2019届高三理科数学好教育云平台7月份特供卷(一)(解析版附后)
学2019届高三7月段考数学(理)试题(附答案)
新余四中2019届（7月份）月考数学理科试题总分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数(i 为虚数单位)的共轭复数是( )A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i2．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则( )A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5} 3．已知集合{}{}0,1,2,3,|13A B x x ==-≤<，则A B ⋂=( ) A. {}1,2 B. {}0,1,2 C. {}0,1,2,3 D. ∅ 4．“x ＞1”是“220x x +>”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5．若方程C ： 221yx a+=（a 是常数）则下列结论正确的是（ ）A. 0a ∀>，方程C 表示椭圆B. 0a ∀<，方程C 表示双曲线C. 0a ∃<，方程C 表示椭圆D. a R ∃∈，方程C 表示抛物线 6．函数的定义域是（ ）A.B.C.D.7．已知奇函数满足，且当时，，则（ ） A. 41- B. 31-C.31 D.218．已知奇函数满足，则（ ）A. 函数是以2为周期的周期函数B. 函数是以为周期的周期函数C. 函数是奇函数 D. 函数是偶函数9．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过动点，法向量为的直线的点法式方程为，化简得，类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面的点法式方程应为（ ）A.B.C. D.10．定义在上的偶函数在单调递增，且，则的的取值范围是（ ）A.B.C.D.11．已知椭圆的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（ ）A.B.C. D.12．已知函数，在区间上任取三个数均存在以为边长的三角形，则的取值范围是（ ）A. B.C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上． 13．曲线在处的切线方程是__________． 14．已知抛物线的准线方程为，点为抛物线上的一点，则点到直线的距离的最小值为_________.15．已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是__________．16．设函数c bx x x x f ++=)(，给出四个命题： ①0=c 时，有)()(x f x f -=-成立；②c b ,0=﹥0时，方程0)(=x f ，只有一个实数根； ③)(x f y =的图象关于点（0,c ）对称； ④方程0)(=x f ，至多有两个实数根.上述四个命题中所有正确的命题序号是__________．三、解答题:（共6题,10+12+12+12+12+12共70分本大题共六小题，解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤。
2019届高三文科数学高三好教育云平台7月特供卷(二)(解析版)
2019届高三文科数学高三好教育云平台7月特供卷（二）（解析版）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|110P x x =∈≤≤N ，集合{}2|60Q x x x =∈--<R ，则P Q I 等于( ) A ．{}1,2,3 B ．{}1,2C ．[]1,2D ．[)1,3【答案】B【解析】P ={}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，()2,3Q =-，∴{}1,2P Q =I ．故选B ． 2．复数z 满足()2i 3i z +=-，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由()2i 3i z +=-，得()()()()3i 2i 3i 55i1i 2i 2i 2i 5z ----====-++-， 则复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限．故选D ．3．某公司的班车分别在7:30，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过15分钟的概率是（ ）A ．13B ．38C ．23D ．58【答案】B【解析】设小明到达时间为y ，当y 在8:15至8:30时，小明等车时间不超过15分钟，故153408P ==，选B ． 4．已知曲线()2ln x f x x a=+在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为34π，则a 的值为( )A ．1B ．4-C ．12- D ．1-【答案】D【解析】函数()2ln x f x x a=+()0x >的导数()12x f x x a '=+，∵函数()f x 在1x =处的倾斜角为34π，∴()11f '=-，∴211a+=-，∴1a =-．故选D ．5．已知平面向量a ，b 满足3=a ，2=b ，a 与b 的夹角为120︒，若()m +⊥a b a ，则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．32D ．1【答案】A【解析】∵=3a ，=2b ，a 与b 的夹角为120°，∴⋅a b =⋅a b cos120°=13232⎛⎫⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．∵()m +⊥a b a ，∴()m +⋅=a b a 22330m m +⋅=-=a a b ，解得3m =．故选A ．6．设{}n a 是公差不为0的等差数列，满足22224567a a a a +=+，则{}n a 的前10错误！未找到引用源。
2019届高三理科数学高三好教育云平台8月份特供卷(三)(解析版)
2019届高三理科数学高三好教育云平台8月份特供卷（三）（解析版）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(1)1z -=--i i ，则1z +=（ ） A ．0 B ．1 CD ．2【答案】C2．已知U =R ，函数ln(1)y x =-的定义域为M ，2{|0}N x x x =-<，则下列结论正确的是（ ） A ．MN N =B ．()UMN =∅ðC ．M N U =D ．()U M N ⊆ð【答案】A3．已知a 、b>”是“ln ln a b >”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B4．若变量x ，y 满足10020015x y x y y -≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩，则23x y +的最大值为（ ）A ．20B ．35C ．45D ．55【答案】D 5．已知03x π=是函数()sin(2)f x x ϕ=+的一个极大值点，则()f x 的一个单调递减区间是（ ） A ．2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭ D ．2,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭【答案】B6．已知1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点，若在双曲线上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，且满足12212PF F PF F ∠=∠，那么双曲线的离心率为（ ）A1 B ．2 CD【答案】A7．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ）A ．25B ．1225C ．1625D ．45【答案】C8．已知1tan 2x =，则2sin ()4x π+=（ ） A ．110 B ．15 C ．35 D ．910【答案】D9．执行如图所示的程序框图，输出的z 值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】D10．某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．13πB ．16πC ．25πD ．27π【答案】C11．给出下列函数：①()sin f x x x =；②()e x f x x =+；③)()ln f x x =．0a ∃>，使得()d aaf x x -⎰的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B12．设直线y t =与曲线2(3)y x x =-的三个交点分别为(,)A a t 、(,)B b t 、(,)C c t ，且a b c <<．现给出如下结论：①abc 的取值范围是(0,4)；②222a b c ++为定值；③c a -有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．5展开式的常数项是 ．【答案】10-14．已知向量(1,2)=a ，(1,0)=b ，(3,4)=c ，若λ为实数，()λ+⊥a b c ，则λ的值为 ．【答案】311-15．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“菱草形段”第一个问题“今有菱草六百八十束，欲令‘落一形’捶（同垛）之，问底子（每层三角形边菱草束数，等价于层数）几何？”中探讨了“垛积术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，……，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层菱草束数），则本问题中三角垛底层菱草总束数为 ．【答案】120 16．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，M 是BC 的中点，2BM =，AM c b =-，则ABC △面积的最大值为 ．【答案】三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32()n n a S n *=-∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T ．【答案】（1）112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）42419392nn T n ⎛⎫⎛⎫=-+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】（1）当1n =，1113232a S a =-=-，解得11a =；当2n ≥时，32n n a S =-，1132n n a S --=-，两式相减得13n n n a a a --=，化简得112n n a a -=-，所以数列{}n a 是首项为1，公比为12-的等比数列．所以112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）由（1）可得112n n na n -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，所以112n n n b na n -⎛⎫==⋅- ⎪⎝⎭，解法1：012111111232222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1211111112(1)22222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+-⋅-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得12131111122222n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+--- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122121233212nn nn n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--=-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭， 所以数列{}n na 的前n 项和42419392nn T n ⎛⎫⎛⎫=-+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解法2：因为11112212412392392n n nn n n n n b n c c --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=-=-⋅--+⋅- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以122314241()()()9392nn n n T c c c c c c n +⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．18．（12分）未来创造业对零件的精度要求越来越高．3D 打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有发展空间．某制造企业向A 高校3D 打印实验团队租用一台3D 打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10个零件，度量其内径的茎叶图如图（单位：μm ）．（1）计算平均值μ与标准差σ；（2）假设这台3D 打印设备打印出品的零件内径Z 服从正态分布()2,N μσ，该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：μm ）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试？为什么？参考数据：()220.9544P Z μσμσ-<<+=，()330.9974P Z μσμσ-<<+=，30.95440.87=，40.99740.99=，20.04560.002=． 【答案】（1）105m μ，6m μ；（2）需要进一步调试，见解析．【解析】（1）97979810210510710810911311410510m μμ+++++++++==，()()()()2222222222288730234893610σ-+-+-+-++++++==，所以6m σμ=．（2）结论：需要进一步调试．理由如下：如果机器正常工作，则Z 服从正态分布()2105,6N ，()()33871230.9974P Z P Z μσμσ-<<+=<<=， 零件内径在()87,123之外的概率只有0.0026，而()8687,123∉，根据3σ原则，知机器异常，需要进一步调试．19．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥侧面11ABB A ，1AC AA =， 1160AAC ∠=︒，1AB AA ⊥，H 为棱1CC 的中点，D 在棱1BB 上，1A D ⊥面1AB H ．