1.1第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
课件5：§1.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
2．棱锥 一般地，有一个面是多__边__形__，其余各面都是
定义 _有__一__个__公__共__顶__点_的三角形，由这些面所围成的多 面体叫做棱锥
有关 概念
多边形面叫做棱锥的底面或底；有公__共__顶__点__的各 个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的_公__共__顶__点_ 叫做棱锥的顶点；相邻侧面的_公__共__边_叫做棱锥的 侧棱
归纳总结
(4)规定：在多面体中，不在同一面上的两个顶点的连线 叫做多面体的对角线，不在同一面上的两条侧棱称为多 面体的不相邻侧棱，侧棱和底面多边形的边统称为棱． (5)一个多面体是由几个面围成，那么这个多面体称为几 面体．
新知导学 二、几种常见的多面体 1．棱柱
一般地，有两个面互相_平__行___，其余各面都是 四__边__形__，并且每_相__邻___两个四边形的公共边都 定义 互相_平__行___，由这些面所围成的多__面__体__叫做棱 柱
叫做棱台的顶点
图形
表示 用表示底面各顶点的_字__母_表示棱台，如上图中的棱台 法 可记为棱台_A_B_C__D_－__A_′_B_′C_ ′D′
按底面多边形的_边__数_分为三棱台、四棱台、五棱 分类
台……
归纳总结 棱台的性质： (1)侧棱延长后交于一点；侧面是梯形． (2)两个底面与平行于底面的截面是相似多边形， 如图①所示．
命题方向2 棱锥、棱台的结构特征 例2 下列关于棱锥、棱台的说法： (1)棱台的侧面一定不会是平行四边形； (2)棱锥的侧面只能是三角形； (3)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； (4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确说法的序号是________．
【解析】 (1)正确，棱台的侧面都是梯形． (2)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形． (3)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥． (4)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
第一章 1.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
§1.1 空间几何体的结构第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征学习目标 1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构和有关计算.知识点一 多面体、旋转体的定义思考 构成空间几何体的基本元素是什么？常见的几何体可以分成哪几类？答案 构成空间几何体的基本元素是：点、线、面.常见几何体可以分为多面体和旋转体.知识点二 棱柱的结构特征思考 棱柱的侧面一定是平行四边形吗？ 答案 棱柱的侧面一定是平行四边形. 知识点三 棱锥的结构特征知识点四 棱台的结构特征思考 棱台的各侧棱延长线一定相交于一点吗？ 答案 一定相交于一点.1.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.(×)2.棱柱的两个底面是全等的多边形.(√)3.棱柱最多有两个面不是四边形.(√)4.棱锥的所有面都可以是三角形.(√)题型一棱柱的结构特征例1(1)下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱.其中正确的说法的序号是________.答案③④解析①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形.②错误，棱柱的底面可以是三角形.③正确，由棱柱的定义易知.④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是③④.(2)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点.①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.解①是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.②截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.反思感悟棱柱结构的辨析方法(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义.①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.跟踪训练1下列命题中正确的是()A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形答案 D题型二棱锥、棱台的结构特征例2(1)有下列三种叙述：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个考点棱台的结构特征题点棱台的概念的应用答案 A解析①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错.故选A.(2)下列说法中，正确的是()①棱锥的各个侧面都是三角形；②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；③棱锥的侧棱平行.A.①B.①②C.②D.③考点棱锥的结构特征题点棱锥的结构特征的应用答案 B解析由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确；棱锥的侧棱交于一点不平行，故③错.反思感悟判断棱锥、棱台的方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.(2)直接法跟踪训练2下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是________.考点棱锥的结构特征题点棱锥的结构特征的应用答案①②解析①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.空间几何体的平面展开图典例(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)()答案 A解析其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻.相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻.(2)如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？解图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点.把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台.[素养评析](1)多面体展开图问题的解题方法①绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图.②由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多种平面展开图.(2)借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题是直观想象的核心素养.1.下面多面体中，是棱柱的有()A.1个B.2个C.3个D.4个考点空间几何体题点空间几何体结构判断答案 D解析根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足.2.下面图形中，为棱锥的是()A.①③B.①③④C.①②④D.①②答案 C解析根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥.故选C.3.有一个多面体，由四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为()A.四棱柱B.四棱锥C.三棱柱D.