2015高考数学二轮复习热点题型专题三十一 等比数列

专题三十一等比数列【高频考点解读】1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.了解等比数列与指数函数的关系．【热点题型】题型一等比数列的相关概念例1、已知{a n}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()A．7B．5C．－5D．－7【提分秘籍】1．由a n＋1＝qa n，q≠0，并不能立即判断{a n}为等比数列，还要验证a1≠0.2．等比数列的前n项和S n(1)等比数列的前n项和S n是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．(2)等比数列的通项公式a n＝a1q n－1及前n项和公式S n＝a1－q n1－q＝a1－a n q1－q(q≠1)共涉及五个量a1，a n，q，n，S n，知三求二，体现了方程思想的应用．(3)在使用等比数列的前n项和公式时，如果不确定q与1的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比q＝1和q≠1两种情况．3．等比数列{a n}，S n为其前n项和，则S n可表示为S n＝k·q n＋b，(k≠0，且k＋b＝0)．【举一反三】已知等比数列{a n}为递增数列，且a25＝a10,2(a n＋a n＋2)＝5a n＋1，则数列{a n}的通项公式a n ＝________.【热点题型】题型二等比数列的判定例2、数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n＋1＝4a n＋2(n∈N*)．(1)设b n＝a n＋1－2a n，求证：{b n}是等比数列；(2)设c n＝a n3n－1，求证：{c n}是等比数列．(2)由(1)知b n＝3·2n－1＝a n＋1－2a n，∴a n ＋12n －1－a n 2n －2＝3. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －2是等差数列，公差为3，首项为2.∴a n2n －2＝2＋(n －1)×3＝3n －1. ∴a n ＝(3n －1)·2n －2.∴c n ＝2n －2. ∴c n ＋1c n ＝2n －12n －2＝2. ∴数列{c n }为等比数列． 【提分秘籍】等比数列的判定方法主要有下列几种(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则{a n }是等比数列；(2)中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列； (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均为不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列；(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．注：①前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定．②若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比即可． 【热点题型】题型三 等比数列的基本运算例3、 (1)(2013年高考江西卷)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24(2)(2013年高考全国新课标卷Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13C.19D ．－19【提分秘籍】1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程．【举一反三】在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.【热点题型】题型四 等比数列的性质例4、(2013年高考江苏卷)在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．【提分秘籍】在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．【举一反三】设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝( ) A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400或－50解析：依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故 S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此，S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 40＝10＋20＋40＋80＝150，选A.答案：A 【热点题型】题型五 分类讨论思想在等比数列中的应用例5、已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a ≠0)，a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n (其中p 为非零常数，n ∈N *)．(1)判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是不是等比数列； (2)求a n ；(3)当a ＝1时，令b n ＝na n ＋2a n，S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n .当p ＝1时，S n ＝1＋2＋…＋n ＝nn ＋2；当p ＝－1时，S n ＝(－1)＋(－2)＋…＋(－n )＝－nn ＋2综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧nn ＋2，p ＝1，－nn ＋2，p ＝－1，p －p 2n－p 22－np 2n ＋11－p 2，p ≠±1.【点拨】本题关键是在错位相减求和时出现S n 的系数为1－p 2.此时应判断1－p 2是否为零，从而分p ＝1，p ＝－1，p ≠±1三种情况讨论．【提分秘籍】分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有： (1)已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种情况． (2)等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1讨论． (3)项数的奇、偶数讨论．(4)等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论．【举一反三】设等比数列{a n}的公比为q，前n项和S n>0(n＝1,2,3，…)．则q的取值范围为________．综上，q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．答案：(－1,0)∪(0，＋∞)【高考风向标】1．（2014·重庆卷）对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9，成等比数列【答案】D【解析】因为在等比数列中a n，a2n，a3n，…也成等比数列，所以a3，a6，a9成等比数列．2．（2014·安徽卷）数列{a n}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.3．（2014·广东卷）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．4．（2014·全国卷）等比数列{a n}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg a n}的前8项和等于() A．6 B．5C．4 D．35．（2014·湖北卷）已知等差数列{a n}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式．(2)记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．6．（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n 1＝32⎝⎛⎭⎫1－13n <32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.7．（2014·山东卷）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝(－1)n－14na n a n＋1，求数列{b n}的前n项和T n.8.（2014·陕西卷）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．9．（2014·天津卷）设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．【答案】－12 【解析】∵S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1＋4×32×(－1)＝4a 1－6，S 1，S 2，S 4成等比数列，∴(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.10．（2014·天津卷）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x|x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n}．(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n.证明：若a n <b n ，则s<t.所以s<t.11．（2013·新课标全国卷Ⅰ）若数列{a n}的前n项和S n＝23a n＋13，则{a n}的通项公式是a n＝________．12．（2013·北京卷）已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A n，第n项之后各项a n＋1，a n＋2，…的最小值记为B n，d n＝A n－B n.