8.1 第一课时 棱柱、棱锥、棱台
教学设计1：8.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台
8.1第1课时棱柱、棱锥、棱台教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课是第1课时，本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的概念及结构特征.教材首先让学生观察现实世界中实物的图片,引导学生将观察到的实物进行归纳、分类抽象、概括,得出柱体、锥体、台体的结构特征,在此基础上给出由它们组合而成的简单几何体的结构特征.空间几何体是新课程立体几何部分的起始课程,它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题中都有广泛的应用,新课程从对空间几何体的整体观察入手,再研究组成空间几何体的点、直线和平面.这种安排降低了立体几何学习入门难的门槛,强调几何直观,淡化几何论证,可以激发学生学习立体几何的兴趣.教学目标与核心素养A.能根据几何结构特征对空间物体进行分类；B.从实物中概括出棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；C.会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征；D.会表示有关几何体以及棱柱、棱锥、棱台的分类.教学重难点1.教学重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征；2.教学难点：棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括.课前准备多媒体.教学过程一、复习回顾，温故知新1.通过生活中的图片引入，初步感受空间几何体.二、探索新知观察1:观察生活的具体实物，你能抽象出它们的空间图形吗？空间几何体的定义:如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．思考1：如图，下面这些图片中的物体具有怎样的形状？在日常生活中，我们把这些物体的形状叫做什么？如何描述它们的形状？【答案】纸箱、金字塔、茶叶盒、水晶萤石、储物箱等物体围成它们的面都是平面图形，并且都是平面多边形；纸杯、腰鼓、奶粉罐、篮球和足球、铅锤围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面.1.多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.面ABE，面BAF，棱AE，棱EC，顶点E，顶点C2.旋转体：由一条平面曲线（包括直线）绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体,这条定直线叫做旋转体的轴.思考2：观察下面的长方体，它的每个面是什么样多边形？不同的面之间有什么位置关系？【答案】它的每个面是平行四边形，不同的面之间位置关系有平行、相交，相对面平行.（一）棱柱1.棱柱定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱.为了研究方便，我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.你能指出下面棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点吗？2棱柱的表示法：用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如：棱柱ABCDE-A1B1C1D1E13.（1）棱柱的分类1：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、…… 我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……（2）棱柱的分类2：一般地，把侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.底面是平行四边形的四棱柱也叫平行六面体.练习：说出下列那些图是直棱柱、斜棱柱、正棱柱、平行六面体？解：直棱柱：（1）、（3）;斜棱柱：（2）、（4）;正棱柱：（2）; 平行六面体（4）.4.棱柱的性质：（1）侧棱都互相平行且相等，各侧面都是平行四边形；直棱柱的每条侧棱及每个侧面都垂直于底面.（2）两个底面及平行于底面的截面是全等的多边形，且对应边互相平行；（3）过不相邻的两条侧棱的截面（即对角面）是平行四边形.练习：下列命题中正确的是（）A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D.有两个相邻侧面垂直与底面的棱柱是直棱柱【答案】D（二）棱锥思考3：上图中的物体具有什么样的共同的结构特征？【答案】一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.1.棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.2.棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥S-ABCD.通过练习题进一步巩固棱柱的定义，提高学生解决问题的能力.通过思考，观察图形的特征，概括出棱锥的定义，提高学生分析问题的能力、概括能力.3.棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、……其中三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.练习：下面几何体是棱锥吗？【答案】不是，各侧面没有公共点.（三）棱台1.棱台的概念：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.思考4：请你仿照棱锥中侧面、侧棱、顶点的定义，给出棱台侧面、侧棱、顶点的定义，并在棱台中标出.2.