三棱锥答案 D解析根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥.4.如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是()A.①③B.②④C.③④D.①②答案 C解析可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.故选C.5.下列说法中正确的是()A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形考点棱柱的结构特征题点棱柱的结构特征的应用答案 A解析棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B 错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形.但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.1.棱柱、棱锥定义的关注点(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：①有两个平面(底面)互相平行；②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行.(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：①有一个面(底面)是多边形；②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形.2.根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力.一、选择题1.有两个面平行的多面体不可能是()A.棱柱B.棱锥C.棱台D.以上都错考点空间几何体题点空间几何体结构判断答案 B解析由棱锥的结构特征可得.2.下列关于棱柱的说法中，错误的是()A.三棱柱的底面为三角形B.一个棱柱至少有五个面C.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等D.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形考点棱柱的结构特征题点棱柱的结构特征的应用答案 C解析显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，故C错误；D正确，故选C.3.观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是()A.①是棱柱B.②不是棱锥C.③不是棱锥D.④是棱台考点 空间几何体 题点 空间几何体结构判断 答案 B解析 结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B 错误.4.下列命题中正确的是( ) A.三棱柱的侧面为三角形B.两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C.棱台的底面是两个相似的正方形D.棱锥的侧面和底面可以都是三角形 答案 D5.下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )答案 D6.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )A.A 1B 1＝2，AB ＝3，B 1C 1＝3，BC ＝4B.A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝3C.A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝4D.AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，CA ＝C 1A 1 答案 C解析 选项A 中A 1B 1AB ≠B 1C 1BC ，故A 不正确；选项B 中B 1C 1BC ≠A 1C 1AC ，故B 不正确；选项C 中A 1B 1AB＝B1C1BC＝A1C1AC，故C正确；选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不是三棱台，故选C.7.一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是()A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥答案 D解析由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥.8.下面图形中是正方体展开图的是()考点空间几何体的平面展开图题点多面体的平面展开图答案 A解析由正方体表面展开图性质知A是正方体的展开图；B折叠后第一行两个面无法折起来，而且下边没有面，故不能折成正方体；C缺少一个正方形；D折叠后有一个面重合，另外还少一个面，故不能折成正方体.故选A.二、填空题9.四棱柱有________条侧棱，________个顶点.答案4810.一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱.答案56911.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.答案60°12.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________.(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体. 答案 ①③④⑤解析 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是：①矩形，如四边形ACC 1A 1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A －A 1BD ；④每个面都是等边三角形的四面体，如A －CB 1D 1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A －A 1DC ，故填①③④⑤.三、解答题13.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A ，B ，C 重合，重合后记为点P .问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a ，则每个面的三角形面积为多少？解 (1)如图折起后的几何体是三棱锥.(2)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2，S △DEF ＝32a 2.14.一个长方体共顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体对角线的长是________.考点 棱柱的结构特征题点 与棱柱有关的运算答案 6解析 设长方体长、宽、高为x ，y ，z ，则yz ＝2，xz ＝3，yx ＝6，三式相乘得x 2y 2z 2＝6，即xyz ＝6，解得x＝3，y＝2，z＝1，所以x2＋y2＋z2＝3＋2＋1＝ 6.15.试从正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个点，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来.(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3)三棱柱.考点空间几何体题点空间几何体结构应用解(1)如图所示，三棱锥A1－AB1D1(答案不唯一).(2)如图所示，三棱锥B1－ACD1(答案不唯一).(3)如图所示，三棱柱A1B1D1－ABD(答案不唯一).。
1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征(第1课时)
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，
并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，
这些面所围成的多面体叫做棱柱. E1 D1
底面：两个互相平行的面.
F1 A1 B1 C1
简称底.
侧面：其余各面. 侧棱：相邻侧面的公共边.
侧棱
底 ED 面
顶点：侧面与底面的公共顶点.
