高一立体几何平行垂直解答题精选

高一立体几何平行、垂直解答题精选2017.12.181．已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，点N 在AC 上且CN=3AN ，点M ，P ，Q 分别是AA 1，A 1B 1，BC 的中点.求证：直线PQ ∥平面BMN.2．如图，在正方形ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是棱B 1C 1，BB 1，C 1D 1的中点，是否存在过点E ，M 且与平面A 1FC 平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由.3．在正方体1111ABCD A B C D 中， M ， O 分别是1,A B BD 的中点.（1）求证： //OM 平面11AA D D ；（2）求证： 1OM BC ⊥.4．如图， AB 为圆O 的直径，点,E F 在圆O 上，且//AB EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面垂直，且1,2AD EF AF AB ====.（1）求证：平面AFC ⊥平面CBF ；（2）在线段CF 上是否存在了点M ，使得//OM 平面ADF ？并说明理由.5．已知：正三棱柱111ABC A B C -中， 13AA =， 2AB =， N 为棱AB 的中点．（1）求证： 1AC P 平面1NB C ．（2）求证：平面1CNB ⊥平面11ABB A ．（3）求四棱锥111C ANB A -的体积．6．已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD ，∠ADB=60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且(01).AE AF AC ADλλ==<< （1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC ；（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD ?7．如图，在菱形ABCD 中， 60,ABC AC ∠=o与BD 相交于点O ， AE ⊥平面ABCD ， //,2CF AE AB AE ==.（I ）求证： BD ⊥平面ACFE ；（II ）当直线FO 与平面ABCD 所成的角的余弦值为10时，求证： EF BE ⊥； （III ）在（II ）的条件下，求异面直线OF 与DE 所成的余弦值.8．如图，四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，24AD BC ==，23AB =，090BAD ∠=，,M O 分别为CD 和AC 的中点，PO ⊥平面ABCD .（1）求证：平面PBM ⊥平面PAC ；（2）是否存在线段PM 上一点N ，使用//ON 平面PAB ，若存在，求PN PM的值；如果不存在，说明理由.9．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60,BAD N ∠=︒是PB 的中点，过,,A D N 三点的平面交PC 于M ， E 为AD 的中点，求证：（1）//EN 平面PDC ；（2）BC ⊥平面PEB ；（3）平面PBC ⊥平面ADMN .10．如图，四棱锥P ABCD -中， PD ⊥平面PAB ， AD // BC ， 12BC CD AD ==， E ， F 分别为线段AD ， PD 的中点. （Ⅰ）求证： CE //平面PAB ；（Ⅱ）求证： PD ⊥平面CEF ；（Ⅲ）写出三棱锥D CEF -与三棱锥P ABD -的体积之比.（结论不要求证明）11．如图，点P 是菱形ABCD 所在平面外一点， 60BAD ∠=︒， PCD V 是等边三角形， 2AB =， 22PA =， M 是PC 的中点.（Ⅰ）求证： PA P 平面BDM ；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDM ；（Ⅲ）求直线BC 与平面BDM 的所成角的大小.12．在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为菱形，侧面ABE 为等边三角形，且侧面ABE ⊥底面BCDE ， O ， F 分别为BE ， DE 的中点.（Ⅰ）求证： AO CD ⊥.（Ⅱ）求证：平面AOF ⊥平面ACE .（Ⅲ）侧棱AC 上是否存在点P ，使得BP P 平面AOF ？