此时1QF x ⊥轴，易得其面积；（3）假设存在2F Q ，2F P 为邻边的矩形2F QEP ，使得点E 在椭圆C 上，设0(,1)P x ，11(,)Q x y ，22(,)E x y ，由平行四边形对角线互相平分把E 点坐标用,P Q 点坐标表示，然后把,Q E 坐标代入椭圆方程，利用垂直得向量的数量积为0，得出110,,x y x 的关系，结合起来可得00x =或01x x =-，再分别代入求得1y ，得结论．【详解】（1）由22:12y x Γ+=可得：a =1b =，从而1c ==，所以令1y =，则2112x +=，解得：22x =±，所以MN =（2）线段PQ 的中点在x 轴上，则1P y =，所以1Q y =-，即2QF y ⊥轴，所以令1y =-，则2112x +=，解得：x =所以221211222POF S F Q F F =⋅==（3）22121122222POF S F Q F F =⋅=⨯= ，假设存在以2F Q ，2F P 为邻边的矩形2F QEP ，使得点E 在椭圆C 上，设0(,1)P x ，11(,)Q x y ，22(,)E x y ，2(0,1)F -，因为四边形2F QEP 是矩形，一定为平行四边形，所以222F P F Q F E +=，则021x x x =+，212y y =+，所以011(,2)E x x y ++，,Q E 都在椭圆上，()()22112211012212y x y x x ⎧+=⎪⎪⎨+⎪++=⎪⎩，变形得201012220x x x y +++=①，又22QF PF ⊥，所以220F Q F P ⋅=，即110110(,1)(,2)2(1)0x y x y x x +⋅=++=，则11022y x x +=-②，②代入①得20010x x x +=，解得：00x =或01x x =-，若00x =时，11y =-，122x =±，此时P 与1F 重合，Q 点坐标为2(,1)2±-；若01x x =-时，联立()()22112211012212y x y x x ⎧+=⎪⎪⎨+⎪++=⎪⎩，消去1x 可得：211420y y ++=，解得：12y =-因为1y ⎡∈⎣，所以12y =-所以存在满足题意的Q点，其纵坐标为2-1-..【点睛】思路点睛：对于圆锥曲线中探索性问题，求解步骤如下：第一步：假设结论存在；第二步：结合已知条件进行推理求解；第三步：若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设；第四步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．21．(1)12(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据题以，得到()ln ,0a g x x x x=+>，求得2()x a g x x -'=，结合导数的几何意义，求得切线方程，将原点代入切线方程，即可求解；（2）设函数()()(),0h x f x f t x t =+->，求得()lnx h x t x '=-，求得函数()h x 的单调性和最小值为(2t h ，得到()(2t h x h ≥，即可得证；（3）根据题意，得到1e ln cos xx x x x +<-，结合cos [1,1]x ∈-，把转化为1e ln 1x x x x +<-，设()1e ln 1,0x k x x x x x=+-+>，利用导数求得()k x 的单调性和最大值()12e k =-，即可得证.【详解】（1）解：由题意，函数ln y x x a =⋅+，且()()y f x x g x ==⋅，可得()()ln ,0f x a g x x x x x ==+>，则221()a x a g x x x x-'=-=，所以(1)1g a '=-，又因为(1)ln1g a a =+=，所以()g x 在1x =处的切线方程为(1)(1)y a x a =--+，又因为函数()y g x =在1x =处的切线过原点，可得0(1)(01)a a =-⋅-+，解得12a =.（2）解：设函数()()(),0h x f x f t x t =+->，可得()ln ()ln()2h x x x t x t x a =+--+，其中0x t <<，则()ln 1ln()1lnx h x x t x t x'=+---=-，令()0h x '>，可得1x t x >-，即20x t t x ->-，即20x t x t-<-，解得2t x t <<，令()0h x '<，可得01x t x <<-，解得02t x <<，所以()h x 在(,)2t t 上单调递增，在(0,)2t 上单调递减，可得()h x 的最小值为(2t h ，所以()(2t h x h ≥，又由()()()(ln 2ln 22222t t t t h f f t t a f t t a =+-=+=-+，所以()()()ln 2f x f t x f t t a +-≥-+.（3）解：当1a =时，即证1e ln cos xx x x x+<-，由于cos [1,1]x ∈-，所以e e cos 1x x x x x -≥-，只需证1e ln 1xx x x+<-，令()1e ln 1,0xk x x x x x=+-+>，只需证明()0k x <，又由()22211e (1)(1e )(1)x x x x k x x x x x ---'=--=，因为0x >，可得1e 0x -<，令()0k x '>，解得01x <<；令()0k x '<，解得1x >，所以()k x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()k x 在1x =处取得极大值，也时最大值，所以()()max 12e 0k x k ==-<，即()0k x <，即1a =时，不等式e ()cos x g x x x +<恒成立.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。
上海市四区2016届高三二模数学试卷
上海市四区2016届高三二模数学试卷2016.04一. 填空题1. 设集合{|||2,}A x x x R =<∈，2{|430,}B x x x x R =-+≥∈，则A B =2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足11zi z -=+，则||z = 3. 设0a >且1a ≠，若函数1()2x f x a -=+的反函数的图像经过定点P ，则点P 的坐标是4. 计算：222lim(1)n nn P C n →∞+=+ 5. 在平面直角坐标系内，直线:220l x y +-=，将l 与两条坐标轴围成的封闭图形绕y 轴 旋转一周，所得几何体的体积为 6. 已知sin 2sin 0θθ+=，(,)2πθπ∈，则tan 2θ=7. 设定义在R 上的偶函数()y f x =，当0x ≥时，()24xf x =-，则不等式()0f x ≤的解 集是8. 在平面直角坐标系xOy 中，有一定点(1,1)A ，若OA 的垂直平分线过抛物线2:2C y px = （0p >）的焦点，则抛物线C 的方程为9.（文）已知x 、y 满足约束条件420y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为（理）直线115x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线sin cos sin cos x y θθθθ=⋅⎧⎨=+⎩（θ为参数）的公共点的坐标为10.（文）在26()k x x+（k 为实常数）的展开式中，3x 项的系数等于160，则k =（理）记1(2)nx x+（*n N ∈）展开式中第m 项系数为m b ，若342b b =，则n =11.（文）从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面 积等于12的概率是 （理）从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量ξ表示这三个点 所构成的三角形的面积，则其数学期望E ξ=12.（文）已知数列{}n a 满足212...3n a a a n n +++=+（*n N ∈），则22212 (231)n a a a n +++=+（理）已知各项均为正数的数列{}n a 2...3n n =+（*n N ∈），则12 (231)n a a a n +++=+ 13.（文）甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对 得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项 不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为 （理）甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对 得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有2道题的选项 不同，如果甲最终的得分为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为14.（文）对于函数()f x =，其中0b >，若()f x 的定义域与值域相同，则非零 实数a 的值为（理）已知0a >，函数()af x x x=-（[1,2]x ∈）的图像的两个端点分别为A 、B ，设M 是函数()f x 图像上任意一点，过M 作垂直于x 轴的直线l ，且l 与线段AB 交于点N ，若||1MN ≤恒成立，则a 的最大值是二. 选择题15. “sin 0α=”是“cos 1α=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 16. 下列命题正确的是（ ）A. 若直线1l ∥平面α，直线2l ∥平面α，则1l ∥2l ；B. 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l ∥α；C. 直线l 与平面α所成角的取值范围是(0,)2π；D. 若直线1l ⊥平面α，直线2l ⊥平面α，则1l ∥2l ；17. 已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0c a c b -⋅-=，则||c的最大值是（ ）A. 1B. 2 D. 218.（文）已知直线:2l y x b =+与函数1y x=的图像交于A 、B 两点，设O 为坐标原点， 记OAB ∆的面积为S ，则函数()S f b =是（ ）A. 奇函数且在(0,)+∞上单调递增B. 偶函数且在(0,)+∞上单调递增C. 奇函数且在(0,)+∞上单调递减D. 偶函数且在(0,)+∞上单调递减（理）已知函数3|log |03()sin()3156x x f x x x π<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1x 、2x 、3x 、4x 满足 1234()()()()f x f x f x f x ===，其中1234x x x x <<<，则1234x x x x 取值范围是（ ）A. (60,96)B. (45,72)C. (30,48)D. (15,24)三. 解答题19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是等腰直角三角形，12AC BC AA ===，D 为侧棱1AA 的中点；（文）（1）求证：AC ⊥平面11BCC B ；（2）求异面直线1B D 与AC 所成角的大小； （理）（1）求证：BC ⊥平面11ACC A ；（2）求二面角11B CD C --的大小； （结果用反三角函数值表示）20.（文）已知函数()2cos 21f x x x =+-（x R ∈）；（1）写出函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若()0f B =，32BA BC ⋅=， 且4a c +=，试求b 的值；（理）已知函数()cos()cos()133f x x x x ππωωω=+++--（0ω>，x R ∈），且 函数()f x 的最小正周期为π； （1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若()0f B =，32BA BC ⋅=， 且4a c +=，试求b 的值；21. 定义在D 上的函数()f x ，若满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤ 成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界； （1）设()1x f x x =+，判断()f x 在11[,]22-上是否有界函数，若是，请说明理由，并写出 ()f x 的所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）（文）若函数11()1()()24x xg x a =+⋅+在[0,)+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围；（理）若函数()124xxg x a =++⋅在[0,2]x ∈上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取 值范围；22.（文）设椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的右焦点为(1,0)F ，短轴的一个端点B 到F的距离等于焦距；（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设C 、D 是四条直线x a =±，y b =±所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，P 是椭圆Γ上任意一点，若OP mOC nOD =+，求证：22m n +为定值；（3）过点F 的直线l 与椭圆Γ交于不同的两点M 、N ，且满足于BFM ∆与BFN ∆的面 积的比值为2，求直线l 的方程；（理）如图，设F 是椭圆22134x y +=的下焦点，直线4y kx =-（0k >）与椭圆相交于A 、 B 两点，与y 轴交于点P ；（1）若PA AB =，求k 的值； （2）求证：AFP BFO ∠=∠； （3）求面积ABF ∆的最大值；23.（文）已知数列{}n a 、{}n b 满足：114a =，1n n ab +=，121n n n b b a +=-； （1）求1b 、2b 、3b 、4b ； （2）求证：数列1{}1n b -是等差数列，并求{}n b 的通项公式； （3）设12231...n n n S a a a a a a +=+++，若不等式4n n aS b <对任意*n N ∈恒成立，求实数a的取值范围；（理）已知正项数列{}n a 、{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有n a 、n b 、1n a +成等差数列，n b 、1n a +、1n b +成等比数列，且110a =，215a =；（1）求证：数列是等差数列； （2）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （3）设12111...n n S a a a =+++，如果对任意*n N ∈，不等式22n n nb aS a <-恒成立，求实 数a 的取值范围；参考答案一. 填空题1. (2,1]-2. 13. (3,1)4.32 5. 23π7. (,2][0,2]-∞- 8. 24y x = 9.（理）(0,1)（文）6-10.（理）5（文）2 11.（文）3712. 226n n +13.（理）{48,51,54,57,60}（文）{24,27,30} 14.（理）6+4-二. 选择题15. B 16. D 17. C 18.（理）B （文）B三. 解答题19.