F
C
AB 侧面
顶点
棱柱的分类
按底面多边形的边数来分
A' D
侧棱：相邻侧面的公共边．
上底面
C' B' C
顶点：侧面与上(下)底面的 A
B
公共顶点
下底面
棱台的分类
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台 分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
棱台的表示：用各底面顶点的字母表示
三棱台 四棱台
五棱台
棱台ABCD—A ' B ' C ' D '
1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的 括号内打“√”，错误的打“×”． (1)棱柱的侧面可以不是平行四边形．( ) (2)三棱锥的四个面都可以作为底面．( ) (3)四棱台有8个顶点，6个面，4条侧棱．( ) • 答案：(1)× (2)√ (3)√
2．试判断下列说法正确与否： ①由六个面围成的封闭图形只能是五棱锥；
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的 多面体是棱台．
• 解：①不正确，由六个面围成的封闭图形有 可能是四棱柱；
• ②不正确，两个底面平行且相似，其余各面 都是梯形的多面体，侧棱不一定相交于一
多面体的表面展开图
•
如图是三个几何体的表面展开图，请
B．2 个 D．4 个
2．下面图形所表示的几何体中，不是棱锥的为( )
课时作业21：§1.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
§1.1 第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征基础过关1.三棱锥的四个面中可以作为底面的有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.四棱柱有几条侧棱，几个顶点()A.四条侧棱、四个顶点B.八条侧棱、四个顶点C.四条侧棱、八个顶点D.六条侧棱、八个顶点3.观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是()A.①是棱柱B.②不是棱锥C.③不是棱锥D.④是棱台4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________.5.下列说法正确的有________(填序号).①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；⑤多面体至少有四个面.6.如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？7.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A、B、C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？能力提升8.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()9.在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A.20B.15C.12D.1010.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种空间图形的4个顶点，这些空间图形是________.(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.11.长方体ABCD－A1B1C1D1(如图所示)中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值.探究创新12.如图，在4×3的纸上用线条勾画出一个图形，使每一格作为一个面，能折成一个正方体.你能画出4个这样的图形吗？【参考答案】基础过关1.【解析】由于三棱锥的每一个面均可作为底面，应选D.【答案】D2.【解析】四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得).【答案】C3.【解析】结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误.【答案】B4.【解析】由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱.【答案】四棱柱5.【解析】棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①对.棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②对.棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错④对.⑤显然正确.因而正确的有①②④⑤.【答案】①②④⑤6.解：这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体.有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱.7.解：(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE 和△DPF均为直角三角形.(3)S△PEF＝12a2，S△DPF＝S△DPE＝12×2a×a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－12a2－a2－a2＝32a2.能力提升8.【解析】两个☆不能并列相邻，B、D错误；两个※不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定.【答案】A9.【解析】正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，5个平面共可得到10条对角线，故选D.【答案】D10.【解析】在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种空间图形的4个顶点，这些空间图形是：①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如A－CB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A－A1DC，所以填①③④⑤.【答案】①③④⑤11.解：把长方体的部分面展开，如图所示.对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为90、74、80，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E，再在长方形BCC1B1内由E 到C1，也可以先在长方形AA1D1D内由A到F，再在长方形DCC1D1内由F到C1，其最短路程为74.探究创新12. 解：。
教学设计1：1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征知识点[导入新知]多面体多面体定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱上图可记作：棱柱ABCDA′B′C′D′底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥上图可记作：棱锥SABCD底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台上图可记作：棱台ABCDA′B′C′D′上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点[化解疑难]1．对于多面体概念的理解，注意以下两个方面：(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要4个面．一个多面体由几个面围成，就称为几面体．(2)多面体是一个“封闭”的几何体，包括其内部的部分．2．棱柱具有以下结构特征和特点：(1)侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形．(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图a所示．(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图b所示．(4)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如图c所示．3．对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形，如图d所示．4．棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台．题型一棱柱的结构特征[例1]下列关于棱柱的说法：(1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是________．【答案】(3)(4)[类题通法]有关棱柱的结构特征问题的解题策略(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析．①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．[活学活用]下列说法正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．各个侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形【答案】D题型二棱锥、棱台的结构特征[例2]下列关于棱锥、棱台的说法：(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；(3)棱锥的侧面只能是三角形；(4)由4个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中说法正确的序号是________．【答案】(2)(3)(4)[类题通法]判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：判定方法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点[活学活用]下列说法正确的有()①由5个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余4个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A题型三多面体的平面展开图[例3]如下图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？解由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．[类题通法]1．解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．2．若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．3．若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．[活学活用]水平放置的正方体的6个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1B．5C．快D．乐【答案】B易错易误辨析1.柱、锥、台结构特征判断中的误区[典例]如下图所示，下列关于这个几何体的正确说法的序号为________．①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．【解析】①正确，因为有6个面，属于六面体的范围；②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；③正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；④⑤都正确，如下图所示．【答案】①③④⑤[易错防范]1．解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是棱台，而不注意逻辑推理．2．解答空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断．[成功破障]如图所示，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定【答案】A当堂检测1．下列图形中，不是三棱柱的展开图的是()【答案】C2.如图所示，在三棱台ABCA′B′C′中，截去三棱锥A′ABC，则剩余部分是()A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体【答案】B3．面数最少的棱柱为________棱柱，共有________个面围成．【答案】三54.如图所示，M是棱长为2 cm的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.【答案】135．如图所示，长方体ABCD A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．解：(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义．(2)截面BCNM的上方部分是三棱柱BB1MCC1N，下方部分是四棱柱ABMA1DCND1.。
空间几何体的结构1.1第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1．空间几何体的定义
空间中的物体都占据着空间的一部分， 若只考虑这些物体的_形__状___和_大__小___，
而不考虑其他因素，那么由这些物体抽 象出来的空间图形就叫做空间几何体．
[问题1] 图片(1)(2)(3)中的物体的形状有何特点？ [提示] 由若干个平面多边形围成． [问题2] 图片(4)(5)(6)(7)的物体的形状与(1)(2)(3) 中有何不同？图片(4)(5)(6)(7)中的几何体可否看作 平面图形绕某定直线旋转而成？ [提示] 表面是由平面与曲面围成．可以。
DCFD′. 其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面, A′D′，EF，BC，AD为侧棱.
