棱柱 棱锥和棱台 课件
答案:A
规律技巧:解此例关键在于正确掌握棱锥､棱柱､棱台的几 何特征,熟悉它们概念的形成,并掌握与概念相匹配的等价命 题.
变式训练1:下列说法正确的是( ) A.棱柱的面中,至少有两个互相平行 B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C.棱柱中各条棱长都相等 D.棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边 形
解析:对于甲,满足两个面互相平行,其余各面都是平行四边 形的几何体并不一定是棱柱.如图1所示的几何体,平面 ABC与平面A′B′C′是对应边分别平行的全等三角形,其他 面都是平行四边形,但不是棱柱,故甲不是真命题.
对于乙,如图2,底面是四边形ABCD,且各侧面都是三角形但不 是一个公共顶点时就不是棱锥,所以乙也不是真命题. 对于丙,用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,将得到两个 几何体,其中一个仍然是棱锥,而另一个为棱台,而丙命题说得 很含糊,故不是真命题. 综上可知,应选A.
棱锥也有三个本质特征:(1)有一个面是多边形;(2)其余的各面 是三角形;(3)这些三角形有一个公共顶点.三者缺一不可,因此 棱锥有一个面是多边形,其余各面都是三角形.但是也要注意 “有一个面是多边形,其余各面都是三角形”的几何体未必 就是棱锥.如右图所示的几何体满足各面都是三角形,但这个 几何体不是棱锥,因为它不满足条件(3).
题型一 几何体的概念
例1:设有三个命题:
甲:有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围成的几何体
一定是棱柱;
乙:有一个面是四边形,其余各面都是三角形所围成的几何体
是棱锥;
丙:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到的几何体叫
棱台.
以上命题中,真命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2D.3
分析:要判断几何体的类型,首先应熟练掌握各类几何体的结 构特征.
2.棱锥､棱台的形成与分类 每一个棱柱都有两个互相平行且全等的底面,当棱柱的一个 底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥. 而棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后,截面和底面 之间的部分. 由于棱锥､棱台的形成都与棱柱有关,故棱锥､棱台也与棱柱 一样,根据底面多边形的形状分为三棱锥(台)､四棱锥(台)､…､ n棱锥(台)(n∈N*,n≥3).
解:折起后是一个三棱锥,如下图所示.
题型三 组合体问题
例3:如右图中的几何体(中间割去的为四棱柱)是由哪些简单 几何体构成的?
解:图中的几何体可以看作是一个长方体 割去一个四棱柱所得的几何体,也可以看 成是一个长方体与两个四棱柱组合而成 的几何体.如下图所示:
ห้องสมุดไป่ตู้
规律技巧:一些复杂的几何体是由简单几何体组合而成的, 因而解决本题的关键是要熟悉几种简单几何体的形状.另外, 观察几何体的角度不同,得到几何体的构成可能就不一样.
变式训练3:下列各立体图形表示的是柱体或由柱体构成的几 何体是( ) A.①②③⑤ B.③④⑤ C.①④⑤ D.②③④
答案:C
易错探究
例4:在下面4个平面图形中,哪几个是下面各侧棱都相等的四 面体的展开图?其序号是________.(把你认为正确的序号都 填上)
错解:①③ 错因分析:①正确,③不正确.思维想象能力较差,可动手制 作几何体,观察其展开图,提高识图能力. 正解:①②
规律技巧:判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定 义,首先看“面”,观察这个多面体是否有两个互相平行的面, 其余各面都是四边形;再看“线”,即观察每相邻两个面的公 共边是否平行.
变式训练2:如图,四边形ABCD是一个正方形,E､F分别是AB 和BC的中点,沿折痕DE､EF､FD折起得到一个空间几何体,请 你动手折一折,看看这个空间几何体是什么几何体.
