3.2.3立体几何中的向量方法(角)5
高中数学 3.2.3用空间向量求空间角课件 新人教A版选修
uuur uuuur x uAuFur1 • uBuDuur1
1 1 4
30
| AF1 || BD1 |
5 3 10
42
30
所以 BD与1 A所F1成角的余弦值为 10
[悟一法] 利用向量求异面直线所成的角的步骤为： (1)确定空间两条直线的方向向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线线角与向量夹角的关系；当向量夹角为锐角时， 即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向 量夹角的补角．
z
（1）求证： 直线B1O 面MAC;
（2）求二面角
uuur
Bu1uur
MA
uuuur
C
的余弦值.
D1
①证明：以 DA、DC、DD1为正交基底， A1 建立空间直角坐标系如图。则可得
M
uuur
uuuur
所以MA (2，0，1)，MC (0，2，1)，
uuur B1O (1，1， 2)
D O
A(2，0，0)，C(0，2，0)，M (0，0，1)， A
xB
3
AD与平面ANM所成角的正弦值是3 34 34
Dy
C
[悟一法] 利用向量法求直线与平面所成角的步骤为： (1)确定直线的方向向量和平面的法向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角 时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角 等于这个夹角减去90°.
①向量法
D1
C1 ② 传统法
A1
B1
O
D A
C B
练习：在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 6, AD 8,
AA1 6, M为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N在线段A1D上，
高中数学3.2立体几何中的向量方法课件-(共43张PPT)
，即14x＋ 43y＋12z＝0
，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵ PD ＝0，23 3，－1，显然 PD ＝
3 3 n.
26
∵ PD ∥n，∴ PD ⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
探究提高 证明线面平行和垂直问题，可以用 几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在 于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定 理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直 角坐标系，其证法较为灵活方便.
7
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
17
题型分类 深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
18
证明 方法一 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的
1，得
x
1 2
y 1
r n
(
1
,
1,1),
2
10
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗？
立体几何中的向量方法空间角
点 A 到平面 MNC 的距离为 a . 2
P
N
D
C
M
A
B
4. 异面直线间旳距离
已知a,b是异面直线, CD为a,b旳公垂线,
n是直线CD的方向向量，
A，B分别在直线a,b上
b
n
C A
DB a
n AB d CD
n
例.已知：直三棱柱ABC A1B1C1的侧棱AA1 4, 底面ABC中, AC BC 2, BCA 900, E为AB的中点。求CE与AB1的距离。
由(1)知D(0，0，0)，P(0，0，1)，
z P
B(1，1，0)，E(0，1 ，1) 22
E
y
PD (0，0，1)，EB (1，1 ， 1)
C
B
22
x
G
00 1
cos PD，EB
2
D
6
A
13
6
2
所以EB与底面ABCD所成旳角旳正弦值为 6
6
所以EB与底面ABCD所成旳角旳正切值为
5 5
练习5： 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC旳中 点，作EF⊥PB交PB于点F.
|
6 3
即所求二面角得余弦值是 6 3
1. 三棱锥P-ABC PA⊥ABC,PA=AB=AC,
BAC 900,E为PC中点 ,则PA与BE所成角旳
余弦值为____6_____ . 6
2. 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, BAC 900 AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成 角旳余弦值为__31_01_0_____ .
