立体几何判定平行垂直的20个判定定理
立体几何所有定理和判定
立体几何所有定理和判定立体几何是数学中的一个重要分支，研究的是三维空间中的图形和物体的性质。
在立体几何中，有许多重要的定理和判定，它们帮助我们理解和解决与立体图形相关的问题。
本文将介绍一些主要的定理和判定。
一、平行线与平面的关系1. 平行线定理：如果两条线与第三条线平行，则这两条线也互相平行。
2. 平行线截割定理：如果一对平行线被一组截线截割，则所得的对应线段成比例。
3. 平行线的垂直定理：如果两条平行线被一条截线垂直截断，则所得的对应线段也相互垂直。
二、线段与角的关系1. 点到直线的距离定理：一个点到一条直线的距离等于这条直线上任意一点到该点的距离。
2. 线段相等定理：如果两个线段的长度相等，则它们是相等的。
3. 角的平分线定理：如果一条直线将一个角分成两个相等的角，则这条直线是该角的平分线。
三、平面图形的性质1. 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180度。
2. 直角三角形定理：如果一个三角形的一个角是直角，则它是直角三角形。
3. 等腰三角形定理：如果一个三角形的两边相等，则它是等腰三角形。
4. 等边三角形定理：如果一个三角形的三边都相等，则它是等边三角形。
四、立体图形的性质1. 正方体的性质：正方体是一种六个面都是正方形的立体图形。
2. 立方体的性质：立方体是一种六个面都是正方形且相互平行的立体图形。
3. 正四面体的性质：正四面体是一种四个面都是等边三角形的立体图形。
五、空间图形的判定1. 平行四边形的判定：如果四边形的对边平行，则它是平行四边形。
2. 正多面体的判定：如果一个多面体的每个面都是正多边形且每个顶点的相邻边相等，则它是正多面体。
3. 立体图形的对称性判定：如果一个立体图形可以通过某种变换与自身完全重合，则它具有对称性。
以上只是立体几何中的一部分定理和判定，它们是我们理解和解决立体图形问题的基础。
通过运用这些定理和判定，我们可以更好地分析和推导立体图形的性质，从而解决各种与立体图形相关的问题。
立体几何中的平行问题总结
立体几何中的平行问题总结1. 空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点；2. 平行直线（1）公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：.说明：（1）公理4表述的性质叫做空间平行线的传递性；（2）几何学中，通常用互相平行的直线表示空间里一个确定的方向；（3）如果空间图形的所有点都沿同一个方向移动相同的距离到的位置，则就说图形作了一次平移3. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等4. 直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类.它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，，.5. 线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.推理模式：.证明：假设直线不平行于平面，∵，∴，若，则和矛盾，若，则和成异面直线，也和矛盾，∴.6. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.推理模式：.证明：∵，∴和没有公共点，又∵，∴和没有公共点；和都在内，且没有公共点，∴.7. 平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行.图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的.8. 平行平面的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行.推理模式：，，，，.分析：这个定理从正面证（用定义）比较困难，所以考虑用反证法.启发：（1）如果平面和平面不平行，那么它们的位置关系怎样?（2）如果平面和平面相交，那么交线和平面中的直线与各有怎样的位置关系?（3）相交直线与都与交线平行，这合理吗?为什么?证明：假设，∵，，∴，同理.即在平面内过点有两条直线与平行，与公理4矛盾，∴假设不成立，∴.推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行.推理模式：.9. 平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.推理模式：.证明：∵，∴没有公共点，又∵，∴.同理可得面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.推理模式：.。
立体几何平行垂直8个定理
立体几何平行垂直8个定理哎，说起立体几何里的平行垂直那8个定理，简直就是我学生时代的一块心病啊！那时候，每次数学课讲到这儿，我就感觉自己的大脑像是被施了魔法，完全转不过来弯儿。
不过呢，现在回想起来，那段日子也挺有意思的，毕竟，谁能说学数学不是一场奇妙的冒险呢？首先啊，咱们得说说那个“平行公理”。
你知道吗，它就像是生活中的一条隐形规则，告诉你“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。
听起来挺绕的，但想象一下，你站在一条笔直的路上，想要找一条和这条路既不交叉也不重合的新路走，那你就只能选择平行于这条路的那一条，别无选择。
是不是觉得，数学有时候也挺有哲理的？接下来，就是那个“平行线的性质定理”了。
这个定理就像是平行线之间的秘密约定，告诉你“两直线平行，同位角相等”。
每次做题的时候，我就想象自己变成了侦探，在两条平行线之间寻找那些隐藏的“同位角”，然后像解开谜题一样，把它们一一对应起来。
那种成就感，简直比找到宝藏还要让人兴奋！还有那个“平行于同一条直线的两直线平行”，这个定理简直就是“物以类聚，人以群分”的数学版。
你想啊，如果两条直线都愿意和同一条直线做朋友，那它们之间肯定也合得来，对吧？这种逻辑上的简单明了，让我对数学又多了几分好感。
说到垂直，那“垂直平分线的性质定理”可就不能不提了。