棱台的表示法：棱台用表示上、下底面各顶点的字母来表示：如棱台ABCDE-A1B1C1D1E1.3.棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台…练习：判断:下列几何体是不是棱台,为什么?【答案】（1）不是，侧棱不交于一点；（2）不是，没有两面平行.思考5.棱台的结构特征是什么？【答案】①各侧棱的延长线相交于一点；②截面平行于原棱锥的底面.例1.将下列各类几何体之间的关系用Venn图表示出来：多面体，长方体，棱柱，棱锥，棱台，直棱柱，四面体，平行六面体.解：如图所示三、达标检测1．判断正误(1)棱柱的侧面都是平行四边形．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥．()(3)用一平面去截棱锥底面和截面之间的部分叫棱台．()【答案】(1)√(2)×(3)×2．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为()A．四棱柱B．四棱锥C．三棱柱D．三棱锥【答案】D【解析】根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．故选D.3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】A，B，C中底面多边形的边数与侧面数不相等．故选D. 4．一个棱柱至少有个面，顶点最少的一个棱台有条侧棱．【答案】53【解析】面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的一个棱台是三棱台，它有3条侧棱．5．画一个三棱台，再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体；(2)三个三棱锥，并用字母表示．解：画三棱台一定要利用三棱锥．(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′AB″C″，另一个多面体是B′C′CBB″C″.(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′ABC，B′A′BC，C′A′B′C.教学反思通过本节授课有一些心得.如在引导学生进行归纳总结的时候,教师应该不着急于给出正确的答案.学生初始的回答可能只是其中的一两点,而且不完整,甚至有错误的见解.教师应该对于正确的及时给予肯定和鼓励.通过教师的鼓励,能大幅度地调动其他学生的积极性和增加其他学生回答问题的勇气.这样其他学生就能自主地给予修正补充.充分发挥协作学习,达到事半功倍的效果.。
课时作业5：8.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台
8.1 第1课时棱柱、棱锥、棱台A级：“四基”巩固训练一、选择题1．下列几何体中，柱体有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()3．具有下列哪个条件的多面体是棱台()A．两底面是相似多边形的多面体B．侧面是梯形的多面体C．两底面平行的多面体D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体4．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()5．下列三种叙述，其中正确的有()①两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台；②如图所示，截正方体所得的几何体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题6．对棱柱而言，下列说法正确的序号是________．①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形；②所有的棱长都相等；③棱柱中至少有2个面的形状完全相同；④相邻两个面的交线叫做侧棱．7.如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别为CD ，BC 的中点，沿AE ，AF ，EF 将其折成一个多面体，则此多面体是________．8．长方体AC 1的长、宽、高分别为3、2、1，从A 到C 1沿长方体的表面的最短距离为________．三、解答题9．如图所示，在底面为正三角形的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝2，从顶点B 沿棱柱侧面(经过棱AA 1)到达顶点C 1，与AA 1的交点记为M .求：(1)此三棱柱侧面展开图的对角线长；(2)从点B 经过点M 到点C 1的最短路线长及此时A 1M AM的值．B 级：“四能”提升训练1．下列说法正确的是()A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台B．两底面平行，并且各侧棱也互相平行的多面体是棱柱C．棱锥的侧面可以是四边形D．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面2.在一个长方体的容器中，里面装有少量水，现将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？(2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？(3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第(1)题和第(2)题对不对？【参考答案】A级：“四基”巩固训练一、选择题1．【答案】D【解析】根据棱柱的定义知，这4个几何体都是棱柱．2．【答案】D【解析】图A缺少一个面；图B有五个侧面而两底面是四边形，多了一个侧面；图C也是多一个侧面，故选D.3．【答案】D【解析】棱台是由棱锥截得的，因此一个几何体要是棱台应具备两个条件：一是上、下底面平行，二是各侧棱延长后必须交于一点，选项C只具备一个条件，选项A，B则两条件都不具备．4．