3.棱柱､棱锥的本质特征 棱柱有三个本质特征:(1)有两个面互相平行;(2)其余各面都是 平行四边形;(3)这些平行四边形中,每相邻两个面的公共边都 互相平行.因此,棱柱有两个面互相平行,其余各面都是平行四 边形.但是要注意“有两个面互相平行,其余各面都是平行四 边形”的几何体未必就是棱柱.如下图所示的几何体有两个 面互相平行,其余各面都是平行四边形, 但这个几何体不是棱柱而是两个棱柱 的组合体.其原因是不具备条件(3).
1.棱柱的概念与分类 多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体.棱柱就是一 个多面体,它是由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空 间几何体,它的形成使之具备如下几个特点: (1)平移起止位置的两个面(称为底面)互相平行且全等; (2)多边形的各边平移所形成的面(称为侧面)都是平行四边形.
注意:这里强调沿某一方向平移不可忽视. 棱柱按底面多边形的边数可分为:三棱柱､四棱柱､五棱柱､六 棱柱､…､n棱柱(n∈N*,n≥3).
棱柱､棱锥和棱台
1.棱柱:有两个面_互__相__平__行_,其余各面都是四边形,并且每相邻 两个四边形的公共边都_互__相__平__行_,由这些面所围成的多面体 叫做棱柱. 2.棱锥:有一个面是_多__边__形_,其余各面都是有一个公共顶点的 __三__角__形__,由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 3.棱台:用一个_平__行_于__棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面 之间的部分,这样的多面体叫做棱台.
答案:A
题型二 几何体的几何特征
例2:如图所示,长方体ABCD—A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么? (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的几 何体还是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是, 请说明理由.
解:(1)是棱柱,并且是四棱柱,因为以长方体相对的两个面作底 面,是互相平行的,其余各面都是矩形,且四条侧棱互相平行.符 合棱柱的定义. (2)截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M—CC1N,左下方部 分是四棱柱ABMA1—DCND1.
规律技巧:解此例关键在于正确掌握棱锥､棱柱､棱台的几 何特征,熟悉它们概念的形成,并掌握与概念相匹配的等价命 题.
变式训练1:下列说法正确的是( ) A.棱柱的面中,至少有两个互相平行 B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C.棱柱中各条棱长都相等 D.棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边 形
解析:对于甲,满足两个面互相平行,其余各面都是平行四边 形的几何体并不一定是棱柱.如图1所示的几何体,平面 ABC与平面A′B′C′是对应边分别平行的全等三角形,其他 面都是平行四边形,但不是棱柱,故甲不是真命题.
对于乙,如图2,底面是四边形ABCD,且各侧面都是三角形但不 是一个公共顶点时就不是棱锥,所以乙也不是真命题. 对于丙,用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,将得到两个 几何体,其中一个仍然是棱锥,而另一个为棱台,而丙命题说得 很含糊,故不是真命题. 综上可知,应选A.
棱锥也有三个本质特征:(1)有一个面是多边形;(2)其余的各面 是三角形;(3)这些三角形有一个公共顶点.三者缺一不可,因此 棱锥有一个面是多边形,其余各面都是三角形.但是也要注意 “有一个面是多边形,其余各面都是三角形”的几何体未必 就是棱锥.如右图所示的几何体满足各面都是三角形,但这个 几何体不是棱锥,因为它不满足条件(3).
题型一 几何体的概念
例1:设有三个命题:
甲:有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围成的几何体
一定是棱柱;
乙:有一个面是四边形,其余各面都是三角形所围成的几何体
是棱锥;
丙:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到的几何体叫
棱台.
以上命题中,真命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2D.3
分析:要判断几何体的类型,首先应熟练掌握各类几何体的结 构特征.
2.棱锥､棱台的形成与分类 每一个棱柱都有两个互相平行且全等的底面,当棱柱的一个 底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥. 而棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后,截面和底面 之间的部分. 由于棱锥､棱台的形成都与棱柱有关,故棱锥､棱台也与棱柱 一样,根据底面多边形的形状分为三棱锥(台)､四棱锥(台)､…､ n棱锥(台)(n∈N*,n≥3).
解:折起后是一个三棱锥,如下图所示.
题型三 组合体问题
例3:如右图中的几何体(中间割去的为四棱柱)是由哪些简单 几何体构成的?
