高二下学期入学考试数学试题
2022-2023学年四川省内江市高二下学期入学考试数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年四川省内江市高二下学期入学考试数学（理）试题一、单选题1．已知三维数组(2,1,0)a =- ，(1,,7)b k = ，且a b ⊥，则实数k 的值为（）A ．-2B ．2C ．27D ．-9【答案】B【分析】根据两个向量垂直可得其数量积为0，然后解方程即可【详解】根据a b ⊥，可得：0a b ⋅= 则有：20k -=解得：2k =故选：B2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A ．至少有一个黑球与都是红球B ．至少有一个红球与都是红球C ．至少有一个红球与至少有1个黑球D ．恰有1个红球与恰有2个红球【答案】D【分析】A.至少有一个黑球与都是红球,是对立关系，因此能判断A 不符合要求；B.至少有一个红球包括两球都是红球，二者不互斥，不符合要求；C.至少有一个红球与至少有1个黑球，含有同时发生的情况，不符合要求；D.恰有1个红球与恰有2个红球，二者符合题目要求.【详解】A.至少有一个黑球与都是红球,二者不会同时发生，是互斥关系，任取2个球时，这两个事件又一定会有一个发生，因此二者又是对立事件，不符合题目要求；B.至少有一个红球包括两球都是红球，因此二者会同时发生，不是互斥关系，不符合要求；C.至少有一个红球与至少有1个黑球，二者都含有恰有一个红球和一个黑球的情况，会有同时发生的可能，不是互斥关系，不符合要求；D.恰有1个红球与恰有2个红球，二者不会同时发生，是互斥事件，但二者有可能都不会发生，比如取到的两球都是黑球，故二者不是对立事件，符合题目要求.故选：D3．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，且m α⊂，n β⊂，下列命题正确的是（）A ．如果//m β，那么//αβB ．如果//αβ，那么//m nC ．如果m β⊥，那么αβ⊥D ．如果αβ⊥，那么m β⊥【答案】C【分析】根据已知条件判断线线、线面以及面面位置关系，可判断ABD 选项的正误，利用面面垂直的判定定理可判断C 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为m α⊂，n β⊂，//m β，则α、β平行或相交，A 错；对于B 选项，因为m α⊂，n β⊂，//αβ，则m 、n 平行或异面，B 错；对于C 选项，因为m α⊂，n β⊂，m β⊥，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 对；对于D 选项，因为m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则//m β或m β⊂或m 与β相交，D 错.故选：C.4．设a R ∈，若直线1:280l ax y +-=与直线2:(1)50l x a y +++=平行，则a 的值为（）A ．1B ．2-C ．1或2-D ．23-【答案】C【分析】根据直线的一般式判断平行的条件进行计算.【详解】10a +=时，容易验证两直线不平行，当10a +≠时，根据两直线平行的条件可知：28115a a -=≠+，解得1a =或2a =-.故选：C.5．过点(1,1)P 可以向圆222420x y x y k ++-+-=引两条切线，则k 的范围是（）A ．2k >B ．07k <<C ．7k <D ．27k <<【答案】D【分析】过点(1,1)P 可以向圆222420x y x y k ++-+-=引两条切线，即点(1,1)P 在圆外，即P 到圆心的距离大于圆的半径，则把圆的方程化为标准方程后，找出圆的圆心和半径，利用两点间的距离公式求出点(1,1)P 到圆心的距离，由d r >且70k ->，即可求解.【详解】把圆的方程化为标准方程得()()22127x x k ++-=-，即圆心坐标为()1,2-，半径为7r k =-，点(1,1)P 到圆心的距离为()()221+1+125d =-=，∵P 在圆外时，过点P 可以向圆222420x y x y k ++-+-=引两条切线，∴d r >，即57k >-,且70k ->，解得27k <<，故选：D .6．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，12AA AB ==，D ，E ，F 分别是1BB ，1AA ，11AC 的中点，则直线EF 与CD 所成角的余弦值为（）A ．12B ．22C ．12-D ．0【答案】D【分析】方法一：根据异面直线夹角的定义，延长11,AC AC ，使111,C M AC CN AC ==，连接111,,,,,AC CM DM B M B F MN ，分析图形结合余弦定理可求直线EF 与CD 所成角的余弦值；方法二：将三棱柱补成四棱柱，结合异面直线夹角的定义确定夹角，根据余弦定理与勾股定理可求得直线EF 与CD 所成角的余弦值；方法三：根据三棱柱的几何性质，建立空间直角坐标系，按照空间坐标运算求解直线EF 与CD 所成角的余弦值即可.【详解】解：方法一：延长11,AC AC ，使111,C M A C CN AC ==，连接111,,,,,AC CM DM B M B F MN ，如图所示．在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，12AA AB ==，易知1////,5,22EF AC CM CD CM ==，22222222111113313DM B D B M B D B F FM =+=++=++=．设直线EF 与CD 所成角为θ，易知()22222252213cos cos 022522DC CM DMDCM DC CMθ+-+-=∠===⋅⨯⨯，∴直线EF 与CD 所成角的余弦值为0．故选：D ．方法二：如图，将三棱柱补成四棱柱，其中两个三棱柱全等．取PB 中点Q ，连接DQ ，由棱柱性质易知//EF DQ ，∴CDQ ∠为EF 与CD 所成角或其补角．连接CQ ，由题知2,1,1BC BQ BD ===，∴5,2CD DQ ==，又120CBQ ∠=︒，∴在CBQ △中由余弦定理可得2222212cos 1221272CQ BQ BC BQ BC CBQ ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭∴7CQ =在CDQ 中，2227CQ CD DQ =+=，∴90CDQ ∠=︒∴直线EF 与CD 所成角的余弦值为0．故选：D ．方法三：如图，取AC 中点为O ，连接,OB OF ，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，12AA AB ==，易得FO ⊥平面ABC ，则,FO OB FO AC ⊥⊥，又2AB BC ==，O 为AC 中点，所以OB AC ⊥，则以O 为原点，以,,OB OC OF 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．所以()()()()()0,0,0,0,1,0,3,0,1,0,0,2,0,1,1O C DF E -，则()()0,1,1,31,1EF CD ==-，，所以011cos ,025EF CD EF CD EF CD⋅-+===⨯⋅∴直线EF 与CD 所成角的余弦值为0．故选：D ．7．甲､乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：下列说法错误的是（）A ．从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定B ．从折线统计图上两人射击命中环数走势看，甲更有潜力C ．从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好D ．从平均数和中位数相结合看，乙成绩较好【答案】D【分析】由图找出甲乙打靶的成绩，分别计算出甲乙的平均数、方差、中位数，结合折线图逐项分析可得答案.【详解】由图可知，甲打靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，甲的平均数为24687789910710甲+++++++++==v ，甲的方差为()()()()()()()222222222747672772872971075.410甲-+-+-+⨯-+⨯-+⨯-+-==s乙打靶的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，乙的平均数为9578768677710乙+++++++++==v ，乙的方差为()()()()()2222229757267477287 1.210乙-+-+⨯-+⨯-+⨯-==s ，所以22乙甲<s s ，从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定，故A 正确；从两人射击命中环数折线统计图走势看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，甲更有潜力，故B 正确；甲打靶的成绩为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，中位数为7.5，乙打靶的成绩为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，中位数为7，甲9环及9环以上的次数3次，甲9环及9环以上的次数1次，甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，故从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好，故C 正确；甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，甲的中位数7.5大于乙的中位数7，从平均数和中位数相结合看，甲成绩较好，故D 错误.