【答案】A【解析】两个☆不能并列相邻，B、D错误；两个※不能并列相邻，C错误．故选A.也可通过实物制作检验来判定．5．【答案】A【解析】①不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交于一点；②不正确，因为侧棱延长后不交于一点；③不正确，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点．二、填空题6．【答案】①③【解析】①正确，根据棱柱的定义可知；②错误，因为侧棱与底面上的棱长不一定相等；③正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱．7. 【答案】三棱锥(或四面体)【解析】此多面体由四个面构成，故为三棱锥，也叫四面体．8．【答案】32【解析】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1.如图(1)所示，将侧面ABB 1A 1和侧面BCC 1B 1展开，则有AC 1＝52＋12＝26，即经过侧面ABB 1A 1和侧面BCC 1B 1时的最短距离是26；如图(2)所示，将侧面ABB 1A 1和底面A 1B 1C 1D 1展开，则有AC 1＝32＋32＝32，即经过侧面ABB 1A 1和底面A 1B 1C 1D 1时的最短距离是32；如图(3)所示，将侧面ADD 1A 1和底面A 1B 1C 1D 1展开，则有AC 1＝42＋22＝25，即经过侧面ADD 1A 1和底面A 1B 1C 1D 1时的最短距离是2 5. 由于32<25<26，所以由A 到C 1在长方体表面上的最短距离为3 2.三、解答题9．解 沿侧棱BB 1将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB 1B 1′B ′(如图)．(1)矩形BB 1B 1′B ′的长BB ′＝6，宽BB 1＝2，所以三棱柱侧面展开图的对角线长为62＋22＝210.(2)由侧面展开图可知，当B ，M ，C 1三点共线时，从点B 经过点M 到达点C 1的路线最短， 所以最短路线长为BC 1＝42＋22＝2 5.显然Rt △ABM ≌Rt △A 1C 1M ，所以A 1M ＝AM ，即A 1M AM＝1. 所以从点B 经过点M 到点C 1的最短路线长为25，此时A 1M AM＝1. B 级：“四能”提升训练1．【答案】B【解析】A 中所有侧棱不一定交于一点，故A 不正确；B 正确；C 中棱锥的侧面一定是三角形，故C不正确；D中棱柱的侧面也可能平行，故D不正确．2. 解(1)不对；水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，因而可以是矩形，但不可能是其他非矩形的平行四边形．(2)不对；水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱，或五棱柱；但不可能是棱台或棱锥．(3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台．故此时(1)对，(2)不对．。
新教材人教版高中数学必修1 第八章 8.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
探究一
探究二
思维辨析
随堂演练
课堂篇探究学习
1.有两个面平行的多面体不可能是( )
A.棱柱 B.棱锥
C.棱台 D.以上都不正确
答案:B
解析:因为棱锥的任意两个面都相交,不可能有两个面平行,所以不
可能是棱锥.
2.棱台不具备的性质是( )
A.两底面相似
B.侧面都是梯形
C.所有棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点
概 侧棱:相邻侧面的公共边;
念 顶点:侧面与底面的公共顶点
分 类
①依据:底面多边形的边数; ②举例:三棱柱(底面是三角形)、四棱柱
(底面是四边形)……
用表示底面各顶 点的字母表示.
如图棱柱可记作: 棱柱 ABCDEFA'B'C'D'E'F'
课前篇自主预习
一
二
三
四
(2)棱柱的分类
直棱柱:侧棱垂直 正棱柱:底面是正多边形的直棱柱 棱柱 于底面的棱柱 一般的直棱柱
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
随堂演练
变式训练下列说法正确的有
(填序号).
①棱柱的侧面都是平行四边形;②棱锥的侧面为三角形,且所有侧
面都有一个公共点;③棱台的侧面有的是平行四边形,有的是梯形;
④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点;⑤多面体至少有四个面.
答案:①②④⑤
解析:棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体,
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
随堂演练
多面体表面距离最短问题 例2如图,在三棱锥V-ABC 中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF, 求△AEF周长的最小值.
8.1 基本立体图形(第1课时)棱柱、棱锥、棱台的结构特征【优创课堂】2022-2023学年高一数学
A.该几何体是一个多面体
B.该几何体有9条棱，5个顶点
C.该几何体有7个面
D.该几何体是旋转体
答案：D.
).
例析
例1.将下列各类几何体之间的关系用图表示出来：
多面体，长方体，棱柱，棱锥，棱台，直棱柱，四面体，平行六面体.
解：如图所示：
练习
题型一：棱柱的结构特点
举反例 通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不
吻合，给予排除
练习
题型二：棱锥、棱台的结构特点
例2.下面是关于棱锥、棱台的四种说法：
①棱锥的侧面只能是三角形；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③由四
个面围成的封闭图形只能是三棱锥；④棱锥被平面截成的两部分不可能都是
棱锥.