x
3.2.3 立体几何中的向量方法三)
C D B
进行向量运算
2
A 图3
d AB ( AC CD DB )
2
2
AB CD BD 2( AC CD AC DB CD DB )
a 2 c 2 b 2 2 AC DB a 2 c 2 b 2 2CA DB 于是，得 2CA DB a 2 b 2 c 2 d 2
d 2 a 2 b2 c 2 cos 2(ab bc ac)
（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 a ，并且以某一顶
点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻 D1 两个夹角的余弦值吗？ 分析： 二面角 平面角 向量的夹角 回归图形 解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作 A A1E⊥AB 于点 E， 在平面 AC 内作 CF⊥AB 于 F。
向量的有关知识：
两向量数量积的定义：a· b=|a|· |b|· cos〈a,b〉
a b 两向量夹角公式：cos 〈a,b〉 = ab
直线的方向向量：与直线平行的非零向量 平面的法向量：与平面垂直的向量
(课本第107页练习2)如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直 线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知 AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长. 解: CA 6 , AB 4 , BD 8 且 CA AB, BD AB , CA, BD 120
cos cos AB, CD
B
AB CD AB CD
C
L
D
A
例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B 处。从A，B到直线 l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为 d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
立体几何中的向量方法
3.2立体几何中的向量方法1.直线的方向向量：我们把直线l 上的向量a 以及与a 共线的向量叫做直线l 的方向向量.2.平面的法向量：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥a ，那么向量a 叫做平面α的法向量.给定一个点，以向量为法向量的平面是完全确定的.3.空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及到的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．4.用向量研究空间线面关系，设空间两条直线21,l l 的方向向量分别为21,e e ，两个平面21,αα的法向量分别为21,n n ，则有如下结论5.用向量法求线线角：A B 与C D 的夹角和AB与CD 的夹角相等或互补.公式为cos ,||||AB C DAB C D AB C D ⋅<>=. 6.法向量求线面角：设平面β的斜线l 与平面β所成的角为α1，斜线l 与平面β的法向量所成角α2，则α1与α2互余或与α2的补角互余.求出斜线与平面的法向量所成的角后，即可求出斜线与平面所成的角的大小.公式为cos ,||||AB nAB n AB n ⋅<>=. 7.法向量求面面角：一个二面角的平面角α1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角α2相等或互补.求出两平面的法向量所成的角后，即可求出二面角的大小.公式为121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>=.8.向量法求异面直线间的距离：设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为a ，与这两条异面直线都垂直的向量为n ，则两异面直线间的距离是a 在n 方向上的正射影向量的模.公式为d =9.向量法求点到平面的距离：设分别以平面外一点P 与平面内一点M 为起点和终点的向量为a ，平面的法向量为n ，则P 到平面的距离d 等于a 在n 方向上正射影向量的模.公式为d =.（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112A CBC A A ==，D 是棱1A A 的中点，1D C BD ⊥。
立体几何中的向量方法
立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法是一种应用向量的数学工具和技巧来研究和解决与立体几何相关的问题的方法。
向量方法可以使得我们更加直观地理解和推导立体几何中的性质和结论，并且可以解决许多传统几何方法比较复杂的问题。
在本文中，我们将详细讨论立体几何中的向量方法，并且给出一些具体的例子来说明其应用。
首先，我们需要明确向量的基本概念和性质。
在立体几何中，我们通常使用三维空间中的向量来描述和表示几何体。