（1）求证：D 为1BB 的中点；（2）求二面角11C A D A --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）连接1AC ，因为1ACC △为正三角形，H 为棱1CC 的中点， 所以1AH CC ⊥，从而1AH AA ⊥，又面11AA C C ⊥侧面11ABB A ， 面11AA C C侧面111ABB A AA =，AH ⊂面11AA C C ，所以AH ⊥面11ABB A ．以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -如图所示，不妨设AB 12AA =，()10,2,0A，)12,0B ，设),0Dt ，则()12,2,0AB =，()12,2,0A D t =-，因为1A D ⊥平面1AB H ，1AB ⊂平面1AB H ，所以11A D AB ⊥， 所以()112220AB A D t ⋅=+-=，解得1t =，即)D，所以D 为1BB 的中点．（2）(1C ，()12,1,0A D =-，(110,A C =-，设平面11C A D 的法向量为(),,x y z =n ，则11100A D AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即00y y -=-=⎪⎩，解得y z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令3x =，得(=n，显然平面1AA D 的一个法向量为(AH =，所以cos ,33AH AH AH⋅<>===n n n所以二面角11C A D A --． 20．（12分）已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ，且焦距为2，直线l 交椭圆Γ于E 、F两点（点E 、F 与点A 不重合），且满足AE AF ⊥． （1）求椭圆的标准方程；（2）O 为坐标原点，若点P 满足2OP OE OF =+，求直线AP 的斜率的取值范围． 【答案】（1）22143x y +=；（2）⎡⎢⎣⎦．【解析】（1）依题意，2a =，22c =，则1c =，解得23b =，所以椭圆Γ的标准方程为22143x y +=．（2）当直线l 垂直于x 轴时，由2223412y x x y =-+⎧⎨+=⎩消去y 整理得271640x x -+=， 解得27x =或2，此时2,07P ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AP 的斜率为0； 当直线l 不垂直于x 轴时，设11(,)E x y ，22(,)F x y ，直线l ：(2)y kx t t k =+≠-， 由223412y kx tx y =+⎧⎨+=⎩，消去y 整理得()2223484120k x ktx t +++-=， 依题意()()2222644344120k t k t ∆=-+->，即()22430k t -+>*，且122834ktx x k +=-+，212241234t x x k -=+，又AE AF ⊥，∴()()()()()()2212121212274162222034t k ktAE AF x x y y x x kx t kx t k++⋅=--+=--+++==+， ∴2274160t k kt ++=，即()()7220t k t k ++=，解得27kt =-满足()*，∴()121222862,,3434kt t OP OE OF x x y y k k ⎛⎫=+=++=- ⎪++⎝⎭， 故2243,3434kt t P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． 故直线AP 的斜率2223313447846872834APtt k k k kt k kt k k k k+==-==+++--++， 当0k <时，78k k+≤-0AP k ≤<；当0k >时，78k k+≥0AP k <≤综上，直线AP 的斜率的取值范围为⎡⎢⎣⎦．21．（12分）设常数0λ>，0a >，2()ln x f x a x xλ=-+．（1）当34a λ=时，若()f x 的最小值为0，求λ的值；（2）对于任意给定的正实数λ、a ，证明：存在实数0x ，当0x x >时，()0f x >． 【答案】（1）23e ；（2）见解析． 【解析】（1）()()()()()()2222222222'()x x x x x a x a x x a f x x x x x x x λλλλλλλ+-+-++=-=-=+++ ()()322222x a x ax a x x λλλλ+---=+，将34a λ=代入得()()()()233223224934563'()44x x x x x x f x x x x x λλλλλλλλ-+++--==++， 由'()0f x =，得x λ=，且当()0,x λ∈时，'()0f x <，()f x 递减；(),x λ∈+∞时，'()0f x >，()f x 递增；故当x λ=时，()f x 取极小值13()ln 24f λλλλ=-，因此()f x 最小值为13()ln 24f λλλλ=-，令()0f λ=，解得23e λ=．（2）因为22()ln ln ln x f x a x x a x x a x x x λλλλλ=-=-+->--++，记()ln h x x a x λ=--，故只需证明：存在实数0x ，当0x x >时，()0h x >， )()ln ln h x x a x x ax λλ=--=-+，设ln y x =，0x >，则1'y x=-=，易知当4x =时，min 22ln 20y =->，故ln 0y x >，又由0x λ-≥，即2x ≥⎝⎭，取20x =⎝⎭，则当0x x >时，恒有()0h x >， 即当0x x >时，恒有()0f x >成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线l 的方程为4y x =+，圆C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求直线l 与圆C 的交点的极坐标；（2）若P 为圆C 上的动点，求P 到直线l 的距离d 的最大值．【答案】（1）分别为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）2【解析】（1）直线l ：4y x =+，圆C ：()2224x y +-=，联立方程组()22424y x x y =+⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩或04x y =⎧⎨=⎩，对应的极坐标分别为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）设(2cos ,22sin )P θθ+，则14d θπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当cos 14θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d 取得最大值223．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()2f x x a =-+，()4g x x =+，a ∈R ． （1）解不等式()()f x g x a <+；（2）任意x ∈R ，2()()f x g x a +>恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）()1,-+∞；（2）()2,3-．【解析】（1）不等式()()f x g x a <+即24x x -<+， 两边平方得2244816x x x x -+<++，解得1x >-， 所以原不等式的解集为()1,-+∞．（2）不等式2()()f x g x a +>可化为224a a x x -<-++，又()()24246x x x x -++≥--+=，所以26a a -<，解得23a -<<，所以a 的取值范围为()2,3-．（2）易知()0,3B =，由题意可得2412x x x a -++<+在()0,3上恒成立，⇒241x x a -<+-在()0,3上恒成立1421-+<-<+-⇒a x x a x 在()0,3上恒成立，3->⇒x a 且5a x >-+在()0,3上恒成立⎩⎨⎧≥≥⇒50a a 5≥⇒a ．【广东省深圳外国语学校2019届高三分班考试数学（理）试题用稿】。
2019年高考好教育云平台高三最新信息卷理科数学(三)解析附后
2019年高考好教育云平台高三最新信息卷理科数学（三）解析附后第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·江师附中]集合{}12A x x =-≤≤，{} 1B x x =<，则()AB =R（ ）A ．{}1x x >B ．{}1x x ≥C ．{}12x x <≤D ．{}12x x ≤≤2．[2019·呼和浩特调研]若复数()()2i 1i a ++（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上， 则实数a 为（ ）A ．2-B ．2C ．12- D ．123．[2019·蚌埠质检]某电商为某次活动设计了“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同．员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖．则他获得奖次的不同情形种数为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．244．[2019·惠来一中]平面向量a 与b 的夹角为π3，()2,0=a ，1=b ，则2-=a b （ ） A ．B C ．0 D ．25．[2019·江西联考]程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果1320S =，则判断框中应填入（ ）A ．12k ≤B ．11k ≤C ．10k ≤D ．9k ≤6．[2019·四川诊断]几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A ．729B ．428C ．356D ．2437．[2019·唐山一中]已知01b a <<<，则在b a ，a b ，a a ，b b 中最大值是（ ） A ．a b B ．a a C ．b a D ．b b8．[2019·宜宾诊断]已知直线1l ：360x y +-=与圆心为()0,1M 的圆相交于A ，B 两点，另一直线2l ：22330kx y k +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 面积的最大值为（ ） A ．B ．C ．)51 D ．)519．[2019·吉林实验中学]一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为1的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是（ ）A B C D10．[2019·四川诊断]已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象向左平移π6个单位后所得图象关于y 轴对称，则()f x 的单调递增区间为（ ） A ．5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z B ．πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈ZC ．5ππ2π,2π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z D ．π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z11．[2019·厦门一中]已知数列{}n a 的前n 项和为n S，直线y x =-2222n x y a +=+交于n A ，()*n B n ∈N 两点，且214n n n S A B =．若2123232n n a a a na a λ++++<+对任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．()0,+∞B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[)0,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12．[2019·四川诊断]已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '．当0x ≥时，不等式()()1xf x f x '>-．若对x ∀∈R ，不等式()()e e e 0x x x f ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·全国大联考]若实数x ，y 满足1223y x x y x y ≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩，则2z x y =+的最小值为_______．14．[2019·云师附中]在1和2之间插入2016个正数，使得这2018个数成为等比数列，则这个数列中所有项的乘积为______．15．[2019·南洋中学]已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()26f x x =-，则0x >时，不等式()f x x <的解集为_______．16．[2019·扬州中学]已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线MN 过2F ，且与双曲线右支交于M 、N 两点，若112cos cos F MN F F M ∠=∠，1112F M F N=，则双曲线的离心率等于_______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·保山统测]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． （1）求角C ；（2）若c =ABC △周长的最大值．18．（12分）[2019·柳州模拟]某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：该社团将该校区在2018年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．（1）以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2018年11月的空气质量情况，则2018年11月中有多少天的空气质量达到优良？（2）从这10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，求恰好有一天空气质量良的概率；（3）从这10天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽取空气质量良的天数，求ξ的分布列和期望．19．（12分）[2019·全国大联考]如图，在四棱锥-中，已知四边形ABCDS ABCD形，点O是AC的中点，点S在底面ABCD上的射影为点O，点P在棱SD上，且四棱锥S ABCD-的体．积为23（1）若点P是SD的中点，求证：平面SCD⊥平面PAC；（2）若SP SDλ=，且二面角P AC D--，求λ的值．20．