其中说法错误的是（
A.①
形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面；有公
共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.
探索新知
棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母来表示，如图中的棱锥记作棱锥
− .棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……，我们把这样的棱
棱、顶点.
棱台用表示底面各顶点的字母来表示，如图中的棱台记作棱台 − ’ ’ ’ ’ .
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱
台……
新知探索
辨析1：判断正误.
（1）一个多面体至少有六条棱.
(
)
（2）封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.
(
)
答案：√，√.
锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫四面体.底面是正
8.1 基本几何图形 第1课时 棱柱、棱锥、棱台(课件)2022-2023学年高一下学期数学(人教A
重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征； 难点：棱柱、棱锥和棱台的侧面展开图问题.
学科素养
1.数学抽象：多面体与旋转体等概念的理解； 2.逻辑推理：棱柱、棱锥、棱台的结构特点； 3.直观想象：判断空间几何体； 4.数学建模：通过平面展开图将空间问题转化为平面问题解决，体现了转 化的思想方法.
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.
练习： 1．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的 公共边折叠围成一个正方体的是( )
2．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面” 表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图 中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )
（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形. 底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……其中三棱锥又叫四面体。
棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如棱锥S-ABCD。 （3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面区截棱锥，底面于截面之间的部分 叫做棱台。 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，棱台也有侧面、侧棱、 顶点。
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、 五棱台……
用各顶点字母表示棱柱，如棱台ABCDEF-A’B’C’D’E’F’。
思考：
1．面数最少的多面体是什么？ 提示：围成一个多面体至少要四个面，所以面数最少 的多面体是四面体，如三棱锥就是四面体． 2．棱柱的侧面一定是平行四边形吗？ 提示：根据棱柱的概念可知，棱柱的侧面一定是平行 四边形．
题型一 棱柱、棱锥、棱台的结构特点 例1 (1)下列命题中正确的是________．(填序号) ①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱； ②棱柱的一对互相平行的平面均可看作底面； ③三棱锥的任何一个面都可看作底面； ④棱台各侧棱的延长线交于一点． (2)关于如图所示几何体的正确说法的序号为________．
8.1 第一课时 棱柱、棱锥、棱台
2．棱锥的两个本质特征 (1)有一个面是多边形； (2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形． 注意：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底 面的棱锥叫做正棱锥，棱锥还可按底面多边形边数进行分类． 3．正确认识棱台的结构特征 (1)上底面与下底面是互相平行的相似多边形； (2)侧面都是梯形； (3)侧棱延长线必交于一点． 注意：各侧面是全等的等腰梯形的是棱台称为正棱台．棱台还 可按底面多边形的边数进行分类．
[答案] (1)A (2)①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台
多面体展开图问题的解题策略 (1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几 何特征，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出 来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图． (2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来 判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推. 同一个几 何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有 多个表面展开图．
③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
[答案] ①②
判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法：
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结
构特征的某些说法不正确．
(2)直接法：
棱锥
棱台
只有一个面是多边形，此 两个互相平行的面，即为
定底面
面即为底面
底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
多面体的平面展开图问题
[例3] (1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品
盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是
相同的图案)
()
(2)如图是三个几何体的平面展开图，请问各是什么几何体？
【新人教版】数学必修二第八章 8.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台
【新人教版】数学必修二第八单元8.1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台学习目标 1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算.知识点一多面体、旋转体的定义类别多面体旋转体定义由若干个平面多边形围成的几何体一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体图形相关概念面：围成多面体的各个多边形棱：相邻两个面的公共边顶点：棱与棱的公共点轴：形成旋转体所绕的定直线思考构成空间几何体的基本元素是什么？答案构成空间几何体的基本元素是：点、线、面.知识点二棱柱的结构特征1.棱柱的概念名称定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点2.棱柱的分类(1)按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……(2)按侧棱是否与底面垂直：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.思考棱柱的侧面一定是平行四边形吗？答案棱柱的侧面一定是平行四边形.知识点三棱锥的结构特征1.棱锥的概念名称定义图形及表示相关概念棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作：棱锥S—ABCD底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点2.棱锥的分类(1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……(2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.