若存在，求出AP PC的值；若不存在，请说明理由.13．在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠=o，1AB AD PD ===，2CD =．（1）求证：//BE平面PAD；（2）求证：BC⊥平面PBD；（3）在线段PC上是否存在一点Q，使得二面角Q BD P--为45o？若存在,求PQPC的值；若不存在，请述明理由．参考答案1．见解析【解析】试题分析：根据题目给出的P，Q分别是A1B1，BC的中点，想到取AB的中点G，连接PG，QG后分别交BM，BN于点E，F，根据题目给出的线段的长及线段之间的关系证出GE EP =GFFQ=13，从而得到EF∥PQ，然后利用线面平行的判定即可得证；试题解析：如图，取AB中点G，连接PG，QG分别交BM，BN于点E，F，则E，F分别为BM，BN的中点.而GE∥12 AM，GE=12AM，GF∥12AN，GF=12AN，且CN=3AN，所以GEEP=13，GFFQ=ANNC=13，所以GEEP=GFFQ=13，所以EF∥PQ，又EF⊂平面BMN，PQ⊄平面BMN，所以PQ∥平面BMN.2．详见解析.【解析】试题分析: 由正方体的特征及N为BB1的中点，可知平面A1FC与直线DD1相交，且交点为DD1的中点G.若过M，E的平面α与平面A1FCG平行，注意到EM∥B1D1∥FG，则平面α必与CC1相交于点N，结合M，E为棱C1D1，B1C1的中点，易知C1N∶C1C＝14.于是平面EMN满足要求．试题解析:如图，设N是棱C1C上的一点，且C1N＝C1C时，平面EMN过点E，M且与平面A1FC平行．证明如下：设H为棱C1C的中点，连接B1H，D1H.∵C 1N ＝C 1C ，∴C 1N ＝C 1H .又E 为B 1C 1的中点，∴EN ∥B 1H .又CF ∥B 1H ，∴EN ∥CF .又EN ⊄平面A 1FC ，CF ⊂平面A 1FC ，∴EN ∥平面A 1FC .同理MN ∥D 1H ，D 1H ∥A 1F ，∴MN ∥A 1F .又MN ⊄平面A 1FC ，A 1F ⊂平面A 1FC ，∴MN ∥平面A 1FC .又EN ∩MN ＝N ，∴平面EMN ∥平面A 1FC .点睛:本题考查线面平行的判定定理和面面平行的判定定理的综合应用,属于中档题.直线和平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行; 平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面分别平行，则这两个平面平行．3．（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）连接1A D ， 1AD ，由M O ，分别是1A B ， BD 的中点可证OM ∥1A D ，即可证明OM ∥平面11AA D D ；（2）由11D C ∥AB 且11D C AB =可证11D C BA 为平行四边形，即可证1AD ∥1BC ，再根据11A D AD ⊥即可证明1OM BC ⊥.试题解析：（1）连接1A D ， 1AD ，因为M O ，分别是1A B ， BD 的中点，所以OM ∥1A D ，且1A D ⊂平面11AA D D ，所以OM ∥平面11AA D D（2）由题意11D C ∥AB 且11D C AB =，所以11D C BA 为平行四边形，所以1AD ∥1BC ，由（Ⅰ）OM ∥1A D ，且11A D AD ⊥，所以1OM BC ⊥4．（1）证明见解析；（2）存在，见解析；【解析】试题分析：（1）要证明平面AFC ⊥平面CBF ，只需证AF ⊥平面CBF ，则只需证AF CB ⊥,AF BF ⊥,再根据题目条件分别证明即可；（2）首先猜测存在CF 的中点M 满足//OM 平面ADF ，作辅助线，通过//OM AN ，由线面平行的判定定理，证明//OM 平面ADF 。

试题解析：解：（1）因为平面ABCD ⊥平面,ABEF CB AB ⊥，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，所以CB ⊥平面ABEF ，因为AF ⊂平面ABEF ，所以AF CB ⊥,又AB 为圆O 的直径，所以AF BF ⊥,因为CB BF B ⋂=，所以AF ⊥平面CBF ，因为AF ⊂平面AFC ，所以平面AFC ⊥平面CBF .（2）如图，取CF 的中点,M DF 的中点NA ，连接,,N MN OM ， 则1//,2MN CD MN CD = ， 又1//,2AO CD AO CD =，所以//,MN AO MN AO =， 所以四边形MNAO 为平行四边形，所以//OM AN ，又AN ⊂平面,DAF OM ⊄平面DAF ，所以//OM 平面DAF ，即存在一点M 为CF 的中点，使得//OM 平面DAF .5．