（12分）[2019·柳州模拟]如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 为椭圆C 上任意一点，A 关于原点O 的对称点为B ，有114AF BF +=，且12F AF ∠的最大值π3． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若A '是A 关于x 轴的对称点，设点()4,0N -，连接NA 与椭圆C 相交于点E ，直线A E '与x 轴相交于点M ，试求12NF MF ⋅的值．21．（12分）[2019·石室中学]已知函数()22224ln x a af x x x a+-=-+，a ∈R ． （1）当1a =，函数()y f x =图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？ （2）讨论函数()y f x =的零点个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·执信中学]极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为πcos 3a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，射线π6θα=-，θα=，π3θα=+，π2θα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ．（1）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程． （2）求()f OA OC OB OD α=⋅+⋅，当ππ63α≤≤时，求()f α的值域．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·衡阳联考]已知函数()2f x x a x =++-． （1）若()f x 的最小值为3，求实数a 的值；（2）若2a =时，不等式()4f x ≤的解集为A ，当m ，n A ∈时，求证：42mn m n +≥+．2019年高考好教育云平台高三最新信息卷理 科 数 学（三）解析版第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·江师附中]集合{}12A x x =-≤≤，{} 1B x x =<，则()AB =R（ ）A ．{}1x x >B ．{}1x x ≥C ．{}12x x <≤D ．{}12x x ≤≤ 【答案】D【解析】∵{}1B x x =≥R ，∴(){}12AB x x =≤≤R，故选D ．2．[2019·呼和浩特调研]若复数()()2i 1i a ++（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上， 则实数a 为（ ）A ．2-B ．2C ．12- D ．12【答案】D【解析】∵()()()()2i 1i 2121i a a a ++=-++在复平面内所对应的点在虚轴上， ∴210a -=，即12a =．故选D ． 3．[2019·蚌埠质检]某电商为某次活动设计了“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同．员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖．则他获得奖次的不同情形种数为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．24 【答案】C【解析】根据题意，若员工甲直到第4次才获奖， 则其第4次才集全“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，则甲第4次获得的红包有3种情况，前三次获得的红包为其余的2种，有3226-=种情况， 则他获得奖次的不同情形种数为3618⨯=种；故选C ． 4．[2019·惠来一中]平面向量a 与b 的夹角为π3，()2,0=a ，1=b ，则2-=a b （ ） A ．B C ．0 D ．2 【答案】D【解析】∵()2,0=a ，∴2=a ，∴πcos 13⋅==a b a b ，∴22-==a b ．故选D ．5．[2019·江西联考]程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果1320S =，则判断框中应填入（ ）A ．12k ≤B ．11k ≤C ．10k ≤D ．9k ≤【答案】D【解析】初始值12S=，k=，1执行框图如下：k=-=；k不能满足条件，进入循环S=⨯=≠，12111112121320k=-=；k不能满足条件，进入循环；S=⨯=≠，1111012111321320k≤．k=-=，此时要输出S，因此k要满足条件，∴9S=⨯=，1019132101320故选D．6．[2019·四川诊断]几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．729 B．428 C．356 D．243【答案】D【解析】由题得几何体原图是如图所示的四棱锥P ABCD-，底面是边长为9的正方形，高9PA=，∴几何体的体积为2199=2433V =⋅⋅．故选D ．7．[2019·唐山一中]已知01b a <<<，则在b a ，a b ，a a ，b b 中最大值是（ ） A ．a b B ．a a C ．b a D ．b b 【答案】C【解析】∵01b a <<<，∴x y a =和x y b =均为减函数，∴b a a a >，a b b b <，又∵b y x =在()0,+∞为增函数，∴b b a b >，即在b a ，a b ，a a ，b b 中最大值是b a ，故选C ．8．[2019·宜宾诊断]已知直线1l ：360x y +-=与圆心为()0,1M 的圆相交于A ，B 两点，另一直线2l ：22330kx y k +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 面积的最大值为（ ） A ．B ．C ．)51D ．)51【答案】A【解析】以()0,1M 的圆的方程为()2215x y +-=，联立()2236015x y x y +-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得()2,0A ，()1,3B ，∴AB 中点为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， 而直线2l ：22330kx y k +--=恒过定点33,22⎛⎫⎪⎝⎭，要使四边形的面积最大， 只需直线2l 过圆心即可，即CD 为直径，此时AB 垂直CD ，AB =，∴四边形ACBD 的面积最大值为1122S AB CD =⨯⨯=A ．9．[2019·吉林实验中学]一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为1的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是（ ）A B C D【答案】C【解析】设正三棱锥底面中心为O ，连接OP ，延长CO 交AB 于D ，则32CD OC =．∵O 是三棱锥P ABC -的外接球球心，∴1OP OC ==，∴32CD =，∴BC =∴211133P ABC ABC V S OP -⋅=⨯=△．故选C ． 10．[2019·四川诊断]已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象向左平移π6个单位后所得图象关于y 轴对称，则()f x 的单调递增区间为（ ） A ．5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z B ．πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈ZC ．5ππ2π,2π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z D ．π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z【答案】B【解析】由()f x 的最小正周期为π，∴2ω=，()f x 的图象向左平移π6个单位后所得图象对应的函数为πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因其图象关于y 轴对称，∴πππ32k ϕ+=+，k ∈Z ， ∵π2ϕ<，则π6ϕ=，∴()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，得ππππ36k x k -+≤≤+，k ∈Z ． 即()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．故选B ．11．[2019·厦门一中]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，直线y x =-2222n x y a +=+交于n A ，()*n B n ∈N 两点，且214n n n S A B =．若2123232n n a a a na a λ++++<+对任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．()0,+∞B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[)0,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】圆心()0,0O 到直线y x =-0x y --的距离2d ==，由22212n n d A B r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且214n n n S A B =，得2222n n S a =++，∴()1422n n n S S S -=-++，即()1222n n S S -+=+且2n ≥；∴{}2n S +是以12a +为首项，2为公比的等比数列． 由2222n n S a =++，取1n =，解得12a =，∴()11222n n S a +=+⋅﹣，则122n n S +=-； ∴()11222222n n n n n n a S S n +-=-=--+=≥，12a =适合上式，∴2nn a =；设()2311232322232122n n n n T a a a n a n n -=++++⋅=+⨯+⨯++-⋅+⋅，()2341222232122n n n T n n +=+⨯+⨯++-⋅+⋅，∴()()1231111121222222222212212n n n n n n n n T n n n +++++--=++++-=-⋅=--⋅=-⋅--；∴()1122n n T n +=-⋅+，若2123232n n a a a na a λ++++<+对任意*n ∈N 恒成立，即()()2112222n n n λ+-⋅+<+对任意*n ∈N 恒成立，即112n n λ-->对任意*n ∈N 恒成立． 设112n n n b --=，∵1112222n nn n n n n nb b +----=-=，∴12341n n b b b b b b +=>>>><>，故n b 的最大值为23b b =， ∵2312b b ==，∴1λ2>．故选B ． 12．[2019·四川诊断]已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '．当0x ≥时，不等式()()1xf x f x '>-．若对x ∀∈R ，不等式()()e e e 0x x x f ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】∵()()1xf x f x '>-，∴()()10xf x f x '-+>，令()()1F x x f x =-⎡⎤⎣⎦，则()()()10F x xf x f x ''=+->， 又∵()f x 是在R 上的偶函数，∴()F x 是在R 上的奇函数， ∴()F x 是在R 上的单调递增函数，又∵()()e e e x x x f axf ax ax ->-，可化为()()e e 11x xf ax f ax ⎡⎤->-⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()e x F F ax >，又∵()F x 是在R 上的单调递增函数，∴e 0x ax ->恒成立， 令()e x g x ax =-，则()e x g x a '=-，∵0a >，∴()g x 在(),ln a -∞单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增， ∴()min ln 0g x a a a =->，则1ln 0a ->， ∴0e a <<，∴正整数a 的最大值为2．故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·全国大联考]若实数x ，y 满足1223y x x y x y ≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩，则2z x y =+的最小值为_______．【答案】11-【解析】作出不等式组1223y x x y x y ≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩表示的平面区域，如图中阴影部分所示．平移直线20x y +=，可知当直线过点C 时，z 有最小值，联立223x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得58x y =⎧⎨=-⎩，故()5,8C -，则z 的最小值为()52811+⨯-=-．故答案为11-．14．[2019·云师附中]在1和2之间插入2016个正数，使得这2018个数成为等比数列，则这个数列中所有项的乘积为______． 【答案】10092【解析】根据等比数列的性质可得120182201732016100910102a a a a a a a a ===⋯==， ∴这个数列中所有项的乘积为10092，故答案为10092．15．[2019·南洋中学]已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()26f x x =-，则0x >时，不等式()f x x <的解集为_______． 【答案】()2,+∞【解析】∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴当0x >时，0x -<， ∴()26f x x -=-，由奇函数可()26f x x =-+， ∴不等式()f x x <可化为206x x x>⎧⎨-+<⎩，解得2x >；∴0x >时，不等式()f x x <的解集为()2,+∞，故答案为()2,+∞．16．[2019·扬州中学]已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线MN 过2F ，且与双曲线右支交于M 、N 两点，若112cos cos F MN F F M ∠=∠，1112F M F N=，则双曲线的离心率等于_______． 