（文）（1）略；（2）2arccos3；（理）（1）略；（2）2arccos 3； 20.（文）（1）()2sin(2)16f x x π=+-，T π=，增区间[,]36k k ππππ-+；（2）3B π=，3ac =，4a c +=，b =；（理）（1）()2sin(2)16f x x π=+-；（2）3B π=，b =；21.（1）有界，{|1}M M ≥；（2）（文）[5,1]-；（理）11[,]28--；22.（文）（1）22143x y +=；（2）2212m n +=；（3）(1)2y x =±-；（理）（1）4y x =-；（2）0FA FB k k +=，略；（3； 23.（文）（1）134b =，245b =，356b =，467b =；（2）23n n b n +=+；（3）1a ≤； （理）（1）略；（2）(3)(4)2n n n a ++=，2482n n b n =++；（3）1a ≤；四区理科参考答案 一．填空题（每小题4分，满分56分）1．]1,2(- 2．1 3．)1,3( 4．235．32π6．3 7．]2,0[]2,( --∞ 8．x y 42= 9．)1,0( 10．5 11．5326+ 12．n n 622+ 13．{48，51，54，57，60} 14．246+二．选择题（每小题5分，满分20分）15．B 16．D 17．C 18．B三．解答题（本大题共有5题，满分74分） 19．（本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分）（1）因为底面△ABC 是等腰直角三角形，且BC AC =，所以，BC AC ⊥，…（2分） 因为⊥1CC 平面111C B A ，所以BC CC ⊥1， ………………………………………（4分） 所以，⊥BC 平面11A ACC ． ……………………………………………………（5分） （2）以C 为原点，直线CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则)0,0,0(C ，)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)2,0,0(1C ，)2,2,0(1B ，)1,0,2(D ， 由（1），)0,2,0(=是平面11A ACC 的一个法向量， ………………………（2分）)2,2,0(1=CB ，)1,0,2(=CD ，设平面CD B 1的一个法向量为),,(z y x n =，则有 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01n CB n 即⎩⎨⎧=+=+,02,022z x z y 令1=x ，则2-=z ，2=y ， 所以)2,2,1(-=n， …………………………………………（5分）设与n 的夹角为θ，则32324||||cos =⨯=⋅=n CBθ， …………………（6分） 由图形知二面角11C CD B --的大小是锐角，所以，二面角11C CD B --的大小为32arccos ． ……………………………（7分）20．（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1）16sin 21cos sin 3)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=πωωωx x x x f ， ………………（3分）又π=T ，所以，2=ω， ………………………………………………（5分）所以，162sin 2)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f ． …………………………………………………（6分）（2）0162sin 2)(=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πB B f ，故2162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB ，所以，6262πππ+=+k B 或65262πππ+=+k B （Z ∈k ）， 因为B 是三角形内角，所以3π=B ．……（3分）而23cos =⋅=⋅B ac ，所以，3=ac ， …………………………（5分） 又4=+c a ，所以，1022=+c a ，所以，7cos 2222=-+=B ac c a b ，所以，7=b ． …………………………………（8分）21．（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1）111)(+-=x x f ，则)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数，故⎪⎭⎫⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-21)(21f x f f ， 即31)(1≤≤-x f ， ……………………………………………（2分） 故1|)(|≤x f ，所以)(x f 是有界函数． ……………………………………………（4分） 所以，上界M 满足1≥M ，所有上界M 的集合是),1[∞+． ……………………（6分）（2）因为函数)(x g 在]2,0[∈x 上是以3为上界的有界函数，故3|)(|≤x g 在]2,0[∈x 上恒成立，即3)(3≤≤-x g ，所以，34213≤⋅++≤-xxa （]2,0[∈x ）， ……（2分）所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x a 21422144（]2,0[∈x ）， 令x t 21=，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ，故t t a t t -≤≤--2224在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 上恒成立，所以，min 2max 2)2()4(t t a t t -≤≤--（⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ）， ………………………（5分）令t t t h --=24)(，则)(t h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是减函数，所以2141)(max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=g t h ；（6分）令t t t p -=22)(，则)(t p 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是增函数，所以8141)(min -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=h t p ．…（7分）所以，实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--81,21． ……………………………………（8分）22．（本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）（1）由⎪⎩⎪⎨⎧-==+4,14322kx y y x 得03624)43(22=+-+kx x k ，所以△0)4(1442>-=k ， 设),(11y x A ，),(22y x B ，则4324221+=+k k x x ，4336221+=k x x ， ………………（2分） 因为=，所以122x x =，代入上式求得556=k ． ………………………（4分）（2）由图形可知，要证明BFO AFP ∠=∠，等价于证明直线AF 与直线BF 的倾斜角互补， 即等价于0=+BF AF k k ． ………………………………………………………（2分）21212122112211)(3211323311x x x x k x x k x kx x kx x y x y k k BF AF +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-=+++=+ 022433643243222=-=++⋅-=k k k k k k ． …………………………………………（5分）所以，BFO AFP ∠=∠． …………………………………………………（6分） （3）由△0>，得042>-k ，所以21221214)(321||||21x x x x x x PF S S S PAF PBF ABF -+⋅⋅=-⋅=-=∆∆∆ 4341822+-=k k ， ………………………………………………………………（3分）令42-=k t ，则0>t ，1634322+=+t k 故tt t t k k S ABF163181631843418222+=+=+-=∆433163218=⋅≤（当且仅当t t 163=，即3162=t ，3212=k 取等号）． ………（5分） 所以，△ABF 面积的最大值是433． ……………………………………………（6分） 23．（本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）（1）由已知，12++=n n n a a b ① 121++=n n n b b a ②， ………………（1分）由②可得，11++=n n n b b a ③， ……………………………（2分） 将③代入①得，对任意*N ∈n ，2≥n ，有112+-+=n n n n n b b b b b ，即112+-+=n n n b b b ，所以{}nb 是等差数列． …………………………（4分）（2）设数列{}nb 的公差为d ，由101=a ，152=a，得2251=b ，182=b ，……（1分） 所以2251=b ，232=b ，所以2212=-=b b d ， ……………………（3分） 所以，)4(2222)1(225)1(1+=⋅-+=-+=n n d n b b n ， ………………（4分）所以，2)4(2+=n b n ，2)4(2)3(2212+⋅+==-n n b b a n n n ， ……………………（5分）2)4)(3(++=n n a n ． …………………………………………………………（6分） （3）解法一：由（2），⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=41312)4)(3(21n n n n a n ， ……………（1分） 所以，⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=414124131615151412n n n S n ，……（3分） 故不等式n n n a b aS -<22化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ， 即)3()4)(2(+++<n n n n a 当*N ∈n 时恒成立， …………………………………………（4分）令)3(2312131121342)3()4)(2()(+++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⋅+=+++=n n n n n n n n n n n n n n n f ， 则)(n f 随着n 的增大而减小，且1)(>n f 恒成立． ………………………………（7分） 故1≤a ，所以，实数a 的取值范围是]1,(-∞． …………………………………（8分）解法二：由（2），⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=41312)4)(3(21n n n n a n ， ……………………（1分） 所以，⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-=414124131615151412n n n S n ，……（3分）故不等式n n n a b aS -<22化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ， 所以，原不等式对任意*N ∈n 恒成立等价于08)2(3)1(2<--+-n a n a 对任意*N ∈n 恒成立， ……………………………………（4分） 设8)2(3)1()(2--+-=n a n a n f ，由题意，01≤-a ，当1=a 时，083)(<--=n n f 恒成立； …………………………（5分） 当1<a 时，函数8)2(3)1()(2--+-=x a x a x f 图像的对称轴为01223<--⋅-=a a x ， )(x f 在),0(∞+上单调递减，即)(n f 在*N 上单调递减，故只需0)1(<f 即可，由0154)1(<-=a f ，得415<a ，所以当1≤a 时，n n b aS <4对*N ∈n 恒成立． 综上，实数a 的取值范围是]1,(-∞． …………………………（8分）。
上海松江区高三数学二模试卷及答案
松江区2016学年度第二学期期中质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟）一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．已知()21x f x =-，则1(3)f -= ▲ ．2．已知集合{}{}11,1,0,1,M x x N =+≤=-则M N =I ▲ ．3．若复数122,2z a i z i =+=+（i 是虚数单位），且12z z 为纯虚数,则实数a = ▲ ． 4．直线23x y ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）对应的普通方程是 ▲ ．5．若()1(2),3n n n x x ax bx c n n -*+=++++∈≥N L ，且4b c =，则a 的值为 ▲ ．6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是 ▲ ．7．若函数()2()1x f x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．在约束条件123x y ++-≤下，目标函数2z x y =+的最大值为 ▲ ．9．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 ▲ ． 10．已知椭圆()222101y x b b +=<<的左、右焦点分别为12F F 、，记122F F c =．若此椭圆上存在点P ，使P 到直线1x c=的距离是1PF 与2PFb 的最大值为 ▲ ．11．如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P 在大圆上，PA 与小圆相切于点A ，Q 为小圆上的点，则PA PQ ⋅u u u r u u u r 的取值范围是 ▲ ．12．已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S = ▲ ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．设a b r r 、分别是两条异面直线12l l 、的方向向量，向量a b r r 、夹角的取值范围为A ，12l l 、所成角的取值范围为B ，则“A α∈”是“B α∈”的(A) 充要条件(B) 充分不必要条件(C) 必要不充分条件(D) 既不充分也不必要条件14． 将函数sin 12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的点,4P t π⎛⎫ ⎪⎝⎭向左平移(0)s s >个单位，得到点P '，若P '位于函数的图像上，则(A) 12t =，s 的最小值为6π (B) t =，s 的最小值为6π(C) 12t =，s 的最小值为12π (D) 2t =，s 的最小值为12π 15．