棱柱 棱锥和棱台 课件
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课件4：1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征（第1课时）
棱柱中( )
A．只有两个面平行
B．所有的棱都相等
C．所有的面都是平行四边形 D．两底面平行，且各侧棱也平行
[解析] 长方体也是棱柱，以长方体为例，可知A、B不正确，
棱柱的两底面可以是三角形，五边形等，故C不正确，因此选D.
[答案] D
2．下列命题中正确的是( ) A．四棱柱是平行六面体 B．直平行六面体是长方体 C．底面是矩形的四棱柱是长方体 D．六个面都是矩形的六面体是长方体
l2＝x2＋y2＋z2＝12[(x2＋y2)＋(x2＋z2)＋(z2＋y2)]
＝12(a2＋b2＋c2)，∴l＝
a2＋b2＋c2 2.
跟踪练习 2 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2、
3、 6，这个长方体对角线的长是( )
A．2 3
B．3 2 C．6
D. 6
[解析] 设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，对角线长为 d.
长方体对角线问题
例2 经过长方体同一个顶点的三个面的对角线长分别是a、b、c，那
a2＋b2＋c2
么这个长方体的体对角线长是_______2_________．
[解析] 设经过长方体同一顶点的三条棱长分别为 x、y、z，
则有 x2＋y2＝a2，x2＋z2＝b2，z2＋y2＝c2.
设长方体的体对角线长为 l，则有
2．(1)棱柱是____有__两__个__面__互__相__平__行__，__其__余__各__面__都__是_____ ___四__边__形__，__且__每__相__邻__两__个__面__的__公__共__边__都__互__相__平__行____的面所围成的 几何体． 棱柱的两个互相平行的面叫做棱柱的___底__面___，其余各面叫做棱 柱的___侧__面___，两侧面的公共边叫做棱柱的__侧__棱____．两底面之 间的距离叫做棱柱的____高____． (2)棱柱按底面是三角形、四边形、五边形、……分别叫做 __三__棱__柱__、__四__棱__柱__、__五__棱__柱__、…….
A．只有两个面平行
B．所有的棱都相等
C．所有的面都是平行四边形 D．两底面平行，且各侧棱也平行
[解析] 长方体也是棱柱，以长方体为例，可知A、B不正确，
棱柱的两底面可以是三角形，五边形等，故C不正确，因此选D.
[答案] D
2．下列命题中正确的是( ) A．四棱柱是平行六面体 B．直平行六面体是长方体 C．底面是矩形的四棱柱是长方体 D．六个面都是矩形的六面体是长方体
l2＝x2＋y2＋z2＝12[(x2＋y2)＋(x2＋z2)＋(z2＋y2)]
＝12(a2＋b2＋c2)，∴l＝
a2＋b2＋c2 2.
跟踪练习 2 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2、
3、 6，这个长方体对角线的长是( )
A．2 3
B．3 2 C．6
D. 6
[解析] 设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，对角线长为 d.
长方体对角线问题
例2 经过长方体同一个顶点的三个面的对角线长分别是a、b、c，那
a2＋b2＋c2
么这个长方体的体对角线长是_______2_________．
[解析] 设经过长方体同一顶点的三条棱长分别为 x、y、z，
则有 x2＋y2＝a2，x2＋z2＝b2，z2＋y2＝c2.
设长方体的体对角线长为 l，则有
2．(1)棱柱是____有__两__个__面__互__相__平__行__，__其__余__各__面__都__是_____ ___四__边__形__，__且__每__相__邻__两__个__面__的__公__共__边__都__互__相__平__行____的面所围成的 几何体． 棱柱的两个互相平行的面叫做棱柱的___底__面___，其余各面叫做棱 柱的___侧__面___，两侧面的公共边叫做棱柱的__侧__棱____．两底面之 间的距离叫做棱柱的____高____． (2)棱柱按底面是三角形、四边形、五边形、……分别叫做 __三__棱__柱__、__四__棱__柱__、__五__棱__柱__、…….
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件(人教版)
(1) 共得到多少个棱长为1cm的小立方体？ (2) 三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (3) 两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (4) 一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (5) 六面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它 们占有多少立方厘米的空间？
解：(3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是 32cm2，它们占有的空间是8cm3.