解:图中的几何体可以看作是一个长方体 割去一个四棱柱所得的几何体,也可以看 成是一个长方体与两个四棱柱组合而成 的几何体.如下图所示:
ห้องสมุดไป่ตู้
规律技巧:一些复杂的几何体是由简单几何体组合而成的, 因而解决本题的关键是要熟悉几种简单几何体的形状.另外, 观察几何体的角度不同,得到几何体的构成可能就不一样.
变式训练3:下列各立体图形表示的是柱体或由柱体构成的几 何体是( ) A.①②③⑤ B.③④⑤ C.①④⑤ D.②③④
答案:C
易错探究
例4:在下面4个平面图形中,哪几个是下面各侧棱都相等的四 面体的展开图?其序号是________.(把你认为正确的序号都 填上)
错解:①③ 错因分析:①正确,③不正确.思维想象能力较差,可动手制 作几何体,观察其展开图,提高识图能力. 正解:①②
规律技巧:判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定 义,首先看“面”,观察这个多面体是否有两个互相平行的面, 其余各面都是四边形;再看“线”,即观察每相邻两个面的公 共边是否平行.
变式训练2:如图,四边形ABCD是一个正方形,E､F分别是AB 和BC的中点,沿折痕DE､EF､FD折起得到一个空间几何体,请 你动手折一折,看看这个空间几何体是什么几何体.
3.棱柱､棱锥的本质特征 棱柱有三个本质特征:(1)有两个面互相平行;(2)其余各面都是 平行四边形;(3)这些平行四边形中,每相邻两个面的公共边都 互相平行.因此,棱柱有两个面互相平行,其余各面都是平行四 边形.但是要注意“有两个面互相平行,其余各面都是平行四 边形”的几何体未必就是棱柱.如下图所示的几何体有两个 面互相平行,其余各面都是平行四边形, 但这个几何体不是棱柱而是两个棱柱 的组合体.其原因是不具备条件(3).
1.棱柱的概念与分类 多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体.棱柱就是一 个多面体,它是由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空 间几何体,它的形成使之具备如下几个特点: (1)平移起止位置的两个面(称为底面)互相平行且全等; (2)多边形的各边平移所形成的面(称为侧面)都是平行四边形.
注意:这里强调沿某一方向平移不可忽视. 棱柱按底面多边形的边数可分为:三棱柱､四棱柱､五棱柱､六 棱柱､…､n棱柱(n∈N*,n≥3).
棱柱､棱锥和棱台
1.棱柱:有两个面_互__相__平__行_,其余各面都是四边形,并且每相邻 两个四边形的公共边都_互__相__平__行_,由这些面所围成的多面体 叫做棱柱. 2.棱锥:有一个面是_多__边__形_,其余各面都是有一个公共顶点的 __三__角__形__,由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 3.棱台:用一个_平__行_于__棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面 之间的部分,这样的多面体叫做棱台.
答案:A
题型二 几何体的几何特征
例2:如图所示,长方体ABCD—A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么? (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的几 何体还是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是, 请说明理由.
解:(1)是棱柱,并且是四棱柱,因为以长方体相对的两个面作底 面,是互相平行的,其余各面都是矩形,且四条侧棱互相平行.符 合棱柱的定义. (2)截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M—CC1N,左下方部 分是四棱柱ABMA1—DCND1.
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课件4：1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征（第1课时）
棱柱中( )
A．只有两个面平行
B．所有的棱都相等
C．所有的面都是平行四边形 D．两底面平行，且各侧棱也平行
[解析] 长方体也是棱柱，以长方体为例，可知A、B不正确，
棱柱的两底面可以是三角形，五边形等，故C不正确，因此选D.
[答案] D
2．下列命题中正确的是( ) A．四棱柱是平行六面体 B．直平行六面体是长方体 C．底面是矩形的四棱柱是长方体 D．六个面都是矩形的六面体是长方体
l2＝x2＋y2＋z2＝12[(x2＋y2)＋(x2＋z2)＋(z2＋y2)]
＝12(a2＋b2＋c2)，∴l＝
a2＋b2＋c2 2.
