一轮优化探究理数(苏教版)课件：第十一章 第九节 二项式定理

5 5－ r 为非负整数，得 r＝0 或 6， 6
所以符合要求的项的个数为 2.
角度二
求展开式中的项的系数或二项式系数
30 【例 2】 (1)(x2＋x＋y)5 的展开式中， x5y2 的系数为__________ ．
解析：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
2 3 2 含 y2 的项为 T3＝C2 ( x ＋ x ) · y. 5 4 5 5 2 2 其中(x2＋x)3 中含 x5 的项为 C1 x＝C1 3x · 3x .所以 x y 的系数为 C5
核心考点 互动探究
角度一
求展开式中的某一项 1n (1)若(x －x) 的展开式中的所有二项式系数之和为
2
【例 1】
512，则该展开式中常数项为__________．
解析：由二项式系数之和为 2n＝512，得 n＝9.
18 又 Tr＋1＝(－1)rCr 9x
－3r
，令 18－3r＝0，得 r＝6，故常数项为
2．二项式(a＋2b)n 展开式中的第二项的系数是 8，则它的第三
6 ． 项的二项式系数为________
n 1 1 1 n 1 解析：T2＝C1 a (2 b ) ＝ C · 2 a b， n n
－ －
2 所以 2n＝8，n＝4，所以 C2 ＝ C n 4＝6.
5 x5 2 3．(1＋ ) 的展开式中 x2 的系数为________ ． 2
5． 已知(x＋1)15＝a0＋a1x＋a2x2＋„＋a15x15， 则 a0＋a1＋a2＋„
2 ＋a7＝________.
14
解析：由题意知 a0＋a1＋a2＋„＋a7
15 8 0 1 7 ＝C15 ＋C14 ＋ „ ＋ C ＝ C ＋ C ＋ „ ＋ C 15 15 15 15 15， 1 2 8 9 15 15 又 C0 15＋C15＋C15＋„＋C15＋C15＋„＋C15＝2 . 1 7 14 ∴C0 ＋ C ＋ „ ＋ C ＝ 2 . 15 15 15

1 5 5 r r 5－ r ＝C5· a x10－ r.令 10－ r＝5，解 2 2 x
得 r＝2. 又展开式中 x5 的系数为－80， 则有 C2 a3＝－80，解得 a＝－2. 5·
答案：－2
规律方法
1.解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件特 定项和通项公式，建立方程来确定指数求解时要注意二项式 系数中 n 和 k 的隐含条件，即 n，k 均为非负整数，且 n≥k； 第二步是根据所求的指数，再求所求解的项； 2.有理项是字母指数为整数的项.解此类问题必须合并通项公 式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数 的整除性来求解.若求二项展开式中的整式项， 则其通项公式中 同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一 致.
3．二项式系数的性质 性质 对称性 内容 与首末两端等距离 的两个二项式系数相
n 等，即 Cm ＝ C n n
－m
增减性
n＋ 1 当 k< 2 时，二项式系数逐渐增大； n＋ 1 k> 当 时，二项式系数逐渐减小 2
性质
内容
n ＋1 2 当 n 是偶数时，中间一项(第 项)的
二项式系数最大，最大值为 n－ 1 ＋1 2 当 n 是奇数时，中间两项 ( 项和 最大值
n＋ 1 ＋1 2 第 项)的二项式系数相等，且同
时取得最大值，最大值为
4.各二项式系数的和 (a＋b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n，即
1 2 r n C0 ＋ C ＋ C ＋„＋ C ＋„＋ C n n n n n
＝2n.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式
1 3 5 C ＋ C ＋ C n n＋„ 系数的和，即 n 2 4 C0 n＋Cn＋Cn＋„
C1 3＝30.
1 3 5 (2)(2015· 高 考 重 庆 卷 ) x ＋ 2 x
的 展 开 式 中 x8 的 系 数 是
__________(用数字作答)．
解析：因为
3 5－ r Tr＋1＝Cr · ( x ) · 5

1
2
r ＝ x
30－7r 由 ＝8，得 r＝2， 2 所以展开式中 x
n 2 ＝
－1
＝ .
1n 1．若(x＋ ) 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数 x
20 ． 项为________
k 6－k 1 n＝6，Tk＋1＝C6· x ·k＝Ck 6
解析：二项式系数之和 2 ＝64，则
n
x
x6－2k，当 6－2k＝0 时，即 k＝3 时为常数项，T3＋1＝C3 6＝20.
8
1 5 2 2 的系数是2 · C5＝ . 2
5 答案： 2
角度三 【例 3】
由已知条件求 n 的值或参数的值
2 ax ＋ (2016· 高考山东卷)若
1 5 5 的展开式中 x 的系数 x
是－80，则实数 a＝__________.
2 5－r 解析：Tr＋1＝Cr · ( ax ) 5
T7＝84.
答案：84
3 (2)在
2 15 x 的非负整数次幂的项的个数为 x－ 的展开式中， x
2 __________ ．
解析：展开式的通项为 Tr＋1＝(－1) (－1) 2
r r r
3 r C15· (
x)
15－r
2 r · x ＝

5r r C15x5－ ，由题意知 6
解析：∵含 x 的项为 5 ∴x 的系数为 . 2
2
2
5 2 2 x 2 C5( ) ＝ x ， 2 2
1 2 21 － 4．若(2x－ )9 的展开式的第 7 项为 ，则 x＝________. 3 2 4
解析：由 1 ∴x＝－ . 3
3x T7＝C6 2 (－ 9
2 6 21 )＝ ， 2 4
n * Cn b ( n ∈ N ) 叫做二项式定理． n
2．二项展开式的通项
n k k Tk＋1＝ C kna b
－
为展开式的第 k＋1 项．
二、二项式系数与项的系数 1．二项式系数 二项展开式中各项的系数 C kn(k∈{0,1，„，n})叫做二项式系 数． 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ项的系数 项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等．与二项式系 数是两个不同的概念．
第十一章 统计与概率、计数原理 第九节 二项式定理
主干知识 自主排查
C
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一、二项式定理 1．二项式定理
n 1 n－1 n－k k 公式(a＋b)n＝C0 a ＋ C a b ＋„＋ C k a b ＋„＋ n n n