某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如图所示（收支差额=车票收入-支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则(A) ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）(B) ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）(C) ②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）(D) ④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）16．设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题：(1) 若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数；(2) 若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数；(3) 若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数；(4) 若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点．其中正确的命题共有(A) 1个(B) 2个 (C) 3个 (D) 4个三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）直三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AC AB ⊥，2==AC AB ，41=AA ，M 是侧棱1CC 上一点，设h MC =．(1) 若C A BM 1⊥，求h 的值；(2) 若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．18．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）设函数()2xf x =，函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称．(1)若()4()3f x g x =+，求x 的值；(2)若存在[]0,4x ∈，使不等式3)2()(≥--+x g x a f 成立，求实数a 的取值范围．19．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中ο120=∠PAQ ，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．(1) 若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC △的面积最大，那么AB和AC 的长度分别为多少米(2) 在(1)的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱20．（本题满分16分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）设直线l 与抛物线24y x =相交于不同两点A 、B ，与圆)0()5(222>=+-r r y x相切于点M ，且M 为线段AB 中点．(1) 若AOB △是正三角形（O 是坐标原点），求此三角形的边长；(2) 若4r =，求直线l 的方程；(3) 试对()0,r ∈+∞进行讨论，请你写出符合条件的直线l 的条数（直接写出结论）．21．（本题满分18分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）对于数列{}n a ，定义12231n n n T a a a a a a +=+++L ，*n N ∈．(1) 若n a n =，是否存在*k N ∈，使得2017k T =请说明理由；(2) 若13a =，61n n T =-，求数列{}n a 的通项公式； (3) 令21*112122,n n n n T T n b T T T n n N +--=⎧=⎨+-≥∈⎩，求证：“{}n a 为等差数列”的充要条件是“{}n a 的前4项为等差数列，且{}n b 为等差数列”．松江区二模考试数学试卷题（印刷稿）（参考答案）一．填空题（本大题共54分）第1～6题每个空格填对得4分，第7～5题每个空格填对得5分1． 2 2．{1,0}- 3．1 4．10x y +-= 5．16 6． 7． 1[,1]2- 8．9 9．2910．2 11．[3-+ 12．1009二、选择题 （每小题5分，共20分）13． C 14．A 15. B 16．B三．解答题（共78分）17．（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则)0,0,2(B ,)4,0,0(1A ，)0,2,0(C ，),2,0(h M ……………………2分 ),2,2(h BM -=，)4,2,0(1-=C A ……………………4分 由C A BM 1⊥得01=⋅A ，即0422=-⨯h解得1=h ． ……………………6分(2) 解法一：此时(0,2,2)M()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-u u u r u u u u r u u u r ……………8分设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =r由00n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r 得00x y z =⎧⎨+=⎩所以(0,1,1)n =-r ……………………10分设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ则11sin n BA n BA θ⋅===⋅r u u u r r u u u r ……………12分 所以直线1BA 与平面ABM所成的角为sinarc ………………14分 解法二：联结1A M ，则1A M AM ⊥，1,AB AC AB AA ⊥⊥Q ，AB ∴⊥平面11AAC C …………………8分 1AB A M ∴⊥ 1A M ∴⊥平面ABM所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； ……………………10分在1A BM Rt △中，11AM A B ==所以111sin A M A BM A B ∠===……………………12分所以1arcsin A BM ∠= 所以直线1BA 与平面ABM所成的角为sinarc ………………14分18．（1）由()4()3f x g x =+得2423x x -=⋅+ ……………………2分 223240x x ⇒-⋅-=所以21x =-（舍）或24x =， ……………………4分 所以2x = ……………………6分（2）由()(2)3f a x g x +--≥得2223a x x +-≥ ……………………8分 2223a x x +≥+2232a x x -⇒≥+⋅ ……………………10分而232x x -+⋅≥[]4232,log 30,4x x x -=⋅=∈即时取等号…12分所以2a ≥211log 32a ≥+．………………………………14分19．（1）设AB 长为x 米，AC 长为y 米，依题意得8004001200000x y +=， 即23000x y +=， ………………………………2分1sin1202ABC S x y ∆=⋅⋅o y x ⋅⋅=43 …………………………4分 y x ⋅⋅=28322283⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤y x=2m 当且仅当y x =2，即750,1500x y ==时等号成立，所以当ABC △的面积最大时，AB 和AC 的长度分别为750米和1500米……6分（2）在(1)的条件下，因为750,1500AB m AC m ==． 由2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r …………………………8分 得222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r 22919494+⋅+= …………………………10分 2244117507501500()15009929=⨯+⨯⨯⨯-+⨯250000= ||500AD ∴=u u u r ， …………………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分 解法二：在ABC ∆中，ο120cos 222AC AB AC AB BC ⋅-+=7750= ………8分在ABD ∆中，ACAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222775075021500)7750(750222⨯⨯-+=772= …………………………10分 在ABD ∆中，B BD AB BD AB AD cos 222⋅-+=772)7250(7502)7250(75022⋅⨯⨯-+==500 …………12分 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分解法三：以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,0(A ，)0,750(B )120sin 1500,120cos 1500(οοC ,即)3750,750(-C ，设),(00y x D ………8分 由2CD DB =u u u r u u u r ，求得⎪⎩⎪⎨⎧==325025000y x ，所以(D …………10分 所以，22)03250()0250(||-+-=AD 500=……………………12分 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分20． (1)设AOB △的边长为a ，则A的坐标为1,)22a a ±………2分所以214,22a ⎛⎫±=⋅ ⎪⎝⎭所以a =此三角形的边长为 ……………………………4分(2)设直线:l x ky b =+当0k =时，1,9x x ==符合题意 ……………………………6分当0k ≠时，224404x ky b y ky b y x =+⎧⇒--=⎨=⎩…………………8分 222121216()0,4,42(2,2)k b y y k x x k b M k b k ∆=+>+=+=+⇒+ 11,AB CM AB k k k k⋅=-=Q 2223225CM k k k b k k b ∴==-⇒=-+- 22216()16(3)003k b k k ∴∆=+=->⇒<<4r ===Q ()230,3k ∴=∉，舍去综上所述，直线l 的方程为：1,9x x == ……………………………10分(3)(][)0,24,5r ∈U 时，共2条；……………………………12分 ()2,4r ∈时，共4条； ……………………………14分 [)5,r ∈+∞时，共1条． ……………………………16分21．：（1）由0n a n =>，可知数列{}n T 为递增数列，……………………………2分 计算得1719382017T =<，1822802017T =>， 所以不存在*k N ∈，使得2017k T =； ………………………4分（2）由61n n T =-，可以得到当*2,n n N ≥∈时，1111(61)(61)56n n n n n n n a a T T --+-=-=---=⋅， ……………………6分又因为1215a a T ==，所以1*156,n n n a a n N -+=⋅∈， 进而得到*1256,n n n a a n N ++=⋅∈，两式相除得*26,n na n N a +=∈， 所以数列21{}k a -，2{}k a 均为公比为6的等比数列， ……………………8分 由13a =，得253a =， 所以1*22*23621,562,3n n n n k k N a n k k N --⎧⋅=-∈⎪=⎨⎪⋅=∈⎩； ………… …………10分（3）证明：由题意12123122b T T a a a a =-=-，当*2,n n N ≥∈时，111212n n n n n n n n b T T T a a a a +-+++=+-=-，因此，对任意*n N ∈，都有121n n n n n b a a a a +++=-． …………12分必要性(⇒)：若{}n a 为等差数列，不妨设n a bn c =+，其中,b c 为常数， 显然213243a a a a a a -=-=-，由于121n n n n n b a a a a +++=-=2212()222n n n a a a b n b bc ++-=++，所以对于*n N ∈，212n n b b b +-=为常数，故{}n b 为等差数列； …………14分 充分性(⇐)：由于{}n a 的前4项为等差数列，不妨设公差为d 当3(1)n k k ≤+=时，有4131213,2,a a d a a d a a d =+=+=+成立。
上海市浦东区2016学年第二次高考模拟高三数学试卷与答案及评分标准--含答案
浦东新区2016学年度第二学期质量抽测高三数学试卷 2017．4注意：1． 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚．2． 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1、已知集合201x A xx ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}04B y y =≤<，则A B =____________．2、若直线l 的参数方程为44,23R x tt y t =-⎧∈⎨=-+⎩，则直线l 在y 轴上的截距是____________． 3、已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为____________． 4、抛物线214y x =的焦点到准线的距离为____________． 5、已知关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫⎪-⎝⎭，则3x y -=____________．6、若三个数123,,a a a 的方差为1，则12332,32,32a a a +++的方差为____________．7、已知射手甲击中A 目标的概率为0．9，射手乙击中A 目标的概率为0．8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是____________．8、函数π3sin ,0,π62y x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间是____________．9、已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1limnn n n S a a →∞+=____________．10、已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0xx g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 的图像在区间[]3,3-上的交点的个数为____________．11、已知各项均为正数的数列{}n a 满足：()()()11210N n n n n a a a a n *++--=∈，且110a a =, 则首项1a 所有可能取值中的最大值为____________．12、已知平面上三个不同的单位向量,,a b c 满足12a b b c ⋅=⋅=，若e 为平面内的任意单位向量，则23a e b e c e ⋅+⋅+⋅的最大值为____________．