专题08 立体几何-高三数学(文)全国各地优质金卷含解析

【高三数学各地优质二模试题分项精品】专题八 立体几何一、选择题1．【东莞高三二模】如图，网格纸上的小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. 18B. 12C. 10D. 8 【答案】D2．【东北三省四市】已知边长为2的等边三角形，为的中点，以为折痕，将折成直二面角，则过四点的球的表面积为（ ） A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意，知过四点的球的直径为以为邻边的长方体的对角线的长，而，则，所以球的表面积为，故正确答案为C.点睛：此题主要考查了从平面图形到空间几何体的变化过程的空间想象能力，简单组合体中直三棱锥与外接球关系，以及球的表面积的计算等方面的知识和技能力，属于中档题型，也是常考题型.在解决简单几何体的外接球问题中，一般情况下，球的直径为简单几何体的对角线的长.3．【黑龙江大庆高三二模】已知αβ、是两个不同的平面， m n 、是两条不重合的直线，则下列命题中错误的是( )A. 若//m n αα⊥，,则m n ⊥B. 若//,m n ααβ⋂=,则//m nC. 若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥D. 若////m n αβ，，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等 【答案】B4．【贵州高三适应性考试】在正方体1111ABCD A B C D 中，过对角线1AC 的一个平面交1BB 于E ，交1DD 于F 得四边形1AEC F ，则下列结论正确的是（ ） A. 四边形1AEC F 一定为菱形B. 四边形1AEC F 在底面ABCD 内的投影不一定是正方形C. 四边形1AEC F 所在平面不可能垂直于平面11ACC AD. 四边形1AEC F 不可能为梯形 【答案】D【解析】对于A ，当与两条棱上的交点都是中点时，四边形1AEC F 为菱形，故A 错误； 对于B, 四边形1AEC F 在底面ABCD 内的投影一定是正方形,故B 错误；对于C, 当两条棱上的交点是中点时，四边形1AEC F 垂直于平面11ACC A ,故C 错误； 对于D ，四边形1AEC F 一定为平行四边形，故D 正确. 故选：D5．【河南焦作高三四模】在三棱锥P ABC -中， 33AB BC ==， 90ABC BCP PAB ∠=∠=∠=，2cos 4CPA ∠=，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A. 5π B. 13π C. 6π D. 14π 【答案】A由1PE =得2113R =++52R =，所以球的表面积为245S R ππ==，故选A ．点睛：本题考查了有关球的组合体问题，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，球心与截面圆心的连线垂直截面，同时球的半径，小圆的半径和球心到截面的距离满足勾股定理，求得球的半径，即可求解求得表面积与体积． 6．【河南焦作高三四模】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 3πB. 83πC. 103πD. 113π 【答案】C7【北京师范大学附中高三二模】如图，各棱长均为1的正三棱柱111ABC A B C -， M ， N 分别为线段1A B ，1B C 上的动点，若点M ， N 所在直线与平面11ACC A 不相交，点Q 为MN 中点，则O 点的轨迹的长度是（ ）A.22B.32C. 1D. 2【答案】B8．【陕西咸阳高三二模】已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A. 642π-B. 644π-C. 643π-D. 64π- 【答案】A9．【新疆维吾尔自治区高三二模】某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）A.5003π B. 100023 C. 1253π D. 12523 【答案】D【解析】由题得几何体的原图为图中的四棱锥A-BCDE, 四棱锥A-BCDE 的外接球和长方体的外接球重合，因为长方体的外接球直径2225223455052R R =++==∴=，所以该几何体的外接球的体积为34521252.323π⋅（）故选D. 点睛：模型法是求几何体外接球半径的一种重要方法.先把几何体放在长方体中，使几何体的顶点都在长方体的顶点里，再根据长方体的外接球半径公式2222a R b c =++.10．【衡水金卷高三信息卷五】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 104π+B. 68π+C. 108π+D. 64π+ 【答案】A点睛:(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．11．【河南商丘高三二模】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.B.C.D.【答案】C12．