安徽省宣城二中2020-2021学年高二上学期开学考试理科数学试题
安徽省宣城市数学高二上学期理数第二次阶段考试试卷
安徽省宣城市数学高二上学期理数第二次阶段考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2015高三上·石家庄期中) 命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A . 对任意x∈R，都有x2＜0B . 不存在x∈R，都有x2＜0C . 存在x0∈R，使得x02≥0D . 存在x0∈R，使得x02＜02. （1分）设点P是以F1,F2为左、右焦点的双曲线左支上一点，且满足，则此双曲线的离心率为（）A .B .C .D .3. （1分）设Sn为等比数列{an}的前n项和，，则＝（）．A . －11B . －8C . 5D . 114. （1分） .若集合A={1,m2}，B={2,4}，则“m=2”是“”的A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （1分）已知数列，若点均在直线上，则数列的前9项和等于（）A . 18B . 20C . 22D . 246. （1分） F(c,0)是椭圆的一个焦点，F与椭圆上点的距离的最大值为m，最小值为n，则椭圆上与点F距离为的点是（）A .B .C .D . 不存在7. （1分）若直线经过点A(m2,0)，B(2， )，且倾斜角为60°，则实数m＝（）A . 1或－1B . 2或－2C . 1或－2D . －1或28. （1分）(2018·中原模拟) 已知实数满足，则的最大值为（）A . 2B . 8C . 11D . 159. （1分）“a=b”是“直线y=x+2与圆(x-a）2+（y-b）2=2相切”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件10. （1分）(2017高三下·深圳月考) 的内角的对边分别为，已知，则的面积为（）A .B .C .D .11. （1分）已知过点P（﹣2，m），Q（m，6）的直线的倾斜角为45°，则m的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 412. （1分）经过两点A（4，2y+1）B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则||等于（）A . 8B . 4C . 2D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·郑州开学考) 在△ABC中，若A=60°，C=45°，b=4，则此三角形的最小边是________．14. （1分） (2020高二上·徐州期末) 已知数列满足，则数列的通项公式为 ________15. （1分）若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是________16. （1分） (2017高三上·成都开学考) 设x，y∈R，定义x⊗y=x（a﹣y）（a∈R，且a为常数），若f（x）=ex ， g（x）=e﹣x+2x2 ， F（x）=f（x）⊗g（x）．①g（x）不存在极值；②若f（x）的反函数为h（x），且函数y=kx与函数y=|h（x）|有两个交点，则k= ；③若F（x）在R上是减函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]；④若a=﹣3，在F（x）的曲线上存在两点，使得过这两点的切线互相垂直．其中真命题的序号有________．（把所有真命题序号写上）三、解答题 (共5题；共10分)17. （2分）已知两定点M（0，1），N（1，2），平面内一动点P到M的距离与P到N的距离之比为，直线y=kx﹣1与点P的轨迹交于A，B两点．（1）求点P的轨迹方程，并指出是什么图形；（2）求实数k的取值范围；（3）是否存在k使得• =11（O为坐标原点），若存在求出k的值，若不存在，请说明理由．18. （2分） (2019高三上·沈阳月考) 已知函数 .（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若存在使得成立，求实数的取值范围.19. （2分）(2018高二上·黑龙江期末) 中，内角的对边分别是，已知．（1）求的大小；（2）若，且，求面积的最大值．20. （2分） (2016高二上·西安期中) 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}对n∈N*均有 =an+1成立，求c1+c2+c3+…+c2016．21. （2分）(2014·新课标II卷理) 设F1 ， F2分别是C：（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共10分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、第11 页共11 页。
安徽省数学高二上学期理数开学考试试卷
安徽省数学高二上学期理数开学考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 设全集 U={1，2，3，4，5，6}，设集合 P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则 P∩（∁UQ）=（ ）A . {1，2，3，4，6}B . {1，2，3，4，5}C . {1，2，5}D . {1，2}2. （2 分） (2019 高一上·吉林期中) 已知函数 的顶点，那么 的值分别为（ ）过定点 ，如果点 是函数A . 2，5B . -2,5C . -2，-5D . 2，-53. （2 分） (2020 高一下·吉林月考) A.1中，若，，则等于（ ）B. C.2D.4. （2 分） (2020 高一上·马鞍山期末) 如图，在中，点 是边 的中点，，则用向量表示 为（ ）第 1 页 共 19 页A.B.C.D. 5. （2 分） 半径为 r 的球在一个圆锥内部，它的轴截面是一个正三角形与其内切圆，则圆锥的全面积与球面 面积的比是 （ ） A . 2∶3 B . 3∶2 C . 4∶9 D . 9∶46. （2 分） (2016 高一下·南市期末) 已知向量 =（3，4）， =（sinα，cosα），且 （），则 tanα=A.B.﹣C.D.﹣第 2 页 共 19 页7. （2 分） (2020 高一下·和平期中) 已知，， 与 的夹角为方向相同的单位向量，则 在向量上的投影向量为（ ）， 是与向量A.B.C.D. 8. （2 分） (2018 高一下·毕节期末) 某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均由半圆和边长为 的等边三角形构成，俯视图是圆，则该几何体的表面积是（ ）A.B. C. D. 9. （2 分） (2016 高二上·上杭期中) 不等式 x（x﹣1）＜2 的解集是（ ） A . {x|﹣2＜x＜1} B . {x|﹣1＜x＜2} C . {x|x＞1 或 x＜﹣2}第 3 页 共 19 页D . {x|x＞2 或 x＜﹣1} 10. （2 分） 下列四个函数中，以 π 为最小正周期的偶函数是（ ） A . y=tanx B . y=cos2x C . y=sin2x D . y=xsinx11. （2 分） (2016 高一上·南山期末) 定义函数序列：，f2（x）=f（f1（x）），f3（x）=f（f2（x）），…，fn（x）=f（fn﹣1（x）），则函数 y=f2017（x）的图象与曲线的交点坐标为（ ）A.B.C.D.12. （2 分） 已知数列{an}满足 2an+1=an+an+2（n∈N*），且 a1=1，a2= ，则 a99=（ ）A . 49B . 50C . 51D . 52二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2020·合肥模拟) 已知成等比数列，，，三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若成等差数列，则：（1）________；（2），，________．第 4 页 共 19 页14. （1 分） (2017·龙岩模拟) 已知数列{an}满足：a1=﹣2，a2=1，且 an+1=﹣ 前 n 项和 Sn=________．（an+an+2），则{an}的15. （1 分） (2019·浙江模拟) 设为三个非零向量，且，则的最大值是________．16. （1 分） 若 x，y 满足不等式组三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)，且 z=2x﹣3y 的最大值为 13，则实数 m=________．17. （10 分） (2015 高三上·舟山期中) 已知向量 =（cosα，1﹣sinα）， =（﹣cosα，sinα）（α∈R）．（1） 若 ⊥ ，求角 α 的值；（2） 若| ﹣ |= ，求 cos2α 的值．18. （10 分） (2019·河西模拟) 在 ．中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且（Ⅰ）求 的大小；（Ⅱ）若，，求和的值．19. （10 分） (2016 高一下·福建期末) 已知 O 为坐标原点，向量 =（﹣sinα，2），点 P 是直线 AB 上的一点，且 = ．