练习
－ － － － － － － － － － 教材116页
4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
3
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱
棱锥
棱台
底面积为 S ，高为 h V棱柱 Sh
底面积为 S ，高为 h
V棱锥
1 3
Sh
上底面积为 S ，下底面积
为 S ，高为 h
V棱台
1 3
h(S
SS S)
如图已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱 台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
1 SPBC 2 a a sin 60
3 a2. 4
A
解：(3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是 32cm2，它们占有的空间是8cm3.
练习
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4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
3
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱
棱锥
棱台
底面积为 S ，高为 h V棱柱 Sh
底面积为 S ，高为 h
V棱锥
1 3
Sh
上底面积为 S ，下底面积
为 S ，高为 h
V棱台
1 3
h(S
SS S)
如图已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱 台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
1 SPBC 2 a a sin 60
3 a2. 4
A
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积课件(人教版)
（
）
2.几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和.
（
）
3.棱锥的体积等于底面面积与高之积.
（
）
4.等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.
（
）
答案：√，√，×，√.
练习
题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1.已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分)上
底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积.
解：由题意知， 长方体−’ ’ ’’ = 1 × 1 × 0.5 = 0.5(3 ) ，
1
1
棱锥− = × 1 × 1 × 0.5 = (3 ).
3
6
所以这个漏斗的容积 =
1
2
1
+
6
2
3
= ≈ 0.67(3 ).
新知探索
辨析1：判断正误.
1.几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和.
解：(2)设三棱锥 − 1 的高为ℎ，则
三棱锥−
1
1
1 1
3
3 2
2
= ∙ ∆1 ∙ ℎ = × ×
× ( 2) ℎ =
ℎ.
3
3 2 2
6
1
∵三棱锥− = 三棱锥 − = 3 ，
6
1
1
= 3 ，解得ℎ =
3
.
3
∴三棱锥 − 1 的高为
’ =
= ℎ
上底缩小
1 ’
= ( + ’ + )ℎ
3
’ = 0
1
= ℎ
3
例析
例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部
课件6：8.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台
解析：A 选项不符合棱柱的特点；B 选项中，如图①所示,构造四 棱柱 ABCD-A1B1C1D1，令四边形 ABCD 是梯形，可知平面 ABB1A1 ∥平面 DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C 选项中，如 图②所示，底面 ABCD 可以是平行四边形；D 选项是棱柱的特点.
①
②
答案：D
方法规律
用一个 平行 于棱锥 棱台 底底部面面分的叫与平做截面棱面去台之截间棱的锥，上可台面记AB的作CD棱：-台棱
A'B'C'D'
续表
相关概念 上底面：截面. 下底面：原棱锥的底 面. 侧面：其余各面. 侧棱：相邻侧面的公 共边. 顶点：侧面与上(下) 底面的公共顶点
[基础测试] 2.判断.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)棱柱的侧面都是平行四边形. ( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫 棱锥. ( ) (3)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做 棱台.( )
棱柱结构特征问题的解题策略
(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱的定义：
①两个面互相平行；
②其余各面都是四边形；
③相邻两个四边形的公共边互相平行.
求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征.
(2)多注意观察一些实物模型和图片，便于举反例.
【跟踪训练】 1.下列说法错误的是 ( ) A.多面体至少有四个面 B.棱柱的两个底面是全等的多边形 C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 解析：三棱柱的底面是三角形,其侧面一定是平行四边形,故 D 错误. 答案：D
【跟踪训练】 3.下列四个平面图形中,每个小四边形都是正方形,其中可以沿 相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是( )
课件3：8.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台
(下)底面的公共顶
点
状元随笔 对于多面体概念的理解，注意以下两个方面 (1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要 四个面．一个多面体由几个面围成，就称为几面体． (2)多面体是一个“封闭”的几何体，包括其内部的部分．
[教材解难]
判断多面体是不是棱台容易出现两个错误：(1)只看到有两 个面互相平行，而不注意各条侧棱延长线是否相交于一点； (2)只看到各条侧棱的延长线相交于一点，忽视了两个底面 是否平行．如图，它们都不是棱台．
【基础自测】
1．下面图形中，为棱锥的是( )
A．①③
B．①③④
C．①②④
D．①②
解析：根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，
③不是棱锥，④是棱锥．故选 C.