【重庆高三4月二诊】某几何体的三视图如图所示，其正视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（ ）A. 18B. 83+C. 24D. 1265+ 【答案】C【解析】 根据给定的三视图，可得原几何体如图所示，其中面ABCD 表示边长分别为2和4的矩形，其面积为1248S =⨯=，ABC ∆和111A B C ∆为底边边长为2，腰长为5的等腰三角形，其高为2h =， 所以面积为2312222S S ==⨯⨯=， 面11AAC C 和面11BB C C 为全等的等腰梯形，上底边长为2，下底边长为4，高为2， 所以面积为()45124262S S ==⨯+⨯=， 所以几何体的表面积为8222624S =+⨯+⨯=，故选C ．13．【湖南衡阳高三二模】已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的所有棱中，最短的棱其长为( )A. 2B. 5C. 1D. 22【答案】C14．【广东茂名高三二模】《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理:“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为:两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.如图，设满足不等式组的点组成的图形（图（1）中的阴影部分)绕轴旋转，所得几何体的体积为；满足不等式组的点组成的图形（图（2）中的阴影部分)绕轴旋转，所得几何体的体积为.利用祖暅原理，可得（）A. B. C. D.【答案】C15．【广东茂名高三二模】某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】该几何体是如图所示的四面体ABCD，其体积为故答案为：A点睛：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．二、填空题16．【东莞高三二模】已知几何体是平面截半径为4的球所得较大部分，是截面圆的内接三角形，，点是几何体的表面上一动点，且在圆上的投影在圆的圆周上，，则三棱锥的体积的最大值为__________．【答案】1017．【河南商丘高三二模】已知球的表面积为，此球面上有三点，且，则球心到平面的距离为__________．【答案】【解析】因为球的表面积为，所以因为，所以三角形为直角三角形，因此球心到平面的距离为球心到BC中点的距离，为 .点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.的三个顶点A，B，C都在以O为球心的球面上，若球O 18．【重庆高三二诊】边长为2的等边ABC的表面积为1483π，则三棱锥O ABC -的体积为__________． 【答案】333【解析】设球半径为R ，则214843R ππ=，解得2373R =． 设ABC ∆所在平面截球所得的小圆的半径为r ，则23232323r ⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭． 故球心到ABC ∆所在平面的距离为223741133d R r =-=-=，即为三棱锥O ABC -的高，所以2113332113343O ABCABC V S d -∆⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭． 答案：33319．【宁夏银川高三4月质检】把边长为的正方形沿对角线折起，当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，此三棱锥的外接球的表面积的大小等于__________． 【答案】点睛：解答几何体的外接球有关的问题，关键是两心三边一方程，两心是截面圆的圆心和球心，三边是圆心和球心的距离、球的半径、圆的半径，一方程指的是通过勾股定理得到的关于球的半径R 的方程. 这种技巧，大家要理解掌握熟练运用.20．【山西太原高三二模】已知三棱锥A BCD -中， 2AB AC BC ===， 2BD CD ==，点E 是BC的中点，点A 在平面BCD 射影恰好为DE 的中点，则该三棱锥外接球的表面积为________． 【答案】6011π【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.三、解答题21．【内蒙古呼和浩特高三二模】如图，在直三棱柱中，，为棱的中点.（1）证明：平面；（2）已知，的面积为，为线段上一点，且三棱锥的体积为，求.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，，可推出为的中点，从而推出四边形为平行四边形，即可证明平面；（2）过作于，连接，可推出平面，从而推出，设，表示出，，根据的面积为，可求得得值，设到平面的距离为，根据，即可求得，从而求得.试题解析：（1）证明：取的中点，连接，.∵侧面为平行四边形∴为的中点，∴又∴∴四边形为平行四边形，则.∵平面，平面∴平面.（2）解：过作于，连接，∵平面∴.又∴平面∴.设，则，，，∴的面积为，∴.设到平面的距离为，则.∴∴与重合，.22．【衡水金卷高三调研二模】如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面平面，点是的中点，棱与平面交于点.（1）求证:；（2）若是正三角形，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）.试题解析：（1）因为底面是边长为2的正方形，所以.又因为平面，平面，所以平面.又因为四点共面，且平面平面，所以.又因为，所以.