二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分． 13、若复数z 满足2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应的图形是（ ）A 、椭圆；B 、双曲线；C 、直线；D 、线段． 14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示给出下列4个平面图：（1） （2）（3） （4）则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（ ）A 、(1)(3)(4)；B 、(2)(4)(3)；C 、(1)(3)(2)；D 、(2)(4)(1)． 15、已知2sin 1cos x x =+，则cot2x=（ ） A 、2； B 、2或12； C 、2或0； D 、12或0． 16、已知等比数列1234,,,a a a a 满足()10,1a ∈，()21,2a ∈，()32,4a ∈，则4a 的取值范围 是（ ）A 、()3,8；B 、()2,16；C 、()4,8；D 、()．三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，球O 的球心O 在空间直角坐标系O xyz -的原点， 半径为1，且球O 分别与,,x y z 轴的正半轴交于,,A B C 三点．已知球面上一点10,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． （1）求,D C 两点在球O 上的球面距离； （2）求直线CD 与平面ABC 所成角的大小．18、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场． （1） 如图，射线,OA OB 为海岸线，2π3AOB ∠=，现用长度为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个△POQ 的养殖场，问如何选取点,P Q ，才能使养殖场△POQ 的面积最大，并求其最大面积．（2）如图，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形OAB （点,A B 在直线l 上），使三角形OAB 面积最大，设其为1S ； 方案二：围成弓形CDE （点,D E 在直线l 上，C 是优弧DE 所在圆的圆心且2π3DCE ∠=），其面积为2S ； OABPQABOCED试求出1S 的最大值和2S （均精确到0．001平方千米），并指出哪一种设计方案更好．19、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知双曲线22:143x y C -=，其右顶点为P ． （1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程； （2）设直线l 过点P ，其法向量为(1,1)n =-，若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P到直线l 的距离均为d ，求d 的值．20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若数列{}n A 对任意的*N n ∈，都有()+10kn nA A k =≠，且0n A ≠，则称数列{}n A 为“k 级创新数列”． （1新数列”，并说明理由；（2） 已知正数数列{}n b 为“k 级创新数列”且1k ≠，若110b =，求数列{}n b 的前n 项积．nT ；（32）的条件下，记数列{}n c 的通项1log n n n b n c T β-=⋅， 求证：21n n n c c c ++=+，*N n ∈．21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于定义域为R 的函数()g x ，若函数()sin g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数，则称()g x 为正弦奇函数． 已知()f x 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，()00f =．（1）已知()g x 是正弦奇函数，证明：“0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解”的充要条件是“0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解”； （2）若()()ππ,22f a f b ==-，求a b +的值；（3）证明：()f x 是奇函数．浦东新区2016学年度第二学期质量抽测高三数学试卷 2017.4注意：1. 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚.2. 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1、已知集合201x A xx ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}04B y y =≤<，则A B =____[2,4)________.2、若直线l 的参数方程为44,23R x tt y t =-⎧∈⎨=-+⎩，则直线l 在y 轴上的截距是_____1______. 3、已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为____8π______. 4、抛物线214y x =的焦点到准线的距离为______2_______. 5、已知关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫⎪-⎝⎭，则3x y -=___5_______.6、若三个数123,,a a a 的方差为1，则12332,32,32a a a +++的方差为 9 .7、已知射手甲击中A 目标的概率为0.9，射手乙击中A 目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是___0.98________.8、函数π3sin ,0,π62y x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间是_____20,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦__________.9、已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1limnn n n S a a →∞+=___14______.10、已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 的图象在区间[]3,3-上的交点的个数为 6 .11、已知各项均为正数的数列{}n a 满足：()()()11210N n n n n a a a a n *++--=∈，且110a a =, 则首项1a 所有可能取值中的最大值为 16 . 12、已知平面上三个不同的单位向量,,a b c 满足12a b b c ⋅=⋅=，若e 为平面内的任意单位向量，则23a e b e c e ⋅+⋅+⋅的最大值为二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分. 13、若复数z 满足2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应的图形是 （ D ）A 、椭圆；B 、双曲线；C 、直线；D 、线段. 14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示给出下列4个平面图：（2）（2）（3） （4）则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是 （ C ） A 、(1)(3)(4)； B 、(2)(4)(3)； C 、(1)(3)(2)； D 、(2)(4)(1). 15、已知2sin 1cos x x =+，则cot2x= （ C ） A 、2； B 、2或12； C 、2或0； D 、12或0. 16、已知等比数列1234,,,a a a a 满足()10,1a ∈，()21,2a ∈，()32,4a ∈，则4a 的取值范围是 （ D ）A 、()3,8；B 、()2,16；C 、()4,8；D 、(). 三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，球O 的球心O 在空间直角坐标系O xyz -的原点，半径为1， 且球O 分别与,,x y z 轴的正半轴交于,,A B C 三点.已知球面上一点10,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求,D C 两点在球O 上的球面距离； （2）求直线CD 与平面ABC 所成角的大小．解：（1）由题意：()()()11,0,0,0,1,0,0,0,1,0,22A B C D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭则10,22CD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，……………………………………………………2分 所以1CD =，即OCD ∆为等边三角形，所以π3DOC ∠=， …………4分ABOCED则ππ133DC =⨯= …………………………6分 （2）设直线CD 与平面ABC 所成角为θ，易得平面ABC 的一个法向量()1,1,1n =， …………………………11分则3132sin 61CD nCD nθ+⋅===⨯⋅， …………………………13分 即直线CD 与平面ABC 所成角3arcsin6θ= …………………………14分18、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场. （1） 如图，射线,OA OB 为海岸线，2π3AOB ∠=，现用长度为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个POQ ∆的养殖场，问如何选取点,P Q ，才能使养殖场POQ ∆的面积最大，并求其最大面积.（2）如图，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场.方案一：围成三角形OAB （点,A B 在直线l 上），使三角形OAB 面积最大，设其为1S ； 方案二：围成弓形CDE （点,D E 在直线l 上，C 是优弧DE 所在圆的圆心且2π3DCE ∠=），其面积为2S ； 试求出1S 的最大值和2S （均精确到0.001平方千米），并指出哪一种设计方案更好.OABPQ解：（1）设,OP x OQ y ==由余弦定理得222211232x y xy x y xy xy ⎛⎫=+-⋅-=++≥ ⎪⎝⎭，13xy ∴≤…4分则1211sin π2323212S xy =≤⨯⨯=，max 12S =（平方千米）即选取OP OQ ==时养殖场POQ ∆的面积最大. …………6分（2）方案一：围成三角形OAB设AOB θ∠=，由21124OA OB OA OB OA OB +⎛⎫+=⇒⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12OA OB ==时取等号. 所以，11111sin 12248S OA OB θ=⋅≤⋅⋅=（平方千米）， 当且仅当1π,22OA OB θ===时取等号.……………9分方案二：围成弓形CDE设弓形中扇形所在圆C 的半径为r ，而扇形圆心角为4π3、弧长为1千米， 故14433ππr ==. …………10分 于是22112π1sin 223S r r =⋅⋅+ …………11分23190.1448π216π=+⋅≈（平方千米） …………13分 即12S S <，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好. ……………14分19、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知双曲线22:143x y C -=，其右顶点为P . （1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程； （2）设直线l 过点P ，其法向量为(1,1)n =-，若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P到直线l 的距离均为d ，求d 的值.解：（1）由题意，(2,0)P ，渐近线方程：y x =20y ±=……………2分则半径7r d ===， ……………4分 所以圆方程为：()221227x y -+=……………6分（2）若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P 到直线l 的距离均为d ，则其中一点必定是与直线:2l y x =-平行的直线与双曲线其中一支的切点 ……………8分 设直线'l 与双曲线C 相切，并且与直线l 平行，则':l y x b =+，即有223412y x b x y =+⎧⎨-=⎩，消去y ，得到2281240x bx b +++= ……………10分 则226416(3)0b b ∆=-+=，解得1b =±，所以':1l y x =±…………12分又d 是l 与'l 之间的距离，所以2d ==或者2d ==……………14分20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若数列{}n A 对任意的*N n ∈，都有()+10kn nA A k =≠，且0n A ≠，则称数列{}n A 为“k 级创新数列”.（1新数列”，并说明理由；（2） 已知正数数列{}n b 为“k 级创新数列”且1k ≠，若110b =，求数列{}n b 的前n 项积．n T ；（32）的条件下，记数列{}n c 的通项1log n n n b n c T β-=⋅， 求证：21n n n c c c ++=+，*N n ∈.解：（1）由2122n n n a a a +=+，∴212+144+1n n n a a a +=+，即()212121n n a a ++=+，……………………2分且12120a +=≠， ………………………3分 ∴{}21n a +是“2级创新数列” ………………………4分 （2）由正数数列{}n b 是“k 级创新数列”，得()+10,1kn nb b k =≠，且0n b >∴+1lg lg n n b k b =， ………………………6分 ∴{}lg n b 是等比数列，且首项1lg 1b =，公比q k =； ∴111lg lg n n n b b q k --=⋅=； ………………………7分由1212lg lg lg lg n n n nT b b b T b b b =⇒=+++………………………9分1n k -++=10分（311111lg 1log lg n nn n n n n b n n n k T k c T b k βββ------=== 111111n n nn n n n nk k k ββαβββαα----⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n nαβαβ-=-； ……………………12分由,αβ是方程210x x --=的两根，∴2211ααββ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩；……………………14分()()222111n n n nn c αβααββαβαβ+++-⎡⎤=+-+==⎣⎦--.