答案：C
2．下列图形中，是棱台的是( )
解析：由棱台的定义知，A、D 的侧棱延长线不交于一 点，所以不是棱台；B 中两个面不平行，不是棱台，只 有 C 符合棱台的定义，故选 C. 答案：C
本课结束
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跟踪训练 2 设集合 M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四
棱柱}，Q＝{正方体}，则这些集合间的关系是( )
A．Q N M P
B．Q M N P
C．Q N M P
D．Q M N P
解析：易知四种棱柱中正方体最特殊，直四棱柱最一般，而正
四棱柱是底面为正方形的长方体．
答案：D
题型三 简单几何体的判定[经典例题] 例 3 如图所示，长方体 ABCD－A1B1C1D1.
由一个平面图形绕它所在平面内 的 一 条 _定__直__线___ 旋 转 所 形 成 的
体
__封_闭 ___几__何__体__
课件9：1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
题型二：简单几何体中的计算问题 [典例] 正三棱锥的底面边长为 3，侧棱长为 2 3，求正三棱锥的高．
[解] 作出正三棱锥如图，SO 为其高，连接 AO，作 OD⊥AB 于 点 D，则点 D 为 AB 的中点． 在 Rt△ADO 中，AD＝32，∠OAD＝30°，
3 故 AO＝cos∠2OAD＝ 3. 在 Rt△SAO 中，SA＝2 3，AO＝ 3， 故 SO＝ SA2－AO2＝3，其高为 3.
延长线交于一点；④有两个面互相平行，其余各面都是梯形，则此几何体是棱台．
A．①
B．②
C．③
D．④
(2)下列命题：
①各侧面为矩形的棱柱是长方体；②直四棱柱是长方体；
③侧棱与底面垂直的棱柱是直棱柱；④各侧面是矩形的直四棱柱为正四棱
柱．其中正确的是________(填序号)．
[解析] (1)棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等，故 ①②不正确；棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥底面得到的，故各个侧 棱的延长线一定交于一点，③正确；棱台的各条侧棱必须交于一点故④错误． (2)①中一定为直棱柱但不一定是长方体；②直四棱柱的底面可以是任意的四 边形不一定是矩形；③符合直棱柱的定义；④中的棱柱为一般直棱柱，它的 底面不一定为正方形． [答案] (1) C (2) ③
(3) 凸 多 面 体 ： 把 一 个 多 面 体 的 任 意 一 个 面 延 展 为 平 面 ， 如 果 其 余 的 各
面 都在这个平面的同一侧 ，则这样的多面体就叫做凸多面体．
2．棱柱、棱锥、棱台
名称
棱柱
棱锥
棱台
定义
条件：①有两个
互相平行 的面；
条件：①有一个 棱锥被 平行于
面是 多边形 ；
高中数学《棱柱、棱锥、棱台的结构特征 》课件
17
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数学 ·必修2
解析 棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形 成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①对．
棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何 体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点， 故②对．
棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之 间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相 交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错④对．⑤显然正确.
所以(1)为五棱柱，(2)为五棱锥，(3)为三棱台．
29
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拓展提升 空间几何体的展开图
(1)解答空间几何体的展开图问题要结合多面体的结构 特征发挥空间想象能力和动手能力．
(2)若给出多面体画其展开图，常常给多面体的顶点标 上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．
数学 ·必修2
第一章 空间几何体
1.1 空间几何体的结构 1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1
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2
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知识点一 空间几何体的定义、分类及相关概念 1．空间几何体的定义
(3)若是给出表面展开图，则按上述过程逆推．
30
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【跟踪训练 3】 根据如下图所给的平面图形，画出立 体图．
课件8：§1.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
4.某多面体的面中有梯形和三角形，试画一个具有该特征的几何体. 解 如图(1)所示(或如图(2)所示，还有其他可能，答案不唯一).