一个向量可以被表示成一个有方向和长度的箭头，其中方向表示向量指向的方向，长度表示向量的大小。
在数学上，向量可以用坐标表示，如表示为一个三维向量(a,b,c)，其中a，b，c分别表示向量在三个坐标轴上的分量。
利用向量的表示方法，我们可以推导出一些基本的立体几何结论。
例如，我们可以根据向量的平行和垂直性质来判断线段、直线和平面的关系。
如果两个向量平行，则它们所表示的线段或直线也是平行的。
如果两个向量垂直，则它们所表示的线段或直线也是垂直的。
另外，向量的加法和减法也是我们在立体几何中常常使用的运算。
如果我们想要求两个向量之和，则可以将它们的对应分量相加得到新的向量。
同样地，如果我们想要求两个向量的差，则可以将它们的对应分量相减得到新的向量。
这些运算对于求解几何体的位置、长度和角度等问题非常有用。
进一步地，向量的数量积和向量积是在立体几何中经常应用的运算。
数量积（也称为点积）可以用来求解两个向量之间的夹角。
具体地，如果两个向量A和B的数量积为0，则它们是垂直的；如果数量积为正，则它们是锐角；如果数量积为负，则它们是钝角。
向量积（也称为叉积）可以用来求解一个平面的法向量，以及计算平面的面积和体积。
具体地，向量积的大小等于该平面的面积的二倍，而向量积的方向与该平面垂直，并且遵循右手定则。
除了上述的基本运算和性质，向量方法还可以应用于解决许多具体的立体几何问题。
例如，通过向量法可以证明平行四边形的对角线互相平分，并且可以推导出梅涅劳斯定理（即三角形的三条中线交于一点且互相平分）。
3.2.3空间角分解
则
1
2
2
(0 1
1 2 2
,0 2 )
n B
而利用 cos 2 从而再求出
2 AB n
AB n
可求
2 ，
A
2
1
1
n
2. 线面角
设直线l的方向向量为 a ，平面 的法向量为 直线 l 与平面 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ),则
空间“角度”问题
复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向
量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题； （化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形）
2
), 则
cos
ab a b
l
l
a
a b
m
例1 Rt ABC中，BCA 90 , 现将 ABC沿着
0
平面ABC的法向量平移到A1B1C1位置，已知
求BD1与AF1所成的角的余弦值.
F1
取A1B1、AC BC CA CC1， 1 1的中点D 1、F 1，
2
u ，且
a u
sin
au a u
a
l
u
3.二面角的平面角
①方向向量法 如图（2），设二面角 l 的大 小为 其中AB l , AB , CD l , CD
3.2--立体几何中的向量方法(全)ppt课件
PB (1,1,1)
故PB DE 0 1
DE 1
(0,1 2
0
,1) 2
P
22 所以PB DE
F
E
由已知 EF PB,
且EF DE E,
所以PB 平面EFD A
X
D
C
Y
B
30
第30页，共70页。
例2. 四棱锥P - ABCD中, 底面ABCD是正方
形, PD 底面ABCD, PD DC ,点E是PC的中点,
A
证1 立体几何法
M
B
D
N C
MN就是异面直线AB与CD的公垂线， 故异面直线AB与CD的距离就是MN.
26
第26页，共70页。
例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD
的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD.
证2 向量法
A
ＭＮ＝MA AD DN
M
1 AB AD 1 DC
⑴设平面的法向量为 n ( x, y,
r 习惯上取n
z);
(
x,
y,1)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
组
n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
6
第6页，共70页。
z
作EF PB交PB于点F . 2 求证 : PB 平面EFD.
证2：立体几何法
P
PD 面ABCD
BC
面ABCD
PD PC
BC BC,
E
PD PC P
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AA1 4, M 为BC1上的一点,且B1M 2, 点N 在线段A1D上，
A1 D AN . (1)求证：A1D AM .
（2）求AD与平面ANM 所成的角.
A(0,0,0), A1 (0,0, 4), D(0,8,0),
z
A1
AD (0,8, 0), A1 D (0,8, 4),
题型一：线线角 练习： 在长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， = 5，AD 8, AB
AA1 4, M 为B1C1上的一点,且B1M 2,点N 在线段A1D上，
A1 D AN . (1)求证：A1D AM .