（1） 若 O，P，C 三点共线，求 tanα 的值；=（sinα，1），=（cosα，0），（2） 在（Ⅰ）条件下，求+sin2α 的值．20. （10 分） (2018 高二上·山西月考) 在数列 中， 是它的前 项和，且，.在数列 中，，，且，另设，其中.（1） 求数列 的通项公式,并证明数列 为等比数列；第 5 页 共 19 页（2） 求数列的前 项和 ．21. （10 分） (2016 高二上·浦东期中) 在等差数列{an}中，a1+a3=10，d=3．令 bn= 前 n 项和为 Tn ．，数列{bn}的（1） 求数列{an}的通项公式；（2） 求数列{bn}的前 n 项和 Tn；（3） 是否存在正整数 m，n（1＜m＜n），使得 T1 ， Tm ， Tn 成等比数列？若存在，求出所有的 m，n 的值； 若不存在，请说明理由．22. （10 分） (2018 高三上·杭州月考) 已知函数，(Ⅰ)求 的取值范围；在上单调递减，且满足（Ⅱ）设，求在上的最大值和最小值第 6 页 共 19 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点：解析： 答案：3-1、 考点：第 7 页 共 19 页解析： 答案：4-1、 考点：解析： 答案：5-1、 考点： 解析：答案：6-1、 考点：第 8 页 共 19 页解析： 答案：7-1、 考点：解析： 答案：8-1、 考点：第 9 页 共 19 页解析： 答案：9-1、 考点：解析： 答案：10-1、 考点：解析：第 10 页 共 19 页答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。
安徽省宣城市2020届高三第二次调研考试数学理科试题(解析版)
2020年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）1．已知全集U＝R，集合A＝{x|log3x＜1}，B＝{x|x2﹣x≥2}，则A∩B＝（）A．{x|2≤x＜3}B．{x|x＜3}C．{x|2≤x≤3}D．{x|2＜x≤3} 2．设复数z满足z（1﹣i）＝2+i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S4S8=13，则S8S16等于（）A．310B．13C．19D．184．已知，a=2ln2，b=3ln3，c=5ln5，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a5．国家正积极推行垃圾分类工作，教育部办公厅等六部门也发布了《关于在学校推进生活垃圾分类管理工作的通知》．《通知》指出，到2020年底，各学校生活垃圾分类知识普及率要达到100%某市教育主管部门据此做了“哪些活动最能促进学生进行垃圾分类”的问卷调查（每个受访者只能在问卷的4个活动中选择一个）如图是调查结果的统计图，以下结论正确的是（）A．回答该问卷的受访者中，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数多B．回该问卷的受访者中，选择“校园外宣传”的人数不是最少的C．回答该问卷的受访者中，选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多30人D．回答该问卷的总人数不可能是1000人6．函数f(x)=3x−3−x|x+1|+|x−1|的图象大致是（）A．B．C．D．7．已知α∈（0，π），12sin2α＝cos2α+1，则cosα＝（）A．√55或0B．√55C．2√55D．2√55或08．已知双曲线C：x2a−y2b=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．[√2，+∞）B．（√2，+∞）C．（2，+∞）D．（1，+∞）9．已知下列两个命题，命题甲：平面α与平面β相交；命题乙：相交直线l，m都在平面α内，并且都不在平面β内，直线l，m中至少有一条与平面β相交．则甲是乙的（）A．充分且必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件10．口袋里放有大小相等的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n}，a n={−1，第n次摸取白球+1，第n次摸取红球，如果S n为数列{a n}的前n项和，那么S7＝3的概率为（）A ．C75（13）2（23）5 B ．C72（23）2（13）5C ．C75（13）2（23）5 D ．C73（13）2（23）5 11．已知函数f （x ）＝2lnx −12ax 2+(α−2)x +a +1(a ＞0)的值域与函数y ＝f [f （x ）]的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A ．（0，1]B ．[1，+∞）C ．（0，43]D ．[43，+∞）12．如图．正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线OX ，OY ，OZ 上，则在下列命题中，错误的为（ ）A ．O ﹣ABC 是正三棱锥B ．二面角D ﹣OB ﹣A 的平面角为π3C ．直线AD 与直线OB 所成角为π4D ．直线OD ⊥平面ABC二、填空题：本题共4小题，每小题5分共20分 13．(x −1x)(1+2x)4的展开式中，x 3的系数为 ．14．|OA →|＝1，|OB →|=√3，OA →•OB →=0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC =π3，设OC →=m OA →+n OB →（m ，n ∈R ），则m n= ．15．将正整数排成如图：试问2020是表中第 行的第 个数．16．若椭圆x 24+y 23=1上有两点P ，Q （不是长轴的端点），O 为原点，若直线OP ，OQ斜率分别为K 1，K 2，且满足K 1K 2=−34，则(OP →)2+(OQ →)2= ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答、第22、23为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60分17．在△ABC 中，cosB =√33；sinC =√69．（1）求sin A ；（2）若△ABC 的面积S =√2，求BC 的边长．18．如图所示多面体中，AD ⊥平面PDC ，四边形ABCD 为平行四边形，点E ，F 分别为AD ，BP 的中点，AD ＝3，AP ＝3√2，PC =√19． （1）求证：EF ∥平面PDC ；（2）若∠CDP ＝120°，求二面角E ﹣CP ﹣D 的平面角的余弦值．19．已知抛物线C ：y 2＝2px （0＜p ＜8）的焦点为F 点Q 是抛物线C 上的一点，且点Q 的纵坐标为4，点Q 到焦点的距离为5． （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 不经过Q 点且与抛物线交于A ，B 两点，QA ，QB 的斜率分别为K 1，K 2，若K 1K 2＝﹣2，求证：直线AB 过定点，并求出此定点．20．某生物公司将A 型病毒疫苗用100只小白鼠进行科研和临床试验，得到统计数据如表：未感染病毒感染病毒未注射 10 x 注射 40 y 总计5050现从所有试验的小白鼠中任取一只，取得注射疫苗小白鼠的概率为12．（1）能否有99.9%的把握认为注射此型号疫苗有效？（2）现从感染病毒的小白鼠中任取3只进行病理分析，记已注射疫苗的小白鼠只数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．附：k 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（K2≥k0）0.100.010 k0 2.706 6.635 21．已知函数f（x）＝（x+2）ln（x+1）﹣mx，m∈R．（1）当m＝3时，求曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）若x＞0时，f（x）＞0恒成立，求m的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为{x=−2√3+4cosθy=2+4sinθ（θ为参数），直线l的参数方程为{x=−2√3+m y=√3m（m为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）直线l与曲线C相交于M，N两点，若P(−2√3，0)，求1|PM|2+1|PN|2的值．23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）若关于x的不等式|2m+1|≥f（x+3）+3|x+5|有解，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 3x ＜1}，B ＝{x |x 2﹣x ≥2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |2≤x ＜3}B ．{x |x ＜3}C ．{x |2≤x ≤3}D ．{x |2＜x ≤3}【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 解：∵A ＝{x |0＜x ＜3}，B ＝{x |x ≤﹣1或x ≥2}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}． 