13.1(4)三角形的外角
三角形外角课件
三角形外角课件一、引言三角形是几何学中的基本图形之一，它由三条线段组成，构成了三个内角。
三角形的外角是与三角形的一个内角相邻且不与之共线的两个外角，其大小等于其不相邻的两个内角之和。
本课件将详细介绍三角形外角的概念、性质及其应用。
二、三角形外角的概念1.定义：三角形的外角是指与三角形的一个内角相邻且不与之共线的两个外角。
具体来说，三角形的外角是由三角形的一条边和其相邻的两个非共线边组成的角。
2.性质：三角形的外角与其不相邻的两个内角之和等于180度。
这是三角形外角的基本性质，也是三角形外角与其他角的关系的重要体现。
三、三角形外角的性质1.外角等于非相邻内角之和：三角形的外角与其不相邻的两个内角之和等于180度。
这个性质可以通过绘制三角形的外角和内角来进行验证。
2.外角大于任何一个非相邻内角：三角形的外角大于其不相邻的两个内角中的任何一个。
这是因为外角是由三角形的一条边和其相邻的两个非共线边组成的，而内角只是由三角形的一条边和其相邻的一个非共线边组成的。
3.外角等于其所对的内角：三角形的外角等于其所对的内角。
这是因为外角是由三角形的一条边和其相邻的两个非共线边组成的，而其所对的内角是由三角形的另外两条边组成的。
四、三角形外角的应用1.求解三角形内角：已知三角形的两个内角，可以通过外角性质求解第三个内角。
具体方法是，将已知的两个内角相加，然后从180度中减去这个和，得到第三个内角的度数。
2.判断三角形的类型：通过三角形的外角可以判断三角形的类型。
例如，如果一个三角形的一个外角大于90度，那么这个三角形是钝角三角形；如果一个三角形的一个外角等于90度，那么这个三角形是直角三角形；如果一个三角形的三个外角都小于90度，那么这个三角形是锐角三角形。
3.解决实际问题：三角形外角的应用不仅限于理论上的问题，还可以解决实际问题。
例如，在建筑设计中，可以通过计算三角形的外角来确定建筑物的结构稳定性；在地理测量中，可以通过测量三角形的外角来确定地面的形状和位置。
三角形的外角关系及其推论
04 三角形外角关系推 论
推论一：三角形外角大于任何一个与它不相邻的内角
定理：三角形的外角大于任何一 个与它不相邻的内角
应用：在解决几何问题时，这个 推论可以帮助我们快速判断三角 形的外角大小关系
添加标题
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证明：通过三角形内角和为180 度，以及三角形外角的定义，可 以得出这个结论
应用实例：在数学竞赛中，经常出现涉及三角形外角的题目，需要运用三 角形外角关系进行解答 技巧总结：掌握三角形外角关系，有助于在数学竞赛中快速解题，提高解 题效率
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05
三角形外角在实际 问题中的应用
在几何作图中的应用
确定三角形的形状：通过已知的外角，可以判断三角形的形状 计算角度：通过已知的外角，可以计算出其他角度的大小 判断三角形的相似性：通过已知的外角，可以判断两个三角形是否相似 计算面积：通过已知的外角，可以计算出三角形的面积
在解决实际问题中的应用
判断三角形的形状：根据外角和定理，可以判断三角形是锐角、直角还是钝角三角形。
计算角度：利用外角和定理，可以计算出三角形中某个角的大小。
证明三角形全等：在证明两个三角形全等时，外角和定理可以作为一个重要的依据。
解决实际问题：在解决一些实际问题时，如建筑、测量等领域，外角和定理可以帮助我们 更好地理解和解决问题。
外角定理的证明：通过三角形内角和为180度，以及三角形外角的定义，可 以证明外角定理。
外角定理的应用：在解决三角形问题时，外角定理可以帮助我们快速找到 答案。
外角定理的推广：外角定理可以推广到多边形，即多边形的外角和等于360 度。
外角定理的证明
外角定理的定义：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的外角数学八年级上册人教版
三角形的外角数学八年级上册人教版在学习数学的过程中，我们都会遇到各种各样的几何形体，其中三角形是最基本、最常见的一种几何形体。
今天我们要探讨的是三角形的外角。
首先，我们来了解一下什么是三角形的外角。
在任意一个三角形中，如果我们把一个内角的补角也放在三角形的外部，那么这个外角就是该内角的外角。
通俗地说，外角就是指从三角形某个顶点出发，向外延伸的角度。
那么，三角形的外角有什么特点呢？首先，我们可以发现一个有趣的规律：三角形的一个外角等于其余两个内角的和。
这就是说，无论是直角三角形、钝角三角形还是锐角三角形，它们的外角之和都是180度。