本课结束
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【训练1】 下列关于棱柱的说法错误的是( )
A.所有的棱柱两个底面都平行 B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公
共边互相平行 C.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体源自定是棱柱 D.棱柱至少有五个面
解析 对于A，B，D显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的： 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边 形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中 漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此 所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱.
交于一点
梯形
延长后交于一 点
与底面相似 与底面相似 与底面相似
与底面相似
【课堂达标】
1.棱柱的侧面都是( )
A.三角形 C.五边形
B.四边形 D.矩形
解析 由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形. 答案 B
2.如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( )
A.①③
B.②④
C.③④
2.几种常见的多面体
多面 体
定义
图形及表示
相关概念
有两个面互相_平__行_，
底面(底)：两个互
其余各面都是四__边__
相_平__行___的面
_形__，并且每相邻
侧面：_其__余__各__面__.
棱柱 两个四边形的公共
侧棱：相邻侧面的
边都互相_平__行__， 如图可记作： _公__共__边__.
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答案:A
规律技巧:解此例关键在于正确掌握棱锥､棱柱､棱台的几 何特征,熟悉它们概念的形成,并掌握与概念相匹配的等价命 题.
变式训练1:下列说法正确的是( ) A.棱柱的面中,至少有两个互相平行 B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C.棱柱中各条棱长都相等 D.棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边 形
解析:对于甲,满足两个面互相平行,其余各面都是平行四边 形的几何体并不一定是棱柱.如图1所示的几何体,平面 ABC与平面A′B′C′是对应边分别平行的全等三角形,其他 面都是平行四边形,但不是棱柱,故甲不是真命题.
对于乙,如图2,底面是四边形ABCD,且各侧面都是三角形但不 是一个公共顶点时就不是棱锥,所以乙也不是真命题. 对于丙,用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,将得到两个 几何体,其中一个仍然是棱锥,而另一个为棱台,而丙命题说得 很含糊,故不是真命题. 综上可知,应选A.
棱锥也有三个本质特征:(1)有一个面是多边形;(2)其余的各面 是三角形;(3)这些三角形有一个公共顶点.三者缺一不可,因此 棱锥有一个面是多边形,其余各面都是三角形.但是也要注意 “有一个面是多边形,其余各面都是三角形”的几何体未必 就是棱锥.如右图所示的几何体满足各面都是三角形,但这个 几何体不是棱锥,因为它不满足条件(3).
题型一 几何体的概念
例1:设有三个命题:
甲:有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围成的几何体
一定是棱柱;
乙:有一个面是四边形,其余各面都是三角形所围成的几何体
是棱锥;
丙:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到的几何体叫
棱台.
以上命题中,真命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2D.3
分析:要判断几何体的类型,首先应熟练掌握各类几何体的结 构特征.
2.棱锥､棱台的形成与分类 每一个棱柱都有两个互相平行且全等的底面,当棱柱的一个 底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥. 而棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后,截面和底面 之间的部分. 由于棱锥､棱台的形成都与棱柱有关,故棱锥､棱台也与棱柱 一样,根据底面多边形的形状分为三棱锥(台)､四棱锥(台)､…､ n棱锥(台)(n∈N*,n≥3).
解:折起后是一个三棱锥,如下图所示.
题型三 组合体问题
例3:如右图中的几何体(中间割去的为四棱柱)是由哪些简单 几何体构成的?
解:图中的几何体可以看作是一个长方体 割去一个四棱柱所得的几何体,也可以看 成是一个长方体与两个四棱柱组合而成 的几何体.如下图所示:
ห้องสมุดไป่ตู้
规律技巧:一些复杂的几何体是由简单几何体组合而成的, 因而解决本题的关键是要熟悉几种简单几何体的形状.另外, 观察几何体的角度不同,得到几何体的构成可能就不一样.