知识点四棱台的结构特征名称定义图形及表示相关概念分类棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台如图可记作：棱台ABCD—A′B′C′D′上底面：平行于棱锥底面的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……思考棱台的各侧棱延长线一定相交于一点吗？答案一定相交于一点.1.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.(×)2.棱柱的两个底面是全等的多边形.(√)3.棱柱最多有两个面不是四边形.(√)4.棱锥的所有面都可以是三角形.(√)一、棱柱的结构特征例1(1)下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱.其中正确的说法的序号是________.答案③④解析①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形.②错误，棱柱的底面可以是三角形.③正确，由棱柱的定义易知.④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是③④.(2)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点.①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.解①是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.②截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.反思感悟棱柱结构的辨析方法(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义.①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.跟踪训练1下列命题中正确的是()A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形答案 D二、棱锥、棱台的结构特征例2(1)有下列三种叙述：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个答案 A解析①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错.(2)下列说法中，正确的是()①棱锥的各个侧面都是三角形；②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；③棱锥的侧棱平行.A.①B.①②C.②D.③答案 B解析由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故①正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故②正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故③错.反思感悟判断棱锥、棱台的方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确说法.(2)直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点跟踪训练2下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是________.答案①②解析①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形是四面体也就是三棱锥；③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.空间几何体的表面展开图典例(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)()答案 A解析其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻.相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻.(2)如图是三个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？解图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点.把表面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台.[素养提升]多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状.1.下面多面体中，是棱柱的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案 D解析根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足.2.下面图形中，为棱锥的是()A.①③B.①③④C.①②④D.①②答案 C解析根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥.故选C.3.有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为()A.四棱柱B.四棱锥C.三棱柱D.三棱锥答案 B解析根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥.4.如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是()A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.组合体答案 B解析余下部分是四棱锥A′－BCC′B′.5.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.答案60°1.知识清单：(1)多面体、旋转体的定义.(2)棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.方法归纳：举反例法.3.常见误区：棱台的结构特征认识不清.1.有两个面平行的多面体不可能是()A.棱柱B.棱锥C.棱台D.以上都错答案 B解析由棱锥的结构特征可得.2.下列关于棱柱的说法中，错误的是()A.三棱柱的底面为三角形B.一个棱柱至少有五个面C.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等D.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形答案 C解析显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，故C错误；D正确.3.观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是()A.①是棱柱B.②不是棱锥C.③不是棱锥D.④是棱台答案 B解析结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，③不是棱锥，④是棱台，故B错误.4.下列图形中，不是三棱柱展开图的是()答案 C解析C无法将其折成三棱柱，故选C.5.下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()答案 D6.四棱柱有________条侧棱，________个顶点.答案487.一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱.答案5698.一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.答案12解析该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12 cm.9.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？解(1)如图折起后的几何体是三棱锥.(2)S△PEF＝12a2，S△DPF＝S△DPE＝12×2a×a＝a2，S△DEF＝32a2.10.一个长方体的容器里装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中，(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？(2)水的形状也不断变化，可能是棱柱，也可能变成棱台成棱锥，对吗？解(1)不对，水面的形状始终是矩形.(2)不对，水的形状只能是棱柱.11.