跟踪练习 2 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2、
3、 6，这个长方体对角线的长是( )
A．2 3
B．3 2 C．6
D. 6
[解析] 设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，对角线长为 d.
长方体对角线问题
例2 经过长方体同一个顶点的三个面的对角线长分别是a、b、c，那
a2＋b2＋c2
么这个长方体的体对角线长是_______2_________．
[解析] 设经过长方体同一顶点的三条棱长分别为 x、y、z，
则有 x2＋y2＝a2，x2＋z2＝b2，z2＋y2＝c2.
设长方体的体对角线长为 l，则有
2．(1)棱柱是____有__两__个__面__互__相__平__行__，__其__余__各__面__都__是_____ ___四__边__形__，__且__每__相__邻__两__个__面__的__公__共__边__都__互__相__平__行____的面所围成的 几何体． 棱柱的两个互相平行的面叫做棱柱的___底__面___，其余各面叫做棱 柱的___侧__面___，两侧面的公共边叫做棱柱的__侧__棱____．两底面之 间的距离叫做棱柱的____高____． (2)棱柱按底面是三角形、四边形、五边形、……分别叫做 __三__棱__柱__、__四__棱__柱__、__五__棱__柱__、…….
A．只有两个面平行
B．所有的棱都相等
C．所有的面都是平行四边形 D．两底面平行，且各侧棱也平行
[解析] 长方体也是棱柱，以长方体为例，可知A、B不正确，
棱柱的两底面可以是三角形，五边形等，故C不正确，因此选D.
[答案] D
2．下列命题中正确的是( ) A．四棱柱是平行六面体 B．直平行六面体是长方体 C．底面是矩形的四棱柱是长方体 D．六个面都是矩形的六面体是长方体
l2＝x2＋y2＋z2＝12[(x2＋y2)＋(x2＋z2)＋(z2＋y2)]
＝12(a2＋b2＋c2)，∴l＝
a2＋b2＋c2 2.
跟踪练习 2 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2、
3、 6，这个长方体对角线的长是( )
A．2 3
B．3 2 C．6
D. 6
[解析] 设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，对角线长为 d.
长方体对角线问题
例2 经过长方体同一个顶点的三个面的对角线长分别是a、b、c，那
a2＋b2＋c2
么这个长方体的体对角线长是_______2_________．
[解析] 设经过长方体同一顶点的三条棱长分别为 x、y、z，
则有 x2＋y2＝a2，x2＋z2＝b2，z2＋y2＝c2.
设长方体的体对角线长为 l，则有
2．(1)棱柱是____有__两__个__面__互__相__平__行__，__其__余__各__面__都__是_____ ___四__边__形__，__且__每__相__邻__两__个__面__的__公__共__边__都__互__相__平__行____的面所围成的 几何体． 棱柱的两个互相平行的面叫做棱柱的___底__面___，其余各面叫做棱 柱的___侧__面___，两侧面的公共边叫做棱柱的__侧__棱____．两底面之 间的距离叫做棱柱的____高____． (2)棱柱按底面是三角形、四边形、五边形、……分别叫做 __三__棱__柱__、__四__棱__柱__、__五__棱__柱__、…….
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件(人教版)
(1) 共得到多少个棱长为1cm的小立方体？ (2) 三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (3) 两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (4) 一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (5) 六面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它 们占有多少立方厘米的空间？
解：(3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是 32cm2，它们占有的空间是8cm3.
练习
－ － － － － － － － － － 教材116页
4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
3
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱
棱锥
棱台
底面积为 S ，高为 h V棱柱 Sh
底面积为 S ，高为 h
V棱锥
1 3
Sh
上底面积为 S ，下底面积
为 S ，高为 h
V棱台
1 3
h(S
SS S)
如图已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱 台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
1 SPBC 2 a a sin 60
3 a2. 4
A
解：(3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是 32cm2，它们占有的空间是8cm3.