变式训练3:下列各立体图形表示的是柱体或由柱体构成的几 何体是( ) A.①②③⑤ B.③④⑤ C.①④⑤ D.②③④
答案:C
易错探究
例4:在下面4个平面图形中,哪几个是下面各侧棱都相等的四 面体的展开图?其序号是________.(把你认为正确的序号都 填上)
错解:①③ 错因分析:①正确,③不正确.思维想象能力较差,可动手制 作几何体,观察其展开图,提高识图能力. 正解:①②
规律技巧:判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定 义,首先看“面”,观察这个多面体是否有两个互相平行的面, 其余各面都是四边形;再看“线”,即观察每相邻两个面的公 共边是否平行.
变式训练2:如图,四边形ABCD是一个正方形,E､F分别是AB 和BC的中点,沿折痕DE､EF､FD折起得到一个空间几何体,请 你动手折一折,看看这个空间几何体是什么几何体.
3.棱柱､棱锥的本质特征 棱柱有三个本质特征:(1)有两个面互相平行;(2)其余各面都是 平行四边形;(3)这些平行四边形中,每相邻两个面的公共边都 互相平行.因此,棱柱有两个面互相平行,其余各面都是平行四 边形.但是要注意“有两个面互相平行,其余各面都是平行四 边形”的几何体未必就是棱柱.如下图所示的几何体有两个 面互相平行,其余各面都是平行四边形, 但这个几何体不是棱柱而是两个棱柱 的组合体.其原因是不具备条件(3).
1.棱柱的概念与分类 多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体.棱柱就是一 个多面体,它是由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空 间几何体,它的形成使之具备如下几个特点: (1)平移起止位置的两个面(称为底面)互相平行且全等; (2)多边形的各边平移所形成的面(称为侧面)都是平行四边形.
注意:这里强调沿某一方向平移不可忽视. 棱柱按底面多边形的边数可分为:三棱柱､四棱柱､五棱柱､六 棱柱､…､n棱柱(n∈N*,n≥3).
棱柱､棱锥和棱台
1.棱柱:有两个面_互__相__平__行_,其余各面都是四边形,并且每相邻 两个四边形的公共边都_互__相__平__行_,由这些面所围成的多面体 叫做棱柱. 2.棱锥:有一个面是_多__边__形_,其余各面都是有一个公共顶点的 __三__角__形__,由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 3.棱台:用一个_平__行_于__棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面 之间的部分,这样的多面体叫做棱台.
答案:A
题型二 几何体的几何特征
例2:如图所示,长方体ABCD—A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么? (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的几 何体还是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是, 请说明理由.
解:(1)是棱柱,并且是四棱柱,因为以长方体相对的两个面作底 面,是互相平行的,其余各面都是矩形,且四条侧棱互相平行.符 合棱柱的定义. (2)截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M—CC1N,左下方部 分是四棱柱ABMA1—DCND1.
规律技巧:解此例关键在于正确掌握棱锥､棱柱､棱台的几 何特征,熟悉它们概念的形成,并掌握与概念相匹配的等价命 题.
变式训练1:下列说法正确的是( ) A.棱柱的面中,至少有两个互相平行 B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C.棱柱中各条棱长都相等 D.棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边 形
解析:对于甲,满足两个面互相平行,其余各面都是平行四边 形的几何体并不一定是棱柱.如图1所示的几何体,平面 ABC与平面A′B′C′是对应边分别平行的全等三角形,其他 面都是平行四边形,但不是棱柱,故甲不是真命题.
对于乙,如图2,底面是四边形ABCD,且各侧面都是三角形但不 是一个公共顶点时就不是棱锥,所以乙也不是真命题. 对于丙,用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,将得到两个 几何体,其中一个仍然是棱锥,而另一个为棱台,而丙命题说得 很含糊,故不是真命题. 综上可知,应选A.
棱锥也有三个本质特征:(1)有一个面是多边形;(2)其余的各面 是三角形;(3)这些三角形有一个公共顶点.三者缺一不可,因此 棱锥有一个面是多边形,其余各面都是三角形.但是也要注意 “有一个面是多边形,其余各面都是三角形”的几何体未必 就是棱锥.如右图所示的几何体满足各面都是三角形,但这个 几何体不是棱锥,因为它不满足条件(3).
题型一 几何体的概念
例1:设有三个命题:
甲:有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围成的几何体
一定是棱柱;
乙:有一个面是四边形,其余各面都是三角形所围成的几何体
是棱锥;
丙:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到的几何体叫
棱台.