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是()A.A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4B.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3C.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4D.AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，CA ＝C 1A 1答案 C解析 选项A 中A 1B 1AB ≠B 1C 1BC ，故A 不符合题意；选项B 中B 1C 1BC ≠A 1C 1AC ，故B 不符合题意；选项C 中A 1B 1AB ＝B 1C 1BC ＝A 1C 1AC ，故C 符合题意；选项D 中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不可能是三棱台.12.一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥答案 D解析 由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥.13.下列图形中是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( )答案 AC解析 可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现AB 可折成正四面体，CD 不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.14.从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：(1)矩形的4个顶点；(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；(3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；(4)有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点.其中正确结论的个数为________.答案 4解析 如图所示：四边形ACC1A1为矩形，故(1)满足条件；四面体D－A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体，故(2)满足条件；四面体D－B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故(3)满足条件；四面体C－B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故(4)满足条件.故正确的结论有4个.15.一个长方体共顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体对角线的长是________.答案 6解析设长方体长、宽、高为x，y，z，则yz＝2，xz＝3，yx＝6，三式相乘得x2y2z2＝6，即xyz＝6，解得x＝3，y＝2，z＝1，所以x2＋y2＋z2＝3＋2＋1＝ 6.16.如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面AEF，求△AEF周长的最小值.解将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，∴∠AVA1＝90°.又VA＝VA1＝4，∴AA1＝4 2.∴△AEF周长的最小值为4 2.。
第1课时 棱柱、棱锥、棱台(优秀经典公开课课件)
4 ． 棱 柱 的 侧 棱 最 少 有 ________ 条 ， 棱 柱 的 各 侧 棱 之 间 的 大 小 关 系 是 ________．
解析 棱柱的侧棱最少有三条，这样的棱柱是三棱柱，棱柱的所有侧棱长相 等．
答案 三 相等
02
课堂案 题型探究
题型一 棱柱的结构特征 [例 1] 下列关于棱柱的说法中，错误的是( ) A．三棱柱的底面为三角形 B．一个棱柱至少有五个面 C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等 D．五棱柱有 5 条侧棱、5 个侧面，侧面为平行四边形
[答案] (1)A (2)0
[规律方法]
判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法
不正确．
(2)直接法
棱锥
棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点
延长后相交于一点
[触类旁通] 2．下面描述中，不是棱锥的结构特征的为( ) A．三棱锥的四个面是三角形 B．棱锥都有两个面是互相平行的多边形 C．棱锥的侧面都是三角形 D．棱锥的侧棱相交于一点
的_公__共__边___； 按侧棱与底面的关系： 顶点：侧面与底 (1)把侧棱__垂__直__于____底面的棱
面的 _公__共__顶__点___
柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于 底面的棱柱叫___斜__棱__柱___．
(2)底面是正多边形的直棱柱叫
做__正__棱__柱____
棱锥
有一个面是 __多__边__形____， 其余各面都 是有一个公 共顶点的 __三__角__形____， 由这些面所 围成的多面 体叫做棱锥
[触类旁通] 4．如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
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[系统归纳]
1．可以从以下几个方面理解棱柱 (1)棱柱的两个主要结构特征： ①有两个面互相平行； ②各侧棱都互相平行，各侧面都是平行四边形． 通俗地讲，棱柱“两头一样平，上下一样粗”． (2)有两个面互相平行，并不表明只有两个面互相平行，如长方 体，有三组对面互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面． (3)从运动的观点来看，棱柱也可以看成是一个平面多边形从一 个位置沿一条不与其共面的直线运动到另一位置时，其运动轨迹所 形成的几何体．
学习资料
8 ．1 基本立体图形
第一课时 棱柱、棱锥、棱台
新课程标准 利用实物模型、计算机软件等观察空间图形，认识 柱、锥、台的结构特征，能运用这些特征描述现实 生活中简单物体的结构．
新学法解读
1.与平面几何的有关概念、图形和性质进行适当类比，初 步学会运用类比的思想分析和解决问题．
2.结合身边的实物模型，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特 征，培养数学抽象核心素养.
[答案] (1)A (2)①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台
多面体展开图问题的解题策略 (1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几 何特征，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出 来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图． (2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来 判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推. 同一个几 何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有 多个表面展开图．
③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
[答案] ①②
判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法：
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结
构特征的某些说法不正确．
(2)直接法：
棱锥
棱台
只有一个面是多边形，此 两个互相平行的面，即为
定底面
面即为底面
底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
[思考发现]
1．下列棱锥有6个面的是 A．三棱锥 C．五棱锥
B．四棱锥 D．六棱锥
()
解析：由棱锥的结构特征可知，五棱锥有6个面．故选C. 答案：C
2．下面多面体中，是棱柱的共有
()
A．1个 C．3个
B．2个 D．4个
解析：根据棱柱的结构特征进行判定知，这4个图都满 足．故选D.