练习
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4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
3
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱
棱锥
棱台
底面积为 S ，高为 h V棱柱 Sh
底面积为 S ，高为 h
V棱锥
1 3
Sh
上底面积为 S ，下底面积
为 S ，高为 h
V棱台
1 3
h(S
SS S)
如图已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱 台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
1 SPBC 2 a a sin 60
3 a2. 4
A
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积课件(人教版)
（
）
2.几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和.
（
）
3.棱锥的体积等于底面面积与高之积.
（
）
4.等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.
（
）
答案：√，√，×，√.
练习
题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1.已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分)上
底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积.
解：由题意知， 长方体−’ ’ ’’ = 1 × 1 × 0.5 = 0.5(3 ) ，
1
1
棱锥− = × 1 × 1 × 0.5 = (3 ).
3
6
所以这个漏斗的容积 =
1
2
1
+
6
2
3
= ≈ 0.67(3 ).
新知探索
辨析1：判断正误.
1.几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和.
解：(2)设三棱锥 − 1 的高为ℎ，则
三棱锥−
1
1
1 1
3
3 2
2
= ∙ ∆1 ∙ ℎ = × ×
× ( 2) ℎ =
ℎ.
3
3 2 2
6
1
∵三棱锥− = 三棱锥 − = 3 ，
6
1
1
= 3 ，解得ℎ =
3
.
3
∴三棱锥 − 1 的高为
’ =
= ℎ
上底缩小
1 ’
= ( + ’ + )ℎ
3
’ = 0
1
= ℎ
3
例析
例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部
课件6：8.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台
解析：A 选项不符合棱柱的特点；B 选项中，如图①所示,构造四 棱柱 ABCD-A1B1C1D1，令四边形 ABCD 是梯形，可知平面 ABB1A1 ∥平面 DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C 选项中，如 图②所示，底面 ABCD 可以是平行四边形；D 选项是棱柱的特点.
①
②
答案：D
方法规律
用一个 平行 于棱锥 棱台 底底部面面分的叫与平做截面棱面去台之截间棱的锥，上可台面记AB的作CD棱：-台棱
A'B'C'D'
续表
相关概念 上底面：截面. 下底面：原棱锥的底 面. 侧面：其余各面. 侧棱：相邻侧面的公 共边. 顶点：侧面与上(下) 底面的公共顶点
[基础测试] 2.判断.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)棱柱的侧面都是平行四边形. ( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫 棱锥. ( ) (3)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做 棱台.( )
棱柱结构特征问题的解题策略
(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱的定义：
①两个面互相平行；
②其余各面都是四边形；
③相邻两个四边形的公共边互相平行.
求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征.
(2)多注意观察一些实物模型和图片，便于举反例.
【跟踪训练】 1.下列说法错误的是 ( ) A.多面体至少有四个面 B.棱柱的两个底面是全等的多边形 C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 解析：三棱柱的底面是三角形,其侧面一定是平行四边形,故 D 错误. 答案：D
【跟踪训练】 3.下列四个平面图形中,每个小四边形都是正方形,其中可以沿 相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是( )
课件3：8.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台
(下)底面的公共顶
点
状元随笔 对于多面体概念的理解，注意以下两个方面 (1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要 四个面．一个多面体由几个面围成，就称为几面体． (2)多面体是一个“封闭”的几何体，包括其内部的部分．
[教材解难]
判断多面体是不是棱台容易出现两个错误：(1)只看到有两 个面互相平行，而不注意各条侧棱延长线是否相交于一点； (2)只看到各条侧棱的延长线相交于一点，忽视了两个底面 是否平行．如图，它们都不是棱台．
【基础自测】
1．下面图形中，为棱锥的是( )
A．①③
B．①③④
C．①②④
D．①②
解析：根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，
③不是棱锥，④是棱锥．故选 C.