接下来，我们来看一下如何计算三角形的外角。
有一种简便的方法，就是用180度减去该内角的度数。
例如，如果一个内角的度数是60度，那么它的外角就是180度减去60度，即120度。
同理，我们也可以得出三个内角对应的三个外角的度数。
除了以上的基本知识，我们还需要了解一些与三角形外角有关的重要概念。
一个是内角和外角的关系，就是内角和它所对应的外角之和等于180度。
另一个是三角形外角定理，即三角形的一个外角等于其余两个内角的和。
我们在解题的过程中，可以利用这些定理来推导出正确的结果。
最后，我们来练习一些与三角形外角相关的题目。
例如，已知一个三角形的两个内角分别是60度和80度，求第三个内角和三个外角的度数。
根据外角定理，第三个内角的度数等于180度减去前两个内角的和，即180度-60度-80度=40度。
而三个外角的度数分别等于180度减去对应内角的度数，即180度-60度=120度，180度-80度=100度，180度-40度=140度。
通过以上的学习，我们已经掌握了三角形外角的概念、特点和计算方法。
对于接下来的学习和解题，我们可以更加轻松地应对了。
希望大家能够通过不断练习和巩固，深入理解三角形外角的知识，提升自己的数学水平。
让我们一起努力，共同成长吧！。
《三角形的外角》教学课件
定理应用举例
角B的外角 = 角A + 角C = 120°
解这个方程组，我们 可以得到三角形ABC 各内角的度数。
角C的外角 = 角A + 角B = 150°
定理应用举例
例2
在三角形ABC中，已知D是BC边上一 点，且BD = AB，CD = AC，求角 BAC的度数。
分析
根据题目条件，我们可以得到以下信 息
多边形外角和公式推导
01
多边形的外角和指的是多边形所有外角之和。
02
对于任意多边形，其外角和等于360°。
03
推导过程：由于多边形的每个内角与其相邻的外角互补，即内角+外角=180°， 因此多边形的内角和与外角和互补。已知多边形的内角和为（n-2）×180°，则 多边形的外角和等于360°。
实例计算多边形外角和
通过构造辅助线，将问题转化为与三角形外角相关的问题，从而证明线段或角度的相等关系。
05 拓展：多边形外角和计算方法
多边形内角和回顾
01
多边形的内角和公式为（n-2）×180°，其中n为多边形 的边数。
02
对于三角形，内角和为180°；对于四边形，内角和为 360°，以此类推。
03
多边形的内角和可以通过划分成多个三角形来计算，每 个三角形的内角和为180°。
最后，我们可以得到： 角BAC = 180° - (角B + 角C) = 90°。
03 特殊三角形中外角特点分析
等腰三角形外角特点
等腰三角形两个底角的外角相等 。
等腰三角形顶角的外角等于底角 的两倍。
等腰三角形任意一边上的外角等 于不相邻的两个内角之和。
等边三角形外角特点
等边三角形的三个外角都相等。 每个外角都等于120°，是内角（60°）的两倍。
《三角形的外角》三角形
利用三角形的外角求两线段的和
总结词
在几何学中，三角形的外角可以用于求解两条线段的和 。通过利用三角形外角的性质，我们可以找到一个角度 ，该角度等于两条线段与一个外角的和。
详细描述
给定一个三角形ABC，其中D是AB边上的一个点。我们 可以根据题目已知的信息，利用三角形的外角来求解线 段AD和BD的和。首先，我们找到三角形ABC的外角 CBD，然后利用三角形外角的性质，即一个外角等于与 它不相邻的两个内角的和，我们可以得到CBD = $\angle BAC + \angle ABC$。由于$\angle BAC$和 $\angle ABC$都是已知的，我们可以通过计算得到CBD 的度数。然后，我们可以利用CBD的度数来求解线段AD 和BD的和。根据题目已知的信息，我们知道$\angle ADB = CBD$，因此，线段AD和BD的和就是以AB为边 的等腰三角形的底边长，即AD + BD = AB。
性质
三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和。三角形的一个外角大 于任何一个和它不相邻的内角。三角 形的一个外角是它相邻内角的补角。
三角形外角的计算方法
方法一
利用三角形内角和定理求三角形外角。已知三角形三个内角之和为180度，求 一个外角就是将三个内角之和减去一个内角，即可得到外角大小。
方法二
三角形外角与多边形外角的倍数关系
总结词
无特定关系
详细描述
三角形和多边形的外角之间没有特定的倍数 关系。虽然三角形的每个外角都相等，而多 边形的每个外角都不相等，但这并不意味着 它们之间存在特定的倍数关系。
04
三角形的外角在几何中的 应用
利用三角形的外角证明几何定理