它就像是足球场上的裁判，公正无私地告诉你“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”。
每次看到这样的题目，我就感觉自己像是在进行一场公平的较量，只要我按照规则来，就一定能找到正确答案。
还有那个“直线垂直于平面的判定定理”，它就像是建筑工人手里的锤子，坚定地告诉你“一条直线如果垂直于平面内两条相交的直线，那么这条直线与这个平面垂直”。
每次想到这个定理，我就仿佛看到了那些高楼大厦拔地而起，每一块砖石都严丝合缝，让人不得不感叹数学的神奇。
“平面与平面垂直的判定定理”也挺有意思的，它就像是两个好朋友之间的默契，告诉你“如果一个平面过另外一个平面的垂线，那么这两个平面垂直”。
垂线的判定定理
垂线的判定定理是几何学中的一个重要概念，它涉及到直线与平面之间的垂直关系。
在三维空间中，垂线是指直线与平面相交，并且与平面内的任意一条直线都垂直的直线。
以下是一些关于垂线的判定定理：
1. 定义判定定理：如果一条直线与平面内的任意两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。
2. 性质定理：
- 性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。
- 性质定理2：经过空间内一点，有且只有一条直线垂直于已知平面。
- 性质定理3：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
- 性质定理4：垂直于同一平面的两条直线平行。
3. 三垂线定理：在平面几何中，如果一条直线与平面内的一条斜线的影子垂直，那么这条直线与斜线垂直。
4. 平行线公理：在欧几里得几何中，如果两条直线在同一平面内，且任意一条直线与平面内的另一条直线都垂直，则这两条直线平行。
5. 垂线段定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段是最短的。
这些定理是解决与垂线相关的问题的基础，并且在几何学的学习和应用中非常重要。
在实际应用中，这些定理可以帮助我们判断直线的垂直关系，解决诸如建筑设计、工程测量和立体几何分析等问题。
完整版)立体几何中平行与垂直证明方法归纳
完整版)立体几何中平行与垂直证明方法归纳本文系统总结了立体几何中平行与垂直证明方法，适合高三总复时学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。
以下是常见证明方法：一、“平行关系”常见证明方法一）直线与直线平行的证明1.利用平行四边形的对边互相平行的特性；2.利用三角形中位线性质；3.利用空间平行线的传递性（即公理4）；4.利用直线与平面平行的性质定理；5.利用平面与平面平行的性质定理；6.利用直线与平面垂直的性质定理；7.利用平面内直线与直线垂直的性质；8.利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点。
二）直线与平面平行的证明1.利用直线与平面平行的判定定理；2.利用平面与平面平行的性质推论；3.利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点。
三）平面与平面平行的证明1.利用平面与平面平行的判定定理；2.利用某些空间几何体的特性；3.利用定义：两个平面没有公共点。
二、“垂直关系”常见证明方法一）直线与直线垂直的证明1.利用直角三角形的两条直角边互相垂直的特性；2.看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直；3.利用直线与平面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。
1.利用空间几何体的特性：例如长方体侧棱垂直于底面。
2.观察直线与平面所成角度：若直线与平面所成角为90度，则该直线垂直于平面。
3.利用直线与平面垂直的判定定理：若一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线垂直于此平面。
4.利用平面与平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，则在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。
5.利用常用结论：例如若一条直线平行于一个平面的垂线，则该直线也垂直于此平面。
立体几何判定方法汇总
立体几何有关概念与公式一、判定两线平行的方法1、平行于同一直线的两条直线互相平行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法1、定义：没有公共点2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行3 垂直于同一直线的两个平面平行4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法1、定义：成角2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法1、定义：两面成直二面角,则两面垂直2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质1、二面角的平面角为2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面九、各种角的范围1、异面直线所成的角的取值范围是：2、直线与平面所成的角的取值范围是：3、斜线与平面所成的角的取值范围是：4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：十、三角形的心1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点3、重心：中线的交点4、垂心：高的交点十一、棱柱及有关概念（一）棱柱的判断：看面：有两个面互相平行，其余各面为四边形．看线：每相邻两个四边形的公共边都互相平行．(二)棱柱的分类棱柱根据侧棱和底面的关系分为两种：一种当侧棱与底面不垂直时，称为斜棱柱；另一种当侧棱与底面垂直时，称为直棱柱．