故选：A ．【点评】本题考查了描述法的定义，对数函数的定义域和单调性，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．设复数z 满足z （1﹣i ）＝2+i ，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案． 解：由足z （1﹣i ）＝2+i ，得z =2+i1−i =(2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=12+32i ， ∴z =12−32i ． 则z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（12，−32），位于第四象限． 故选：D ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 4S 8=13，则S 8S 16等于（ ）A ．310B ．13C ．19D ．18【分析】根据等差数列的性质S 4，S 8﹣S 4，S 12﹣S 8，S 16﹣S 12也成等差数列，结合S 4S 8=13，我们易根据等差数列的性质得到S 8＝3S 4，S 16＝10S 4，代入即可得到答案． 解：根据等差数列的性质，若数列{a n }为等差数列，则S 4，S 8﹣S 4，S 12﹣S 8，S 16﹣S 12也成等差数列； 又∵S 4S 8=13，则数列S 4，S 8﹣S 4，S 12﹣S 8，S 16﹣S 12是以S 4为首项，以S 4为公差的等差数列 则S 8＝3S 4，S 16＝10S 4， ∴S 8S 16=310故选：A ．【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据数列{a n }为等差数列，则S 4，S 8﹣S 4，S 12﹣S 8，S 16﹣S 12也成等差数列，然后根据等差数列的性质，判断数列S 8，S 16与S 4的关系，是解答本题的关键． 4．已知，a =2ln2，b =3ln3，c =5ln5，则（ ） A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【分析】利用对数的运算性质先化为a =30ln215，b =30ln310，c =30ln56，再利用指数函数的性质得到310、215、56的大小，结合对数函数的性质即可得到a ，b ，c 的大小关系． 解：a =2ln2=3015ln2=30ln215，b =3ln3=3010ln3=30ln310，c =5ln5=306ln5=30ln56， ∵310＝（32）5＞（23）5＝215＝（25）3＞（52）3＝56，∴ln310＞ln215＞ln56，∴30ln310＜30ln215＜30ln56，即b＜a＜c，故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．5．国家正积极推行垃圾分类工作，教育部办公厅等六部门也发布了《关于在学校推进生活垃圾分类管理工作的通知》．《通知》指出，到2020年底，各学校生活垃圾分类知识普及率要达到100%某市教育主管部门据此做了“哪些活动最能促进学生进行垃圾分类”的问卷调查（每个受访者只能在问卷的4个活动中选择一个）如图是调查结果的统计图，以下结论正确的是（）A．回答该问卷的受访者中，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数多B．回该问卷的受访者中，选择“校园外宣传”的人数不是最少的C．回答该问卷的受访者中，选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多30人D．回答该问卷的总人数不可能是1000人【分析】对于A，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数少；对于B，选择“校园外宣传”的人数是最少的；对于C，选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多30%；对于D，回答该问卷的总人数不可能是1000人．解：对于A，答该问卷的受访者中，∵选择的（2）和（3）人数总和所占百分比为：15.75%+27%＝42.75%，选择（4）的人数的百分比为45.75%，∴回答该问卷的受访者中，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数少，故A 错误；对于B，回该问卷的受访者中，由扇形统计图得选择“校园外宣传”的百分比最小，∴选择“校园外宣传”的人数是最少的，故B错误；对于C，回答该问卷的受访者中，选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多30%，故C错误；对于D，回答该问卷的总人数不可能是1000人，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查扇形统计图等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于基础题．6．函数f(x)=3x−3−x|x+1|+|x−1|的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】由函数的奇偶性及趋近性，结合选项即可得出答案．解：函数的定义域为R ，f(−x)=3−x −3x |−x+1|+|−x−1|=3−x −3x|x−1|+|x+1|=−f(x)，故函数f （x ）为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项AD ； 又x →+∞时，f （x ）→+∞，可排除选项C ． 故选：B ．【点评】本题考查函数图象的运用，涉及了函数的奇偶性，考查数形结合思想及极限思想，属于基础题．7．已知α∈（0，π），12sin2α＝cos2α+1，则cos α＝（ ）A ．√55或0 B ．√55C ．2√55D ．2√55或0 【分析】利用二倍角公式化简已知可得sin αcos α＝2cos 2α，结合范围α∈（0，π），分类讨论可得cos α＝0，或sin α＝2cos α，进而即可求解．解：∵12sin2α＝cos2α+1， ∴sin αcos α＝2cos 2α， ∵α∈（0，π），∴cos α＝0，或sin α＝2cos α，由于sin 2α+cos 2α＝（2cos α）2+cos 2α＝1，解得cos 2α=15，解得cos α=√55，或−√55（舍去）．∴cos α＝0，或√55． 故选：A ．【点评】本题主要考查了三角函数的的二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．8．已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．[√2，+∞）B ．（√2，+∞）C ．（2，+∞）D ．（1，+∞）【分析】若过点F 且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点．则：该直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率ba所以ba≥1e 2=c 2a 2=a 2+b 2a2≥2∴e ≥√2 故选：A ．【点评】本题考查的知识点：双曲线的性质及应用及相关的运算问题．9．已知下列两个命题，命题甲：平面α与平面β相交；命题乙：相交直线l ，m 都在平面α内，并且都不在平面β内，直线l ，m 中至少有一条与平面β相交．则甲是乙的（ ） A ．充分且必要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【分析】由面面间的相互关系得到：甲⇒乙，乙⇒甲，从而甲是乙的充要条件． 解：命题甲：平面α与平面β相交，命题乙：相交直线l ，m 都在平面α内，并且都不在平面β内，直线l ，m 中至少有一条与平面β相交．∴由面面间的相互关系得到：甲⇒乙，乙⇒甲∴甲是乙的充要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的求法，考查空间中面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，属于基础题．10．口袋里放有大小相等的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n}，a n={−1，第n次摸取白球+1，第n次摸取红球，如果S n为数列{a n}的前n项和，那么S7＝3的概率为（）A．C75（13）2（23）5B．C72（23）2（13）5C．C75（13）2（23）5D．C73（13）2（23）5【分析】推导出a n＝1的概率P1=23，a n＝﹣1的概率P2=13，S7＝3是指在7次取球中，5次取到红球，2次取到白球，由此能求出S7＝3的概率．解：口袋里放有大小相等的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n}，a n={−1，第n次摸取白球+1，第n次摸取红球，S n为数列{a n}的前n项和，∴a n＝1的概率P1=23，a n＝﹣1的概率P2=13，∴S7＝3是指在7次取球中，5次取到红球，2次取到白球，∴S7＝3的概率为P=C75(13)2(23)5．