立体几何平行垂直问题专题复习

立体几何平行、垂直问题【基础知识点】

一、平行问题

1．直线与平面平行的判定与性质

定义判定定理性质性质定理图形

条件a∥α

结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b

2. 面面平行的判定与性质

判定

性质

定义定理

图形

条件α∥β，a?β

结论α∥βα∥βa∥b a∥α

平行问题的转化关系：

二、垂直问题

一、直线与平面垂直

1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直．

2．直线与平面垂直的判定定理及推论

文字语言图形语言符号语言

判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

推论

如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面

3．直线与平面垂直的性质定理

文字语言图形语言符号语言性质定理

垂直于同一个平面

的两条直线平行

①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直

线．

②垂直于同一个平面的两条直线平行．

③垂直于同一条直线的两平面平行．

二、平面与平面垂直

【典例探究】

类型一、平行与垂直

例1、如图，已知三棱锥A BPC -中，

,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB

F

D

E

C1

A1

C

A

中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。（Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ；

（Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ；

（Ⅲ）若BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。

例 2. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，2AC BC ==，14AA =，

22AB =，M ，N 分别是棱1CC ，AB 中点.

（Ⅰ）求证：CN ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）求证：//CN 平面1AMB ； （Ⅲ）求三棱锥1B AMN -的体积．

【变式1】. 如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角

三角形， 90=∠BAC ，且1AA AB =，F E D ,,分别是BC

CC A B ,,11的中点。

（1）求证：//DE 平面ABC ；

（2）求证：⊥F B 1平面AEF ；

（3）设AB a =，求三棱锥D AEF -的体积。 二、线面平行与垂直的性质

例3、如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知24BD AD ==，225AB DC ==

A

B

C A 1

B 1

C 1

M

N

（1）求证：BD ⊥平面PAD ； （2）求三棱锥A PCD -的体积．

例4、如图，四棱锥P —ABCD 中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC=PD=2，E 为

PC 的中点，.3

1

= （I ）求证：PC BC ⊥； （II ）求三棱锥C —DEG 的体积；

（III ）AD 边上是否存在一点M ，使得//PA 平面MEG 。若存在，求AM 的长；否则，说明理

21（2） 求三棱锥E PBC -的体积。

例6.已知四边形ABCD 是等腰梯形，AB DE BAD DC AB ⊥︒=∠==,45,1,3（如图1）。现将ADE ∆沿DE 折起，使得EB AE ⊥（如图2），连结AB AC ,。

A

B

E

P

D

C

（I ）求证：平面⊥ADE 平面ACD ；

（II ）试在棱AB 上确定一点M ，使截面EMC 把几何体分成两部分的体积比

1:2:=MECB ADCME V V ；

（III ）在点M 满足（II ）的情况下，判断直线AD 是否平行于平面EMC ，并说明理由。

【变式3】一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示，E 为PD 中点.

（I ）求证：PB//平面AEC ；（II ）求四棱

锥C PAB -的体积； （Ⅲ）若F 为侧棱PA 上一点，且

λ=FA

PF

，则λ为何值时，⊥PA 平面BDF.

【变式4】如图1所示，正ABC ∆的边长为2a ，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC ，BC 的中点。现将ABC ∆沿CD 翻折，使翻折后平面ACD ⊥平面BCD （如图2）

（1）试判断翻折后直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；

（2）求三棱锥C-DEF 的体积。 四、立体几何中的最值问题

例7.图4，A 1A 是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径， C 是底面圆周上异于A ，B 的任意一点，A 1A= AB=2.

图1

图2

(1)求证: BC⊥平面A

AC；

1

-ABC的体积的最大值. (2)求三棱锥A

1

F

又由（1）∴知,

⊥∴AP PB

MD AP

⊥

⊥平面，又已知AP PC

⊥∴AP PBC

∴AP BC ⊥，又∵AC BC ⊥

∴BC APC ⊥平面,∴平面ABC ⊥平面PAC ,

（Ⅲ）∵20AB =，∴10MB =,∴10PB =

又4BC =

，PC ===

1

AB A =，⊥平面ABB 1因为N ，G 分别是棱AB ，1AB 中点，

所以1//NG BB ，11

2

NG BB =

. 又因为1//CM BB ，11

2

CM BB =

， B

B 1