【答案】2【解析】如图，由112cos cos F MN F F M ∠=∠可得112F MN F F M ∠=∠，∴1122F M F F c ==，1124F N F M c ==，由双曲线的定义可得222MF c a =-，242NF c a =-，∴64MN c a =-，在1F MN △中由余弦定理得()()()()()()2222212644362cos 226432c c a c c ac a F MN c c a c c a +---+∠==⨯⨯--，在12F F M △中由余弦定理得()()()()()222122222cos 22222c c a c c aF F M c c a c+---∠==⨯⨯-， ∵112cos cos F MN F F M ∠=∠，∴()22362322c ac a c ac c a c -+-=-，整理得223720c ac a -+=，∴23720e e -+=，解得2e =或13e =（舍去）．∴双曲线的离心率等于2．故答案为2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·保山统测]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． （1）求角C ；（2）若c =ABC △周长的最大值．【答案】（1）2π3C =；（2）4+ 【解析】（1）由22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得22cos a b c A +=． 根据正弦定理，得sin 2sin 2cos sin A B A C +=，化为()sin 2sin 2cos sin A A C A C ++=，整理得到sin 2sin cos A A C =-， ∵sin 0A >，故1cos 2C =-，又0πC <<，∴2π3C =． （2）由余弦定理有2222cos c a b ab C =+-，故2212a b ab ++=，整理得到()2212122a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，故4a b +≤，当且仅当2a b ==时等号成立，∴周长的最大值为224+++．18．（12分）[2019·柳州模拟]某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：该社团将该校区在2018年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．（1）以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2018年11月的空气质量情况，则2018年11月中有多少天的空气质量达到优良？（2）从这10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，求恰好有一天空气质量良的概率； （3）从这10天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽取空气质量良的天数，求ξ的分布列和期望． 【答案】（1）11月中平均有9天的空气质量达到优良；（2）()715P A =；（3）见解析． 【解析】（1）由频率分布直方图，知这10天中1级优1天，2级良2天，3-6级共7天． ∴这10天中空气质量达到优良的概率为310P =， ∵330910⨯=，∴11月中平均有9天的空气质量达到优良． （2）记“从10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，恰有一天空气质量优良”为事件A ，则()1228310C C 7C 15P A ⋅==，即恰好有一天空气质量良的概率715．（3）由题意得ξ的所有可能取值为0，1，2，()0328310C C 70C 15P ξ⋅===；()1228310C C 71C 15P ξ⋅===；()2128310C C 12C 15P ξ⋅===． ∴ξ的分布列为：∴77130121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=． 19．（12分）[2019·全国大联考]如图，在四棱锥S ABCD -中，已知四边形ABCD形，点O 是AC 的中点，点S 在底面ABCD 上的射影为点O ，点P 在棱SD 上，且四棱锥S ABCD -的体积为23．（1）若点P 是SD 的中点，求证：平面SCD ⊥平面PAC ；（2）若SP SD λ=，且二面角P AC D --，求λ的值． 【答案】（1）见解析；（2）14λ=． 【解析】（1）∵点S 在底面ABCD 上的射影为点O ，∴SO ⊥平面ABCD ， 又四边形ABCDS ABCD -的体积为23，∴1233SO =，即1SO =，∴SC ，又CD =P 是SD 的中点，∴CP SD ⊥，同理可得AP SD ⊥． 又AP CP P =，∴SD ⊥平面PAC ， 又SD ⊂平面SCD ，∴平面SCD ⊥平面PAC ．（2）如图，连接OB ，易得OB ，OC ，OS 互相垂直，分别以OB ，OC ，OS 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -， 则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()0,0,1S ，()1,0,0D -，∵SP SD λ=，点P 在棱SD 上，∴01λ≤≤，又()1,0,1SD =--，∴(),0,SP λλ=--，∴(),0,1P λλ--，设平面PAC 的法向量为(),,x y z =n ，则00AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，∵(),1,1AP λλ=--，()0,2,0AC =，∴()1020x y z y λλ⎧-++-=⎪⎨=⎪⎩，令z λ=，可得1x λ=-，∴平面PAC 的一个法向量为()1,0,λλ=-n ， 又平面ACD 的一个法向量为()0,0,1OS =，二面角P AC D --，∴,cos OS OS OS ⋅===⋅n n n，即28210λλ+-=， 解得14λ=（负值舍去）． 20．（12分）[2019·柳州模拟]如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 为椭圆C 上任意一点，A 关于原点O 的对称点为B ，有114AF BF +=，且12F AF ∠的最大值π3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若A '是A 关于x 轴的对称点，设点()4,0N -，连接NA 与椭圆C 相交于点E ，直线A E '与x 轴相交于点M ，试求12NF MF ⋅的值．【答案】（1）22143x y +=；（2）126NF MF ⋅=． 【解析】（1）∵点A 为椭圆上任意一点，A 关于原点O 的对称点为B ，∴12AF BF =， 又114AF BF +=，∴2124BF BF a +==，∴2a =， 又12F AF ∠的最大值为π3，知当A 为上顶点时，12F AF ∠最大， ∴2a c =，∴1c =，∴2223b a c =-=，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由题意可知直线NA 存在斜率，设直线NA 的方程为()4y k x =+，由()224143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得()2222433264120k x k x k +++-=．∵直线与椭圆交于两点，∴()()()22223244364120k k k ∆=-+->，解得1122k -<<．设()11,A x y ，()22,E x y ，则()11,A x y '-，且21223243k x x k -+=+，2122641243k x x k -=+，①直线A E '的方程为()211121y y y y x x x x ++=--， 令0y =，得()1212211112211121212248M x x x x x y x y x y x y x x y y y y x x ++-+=+==++++，② 由①②得()()222226412128132843M k k x k k --==--++．∴点M 为左焦点()11,0F -，因此13NF =，22MF =，∴126NF MF ⋅=．21．（12分）[2019·石室中学]已知函数()22224ln x a af x x x a +-=-+，a ∈R ．（1）当1a =，函数()y f x =图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？ （2）讨论函数()y f x =的零点个数． 【答案】（1）存在；（2）见解析．【解析】（1）()()21ln 1x f x x x -=-+，()()()2211x f x x x -'=+，()()()()()24211411x x x x f x x x --+--''=+， 则函数()f x '在()0,1单调递减，(1,2上单调递增，()2+∞上单调递减，∵1229f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，()10f '=，()94100f '=，x →+∞，()0f x '→，∴存在切线斜率()0,0.09k ∈，使得()()()123f x f x f x k '''===，()10,1x ∈，()21,4x ∈，()34,x ∈+∞， ∴函数()y f x =图象上是存在3条互相平行的切线．（2）()()()2242224x a a x a f x x x a+-+'=+，当0a ≤，有()22121201a a f a +-=-<+；()4424e 20e a f a =+>+， ()f x 在()0,+∞上单调递增；∴函数()f x 存在唯一一个零点在()41,e 内；当1a ≥，有0∆<，()22121201a a f a +-=-<+；()4424e 20e a f a =+>+， ()f x 在()0,+∞上单调递增；∴函数()f x 存在唯一一个零点在()41,e 内； 当01a <<，有()()22124121610422200a a x x a a a a x x a ∆⎧=-≥⎪⎪+=-=->⎨⎪⋅=>⎪⎩，∴()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，22222222424e 220e a a a f a a a a --⎛⎫=-+-<-+-< ⎪ ⎪⎝⎭+， ()2221ln 22ln 10f a a a a a ⎛⎫=+-=+-> ⎪⎝⎭， ()10f <，()4424e 20e a f a=+>+，2224e 1e a a -<<<， ∴函数()f x 一个零点在区间222e ,a a -⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭内，一个零点在区间()21,a 内，一个零点在()41,e 内．∴函数()f x 有三个不同零点． 综上所述：当(][),01,a ∈-∞+∞函数()f x 一个零点；当()0,1a ∈函数()f x 三个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·执信中学]极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为πcos 3a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，射线π6θα=-，θα=，π3θα=+，π2θα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ． （1）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程． （2）求()f OA OC OB OD α=⋅+⋅，当ππ63α≤≤时，求()f α的值域． 【答案】（1）2a =，()(2214x y -+=，40x +-=；（2）⎡⎣． 【解析】（1）21ππ:4cos cos sin sin 33C ρρθρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 即222x y x +=+，化为直角坐标方程为()(2214x y -+=．把2C 的方程化为直角坐标方程为20x a +-=，∵1C 曲线关于曲线2C 对称，故直线20x a +-=经过圆心(，解得2a =， 故2C 的直角坐标方程为40x +-=． （2）当ππ63α≤≤时，ππ4cos 4sin 63OA αα⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，π4cos 3OB α⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ4cos 4cos 33OC αα⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，πππ4cos 4sin 233OD αα⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()ππ16sin cos 16cos sin 33f OA OB OC OD ααααα⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π8sin 28sin 212sin 2πn 2263ααααα⎛⎛⎫=+⎫=-- ⎪⎝=+⎪⎝⎭⎭ ， 当ππ63α≤≤时，ππ5π2626α≤+≤，π26α⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭ 故()f α的值域为⎡⎣． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [2019·衡阳联考]已知函数()2f x x a x =++-． （1）若()f x 的最小值为3，求实数a 的值；（2）若2a =时，不等式()4f x ≤的解集为A ，当m ，n A ∈时，求证：42mn m n +≥+． 【答案】（1）1a =或5-；（2）见解析．【解析】（1）∵()()()222f x x a x x a x a =++-≥+--=+， （当且仅当()()20x a x +-≤时取=号） ∴23a +=，解得1a =或5-．（2）当2a =时，()2,2224,222,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-≤<⎨⎪≥⎩， 当2x <-时，由()4f x ≤，得24x -≤，解得2x ≥-；又2x <-，∴不等式无实数解； 当22x -≤<时，()4f x ≤恒成立，∴22x -≤<； 当2x ≥时，由()4f x ≤，得24x ≤，解得2x =； ∴()4f x ≤的解集为[]2,2A =-．()()()()2222224481642mn m n m n mn m n mn +-+=++-++()()()()22222222221644416444m n m n m n m n m n =+--=-+-=--．∵m ，[]2,2n ∈-，∴()240m -≤，()240n -≤，∴()()22440mn m n +-+≥，即()()2244mn m n +≥+，∴42mn m n +≥+．。
2019年高考理科数学(全国1卷)答案详解(附试卷)
P 20 5 64 16
PS：其实可以对题目进行抽象：即有 A、B 两种字母，填 6 个位置，求恰有 3 个 A 的概率.这样更
容易求解.
【答案】A
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7．（平面向量）已知非零向量 a，b 满足 | a | 2 | b | ，且 (a b) b ，则 a 与 b 的夹角为
头顶至肚脐的长度小于 68.07cm，所以身高小于 68.07+68.07÷0.618=178.21cm. 所以选答案 B.