（2）因为，点是的中点，所以点为的中点，.又因为平面平面，平面平面，所以平面，所以平面.又因为是正三角形，所以，所以.又，所以.故三棱锥的体积为.23．【安徽安庆高三二模】如图所示，四棱锥B-AEDC中，平面AEDC⊥平面ABC，F为BC的中点，P为BD的中点，且AE//DC，∠ACD=∠BAC=90°，DC=AC=AB=2AE（1）证明：EP⊥平面BCD；（2）若DC=2，求三棱锥E-BDF的体积.【答案】（1）见解析（2）试题解析：（（Ⅰ）由题意知为等腰直角三角形，而为的中点，所以.又因为平面平面，且，所以平面.而平面，所以.而所以平面.连结,则而所以是平行四边形,因此平面.（Ⅱ）因为平面，所以平面是三棱锥的高.所以. 于是三棱锥的体积为24．【湖南益阳高三4月调研】在三棱锥中，底面，，，是的中点，是线段上的一点，且，连接，，.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】(1)见解析;(2).试题解析：（1）因为，所以.又，，所以在中，由勾股定理，得.因为，所以是的斜边上的中线.所以是的中点.又因为是的中点，所以直线是的中位线，所以. 又因为平面，平面，所以平面.（2）由（1）得，. 又因为，.所以.又因为，所以.易知，且，所以.设点到平面的距离为， 则由，得， 即，解得.即点到平面的距离为.25．【黑龙江大庆高三二模】如图，在矩形ABCD 中， 2AB =, 4AD =, M 是AD 的中点，将MAB ∆沿BM 向上折起，使平面ABM ⊥平面BCDM(Ⅰ)求证： AB CM ⊥; (Ⅱ)求点D 到平面ACM 的距离. 【答案】（Ⅰ）证明见解析. （Ⅱ）1.【试题解析】（Ⅰ）证明：由题意可知， 22222222BM AB AM =+=+=，22222222CM CD DM =+=+=, 4BC =，所以，在△BCM 中， 222BC BM CM =+，所以CM BM ⊥； 因为平面ABM ⊥平面BCDM 且BM 是交线， CM ⊂平面BCDM 所以CM ⊥平面ABM ，因为AB ⊂平面ABM ，所以AB CM ⊥ （Ⅱ）解：取BM 中点E ，连接AE .因为AB AM =且E 为BM 中点，所以AE BM ⊥.因为AE ⊂面ABM ，面ABM ⊥面BCDM ， BM 是交线， 所以AE ⊥平面BCDM ,故AE 长即为点A 到平面BCDM 的距离， 算得2AE =由（Ⅰ）可知， CM AM ⊥, ACM ∆是直角三角形,2,22AM CM ==1222222ACM S ∆=⋅⋅= 12222MCD S ∆=⋅⋅=. 设点D 到平面ACM 的距离为h ， 因为D ACM A MCD V V --=, 所以1133ACM MCD S h S AE ∆∆⋅⋅=⋅⋅,解得1h =，故点D 到平面ACM 的距离为1.26．【江西新余高三二模】如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA B B ⊥平面ABC ， D 是AC 的中点.（1）求证： 1//B C 平面1A BD ；（2）若160A AB ACB ∠=∠=， 1AB BB =， 2AC =， 1BC =，求三棱锥1C ABD -的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)3.解析：解法一：（Ⅰ）连结1AB 交于点O ，则O 为1AB 的中点，∵D 是AC 的中点， ∴1ODB C .又1OD A BD ⊂平面， 11B C A BD ⊄平面， ∴11B CA BD 平面（Ⅱ）∵2AC =， 1BC =， 60ACB ∠=︒，∴2222cos 3AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠=，∴. 取中点，连结，∵11AB BB AA ==， 160A AB ∠=︒，∴1ABA 为等边三角形，∴1A M AB ⊥，且132A M =， 又∵平面11AA B B ABC ⊥平面，平面11AA B B ABC AB ⋂=平面，111A M AA B B ⊂平面，∴1A M ABC ⊥平面，∵132ABD ABC S S ==， ∴SC1-ABD=11133A ABD ABD S S A M -=⋅=. 解法二：（Ⅰ）取11A C 中点1D ，连结11B D ， 1CD ， 1DD ，∵111112A D AC =， 12CD AC =， 11A C AC ， ∴11A D CD ，∴四边形11A DCD 为平行四边形，∴11CD A D ，又11A D A BD ⊂平面， 11CD A BD ⊄平面，∴11CD A BD 平面.∵111BB AA DD ，∴四边形11D DBB 为平行四边形，∴11B D BD ，又1BD A BD ⊂平面， 111B D A BD ⊄平面，∴111B D A BD 平面.又1111CD B D D ⋂=，∴平面111B CD A BD 平面.又1B C ⊂平面11B CD ，∴1B C 平面1A BD（Ⅱ）∵2160AC BC ACB ==∠=︒，，，∴2222cos 3AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠=， ∴3AB =.∴222AC AB BC =+，∴BC AB ⊥.又∵平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B ⋂平面ABC AB =.∴11BC AA B B ⊥平面.