答案：C
2．下列图形中，是棱台的是( )
解析：由棱台的定义知，A、D 的侧棱延长线不交于一 点，所以不是棱台；B 中两个面不平行，不是棱台，只 有 C 符合棱台的定义，故选 C. 答案：C
本课结束
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跟踪训练 2 设集合 M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四
棱柱}，Q＝{正方体}，则这些集合间的关系是( )
A．Q N M P
B．Q M N P
C．Q N M P
D．Q M N P
解析：易知四种棱柱中正方体最特殊，直四棱柱最一般，而正
四棱柱是底面为正方形的长方体．
答案：D
题型三 简单几何体的判定[经典例题] 例 3 如图所示，长方体 ABCD－A1B1C1D1.
由一个平面图形绕它所在平面内 的 一 条 _定__直__线___ 旋 转 所 形 成 的
体
__封_闭 ___几__何__体__
课件9：1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
题型二：简单几何体中的计算问题 [典例] 正三棱锥的底面边长为 3，侧棱长为 2 3，求正三棱锥的高．
[解] 作出正三棱锥如图，SO 为其高，连接 AO，作 OD⊥AB 于 点 D，则点 D 为 AB 的中点． 在 Rt△ADO 中，AD＝32，∠OAD＝30°，
3 故 AO＝cos∠2OAD＝ 3. 在 Rt△SAO 中，SA＝2 3，AO＝ 3， 故 SO＝ SA2－AO2＝3，其高为 3.
延长线交于一点；④有两个面互相平行，其余各面都是梯形，则此几何体是棱台．
A．①
B．②
C．③
D．④
(2)下列命题：
①各侧面为矩形的棱柱是长方体；②直四棱柱是长方体；
③侧棱与底面垂直的棱柱是直棱柱；④各侧面是矩形的直四棱柱为正四棱
柱．其中正确的是________(填序号)．
[解析] (1)棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等，故 ①②不正确；棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥底面得到的，故各个侧 棱的延长线一定交于一点，③正确；棱台的各条侧棱必须交于一点故④错误． (2)①中一定为直棱柱但不一定是长方体；②直四棱柱的底面可以是任意的四 边形不一定是矩形；③符合直棱柱的定义；④中的棱柱为一般直棱柱，它的 底面不一定为正方形． [答案] (1) C (2) ③
(3) 凸 多 面 体 ： 把 一 个 多 面 体 的 任 意 一 个 面 延 展 为 平 面 ， 如 果 其 余 的 各
面 都在这个平面的同一侧 ，则这样的多面体就叫做凸多面体．
2．棱柱、棱锥、棱台
名称
棱柱
棱锥
棱台
定义
条件：①有两个
互相平行 的面；
条件：①有一个 棱锥被 平行于
面是 多边形 ；
高中数学《棱柱、棱锥、棱台的结构特征 》课件
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解析 棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形 成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①对．
棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何 体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点， 故②对．
棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之 间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相 交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错④对．⑤显然正确.
所以(1)为五棱柱，(2)为五棱锥，(3)为三棱台．
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拓展提升 空间几何体的展开图
(1)解答空间几何体的展开图问题要结合多面体的结构 特征发挥空间想象能力和动手能力．
(2)若给出多面体画其展开图，常常给多面体的顶点标 上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．
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第一章 空间几何体
1.1 空间几何体的结构 1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
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知识点一 空间几何体的定义、分类及相关概念 1．空间几何体的定义
(3)若是给出表面展开图，则按上述过程逆推．
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【跟踪训练 3】 根据如下图所给的平面图形，画出立 体图．
课件8：§1.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
4.某多面体的面中有梯形和三角形，试画一个具有该特征的几何体. 解 如图(1)所示(或如图(2)所示，还有其他可能，答案不唯一).
本课结束
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【训练1】 下列关于棱柱的说法错误的是( )
A.所有的棱柱两个底面都平行 B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公
共边互相平行 C.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体源自定是棱柱 D.棱柱至少有五个面
解析 对于A，B，D显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的： 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边 形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中 漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此 所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱.
交于一点
梯形
延长后交于一 点
与底面相似 与底面相似 与底面相似
与底面相似
【课堂达标】
1.棱柱的侧面都是( )
A.三角形 C.五边形
B.四边形 D.矩形
解析 由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形. 答案 B
2.如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( )
A.①③
B.②④
C.③④
2.几种常见的多面体
多面 体
定义
图形及表示
相关概念
有两个面互相_平__行_，
底面(底)：两个互
其余各面都是四__边__
相_平__行___的面
_形__，并且每相邻
侧面：_其__余__各__面__.