8.如 图 ， 已 知 长 方 体 ABCD－ A1B1C1D1，过 BC 和 AD 分别作 一 个 平 面 交 底 面 A1B1C1D1 于 EF、PQ，则长方体被分成的三 个几何体中，棱柱的个数是________．
答案： D
下列的几何体是多面体吗？
答：这些不但是多面体，他们还是多面体 当中的一种，叫做棱锥。
你们思考一下这些棱锥有什么共同特点？
2.棱锥的结构特征
什么是棱锥？ 一般地，有一 个面是多边形，其余 各面都是有一个公共 点的三角形，由这些 面围成的多面体叫做 棱锥. 记为：棱锥S-ABCD
多边形 三角形
D'
E'
C'
D A'
B'
S A'B'C'D'E' S ABCDE
S' H '2 SH 2
E
O
C
AB
3. 棱台的结构特征
什么是棱台？ 一般地，用一个平行于棱锥底面的平面去截 棱锥，底面和截面中间的部分的多面体叫做棱台.
课件11：§1.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
公共点
新知预习
知识点二 多面体
多面体 定义
图形及表示
有两个面互相平
行，其余各面都是
四边形，并且每相
棱柱 邻两个四边形的公 共边都互相平行， 如图可记作：棱柱 由这些面所围成的 ABCDEF－ 多面体叫作棱柱 A′B′C′D′E′F′
相关概念 底面(底)：两个互 相平行的面；侧 面：其余各面； 侧棱：相邻侧面 的公共边；顶点： 侧面与底面的公 共顶点
当有4个顶点时，可围成4个面，所以一个多面体至少应 有4个面，而且这样的面必是三角形，故C也是真命题； 对于D，只有当截面与底面平行时才对． 【答案】(1)C (2)D
课堂探究 类型二 简单几何体的判定 例2 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
新知预习
棱锥
有一个面是多
边形，其余各面
底面(底)：多边形面；
都是有一个公 共顶点的三角
侧面：有公共顶点的 各个三角形面；侧棱： 相邻侧面的公共边；
形，由这些面所 如图可记作：棱 顶点：各侧面的公共
围 成 的 多 面 体 锥 S－ABCD 顶点
叫作棱锥
新知预习
棱台
用一个平行于 棱锥底面的平 面去截棱锥，底 面与截面之间 的部分叫作棱 台
新知预习
2．空间几何体的分类
多面体
旋转体
定义
由若干个平面多边形围成的 几何体
由一个平面图形绕它所在 平面内的一条定直线旋转 所形成的封闭几何体
图形
新知预习
2．空间几何体的分类 多面体
旋转体
面：围成多面体的各个多
相 关 边形；棱：相邻两个面的 轴：形成旋转体所绕的
1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征2
③有关概念:
平行 的面. 底面:两个互相_____
侧面:其余各面; 公共边 侧棱:相邻侧面的_______;
侧面 与底面的公共顶点. 顶点:_____
三棱柱 ④分类:依据底面多边形的边数.如:底面是三角形的叫_______.
(2)棱锥:
多边形 其余各面 ①定义:有一个面是_______,
一个公共顶点 的三角形,由这 都是有_____________ 些面所围成的多面体叫做棱锥.