故选：D.8．图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3．若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为（）A ．100πB ．600C ．200πD ．300π【答案】C【分析】由莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，结合已知可得半径为20，由弧长公式求得底面周长，进而可求得结果.【详解】莱洛三角形由三段半径为20，圆心角为π3的圆弧构成，所以该零件底面周长为π32020π3⨯⨯=，故其侧面积为200π．故选：C.9．已知三棱锥S ABC -所有顶点都在球O 的球面上，且SA ⊥平面ABC ，若1SA AB AC BC ====，则球O 的表面积为（）A ．52πB ．5πC ．53πD ．73π【答案】D【分析】设O '为ABC 的外接圆的圆心，取SA 的中点E ，求得ABC 的外接圆的半径33r =，且12O A '=，得到三棱锥S ABC -外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，设O '为ABC 的外接圆的圆心，取SA 的中点E ，分别连接OO '和OE ，则OO '⊥平面ABC ，OE ⊥SA ，因为SA ⊥平面ABC ，若1SA AB AC BC ====，可得ABC 的外接圆的半径33r O A '==，且12O O AE '==，在直角O OA '△中，可得22222317()()3212OA OO O A ''=+=+=，即三棱锥S ABC -外接球的半径为2712R =，所以球O 的表面积为2743S R ππ==.故选：D.10．若直线y kx =与圆22(2)(1)1x y ++-=的两个交点关于直线20x y b -+=对称，则k ，b 的值分别为（）A ．12k =-，5b =B ．12k =，3b =-C ．12k =-，4b =-D ．2k =，5b =【答案】A【分析】由题意分析得知直线20x y b -+=经过圆心求出b ；由直线y kx =与直线20x y b -+=垂直求出k 即可.【详解】因为直线y kx =与圆22(2)(1)1x y ++-=的两个交点关于直线20x y b -+=对称，所以直线20x y b -+=经过圆心()21，-，且直线y kx =与直线20x y b -+=垂直，所以()221021⎧⨯--+=⎨=-⎩b k 解得：512=⎧⎪⎨=-⎪⎩b k ，故选：A.11．已知直线:10l x y -+=，点(),0A a -、()(),00B a a >，若直线l 上存在点P 满足90APB ∠= ，则实数a 的取值范围为（）A ．2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．2,2⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】B【分析】设点(),P x y ，由勾股定理可得出222x y a +=，则直线l 与圆222x y a +=有公共点，利用点到直线的距离公式可求得实数a 的取值范围.【详解】设点(),P x y ，因为90APB ∠= ，则222PA PB AB +=，即()()222224x a y x a y a +++-+=，整理可得222x y a +=，所以，点P 既在直线l 上，又在圆222x y a +=上，所以，直线l 与圆222x y a +=有公共点，因为0a >，且圆222x y a +=的圆心为原点，半径为a ，所以，()22111a ≤+-，可得22a ≥，故实数a 的取值范围为2,2⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭∞.故选：B.12．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不包含端点），若正方体棱长为1，则下列结论正确的有（）①直线1D P 与AC 所成角的取值范围是ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭②存在P 点，使得平面1APD ∥平面1C BD③三棱锥1D CDP -的体积为16④平面1APD 截正方体所得的截面可能是直角三角形A ．①③B ．②④C ．③④D ．②③【答案】D【分析】①建立平面直角坐标系，利用异面直线所称角的向量坐标法，即可求解；②当点P 为中点时，即可判断面面平行；③结合等体积转化11D CDP P CDD V V --=，即可求解；④讨论点P 的位置，作出截面，即可判断.【详解】①如图，连结1,AC D P ，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()11,0,1A ，()0,0,0D ，()10,0,1D ，()0,1,0C ，则有()1,1,0AC =- ，设11A P A B λ= ，()()()11111,0,00,1,11,,D P D A A B λλλλ=+=+-=-，()01λ∈，，所以()212211cos ,42221AC D P λλλλ--+==++，令()()22142f λλλ-=+，()0,1λ∈，则()()()()()22222421184404242f λλλλλλλ+---'==<++，所以()()22142f λλλ-=+在()0,1上单调递减，因为()102f =，()10f =，设直线1D P 与AC 所成角为α，所以120cos cos ,2AC D P α<=< ，又π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,故直线1D P 与AC 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故①错误；②当点P 为1A B 的中点时，有1//AP C D ，AP ⊄平面1C BD ，1C D ⊂平面1C BD ，所以//AP 平面1C BD ，同理，1//AD 平面1C BD ，且1AD AP A = ，1,AD AP ⊂平面1APD ，所以平面11//APD C BD ，故②正确；③三棱锥1D CDP -的体积11111111113326D CDP P CDD CDD V V S AD --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ，故③正确；④设1A B 的中点为O ，连结11,,AP AD D P ，当点P 在线段OB （不包括端点）上时，此时平面1APD 截正方体所得的截面为梯形1AEFD ，如图，当点P 在O 点时，此时平面1APD 截正方体所得的截面为正三角形11AB D ,如图，当点P 在线段1OA （不包括端点）时，此时平面1APD 截正方体所得的截面为等腰三角形1AD G ，如图，12AD =，11D G AG =>，所以22211D G AG AD +>，1AGD ∠为锐角，该等腰三角形不可能为直角三角形，综上，可得④错误.故选：D二、填空题13．某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为01，02，…，80的80个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为03，13，…则样本中的最后一个个体编号是_______.【答案】73【分析】以系统抽样抽取样本规则解之即可.【详解】由抽取样本中的个体编号依次为03，13，…，可知抽取的两个相邻号码之差为10.说明样本以10个为一组，被分成了8组.抽出的编号依次为：3，13，23，33，43，53，63，73.则样本中的最后一个个体编号是73.故答案为：7314．若实数x 、y 满足约束条件131x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则31z x y =++的最小值是______．【答案】４【分析】按照简单的线性规划步骤逐步进行即可.对于可行域为封闭三角形，目标函数为截距型时，可用交点代入法求解.【详解】作出可行域，令Z =0，作直线l 0：310x y ++=，易知，将直线l 0平移过点A 时Z 取得最小值，将A 点坐标(1,0)代入目标函数得min 4Z =.故答案为：415．如图所示，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，E 在棱1DD 上，12DE ED =，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 平面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度为__________．【答案】2【分析】设H 在棱1CC 上，且12CH HC =，I 在棱11C D 上，且112D I IC =，G 在棱CD 上，且2DG GC =，根据面面平行的判定定理，可得平面1//A BGE 平面1B HI ，结合已知中1//B F 平面1A BE ，可得F 落在线段HI 上，则答案可求.【详解】解：设H 在棱1CC 上，且12CH HC =，I 在棱11C D 上，且112D I IC =，G 在棱CD 上，且2DG GC=连接1B I ，1B H ，IH ，1CD ，EG ，BG ，则11////A B CD GE ，所以1A ，B ，E ，G 四点共面，由11//B H A E ，1A E ⊄平面1B HI ，1B H ⊂平面1B HI ，所以1//A E 平面1B HI ，同理1//A B 平面1B HI ，又111A B A E A = ，11,A B A E ⊂平面1A BGE ，所以平面1//A BGE 平面1B HI ，又因为1//B F 平面1A BE ，所以F 落在线段HI 上，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，所以1132233HI CD ===，即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2．