（1）见解析；（2）见解析；（3）332． 【解析】试题分析：（1）要证线面平行，就是要证线线平行，考虑过直线1AC 的平面1AC B 与平面1CB N 的交线ON （其中O 是1BC 与1B C 的交点），而由中位线定理易得1//AC ON ，从而得线面平行；（2）由于ABC ∆是正三角形，因此有CN AB ⊥，从而只要再证CN 与平面11ABB A 内另一条直线垂直即可，这可由正棱柱的侧棱与底面垂直得到，从而得线面垂直，于是有面面垂直；（3）要求四棱锥的体积，由正三棱柱的性质知111A B C ∆中，边11A B 的高就是四棱锥的高，再求得四边形11ANB A 的面积，即可得体积．试题解析：（1）证明：连接1BC ，交1B C 于O 点，连接NO ，∵在1ABC V 中，N ， O 分别是AB ， 1BC 中点，∴1NO AC P ，∵NO ⊂平面1NCB ，1AC ⊄平面1NCB ，∴1AC P 平面1NCB ，（2）证明：∵在等边ABC V 中，N 是棱AB 中点，∴CN AB ⊥，又∵在正三棱柱中，1BB ⊥平面ABC ，CN ⊂平面ABC ，∴1BB CN ⊥，∵1AB BB B ⋂=点，AB ， 1BB ⊂平面11ABB A ，∴CN ⊥平面11ABB A ，∵CN ⊂平面1CNB ，∴平面1CNB ⊥平面11ABB A ．（3）作111C D A B ⊥于D 点，∴1C D 是四棱锥111C ANB A -高， 1tan6032h AB =︒=， 底面积19323122S =⨯-⨯⨯=， 1111333C ANB A V Sh -==．【点睛】(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理.(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.6．（1）见解析（2）λ＝67【解析】(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD.∵CD ⊥BC ，且AB∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC.∵AE AF AC AD=＝λ(0＜λ＜1)，∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD.∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF.∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC.(2)解：由(1)知，BE ⊥EF ，∵平面BEF ⊥平面ACD ，∴BE ⊥平面ACD.∴BE ⊥AC.∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝60°，∴BD ，AB .∴AC .由AB 2＝AE·AC ，得AE∴λ＝AE AC ＝67. 故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD7．（I ）见解析；（II ）见解析；（III 【解析】试题分析：（I ）要证BD 与平面ACFE 垂直，只要证BD 与平面ACFE 内两条相交直线垂直即可，这由已知线面垂直可得一个，又由菱形对角线垂直又得一个，由此可证；（II ）由已知线面垂直得FC ⊥平面ACFE ，从而知FOC ∠为直线FO 与平面ACFE 所成的角，从而可得,FC FO ，然后计算出三线段,,EF BE BF 的长，由勾股定理逆定理可得垂直；（III ）取BE 中点M ，则有//MO DE ，从而可得异面直线所成的角，再解相应三角形可得．试题解析：（I ）BD ⊥平面ACFE {BD AC ABCDBD AE AE ABCD ⊥⇐⇐⊥⇐⊥菱形平面；（II ）FC ⊥平面ABCD ⇒直线FC 与平面ABCD 所成的角cos FOC FOC ∠⇒∠=而且Rt FOC ∆中， 13CO FO FC =⇒==，过E 作//EN AC 交FC 于点N Rt FNE ⇒∆中EF Rt FCB =∆中13,FB Rt EAB =∆中2228EB EF EB FB EF EB =⇒+=⇒⊥；（III ）取BE 边的中点M ，连接,//MO MO DE ⇒且122MO DE FOM ==⇒∠为所求的角或其补角，而在Rt FEM ∆中， 227FM EF EM Rt FOM =+=⇒∆中2225cos 2FO MO FM FOM FO MO +-∠==⋅ ⇒异面直线OF 与DE 所成的余弦值为5. 