以上命题中,真命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2D.3
分析:要判断几何体的类型,首先应熟练掌握各类几何体的结 构特征.
2.棱锥､棱台的形成与分类 每一个棱柱都有两个互相平行且全等的底面,当棱柱的一个 底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥. 而棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后,截面和底面 之间的部分. 由于棱锥､棱台的形成都与棱柱有关,故棱锥､棱台也与棱柱 一样,根据底面多边形的形状分为三棱锥(台)､四棱锥(台)､…､ n棱锥(台)(n∈N*,n≥3).
解:折起后是一个三棱锥,如下图所示.
题型三 组合体问题
例3:如右图中的几何体(中间割去的为四棱柱)是由哪些简单 几何体构成的?
解:图中的几何体可以看作是一个长方体 割去一个四棱柱所得的几何体,也可以看 成是一个长方体与两个四棱柱组合而成 的几何体.如下图所示:
ห้องสมุดไป่ตู้
规律技巧:一些复杂的几何体是由简单几何体组合而成的, 因而解决本题的关键是要熟悉几种简单几何体的形状.另外, 观察几何体的角度不同,得到几何体的构成可能就不一样.
变式训练3:下列各立体图形表示的是柱体或由柱体构成的几 何体是( ) A.①②③⑤ B.③④⑤ C.①④⑤ D.②③④
答案:C
易错探究
例4:在下面4个平面图形中,哪几个是下面各侧棱都相等的四 面体的展开图?其序号是________.(把你认为正确的序号都 填上)
错解:①③ 错因分析:①正确,③不正确.思维想象能力较差,可动手制 作几何体,观察其展开图,提高识图能力. 正解:①②
规律技巧:判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定 义,首先看“面”,观察这个多面体是否有两个互相平行的面, 其余各面都是四边形;再看“线”,即观察每相邻两个面的公 共边是否平行.
变式训练2:如图,四边形ABCD是一个正方形,E､F分别是AB 和BC的中点,沿折痕DE､EF､FD折起得到一个空间几何体,请 你动手折一折,看看这个空间几何体是什么几何体.
3.棱柱､棱锥的本质特征 棱柱有三个本质特征:(1)有两个面互相平行;(2)其余各面都是 平行四边形;(3)这些平行四边形中,每相邻两个面的公共边都 互相平行.因此,棱柱有两个面互相平行,其余各面都是平行四 边形.但是要注意“有两个面互相平行,其余各面都是平行四 边形”的几何体未必就是棱柱.如下图所示的几何体有两个 面互相平行,其余各面都是平行四边形, 但这个几何体不是棱柱而是两个棱柱 的组合体.其原因是不具备条件(3).
1.棱柱的概念与分类 多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体.棱柱就是一 个多面体,它是由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空 间几何体,它的形成使之具备如下几个特点: (1)平移起止位置的两个面(称为底面)互相平行且全等; (2)多边形的各边平移所形成的面(称为侧面)都是平行四边形.
注意:这里强调沿某一方向平移不可忽视. 棱柱按底面多边形的边数可分为:三棱柱､四棱柱､五棱柱､六 棱柱､…､n棱柱(n∈N*,n≥3).
棱柱､棱锥和棱台
1.棱柱:有两个面_互__相__平__行_,其余各面都是四边形,并且每相邻 两个四边形的公共边都_互__相__平__行_,由这些面所围成的多面体 叫做棱柱. 2.棱锥:有一个面是_多__边__形_,其余各面都是有一个公共顶点的 __三__角__形__,由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 3.棱台:用一个_平__行_于__棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面 之间的部分,这样的多面体叫做棱台.
答案:A
题型二 几何体的几何特征
例2:如图所示,长方体ABCD—A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么? (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的几 何体还是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是, 请说明理由.
解:(1)是棱柱,并且是四棱柱,因为以长方体相对的两个面作底 面,是互相平行的,其余各面都是矩形,且四条侧棱互相平行.符 合棱柱的定义. (2)截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M—CC1N,左下方部 分是四棱柱ABMA1—DCND1.