【答案】B
5．（函数）函数
f
(x)
sin x x cos x x2
在[, ] 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
【解析】∵
f (x)
sin x x cos x x2
A． (x+1)2 y 2 1 B． (x 1)2 y2 1 C． x2 ( y 1)2 1 D． x2 ( y+1)2 1
【解析】由题意得 z i x ( y 1)i ，∵ z i =1 ，∴ x2 ( y 1)2 1 ，即 x2 ( y 1)2 1
【答案】D
6．（概率统计）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻 组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦 恰有 3 个阳爻的概率是
5
A．
16
11
B．
32
21
C．
32
11
D．
16
【解析】所有重卦的个数为 26 64 ，恰有 3 个阳爻的个数为 C36C33 20 ，因此恰有 3 个阳爻的概率为
2019年好教育云平台泄露天机高考押题卷 理科数学(一) 学生版
卷只装封绝密 ★ 启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学（一）注意事项：好教育云平台 1、本试卷分第Ⅰ 卷（ 选择题）和第Ⅱ 卷（ 非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ 卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
A ． 5πB ．10πC ．12 + 5πD ． 24 +12π4、考试结束， 将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 6．从某中学抽取 100 名学生进行阅读调查，发现每年读短篇文章量都在 50 篇至 350 篇之间， 频率分布直方图如图所示，则对这100 名学生的阅读量判断正确的为（ ）A ． a 的值为0.004B ．平均数约为200C ．中位数大约为183.3题目要求的．1．已知集合 A = {x | 1 ≤ 2x≤ 4} ， B = {y | y = 4x - 2 +2 - x }，则 A B = （）A ．{2}B ．{0}C ．[-2, 2]D ．[0, 2]2．若复数 z 满足(z -1)i = 4 + 2i ，则 z = （ ）A ． 25B ． 17C ． 5D ．17 3．从[-6,9] 中任取一个m ，则直线3x + 4y + m = 0 被圆 x 2 + y 2 = 2 截得的弦长大于2 的概率7．已知(2x 2 + 3x +1)( ax2-1)5 的展开式中各项系数之和为 0，则该展开式的常数项是（）为（ ）A ． -10B ． -7C ．10D ． 9A ． 23 B ． 25 C ． 13 D ． 158．已知双曲线C 的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且双曲线的渐近线方程为 y =±则双曲线C 的离心率为（ ）3x ，4．《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作，在《算经》中有一题：某女子善于织布，一天比一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布 5 尺，30 天共织布 390 尺， 则该女子织布每天增加（）A ． 2B ． 3C ． 3 或3 22D ． 2 或2 334168169．已知正项数列{a}为等比数列，S 为其前n 项和，且有a 2 + a 2 = 32400 - 2a a，S = 10S ，A ． 尺B ．7 29 尺C ．15 尺D ．尺31nn则第 2019 项的个位数为（ ）352 6425．某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图中的圆的半径为 3，则制作该手工制品表面积为（ ）A ．1B ．2C ．8D ．910．已知函数 f (x ) = x 2 + ax 的图象在 x = 1处的切线与直线 x + 2y = 0 垂直．执行如图所示的程序2框图，若输出的k 的值为15，则判断框中t 的值可以为（ ）D ．众数约为350此订不密班级姓名准考证号考场号座位号⎩⎧x - y + k ≤ 0 13．设 x , y 满足约束条件⎪2x + 3y - 6 ≤ 0 ，若目标函数 z = x - 2y 的最大值与最小值之和为- 40，则k = ．14．若向量a , b 满足 a ⎨⎪3x - 2 y + 6 ≥ 0 13 = 1， (- ) ⋅ (+ 2) = 4 ，则向量a 在b 方向上投影的最小值为．15．在三棱锥 P - ABC 中，PA = PB = 2 2, AB = 4, BC = 3, AC = 5 ，若平面 PAB ⊥ 平面 ABC ， 则三棱锥 P - ABC 外接球的表面积为．16．已知抛物线C : x 2 = 4 y ，任意直线l : y = kx + b (b ≠ 0) ，已知直线l 交抛物线C 于 M ，N 两点，A ．1314 B ．14 15 C ．15 16ππ 2πD ．16 17P 为 y 轴上的一点满足∠OPM = ∠OPN （点O 为坐标原点），则 P 点的坐标为．11．已知函数 f (x ) = 2sin(ωx + ϕ)(ω > 0, ϕ < ) 在[- ,2 23 ] 上至少存在两个不同的 x 1 , x 2 满足三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．f (x ) f (x ) = 4 ，且函数 f (x ) 在[- π , π ] 上具有单调性， (- π ,0) 和 x = 7π 分别为函数 f (x )1 23 12 61217．（12 分）在∆ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知 2a - c cos A = a cos C ． 图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ）πa求 b的值及角 A 的取值范围．A ．函数 f (x ) 图象的两条相邻对称轴之间的距离为 4B ．函数 f (x ) 图象关于直线 x = - π对称 3C ．函数 f (x ) 图象关于点(-π12,0) 对称D ．函数 f (x ) 在(π6 , π ) 2上是单调递减函数12．已知函数 f (x ) 在(0,1) 恒有 xf '(x ) > 2 f (x ) ，其中 f '(x ) 为函数 f (x ) 的导数，若α, β 为锐角三角形的两个内角，则（）A ． sin 2 βf (sin α) > sin 2 αf (sin β )B ． cos 2 βf (sin α) > sin 2 αf (cos β )C ． cos 2 βf (cos α) > cos 2 αf (cos β )D ． sin 2 βf (cos α) > sin 2 αf (cos β )第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2019年高考好教育云平台高三最新信息卷理科数学(九)解析版
2019年高考好教育云平台高三最新信息卷理科数学（九）解析版第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·安徽联考]设集合1124xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=∈≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭N ，{}1,2,3,4B =，则A B =（ ）A ．{}1B ．∅C ．{}3,4D ．{}2,3,4【答案】D【解析】由题意得，{}2A x x =∈≥N ，故{}2,3,4A B =，故选D ．2．[2019·凯里一中]已知复数z 在复平面内对应的点为()11,，（i 为虚数单位），则zz=（ ） AB C ．2 D ．1【答案】D【解析】z 在复平面内对应的点为()11,，∴1i z =+，∴1i z =-，∴z z z z ==，故选D ． 3．[2019·郴州模拟]新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出版产品供给，实现了行业的良性发展．下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（ ）A ．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C ．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D ．2016年我国数字出版业营收占新闻出版业营收的比例未超过三分之一 【答案】C【解析】根据图示数据可知选项A 正确；对于选项B ：1935.5238715720.9⨯=<，正确； 对于选项C ：16635.31.523595.8⨯>，故C 不正确； 对于选项D ：123595.878655720.93⨯≈>，正确．故选C ．4．[2019·重庆质检]已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥B ．若m α⊥，n β∥，且αβ∥，则m n ⊥C ．若m α⊂，n α⊂，且m β∥，n β∥，则αβ∥D ．若直线m ，n 与平面α所成角相等，则m n ∥【答案】B【解析】选项A 中可能n α⊂，A 错误；选项C 中没有说m ，n 是相交直线，C 错误； 选项D 中若m ，n 相交，且都与平面α平行，则直线m ，n 与平面α所成角相等， 但m ，n 不平行，D 错误．故选B ．5．[2019·马鞍山质检]已知实数x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则22x y z -+=的最大值为（ ）A ．132B ．14C ．12D ．2【答案】C【解析】设2m x y =-+，()2m z m =，显然()z m 是指数函数， ∵21>，∴()z m 是增函数．本题求()z m 的最大值就是求出m 的最大值．可行解域如下图所示：显然直线2y x m =+平行移动到点A 时，m 有最大值，解方程组1y xy =⎧⎨=⎩， 解得A 点坐标为()1,1，代入直线2y x m =+中，得1m =-，∴z 的最大值为1122-=，故选C ． 6．[2019·益阳模拟]在ABC △中，点D 在边BC 上，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，且有2BD DC =，2AE EB =，3DF FA =，则EF =（ ）A ．1136AB AC -+B ．71126AB AC -+ C ．11612AB AC -+D ．51123AB AC -+ 【答案】B【解析】如图，∵2BD DC =，∴23BD BC =，∵2AE EB =，∴23AE AB =， ∵3DF FA =，∴14AF AD =， ∴()1212514343124EF AF AE AD AB AB BD AB AB BD =-=-=+-=-+ ()51251711243126126AB BC AB AC AB AB AC =-+⨯=-+-=-+．故选B ． 7．[2019·南太原模拟]将函数()2sin 2f x x =的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若方程()()124f x g x -=的根1x ，2x 满足12min π6x x -=，则ϕ的值是（ ）A ．π4B ．π6C ．π3D ．π2【答案】C【解析】由题()()()2sin 22sin 22g x x x ϕϕ=-=-⎡⎤⎣⎦， 则()()()122sin 22sin 224f x g x x x ϕ-=--=， 不妨设2sin 22x =，()2sin 222x ϕ-=-， 则1π22π2x k =+，2π222π2x k ϕ-=-，1k ，2k ∈Z ， 则()121212ππππππ442x x k k k k ϕϕ⎛⎫-=+--+=-+- ⎪⎝⎭， 又π02ϕ<<，则12minπππ226x x ϕϕ-=-=-=，解得π3ϕ=； 同理当2sin22x =-，()2sin 222x ϕ-=亦成立．故选C ．8．[2019·马鞍山一中]奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()11f -=-， 则()()20182019f f +=（ ） A ．2- B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】由题意，奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数， 则()()()111f x f x f x -+=+=--，即()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=， 即()f x 是周期为4的周期函数，()()()()201850442200f f f f =⨯+==-=，()()()20195045111f f f =⨯-=-=-，则()()20182019011f f +=-=-，故选B ．9．[2019·新疆诊断]已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，过原点作一条倾斜角为π3的直线分别交双曲线左、右两支于P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为（ ） A ．2 B 1 C 1 D ．3【答案】C【解析】∵以PQ 为直径的圆过右焦点F ，∴得到该圆以原点O 为圆心，OF 为半径，故得到OP OQ OF c ===， ∵过原点直线的倾斜角为π3，即60QOF ∠=︒，∴QOF △为等边三角形，∴QF c =， 根据对称性，该圆也过双曲线的左焦点，设左焦点为1F ，∴1120QOF ∠=︒，在1QOF △中，由余弦定理得，1QF =， 根据双曲线的定义得，12QF QF a -=2c a -=，解得1e ，故选C ．10．[2019·沧州模拟]中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心圆．七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，⋯．设内一衡直径为1a ，衡间距为2d，则次二衡直径为21a a d =+，次三衡直径为12a d +，⋯，执行如下程序框图，则输出的i T 中最大的一个数为（ ）A ．1TB ．2TC ．3TD ．4T【答案】D【解析】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出()81,2,3,4i i i T a a i -==的值， 由等差数列通项公式有()11i a a i d =+-，且易知0i a >恒成立，则()()()(){}21181117174i ia i d a i d a a a i d a i d -+-++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+-+-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当且仅当()()1117a i d a i d +-=+-，即4i =时等号成立． 综上可得，输出的i T 中最大的一个数为4T ．故选D ．11．[2019·江淮十校]已知在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6a =，点O 为其外接圆的圆心．已知15BO AC ⋅=，则当角C 取到最大值时ABC △的面积为（ ） A ．B ．CD ．【答案】A【解析】设AC 中点为D ，则()()()22111222BO AC BD DO AC BD AC BC BA BC BA BC BA ⋅=+⋅=⋅=+⋅-=-， ∴22111522a c -=，即c =c a <知角C 为锐角，故2222301301cos 2121212a b c b C b ab b b +-+⎛⎫===+≥⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当30b b =，即b cos C 最小， 又cos y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，故C 最大．此时，恰有222a b c =+，即ABC △为直角三角形，12ABC S bc ==△A ．12．[2019·沧州模拟]某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．9πC ．41π4D【答案】C【解析】如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AD AA ==，1AB =，点M ，N ，1N 分别为其所在棱的中点，则三视图对应的几何体为三棱锥1B AMD -，很明显AMD △是以AD 为斜边的直角三角形，且当1NN ⊥平面ABCD ， 故外接球的球心O 在直线1NN 上，以点A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0,A ，()11,0,2B ， 设()0,1,O h ，由1OA OB =有：()222221112h h +=++-，解得54h =， 设外接球半径为R ，则222541111616R h =+=+=， 外接球的表面积2414ππ4S R ==．