8．（1）证明见解析；（2）13λ=. 【解析】试题分析：（1）以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，可得(3,3,0)BM =-u u u u r ，(23,2,0)AC =u u u r ，0BM AC ⋅=u u u u r u u u r ，BM AC ⊥又BM PO ⊥得BM ⊥平面PAC ，进而得结论；（2）设OP h =，可得平面PAB的一个法向量为(0,,1)n h =-r ，再根据20ON n h h h λλ⋅=-+-=u u u r r 可解得λ.试题解析：（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，(23,0,0)B ，(23,2,0)C ，(0,4,0)D ，所以CD 中点(3,3)M ，则(3,3,0)BM =-u u u u r ，(23,2,0)AC =u u u r ，则(3)(23)320BM AC ⋅=-⨯+⨯=u u u u r u u u r ，所以BM AC ⊥.又PO ⊥平面ABCD ，所以BM PO ⊥，由AC PO O =I ，所以BM ⊥平面PAC ，又BM ⊂平面PBM ，所以平面PBM ⊥平面PAC .（2）法一：设OP h =，则(3,1,0)O，(3,1,)P h ，则(0,2,)PM h =-u u u u r ，设平面PAB 的一个法向量为000(,,)n x y z =r ，(3,1,)AP h =u u u r ，(2,0,0)AB =u u u r ，所以00n AP n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r ，则00003020x y hz x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩，令01z =， 得(0,,1)n h =-r ，设(0,2,)PN PM h λλλ==-u u u r u u u u r (01)λ≤≤，则(0,2,)ON OP PN h h λλ=+=-u u u r u u u r u u u r ，若//ON 平面PAB ，则20ON n h h h λλ⋅=-+-=u u u r r ，解得13λ=. 法二：（略解）：连接MO 延长与AB 交于点E ，连接PE ，若存在//ON 平面PAB ，则//ON PE ， 证明13OE EM =即可.考点：1、利用空间向量证明线面垂直、面面垂直；2、利用空间向量研究线面平行.9．（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】试题分析：(1)先证明四边形EDMN 是平行四边形，得,EN DM DM ⊂P 平面PDC ，进而可得结论；(2)先由面面垂直的性质可得PE BC ⊥，再证BE AD ⊥ ，由AD BC P 可得BE BC ⊥ ，可得BC ⊥ 平面PEB ；（3）由（2）可得PB MN ⊥ ，由等腰三角形性质得PB AN ⊥，进而由面面垂直的判定定理得结论.试题解析：（1）//,AD BC AD ⊂Q ,ADMN BC ⊄平面,ADMN//BC ∴平面,ADMNMN =Q 平面ADMN ⋂平面,PBC BC ⊂平面PBC ，//,BC MN ∴又因//,AD BC//,//AD MN ED MN ∴∴，N Q 是PB 的中点， E 是AD 的中点，底面ABCD 是边长为2的菱形， 1,ED MN ∴==∴四边形EDMN 是平行四边形，//,EN DM DM ∴⊂平面,PDC//EN ∴平面PDC ；（2）Q 侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直， E 为AD 的中点，,,,PE AD PE EB PE BC ∴⊥⊥⊥60,2,1,BAD AB AE ∠=︒==Q 由余弦定理可得BE =，由正弦定理可得： BE AD ⊥∴由//AD BC 可得,BE BC ⊥,BE PE E ⋂=QBC ∴⊥平面PEB ；(3) Q 由（2）知BC ⊥平面PEB ， EN ⊂平面PEB,BC EN ∴⊥,,PB BC PB AD ⊥⊥Q,PB MN ∴⊥2,AP AB N ==Q 是PB 的中点，,PB AN ∴⊥,? MN AN N PB ∴⋂=∴⊥平面ADMN .P BC ∴⊥平面平面ADMN .【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.10．