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．已知函数f （x ）＝2lnx −12ax 2+(α−2)x +a +1(a ＞0)的值域与函数y ＝f [f （x ）]的值域相同，则a 的取值范围为（ ）A ．（0，1]B ．[1，+∞）C ．（0，43] D ．[43，+∞）【分析】对函数f （x ）求导，利用导数求得f （x ）的单调性情况，进而得到其最值，结合题意及图象建立关于a 的不等式，解不等式即可得到a 的取值范围． 解：f′(x)=2x−ax +(a −2)(x ＞0)，由于a ＞0，故函数f ′（x ）在（0，+∞）上为减函数，又f ′（1）＝0， 故当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＞0，当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＜0， ∴函数f （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴f(x)max =f(1)=−12a +a −2+a +1=32a −1，且x →+∞时，f （x ）→﹣∞，故函数f （x ）的值域为(−∞，32a −1]，作出函数f （x ）的草图如下，由图可知，要使函数f （x ）的值域与函数y ＝f [f （x ）]的值域相同，则需32a −1≥1，解得a ≥43，故选：D ．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，解题的关键是理解题干意思，进而建立关于a 的不等式，考查转化思想，数形结合思想及运算求解能力，属于中档题． 12．如图．正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线OX ，OY ，OZ 上，则在下列命题中，错误的为（ ）A ．O ﹣ABC 是正三棱锥B ．二面角D ﹣OB ﹣A 的平面角为π3C ．直线AD 与直线OB 所成角为π4D ．直线OD ⊥平面ABC【分析】在A 中，AC ＝AB ＝BC ，OA ＝OB ＝OC ，从而O ﹣ABC 是正三棱锥；在B 中，设OB ＝1，求出平面OBD 的法向量m →=（1，0，﹣1），平面OAB 的法向量n →=（0，0，1），二面角D ﹣OB ﹣A 的平面角为π4；在C 中，设OB ＝1，求出cos ＜AD →，OB →＞=|AD →⋅OB →||AD →|⋅|OB →|=12=√22，直线AD 与直线OB 所成角为π4；在D 中，利用向量法求出OD ⊥AB ，OD ⊥AC ，从而直线OD ⊥平面ABC ．解：正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线OX ，OY ，OZ 上， 在A 中，∵AC ＝AB ＝BC ，OA ＝OB ＝OC ，∴O ﹣ABC 是正三棱锥，故A 正确； 在B 中，设OB ＝1，则A （1，0，0），B （0，1，0），D （1，1，1），O （0，0，0），OD →=（1，1，1），OB →=（0，1，0）， 设平面OBD 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅OB →=y =0m →⋅OD →=x +y +z =0，取x ＝1，得m →=（1，0，﹣1）， 平面OAB 的法向量n →=（0，0，1），cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=2=√22，二面角D ﹣OB ﹣A 的平面角为π4，故B 错误；在C 中，设OB ＝1，则A （1，0，0），B （0，1，0），D （1，1，1），O （0，0，0），AD →=（0，1，1），OB →=（0，1，0），cos ＜AD →，OB →＞=|AD →⋅OB →||AD →|⋅|OB →|=12=√22， ∴直线AD 与直线OB 所成角为π4，故C 正确；在D 中，设OB ＝1，则A （1，0，0），B （0，1，0），D （1，1，1），O （0，0，0），C （0，0，1），OD →=（1，1，1），AB →=（﹣1，1，0），AC →=（﹣1，0，1），OD →⋅AB →=0，OD →⋅AC →=0，∴OD ⊥AB ，OD ⊥AC ， ∵AB ∩AC ＝A ，∴直线OD ⊥平面ABC ，故D 正确． 故选：B ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分共20分13．(x−1x)(1+2x)4的展开式中，x3的系数为8．【分析】根据式子特点，可先求出（1+2x）4的通项，然后分别求出它的展开式中的x2，x4项的系数，然后相减即可．解：对于（1+2x）4，其通项为T k+1=C4k2k⋅x k，k＝0，1， (4)令k＝2和4，可得对应项的系数为：C42⋅22=24，C44⋅24=16．故所求的x3的系数为24﹣16＝8．故答案为：8．【点评】本题考查二项展开式的通项、以及利用通项研究特定项的系数的问题，还考查了学生的计算能力与逻辑推理能力．属于基础题．14．|OA→|＝1，|OB→|=√3，OA→•OB→=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=π3，设OC→=m OA→+n OB→（m，n∈R），则mn=1．【分析】依题意建立直角坐标系，加上点C在∠AOB内的限制，可得点C的坐标，在直角三角形中由正切函数的定义可求解．解：因为OA→⋅OB→=0，所以OA→⊥OB→，故可建立直角坐标系，则OA→=（1，0），OB→=（0，√3），故OC→=m OA→+n OB→=m（1，0）+n（0，√3）＝（m，√3n），又点C在∠AOB内，且∠AOC＝60°，所以tan60°=√3nm，所以nm=1故答案为：1．【点评】本题为向量的基本运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是一种非常有效的方法，属基础题．15．将正整数排成如图：试问2020是表中第11行的第997个数．【分析】由题意得第n 行有2n ﹣1个数，由此利用等比数列的前n 项和公式能求出结果．解：由题意得第n 行有2n﹣1个数，20+2+22+23+24+25+26+27+28+29=1−2101−2=1023，20+2+22+23+24+25+26+27+28+29+210=1−2111−2=2047，∴2020是表中第11行的第997个数． 故答案为：11，997．【点评】本题考查表中数字的位置的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．若椭圆x 24+y 23=1上有两点P ，Q （不是长轴的端点），O 为原点，若直线OP ，OQ斜率分别为K 1，K 2，且满足K 1K 2=−34，则(OP →)2+(OQ →)2= 7 ．【分析】设P 、Q 的坐标分别为（2cos α，√3sin α），（2cos β，√3sin β），通过K 1K 2=−34，可知cos （α﹣β）＝0，不妨取β=α+π2；然后用含有α和β的式子表示出OP →2+OQ →2，借助诱导公式和同角三角函数的平方关系进行化简整理即可得解． 解：设P 、Q 的坐标分别为（2cos α，√3sin α），（2cos β，√3sin β）， ∵K 1K 2=−34，∴√3sinα2cosα⋅√3sinβ2cosβ=−34，即cos （α﹣β）＝0，∴α−β=π2+kπ，k ∈Z ，不妨取β=α+π2， ∴(OP →)2+(OQ →)2=4cos 2α+3sin 2α+4√3sinαcosα+4cos 2β+3sin 2β+4√3sinβcosβ=4cos 2α+3sin 2α+4√3sinαcosα+4sin 2α+3cos 2α−4√3sinαcosα ＝4+3＝7． 故答案为：7．【点评】本题考查椭圆中的计算，还涉及三角函数中的常用公式，解题的关键是用参数设点的坐标，考查学生的知识迁移能力和运算能力，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答、第22、23为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60分17．在△ABC 中，cosB =√33；sinC =√69．（1）求sin A ；（2）若△ABC 的面积S =√2，求BC 的边长．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin B ，cos C 的值，进而根据两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，（2）由（1）利用正弦定理可求a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ＝2√3：3：1，设a ＝2√3k ，b ＝3k ，c ＝k ，则由三角形的面积公式解得k ＝1，即可求得a 的值．解：（1）∵cosB =√33，∴可得sin B =√1−cos 2B =√63，∵sinC =√69，√69＜√63，即sin C ＜sin B ，C 为锐角，可得cos C =√1−cos 2C =5√39，∴sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C =√63×5√39+√33×√69=2√23．