故答案为：2.16．若,A B 是圆()()()22:240C x y m m -+-=>上两点，且23AB =，若存在R a ∈，使得直线1:0l ax y -=与2:240l x ay a ++-=的交点P 恰为AB 的中点，则实数m 的取值范围为______.【答案】52,5⎡⎤-⎣⎦【分析】由直线与圆相交以及弦长23AB =，可得M 点的轨迹方程，又直线1:0l ax y -=与2:240l x ay a ++-=相交，可得交点P 的轨迹方程，由已知可得圆M 与圆P 有公共点，根据圆与圆的位置关系列出不等式，解出实数m 的取值范围．【详解】圆()()()22:240C x y m m -+-=>的半径2r =，M 为AB 的中点，且22223AB r MC=-=，解得1MC =，M ∴点的轨迹方程为()()()22210x y m m -+-=>，又直线1:0l ax y -=过定点()0,0Q ，2:240l x ay a ++-=即()420x a y -++=过定点()4,2S -，且12l l ⊥，则P 点是两垂线的交点，所以P 点在以QS 为直径的圆上，圆心为()2,1-，半径为11164522QS =+=，P ∴的轨迹方程为()()22215x y -++=，由于1l 的斜率存在，所以点P 的轨迹要去掉点()0,2-，由已知可得：圆M 与圆P 有公共点，5151MP ∴-≤≤+，即51151m -≤+≤+，又0m >，所以51151m -≤+≤+，解得525m -≤≤，故答案为：52,5⎡⎤-⎣⎦三、解答题17．已知直线()():231370l a x a y a +--++=，R a ∈.(1)证明直线l 过定点A ，并求出点A 的坐标；(2)在（1）的条件下，若直线l '过点A ，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的12，求直线l '的方程.【答案】(1)定点A 的坐标为()2,1--(2)12y x =或122y x =--【分析】（1）整理方程为()23370x y a x y -++++=，然后解方程组230370x y x y -+=⎧⎨++=⎩可得答案；（2）设出直线方程，求出截距，利用截距之间的关系列方程求解.【详解】（1）直线()():231370l a x a y a +--++=可化为()23370x y a x y -++++=，则230370x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩，∴直线l 过定点，且定点A 的坐标为()2,1--；（2） 直线l '过点()2,1--，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的12，则当直线l '过坐标原点时，符合题意，此时直线方程为12y x =，即20x y -=；当直线l '的横纵截距均不为零时，设直线l '的方程为112x y a a +=，代入点()2,1--，得21112a a --+=，解得4a =-，此时直线l '的方程为142x y +=--，即240x y ++=，综上，直线l '的方程为20x y -=或240x y ++=.18．某小型企业甲产品生产的投入成本x （单位：万元）与产品销售收入y （单位：万元）存在较好的线性关系，下表记录了最近5次该产品的相关数据.x （万元）357911y （万元）810131722（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本12万元的毛利率更大还是投入成本15万元的毛利率更大（毛利率=-收入成本收入100%⨯）？相关公式：()()()1122211ˆ=nniii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---=--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-.【答案】（1）ˆ 1.75 1.75y x =+；（2）12万元的毛利率更大【分析】（1）根据题意代入数值分别算出ˆb与ˆa 即可得解；（2）分别把12x =与15x =代入线性回归方程算出ˆy再算出毛利率即可得解.【详解】（1）由题意7x =，14y =.()()()()()()()()5137814571014771314iii x x yy =--=--+--+--∑()()971714+--()117+-()221470-=，()()()()()()522222213757779711740i i x x=-=-+--+-+-=+∑，()()()51521ˆ 1.75iii ii x x y y bx x ==--==-∑∑，ˆ147 1.75 1.75a=-⨯=故y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.75 1.75yx =+.（2）当12x =时，ˆ22.75y=，对应的毛利率为22.7512100%47.3%22.75-⨯≈，当15x =时，ˆ28y=，对应的毛利率为2815100%46.4%28-⨯≈，故投入成本12万元的毛利率更大.【点睛】本题考查了线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于基础题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面,ABCD ABCD 是直角梯形，,//AD DC AB DC ⊥，222AB AD CD ===，点E 在线段PB 上且12PE EB =.(1)证明直线//PD 平面AEC ;(2)证明直线BC ⊥平面PAC .【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）作辅助线，即连接BD 交AC 于点O ，连接OE ,利用△DOC ∽△BOA 及12PE EB =，证明//PD OE ，利用线面平行的判定定理证明即可；（2）通过计算证明AC BC ⊥，由PC ⊥平面ABCD 得到PC BC ⊥，利用线面垂直的判定定理证明即可.【详解】（1）证明：连接BD 交AC 于点O ，连接OE ,∵//AB DC ，2AB CD =,∴△DOC ∽△BOA ,即12DO DC OB AB ==，又∵12PE EB = ，∴12DO PE OB EB ==∴//PD OE又∵OE AEC ⊂面、PD AEC ⊄面∴//PD AEC面（2）∵PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PC BC ⊥，又∵2,1,AB AD CD AD DC ===⊥，且ABCD 是直角梯形，∴2AC BC ==，即222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥，又∵PC AC C ⋂=，且,PC AC ⊂平面PAC ，∴BC ⊥平面PAC .20．某中学举行了一次诗词竞赛.组委会在竞赛后，从中抽取了部分选手的成绩（百分制）作为样本进行统计，作出了茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：(1)求样本容量n 、抽取样本成绩的中位数及分数在[)80,90内的人数；(2)若从分数在[50,60)和[80,90)内的学生中任选两人进行调研谈话，求至少有一人分数在[50,60)内的概率．【答案】(1)25n =，中位数为73，4人(2)35【分析】（1）根据频率分布直方图可知组的频率等于该组的频数除以总的样本量，各个组的频率之和为1，根据茎叶图的特点直接可获得中位数所在位置；（2）总的事件总数是从分数在[50,60)和[80,90)内的学生中任选两人，待求的是至少有一人分数在[50,60)内，则分别计算出总的基本事件个数和至少有一人分数在[50,60)内的基本事件个数即可，然后根据概率的定义求出即可.【详解】（1）分数在[)50,60内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在[]90,100内同样有2人.由2100.008n=⨯解得：25n =根据茎叶图可知：抽测成绩的中位数为73分数在[80,90)之间的人数为：()25271024-+++=综上可得：样本容量25n =，中位数为73，分数在[80,90)内的人数为4人（2）设“若从分数在和内的学生中任选两人进行调研谈话，至少有一人分数在[50,60)内”为事件M .将[80,90)内的4人编号为a b c d ,,,；[50,60)内的2人编号为,A B 则在[50,60)和[80,90)内的任取两人的基本事件为：,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB ，共15个其中，至少有一人分数在[50,60)内的基本事件：,,,,,,,,aA aB bA bB cA cB dA dB AB ，共9个.故所求的概率得：93M =155P =()21．如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为22.(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角1A A C B --的大小.