故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·四川质检]在平面直角坐标系xOy 中，已知02πα<<，点ππ1tan ,1tan 1212P ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭是角α终边上一点，则α的值是___________． 【答案】π3【解析】πππ1tantan tan πππ12412tan tan tan πππ41231tan 1tan tan 12412α++⎛⎫===+= ⎪⎝⎭--， ∵02πα<<，且点P 在第一象限，∴α为锐角，∴α的值是π3，故答案为π3． 14．[2019·九江二模]谢尔宾斯基三角形（Sierpinskitriangle ）是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，如图先作一个三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色三角形代表挖去的面积，那么灰色三角形为剩下的面积（我们称灰色部分为谢尔宾斯基三角形）．若通过该种方法把一个三角形挖3次，然后在原三角形内部随机取一点，则该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为______．【答案】2764【解析】由图可知每次挖去的三角形的面积为上一次剩下的面积的14， ∴每次剩下的面积为上一次剩下的面积的34， 设最初的面积为1，则挖3次后剩下的面积为3327464⎛⎫= ⎪⎝⎭，故该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为2764，故答案为2764． 15．[2019·马鞍山一模]已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 为椭圆222419x y b+=的右顶点，直线l 是抛物线C 的准线，点A 在抛物线C 上，过A 作AB l ⊥，垂足为B ，若直线BF的斜率BF k =则AFB △的面积为______． 【答案】【解析】∵抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 为椭圆222419x y b+=的右顶点，∴322p a ==，∴3p =． 设3,2B m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3322BF mk ==--m =故(0,A x 在26y x =上，可得092x =，∴062pAB x =+=，则AFB △的面积为162S =⨯⨯．故答案为16．[2019·南开一模]设函数()256,044,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若函数()()g x x a f x =+-有三个零点，则这三个零点之和的取值范围是_____．【答案】11,63⎛⎫⎪⎝⎭【解析】函数()256,044,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩若函数()()g x x a f x =+-有三个零点，即方程()a f x x =-有三个根，()266,034,0x x x f x x x x ⎧-+≥-=⎨+<⎩，即图像y a =和()y f x x =-有三个交点，在同一坐标系中画出函数的图像：三个交点分别为1x ，2x ，3x 满足123x x x <<根据方程34x a +=的零点的范围， 当266x x -+取得最小值3-时，解得173x =-，即17,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，根据二次函数的对称性得到236x x +=，12311,63x x x ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭．故答案为11,63⎛⎫⎪⎝⎭．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·广东毕业]已知{}n a 是等差数列，且1lg 0a =，4lg 1a =． （1）求数列{}n a 的通项公式（2）若1a ，k a ，6a 是等比数列{}n b 的前3项，求k 的值及数列{}n n a b +的前n 项和． 【答案】（1）32n a n =-．（2）2k =，()231141223nn S n n =-+-． 【解析】（1）数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，且1lg 0a =，4lg 1a =，则111310a a d =⎧⎨+=⎩，解得3d =，∴()13132n a n n =+-=-．（2）若1a ，k a ，6a 是等比数列{}n b 的前3项，则216k a a a =⋅，根据等差数列的通项公式得到32k a k =-，代入上式解得2k =；1a ，k a ，6a 是等比数列{}n b 的前3项，11a =，24a =，∴等比数列{}n b 的公比为4q =．由等比数列的通项公式得到14n n b -=．则1324n n n a b n -+=-+， 故()()()()1131411144324241n n n n n S n ---=++++⋯+-+=+-()231141223n n n =-+-． 18．（12分）[2019·海口调研]如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，AC AB ⊥，4AC AB ==，16AA =，点E ，F 分别为1CA 与AB 的中点．（1）证明：EF ∥平面11BCC B ；（2）求1B F 与平面AEF 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）证明：如图，连接1AC ，1BC ．在三棱柱111ABC A B C -中，E 为1AC 的中点． 又∵F 为AB 的中点，∴1EF BC ∥．又EF ⊄平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，∴EF ∥平面11BCC B ．（2）解：以1A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -， 则()0,0,6A ，()10,4,0B ，()2,0,3E ，()0,2,6F ， ∴()10,2,6B F =-，()2,0,3AE =-，()0,2,0AF =．设平面AEF 的法向量为(),,x y z =n ，则23020AE x z AF y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩n n ，令3x =，得()3,0,2=n ．记1B F 与平面AEF 所成角为θ，则111sin cos B F B F B F θ⋅===,n n n． 19．（12分）[2019·咸阳二模]交强险是车主须为机动车购买的险种．若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基本保费）是950元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年度车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如下表：某一机构为了研究某一品牌7座以下投保情况，随机抽取了100辆车龄满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：以这100辆该品牌汽车的投保类型的频率视为概率．（1）试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的概率； （2）记ξ为某家庭的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求ξ的分布列和期望． 【答案】（1）0.8；（2）见解析．【解析】（1）保费不超过950元的车型为1A ，2A ，3A ，4A ， 所求概率为401010200.8100+++=．（2）0.9a ξ=，0.8a ，0.7a ，a ，1.1a ，1.3a ，其中950a =，()0.90.4P a ξ==，()0.80.1P a ξ==，()0.70.1P a ξ==， ()0.2P a ξ==，()1.10.15P a ξ==，()1.30.05P a ξ==．0.90.40.80.10.70.10.2 1.10.15 1.30.05E a a a a a a ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.940.94950893a ==⨯=．20．（12分）[2019·西城一模]已知椭圆22:14x y W m m+=的长轴长为4，左、右顶点分别为A ，B ，经过点()1,0P 的动直线与椭圆W 相交于不同的两点C ，D （不与点A ，B 重合）． （1）求椭圆W 的方程及离心率； （2）求四边形ACBD 面积的最大值；（3）若直线CB 与直线AD 相交于点M ，判断点M 是否位于一条定直线上？若是，写出该直线的方程．（结论不要求证明）【答案】（1）2214x y +=，离心率3e =（2）3（3）4x =．【解析】（1）由题意，得244a m ==，解得1m =． ∴椭圆W 方程为2214x y +=．故2a =，1b =，223c a b =-=．∴椭圆W 的离心率3c e a ==（2）当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =，代入椭圆W的方程，得C ⎛ ⎝⎭，1,D ⎛ ⎝⎭， 又∵24AB a ==，AB CD ⊥，∴四边形ACBD的面积12S AB CD =⨯=． 当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为()()10y k x k =-≠，()11,C x y ，()22,D x y ，联立方程()22114y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2222418440k x k x k +-+-=． 由题意，可知0∆>恒成立，则2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+，四边形ACBD 的面积121122ABC ABD S S S AB y AB y =+=⨯+⨯△△ ()1212122AB y y k x x =⨯-=-== 设241k t +=，则四边形ACBD 的面积S =()10,1t∈，∴S =综上，四边形ACBD 面积的最大值为（3）结论：点M 在一条定直线上，且该直线的方程为4x =． 21．（12分）[2019·清远联考]已知函数()()1e x f x x =-． （1）求函数()f x 的单调区间和零点；（2）若()e f x ax ≥-恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）单调递减区间：(),0-∞；单调递增区间：()0,+∞，零点为1x =；（2）[]0,e 【解析】（1）()()e 1e e x x x f x x x =+-='，令()0f x '=，解得0x =， ∴函数()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增； 单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞； 令()0f x =，解得1x =，∴函数()f x 的零点是1x =． （2）画出()f x 的大致图像，如图所示，设()e g x ax =-，则()g x 的图像恒过点()0,e -，设函数()()1e x f x x =-的图像在点()00,P x y 处的切线过点()0,e -， ∴()000e x f x x '=，()()0001e x f x x =-，()f x 的图像在()00,P x y 处的切线方程为()()000001e e x x y x x x x --=-，将()0,e -代入切线方程，得()0200e 1e e x x x x ---=-，整理得()02001e e x x x -+=，设()()21e e x h x x x =-+-，()()2e x h x x x ⇒=+'， 令()0h x '=，得0x =或1x =-，∴()h x 在(),1-∞-，()0,+∞上单调递增，在()1,0-上单调递减， 又()31e 0eh -=-<，()01e 0h =-<，()10h =， ∴01x =是方程()02001e e x x x -+=的唯一解，∴过点()0,e -且与()f x 的图像相切的直线方程为e e y x =-， 令()()1e e e x m x x x =--+，则()e e x m x x '=-，当1x >时，()0m x '>；当01x <<时，()0m x '<，∴()()1m x m ≥， 又()10m =，即()0m x ≥在()0,+∞上恒成立， 即函数()f x 的图像恒在其切线e e y x =-的上方， 数形结合可知，a 的取值范围[]0,e ．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·云师附中]已知曲线E 的参数方程为2cosx y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线E 的直角坐标方程；（2）设点A 是曲线E 上任意一点，点A 和另外三点构成矩形ABCD ，其中AB ，AD 分别与x 轴，y 轴平行，点C 的坐标为()3,2，求矩形ABCD 周长的取值范围． 【答案】（1）22143x y +=；（2）10⎡-+⎣．【解析】（1）曲线E 的参数方程为2cosx y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），转换为直角坐标方程为22143x y +=．（2）设点A 的坐标为()2cos αα，()B α，()2cos ,2D α， ∴32cos 32cos AB αα=-=-，22AD αα==，()()210l AB AD αθ=+=-+，∴矩形的周长的取值范围为10⎡-+⎣． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·聊城一模]已知函数()21f x x a x =-++． （1）当1a =时，求不等式()4f x ≤的解集；（2）设不等式()24f x x ≤+的解集为M ，若[]0,3M ⊆，求a 的取值范围． 【答案】（1）5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）[]1,2．【解析】（1）1a =时，()121f x x x =-++，若()4f x ≤，1x ≥时，1224x x -++≤，解得1x ≤，故1x =，11x -<<时，解得1x ≤，故11x -<<，1x ≤-时，1224x x -++≤，解得53x ≥-，故513x -≤≤-，综上，不等式的解集是5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（2）若[]0,3Mx a x x-++≤+|在[]0,3恒成立，⊆，则问题转化为2124即24222-≤+--=，故22x a x x-≤-≤，x a故22--≤-≤-在[]0,3恒成立，x a x即22≤≤，x a xa-≤≤+在[]0,3恒成立，故12即a的范围是[]1,2．。
2019年好教育云平台高三最新信息卷 理综(一)含答案解析
绝密 ★ 启用前2019 年高考好教育云平台高三最新信息卷理科综合能力测试（一）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（ 选择题）和第Ⅱ卷（ 非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束， 将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 P 31 S 32 Cl 35.5 Cu 64 Zn 65第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 13 小题，每小题 6 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 下列有关细胞的说法正确的是A ．生物膜上均有糖蛋白，其作用是参与细胞间的信息交流B ．浆细胞内某些内质网膜上有催化磷脂合成的酶C. 同一种物质进入同一生物不同细胞的跨膜运输方式相同D. 在“望梅止渴”这种非条件反射的反射弧中人的唾液腺细胞作为效应器2. 肺炎双球菌有多种类型，其中 S 型菌可分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型；Ⅲ型荚膜最厚，致病力最强；S 型菌在无血清的培养基中传代培养后，荚膜非常容易丢失而变为 R 型菌。