（2）∵sin A =2√23，sin B =√63，sinC =√69，∴a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C =2√23：√63：√69=2√3：3：1，设a ＝2√3k ，b ＝3k ，c ＝k ，则由三角形的面积公式S =12bc sin A ＝2，可得12×3k ×k ×2√23=√2，解得k ＝1，∴a ＝2√3．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，点E，F分别为AD，BP的中点，AD＝3，AP＝3√2，PC=√19．（1）求证：EF∥平面PDC；（2）若∠CDP＝120°，求二面角E﹣CP﹣D的平面角的余弦值．【分析】（1）取PC的中点为M，连结FM，DM，四边形EFMD是平行四边形，EF ∥DM，EF∥平面PDC．（2）由余弦定理求出CD＝2，以D为原点，在平面CDP内过D作DP的垂线为x轴，DP为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣CP﹣D的平面角的余弦值．解：（1）证明：取PC的中点为M，连结FM，DM，∵F，M分别为BP、PC的中点，∴FM∥BC，且FM=12BC，又四边形ABCD为平行四边形，ED∥BC，且ED=12 BC，∴FM∥ED，且FM＝ED，∴四边形EFMD是平行四边形，∴EF∥DM，∵EF ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ， ∴EF ∥平面PDC ．（2）解：∵AD ⊥平面PDC ，四边形ABCD 为平行四边形，点E ，F 分别为AD ，BP 的中点，AD ＝3，AP ＝3√2，PC =√19．∠CDP ＝120°，∴cos120°=CD 2+PD 2−PC 22×CD×PD =2√2)222×CD×√(3√2)2−3=−12，解得CD ＝2， 如图，以D 为原点，在平面CDP 内过D 作DP 的垂线为x 轴， DP 为y 轴，DA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，3），B （√3，﹣1，3），C （√3，﹣1，0），D （0，0，0），E （0，0，32），P （0，3，0），设平面CEP 的一个法向量m →=（x ，y ，z ），CP →=（−√3，4，0），EP →=（0，3，−32）， 则{CP →⋅m →=−√3x +4y =0EP →⋅m →=3y +(−32)z =0，取y ＝1，得m →=（√3，1，2）， 平面CDP 的一个法向量n →=（0，0，1）， 设二面角E ﹣CP ﹣D 的平面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√1+4+163=2√9331． ∴二面角E ﹣CP ﹣D 的平面角的余弦值为2√9331．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题． 19．已知抛物线C ：y 2＝2px （0＜p ＜8）的焦点为F 点Q 是抛物线C 上的一点，且点Q 的纵坐标为4，点Q 到焦点的距离为5． （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 不经过Q 点且与抛物线交于A ，B 两点，QA ，QB 的斜率分别为K 1，K 2，若K 1K 2＝﹣2，求证：直线AB 过定点，并求出此定点．【分析】（1）由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，设Q 的坐标，由题意可得p 的值，进而求出抛物线的方程；（2）设直线AB 的方程与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，进而求出直线AQ ，QB 的斜率之积，由题意可得参数之间的关系，进而求出直线AB 恒过的定点，注意直线不过Q ，所以求出符合题意的定点的坐标．解：（1）由题意Q （8p ，4），直线方程为x =−p2，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，由题意可得|8p+p2|＝5，解得p ＝2或8，由题意可得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2＝4x ；（2）由题意设直线l 的方程为：x ＝my +b ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立直线l 与抛物线的方程可得{x =my +by 2=4x，整理可得y 2﹣4my ﹣4b ＝0，则{△=16m 2+16b ＞0y 1+y 2=4m y 1y 2=−4b ，①由（1）可得Q （4，4）可得K 1•K 2=y 1−4x 1−4⋅y 2−4x 2−4=−2， 即（y 1﹣4）（y 2﹣4）＝﹣2（x 1﹣4）（x 2﹣4）， 即（y 1﹣4）（y 2﹣4）＝﹣2（my 1+b ﹣4）（my 2+b ﹣4），整理可得（1+2m 2）y 1y 2+（2mb ﹣8m ﹣4）（y 1+y 2）+2b 2﹣16b +48＝0， 将①代入可得：b 2﹣10b +24＝16m 2+8m ，即（b ﹣5）2＝（1+4m ）2， 所以b ﹣5＝1+4m ，或b ﹣5＝﹣1﹣4m ， 即b ＝6+2m ，或b ＝4﹣4m ，所以直线l 的方程为：x ＝my +6+2m ，即x ﹣6＝m （y +2）恒过（6，﹣2）， 或者x ＝my ＝4﹣4m 即x ﹣4＝m （y ﹣4）恒过（4，4）， 而由题意可得直线l 不过Q （4，4）， 可证得直线AB 恒过定点（6，﹣4）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线恒过定点的求法，属于中档题．20．某生物公司将A 型病毒疫苗用100只小白鼠进行科研和临床试验，得到统计数据如表：未感染病毒感染病毒未注射 10 x 注射 40 y 总计5050现从所有试验的小白鼠中任取一只，取得注射疫苗小白鼠的概率为12．（1）能否有99.9%的把握认为注射此型号疫苗有效？（2）现从感染病毒的小白鼠中任取3只进行病理分析，记已注射疫苗的小白鼠只数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．附：k 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P （K 2≥k 0）0.10 0.010 k 02.7066.635【分析】（1）先根据题意补充完整2×2列联表，然后由K 2的公式计算出其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，然后由超几何分布求概率的方法依次求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望． 解：（1）由条件知，x ＝40，y ＝10，A ＝50，B ＝50， ∴K 2=100×(10×10−40×40)250×50×50×50=36＞10.828，故有99.9%的把握认为注射此型号疫苗有效． （2）ξ的可能取值为0，1，2，3，P （ξ＝0）=C 403C 100C 503=247490，P （ξ＝1）=C 402C 101C503=195490，P（ξ＝2）=C401C102C503=45490，P（ξ＝3）=C400C103C503=3490．∴ξ的分布列为ξ0123P247490195490454903490∴数学期望E（ξ）=0×247490+1×195490+2×45490+3×3490=35．【点评】本题考查独立性检验、超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．21．已知函数f（x）＝（x+2）ln（x+1）﹣mx，m∈一、选择题．（1）当m＝3时，求曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）若x＞0时，f（x）＞0恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入函数解析式，求导函数，再求出f′（0）与f（0）的值，利用直线方程的点斜式得答案；（2）由f（x）＞0，得（x+2）ln（x+1）﹣mx＞0，即ln（x+1）−mxx+2＞0．设g（x）＝ln（x+1）−mxx+2，可得g′（x）=x2+(4−2m)x+4−2m(x+2)2(x+1)令x2+（4﹣2m）x+4﹣2m＝0，可得△＝（4﹣2m）2﹣4（4﹣2m）＝4m（m﹣2），分0≤m≤2，m＜0，m＞2三类分析求解满足题意的m的取值范围．解：（1）当m＝3时，f（x）＝（x+2）ln（x+1）﹣3x，f′（x）＝ln（x+1）+x+2x+1−3．则f′（0）＝﹣1，又f（0）＝0，∴曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为x+y＝0；（2）由f（x）＞0，得（x+2）ln（x+1）﹣mx＞0，即ln（x+1）−mxx+2＞0．设g（x）＝ln（x+1）−mxx+2，则g′（x）=1x+1−m(x+2)−mx(x+2)2=x2+(4−2m)x+4−2m(x+2)2(x+1)．令x2+（4﹣2m）x+4﹣2m＝0，△＝（4﹣2m）2﹣4（4﹣2m）＝4m（m﹣2）．