2017高考数学必考点【函数的极值与导数的关系】整理.doc
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结高考数学知识点：函数的极值与导数的关系极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，函数的最大值和最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
函数的极值与导数
a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．(－1,0)
(2)设 a∈R，若函数 y＝ex＋ax，x∈R，有大于零的极值点，
则(;－1
C．a<－1
D．a>－1e
(3)已知函数f(x)＝x3－ax2＋3ax＋1在区间(－2,2)内，既有 极大值也有极小值，则实数a的取值范围是____________.
思考5 可导函数f(x)在点x0处取极值的充要条件是什么？
思考6 求可导函数f(x)的极值的步骤有哪些？
[达标自评] 1 ． 判 断 下 列 说 法 是 否 正 确 ． ( 正 确 的 打 “ √” ， 错 误 的 打 “×”) (1) 函数的极大值一定大于极小值．( ) (2) 对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是点x0为极值点的充要条 件．( ) (3)可导函数f(x)在(a，b)上一定有极大或极小值．( ) 答案 (1)× (2)× (3)×
f′(x)
－
0
＋
f(x)
递减
极小值 3
递增
因此当 x＝1 时，f(x)有极小值，并且 f(1)＝3.
[跟踪训练 1] 求下列函数的极值： (1) f(x)＝(x2－1)3＋1； (2)y＝2xx3－－122.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
(－∞，
(1，＋
x
－1) －1 (－1,0) 0
答案 3，131
解析 f′(x)＝x2－ax＋2，∴x1，x2 是 f′(x)＝0 的两个根， 由 0<x1<1<x2<3，结合二次函数的性质得：
f′0＝2>0， f′1＝1－a＋2<0， f′3＝9－3a＋2>0.
函数极值与导数
函数极值与导数函数极值与导数是数学中的一个重要概念，在微积分学中起到了极为重要的作用。
它们被广泛应用于理论研究和实际问题解决中，为人们的工作和生活带来了便利和创新。
本文将分步骤阐述函数极值与导数的相关知识。
第一步：导数的定义和性质在微积分学中，导数是函数变化率的表示，它是函数在某一点的切线斜率。
导数的定义是：当自变量的增量趋近于0时，函数值的增量与自变量增量之比的极限称为函数在该点的导数。
一般用符号f‘(x)表示。
导数具有以下的性质：（1）导数存在的充分必要条件是函数在该点连续；（2）可导函数的任何一点，切线必然过曲线上相应点；（3）可导函数微小区间上的平均变化率在微小区间趋于零时的极限，等于这个区间的导数。
第二步：函数极值的定义和判定函数极值是指函数取得最大值或最小值的点，它是函数曲线的拐点。
函数的极大值和极小值统称为极值。
通常用f(x)表示函数，x0表示函数的零点，若f(x)在x0处取得极大值，则称f(x)在x0处取得极大值；若f(x)在x0处取得极小值，则称f(x)在x0处取得极小值。
判断函数的极值可以采用以下常用方法：（1）导数法：求出函数的导数f’(x)，令其等于0，求根，根即为函数的极值点。
（2）二阶导数法：计算函数的二阶导数f’’(x)，当f’(x)=0，f’’(x)<0时，函数在该点有极大值；当f’(x)=0，f’’(x)>0时，函数在该点有极小值。
（3）边界法：当函数定义域中存在有限区间[a，b]时，在区间端点处极值的情况也可能存在，可以通过求函数在端点取值情况比较的方法来判断该区间内的极值情况。
第三步：函数极值的应用函数极值在实际问题中的应用非常广泛，下面以几个例子进行说明：（1）优化生产问题：生产厂家需要求出生产成本的最小值，可以将生产成本函数的导数求解，找出导数为0的点以及随着自变量的变化，导数变化的趋势，决策者可以依据这些信息来做最优化生产。
（2）为了研究影响空气和水质的因素，需要分析空气和水样品的样本数据，用标准正态分布的概率密度函数来进行拟合，根据函数图像的形状以及导数、二阶导数的符号来判断峰值和谷值。
求导与函数的极值
求导与函数的极值在微积分中，求导是一个重要的概念，它可以用来求函数在某点的变化率，并且可以帮助我们找到函数的极值点。
本文将重点讨论求导与函数的极值之间的关系。
一、求导的基本定义和规则求导，简单来说，就是求函数的导数。
函数的导数表示了函数在某一点上的变化率，也可以理解为函数的斜率。
假设有函数f(x)，它在某点x处的导数可以用以下公式表示：f'(x) = lim[h→0] (f(x+h) - f(x))/h其中lim[h→0]表示当h趋近于0时的极限值。
根据这个定义，我们可以求出一些基本函数的导数：1. 常数函数：常数函数的导数为0，即f'(x) = 0。
2. 幂函数：幂函数f(x) = x^n的导数为f'(x) = nx^{n-1}。
3. 指数函数：指数函数f(x) = a^x（a>0，且a≠1）的导数为f'(x) =a^x * ln(a)。
4. 对数函数：对数函数f(x) = log_a(x)（a>0，且a≠1）的导数为f'(x) = 1/(xln(a))。
此外，还有一些基本的求导规则：1. 常数乘法法则：若函数f(x) = c * g(x)，其中c为常数，则f'(x) = c * g'(x)。
2. 和差法则：若函数f(x) = g(x) ± h(x)，则f'(x) = g'(x) ± h'(x)。
3. 积法则：若函数f(x) = g(x) * h(x)，则f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) *h'(x)。
4. 商法则：若函数f(x) = g(x) / h(x)，则f'(x) = [g'(x) * h(x) - g(x) *h'(x)] / h(x)^2。
这些基本的求导定义和规则非常重要，我们可以利用它们来求解各种函数的导数。
【高中数学】高中数学知识点：函数的最值与导数的关系