(1)若{a n}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，a n＋4＝a n)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：d n＝－d(n＝1，2，3，…)的充分必要条件为{a n}是公差为d的等差数列；(3)证明：若a1＝2，d n＝1(n＝1，2，3，…)，则{a n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.因为对任意n≥1，a n≤2＝a1，所以A n＝2.故B n＝A n－d n＝2－1＝1.因此对于任意正整数n ，存在m满足m>n，且a m＝1，即数列{a n}有无穷多项为113．（2013·北京卷）若等比数列{a n}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和S n＝________．14．（2013·江西卷）等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于()A．－24 B．0C ．12D ．2415．（2013·江苏卷）在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3. 则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n的最大正整数n 的值为________．16．（2013·湖南卷） 设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________．【解析】(1)－116 (2)13⎝⎛⎭⎫12100－1 [解析] (1)因S n ＝(－1)n a n －12n ，则S 3＝－a 3－18，S 4＝a 4－116，解得a 3＝－116.17．（2013·辽宁卷） 已知等比数列{}a n 是递增数列，S n 是{}a n 的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________．【答案】63 【解析】 由题意可知a 1＋a 3＝5，a 1·a 3＝4.又因为{a n }为递增的等比数列，所以a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，所以S 6＝1×（1－26）1－2＝63.18．（2013·全国卷）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.(1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．(2)证明：由(1)知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.① 由题意可设l 的方程为y ＝k(x －3)，|k|＜2 2，代入①并化简得 (k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.19．（2013·全国卷）已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－310)C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)20．（2013·陕西卷）设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 【解析】(1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1； 当q≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q)S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1（1－q n）1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q，q≠1.21．（2013·四川卷）在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．22．（2013·新课标全国卷Ⅱ） 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13 C.19 D ．－19 【答案】C 【解析】S 3＝a 2＋10a 11＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 13＝9a 12＝9，a 5＝3q2＝3＝1＝a 3q 2＝19，故选C. 23．（2013·重庆卷）已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________．【答案】64【解析】设数列{a n }的公差为d ，由a 1，a 2，a 5成等比数列，得(1＋d)2＝1·(1＋4d)，解得d ＝2或d ＝0(舍去)，所以S 8＝8×1＋8（8－1）2×2＝64.【随堂巩固】1．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( )A ．2B ．4C ．8D ．162．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝13a 2－13，S 2＝13a 3－13，则公比q ＝( )A ．1B ．4C ．4或0D ．83．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝( ) A ．11 B ．12 C ．14 D ．164．已知{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 1a 7＋2a 3a 7＋a 3a 9＝( )A ．10B ．20C ．60D ．100解析：a 1a 7＋2a 3a 7＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝100.答案：D5．已知q 是等比数列{a n }的公比，则“q <1”是“数列{a n }是递减数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件6．已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂( )A ．420只B ．520只C.520－54只D.421－43只7．若a ，b ，c 成等比数列，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．不能确定解析：由题意b 2＝ac (ac >0)，∴Δ＝b 2－4ac ＝－3b 2<0. 答案：A8．已知各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ，若q 2＝9，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( )A.13 B ．±13 C ．3D ．±3解析：∵等比数列{a n }的各项均为正数，∴公比q >0， 又∵q 2＝9，∴q ＝3，∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝a 3＋a 4a 3q ＋a 4q ＝1q ＝13.答案：A9．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12B.32C ．1D ．－32解析：因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3， log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7 ＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74 ＝7log 33π3＝7π3，所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. 答案：B10．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若公比为32，且满足a 3·a 11＝16，则log 2a 16＝________.11．已知等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，则等比数列{a n }的公比q ＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝a 1＋q 2＝10a 4＋a 6＝a 1q 3＋q 2＝54，解得q ＝12. 答案：1212．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比q ＝2，若{a n }前n 项和S n ＝127，则n 的值为________． 解析：由题意知S n ＝1－2n 1－2＝2n －1＝127⇒n ＝7.答案：713．已知数列{a n }满足点(a n ， a n ＋1)在直线y ＝2x ＋1上，且a 1＝1. (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(2)由(1)知，数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ， ∴a n ＝2n －1.14．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋(－1)n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3；(2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋23－n 为等比数列，并求出{a n }的通项公式．15．数列{a n }中，S n ＝1＋ka n (k ≠0，k ≠1)．(1)证明：数列{a n }为等比数列；(2)求通项a n ；(3)当k ＝－1时，求和a 21＋a 22＋…＋a 2n .(2)∵S 1＝a 1＝1＋ka 1，∴a 1＝11－k. ∴a n ＝11－k ·⎝⎛⎭⎫k k －1n －1＝－k n －1k －n .。