…………………16分21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于定义域为R 的函数()g x ，若函数()sin g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数，则称()g x 为正弦奇函数. 已知()f x 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，()00f =.（1）已知()g x 是正弦奇函数，证明：“0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解”的充要条件是“0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解”； （2）若()()ππ,22f a f b ==-，求a b +的值；（3）证明：()f x 是奇函数. 证明：（1） 必要性：0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解，即()0sin 1g u ⎡⎤=⎣⎦，故()()00sin sin 1g u g u ⎡⎤⎡⎤-=-=-⎣⎦⎣⎦，即0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解.…………………………………………………2分充分性：0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解，即()0sin 1g u ⎡⎤-=-⎣⎦，故()0sin 1g u ⎡⎤-=-⎣⎦，()0sin 1g u ⎡⎤=⎣⎦，即0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解. ………………………………4分（2）因为()()()0f b f f a <<，由()f x 单调递增，可知0b a <<. ……………………5分由（1）可知，若函数()f x 是正弦奇函数，则当a 为方程()sin 1f x =⎡⎤⎣⎦的解，必有a -为方程()sin 1f x =-⎡⎤⎣⎦的解，()sin 1f a ∴-=-⎡⎤⎣⎦，即()π2π2f a m -=-()Z m ∈，而0a -<，故()()00f a f -<=，从而()()π2f a f b a b -≤-=⇒-≤， 即0a b +≥； ……………………7分 同理()π2π2f b n -=+()()(),0Z n f b f ∈->，故()()π2f b f a b a -≥=⇒-≥， 即0a b +≤； …………………………9分综上，0a b +=. …………………………10分（3）()f x 的值域为R 且单调递增，故对任意R c ∈，存在唯一的0,x 使得()0f x c =.…………11分可设()()πππ,π22n n f a n f b n ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()*N n ∈，下证()*0N n n a b n +=∈.当1n =时，由（2）知110a b +=,命题成立； ………………………………12分 假设n k ≤时命题成立，即110,,0k k a b a b +=+=，而由()f x 的单调性知11110k k k k b b b a a a ++<<<<<<<<，知11,k k k k a b b a ++-<->，则当1n k =+时，1k a +为方程()sin 1f x =±的解，故1k a +-为方程()sin 1f x =的解， 且由单调性知()()1k k f a f b +-<，故()()11k k f a f b ++-≤，得11k k a b ++-≤；同理11k k b a ++-≥，故110k k a b +++=. ……………………………………………14分 要证()f x 是奇函数，只需证：对任意0x >，都有()()f x f x -=-.记000a b ==，若()*N n x a n =∈，则n x b -=，()()()2n f x n f a f x ππ⎛⎫-=--=-=- ⎪⎝⎭；……………………………………………………15分若()()221,N n n x a a n +∈∈，则()ππ2,2,22f x n n ππ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭()ππ2π,2π22f x n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∈-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()212ππ,,2π,2π22n n x b b f x n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∈-∈-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而正弦函数在ππ2,222n n ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上单调递增，故由()()()()sin sin sin f x f x f x -=-=-得()()f x f x -=-.若()()2122,N n n x a a n ++∈∈，同理可证得()()f x f x -=-. …………………17分 综上，对任意0x >，都有()()f x f x -=-.故()f x 是奇函数. ……………18分。
上海市徐汇、金山、松江区2016届高三数学下学期学习能力诊断(二模)试题理
2015学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学理科试卷.填空题：（本题满分56分，每小题4分） 抛物线y =4_J_x 2 +2x + 3的最小值为a ，最大值为b ，则lim 丁込F 3a -4b71TC在极坐标系中，点（3,—）关于直线日=—的对称点的坐标为.2 6某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者，若用随机量 •表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 E = ___________________ .（结果用最简分数表示）9.已知平面上三点 A B 、C 满足 I A B |= x 3 ,| BC |= ,5 , | CA |= 2、/2，则 A B [BC BCCA 1 CAAB "'1 的值等于 ________________ .10•从集合 A =^1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ?中任取两个数，欲使取到的一个数大于k,另一个数小于k （其中2k A ）的概率是一，贝V k = ________________ .511. 有一个 解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在 MBC 中，角A, B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a = J 3, B =45°, ________________ ，求角A .”经 推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A = 60°,试将条件补充完整.12. ________________________________________________________________ 在等差数列：a,中，首项a^3,1.y 2 =4x 的焦点坐标是2. 若集合 2，贝y Ap| B =3若复数4. 求值: 5. 试写出z 满足z•晶 arcsin —— 2品arctan —— 3 7展开式中系数最大的项二-i,其中i 为虚数单位，则z 二弧度.x —丄X6.若函数7.公差d =2,若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185,则此连续10项的和为_____________________________________________________________________ .flog1（x+1）,xw b,1）,13.定义在R上的奇函数f（x）,当x-0时，f（x）二2[1- x-3 ,x^ 11,邑），则关于x的函数F（x）=f （x）-a（0 ::: a ：：：1）的所有零点之和为_______ （结果用a表示）.441h,圆锥内水面的高为 h ，且h 1 h,若将圆锥倒置，水面高为h 2,则h 2等于3-------- ( )219(A ) 2h( B) %3 2718.设为、X 2是关于x 的方程x 2 mx m^^0的两个不相等的实数根，那么过两点A(x (,x ；)、2 2 2B(X 2,X ；)的 直 线 与 圆(X —1 ) +(y +1 ) =1的 位 置 关 系 是------------------------- () (A )相离(B )相切 (C )相交 (D )随m 的变化而变化三. 解答题：(本大题共 5题，满分74分)19. (本题满分12分；第(1)小题6分，第(2)小题6分) 已知函数 f(x)=2sin xcosx 2cos x . (1) 求函数f (x)的单调递增区间；14•对于给定的正整数 n 和正数R ，若等差数列a,a 2,a 3,||(满足a' - a 2n. < R ，则S = a ，.丄+ a 2n 丄+ a ?n 卡+[ 11 + a 4n +的最大值为 ___________________ .20分，每小题5分)2“函数f (x)二(ax - b)为偶函数”是“ a _ b ”的——(B )必要非充分条件 (D )既非充分也非必要条件2x, x _ 0, 2-x , x ：： 02n 1 ' a2n 2 二.选择题：(本题满分II15.已知非零向量a 、b , 充分非必要条件 充要条件 (A ) (C ) 16工x-,x _ 0(A ) y = 2( B ) 工X-—,x_0y = 2 _ ■- x,x ： 0(C2x,x _ 0 八=x,x ：：O (D ) y2x,x _ 0[■疥•x,x ：：： 017 •如图，圆锥形容器的高为(D )(2)将函数y二f(x)图像向右平移一个单位后，得到函数y二g(x)的图像，求方程g(x) = 1的解.4332 2（2）过椭圆C 1 : x ^ —y1上异于其顶点的任意 a b 2-5占 八Q 作圆O : X 2 • y 2二4的两条切线，切点分别为 20. （本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）在直三棱柱 ABC -A^G 中，AB 二AC =1 , BAC =90°，且异面直线 AB 与B 1C 1所成的角等于600, 设 AA^a . （1） 求a 的值；（2）求三棱锥B^ -^A 1BC 的体积.21 .（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分） 已知函数 f （x ） = 2x —a| +a.（1） 若不等式f （x ） ：：：6的解集为 -1,3，求a 的值；（2） 在（1）的条件下，若存在 X 。
2017上海松江区高三二模数学试题及答案
松江区2016-2017学年度第二学期期中质量监控试卷高三数学一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．已知()21xf x =-，则1(3)f-= ▲ ．2．已知集合{}{}11,1,0,1,M x x N =+≤=-则MN = ▲ ．3．若复数122,2z a i z i =+=+（i 是虚数单位），且12z z 为纯虚数,则实数a = ▲ ．4．直线2232x t y t⎧=--⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）对应的普通方程是 ▲ ．5．若()1(2),3nnn x x axbx c n n -*+=++++∈≥N ，且4b c =，则a 的值为 ▲ ．6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是 ▲ ．7．若函数()2()1xf x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值围是 ▲ ． 8．在约束条件123x y ++-≤下，目标函数2z x y =+的最大值为 ▲ ．9．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 ▲ ．10．已知椭圆()222101y x b b+=<<的左、右焦点分别为12F F 、，记122F F c =．若此椭圆上存在点P ，使P 到直线1x c=的距离是1PF 与2PF 的等差中项，则b 的最大值为 ▲ ． 11．如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P 在大圆上，PA 与小圆相切于点A ，Q 为小圆上的点，则PA PQ ⋅的取值围是 ▲ ．12．已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S = ▲ ．俯视图二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．设a b 、分别是两条异面直线12l l 、的方向向量，向量a b 、夹角的取值围为A ，12l l 、所成角的取值围为B ，则“A α∈”是“B α∈”的 (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件 14． 将函数sin 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图像上的点,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭向左平移(0)s s >个单位，得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则 (A) 12t =，s 的最小值为6π(B) 3t =，s 的最小值为6π(C) 12t =，s 的最小值为12π(D) 32t =，s 的最小值为12π 15．某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如图所示（收支差额=车票收入-支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则(A) ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ） (B) ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） (C) ②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） (D) ④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） 16．设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题：(1) 若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数； (2) 若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数； (3) 若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数； (4) 若函数()y f x =存在反函数1()y fx -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点．其中正确的命题共有 (A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．17．