【答案】(1)2(2)π3【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得BC ⊥平面11ABB A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，则111111112211433333A A BC A A ABC A ABC AB BC C C B V S h h V S A A V ---=⋅===⋅== ，解得2h =，所以点A 到平面1A BC 的距离为2；（2）取1A B 的中点E ,连接AE ，如图，因为1AA AB =，所以1AE A B ⊥,又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，且AE ⊂平面11ABB A ，所以⊥AE 平面1A BC ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，由BC ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面ABC 可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥，又1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以BC ⊥平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得2AE =，所以12AA AB ==，122A B =，所以2BC =，则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ，则1A B 的中点()0,1,1E ，所以()0,1,1AE =- ,()10,0,2AA =，()2,2,0AC =- ，设平面1AAC 的法向量为(),,n x y z =，则120220n AA z n AC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，解得0x y z =⎧⎨=⎩，取1x y ==，则平面1AAC 的一个法向量为()1,1,0n =r，由⊥AE 平面1A BC 可知，AE为平面1A BC 的一个法向量，设二面角1A A C B --为θ，则11cos cos ,222n AE n AE n AEθ⋅=<>===⨯⋅，且观察图可知，二面角1A A C B --为锐二面角，所以1cos 2θ=，则π3θ=，所以二面角1A A C B --的大小为π3.22．已知点()0,2P ，设直线l ：y =kx +b （b ，R k ∈）与圆22:4C x y +=相交于异于点P 的A ，B 两点.(1)若PA PB ⊥，求b 的值；(2)若||23AB =，且直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为233，求直线l 的斜率k 的值；(3)当||||4PA PB ⋅=时，是否存在一定圆M ，使得直线l 与圆M 相切?若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)0(2)3k =±或33k =±(3)存在，定圆22:(2)1M x y +-=.【分析】（1）根据PA PB ⊥可知直线l 过圆224x y +=的圆心(0,0)，可得0b =；（2）由||23AB =得原点(0,0)O 到直线l 的距离为1，得221b k =+，再根据面积得243||3b k =，联立消去2b 可得k 的值；（3）联立直线与圆224x y +=，化为关于x 的一元二次方程，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据韦达定理可得12y y +和12y y ，利用12y y +和12y y ，将||||4PA PB ⋅=化为2243k b b =-+，利用2243k b b =-+求出点(0,2)P 到直线y kx b =+的距离为1，由此可得结果.【详解】（1）因为PA PB ⊥，又(0,2)P 在圆224x y +=上，所以直线l 过圆224x y +=的圆心(0,0)，所以0b =.（2）因为||23AB =，圆224x y +=的半径为2，所以圆心(0,0)到直线l 的距离24(3)1d =-=，由点到直线的距离公式可得2||11b d k==+，得221b k =+，当0k =时，直线l 与坐标轴不能围成三角形，故0k ≠，在y kx b =+中，令0x =，得y b =；令0y =，得bx k =-，所以123||||23b b k ⋅-=，得243||3b k =，所以2431||3k k +=，解得||3k =或3||3k =，所以3k =±或33k =±.（3）联立224x y y kx b ⎧+=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(1)240k x kbx b +++-=，222244(1)(4)0k b k b ∆=-+->，即2244b k <+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12221kb x x k +=-+，212241b x x k -=+，所以2121222()221k b y y k x x b b k +=++=-++221b k =+，2212121212()()()y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++2222222(4)211k b k b b k k -=-+++22241b k k -=+，所以||||PA PB ⋅22221122(2)(2)4x y x y =+-⋅+-=，所以222211224(2)4(2)16y y y y ⎡⎤⎡⎤-+-⋅-+-=⎣⎦⎣⎦，所以12(84)(84)16y y --=，所以12(2)(2)1y y --=，所以12122()30y y y y -++=，所以2222443011b k b k k --+=++，即2243k b b =-+，所以点(0,2)P 到直线y kx b =+的距离为2|2|1b k -++2|2|431b b b -=-++2|2|1(2)b b -==-，所以直线y kx b =+与以(0,2)P 为圆心，1为半径的圆相切，所以存在一个定圆22:(2)1M x y +-=，使得直线l 与圆22:(2)1M x y +-=相切.。
高二数学下学期入学考试试题含解析试题
智才艺州攀枝花市创界学校雅礼二零二零—二零二壹高二数学下学期入学考试试题〔含解析〕时量：120分钟分值：150分一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.421i z i+=+〔i 为虚数单位〕，那么复数z 在复平面内对应的点位于〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简出3322zi =-，即可得出对应点，便可得所在象限. 【详解】解：∵41i =，∴复数()()()31213311122i zi i i i -+===-++-， 即3322z i =-，那么对应点坐标为33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限. 应选：D.【点睛】此题考察复数的除法运算，复数的代数表示法及其几何意义，属于根底题.2.小敏翻开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,M I N ，中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，那么小敏输入一次密码可以成功开机的概率是 A.815B.18C.115D.130【解析】 试题分析：开机密码的可能有(,1),(,2),(,3),(,4),(,5),(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)M M M M M I I I I I ，(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)N N N N N ，一共15种可能，所以小敏输入一次密码可以成功开机的概率是115，应选C ． 【考点】古典概型【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的根本领件只有有限个；②每个根本领件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式()mP A n=〔其中n 是根本领件的总数，m 是事件A 包含的根本领件的个数〕得出的结果才是正确的． 3()2f x x ax a =-+在(0,1)内有极小值，那么实数a 的取值范围为〔〕A.(0,3)B.(,3)-∞C.(0,)+∞D.【答案】D 【解析】试题分析：对于函数，求导可得，∵函数在〔0，1〕内有极小值，∴，那么其有一根在〔0，1〕内，a ＞0时，3x 2-2a=0两根为±，假设有一根在〔0，1〕内，那么0＜＜1，即0＜a ＜．a=0时，3x 2-3a=0两根相等，均为0，f 〔x 〕在〔0，1〕内无极小值．a ＜0时，3x 2-3a=0无根，f 〔x 〕在〔0，1〕内无极小值，综合可得，0＜a ＜．考点：考察利用导数研究函数的极值问题，表达了转化的思想方法． 4.2:0p x x -<p 的一个必要不充分条件是〔〕A.01x <<B.11x -<<C.1223x << D.122x <<【解析】【详解】解:p ：x 2－x <0的充要条件为0<x<1,那么比该集合大的集合都是符合题意的，所以选择B 5.在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有() A.512个 B.192个 C.240个 D.108个【答案】D 【解析】试题分析：由于能被5整除的数，其个位必为0或者5，由此分两类：第一类：个位为0的，有个；第二类：个位为5的，再分两小类：第1小类：不含0的，有个，第2小类：含0的，有个，从而第二类一共有48个；故在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有60+48=108个，应选D ． 考点：排列组合．