直棱柱的面若为正多边形则称为正棱柱．十二、棱锥及有关概念一）正棱锥的概念有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．二）正棱锥的性质．（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形．（2）正棱锥的斜高相等．（3）正棱锥中的几个重要直角三角形及两类角：①正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影（正多边形的半径）组成一个直角三角形．②正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影（正多边形的边心距）组成一个直角三角形．③正棱锥的侧棱、斜高和正多边形边长的一半组成一个直角三角形．④正棱锥底面内，正多边形的半径、边心距和边长的一半组成一个直角三角形．⑤正棱锥的侧棱与底面所成的角；侧面与底面所成的角．十三、球的有关概念1、半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。
立体几何平行与垂直所有概念、公理、定理汇总
立体几何的概念、公理、定理（一）立体几何三公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．,A a A a公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
A、B、C不在同一直线上有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
A a 有且只有一个平面，使推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
a∩b＝A有且只有一个平面，使推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
a∥b＝A有且只有一个平面，使（二）空间直线公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
a∥bb∥c等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
cbaaA∈a，B∈aA∈，B∈aA∈aababcba//a c////////AB A BAC A C///BAC B A CA∈PP（三）直线和平面直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和 这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
定理 ：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面。
定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面， 它也垂直于另一个平面。
直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面， 那么这两条直线平行。
射影定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中， （1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； （2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； （3）垂线段比任何一条斜线段都短。
立体几何平行垂直问题专题复习
（I）求证：PB 【变式4】如图1所示，正 的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点。现将 沿CD翻折，使翻折后平面ACD 平面BCD（如图2）
（1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（2）求三棱锥C-DEF的体积。
二、线面平行与垂直的性质
例3、如图4，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， 是等边三角形，已知 ， ．
（1）求证： 平面 ；（2）求三棱锥 的体积．
例4、如图，四棱锥P—ABCD中， 平面ABCD，底面 为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点， （I）求证： ； （II）求三棱锥C—DEG的体积；
（III）AD边上是否存在一点M，使得 平面MEG。若存在，求AM的长；否则，说明理由。
平行四边形 ， 平面 ， 平面 ， 平面 。 （4分）
（2）等腰直角三角形 中 为斜边的中点，
又 直三棱柱 ， 面 面 ，
面 ，
设
又 面 。 （8分）
（3）由于点 是线段 的中点，故点 到平面 的距离是点 到平面 距离的 。 ，所以三棱锥 的高为 ；在 中， ，所以三棱锥 的底面面积为 ，故三棱锥 的体积为 。（12分）
四、立体几何中的最值问题
例7.图4，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A1A=AB=2.
(1)求证: BC⊥平面A1AC；
(2)求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.
例8.如图，在 交AC于点D,现将
（1）当棱锥 的体积最大时，求PA的长；
（2）若点P为AB的中点，E为
2．平面与平面垂直的性质定理
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面面平行的性质：由面面平行 得线面垂直。
a
a ，a
面面垂直的判定定理：一个平
面经过另外一个平面的垂线， 则这两个平面互相垂直。
a
β
α
a // , a ⊥
补充：如果一个平面与另一个
平面的垂线平行，那么这两个 平面互相垂直。
基本性质
平面的基本性质
图示
公理 1：如果一条直线上的两个点在一个平面 内,那么这条直线上所有点都在这个平面内.