【规律总结】解答空间几何体概念辨析题的关注点 (1)认清概念的本质及棱柱、棱锥、棱台的结构特征 ,采用举反 例法排除错误的选项. (2)从底面多边形的形状,侧面形状以及它们之间的位置关系等 角度紧扣几何体的结构特征进行判断. 提醒:判断说法正误问题,要紧扣几何体的结构特征,理解棱柱、 棱锥、棱台的概念.
【变式训练】
用两个平面将如图所示的三棱柱ABC-A′B′C′分为三个三棱
锥.
【解析】如图,三棱柱ABC-A′B′C′可分为三棱锥C′-ABC、
三棱锥B-A′B′C′和三棱锥C′-ABA′.
类型三
多面体的展开图
1.如图代表未折叠的正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方 体后,图形是 ( )
2.(2014·济宁高一检测)如图是一个正方体纸盒,在其中的三个 面上各画一条线段构成△ABC,且A,B,C分别是各棱上的中点,现 将纸盒剪开展成平面图,则不可能的展开图是 ( )
【自主解答】1.选B.由图可知,折叠后三条线段在相邻的三个 平面内,并且互相平行,故排除A,C.又由原平面图知,只有两个 平面是空白的,排除D,故选B. 2.选B.B选项折叠后两个画一条线段的三角形与另一个画一条 线段的三角形不交于一个顶点,与正方体三个画一条线段的三 角形交于一个顶点不符.
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不论你在什么时候开始，重要的是开 始之后就不要停止。不论你在什么时候结 束，重要的是结束之后就不要悔恨.
顶点 侧 棱
侧 面
底面
这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点 的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共 顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱 锥的侧棱.
底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分 别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……棱锥用表 示顶点和底面的各顶点的字母表示，如五棱锥 S-ABCDE
2．下列说法错误的是（ D） A．多面体至少有四个面 B．九棱柱有９条侧棱，９个侧面，侧面为平行四边形 C．长方体、正方体都是棱柱 D．三棱柱的侧面为三角形 3．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，
则每条侧棱长为__1_2__c_m___.
4.下列结论正确的是( ) (A)有两个面平行，其余各面都是四边形
柱
上底扩大
台
上底缩小
锥
上底扩大
上底缩小
体
体
体
球的结构特征
如何描述它们具有的共同结构特征？
球
以半圆的直径所在直线为旋转
轴，半圆面旋转一周形成的几何体 叫做球体，简称球．
半径 O
球心
1．下列说法错误的是（ D） A．多面体至少有四个面 B．九棱柱有９条侧棱，９个侧面，侧面为平行四边形 C．长方体、正方体都是棱柱 D．三棱柱的侧面为三角形
第一章 空间几何体
1.1 空间几何体的结构
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
在我们周围存在着各 种各样的物体，它们都占 据着空间的一部分。如果 我们只考虑这些物体的形 状和大小，而不考虑其它 因素（如物体是什么材料 组成的,这个物体的价值是 多少等），那么由这些物 体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。本节我们主要从结构特 征方面认识几种最基本的空间几何体。
解：选B.由棱柱的定义知，A不正确；棱数最少的三棱锥有四个面、四个顶点、 六条棱,∴C不正确；对于棱锥，用不平行于底面的平面截去一个小棱锥后，剩 余部分不是棱台，∴D不正确；B正确.
几何体的分类
柱体
锥体
台体
球
多面体
旋转体
知识小结
简单几何体的结构特征
柱体
锥体
台体
球
棱柱 圆柱 棱锥 圆锥 棱台 圆台
几何学是研究现实世界中物体的形状、大小和位置关系的数学 学科。空间几何体是几何学的重要组成部分，它在土木建筑、机械 设计、航海测绘等大量实际问题中有着广泛的应用。
探究点1 多面体和旋转体
观察下面的图片,这些图片中的物体具 有怎样的形状？日常生活中，我们把这些 物体的形状叫做什么？我们如何描述它们 的形状？
特殊的棱锥： 如果棱锥的底面为正多边形，且各侧面是全等的等 腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥. 正棱锥各侧面底边上的高均相等，叫做正棱锥的 斜高； 侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体.
探究点4 棱台的结构特征
棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，
底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台.