()22cos f x x x =+，假设()f x '是()f x 的导函数，那么函数()f x '的图象大致是〔〕A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择. 【详解】()()()22cos 22sin 22cos 0f x x x f x x x f x x '''=+∴=-∴=-≥因此当0x=时，()0f x '=；当0x >时，()()00f x f ''>=；当0x <时，()()00f x f ''<=；应选：A【点睛】此题考察利用导数研究函数单调性以及零点，考察根本分析判断才能，属中档题.M 的焦点12,F F 在x 轴上，直线730x y +=是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且120PF PF ⋅=，假设抛物线216y x =的准线经过双曲线M 的一个焦点，那么12||||PF PF ⋅=〔〕A.21B.14C.7D.0【答案】B 【解析】试题分析：因为双曲线M 的焦点12,F F 在x 轴上，所以设双曲线方程为，因为抛物线的准线过双曲线的焦点，且一条渐近线方程为730x y +=，所以，解得；因为点P 在双曲线M 上，且120PF PF ⋅=，所以，解得；应选B ．考点：1.双曲线的定义和几何性质；2.抛物线的几何性质．8.有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1，2，3，4，5，6，比赛结果设特等奖一名，A ，B ，C ，D四名同学对于谁获得特等奖进展预测.A 说：不是1号就是2号获得特等奖；B 说：3号不可能获得特等奖；C 说：4，5，6号不可能获得特等奖；D 说：能获得特等奖的是4，5，6号中的一个.公布的比赛结果说明，A ，B ，C ，D 中只有一个判断正确.根据以上信息，获得特等奖的是〔〕号同学.A.1B.2C.3D.4，5，6号中的一个 【答案】C 【解析】 【分析】因为只有一人猜对，而C ，D 互相否认，故C ，D 中一人猜对，再分类讨论，综合分析即可得出结论. 【详解】解：因为C ，D 互相否认，故C ，D 中一人猜对，假设D 对，那么B 也对与题干矛盾，故D 错，猜对者一定是C ，于是B 一定猜错，A 也错，那么获得特等奖的是：3号同学. 应选：C.【点睛】此题考察合情推理的应用，同时考察推理才能、分析和解决问题的才能，属于根底题.9.ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，假设ABC 的面积为2224a b c +-，那么C =A.π2B.π3C.π4D.π6【答案】C 【解析】分析：利用面积公式12ABCSabsinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进展计算可得． 详解：由题可知222124ABCa b c SabsinC +-==所以2222absinC a b c +-=由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC =应选C.点睛：此题主要考察解三角形，考察了三角形的面积公式和余弦定理．()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()''0f x g x f x g x ->，且()03g =，那么不等式()()0f x g x <的解集是〔〕A.()()3,03,-⋃+∞B.()()3,00,3-C.()(),33,-∞-+∞D.()(),30,3-∞-【答案】A 【解析】 【分析】构造函数()()()g x Fx f x =，根据条件，可判断出()Fx 的奇偶性和单调性，且()()330F F =-=，将求不等式()()0f x g x <的解集，转化成求()0F x <的解集，即可得出答案.【详解】解：根据题意，设函数()()()g x Fx f x =，由于当0x <时，()()()()''0f x g x f x g x ->，即：()()()()''0g x f x g x f x -<所以()()()()()()2'0'g x f x g x f F x f x x '=<⎡⎤⎣⎦-，那么()F x 在(),0-∞上为减函数，因为()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，那么()()()()()()g x g x Fx F x f x f x -===---，所以()Fx 在R 上为奇函数，那么()F x 在()0,+∞上也为减函数，由于()03g=，所以()()()3303g F f ==，即()30F=，()30F -=，因为()()()()()()()22g x f x g x f x f x F x f x =⋅=⋅， 要求不等式()()0f x g x <，即求()0F x <，解得：30x -<<或者3x >，那么不等式()()0f x g x <的解集为：()()3,03,-⋃+∞.应选：A.【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性，结合运用函数的奇偶性解不等式，还考察构造函数的思想及等价转化思想，属于中档题.11.某公司消费某种产品，固定本钱为20000元，每消费一单位产品，本钱增加100元，总收益R 与产量x 的关系式为R(x)=21400x ,0400,{?280000,400,x x x -≤≤>那么总利润最大时，每年消费的产品是() A.100单位 B.150单位C.200单位D.300单位【答案】D 【解析】 【分析】利用总收益与本钱的差可得总利润关于x 的解析式，利用分段函数的性质，分别求出两段函数的最值，从而可得结果.【详解】设总本钱为C 元，总利润为P 元，那么C=20000+100x ，P=R-C=2x 30020000,0400,{260000100,400,x x x x --≤≤->所以P′=300,0400,{100,400,x x x -≤≤-> 令P′=0，得x=300．当0<x<300时，P′>0；当x>300时，P′<0．所以当x=300时，P 获得最大值，应选D ． 【点睛】此题考察的是函数模型的应用．解决函数模型应用的解答题，要注意以下几点：①读懂实际背景，将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆要准确．③在求解的过程中计算要正确．另外需要纯熟掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．假设3AF FB =，那么k =A.1D.2【答案】B 【解析】因为c e a ==c =，从而22224a b a c =-=，那么椭圆方程为222241x y a a+=．依题意可得直线方程为()y k x =-，联立2222()2{41y k x a x y a a =-+=可得22222(14)(31)0k x ax k a +-+-=设,A B 坐标分别为1122(,),(,)x y x y，那么2212122(31)14k ax x x x k-+==+ 因为3AF FB =，所以1122(,)3(,)22a x y x a y --=-，从而有123x x +=① 再由3AF FB =可得3AF FB =，根据椭圆第二定义可得12()3()2323a x x -=⋅-，即2133x x a -=②由①②可得12,39x a x a ==，所以2221225(31)914k a x x a k -⋅==+，那么22(31)5149k k -=+，解得k =0k >，所以k =B二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在对应题号后的横线上.221x y -=的离心率为【答案】2【解析】思路分析：由题可得，故离心率考点：此题考察双曲线离心率的计算.点评：简单题，知道离心率的计算公式即可解答. 14.如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，90PAD ∠=︒，且2PA AD ==，E ，F分别是线段PA ，CD 的中点，那么异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为______.【答案】36【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，求出()1,2,1EF =-，()2,2,0BD =-，再利用向量法求异面直线的夹角公式求出结果. 【详解】以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如下列图空间直角坐标系Axyz ，那么()0,0,1E ，()1,2,0F ，()2,0,0B ，()0,2,0D .()1,2,1EF =-，()2,2,0BD =-，故243cos,62243EF BD EF BD EF BD⋅-+====⨯⋅. 故答案为：36.【点睛】此题考察利用空间向量法求异面直线的夹角，属于根底题.15.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有______种不同的站法. 【答案】24【解析】 【分析】利用捆绑法，将甲和乙捆绑排列，再把甲乙当成一个整体与戊排列，再利用插空法将丙丁插入3个空位中，便可算出结果.【详解】解：由题知，5名同学站成一排， 要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻， 故有22222324A A A =〔种〕不同的方法.故答案为：24.【点睛】此题考察排列的应用，利用捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题，属于中档题.211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，那么a =________【答案】12【解析】 【分析】 令1t x =-，得到()f t 的解析式，判断出()f t 是偶函数，从而得到()f x 的图像关于1x =成轴对称，根据函数()f x 有唯一零点，得到()10f =，从而得到a 的方程，解出a 的值. 