【高中数学】高中数学知识点：函数的最值与导数的关系函数的最大值和最小值：闭合区间[a，b]上的连续函数f（x）必须在[a，b]上具有最大值和最小值，这分别对应于区间上函数值的最大值和最小值。
利用导数求函数的最值步骤：（1）求（a，b）中F（x）的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
用导数法计算最大值。
特别提醒：①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；② 如果只求最大值，也可以简化上述方法，因为[a，b]中函数FX的所有极值只能在F（x）的导数为零或不存在导数的点（以下称为可疑点）处获得，因此，只需找到这些可疑点，然后计算可疑点处F（x）的函数值，通过与区间结束时的函数值进行比较，即可得到最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。
生活中的优化问题：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，许多优化问题可以转化为寻找函数最大值的问题。
导数法是解决这类问题的有效工具用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：（1）在计算实际问题的最大（最小）值时，必须考虑实际问题的重要性，不符合实际重要性的值应四舍五入；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；（3）在解决函数关系优化问题时，我们不仅要注意函数关系的定义，还要注意函数关系的确定利用导数解决生活中的优化问题：（1）用导数解决实际问题的关键是建立适当的数学模型（函数关系、方程或不等式），并利用导数的知识和方法进行求解，主要转化为求最大值的问题，最后反馈到实际问题中(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，① 求（a，b）上函数y=f（x）的极值；②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（3）对于开区间（a，b）上定义的可微函数，如果只有一个极值点，则该极值点必须是最大值点。
函数极值、最值与导数的关系bk
函数极值、最值与导数的关系一、利用导数求函数极值的方法一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，判别f (x 0)是极大（小）值的方法是：（1）如果在x 0附近的左侧f '(x )＞0，右侧f '(x )＜0，那么，f (x 0)是极大值；（2）如果在x 0附近的左侧f '(x )＜0，右侧f '(x )＞0，那么，f (x 0)是极小值.二、函数的最值与导数的关系1、最值定义：设函数y =f （x ）的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意实数x ∈I ，都有f (x )≤ (≥)M ；②存在x 0∈I 。
使得f (x 0)=M ，那么，我们称实数M 是函数y =f (x )的最大（小）值.2、利用导数求闭区间[a ,b ]上的最值利用导数求出函数极值点（不在区间上的极值点要舍去），再求出求出闭区间上的与端 点值，最大者为最大值，最小者为最小值.相关习题1.(2010深圳九校)下图是)(x f y =的导函数)('x f 的图象，下面判断正确的是( )A.在 (－2,1)上)(x f 是增函数B.在 (1,3)上)(x f 是减函数C.在 (4,5)上)(x f 是增函数D. x ＝4时，)(x f 取极大值2.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b aA.1个B.2个C.3个D.4个 3.(2012陕西文)设函数x xx f ln 2)(+=则（ ） A.21=x 为)(x f 的极大值点 B.21=x 为)(x f 的极小值点 C.2=x 为)(x f 的极大值点 D.2=x 为)(x f 的极小值点4.函数y =x 3－3x 的极大值为m ，极小值为n ，则m +n 为( )A.0B.1C.2D.45.已知函数m x x y ++-=233的极大值为10，则m = ；6.234213141)(x x x x f ++=在[－1,1]上的最小值为__________. x7.(2011重庆文) 设函数12)(23+++=bx ax x x f 的导数为)('x f ，若函数)('x f y =的图象关于21-=x 对称，且0)1('=f . （1）求实数a 、b 的值；（2）求函数)(x f 的极值.8.设函数8332)(23+++=bx ax x x f 在1x =及2x =时取得极值（1）求a 、b 的值； （2）若对于任意的[03]x ∈，，都有m x f <)(成立，求m 的取值范围．9. (2012重庆文)已知函数c bx ax x f ++=3)(在点2=x 处取得极值16-c .(1)求b a ,的值；（2）若)(x f 有极大值28，求)(x f 在区间]3,3[-的最小值.。
函数的极值与导数
f (x3)
f (x4 )
f (x1 )
f (x2)
O a x1
x2
x3 x4 b
x
【函数的极值与导数的关系】
(1)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)>0
右侧f /(x0)<0, 那么f(x0)是极大值
(2)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)<0
极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.
y
f (x3)
f (x4 )பைடு நூலகம்
f (x1 )
f (x2)
O a x1
x2
x3 x4 b
x
观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值, 并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.