答案：D
3．下面四个几何体中，是棱台的是
棱柱的结构特征
[例1] 下列说法中，正确的是
()
A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点
B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
[解析] A选项不符合棱柱的结构特征；B选项中，如 图①，构造四棱柱ABCD-A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯 形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为 棱柱的底面；C选项中，如图②，底面ABCD可以是平行四 边形；D选项是棱柱的结构特征．故选D.
(4)棱柱可按底面多边形的边数进行分类，如底面是三 角形的棱柱叫做三棱柱．
注意：棱柱概念的推广 ①斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱． ②直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱． ③正棱柱：底面是正多边形的直棱柱． ④平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱，即平行 六面体的六个面都是平行四边形． ⑤长方体：底面是矩形的直棱柱． ⑥正方体：棱长都相等的长方体．
答案：B
()
2．[变条件，变设问]将本例(2)的条件改为： 一个几何体的平面展开图如图所示． (1)该几何体是哪种几何体？ (2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个 面？“你”字面相对的是哪个面？
解：(1)该几何体是四棱台． (2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是 “程”．
“夯基提能·落实素养”见“课时跟踪检测(十八)” (单击进入电子文档)
[变式训练]
下列说法中，正确的是 ①棱锥的各个侧面都是三角形；
()
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几
何体是棱锥； ③四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面；
④棱锥的各侧棱长相等．
A．①② C．②③
B．①③ D．②④
解析：由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确； 有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有 一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；四面体就 是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底 面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也 可以不相等，故④错．故选B. 答案：B
2．棱锥的两个本质特征 (1)有一个面是多边形； (2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形． 注意：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底 面的棱锥叫做正棱锥，棱锥还可按底面多边形边数进行分类． 3．正确认识棱台的结构特征 (1)上底面与下底面是互相平行的相似多边形； (2)侧面都是梯形； (3)侧棱延长线必交于一点． 注意：各侧面是全等的等腰梯形的是棱台称为正棱台．棱台还 可按底面多边形的边数进行分类．
多面体的平面展开图问题
[例3] (1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品
盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是
相同的图案)
()
(2)如图是三个几何体的平面展开图，请问各是什么几何体？
ห้องสมุดไป่ตู้
[解析] (1)由选项验证可知选A. (2)图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边 形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶 点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且 其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特 点．把平面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱 柱，②为五棱锥，③为三棱台．
[答案] D
棱柱结构特征问题的解题策略 (1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义： ①两个面互相平行； ②其余各面是平行四边形； ③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有 两个面平行，再看是否满足其他特征． (2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．
[变式训练]
[多选]下列关于棱柱的说法正确的是
[变式训练]
1．[变条件，变设问]将本例(1)中改为：水平放置的正
方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、
左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开
图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上
方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是
A．1
B．9
C．快
D．乐
解析：将图形折成正方体知选B.
()
解析：由棱台的结构特征知，两个底面平行且相似，侧 面都是梯形．侧棱延长应交于一点．故选C.
答案：C
4．下面属于多面体的是________(将正确答案的序号填在横线上)． ①建筑用的方砖；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．
解析：由多面体的结构特征可知，①②是多面体，而③④ 是旋转体． 答案：①②
5．一个棱柱至少有________个面，顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱． 解析：面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的棱 台是三棱台，它有3条侧棱．
()
A．所有的棱柱两个底面都平行
B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面都是四边
形，每相邻两个四边形的公共边互相平行
C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是
棱柱
D．棱柱至少有五个面
解析：对于A、B、D，显然是正确的；对于C， 棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其 余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的 公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题 中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一 条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．如图所示的几何体 就不是棱柱，所以C错误．故选A、B、D. 答案：ABD
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棱锥、棱台的结构特征
[例2] 下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围 成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不 可能都是棱锥． 其中说法正确的序号是________．
[解析] ①正确，棱台的侧面一定是梯形， 而不是平行四边形；
②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是 三棱锥；