A1 （2）求AD与平面ANM 所成的角. B1 M
z
N
C
例三
如所示， A B C D 是一直角梯形，A B C = 900 ,
1 SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD , 求面SCD与面SBA 2 所成二面角的余弦值.
z
解： 建立空直角坐系A - xyz如所示, 1 B - 1, , A ( 0, , C ( 1, 0) D (0, , 0), S (0, 0,1) 0, 0) C 2 1 易知面SBA的法向量n1 AD (0, , 0) 2 A 1 1 D y x CD (1, , 0), SD (0, , 1) 2 2 设平面SCD的法向量n2 ( x, y, z ), 由n2 CD, n2 SD, 得： y y x 2 0 x 2 任取n2 (1, 2,1) y z0 z y 2 2 n n2 6 6 1 cos n1 , n2 即所求二面角得余弦值是 3 | n1 || n2 | 3
S
小结：
1.异面直线所成角： cos |cos CD, AB |
C
D
A
B
D1
A
O
2.直线与平面所成角： sin | cos n, AB |
n
B
n2
n1
n1 n cos | cos , 2 | cos | cos n1 , n2 |
5 AD与平面ANM 所成角的正弦值是
•引入 •复习 •线线角
B1 M A
N
D1
C1
D
C
y
2 5 cos AD, A1 D
x
B
2 5 5
•二面角 •小结
•线面角
题型二：线面角
练习： 正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的棱长为1.
求B1C1与面AB1C 所成的角.
•引入 •复习 •线线角 •线面角 •二面角
B
•小结
题型一：线线角 解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 C xyz z 如图所示，设 CC1 1 则： C
1 所以： AF1 ( , 0,1), 2
A(1, 0, 0), B (0,1, 0), 1 1 1 F1 ( , 0, a), D1 ( , ,1) 2 2 2
C1
D1
AM (5, 2, 4), A1 D (0,8, 4), AM A1 D＝0 A1D AM .
A(0,0,0), A1 (0,0, 4),D(0,8,0), M (5, 2, 4)
A
D
C
y
x
B
题型二：线面角 题型二：线面角
关键：观察二面角的范围
•引入 •复习 •线线角 •线面角 •二面角 •小结
题型三：二面角 例三 如所示，A B C D 是一直角梯形，A B C = 900 , 1 SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD , 求面SCD与面SBA 2 所成二面角的余弦值. S
B
A D
| a ||b |
a1b1 a2b2 a3b3
a12 a2 2 a32 b12 b2 2 b32
2.若A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 )，则：
AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
•线线角 •线面角 •二面角 •小结
F1
1
B1
A1
C
D1
1 AF1 BD1 30 cos AF1 , BD1 4 10 5 3 | AF1 || BD1 |
4 2
1 1 BD1 ( , ,1) 2 2
A x
1
By
30 所以 BD1 与 AF1 所成角的余弦值为 10
3.2
利用向量解决
空间角问题
•引入 •复习 •线线角 •线面角 •二面角 •小结
空间向量的引入为代数方法处理立体几 何问题提供了一种重要的工具和方法，解题 时，可用定量的计算代替定性的分析，从而 避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距 离是立体几何的一类重要的问题，也是高考 的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向 量的办法解决空间角问题。
•引入
•复习
题型一：线线角
异面直线所成角的范围： 0, 2 C 思考： D
A
B
D1
CD, AB 与的关系？ DC , AB 与的关系？
结论： cos
•引入 •复习
| cos CD, AB |
•线面角 •二面角 •小结
•线线角
题型一：线线角
例一：Rt ABC中，BCA 900 , 现将 ABC沿着
平面ABC的法向量平移到A1 B1C1位置，已知
求BD1与AF1所成的角的余弦值. C1
F1
取 BC CA CC1， A1 B1、A1C1的中点D1、F1，
B1
D1
A1
C
A
直线与平面所成角的范围： [0, ] 2 A 思考： n
B
O
n, BA 与的关系？
结论： sin
•引入 •复习
|
•线线角
cos n, AB
•线面角
|
•小结
•二面角
题型二：线面角 例二： 在长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， = 5，AD 8, AB
A1 B1 C1
D1
A B
C
D
•引入
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结
题型三：二面角
二面角的范围：
n2 n1
B
[0, ]
n2
O
A
n1ຫໍສະໝຸດ cos | cos n1 , n2 |
cos
| cos n1 , n2 |
关键：观察二面角的范围
3.二面角：
•引入
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结
1.若a (a1 , a2 , a3 )，b (b1 , b2 , b3 ), 则： 数量积： a b | a | | b | cos a, b
a1b1 a2b2 a3b3 夹角公式： a b a b cos