下列有关 R 型菌和 S 型菌的说法正确的是A ．R 型菌无毒，可以在人体内与人和平共处B ．厚荚膜基因(S Ⅲ)可突变成薄荚膜基因(SI)，则 S Ⅲ和 SI 互为等位基因C ．S 型菌通过无血清培养得到的R 型菌没有致病性D ．R 型菌转化成 S 型菌其基因型发生改变3. 将某绿色植物置于适宜的光照强度和温度条件下培养，突然将CO 2 浓度由1%降低至0.003%，下列变化不会发生的是A. 叶绿体中NADPH 的消耗速率会加快B. 叶绿体中C 3、C 5 浓度在瞬间内的变化分别是降低、升高C. 一段时间后，叶绿体中C 3 的浓度是 C 5 的 2 倍D. 叶绿体中 ATP 的合成速率逐渐减慢4. 如图表示不同浓度的生长素对某植物生长的影响，有关叙述不正确的是A. 用浓度大干M 的生长素溶液处理该植物，由于生长素直接参与新陈代谢过程抑制其生长B. 用不同浓度的生长索溶液处理插条，生根数量可能会相同C ．曲线表明生长索的生理作用具有两重性，P 点促进作用较强D ．若图中曲线表示不同生长素浓度对该植物芽生长的影响，且顶芽处的生长素浓度为 P ，则靠近顶芽的侧芽处的生长素浓度一般大于M5. 关于生物的变异和进化，下列说法中正确的是A. 基因重组不会改变基因的结构，但可能改变 DNA 的分子结构B. 苯丙酮尿症是由一个致病基因控制的单基因遗传病C ．用秋水仙素处理单倍体植株后得到的一定是二倍体D ．物种是经过长期的地理隔离，最后出现生殖隔离而形成的6. 如图是反映人与环境关系的三种模式，请分析下列对“环境容纳量”的理解错误的是A ．按照人与环境关系的理想程度排列，三种模式的顺序依次为Ⅰ、Ⅱ、ⅢB ．曲线图中的环境容纳量是指生态系统对人口的最大承载能力C ．现在的人口问题造成环境恶化，环境容纳量有下降的趋势D ．据图可知人类能改造环境，使人口数量超越环境容纳量7. 化学与生活、环境密切相关，下列有关说法正确的是A. 我国在南海成功开采的可燃冰（CH 4∙nH 2O ）可能会带来酸雨等环境污染B. 大量使用含丙烷、二甲醚等辅助成分的“空气清新剂”，会对环境造成新的污染C ．某些筒装水使用的劣质塑料桶常含有乙二醇(HOCH 2-CH 2OH)，乙二醇不溶于水D ．我国全面启动的北斗导航系统的信号传输与硅有关8. 化合物如下图，下列说法不正确的是A. a 、b 、c 、d 互为同分异构体此卷只 装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号333D U →Th + He r : r 1 : 45B.除a 外均可发生加成反应C.c、d 中所有原子处于同一平面内C．X 与Y 形成晶体的基本结构单元为四面体D.原子半径：Y＞Z＞X＞WD．一氯代物同分异构体最多的是d9.设N A 为阿伏加德罗常数的值。
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2019届高三理科数学好教育云平台7月份特供卷（一）（解析版附后） 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2-C ．{}2,1,0,1,2--D ．{}0,1,22．已知i 为虚数单位，若复数1i1it z -=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ） A ．[]1,1-B ．()1,1-C ．(),1-∞-D ．()1,+∞3．下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞内单调递增的为（ ） A ．42y x x =+B ．2x y =C ．22x x y -=-D ．12log 1y x =-4．已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（ ） A ．它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C ．它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等5．在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．执行如图的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．1009B ．1009-C ．1007-D ．1008 7．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 8．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕ=+>><π的部分图象如图所示，则函数()()cos g x A x ϕω=+图象的一个对称中心可能为（ ）A ．5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,06⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．09,6⎛⎫- ⎪⎝⎭9．《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =， 则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．)0,02a ba b +≥>> B ．)220,0a b a b +≥>>C ．)20,0aba b a b≤>>+D ．)0,02a b a b +>> 10．为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（ ） A ．720 B ．768 C ．810 D ．816 11．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C ．22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[]12,0x ∀∈-，[]22,1x ∃∈-使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知()1,λ=a ，()2,1=b ，若向量2+a b 与()8,6=c 共线，则a 在b 方向上的投影为__________． 14．已知实数x ，y 满足不等式组20250 20x y x y y --≤+-≥≤⎧⎪⎨⎪⎩-，且2z x y =-的最大值为a ，则20cos d 2xa x π=⎰__________． 15．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan tan 2tan bB b A c B +=-，且8a =，ABC △的面积为b c +的值为__________．16．已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知()()()()23111...1nx x x x ++++++++的展开式中x 的系数恰好是数列{}n a 的前n 项和n S ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足()()122121nnn a n a a b +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1n T <．18．（12分）如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为AOC △的垂心 （1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值．19．（12分）2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折．方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的长轴长为6，且椭圆C 与圆()2240:29M x y -+=的公共弦． （1）求椭圆C 的方程．（2）过点()0,2P 作斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形．若存在，求出点D 的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数()()22ln 20f x x mx x m =-+>， （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当m ≥时，若函数()f x 的导函数()'f x 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其横坐标分别为1x ，()212x x x <，线段AB 的中点的横坐标为0x ，且1x ，2x 恰为函数()2ln h x x cx bx =--的零点，求证：()()1202'ln23x x h x -≥-+．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线l的参数方程为4x y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点． （1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求ABP △的面积的最大值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()211f x x x =-++． （1）求函数()f x 的值域M ； （2）若a M ∈，试比较11a a -++，32a ，722a -的大小．2019届高三理科数学好教育云平台7月份特供卷（一）（解析版） 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2-C ．{}2,1,0,1,2--D ．{}0,1,2【答案】B【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭ZZ ，{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则{}1,0,1,2A B =-，故选B ． 2．已知i 为虚数单位，若复数1i1it z -=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ） A ．[]1,1- B ．()1,1-C ．(),1-∞-D ．()1,+∞【答案】B【解析】()()()()()1i 1i 11i 1i 11i 1i 1i 1i 222t t t t t t z ----+--+====-++-，z 在第四象限，102102tt -⎧>⎪⎪∴⎨+⎪-<⎪⎩， 得11t -<<，即t 的取值范围为()1,1-，故选B ．3．下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞内单调递增的为（ ） A ．42y x x =+ B ．2x y = C ．22x x y -=-D ．12log 1y x =-【答案】D【解析】由奇偶性可知，42y x x =+是非奇非偶函数，22x x y -=-是奇函数，故排除A 、C ； 在(),0-∞内，2xy =是减函数，故排除B ，因此答案为D ．4．已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（ ） A ．它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C ．它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等【答案】D【解析】由题知222:12x C y -=．则两双曲线的焦距相等且2c =223x y +=的圆上，其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为y =，由于实轴长度不同故离心率ce a=不同． 故本题答案选D ．5．在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由韦达定理知4123a a +=-，4121a a =，则40a <，120a <，则等比数列中4840a a q =<，则81a ==-．在常数列1n a =或1n a =-中，4a ，12a 不是所给方程的两根．则在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的充分不必要条件．故本题答案选A ． 6．执行如图的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．1009B ．1009-C ．1007-D ．1008【答案】B【解析】由程序框图则0S =，1n =；1S =，2n =；12S =-，3n =；123S =-+，4n =， 由S 规律知输出123456...20152016201720181009S =-+-+-++-+-=-． 故本题答案选B ．7．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 【答案】C 【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．8．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕ=+>><π的部分图象如图所示，则函数()()cos g x A x ϕω=+图象的一个对称中心可能为（ ）A ．5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,06⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．09,6⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由图象最高点与最低点的纵坐标知A =，又()6282T =--=，即2πT=16ω=，所以π8ω=．则()π8f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，图象过点(2,-，则πsin 14ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即π2π42k ϕπ+=-+，所以3π2π4k ϕ=-+，又ϕ<π，则3π4ϕ=-．故()3ππ48g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令3ππππ482x k -+=+，得4231x k =--，令0k =，可得其中一个对称中心为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．故本题答案选C ． 9．《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =， 则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．)0,02a ba b +≥>> B ．)220,0a b a b +≥>>C ．)20,0aba b a b ≤>>+D ．)0,02a b a b +>> 【答案】D【解析】令AC a =，BC b =，可得圆O 的半径2a br +=， 又22a b a bOC OB BC b +-=-=-=， 则()()2222222442a b a b a b FC OC OF-++=+=+=，再根据题图知FO FC ≤，即2a b +≤D ． 10．为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（ ） A ．720 B ．768 C ．810 D ．816 【答案】B【解析】由题知结果有三种情况．（1）甲、乙、丙三名同学全参加，有1444C A =96种情况，其中甲、乙相邻的有123423C A A 48=种情况，所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻顺序有964848-=种情况；（2）甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有314434C C A 288=种情况；（3）甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有224434C C A 432=种情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有28843248768++=种情况，故本题答案选B ．11．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C ．22y x =+或22y x =-+ D ．22y x =-+【答案】A 【解析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠，则当MA MF取得最大值时，M AF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k ∆=-=，得1k =±． 则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[]12,0x ∀∈-，[]22,1x ∃∈-使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增， 所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4，在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤⎥⎝⎦，所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为()()22f x f x +=，所以()()()112424f x f x f x =+=+， 所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++， 所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得18a ≥；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+， 所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩，解得14a ≤-，当0a =时，()g x 为常函数，值域为{}1，不符合题意， 综上，a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知()1,λ=a ，()2,1=b ，若向量2+a b 与()8,6=c 共线，则a 在b 方向上的投影为__________．