①若△≤0，即0≤m≤2，g′（x）＞0，当x＞0时，y＝g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（0）＝0，∴x＞0时，f（x）＞0恒成立，满足题意；②若m＜0，g′（x）＞0，当x＞0时，y＝g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（0）＝0，∴x＞0时，f（x）＞0恒成立，满足题意；③若m＞2，当x＞0时，由g′（x）＝0，解得x1=m−2−√m2−2m＜0，x2=m−2+√m2−2m＞0．y＝g（x）在（0，x2）上单调递减，则g（x2）＜g（0）＝0，不满足题意．综上所述，m的取值范围是（﹣∞，2]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为{x=−2√3+4cosθy=2+4sinθ（θ为参数），直线l的参数方程为{x=−2√3+m y=√3m（m为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）直线l与曲线C相交于M，N两点，若P(−2√3，0)，求1|PM|+1|PN|的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）曲线C 的参数方程为{x =−2√3+4cosθy =2+4sinθ（θ为参数），转换为直角坐标方程为(x +2√3)2+(y −2)2=16，整理得x 2+y 2+4√3x −4y =0， 根据{x =ρcosθy =ρsinθρ2=x 2+y 2，转换为极坐标方程为ρ=4sinθ−4√3cosθ．（2）直线l 的参数方程为{x =−2√3+my =√3m转换为直线的标准参数式为{x =−2√3+12ty =√32t（t 为参数）代入圆的直角坐标方程为t 2−2√3t −12=0， 所以t 1+t 2=2√3，t 1t 2＝﹣12， 所以1|PM|+1|PN|=1t 12+1t 22=(t 1+t 2)2−2t 1t 2(t 1t 2)=12+2412=14．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣|x +2|． （1）求不等式f （x ）＞0的解集；（2）若关于x 的不等式|2m +1|≥f （x +3）+3|x +5|有解，求实数m 的取值范围． 【分析】（1）化简函数的解析式为分段函数，然后求解不等式的解集．（2）利用绝对值的几何意义，求出f （x +3）+3|x +5|的最小值然后求解不等式的解集． 解：（1）函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣|x +2|．可得f(x)={x −3，x ≥12−3x −1，−2＜x ＜12−x +3，x ≤−2，当x﹣3＞0时，得x＞3；当﹣3x﹣1＞0时，得−2＜x＜−13；当﹣x+3＞0时，得x≤﹣2，综上可得不等式f（x）＞0的解集为(−∞，−13)∪(3，+∞)．（2）依题意|2m+1|≥（f（x+3）+3|x+5|）min，令g（x）＝f（x+3）+3|x+5|＝|2x+5|+|2x+10|≥|﹣2x﹣5+2x+10|＝5．∴|2m+1|≥5，解得m≥2或m≤﹣3，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解集，分段函数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．。
安徽省宣城市2020-2021学年高二上学期期末调研测试数学(理)试题 PDF版含答案
宣城市 2020—2021 学年度第一学期期末调研测试
高二数学试题（理科）
考生注意事项：
1. 本卷满分 150 分，考试时间：150 分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本 试卷上无效。
为
=
9．已知, 0, ，则“ sin sin 1 ”是“ sin 1 ”的
3
3
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．若点 P m,n 是抛物线 y 1 x2 上一动点，则
4
m2 (n 1)2
(m 4)2 (n 5)2 的最小值为
于点
P
.若
DH
2 DC,CG
1
CB
（0
1），则点
P
的轨迹是
2
A．直线
B．抛物线
C．椭圆
D．双曲线
8．设双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的左焦点为
F，直线 x 2 y
5 0 过点 F 且
与双曲线 C 在第一象限的交点为 P，O 为坐标原点，| OP || OF | ，则双曲线的离心率
12．已知三棱锥
A
BCD
的所有棱长都相等，若
AB
与平面
所成角等于
3
，则平面
ACD
与平面
所
2020年安徽省宣城市试验中学高二数学理联考试题含解析
2020年安徽省宣城市试验中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 小强和小华两位同学约定下午在大良钟楼公园喷水池旁见面，约定谁先到后必须等10分钟，这时若另一人还没有来就可以离开．如果小强是1：40分到达的，假设小华在1点到2点内到达，且小华在1点到2点之间何时到达是等可能的，则他们会面的概率是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={x|0＜x＜60}做出集合对应的线段，写出满足条件的事件对应的集合和线段，根据长度之比得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={x|0＜x＜60}集合对应的面积是长为60的线段，而满足条件的事件对应的集合是A={x|30＜x＜50}得到其长度为20∴两人能够会面的概率是=，故选：D2. 已知a＞0，b＞0，，若不等式2a+b≥4m恒成立，则m的最大值为( )A．10 B．9 C．8 D．7参考答案：B【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】利用2a+b=4（2a+b）（），结合基本不等式，不等式2a+b≥4m恒成立，即可求出m的最大值．【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴2a+b＞0∵，∴2a+b=4（2a+b）（）=4（5+）≥36，∵不等式2a+b≥4m恒成立，∴36≥4m，∴m≤9，∴m的最大值为9，故选：B．【点评】本题主要考查了恒成立问题与最值的求解的相互转化，解题的关键是配凑基本不等式成立的条件．3. 函数的定义域是（）A .B.C. D.参考答案：B略4. －1|x|d x等于()A.－1x d xB.－1d xC.－1(－x)d x＋x d xD.－1x d x＋(－x)d x参考答案：C略5. 设f(x)是一个三次函数，为其导函数.图中所示的是的图像的一部分.则f(x)的极大值与极小值分别是（）.A. f(1)与f(－1)B. f(－1)与f(1)C. f(－2)与f(2)D. f(2)与f(－2)参考答案：C【详解】易知，有三个零点因为为二次函数，所以，它有两个零点由图像易知，当时，；当时，，故是极小值类似地可知，是极大值.故答案为：C6. 等差数列中，a1＞0，d≠0，S3=S11，则S n中的最大值是（）A．S7 B．S7或S8 C．S14 D．S8参考答案：A7. 已知平面向量，，且，则（）A B C D参考答案：C8. 若不等式，对恒成立，则关于t的不等式的解为 ( )A． B． C． D．参考答案：A略9. 已知O是所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（）A． B． C． D．参考答案：A10. 图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二场有4本不同的语文书，第三层有5本不同的英语书，现从中任取一本书，共有（）种不同的取法．A．120 B．16 C．12 D．60参考答案：C【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，利用分类加法原理，计算即可得出答案．【解答】解：根据题意，由于书架上有3+4+5=12本书，则从中任取一本书，共有C121=12种不同的取法，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设F1、F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，与直线y=b相切的⊙F2交椭圆于点E，且E是直线EF1与⊙F2的切点，则椭圆的离心率为．参考答案：考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：作出图形，根据椭圆的定义，可得到EF1+EF2=2a，依题意+==4c2，再由⊙F2与直线y=b相切，可得EF2=b，从而有（2a﹣b）2+b2=4c2，整理即可求得椭圆的离心率．解答：解：依题意，作图如右：∵EF1⊥EF2，⊙F2交椭圆于点E，∴EF1+EF2=2a，+==（2c）2=4c2．①又⊙F2与直线y=b相切，∴EF2=b，②∴EF1=2a﹣b，③将②③代入①得：（2a﹣b）2+b2=4c2，∴4a2+2b2﹣4ab=4c2，∴2（a2﹣c2）=b（2a﹣b），即2b2=b（2a﹣b），∵b≠0，∴3b=2a，∴4a2=9b2=9（a2﹣c2），∴5a2=9c2，即e2==，∴e==．