补充：三个两两垂直的平面的
交线垂直
线面垂直的判定定理：一条直
线与平面内两条相交直线都 相交,那么这条直线与这个平 面垂直。
面面垂直的性质定理：两个平
面垂直,在第一个平面内垂直 于交线的直线垂直于另一个 平面。
a ⊥ ， a // b b⊥
线面垂直的性质：由线线平行 得线面垂直。
a ⊥ ， // a ⊥
a
O
b
b
b'
a
a'
a
O a'
B
O
A
由一点出发的 两条射线组成 的图形
异面直线所成的 角 ： 作 a`/ / a ，
b`/ / b ， a`,b` 所成
的角（锐角或直 角）为异面直线所 成的角
直线与平面所成 的角：a’是 a 在 平 面 上 的 射 影 ,a 与 a’所成锐角为 直线与平面所成 的角。
线面平行的性质定理：如果一条 直线和一个平面平行，经过这条 直线的平面和这个平面相交，那 么这条直线和交线平行。
线面垂直的性质定理：如何两条 直线都垂直于同一个平面，那么 这两条直线平行。
// , a, b a // b
面面平行的性质定理：一个平面
同时与两个平行平面相交，那么 这两条交线平行。
图示
a b
c
a
b
线//线 （4 个）
a
b
线//面 （2 个）
a
b
a
b
a
ห้องสมุดไป่ตู้
a
b
面//面 （3 个）
a
平行关系的判定
符号
a // b , a // c b // c
a //, a , b a // b
a ⊥ ，b⊥ a // b
文字
公理 4：平行于同一条直线的两 条直线互相平行
a ⊥ ，b a b
线面垂直的性质定理：一条直
线若垂直于一平面,则直线垂 直于这个平面内任意一条直 线。
a ⊥ c ， a // b b ⊥ c
两条平行直线，一条垂直第三 条直线，则另一条也垂直于第 三条直线。
a ,b ,a b o， c a，c b c
, b,a b a⊥
图示
P
a
O
A
P
a
O
A
a b
a
b
c
c
Oa
b
a
b
a
b
a
垂直关系的判定
符号
文字
PA⊥ ， a ， a ⊥ PO AO⊥ a
三垂线定理：平面内一直线若
与斜线的射影垂直则它与斜 线垂直。
PA⊥ ， a ， AO ⊥ a a ⊥ PO
三垂线定理的逆定理：平面内
一直线若与斜线垂直则与斜 线的射影垂直。
平行直线和平面 的距离
平行平面间距离
二面角的平面角：O 在棱 上，OA 在α内，OA⊥棱， OB 在β内，OB⊥棱，∠ AOB 是二面角的平面角。
0 180 0 90
0 90
0 180
空间距离
距离图示 定义
b
a
a
d
a' b
a d
a'
d
两平行直线间 的距离
异面直线间的距 离：两条异面直线 的公垂线段的长 度。
面面平行的判定定理：一个平面
内两条相交直线分别与另一个 平面平行,那么这两个平面平 行.
a ⊥,a ⊥ //
课本 P35 例 1：垂直于同一直线 的两个平面平行。
// , // //
补充：平行于同一平面的两个平
面平行。
平行关系的判定
线⊥线 （5 个）
线⊥面 （4 个）
面⊥面 （2 个）
a // b ， b ， a a //
// ， a a //
a ,b ,ab o, a // , b // //
线面平行的判定定理：若平面外
的一条直线与平面内的一条直 线平行，那么这条直线与这个平 面平行。
面面平行的性质：两个平面平行,
在一个平面内的任意一条直线平行 于另外一个平面。
公理 2：如果两个平面有一个公共点,那么它们 有且仅有一条通过这个点的公共直线.
公理 3：经过不在同一直线上的三点有且仅有 一个平面.
作用 判断线在面内的依据
判断两个平面相交的 依据；证明点在线上的 依据;确定交线位置
确定一个平面的依据
平面图形
空间角
异面直线
空间图形 直线和平面
两个平面
夹角图示 定义 范围