它们有共同特点，都是用一个平面截一个锥体，得 到的截面和底面之间的部分；
也有不同点，前两个是由棱锥截得，后两个由圆锥 截得．
台体与锥体的关系
圆台和棱台统称为台体．它们是由平行于底面的平 面截锥体，得到的底面和截面之间的部分．
柱、锥、台体的关系
棱柱、棱锥、棱台之间有什么关系？圆柱、圆锥、 圆台之间呢？柱、锥、台体之间有什么关系？
特殊的棱柱：
种类较
多可要
侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱； 记清
侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱；
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；
底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；
侧棱垂直于底面的平行六面体叫做直平行六面体；
底面是矩形的直平行六面体叫做长方体；
棱长都相等的长方体叫做正方体．
探究点3 棱锥的结构特征 棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个 公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫 做棱锥. 如图
如图
上底面
侧 面
侧 棱 顶点
下底面
原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和 上底面，其余概念如图.
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫 做三棱台、四棱台、五棱台……棱台用表示各个顶 点的字母表示，如五棱台ABCDE-A′B′C′D′E′
例1.下列几何体中是棱柱的有（ C） Ａ.1个 Ｂ.2个 Ｃ.3个 Ｄ.4个
的几何体是棱柱 (B)一个棱柱至少有五个面，六个顶点、九条棱 (C)一个棱锥至少有四个面、四个顶点、四条棱 (D)棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台
解：选B.由棱柱的定义知，A不正确；棱数最少的三棱锥 有四个面、四个顶点、六条棱,∴C不正确；对于棱锥，用 不平行于底面的平面截去一个小棱锥后，剩余部分不是棱 台，∴D不正确；B正确.
如何描述下图的几何结构特征？
圆柱
A′
O′
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余边 旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
A
O
圆锥的结构特征
如何描述下图的几何结构特征？
S
O
圆锥的结构特征
如何描述下图的几何结构特征？
圆锥
S 以直角三角形的一条直角边所在直线
为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围
成的几何体叫做圆锥．
棱柱的结构特征： ①有两个面互相平行； ②其余各面是四边形； ③每相邻两个四边形的公共边都互相平行.
例2：判断下列几何体是不是棱台．
都不是棱台
判断一个几何体是否为棱台： ①各侧棱的延长线是否相交于一点； ②截面是否平行于原棱锥的底面.
圆柱的结构特征
如何描述下图的几何结构特征？
A′
O′
A
O
圆柱的结构特征
顶点
面 棱
（1）、（3）、（4）、 （6）、（8）、（10）、 （11）、（12）具有同样的 特点，组成它们的面不全是 平面图形.
旋转体：我们把由一个平
面图形绕它所在平面内的
一条定直线旋转所形成的
封闭几何体叫做旋转体.
轴
这条定直线叫做旋转体的轴.
探究点2 棱柱的结构特征 棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由 这些面所围成的多面体叫做棱柱. 如图
1.下列说法中正确的是( C ) A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱. B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱. C.有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两 个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱. D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何 体叫棱台.
其中（2）、（5）、（7）、（9）、（13）、 （14）、（15）、（16）具有相同的特点：组成 几何体的每个面都是平面图形，并且都是平面多 边形. 多面体：一般地，我们把由若干个平面多边形围成 的几何体叫做多面体.
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.
相邻两个面的公共边叫做多面体的棱.
棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.
母 线
顶点
轴 侧 面
A
O
底面
B
圆台的结构特征
如何描述它们具有的共同结构特征？
圆台圆柱、圆锥可以看作是由
矩形或三角形绕其一边旋转而
用成一，个圆平台行是于否圆也锥可底看面成的是平某面图去截
圆锥，底面形与绕截轴面旋之转间而的成部？分是圆台.
O’
O
棱台与圆台的结构特征
下图中的物体具有什么样的共同的结构特征？有什 么不同的结构特征？
底面
（1）底面互相平行． 侧
面
（2）侧面都是平行四边形．
侧
（3）侧棱平行且相等．
棱
顶点
底面
棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称 底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共 边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做 棱柱的顶点. 底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做 三棱柱、四棱柱、五棱柱……我们用表示底面各顶点 的字母表示棱柱，如六棱柱 ABCDEF-A′B′C′D′E′F′.
2．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm， 则每条侧棱长为__1_2__c_m___.
3.下列结论正确的是( ) (A)有两个面平行，其余各面都是四边形
的几何体是棱柱 (B)一个棱柱至少有五个面，六个顶点、九条棱 (C)一个棱锥至少有四个面、四个顶点、四条棱 (D)棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台