【关于极值概念的几点说明】
(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附 近的大小情况;
函数的极值与导数
【复习与思考】
已知函数 f(x)=2x3-6x2+7 (1)求f(x)的单调区间,并画出其图象; (2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值与这 两点附近的函数值有什么关系?
【函数极值的定义】
设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义， (1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的 函数值都大，即f(x)<f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极大值.记作:y极大值=f(x0) (2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的 函数值都小，即f(x)>f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极小值.记作:y极小值=f(x0)
(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;
(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的 极大值未必大于极小值;
数学导数与函数极值的关系知识点
数学导数与函数极值的关系知识点在咱们学习数学的漫漫长路中，导数与函数极值的关系这个知识点，那可真是让人又爱又恨。
今天，我就来跟您好好唠唠这个看似神秘，实则有趣的家伙。
先来说说啥是导数。
这导数啊，就像是函数的“侦察兵”，能告诉咱们函数在某一点的变化快慢。
想象一下，函数图像就像是一条弯弯曲曲的道路，而导数呢，就是在每个点上告诉你这条路是在上坡、下坡还是走平路。
那函数极值又是啥呢？简单说，就是函数在某个区间内达到的最大值或者最小值。
比如说，您开着车在山路上行驶，总有那么几个点是最高的山峰或者最低的山谷，这就是极值点。
这导数和函数极值到底有啥关系呢？这关系可大着呢！咱们先假设一个函数 f(x) ，然后对它求导，得到 f'（x) 。
当 f'（x)＝ 0 的时候，这一点就有可能是极值点。
但要注意哦，只是有可能，不是一定！这就好比您在路上看到一个牌子写着“可能有宝藏”，但到底有没有，还得进一步考察。
我给您举个特别通俗的例子。
比如说有个函数 f(x) ＝ x² 4x ＋ 3 ，咱们来求它的极值。
先求导，f'（x) ＝ 2x 4 。
让 f'（x) ＝ 0 ，也就是 2x 4 ＝ 0 ，解出来 x ＝ 2 。
那 x ＝ 2 这个点是不是极值点呢？这时候还不能确定，咱们得再看看它两边的情况。
当 x ＜ 2 的时候，比如说 x ＝ 1 ，f'（1) ＝ 2×1 4 ＝－2 ，这说明函数在 x ＝ 1 这点是在下降的。
当 x ＞ 2 的时候，比如说 x ＝ 3 ，f'（3) ＝ 2×3 4 ＝ 2 ，这说明函数在 x ＝ 3 这点是在上升的。
您瞧，从下降变成上升，中间经过的 x ＝ 2 这个点，不就是极小值点嘛！把 x＝ 2 代入原函数 f(2) ＝ 2² 4×2 ＋ 3 ＝－1 ，所以极小值就是－1 。
再比如说，有个函数 f(x) ＝ x³＋ 3x²，还是先求导，f'（x) ＝－3x²＋ 6x 。
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2017高考数学必考点【函数的极值与导数的关系】整
理
高考数学想要取得好成绩必须要掌握好数学考点，很多考生在记忆数学考点的时候不够准确，因此在考试答题的时候就会模棱两可，为此下面为大家带来2017高考数学必考点【函数的极值与导数的关系】整理，希望大家能够认真掌握这些考点。
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系
极值的定义：
(1)极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)
(2)极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点。
极值的性质：
(1)极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小;
(2)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个;
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值;
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值
点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
判别f(x0)是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足左正右负，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值;如果在x0两侧满足左负右正，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值。
求函数f(x)的极值的步骤：
(1)确定函数的定义区间，求导数f(x);
(2)求方程f(x)=0的根;
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：
①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b(因为在端点不可导).如图
②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可.要注意极值必须在区间内的连续点取得.一个函数在定义域内可以有许多个极
小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图.
③若fx)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值.
④若函数f(x)在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f(x)在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f(x)在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，
函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
利用导数求函数的最值步骤：
(1)求f(x)在(a，b)内的极值;
(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在[a，b]上的最值。
用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大(小)值
不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值;
②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，
b]内的全部极值，只能在f(x)的导数为零的点或导数不存在的点取得(下称这两种点为可疑点)，所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f(x)在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值;
③当f(x)为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。
生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，
不少优化问题可以化为求函数最值问题.导数方法是解这类问题的有效工具.
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去;
(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f(x)=0的情形.如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大(小)值;
(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间.
利用导数解决生活中的优化问题：
(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型(函数关系、方程或不等式)，运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中.
(2)利用导数求f(x)在闭区间[a,时间管理，b]上的最大值和最小值的步骤，
①求函数y =f(x)在(a，b)上的极值;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点.
2017高考数学必考点【函数的极值与导数的关系】整理为大家带来过了，数学考点是我们解题的重要依据，希望大家在记忆数学考点的时候多下功夫。