（1）见解析（2）见解析（3）14D CEF P ABD V V --= 【解析】试题分析：（Ⅰ）要证线面平行，就要证线线平行，在四边形ABCD 中，由已知可得AE 与BC 平行且相等，从而得平行四边形，因此有//CE AB ，因可得线面平行；（Ⅱ）要证PD 与平面CEF 垂直，就要证PD 与此平面内两条相交直线垂直，而已知PD 与平面PAB 垂直，因此PD 与平面PAB 内所有直线垂直，现在已有//CE AB ，因此有PD CE ⊥，再有， ,E F 是所在线段中点，因此有//EF PA ，从而也可得PD EF ⊥，这样可得题设线面垂直；（Ⅲ）都改为以D 为顶点，则底面积比为12，高的比也是12，因此体积比为14． 试题解析：（Ⅰ）证明：因为BC // AD ， 12BC AD =， E 为线段AD 的中点，所以AE // BC 且AE BC =，所以四边形ABCE 为平行四边形，所以CE // AB ，又有AB ⊂平面PAB ， CE ⊄平面PAB ，所以CE //平面PAB ．（Ⅱ）证明：因为E ， F 分别为线段AD ， PD 中点，所以EF // PA ，又因为PD ⊥平面PAB ， ,PA AB ⊂平面PAB ，所以PD ⊥ AB ， PD PA ⊥；所以PD EF ⊥，又CE // AB ，所以PD CE ⊥因为EF CE E ⋂=，所以PD ⊥平面CEF ．（III ）结论： 14D CEF P ABD V V --=． 11．（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）见解析; （Ⅲ）6π. 【解析】试题分析： （Ⅰ）要证明PA 与平面MDB 平行，只要找到一条平行线，由于M 是PC 中点， AC 与BD 的交点O 是AC 中点，则必有//MO PA ，从而有线面平行；（Ⅱ）要证面面垂直，就要证线面垂直，从图形中知BD AC ⊥，在MBD ∆，计算后可得BD MO ⊥，从而BO PA ⊥于是有线面垂直，从而得面面垂直；（Ⅲ）易证PC ⊥平面BDM ，从而知BM 为BC 在平面BDM 内的射影，因此CBM ∠就是直线BC 与平面BDM 所成的角，在CBM ∆中求解可得．试题解析：（Ⅰ）证明：连接MO .在菱形ABCD 中， O 为AC 中点，且点M 为PC 中点，所以//MO A ，又MO ⊂平面BDM ， PA ⊄平面BDM .所以//PA 平面BDM（Ⅱ）证明：在等边三角形PCD V 中，2DC AB ==， M 是PC 的中点，所以3DM =在菱形ABCD 中， 60BAD ∠=︒， 2AB =， 所以112DO BD ==. 又2MO =222DO MO DM +=，所以BD MO ⊥.在菱形ABCD 中， BD AC ⊥.又AC MO O ⋂=，所以BD ⊥平面PAC .又BD ⊂平面BDM ，所以平面PAC ⊥平面BDM .（Ⅲ）因为BD ⊥平面PAC ， PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥又因为PD DC =， M 为PC 中点，所以DM PC ⊥又DM BD D ⋂=，所以PC ⊥平面BDM ，则BM 为直线BC 在平面BDM 内的射影，所以平面CBM ∠为直线BC 与平面BDM 的所成角因为2PC =，所以1CM =，在Rt CBM V 中， 1sin 2CM CBM BC ∠==，所以6CBM π∠= 所以直线BC 与平面BDM 的所成角为6π. 12．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)侧棱AC 上存在点P ，使得BP P 平面AOF ，且12AP PC =．【解析】试题分析：（1）要证1A O CE ⊥，只需证明1A O ⊥平面BCDE 即可；（2）连结BD ,因为四边形BCDE 为菱形，所以CE BD ⊥,因为,O F 分别为,BE DE 的中点，所以//OF BD ，且CE OF ⊥，由（1）知AO ⊥平面BCDE ,进而证得CE ⊥平面AOF ，从而证的平面AOF ⊥平面ACE ；（3）设CE 与,BD OF 的交点分别为,M N 连结,AN PM ，因为四边形BCDE 为菱形， ,O F 分别为,BE DE 的中点，所以12NM MC =，设P 为AC 上靠近A 点三等分点，则12AP NM PC MC ==，所以//PM AN ,进而得到//BP 平面AOF ． 试题解析：解：（1）因为ABE ∆为等边三角形, O 为BE 的中点,所以AO BE ⊥又因为平面ABE ⊥平面BCDE ,平面ABE ⋂平面BCDE BE =, AO ⊂平面ABE ,所以AO ⊥平面BCDE ,又因为CD ⊂平面BCDE ,所以AO CD ⊥.