【详解】()()()()221111211x x x x f x x x a e e x a e e --+--+=-++=--++设1t x =-，那么()()21t t f t t a e e -=-++定义域为R ， 所以()f t 为偶函数，所以()f x 的图像关于1x =成轴对称 要使()f x 有唯一零点，那么只能()10f =，即()2001210a e e -⨯++= 解得12a=， 故答案为：12.【点睛】此题考察判断函数奇偶性，根据函数的零点求参数的值，属于中档题.三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.{}n a 中,11a =,且2a 是1a 和31a -的等差中项.〔1〕求数列{}n a 的通项公式;〔2〕假设数列{}n b 满足()*21n n b n a n N =-+∈,求{}n b 的前n 项和n S .【答案】(1)12nn a (2)nS 221n n =+-【解析】 【分析】(1)由题意结合等差数列的性质得到关于公比的方程，解方程求得公比的值，然后结合首项求解数列的通项公式即可.(2)结合(1)的结果首先确定数列{}n b 的通项公式，然后分组求和即可求得数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,那么2a q =,23a q =,∵2a 是1a 和31a -的等差中项,∴()21321a a a =+-,即()2211q q =+-, 解得2q =,∴12n n a -=.(2)121212n nn b n a n -=-+=-+,那么()()11321122n nS n -⎡⎤=+++-++++⎣⎦()12112212n n n ⎡⎤+--⎣⎦=+-. 221n n =+-.【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于假设干个等差或者等比数列的和或者差数列的求和．()()22sin cos cos x x f x x x R x --∈=.〔1〕求23f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值. 〔2〕求()f x 的单调递增区间.【答案】〔1〕223f π⎛⎫= ⎪⎝⎭〔2〕2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】〔1〕()f x 的解析式，代入23x π=，直接算出23f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； 〔2〕利用二倍角公式和辅助角公式化简得()2sin 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的单调性，即可求出()f x 的单调递增区间.【详解】解：〔1〕由2sin3π=21cos 32π=-， 222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即：223f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.〔2〕由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos 222sin 26x x f x x π⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭，由正弦函数的性质得3222262k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈， 解得263k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】此题考察正弦型函数的单调性，还运用二倍角正弦和余弦公式、辅助角公式、特殊角的三角函数值化简求值，属于根底题.19.HY 道路交通平安法第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线〞HY 道路交通平安法第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款505个月内驾驶员不“礼让斑马线〞行为统计数据：〔1〕请利用所给数据求不“礼让斑马线〞驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，并预测该路口9月份的不“礼让斑马线〞驾驶员人数；〔2〕假设从表中1月份和4月份的不“礼让斑马线〞驾驶员中，采用分层抽样方法抽取一个容量为7的样本，再从这7人中任选2人进展交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率.参考公式：()()()1122211ˆn ni iiii i nniii i x y nx y x x y y bxnx x x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-. 参考数据：511415i ii x y==∑.【答案】〔1〕8.5125.5y x =-+，49人；〔2〕37. 【解析】 【分析】(1)先求得3x =,100y =,再代入公式计算即可.(2)利用枚举法将根本领件全部列出再求概率即可. 【详解】〔1〕由表中数据知,3x =,100y =, 122114151500ˆ8.55545ni ii nii x y nx ybxnx ==--===---∑∑,ˆˆ125.5a y bx =-=, ∴所求回归直线方程为8.5125.5y x =-+.令9x=,那么8.591ˆ25.549y=-⨯+=人. 〔2〕由可得：1月份应抽取4位驾驶员,设其编号分别为1a ,2a ,3a ,4a ,4月份应抽取3位驾驶员,设其编号分别为1b ,2b ,3b ,从这7人中任选2人包含以下根本领件,()12,a a ,()13,a a ,()14,a a ,()11,a b ,()12,a b ,()13,a b ,()23,a a ,()24,a a ,()21,a b ,()22,a b ,()23,a b ,()34,a a ,()31,a b ,()32,a b ,()33,a b ,()41,a b ,()42,a b ,()43,a b ,()12,b b ,()13,b b ,()23,b b 一共21个根本领件；设“抽到的两人恰好来自同一月份〞为事件A ,那么事件A 包含的根本领件是()12,a a ,()13,a a ,()14,a a ,()23,a a ,()24,a a ,()34,a a ,()12,b b ,()13,b b ,()23,b b ,一共有9个根本领件,()93217P A ==. 【点睛】此题主要考察了线性回归方程的求解与古典概型求解概率的方法.属于根底题. 20.如图，在边长为4的菱形ABCD 中,60DAB ∠=，点,E F 分别是,CD CB 的中点，AC EF O ⋂=，沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆，连接,,PA PB PD ，得到如图的五棱锥P ABFED -，且PB =〔1〕求证：BD ⊥平面POA 〔2〕求二面角--B AP O 的余弦值.【答案】〔1〕见解析〔2〕3913， 【解析】试题分析：〔1〕先证明//,,BD EF BD AC EF AC ⊥⊥，从而,EF AO EF PO ⊥⊥，根据线面垂直的断定定理可证明BD ⊥平面POA ；〔2〕设AO BD H ⋂=，连接BO ，由〔1〕可得EF PO ⊥，根据勾股定理可得BO PO ⊥,根据线面垂直的断定定理可得PO ⊥平面BFED ，以O 为原点，OF 在直线为x 轴，AO 所在直线y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，分别求出平面BAP 与平面APO 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：〔1〕点分别是的中点菱形的对角线互相垂直〔2〕设，连接ABD ∴∆为等边三角形，，在中，在中，，BO ⊂平面BFED以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，那么设平面PAB 的法向量为，由,n AP n AB ⊥⊥得令得3,3z x =-=-∴平面PAB 的一个法向量为()3,1,3n =--，由〔1〕知平面PAO 的一个法向量为，设求二面角B AP O --的平面角为θ，那么2cos cos ,13||n BH n BHn BH θ⋅====⋅ ∴二面角B AP O --的余弦值为13【方法点晴】此题主要考察线面垂直的断定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：〔1〕观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；〔2〕写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；〔3〕设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；〔4〕将空间位置关系转化为向量关系；〔5〕根据定理结论求出相应的角和间隔.21.如下列图，在直角坐标系xOy 中，点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭到抛物线C ：()220y px p =>的准线的间隔为54.点(),1Mt 是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点(),Q m n 在直线OM 上.