【解析】()24,21λ+=+a b ，由向量2+a b 与()8,6=c 共线，得()248210λ-+=， 解得1λ=，则=a 设θ为a ，b的夹角，cos θ⋅==⋅a b a bcos θ⋅==a ，14．已知实数x ，y 满足不等式组20250 20x y x y y --≤+-≥≤⎧⎪⎨⎪⎩-，且2z x y =-的最大值为a ，则20cos d 2xa x π=⎰__________． 【答案】3π 【解析】作出可行域，目标函数可变为2y x z =-，令0z =，作出2y x =，由平移可知直线过()4,2时z 取最大值，则max 6a z ==．则()200006cos d 3cos 3d 3sin |3|32x x x x x x ππππ=+=+=π⎰⎰．故本题应填3π．15．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan tan 2tan b B b A c B +=-，且8a =，ABC △的面积为b c +的值为__________．【答案】【解析】由正弦定理，原等式可化为sin sin sin sin sin 2sin cos cos cos B A BB BC B A B⋅+⋅=-⋅，进一步化为cos sin sin cos 2sin cos A B A B C A +=-，则()sin 2sin cos A B C A +=-，即1cos 2A =-．在三角形中2π3A =．由面积公式1sin 2ABC S bc A ==△，可知16bc =，由余弦定理()22222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，代入可得b c +=．故本题应填．16．已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__________． 【答案】[]2,4ππ【解析】如图，设BDC △的中心为1O ，球O 的半径为R ，连接1O D ，OD ，1O E ，OE ，则123sin603O D =⨯13AO ， 在1Rt OO D △中，()2233R R =+-，解得2R =，∵3BD BE =，∴2DE =． 在1DEO △中，11O E ==，∴OE 过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，22π⨯=π．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知()()()()23111...1nx x x x ++++++++的展开式中x 的系数恰好是数列{}n a 的前n 项和n S ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足()()122121nnn a n a a b +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1n T <．【答案】（1）n a n =；（2）见解析． 【解析】（1）()()()()23111...1nx x x x ++++++++的展开式中x 的系数为1111211122123223111C C C C C C C C C 22n n n n n +++++=++++==+，即21122n S n n =+，所以当2n ≥时，1n n n a S S n -=-=；当1n =时，11a =也适合上式，所以数列{}n a 的通项公式为n a n =． （2）证明：()()1121121212121nn n n nn b ++==-----， 所以1111111111337212121n n n n T ++=-+-++-=----，所以1n T <． 18．（12分）如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G为AOC △的垂心 （1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）如图，延长OG 交AC 于点M ．因为G 为AOC △的重心，所以M 为AC 的中点． 因为O 为AB 的中点，所以OM BC ∥．因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥．因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以P A O M ⊥．又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A =，所以OM ⊥平面PAC ．即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ，所以平面OPG ⊥平面PAC ．（2）以点C 为原点，CB ，CA，AP 方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则()0,0C ，()0,1,0A ，)B，1,02O ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,1,2P ，10,,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，则,0OM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1,22OP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(),,x y z =n ，则3031202OM x OP y z ⋅=-=⋅=-+⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩+n n 令1z =，得()0,4,1=-n ．过点C 作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PA AB A =，所以CH ⊥平面PAB ，即CH 为平面PAO 的一个法向量．在Rt ABC △中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，12CH CB == 设(),,0H H H x y ，∴(),,0H H CH x y，cos H x CH HCB =∠=3sin 4H y CH HCB =∠=． 所以33,04CH ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭．设二面角A OP G --的大小为θ，则cos CH CH θ⋅===⋅n n． 19．（12分）2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折．方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】（1）114400P =；（2）顾客选择第一种抽奖方案更合算． 【解析】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则()33310C 1120C P A ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为()()114400P P A P A =⋅=． （2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0，600，700，1000． ()33310C 10120C P X ===，()2137310C C 760040C P X ===， ()1237310C C 2170040C P X ===，()37310C 7P X =1000==24C ， 故X 的分布列为，所以()172171060070010007641204040246E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）．若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-，由已知可得3~3,10Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，故()3931010E Y =⨯=，所以()()1000200E Z E Y =-=()1000200820E Y -=（元）． 因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算．20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的长轴长为6，且椭圆C 与圆()2240:29M x y -+=的公共弦． （1）求椭圆C 的方程．（2）过点()0,2P 作斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形．若存在，求出点D 的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）22198x y +=；（2）20,⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦． 【解析】（1）由题意可得26a =，所以3a =．由椭圆C与圆M ：()224029x y -+=，恰为圆M 的直径，可得椭圆C 经过点2,⎛ ⎝⎭，所以2440199b +=，解得28b =．所以椭圆C 的方程为22198x y +=． （2）直线l 的解析式为2y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,E x y ． 假设存在点(),0D m ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形，则DE AB ⊥．由222198y kx x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得()228936360k x kx ++-=，故1223698kx x k +=-+，所以021898k x k -=+，00216298y kx k =+=+． 因为DE AB ⊥，所以1DEk k =-，即1601981898k k k mk -+=---+，所以2228989k m k k k --==++． 当0k >时，89k k+≥，所以0m ≤<； 当0k<时，89k k+≤-，所以0m <≤综上所述，在x 轴上存在满足题目条件的点D ，且点D 的横坐标的取值范围为20,⎡⎫⎛⎤⎪⎢⎥⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦． 21．（12分）已知函数()()22ln 20f x x mx x m =-+>， （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当m ≥时，若函数()f x 的导函数()'f x 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其横坐标分别为1x ，()212x x x <，线段AB 的中点的横坐标为0x ，且1x ，2x 恰为函数()2ln h x x cx bx =--的零点，求证：()()1202'ln23x x h x -≥-+．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）由于()22ln 2f x x mx x =-+的定义域为()0,+∞，则()()221'x mx f x x-+=．对于方程210x mx -+=，其判别式24m ∆=-．当240m -≤，即02m <≤时，()'0f x ≥恒成立，故()f x 在()0,+∞内单调递增．当240m ->，即2m >，方程210x mx -+=恰有两个不相等的实数，x =令()'0f x >，得0x <<或x >()f x 单调递增；令()'0f x <x <<，此时()f x 单调递减．综上所述，当02m <≤时，()f x 在()0,+∞内单调递增；当2m >时，()f x 在⎝⎭内单调递减，在⎛ ⎝⎭，⎫⎪+∞⎪⎝⎭内单调递增．（2）由（1）知，()()221'x mx f x x-+=，所以()'f x 的两根1x ，2x 即为方程210xmx -+=的两根．因为m ≥240m ∆=->，12x x m +=，121x x =． 又因为1x ，2x 为()2ln h x x cx bx =--的零点，所以2111ln 0x cx bx --=，2222ln 0x cx bx --=，两式相减得()()()11212122ln 0x c x x x x b x x x --+--=，得()121212lnx x b c x x x x =-+-．而()1'2h x cx b x=--， 所以()()()()()()1212012012121201212ln 12'2x x x x h x x x cx b x x c x x c x x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥-=---=--+-++ ⎪+-⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1211222lnx x x x x x -=-+． 令()1201x t t x =<<，由()2212x x m +=得22212122x x x x m ++=，因为121x x =，两边同时除以12x x ， 得212t m t++=，因为m ≥152t t +≥，解得102t <≤或2t ≥， 所以102t <≤．设()12ln 1t G t t t -=⋅-+，所以()()()221'01t G t t t --=<+，则()y G t =在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，所以()min 12ln223G t G ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，即()()120'y x x h x =-的最小值为2ln23-+．所以()()1202'ln23x x h x -≥-+．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线l的参数方程为4x y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点． （1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求ABP △的面积的最大值． 【答案】（1）圆()22:24C x y -+=，（2）2+． 【解析】（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为()2224x y -+=． 将直线l 的参数方程代入圆()22:24C x y -+=，并整理得20t +=，解得10t =，2t =-l 被圆C截得的弦长为12t t -= （2）直线l 的普通方程为40x y --=．圆C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+=⎧⎨⎩（θ为参数），可设圆C 上的动点()22cos ,2sin P θθ+，则点P 到直线l的距离2cos 4d θπ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，当14θπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭cos 时，d 取最大值，且d的最大值为2+所以(1222ABP S ≤⨯=+△，即ABP △的面积的最大值为2+．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()211f x x x =-++． （1）求函数()f x 的值域M ； （2）若a M ∈，试比较11a a -++，32a ，722a -的大小． 【答案】（1）3,2M ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭；（2）3711222a a a a -++>>-．【解析】（1）()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩， 根据函数()f x 的单调性可知，当12x =时，()min 1322f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 所以函数()f x 的值域3,2M ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭．（2）因为a M ∈，所以32a ≥，所以3012a <≤．32a ≥，10a ->，111123a a a a a ∴-++=-++=≥． ()()372432221a a a a a ⎛⎫--= ⎭-⎪⎝-，32a ≥，10a ->，430a ->，()()14302a a a --∴>，所以37222aa>-，所以3711222a a aa-++>>-．【河北省衡水中学2018高考押题卷—理科数学试题用稿】。