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）直三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AC AB ⊥，2==AC AB ，41=AA ，M 是侧棱1CC 上一点，设h MC =．(1) 若C A BM 1⊥，求h 的值；(2) 若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．18．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）设函数()2xf x =，函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称． (1)若()4()3f x g x =+，求x 的值；(2)若存在[]0,4x ∈，使不等式3)2()(≥--+x g x a f 成立，数a 的取值围．19．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中120=∠PAQ ，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．(1) 若规划在三角形ABC 区域开发水上游乐项目，要求ABC △的面积最大，那么AB 和AC 的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？20．（本题满分16分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）设直线l 与抛物线24y x =相交于不同两点A 、B ，与圆)0()5(222>=+-r r y x相切于点M ，且M 为线段AB 中点．(1) 若AOB △是正三角形（O 是坐标原点），求此三角形的边长； (2) 若4r =，求直线l 的方程；(3) 试对()0,r ∈+∞进行讨论，请你写出符合条件的直线l 的条数（直接写出结论）．21．（本题满分18分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）对于数列{}n a ，定义12231n n n T a a a a a a +=+++，*n N ∈．(1) 若n a n =，是否存在*k N ∈，使得2017k T =？请说明理由； (2) 若13a =，61nn T =-，求数列{}n a 的通项公式；(3) 令21*112122,n n n nT T n b T T T n n N+--=⎧=⎨+-≥∈⎩，求证：“{}n a 为等差数列”的充要条件是“{}n a 的前4项为等差数列，且{}n b 为等差数列”．松江区二模考试数学试卷题（印刷稿）（参考答案）2017.4一．填空题（本大题共54分）第1～6题每个空格填对得4分，第7～5题每个空格填对得5分1． 2 2．{1,0}- 3．1 4．10x y +-= 5．16 6． 7． 1[,1]2- 8．9 9．29 10．211．[3-+ 12．1009二、选择题 （每小题5分，共20分） 13． C 14．A 15. B 16．B三．解答题（共78分）17．（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则)0,0,2(B ,)4,0,0(1A ，)0,2,0(C ，),2,0(h M ……………………2分),2,2(h BM -=，)4,2,0(1-=C A ……………………4分由C A BM 1⊥得01=⋅A ，即0422=-⨯h 解得1=h ． ……………………6分 (2) 解法一：此时(0,2,2)M()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-……………8分设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =由00n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00x y z =⎧⎨+=⎩所以(0,1,1)n =- ……………………10分 设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ 则1110sin 5220n BA n BA θ⋅===⋅⋅ ……………12分 所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为10sin arc ………………14分 解法二：联结1A M ，则1A M AM ⊥，1,AB AC AB AA ⊥⊥，AB ∴⊥平面11AAC C …………………8分 1AB A M ∴⊥ 1A M ∴⊥平面ABM所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； ……………………10分 在1A BM Rt △中，1122,210AM A B ==所以111sin5A MA BMA B∠===……………………12分所以1arcsin5A BM∠=所以直线1BA与平面ABM所成的角为sinarc………………14分18．（1）由()4()3f xg x=+得2423x x-=⋅+……………………2分223240x x⇒-⋅-=所以21x=-（舍）或24x=，……………………4分所以2x=……………………6分（2）由()(2)3f a xg x+--≥得2223a x x+-≥……………………8分2223a x x+≥+2232a x x-⇒≥+⋅……………………10分而232x x-+⋅≥[]4232,log30,4x x x-=⋅=∈即时取等号…12分所以2a≥211log32a≥+．………………………………14分19．（1）设AB长为x米，AC长为y米，依题意得8004001200000x y+=，即23000x y+=，………………………………2分1sin1202ABCS x y∆=⋅⋅yx⋅⋅=43…………………………4分yx⋅⋅=28322283⎪⎭⎫⎝⎛+≤yx=2m当且仅当yx=2，即750,1500x y==时等号成立，所以当ABC△的面积最大时，AB和AC的长度分别为750米和1500米……6分（2）在(1)的条件下，因为750,1500AB m AC m==．由2133AD AB AC=+…………………………8分得222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22919494+⋅+=…………………………10分 2244117507501500()15009929=⨯+⨯⨯⨯-+⨯250000= ||500AD ∴=， …………………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分 解法二：在ABC ∆中， 120cos 222AC AB AC AB BC ⋅-+=7750= ………8分在ABD ∆中，ACAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222775075021500)7750(750222⨯⨯-+=772= …………………………10分 在ABD ∆中，B BD AB BD AB AD cos 222⋅-+=772)7250(7502)7250(75022⋅⨯⨯-+==500 …………12分 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分 解法三：以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,0(A ，)0,750(B)120sin 1500,120cos 1500( C ,即)3750,750(-C ，设),(00y x D ………8分由2CD DB =，求得⎪⎩⎪⎨⎧==325025000y x， 所以(D …………10分所以，22)03250()0250(||-+-=AD 500=……………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分 20． (1)设AOB △的边长为a ，则A 的坐标为1,)2a ±………2分所以214,2a ⎛⎫±= ⎪⎝⎭所以a =此三角形的边长为 ……………………………4分 (2)设直线:l x ky b =+当0k =时，1,9x x ==符合题意 ……………………………6分当0k ≠时，224404x ky b y ky b y x=+⎧⇒--=⎨=⎩…………………8分 222121216()0,4,42(2,2)k b y y k x x k b M k b k ∆=+>+=+=+⇒+11,AB CM AB k k k k⋅=-= 2223225CM k k k b k k b ∴==-⇒=-+- 22216()16(3)003k b k k ∴∆=+=->⇒<<4r ===()230,3k ∴=∉，舍去综上所述，直线l 的方程为：1,9x x == ……………………………10分 (3)(][)0,24,5r ∈时，共2条；……………………………12分()2,4r ∈时，共4条； ……………………………14分 [)5,r ∈+∞时，共1条． ……………………………16分21．：（1）由0n a n =>，可知数列{}n T 为递增数列，……………………………2分 计算得1719382017T =<，1822802017T =>，所以不存在*k N ∈，使得2017k T =； ………………………4分（2）由61n n T =-，可以得到当*2,n n N ≥∈时，1111(61)(61)56n n n n n n n a a T T --+-=-=---=⋅， ……………………6分又因为1215a a T ==，所以1*156,n n n a a n N -+=⋅∈， 进而得到*1256,n n n a a n N ++=⋅∈，两式相除得*26,n na n N a +=∈， 所以数列21{}k a -，2{}k a 均为公比为6的等比数列， ……………………8分 由13a =，得253a =， 所以1*22*23621,562,3n n n n k k N a n k k N --⎧⋅=-∈⎪=⎨⎪⋅=∈⎩； ………… …………10分（3）证明：由题意12123122b T T a a a a =-=-，当*2,n n N ≥∈时，111212n n n n n n n n b T T T a a a a +-+++=+-=-，因此，对任意*n N ∈，都有121n n n n n b a a a a +++=-． …………12分必要性(⇒)：若{}n a 为等差数列，不妨设n a bn c =+，其中,b c 为常数， 显然213243a a a a a a -=-=-，由于121n n n n n b a a a a +++=-=2212()222n n n a a a b n b bc ++-=++， 所以对于*n N ∈，212n n b b b +-=为常数，故{}n b 为等差数列； …………14分 充分性(⇐)：由于{}n a 的前4项为等差数列，不妨设公差为d当3(1)n k k ≤+=时，有4131213,2,a a d a a d a a d =+=+=+成立。
上海市徐汇区、金山区、松江区2016年高考数学二模试卷(文科) 含解析
2016年上海市徐汇区、金山区、松江区高考数学二模试卷（文科）一、填空题1．抛物线y2=4x的焦点坐标为．2．若集合A={x|3x+1＞0}，B=｛|x﹣1｜＜2}，则A∩B=．3．若=（3,2）是直线l的一个方向向量,则l的倾斜角的大小为(结果用反三角函数值表示）4．若复数z满足=﹣i,其中i为虚数单位,则= ．5．求值:= 弧度．6．已知=3,设=λ，则实数λ=．7．函数y=+的最小值为．8．试写出（x﹣）7的展开式中系数最大的项．9．已知三个球的表面积之比是1：2:3，则这三个球的体积之比为．10．已知实数x，y满足，则目标函数z=﹣x﹣y的最大值为．11．若不等式x2﹣5x+6＜0的解集为（a,b)，则= ．12．从集合A=｛1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中k∈A）的概率为，则k= ．13．有一道解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下:在△ABC中,已知，，求角A．经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A=60°，试将条件在横线处补全．14．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为．二、选择题15．已知非零向量、，“函数为偶函数”是“”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件16．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C． D．17．函数y=的反函数是（)A．y= B．y=C．y= D．y=18．设x1、x2分别是关于x的方程x2+mx+m2﹣m=0的两个不相等的实数根,那么过两点A(x1，x12），B（x2，x22）的直线与圆（x﹣1）2+（y+1）2=1的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．随m的变化而变化三、解答题19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=1,∠BAC=90°,且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1=a．（1）求a的值；（2）求三棱锥B1﹣A1BC的体积．20．已知函数f(x）=2sinxcosx+2cos2x．（1）求函数f（x）的单调递增区间;（2)将函数y=f（x)图象向右平移个单位后，得到函数y=g(x）的图象,求方程g(x)=1的解．21．已知函数f（x)=|2x﹣a｜+a．(1）若不等式f（x)＜6的解集为（﹣1，3），求a的值；(2)在(1）的条件下，若存在x0∈R，使f（x0）≤t﹣f(﹣x0），求t的取值范围．22．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0)的右焦点为F（1，0），且点P（1，）在椭圆上；(1）求椭圆C的标准方程；(2）当点P(x，y）在椭圆C上运动时，点Q（,)在曲线S上运动，求曲线S的轨迹方程,并指出该曲线是什么图形；（3）过椭圆C1:+=1上异于其顶点的任意一点Q作曲线S的两条切线，切点分别为M，N（M，N 不在坐标轴上），若直线MN在x轴，y轴的截距分别为m，n，试问：+是否为定值？若是，求出该定值,若不是,请说明理由．23．按照如下的规律构造数表:第一行是：2；第二行是：2+1，2+3：即3,5;第三行是:3+1，3+3，5+1，5+3，即：4,6，6，8,…（即从第二行起将上一行的数的每一项各加1写出，再各项再加3写出），若第n行所有的项的和为a n；23 54 6 6 85 7 7 9 7 9 9 11…(1）求a3，a4，a5；（2）试写出a n+1与a n的递推关系，并据此求出数列{a n}的通项公式;（3）设S n=++…+（n∈N*），求S n和S n 的值．2016年上海市徐汇区、金山区、松江区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题1．抛物线y2=4x的焦点坐标为(1，0）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1,0)故答案为：（1，0)2．若集合A={x｜3x+1＞0｝,B=｛|x﹣1｜＜2}，则A∩B=（﹣，3）．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A=｛x｜3x+1＞0}=｛x｜x＞﹣},B={|x﹣1|＜2｝={x｜﹣2＜x﹣1＜2}={x｜﹣1＜x＜3},则A∩B={x｜﹣＜x＜3}，故答案为：（﹣，3）．3．