点评：本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆的定义，考查直线与圆相切，考查方程思想与数形结合思想的运用，属于难题．12. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C ＝_______．参考答案：13. 已知集合，则= .参考答案：14. 若指数函数的图象过点(－2,4)，则__________.参考答案：【分析】设指数函数为，代入点的坐标求出的值，再求的值.【详解】设指数函数为，所以.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查指数函数的解析式的求法和指数函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15. 已知双曲线，、分别为左右焦点，为上的任意一点，若，且，则双曲线的虚轴长为 .参考答案：4解：设，，则：，即：；又，所以：，即：；因为，所以：∴，，；所以虚轴长为4.16. 我校开展“爱我河南，爱我方城”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示，记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，计算的平均分为91，复核员在复核时，发现一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是．参考答案：1考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：由题意，得到作品A的所有成绩，由平均数公式得到关于x的等式解之．解答：解：由题意，作品A去掉一个最高分和一个最低分后，得到的数据为89，89，92，93，90+x，92，91，由平均数公式得到=91，解得x=1；故答案为：1．点评：本题考查了茎叶图以及平均数公式的运用；关键是由茎叶图得到正确信息，运用平均数公式计算．属于基础题．17. 直线y=x+1的倾斜角是．参考答案：【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线y=x+1的倾斜角为α，α∈[0，π）．可得tanα=1，解得α即可得出．【解答】解：设直线y=x+1的倾斜角为α，α∈[0，π）．∴tanα=1，解得α=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
安徽省第二中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理(含解析)
安徽省蚌埠市第二中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1.等腰三角形ABC 绕底边上的中线AD 所在的直线旋转所得的几何体是( )A. 圆台B. 圆锥C. 圆柱D. 球【答案】B 【解析】由题意可得AD ⊥BC ，且BD ＝CD ，所以形成的几何体是圆锥．故选B. 2.球的表面积膨胀为原来的2倍，则其体积变为原来的（ ）倍 A. 2B. 3C. 8D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出球的半径，求出膨胀后球的半径，即可得到球的体积比。
【详解】设球的半径为r ，所以球的体积为3143v r π=， 球的表面积膨胀为原来的2， 所以球的体积为332144)33v r ππ=== 所以膨胀后球的体积变为原来的故选：D【点睛】本题考查球的表面积以及体积公式，需熟记公式，属于基础题。
3.一个梯形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原来梯形面积的（ ）倍 A.4B.12C.2【答案】A【解析】 【分析】梯形的直观图仍是梯形，且上下底保持不变，设原来梯形的高为h ，则在直观图中表示梯形高的线段应为2h ，且与底边夹角为45，故梯形直观图的高为2sin 4524h h ⋅= 【详解】设原来梯形上下底分别为,a b ，高为h ，则梯形面积为2a bs h +=⋅ 在梯形直观图中，上下底保持不变，表示梯形高的线段为2h，且与底边夹角为45，故梯形直观图的高为2sin 452h ⋅=，∴梯形直观图的面积为24a b s h +'=⋅4s s '∴=故选：A4.已知m ，n 是空间两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题正确的是 A. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nB. 若=,=,//m n m n αγβγ⋂⋂，则//αβC. 若,,m βαβ⊂⊥则m α⊥D. 若,//,m m βα⊥则αβ⊥【答案】D 【解析】【详解】试题分析：对于A ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则,m n 可平行或异面，所以不成立， 对于 B ．若=,=,//m n m n αγβγ⋂⋂，则//αβ，还可能相交，故错误。
2020-2021学年安徽宣城高二上数学期中试卷
2020-2021学年安徽宣城高二上数学期中试卷一、选择题1. 在平面直角坐标系中，直线y=−√3x+1的倾斜角为( )A.5π6B.3π4C.π3D.2π32. 为了了解1500名社区成员早锻炼情况，对他们随机编号为1，2，⋯，1500号，从中抽取一个容量为50的样本，若采用系统抽样，则分段的间隔k为( )A.50B.40C.20D.303. 已知直线x+2ay−1=0与直线(3a−1)x−y−1=0垂直，则a的值为( )A.1 3B.1C.0D.164. 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的标准方程为( )A.(x+1)2+y2=4B.(x−1)2+y2=4C.(x−2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=45. 直线y=ax+a−1(a∈R)所过定点的坐标为( )A.(1,1)B.(1,−1)C.(−1,−1)D.(−1,1)6. 已知x，y的取值如下表，从散点图知，x，y线性相关，且ŷ=b̂x+0.7，则下列说法正确的是( )A.x每增加1个单位，y就增加0.7个单位B.当x=6时，y的预报值为4.3C.回归直线一定过点(2.2,2.2)D.x每增加1个单位，y就增加1个单位7. 已知圆C的方程为x2+y2−2x+6y+1=0，点P在圆C上，O是坐标原点，则|OP|的最小值为( )A.3−√3B.3C.2√2−2D.√10−38. 已知点P(x,y)在圆C:x2+(y−1)2=16上，则z=√x2+y2−8x−8y+32的最小值为( )A.2B.√3C.1D.√29. 点P(1,2)在圆x2+y2−4x+2y+F=0的内部，若圆中以P为中点的弦长为2，则F=( )A.−8B.−6C.−9D.−710. 把直线y=x，y=−x，x=1围成的图形绕y轴旋转一圈，所得旋转体的体积为( )A.2π3B.π3C.4π3D.2π11. 已知过点M(2,−4)的直线l与圆C：(x−1)2+(y+2)2=5相切，且与直线m:ax−2y+3=0垂直，则实数a的值为( )A.−4B.−2C.4D.212. 已知直线l:x−√3y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|=( )A.4B.72C.2D.3二、填空题运行如图所示的程序框图，输出的结果S=________.现有红球n个，白球350个，用分层抽样方法从中随机抽取120个小球，其中抽出的红球有50个，则n=________.已知直线3x+2y−3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是________.若直线y=x+b与曲线y=3−√4x−x2有公共点，则b的取值范围是________.三、解答题根据下列条件，求直线方程：(1)过点A(1,2)，且倾斜角是直线y=x+3的倾斜角的2倍；(2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等．若点A(−2,−1)与点B(3,2)到直线ax+y+1=0的距离相等，求a的值.某校为了增强学生的爱国情怀，举办爱国教育知识竞赛，从参见竞赛的学生中抽出60人，将其成绩分为六段[40, 50)，[50, 60)⋯，[90, 100]后画出如图频率分布直方图．观察图形，回答下列问题：(1)估计这次考试的众数m与中位数n（结果保留一位小数）；(2)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）．求下列各圆的标准方程：(1)圆心在x轴上，且圆过两点A(1, 4)，B(3, 2)；(2)圆心在直线2x+y=0上，且圆与直线x+y−1=0切于点M(2, −1)．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.收集数据如下：(1)请根据第二次、第三次、第四次试验的数据，求出y关于x的线性回归方程ŷ=b̂x+â，参考公式如下：b̂=∑n i=1(x i−x¯)(y i−y¯)∑n i=1(x i−x¯)2，â=y¯−b̂x¯，x¯=x1+x2+⋯+x nn，ŷ=y1+y2+⋯+y nn；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2分钟，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠？已知圆M:x2+y2−2x−6y−6=0，直线l:3x−4y+m=0平分圆M．(1)求直线l的方程；(2)设点A(−5, 3)，圆M的圆心是点M，对圆M上任意一点P，在直线AM上是否存在与点A不重合的点B，使|PB||PA|是常数？若存在，求出点B的坐标；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年安徽宣城高二上数学期中试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】直线于倾斜落【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】系统明样稀法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】直线的较般式划程皮直校的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】圆的射纳方程直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】直线验家定点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】求解线都接归方程回归分使的初步解用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】圆的常准方簧与坐般客程的转化圆的射纳方程两点间来距离循式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】与圆有正测最值问题两点间来距离循式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】两点间来距离循式圆的常准方簧与坐般客程的转化圆的射纳方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】旋转验（圆柱立圆锥碳藏台）柱体三锥州、台到的体建计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系两条直因垂直滤倾斜汉措斜率的关系直线的水根式方务式直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】直线与三相交的要质直线和圆体方硫的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】此题暂无答案【考点】程正然图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】分层使求方法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】两条平行射线间面距离【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】此题暂无答案【考点】直线于倾斜落直线的都特式方程直体的氯率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】与直线表于抛制直线析称的直线方程两条平行射线间面距离【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】众数、中正数、平均测用样明的钾率分级估于总体分布【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线和圆体方硫的应用直线与都连位置关系圆的射纳方程两点间来距离循式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】求解线都接归方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线和圆体方硫的应用两点间来距离循式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
安徽省示范中学2020-2021学年高二上学期入学考试数学试题
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为斜截式直线方程，数形结合得到优解，代入目标函数得答案．
【详解】
作出可行域
，当直线 经过点 时， 取最小值-6.
故选D.
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
5．C
【分析】
由向量的数量积的定义式 可得 ，已知 ，故只需求出 即可。
14．在△ 中，角 所对的边分别为 ， , ，则 ______.
15．若函数 的图象与直线 恰有两个不同交点，则 的取值范围是______.
16．设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最大值是______.
三、解答题
17．已知 ，函数 ，且 .
（ห้องสมุดไป่ตู้）求 的最小正周期；
（2）若 在 上单调递增，求 的最大值.
考查描述法的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算．
2．D
【分析】
设等比数列{an}的公比为q，由条件得q4=4，解得q2．进而得出结果．
【详解】
因为 ，解得 .
因为 ，所以 .选D.
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3．B
【分析】
这个两位数不大于20，①若十位为1，个位可以从0，2，3，4中选择一个，故包含4个基本事件，②若十位为2，则个位必须为0．数出所有基本事件个数，和基本事件总数即可求概率．
18．在等差数列 中， .
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求 的前 项和 .
19．某销售公司拟招聘一名产品推销员，有如下两种工资方案：
方案一：每月底薪2000元，每销售一件产品提成15元；
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安徽省宣城二中2020-2021学年高二上学期开学考
试理科数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知，则（）
A．B．C．
D．
2. 下列结论中错误的是（）
A．若，则
B．若是第二象限角，则为第一象限或第三象限角
C．若角的终边过点（），则
D．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度
3. 已知sinα＝3cosα，则sinα?cosα的值为（）
A．B．C．D．
4. △ABC中，若cos C，c＝2，则△ABC外接圆面积为（）
A．4πB．8πC．9πD．36π
5. 已知，，则在方向上的投影为（）A．B．C．D．
6. 设是定义在R上周期为2的奇函数，当时，，则
（）
A．B．C．D．
7. 设、分别为等差数列与的前n项和，若，则等于（）
A．B．C．D．
8. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的表面积为（）
A．2 B．C．
D．
9. 已知是三个不重合的平面，是直线，给出下列命题：①若
，则；②若上两点到的距离相等，则；③若，则；④若，且，则.其中正确的命题是（）
A．①②B．②③C．②④D．③④
10. 函数的图像大致为（）
C．D．
A．B．
11. 在中，角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列，则角B的取值范围是（）
A．B．C．D．
12. 已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有
，则的值为（）
A．0
D．1
B．C．
二、填空题
13. 若x0是函数f（x）＝2x+3x的零点，且x0∈（a，a+1），a∈Z，则a＝
_____．
14. 已知函数（且）恒过定点，则
__________.
15. a，b是正实数，且，则的最小值是_____．
16. 已知函数，若，则实数a的取值范围是_____．
三、解答题
17. 已知公差不为0的等差数列，其中，若，，是等比数列
的前三项．
（1）求等差数列的通项公式；
（2）求等比数列的前n项和．
18. 一个多面体的直观图及三视图如图所示，其中M ，N 分别是AF、BC 的中点
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求多面体A-CDEF的体积．
19. 已知点，，为坐标原点，函数. （1）求函数的解析式及最小正周期;
（2）若为的内角，，，的面积为，求的周长.
20. 已知函数是定义域为的奇函数，且在上单调递增.
（1）求证：在上单调递增；
（2）若不等式成立，求实数的取值范围.
21. 数列满足，（）．
（1）设，求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求．
22. 已知三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝3，O是AB中点，E是PB中点．
（1）证明：平面PAB⊥平面ABC；（2）求点B到平面OEC的距离．。