棱柱 两个四边形的公共
侧棱：相邻侧面的
边都互相_平__行__， 如图可记作： _公__共__边__.
《棱柱棱锥棱台》课件
棱柱的分类
总结词
根据底面的形状，棱柱可以分为直棱 柱和斜棱柱。
详细描述
直棱柱的底面是矩形或正六边形等， 侧面是垂直于底面的平行线段。斜棱 柱的底面是梯形或平行四边形等，侧 面则是与底面形成一定角度的线段。
棱柱的性质
总结词
棱柱的性质包括底面平行、侧棱平行且相等、侧棱与底面垂 直等。
详细描述
棱柱的底面平行意味着两个底面始终保持平行关系。侧棱平 行且相等指的是棱柱的所有侧棱都是平行的，并且长度相等 。侧棱与底面垂直则说明侧棱始终与底面垂直。这些性质是 判断一个几何体是否为棱柱的重要依据。
总结词
棱台是由平行于棱锥底面的截面截取 棱锥部分而形成的几何体。
详细描述
棱台的定义基于棱锥，通过截取棱锥 的一部分，得到一个多面体，这个多 面体就是棱台。棱台的两个平行的多 边形面称为底面，而其他各面都是有 一个公共顶点的三角形。
棱台的分类
总结词
根据底面的形状，棱台可以分为正棱台和斜棱台。
详细描述
02
棱锥的定义与性质
棱锥的基本定义
总结词
棱锥是由一个多边形和其内部一 点连接而成的几何体。
详细描述
棱锥是一个多面体，由一个多边 形底面和一个顶点组成。顶点与 底面各顶点连接，形成棱锥的侧 棱。
棱锥的分类
总结词
根据底面的形状，棱锥可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
详细描述
根据底面的边数，棱锥可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等，边数越多，则称为 多边棱锥。
正棱台的底面是正多边形，而斜棱台的底面是等腰或不等腰的梯形。此外，根据顶面的形状，棱台还可以进一步 细分为齐棱台和曲棱台。
棱台的性质
总结词
棱台具有一些独特的性质，如侧面积等 于原棱锥的侧面积减去下底面的面积。
课件6：1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
类型3 对多面体的识别和判断 例 3 如图 1-1-19 长方体 ABCD—A1B1C1D1.
图 1-1-19 (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面 BCFE 把这个长方体分成两部分后，各部分的几何体还是棱柱吗？ 若是棱柱指出它们的底面与侧棱.
【精彩点拨】 观察图形 → 紧扣概念 → 得出结论 → 回答问题 【自主解答】 (1)这个长方体是棱柱，是四棱柱，因为它满足棱柱的定义. (2)截面 BCFE 右侧部分是三棱柱，它的底面是△BEB1 与△CFC1，侧棱是 EF， B1C1，BC.截面左侧部分是四棱柱，它的底面是四边形 ABEA1 与四边形 DCFD1， 侧棱是 AD，BC，EF，A1D1.
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×
类型1 棱柱、棱锥、棱台的概念
例 1 下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是________. (1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台. (2)棱台的侧面一定不会是平行四边形. (3)棱锥的侧面只能是三角形. (4)棱台的各侧棱延长后必交于一点. (5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
正确判断几何体类型的方法 要正确判断几何体的类型，就要熟练掌握各类简单几何体的结构特征.对于 有些四棱柱，互相平行的平面不只是两个，所以对于底面来说并不固定.棱柱的 概念中两个面互相平行，指的是两个底面互相平行.但由于棱柱的放置方式不 同，两个底面的位置就不一样，但无论如何放置，都应该满足棱柱的定义.
【精彩点拨】 由棱锥、棱台的定义 → 联想空间图形 → 构造模型 → 逐一进行判断
【解析】 (1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱 锥底面和截面之间的部分不是棱台；