若=(3，2）是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为arctan（结果用反三角函数值表示）【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线l的一个方向向量求出直线的斜率,再由倾斜角的正切值等于斜率求解．【解答】解:∵直线l的一个方向向量为（3，2)，∴直线l的斜率为k=,设其倾斜角为α（0≤α＜π），由tanα=，得α=arctan．故答案为：arctan．4．若复数z满足=﹣i，其中i为虚数单位，则= 1﹣i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，则可求．【解答】解：由=﹣i,得，∴．故答案为：1﹣i．5．求值:= 弧度．【考点】二阶矩阵；反三角函数的运用．【分析】利用二阶行列式展开法则由原式得到﹣2arctan,再利用反三角函数性质能求出结果．【解答】解:：=﹣2arctan=3×﹣2×=．故答案为:．6．已知=3,设=λ，则实数λ= 2 ．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】可知,这样带入便可得到,从而便可得出λ的值．【解答】解：根据条件，=；∴λ=2．故答案为：2．7．函数y=+的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】令=t，可得：y==g（t），利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：令=t，∴y==g（t),g′（t）=1﹣=＞0，∴函数g（t）在上单调递增,∴g(t）的最小值为:=．故答案为：．8．试写出（x﹣)7的展开式中系数最大的项．【考点】二项式系数的性质．【分析】T r+1=(﹣1）r x7﹣2r，r必须为偶数,分别令r=0,2，4，6，经过比较即可得出．【解答】解：T r+1=x7﹣r=（﹣1)r x7﹣2r，r必须为偶数，分别令r=0，2，4,6,其系数分别为：1,，，．经过比较可得：r=4时满足条件,T5=x﹣1=，故答案为：．9．已知三个球的表面积之比是1:2：3，则这三个球的体积之比为．【考点】球的体积和表面积．【分析】通过球的表面积之比求出半径之比，然后求出它们的体积之比即可．【解答】解：设三个球的半径为a，b，c,根据球的表面积公式得出4πa2：4πb2：4πc2=1：2：3，所以它们的半径之比为a:b：c=1：：．则它们的体积之比是a3：b3：c3=故答案为：10．已知实数x,y满足，则目标函数z=﹣x﹣y的最大值为．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A(﹣1，3)，化目标函数z=﹣x﹣y为y=﹣，由图可知,当直线y=﹣过A时，直线在y轴上的截距最小,z有最大值为．故答案为：．11．若不等式x2﹣5x+6＜0的解集为（a,b）,则= ．【考点】极限及其运算；一元二次不等式的解法．【分析】先解一元二次不等式，求得a,b的值，将其代入，分式同除3n，可求得极限值．【解答】解:不等式x2﹣5x+6＜0，解集为（2，3）∴a=2，b=3,====．故答案为：．12．从集合A={1，2,3，4，5,6，7,8，9,10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中k∈A）的概率为，则k= 4或7 ．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由题意=，由此能求出结果．【解答】解：∵从集合A=｛1，2，3,4，5，6,7，8，9，10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k,另一个数小于k(其中k∈A）的概率为，∴=，解得k=4或k=7．故答案为：4或7．13．有一道解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC中，已知，，求角A．经推断破损处的条件为三角形一边的长度,且答案提示A=60°，试将条件在横线处补全．【考点】正弦定理．【分析】要把横线处补全,就要把A的度数作为已知条件求c的值，由a，A和B的度数,根据正弦定理求出b的长,再由三角形的内角和定理求出C的度数,由a,b 及cosC,利用余弦定理即可求出c的长．【解答】解：根据正弦定理得：=，a=,sinB=,sinA=，所以b==，又C=180°﹣45°﹣60°=75°，所以cos75°=cos（45°+30°）=cos45°cos30°﹣sin45°sin30°=，所以c2=a2+b2﹣2abcosC=3+2﹣2×==,则c=．故答案为：14．定义在R上的奇函数f（x）,当x≥0时,f（x）=则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a(0＜a＜1)的所有零点之和为1﹣2a．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意，作函数y=f（x）与y=a的图象，从而可得x1+x2=﹣6，x4+x5=6，x3=1﹣2a，从而解得．【解答】解：由题意，作函数y=f（x）与y=a的图象如下，结合图象,设函数F（x）=f（x)﹣a（0＜a＜1）的零点分别为x1，x2，x3，x4，x5，则x1+x2=﹣6，x4+x5=6，﹣log0.5（﹣x3+1）=a,x3=1﹣2a，故x1+x2+x3+x4+x5=﹣6+6+1﹣2a=1﹣2a，故答案为：1﹣2a．二、选择题15．已知非零向量、，“函数为偶函数”是“"的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】已知非零向量、，根据f（﹣x)=f（x），求出向量、的关系，再利用必要条件和充分条件的定义进行判断．【解答】解：∵函数=（x）2+2+2•x，又f（x）为偶函数，f(﹣x）=f(x），∴f（﹣x）=（﹣x）2+2﹣2•x，∴f（﹣x）=f（x）,∴2•x=0,∴•=0，∴，若，则•=0，∴f（﹣x）=f（x),∴f(x）为偶函数,故选C．16．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据几何体中小正方体的排放位置进行判断．【解答】解：设几何体中小正方体的边长为1，∵几何体的高为3，宽为2，故左视图的高为3,长为2．∵几何体前排为单个小正方体，∴左视图的右侧为单个小正方形，故选B．17．函数y=的反函数是（）A．y= B．y=C．y= D．y=【考点】反函数．【分析】利用反函数的求法、分段函数的性质即可得出．【解答】解:∵y=,x≥0时,由y=2x，解得x=，把x与y互换可得：y=x；x＜0,由y=﹣x2，解得x=﹣，把x与y互换可得：y=．∴函数y=的反函数是y=．故选：B．18．设x1、x2分别是关于x的方程x2+mx+m2﹣m=0的两个不相等的实数根,那么过两点A(x1，x12），B（x2，x22）的直线与圆（x﹣1)2+（y+1）2=1的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．随m的变化而变化【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据方程x2+mx+m2﹣m=0根的判别式大于0,算出0＜m＜,由根与系数的关系算出x1+x2=﹣m，x1x2=m2﹣m．再利用直线的斜率公式算出AB的斜率k=﹣m，利用中点坐标公式算出AB的中点为M（﹣m，﹣m2+m)，得出直线AB的方程为mx+y+m2﹣m=0．最后利用点到直线的距离公式,算出已知圆的圆心C到直线AB的距离大于圆C的半径,可得直线AB 与已知圆相离．【解答】解:∵x1、x2是关于x的方程x2+mx+m2﹣m=0的两个不相等的实数根，∴△=m2﹣4（m2﹣m）＞0，即0＜m＜，且x1+x2=﹣m，x1x2=m2﹣m，可得x12+x22=(x1+x2）2﹣2x1x2=﹣m2+2m，因此，直线AB的斜率k=x1+x2=﹣m，AB的中点为M((x1+x2），（x12+x22））,即M（﹣m，﹣m2+m）∴直线AB的方程为y﹣（﹣m2+m）=﹣m(x+m），化简得mx+y+m2﹣m=0又∵圆（x﹣1）2+（y+1）2=1的圆心坐标为C（1，﹣1），半径r=1，∴圆心C到直线AB的距离为d==，∵0＜m＜，可得d=＞1，∴圆心C到直线AB的距离大于圆C的半径，可得直线与圆的位置关系是相离．故选：A．三、解答题19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1=a．(1)求a的值；(2）求三棱锥B1﹣A1BC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出a．（2）由AC⊥平面A1B1B，利用等体积法能求出三棱锥B1﹣A1BC的体积．【解答】解:(1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（0，0,a），B（1，0，0)，B1（1,0，1）,C1（0，1，a），=（1，0，﹣a)，=（﹣1，1，a﹣1)，∴异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，∴cos60°===，由AA1=a＞0，解得a=1．（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°,∴AC⊥平面A1B1B，∵AC=1,==，∴三棱锥B1﹣A1BC的体积===．20．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x．（1）求函数f（x)的单调递增区间；（2）将函数y=f(x）图象向右平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求方程g(x)=1的解．【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦;函数y=Asin(ωx+φ）的图象变换．【分析】（1)把函数f（x）的解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调区间［2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z），求出x的范围，即为函数f（x）的单调递增区间；（2）根据平移规律“左加右减”，由f(x）的解析式得到向右平移2个单位后的解析式g（x）,令g(x）=1，得到sin（2x﹣）=0,根据正弦函数的图象与性质即可求出x的值，即为方程g（x）=1的解．【解答】解:(1)函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=sin（2x+)+1，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+（k∈Z)得：kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），则f（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（2）由已知得：g（x）=sin[2（x﹣）+]+1=sin(2x ﹣），由g（x）=1得：sin(2x﹣)=0,∴2x﹣=kπ（k∈Z），则x=+（k∈Z）．21．已知函数f（x)=|2x﹣a｜+a．（1）若不等式f(x）＜6的解集为（﹣1，3)，求a的值；(2）在(1）的条件下，若存在x0∈R，使f(x0）≤t﹣f(﹣x0），求t的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】(1)求得不等式f（x）＜6的解集为a﹣3≤x≤3,再根据不等式f（x)＜6的解集为（﹣1，3），可得a﹣3=﹣1，由此求得a的范围；（2)令g(x）=f（x）+f（﹣x)=｜2x﹣2|+｜2x+2|+4，求出g（x）的最小值，可得t的范围．【解答】解:（1）∵函数f(x）=｜2x﹣a|+a，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3),∴｜2x﹣a|＜6﹣a 的解集为（﹣1,3)，由｜2x﹣a｜＜6﹣a，可得a﹣6＜2x+a＜6﹣a，求得a ﹣3≤x≤3，故有a﹣3=﹣1，a=2．（2）在（1）的条件下,f（x）=｜2x﹣2｜+2，令g（x)=f（x）+f(﹣x)=｜2x﹣2|+｜2x+2|+4=，故g（x)的最小值为8，故使f(x）≤t﹣f（﹣x）有解的实数a的范围为[8,+∞）．22．已知椭圆C:+=1(a＞b＞0）的右焦点为F（1，0）,且点P（1,）在椭圆上；(1）求椭圆C的标准方程;(2)当点P（x，y）在椭圆C上运动时,点Q（,）在曲线S上运动，求曲线S的轨迹方程，并指出该曲线是什么图形；（3)过椭圆C1:+=1上异于其顶点的任意一点Q作曲线S的两条切线，切点分别为M，N(M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴,y轴的截距分别为m,n，试问：+是否为定值?若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】(1）由焦点坐标确定出c的值,根据椭圆的性质列出a与b的方程，再将P点坐标代入椭圆方程列出关于a与b的方程，联立求出a与b的值，确定出椭圆方程即可．（2）由已知得，Q(，）,(0≤θ＜2π）,由此能求出曲线S的轨迹方程，并能指出该曲线是什么图形．（3）由题意：确定出C1的方程,设点P(x1，y1)，M（x2，y2），N（x3，y3），根据M，N不在坐标轴上，得到直线PM与直线OM斜率乘积为﹣1，确定出直线PM的方程，同理可得直线PN的方程，进而确定出直线MN 方程,求出直线MN与x轴，y轴截距m与n，即可确定出所求式子的值为定值．【解答】解：(1）∵椭圆C：的右焦点为F(1，0），且点P（1，）在椭圆C上；∴，解得a=2,b=，∴椭圆C的标准方程为．（2)∵点P（x，y）在椭圆C：上运动时,点Q（，）在曲线S上运动，∴，∴Q（，）,（0≤θ＜2π），∴曲线S的轨迹方程为，曲线S是以原点为圆心,以为半径的圆．（3）由题意：C1:+=1，设点P（x1，y1），M（x2，y2)，N（x3,y3)，∵M,N不在坐标轴上,∴k PM=﹣=﹣,∴直线PM的方程为y﹣y2=﹣(x﹣x2)，化简得:x2x+y2y=,①，同理可得直线PN的方程为x3x+y3y=，②，把P点的坐标代入①、②得，∴直线MN的方程为x1x+y1y=，令y=0,得m=，令x=0得n=，∴x1=,y1=，又点P在椭圆C1上,∴()2+3（)2=4,则+=为定值．23．按照如下的规律构造数表：第一行是:2;第二行是：2+1，2+3：即3，5；第三行是：3+1,3+3，5+1，5+3,即：4，6，6，8,…（即从第二行起将上一行的数的每一项各加1写出,再各项再加3写出）,若第n行所有的项的和为a n；23 54 6 6 85 7 7 9 7 9 9 11…（1）求a3,a4，a5；(2）试写出a n+1与a n的递推关系，并据此求出数列{a n}的通项公式;（3）设S n=++…+（n∈N＊），求S n和S n 的值．【考点】数列递推式；数列的极限；归纳推理．【分析】（1）直接代入计算即可；（2)通过观察可知a n+1=2a n+（1+3）•2n﹣1，进而两边同时除以2n+1，整理可得数列{｝是首项、公差均为1的等差数列，计算即得结论;（3）通过（2）裂项可知=4［﹣]，进而并项相加即得结论．【解答】解:（1）依题意，a3=4+6+6+8=24，a4=5+7+7+9+7+9+9+11=64，a5=6+8+8+10+8+10+10+12+8+10+10+12+10+12+12 +14=160；（2）∵从第二行起将上一行的数的每一项各加1写出，再各项再加3写出，∴a n+1=2a n+（1+3）•2n﹣1,即a n+1=2a n+2n+1,两边同时除以2n+1，得：=+1,又∵=1，∴=n，即a n=n•2n；（3）由（2）可知==4［﹣］，∴S n=++…+=4[﹣+﹣+…+﹣]=4［﹣]=2﹣（n∈N＊），∴S n=[2﹣]=2．2016年6月20日。