〔1〕求曲线C 的方程及点M 的坐标；〔2〕记()dm =，求弦长AB 〔用m 表示〕；并求d 的最大值.【答案】〔1〕2y x =.()1,1M .〔2〕A B=d 的最大值为1.【解析】 【分析】〔1〕根据抛物线的定义，求出12p =，即可得出抛物线的方程，便得出点M 的坐标； 〔2〕由点()1,1M，得出(),Q m m ，利用点差法求出直线AB 的斜率，得出直线AB 的方程为()12y m x m m-=-，直线方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式求出弦长AB ，通过根本不等式求得d 的最大值. 【详解】解：〔1〕()220y px p =>的准线为2p x =-， ∴5124p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴12p =， ∴抛物线C 的方程为2y x =.又点(),1M t 在曲线C 上，∴1t =.故()1,1M.〔2〕由〔1〕知，点()1,1M ，从而nm =，即点(),Q m m ，依题意，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 的斜率为()0k k ≠，且()11,A x y ，()22,B x y ，由211222y x y x ⎧=⎨=⎩，得()()121212y y y y x x -+=-，故21k m ⋅=， 所以直线AB 的方程为()12y m x m m-=-， 即2220x my m m -+-=.由22220x my m m y x⎧-+-=⎨=⎩，消去x ， 整理得22220y my m m -+-=，所以2440m m ∆=->，122y y m +=，2122y y m m =-.从而12A y B y =-∴()11d m m ==≤+-=，当且仅当1m m =-，即12m =时，上式等号成立， 又12m=满足2440m m ∆=->. ∴d 的最大值为1.【点睛】此题考察利用定义法求抛物线的HY 方程和直线与抛物线的位置关系，还运用点差法、联立方程组、韦达定理以及弦长公式，还利用根本不等式求出最值，同时考察解题才能和计算才能.()(2)(1)2ln f x a x x =---，1()x g x xe -=，〔,a R e ∈为自然对数的底数〕.〔1〕假设不等式()0f x >对于一切1(0,)2x ∈恒成立，求a 的最小值；〔2〕假设对任意的0(0,]x e ∈，在(0,]e 上总存在两个不同的i x (1,2)i =，使0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围.【答案】〔1〕24ln 2-〔2〕3(,2]1a e ∈-∞-- 【解析】【详解】〔1〕由题意得(2)(1)2ln 0a x x--->在1(0,)2恒成立，即2ln 21x a x >--在1(0,)2恒成立.令2ln 1()2,(0,)12x h x x x =-∈-，那么222ln 21(),(0,)(1)2x x h x x x +∈'-=- 设21()2ln 2,(0,)2x x x x ϕ=+-∈，那么222()0x x x ϕ'=-< 所以11()()2ln 20,()022x h x ϕϕ>=+>>'，因此1()()24ln 2,24ln 22h x h a <=-≥-即a 的最小值为24ln 2- (2)1()(1)x g x x e -=-'，所以1()x g x xe -=在(0,1)递增，在(1,)e 递减，由2(0)0,(1)1,()(0,1)e g g g e e -===∈得1()x g x xe -=在(0,]e 上值域为(0,1]因为(2)2()a x f x x --'=，所以2a ≥时()f x 在(0,]e 上单调递减，222a e-≤<时()f x 在(0,]e 上单调递减，不合题意，因此22a e <-，此时()f x 在2(0,)2a-上单调递减，在2(,)2e a -上单调递增，令22()()2ln ,()222am a f a m a a a a-==-'=---，即()m a 在(,0)-∞上单调递增，在2(0,2)e-上单调递减，max ()(0)0,m a m ≤=∴欲使对任意的0(0,]x e ∈上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使0()()i f x g x =成立，那么需满足()1f e ≥，即321a e ≤--， 又∵2322(2)01(1)e e e e e +---=>--，∴23221e e ->--，∴321a e ≤--， 综上所述，3(,2]1a e ∈-∞--.1 考点：不等式恒成立问题，利用导数求存在性问题【名师点睛】利用导数确定三次式、分式、以e 为底的指数式、对数式及三角式方程根的个数或者函数零点的方法〔1〕构建函数g 〔x 〕〔要求g′〔x 〕易求,g′〔x 〕=0可解〕,转化为确定g 〔x 〕的零点个数问题求解,利用导数研究函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号〔或者变化趋势〕等,画出g 〔x 〕的图像草图,数形结合求解.〔2〕利用零点存在性定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值〔最值〕及区间端点值的符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.。
高二数学下学期入学考试试题含解析 试题
明德中学2021-2021学年高二数学下学期入学考试试题〔含解析〕制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
一、选择题〔本大题12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕{}{}2|30|31x A x x x B x =-=>，，那么A B =〔 〕 A. [0]3，B. [1]3，C. (13]，D. (03]，【答案】D 【解析】 【分析】求出A 中不等式的解集确定出A ，找出A 与B 的交集即可． 【详解】A ＝{x |x 2﹣3x ≤0}＝[]0,3，B ＝{x |0x >}＝()0,∞+∴A ∩B ＝(03]，应选D ．【点睛】此题考察了交集及其运算，纯熟掌握交集的定义是解此题的关键．2.某工厂在12月份一共消费了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进展抽取，假设从一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，那么第二车间消费的产品数为( ) A. 800 B. 1 000C. 1 200D. 1 500【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质建立条件关系，利用分层抽样的定义即可得到结论．【详解】因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间消费的产品数占12月份消费总数的三分之一，即为1 200双皮靴． 应选：C.【点睛】此题主要考察分层抽样的定义和方法，等差数列的定义和性质，属于根底题． (2a+5)x+(a －2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y －1=0互相垂直，那么a 的值等于〔 〕 A. 2 B. －2C. 2,－2D. 2,0,－2【答案】C 【解析】(2a ＋5)(2－a )＋(a －2)(a ＋3)＝0，所以a ＝2或者a ＝－2.f 〔x 〕21sinxx =+的图象大致为〔 〕 A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的特征，利用奇偶性判断，再利用特殊值取舍. 【详解】因为f 〔-x 〕()()21sin x x -=-+= -f 〔x 〕，所以f 〔x 〕是奇函数，排除B ，C又因为2212021122sinf ππππ⎛⎫==> ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除D 应选：A【点睛】此题主要考察了函数的图象，还考察了理解辨析的才能，属于根底题. 5.2π＜β＜α34＜π，假设cos 〔α﹣β〕1213=，sin 〔α+β〕35=-，那么sin2β＝〔 〕 A. 13B. 13-C. 5665D. 1665-【答案】D 【解析】 【分析】根据2π＜β＜α34＜π，确定04παβ<-<，32ππαβ<+<，再由cos 〔α﹣β〕1213=，sin 〔α+β〕35=-，求得()()54sin 135αβαβ-=+=-，cos ，然后利用角的变换求解.【详解】因为2π＜β＜α34＜π，所以342ππβ-<-<-， 所以04παβ<-<，32ππαβ<+<， 又因为cos 〔α﹣β〕1213=，sin 〔α+β〕35=-，所以()()54sin 135αβαβ-=+=-，cos ， 那么sin2β()()()()()()16sin[]sin cos cos sin 65αβαβαβαβαβαβ=+--=+--+-=-. 应选：D【点睛】此题主要考察了两角和与差的三角函数，还考察了运算求解的才能，属于根底题.A BCD -的所有棱长都相等，,M N 别是棱,AD BC 的中点，那么异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.13B.24C.33D.23【答案】D 【解析】取DN 的中点O ，连接,MO BO ，因为三棱锥A BCD -的所有棱长都相等，,M N 分别是棱,AD BC 的中点， 所以//MO AN ，所以BMO ∠是异面直线BM 与AN 所成的角， 设三棱锥A BCD -的所有棱长为2，那么22213AM BM DN ===-=，131222MO AN NO DN ====， 所以222373244cos 233232BM MO BO BMO BM OM +-+-∠===⨯⨯⨯，所以异面BM 与AN 所成的角的余弦值为23．