（2）连结BD ,因为四边形BCDE 为菱形，所以CE BD ⊥,因为,O F 分别为,BE DE 的中点,所以,OF BD CE OF ∴⊥P ，由（1）知AO ⊥平面BCDE ,CE ⊂Q 平面BCDE ,,,AO CE AO OF O CE ∴⊥⋂=∴⊥Q 平面AOF ,又因为CE ⊂平面ACE ,所以平面AOF ⊥平面ACE .（3）当点P 为AC 上的三等分点（靠近A 点）时, BP P 平面AOF .证明如下：设CE 与,BD OF 的交点分别为,M N 连结,AN PM .因为四边形BCDE 为菱形,,O F 分别为,BE DE 的中点,所以12NM MC =,设P 为AC 上靠近A 点三等分点，则12AP NM PC MC ==,所以PM AN P ,因为AN ⊂平面,AOF PM ⊄平面 ,AOF PM ∴P 平面AOF .由于,BD OF OF ⊂P 平面,AOF BD ⊄平面,AOF BD ∴P 平面AOF ,即BM P 平面AOF , BM PM M ⋂=Q ,所以平面BMP P 平面AOF ,BP ⊂Q 平面,BMP BP ∴P 平面AOF .可见侧棱AC 上存在点P ,使得BP P 平面AOF ,且12AP PC =.考点：直线与平面垂直的判定与证明；探索性问题的求解.13．（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，且21PQPC =．【解析】试题分析：（1）要证线面平行，就要证线线平行，由线面平行的性质定理知，这条平行线是过直线BE 的平面ABE 到平面PAD 的交线，由于E 是中点，2DC AB =，因此辅助线作法易知，只要取PD 中点F ，AF 就是要找的平行线；（2）要证线面垂直，就是要证线线垂直，由已知易得BC PD ⊥，因此还要证BC BD ⊥（或者BC PB ⊥），这在ΔBCD 中由勾股定理可证；（3）求二面角问题，可通过参阅空间直角坐标系用空间向量法求解，即以,,DA DC DP 为坐标轴建立坐标系，写出各点坐标，并设设PQ PC λ=u u u r u u u r，(0,1)λ∈，所以(0,2,1)Q λλ-，求出两平面QBD ，PBD 的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补可得． 试题解析：（1）取PD 的中点F ，连结,EF AF ，因为E 为PC 中点，所以//EF CD ，且112EF CD ==，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =， 所以//EF AB ，EF AB =，四边形ABEF 为平行四边形，所以//BE AF ，因为BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，所以//BE 平面PAD ．（2）平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，所以PD ⊥平面ABCD ， 所以PD AD ⊥．如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -．则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1).A B C P(1,1,0)DB =u u u r ，(1,1,0)BC =-u u u r ，所以0BC DB ⋅=u u u r u u u r ，BC DB ⊥，又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD BC ⊥，因为PD BD D ⋂=所以BC ⊥平面PBD ．（3）平面PBD 的法向量为(1,1,0)BC =-u u u r，(0,2,1)PC =-u u u r ，设PQ PC λ=u u u r u u u r ，(0,1)λ∈所以(0,2,1)Q λλ-，设平面QBD 的法向量为(,,)a b c n =，(1,1,0)DB =u u u r ，(0,2,1)DQ λλ=-u u u r ，由0DB ⋅=u u u r n ，0DQ ⋅=u u u r n ，得02(1)0a b b c λλ+=⎧⎨+-=⎩， 令1b = 所以2(1,1,)1λλ--n =，所以cos 452BC BC ⋅===o u u u r u u u r n n 注意到(0,1)λ∈，得1λ=．所以在线段PC 上存在一点Q ，使得二面角Q BD P --为45o ，此时1PQPC =考点：线面平行的判断，线面垂直的判断，二面角．。