三角形的外角新
腰三角形，可能存在多解的情况，需要注意选择正确的解。
03
三角形外角的应用
在几何作图中的应用
确定图形形状
三角形外角可以用于确定三角形的形状，例如，如果一个三 角形的三个外角都是钝角，那么这个三角形是钝角三角形。
辅助线构造
在几何证明中，常常需要通过作辅助线来构造全等或相似三 角形，三角形外角可以用于确定这些辅助线的方向和位置。
在解三角形中的应用
求解角度
已知一个三角形的三个内角，可以通过求每个内角的对应外角来求解三角形 的外角。
判断形状
根据三角形外角的性质，可以判断一个三角形的形状是锐角三角形、直角三 角形还是钝角三角形。
在证明三角形全等中的应用
传递性质
三角形外角的性质可以用于证明两个三角形全等，例如，如果两个三角形有相同 的两个外角和，那么这两个三角形必然全等。
三角形外角大于任意两个内角 之和。
三角形外角的性质
三角形外角与相邻的内角互补。 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
三角形外角定理
1
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 之和。
2
三角形中任意两个内角之和大于第三个内角。
3
三角形中任意两个内角之和小于第三个内角。
THANKS
感谢观看
三角形内角的总和与外角的总和相等，都等于 180度。
2024版三角形的外角
03
特殊三角形外角性质研究
等腰三角形外角性质
等腰三角形两个底角的外角相等。
等腰三角形顶角的外角等于底角 的两倍。
等腰三角形底角的外角等于顶角 与另一底角之和。
等边三角形外角性质
等边三角形的三个外角都相等。
每个外角都等于120°，因为每 个内角都是60°。
任意一边上的外角等于其他两 边上的内角之和。
航海和航空中，可以利用三角形外角来计算航向和航程，确保航行安全和准确性。
物理学中，三角形外角的概念被应用于光学和力学等领域，如反射角和折射角的计 算。
思维拓展与创新
探究三角形外角性质在多维空间中的推广和应用，例如在三维空间中研究四面体的外角性质。
将三角形外角的性质与其他数学知识相结合，创新性地解决一些复杂的问题，如利用三角函 数、向量等工具来研究三角形外角。
典型例题解析
例题1
已知三角形ABC中，角A=50°，角B=60°，求角C的外角度 数。
解析
根据三角形内角和定理，角C=180°-50°-60°=70°。因此， 角C的外角度数为180°-70°=110°。
例题2
已知三角形的一个外角为120°，与它相邻的内角度数为40°， 求与它不相邻的两个内角的度数。
三角形的外角
• 三角形外角基本概念与性质 • 三角形外角定理及其应用 • 特殊三角形外角性质研究 • 三角形外角在几何证明中应用 • 三角形外角在解决实际问题中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
三角形外角基本概念与性质
定义及性质介绍
三角形外角的定义
三角形的一个外角是三角形的一边 与另一边的延长线组成的角。
三角形的一个外角大 于任何一个与它不相 邻的内角。
定理证明过程展示
《三角形的外角》三角形
通过测量三角形边长和角度，可以计算出内角的大小。此外，还可以使用几何作图方法来计算内角的 大小。
三角形内角的应用
01
02
03
确定三角形形状
通过测量三角形内角的角 度，可以确定三角形的形 状是锐角三角形、直角三 角形还是钝角三角形。
计算三角形面积
知道三角形的底和高，可 以通过计算三角形内角的 角度来计算三角形面积。
06
三角形的实际应用
在几何学中的应用
定理和性质的运用
利用三角形的外角定理和性质 ，可以解决许多几何问题，如
证明平行线、找角度等。
三角形分类的应用
根据三角形的边长、角度等特 征，可以进行三角形分类，如 等边三角形、等腰三角形等， 这些分类在几何学中有重要的
应用价值。
三角形重心的应用
三角形的重心是三条中线的交 点，它可以将三角形的重量均 匀地分散到其他两个顶点上， 这在一些图形构造和测量中具
三角形外角的计算方法
方法一
利用三角形内角和定理求三角形外角。已知三角形三个内角 之和为180度，求一个外角就是将三个内角之和减去一个内角 ，或将一个内角加上一个与该内角相邻的内角（即180度减去 该内角）。
方法二
利用三角形外角定理求三角形外角。已知三角形三个内角之 和为180度，求一个外角就是将三个内角之和减去一个内角， 或将一个内角加上一个与该内角相邻的内角（即180度减去该 内角）。
三角形外角的应用
应用一
在几何问题中，三角形外角可以用于求解一些与三角形内角和、角度关系的问题。例如，通过已知三角形的一 个外角，可以求出与之相邻的内角的度数；或者通过已知三角形的一个内角，可以求出与该内角相邻的外角的 度数。