∵11160A AB AB BB AA ∠=︒==，，∴13AA∴111133sin 2A AB S AB AA A AB =⋅⋅∠=.∵D 是AC 中点，∴SC1-ABD=111111132238A ABD D A AB C A AB A AB V V V S BC ---===⨯⋅=27．【广东惠州高三4月模拟】如图，直角ABC ∆中， 90ACB ∠=，24BC AC ==，D E ，分别是,AB BC 边的中点，沿DE 将BDE ∆折起至FDE ∆，且60CEF ∠=.（1）求四棱锥F ACED -的体积；（2）求证：平面ADF ⊥平面ACF ．【答案】(1)3V =;(2)见解析.接,,DN NQ EQ ，则1//2NQ AC ，即可推出DEQN 是平行四边形，再根据EC EF =及60CEF ∠=，推出CEF ∆是等边三角形，结合（1），可推出EQ ACF ⊥平面，从而可证平面ADF ⊥平面ACF ；法二：连接BF ，易证△CEF 是边长为2等边三角形，根据BE EF =，推出1302EBF CEF ∠=∠=，从而推出BF FC ⊥，根据,DE BCF DE ⊥平面∥AC ，可推出AC BCF ⊥平面，可证AC BF ⊥，从而可证平面ADF ⊥平面ACF .试题解析：（1）∵,D E 分别是,AB BC 边的中点，∴DE 平行且等于AC 的一半， ,1DE BC DE ⊥=依题意， ,2DE EF BE EF ⊥==.于是有,DE BCDE EF DE EF EC E EF EC CEF ⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⎭平面平面CEF . ∵DE ⊥平面CEF∴平面ACED CEF ⊥平面过F 点作FM EC ⊥于M ，则,ACED CEF CE FM EC FM ACED FM CEF ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭平面平面且交线为平面平面，∵60CEF ∠= ∴3FM = ∴梯形ACED的面积()()11122322S AC ED EC =+⨯=⨯+⨯= ∴四棱锥F ACED -的体积1133333V Sh ==⨯⨯=（2）（法一）如图．设线段,AF CF 的中点分别为,N Q ，连接,,DN NQ EQ ，则1//2NQ AC ，于是1//2////1//2DE AC DE NQ DEQN DN EQ NQ AC ⎫⎪⎪⇒⇒⇒⎬⎪⎪⎭是平行四边形. 又60EC EF CEF CEF =⎫⇒∆⎬∠=⎭是等边三角形. ∴EQ ⊥FC由（1）知,DE CEF EQ CEF ⊥⊂平面平面.∴DE EQ ⊥∴AC EQ ⊥于是,AC EQ FC EQ EQ ACF AC FC C AC FC ACF ⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⎭平面平面. ∴DN ACF ⊥平面又∵DN ADF ⊂平面∴平面ADF ⊥平面ACF .（法二）连接BF ，∵,60EC EF CEF =∠=∴△CEF 是边长为2等边三角形∵BE EF = ∴1302EBF CEF ∠=∠= ∴90BFC ∠=， BF FC ⊥又∵,DE BCF DE ⊥平面∥AC∴AC BCF ⊥平面∵BF BCF ⊂平面∴AC BF ⊥又∵FC AC C ⋂=，∴BF ACF ⊥平面又∵BF ADF ⊂平面，∴平面ADF ⊥平面ACF .28．【新疆维吾尔自治区高三二模】如图， EB 垂直于菱形ABCD 所在平面，且2EB BC ==， 60BAD ∠=︒，点G 、H 分别为边CD 、DA 的中点，点M 是线段BE 上的动点.（I ）求证： GH DM ⊥；（II ）当三棱锥D MGH -的体积最大时，求点A 到面MGH 的距离.【答案】（I ）见解析；(II ）25.试题解析：（I ）连接AC 、BD 相交于点O .∵BE ⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，∴BE AC ⊥∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥∵BD BE B ⋂=，∴AC ⊥平面BDE∵G 、H 分别为CD 、DA 的中点，∴GH AC ，∴GH ⊥平面BDE ，而DM ⊂平面BDE ，∴GH DM ⊥(II ）菱形ABCD 中， 60BAD ∠=︒，得120ADC ∠=︒.∵1DG DH ==， ∴1133··sin120112224DGH S DG DH ∆=︒=⨯⨯⨯=， ∵BE ⊥平面ABCD ，即BM ⊥平面ABCD ， ∴13·3D MGH M DGH DGH V V S BM --∆=== 显然，当点M 与点E 重合时， BM 取得最大值2，此时()max 332126D MGH V -== 且7MG MH == 3GH =，则1553322MGH S ∆==∵H 是AD 中点，所以点A 到平面MGH 的距离1d 等于D 点到平面MGH 的距离2d ，又D MGH M DGH V V --=213d =，求得225d = ∴A 到平面MGH 的距离为25. 点睛：本题中要两次重要的转化，一是研究三棱锥D MGH -的体积最大时，转化成研究三棱锥M DGH -的体积最大,二是把点A 到平面MGH 的距离转化为点D 点到平面MGH 的距离.通过转化，把复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，优化了解题，提高了解题效率.大家对转化的数学思想要理解掌握灵活运用.。