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松江区2016学年度第二学期期中质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟） 2017.4一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．已知()21xf x =-，则1(3)f-= ▲ ．2．已知集合{}{}11,1,0,1,M x x N =+≤=-则MN = ▲ ．3．若复数122,2z a i z i =+=+（i 是虚数单位），且12z z 为纯虚数,则实数a = ▲ ．4．直线23x y ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）对应的普通方程是 ▲ ．5．若()1(2),3nnn x x axbx c n n -*+=++++∈≥N ，且4b c =，则a 的值为 ▲ ．6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是 ▲ ．7．若函数()2()1xf x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．在约束条件123x y ++-≤下，目标函数2z x y =+的最大值为 ▲ ．9．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 ▲ ．10．已知椭圆()222101y x b b+=<<的左、右焦点分别为12F F 、，记122F F c =．若此椭圆上存在点P ，使P 到直线1x c=的距离是1PF 与PF b 的最大值为 ▲ ．11．如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P 在大圆上，PA 与小圆相切于点A ，Q 为小圆上的点，则PA PQ⋅的取值范围是 ▲ ．12．已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S = ▲ ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．设a b 、分别是两条异面直线12l l 、的方向向量，向量a b 、夹角的取值范围为A ，12l l 、所成角的取值范围为B ，则“A α∈”是“B α∈”的 (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件 14． 将函数sin 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图像上的点,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭向左平移(0)s s >个单位，得到点P '，若P '位于函数sin 2y x=的图像上，则(A) 12t =，s 的最小值为6π(B) 2t =，s 的最小值为6π (C) 12t =，s 的最小值为12π(D) t =，s 的最小值为12π 15．某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如图所示（收支差额=车票收入-支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则 (A) ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ） (B) ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） (C) ②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） (D) ④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）16．设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题：(1) 若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数； (2) 若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数； (3) 若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数； (4) 若函数()y f x =存在反函数1()y fx -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点．其中正确的命题共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）直三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AC AB ⊥，2==AC AB ，41=AA ，M 是侧棱1CC 上一点，设h MC =．(1) 若C A BM 1⊥，求h 的值；(2) 若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．18．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）设函数()2xf x =，函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称． (1)若()4()3f x g x =+，求x 的值；(2)若存在[]0,4x ∈，使不等式3)2()(≥--+x g x a f 成立，求实数a 的取值范围．B19．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中120=∠PAQ ，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．(1) 若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC △的面积最大，那么AB 和AC 的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？20．（本题满分16分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）设直线l 与抛物线24y x =相交于不同两点A 、B ，与圆)0()5(222>=+-r r y x相切于点M ，且M 为线段AB 中点．(1) 若AOB △是正三角形（O 是坐标原点），求此三角形的边长； (2) 若4r =，求直线l 的方程；(3) 试对()0,r ∈+∞进行讨论，请你写出符合条件的直线l 的条数（直接写出结论）．21．（本题满分18分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）对于数列{}n a ，定义12231n n n T a a a a a a +=+++，*n N ∈．(1) 若n a n =，是否存在*k N ∈，使得2017k T =？请说明理由； (2) 若13a =，61nn T =-，求数列{}n a 的通项公式；(3) 令21*112122,n n n nT T n b T T T n n N+--=⎧=⎨+-≥∈⎩，求证：“{}n a 为等差数列”的充要条件是“{}n a 的前4项为等差数列，且{}n b 为等差数列”．AB CPQ D松江区二模考试数学试卷题（印刷稿）（参考答案）2017.4一．填空题（本大题共54分）第1～6题每个空格填对得4分，第7～5题每个空格填对得5分1． 2 2．{1,0}- 3．1 4．10x y +-= 5．16 6． 7． 1[,1]2- 8．9 9．291011．[3-+ 12．1009二、选择题 （每小题5分，共20分） 13． C 14．A 15. B 16．B三．解答题（共78分）17．[解]（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则)0,0,2(B ,)4,0,0(1A ，)0,2,0(C ，),2,0(h M ……………………2分),2,2(h -=，)4,2,0(1-=A ……………………4分由C A BM 1⊥得01=⋅A ，即0422=-⨯h解得1=h ． ……………………6分 (2) 解法一：此时(0,2,2)M()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-……………8分设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =由00n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00x y z =⎧⎨+=⎩ 所以(0,1,1)n =- ……………………10分 设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ则11sin 52n BA n BA θ⋅===⋅ ……………12分 所以直线1BA与平面ABM 所成的角为sin5arc ………………14分解法二：联结1A M ，则1AM AM ⊥， 1,AB AC AB AA ⊥⊥，AB ∴⊥平面11AAC C …………………8分 1AB A M ∴⊥ 1A M ∴⊥平面ABM所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； ……………………10分 在1A BM Rt △中，11AM A B ==所以111sin 5A M A BM AB ∠===……………………12分所以1A BM ∠=所以直线1BA 与平面ABM所成的角为arc ………………14分18．[解]（1）由()4()3f x g x =+得2423xx-=⋅+ ……………………2分223240x x ⇒-⋅-=所以21x =-（舍）或24x=， ……………………4分 所以2x = ……………………6分 （2）由()(2)3f a x g x +--≥得2223a xx +-≥ ……………………8分2223a x x +≥+2232a x x -⇒≥+⋅ ……………………10分而232xx-+⋅≥，当且仅当[]4232,log 30,4x x x -=⋅=∈即时取等号…12分所以2a ≥211log 32a ≥+．………………………………14分19．[解]（1）设AB 长为x 米，AC 长为y 米，依题意得8004001200000x y +=， 即23000x y +=， ………………………………2分1sin1202ABC S x y ∆=⋅⋅y x ⋅⋅=43 …………………………4分y x ⋅⋅=28322283⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤y x =2m 当且仅当y x =2，即750,1500x y ==时等号成立，所以当ABC △的面积最大时，AB 和AC 的长度分别为750米和1500米……6分 （2）在(1)的条件下，因为750,1500AB m AC m ==． 由2133AD AB AC =+ …………………………8分 得222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22919494+⋅+= …………………………10分 2244117507501500()15009929=⨯+⨯⨯⨯-+⨯250000= ||500AD ∴=， …………………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分 解法二：在ABC ∆中， 120cos 222AC AB AC AB BC ⋅-+=7750= ………8分在ABD ∆中，ACAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222775075021500)7750(750222⨯⨯-+=772= …………………………10分 在ABD ∆中，B BD AB BD AB AD cos 222⋅-+=772)7250(7502)7250(75022⋅⨯⨯-+==500 …………12分 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分 解法三：以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,0(A ，)0,750(B)120sin 1500,120cos 1500( C ,即)3750,750(-C ，设),(00y x D ………8分由2CD DB =，求得⎪⎩⎪⎨⎧==325025000y x ，所以(D …………10分所以，22)03250()0250(||-+-=AD 500=……………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分20．[解] (1)设AOB △的边长为a ，则A的坐标为1,)2a ±………2分所以214,22a a ⎛⎫±=⋅ ⎪⎝⎭所以a =此三角形的边长为 ……………………………4分 (2)设直线:l x ky b =+当0k =时，1,9x x ==符合题意 ……………………………6分当0k ≠时，224404x ky by ky b y x =+⎧⇒--=⎨=⎩…………………8分222121216()0,4,42(2,2)k b y y k x x k b M k b k ∆=+>+=+=+⇒+11,AB CM AB k k k k⋅=-= 2223225CM k k k b k k b ∴==-⇒=-+- 22216()16(3)003k b k k ∴∆=+=->⇒<<4r ===()230,3k ∴=∉，舍去综上所述，直线l 的方程为：1,9x x == ……………………………10分(3)(][)0,24,5r ∈时，共2条；……………………………12分()2,4r ∈时，共4条； ……………………………14分 [)5,r ∈+∞时，共1条． ……………………………16分21．[解]：（1）由0n a n =>，可知数列{}n T 为递增数列，……………………………2分 计算得1719382017T =<，1822802017T =>，所以不存在*k N ∈，使得2017k T =； ………………………4分（2）由61n n T =-，可以得到当*2,n n N ≥∈时，1111(61)(61)56n n n n n n n a a T T --+-=-=---=⋅， ……………………6分又因为1215a a T ==，所以1*156,n n n a a n N -+=⋅∈， 进而得到*1256,n n n a a n N ++=⋅∈，两式相除得*26,n na n N a +=∈， 所以数列21{}k a -，2{}k a 均为公比为6的等比数列， ……………………8分 由13a =，得253a =， 所以1*22*23621,562,3n n n n k k N a n k k N--⎧⋅=-∈⎪=⎨⎪⋅=∈⎩；………… …………10分（3）证明：由题意12123122b T T a a a a =-=-，当*2,n n N ≥∈时，111212n n n n n n n n b T T T a a a a +-+++=+-=-，因此，对任意*n N ∈，都有121n n n n n b a a a a +++=-． …………12分必要性(⇒)：若{}n a 为等差数列，不妨设n a bn c =+，其中,b c 为常数， 显然213243a a a a a a -=-=-，由于121n n n n n b a a a a +++=-=2212()222n n n a a a b n b bc ++-=++， 所以对于*n N ∈，212n n b b b +-=为常数，故{}n b 为等差数列； …………14分 充分性(⇐)：由于{}n a 的前4项为等差数列，不妨设公差为d当3(1)n k k ≤+=时，有4131213,2,a a d a a d a a d =+=+=+成立。