应用二
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D
已知：△ABC，∠1 是外角 求证：∠1 =∠A+∠B
通过探究方法一：动手 操作. 探究方法二：添加辅助 线： 由学生探究完成。
证明： （由学生探究完成） 探究方法一：动手操作. 探究方法二：添加辅助线： 由学生探究完成
归纳得出结论
归纳三角形的外角性质 1：
三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和 几何语言: ∵∠1 是△ABC 的外角 ∴∠1 =∠A+∠B
七年级数学指导教学书
时间：2016 年 5 月
课 教材 分析 学情 分析 题
主备人：何召香
审核人：陈金霞
课型 新授课
13.1（4）三角形的外角
在掌握三角形内角和 180 度的基础上， 让学生经历观察、 思考、 猜想、 归纳、 推理的活动过程，引导学生研究三角形的内、外角之间的关系，提高学生的 合作意识和沟通、表达能力。 通过前面的学习，学生对于三角形的基础知识有了一定的了解，知道三角形 的内角和 180 度。 知识目标 1.掌握三角形的外角的定义和两条性质。 2.能利用三角形的外角性质解决问题。 能力目标 1 让学生经历观察、思考、猜想、归纳、推理的活动过程； 2 通过合作研究三角形的内、外角之间的关系，提高学生的合作 意识和沟通、表达能力。 情感目标：通过观察和画图，体会探索过程，学会推理的数学思想方法，培 养主动探索、勇于发现，敢于实践及合作交流的习惯。 重难点：与三角形的外角的有关的两条性质以及外角的性质的推理。 多媒体投影 一课时 教学过程 学习任务 活动设计 动手操作： 通过画图，复习三角形 的基本知识。引出概 念。
页 3，4，5（组内互批， 批阅完成达成二次纠 错）
六：课堂小结：通过本节课的学习，你有哪些收获？
布置作业 练习册 58 页
13.1（4）三角形的外角 板书设计 一、定义： 二、性质：1、……. 2、…….
B A
学生板书
1
)
C
D
教学反思
（一） 口答：练习一 1.2.3 巩 固性质 （二）精讲点拨：先让 学生独立思考，再纠正 书写过程规范
（三） ：做练习二 4.5.6 题 四、巩固练习一 1、求下列各图中∠1 的度数。 2.如图 AB∥CD
D
小组合作，纠正答
案
,∠A=40°,∠D=45°，求∠1 和∠2.
C
3 2Leabharlann AB13、把图中∠1、 ∠2、 ∠3 按由大到小的顺序排列
巩固练习二
4.如图 D、 E 分别在 AB、 AC 上， BE、 CD 相交于 F， ∠A=62°， ∠ACD=35°， ∠ABE=20°，则∠BDC= ----- ，∠BFC=-------
小组合作，纠正答案 小组交流互帮要求： 1 ．互说：同桌结对， 起立互说解题思路或 5.如图， 已知 AB∥CD， ∠A=35°， ∠C=75°， 则∠M= ----。 过程；
归纳出性质并会用符 号表示
归纳三角形的外角性质 2：
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 符号表示：--------------------。
说明： 先做练习一，再 精讲点拨例题， 再做练习二。
三.精讲点拨
例：在△ABC 中，∠A＝５０°，高 BE，CF 交于 O，求∠BOC 的度
解∵BE ⊥AC,CF⊥AB BEA=∠BFC=90 在△BEA 中 ∠ABE=180°-∠A-∠BEA =180°-50°-90° =40° 在△BOF 中 ∠BOC=∠BFO+∠ABE =90°+40° =130°
6.如图， DE 交△ABC 的边 AB、 AC 于 D、 E， 交 BC 延长线于 F， ∠B=67°， ∠ACB=74°，∠AED=48°，则∠BDF=
五挑战自我，勇往直前： 如图，五角星 ABCDE 中。 （1）已知∠C=40°，∠E=40°，求∠1 的度数。 （2）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数，有几种方法？ 先独立思考，后小组合 作完成。 （交流展示， 精讲点拨）. 当堂检测 练习册 58
教学 目标
教学重难点 教学准备 教学课时
一、创设情景，提出问题
请画出任意△ABC，延长三角形一边。 概念整理： 三角形外角的定义
练习 1、图中的∠1 、∠2 、∠3 分别是哪个三角形的外角?
A
3 B
2 C
1 D
二、活动探究，探索新知：
图中的∠1 与各内角之间有着怎样的数量关系？请说明理由。
A
1
B
)
C