点睛：此题考察了空间中两条异面直线所成角的求解，其中解答中把两异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角是解答的关键，对于空间中两条异面直线所成的角的求解，通常把两条异面直线所成的角平移转化为两条相交直线所成的角，再看出三角形的内角，利用正、余弦定理求解，着重考察了学生的推理与运算才能和空间想象才能．7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1＞0，公差d ＜0，a 10⋅S 21＜0，那么S n 最大时，n 的值是〔 〕 A. 11 B. 10C. 9D. 8【答案】B 【解析】 【分析】根据数列{a n }是等差数列，利用性质有()121112111212122122a a a S a +⨯===，再根据，a 10⋅S 21＜0，确定10110,0a a ><再求解.【详解】因为数列{a n }是等差数列，所以()121112111212122122a a a S a +⨯===，因为首项a 1＞0，公差d ＜0，a 10⋅S 21＜0， 所以10110,0a a ><， 所以1011S S >. 所以n 的值是10. 应选：B【点睛】此题主要考察了等差数列的性质，还考察了运算求解的才能，属于根底题. △ABC 中，12,33AD AC BP BD ==，假设AP AB AC λμ=+，那么λ+μ＝〔 〕 A.29B. 23C. 59D. 37【答案】C 【解析】 【分析】 在△ABC 中，根据12,33AD AC BP BD ==，有()22123339AP AB BP AB BD AB AD AB AB AC =+=+=+-=+，再由AP AB AC λμ=+，利用待定系数法求解.【详解】在△ABC 中，因为12,33AD AC BP BD ==， 所以()22123339AP AB BP AB BD AB AD AB AB AC =+=+=+-=+， 又因为AP AB AC λμ=+， 所以1239λμ==，， 所以λ+μ＝59. 应选：C【点睛】此题主要考察了平面向量的根本定理，还考察了运算求解的才能，属于根底题.()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为〔 〕A.53π B. 2πC.76π D. π【答案】B 【解析】 【分析】根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可.【详解】令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或者1sin 2x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-或者32x π=或者6x π=或者56x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522266s πππππ=-+++=，应选B.【点睛】此题主要考察三角函数的图象及给值求角，侧重考察数学建模和数学运算的核心素养. 10.a ＞0，b ＞0且21a b+=2，那么3a +b 的最小值为〔 〕A. 12C. 15【答案】B【解析】 【分析】由a ＞0，b ＞0且21a b +=2，利用“1〞的代换，将3a +b 转化为12372b a a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭利用根本不式求解. 【详解】a ＞0，b ＞0且21a b+=2，那么3a +b=〔3a +b 〕1212a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=(12317722b a a b ⎛⎫++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当23b a a b =且21a b +=2，即1a b =+=所以3a +b . 应选：B【点睛】此题主要考察了根本不等式求最值，还考察了运算求解的才能，属于根底题.{}n a 对任意2()n n N ≥∈满足()()11220n n n n a a a a -----=，下面给出关于数列{}n a 的四个命题：①{}n a 可以是等差数列，②{}n a 可以是等比数列；③{}n a 可以既是等差又是等比数列；④{}n a 可以既不是等差又不是等比数列；那么上述命题中，正确的个数为〔 〕 A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】 【分析】由可得a n ﹣a n ﹣1＝2，或者a n ＝2a n ﹣1，结合等差数列和等比数列的定义，可得答案．【详解】∵数列{a n }对任意n≥2〔n∈N〕满足〔a n ﹣a n ﹣1﹣2〕〔a n ﹣2a n ﹣1〕＝0，∴a n ﹣a n ﹣1＝2，或者a n ＝2a n ﹣1，∴①{a n }可以是公差为2的等差数列，正确； ②{a n }可以是公比为2的等比数列，正确；③假设{a n }既是等差又是等比数列，即此时公差为0，公比为1，由①②得，③错误； ④由 〔a n ﹣a n ﹣1﹣2〕〔a n ﹣2a n ﹣1〕＝0， a n ﹣a n ﹣1＝2或者a n ＝2a n ﹣1， 当数列为：1，3，6，8，16……得{an}既不是等差也不是等比数列，故④正确； 应选C ．【点睛】此题以命题的真假判断与应用为载体，考察了等差，等比数列的相关内容，属于中档题.R 上的函数()[)[)222,0,12,1,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=,假设方程()20f x kx --=有三个不相等的实数根，那么实数k 的取值范围是〔 〕A. 1,13⎛⎫⎪⎝⎭B. 11,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 111,,133⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 1111,,3443⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由()()2f x f x +=可得函数周期为2，结合函数在[]1,1-上的解析式，利用周期作出()f x 的函数图象,根据()y f x =和2y kx =+图象交点个数判断k 的范围.【详解】方程()20f x kx --=有三个不相等的实数根， 等价于()y f x =和2y kx =+图象有三个不同交点， 因为()()2f x f x +=,所以()f x 的周期为2，由函数()[)[)222,0,12,1,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，利用周期性作出()f x 的函数图象，如下图: 不妨设0,k >当直线2y kx =+过()()3,1,1,1--时，k 的值分别为13与1， 由图可知，113k <<时直线2y kx =+与()f x 的图象有三个交点， 113k ∴<<时, 方程()20f x kx --=有三个不相等的实数根, 同理,假设k 0<,可得113k -<<-时，方程()20f x kx --=有三个不相等的实数根,所以实数k 的取值范围是111,,133⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，应选C.【点睛】此题主要考察函数的周期与函数图象的应用，考察了函数零点与方程根的关系，同时考察了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.x ，y 满足210020x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，那么目的函数2z x y =+的最大值为________.【答案】3 【解析】 【分析】根据约束条件得到可行域，将问题转化为求解2y x z =-+在y 轴截距的最大值，由图象平移可知当直线过()1,1B 点时，z 最大，代入求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下列图阴影局部所示：那么求2z x y =+的最大值等价于求解直线2y x z =-+在y 轴截距的最大值 由2y x =-平移可知，当2y x z =-+过点B 时，在y 轴截距最大由020x y x y -=⎧⎨+-=⎩得：()1,1B max 213z ∴=+=此题正确结果：3【点睛】此题考察利用线性规划的知识求解最大值的问题，关键是可以将问题转化为求解直线在y 轴截距最大值的问题，属于常规题型. 14.是半径为的圆周上一个定点，在圆周上等可能任取一点，连接，那么弦的长度超过的概率是 ；【答案】【解析】【详解】试题分析：如下图，半径为的圆中，MPQ∆是正三角形，其边长为3R .显然，当点落在弧PQ上时，弦的长度超过.所以弦的长度超过的概率是21323RRππ=．考点：1、几何概型；2、正三角形的性质；3、圆的性质．15.如图，在平行四边形ABCD中，AB ＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，那么EF FG GH HE⋅+⋅等于_____．【答案】3 2【解析】【分析】在平行四边形ABCD中，取HF的中点O，根据相等向量和向量的加法运算法那么及数量积运算求解. 【详解】如图：在平行四边形ABCD 中，取HF 的中点O ，那么()()22213124EF FG EF EH EO OF EO OH EO OH ⎛⎫⋅=⋅=+⋅+=-=-= ⎪⎝⎭，()()22213124GH HE GH GF GO OH GO OF GO OH ⎛⎫⋅=⋅=+⋅+==-=-= ⎪⎝⎭，那么32EF FG GH HE ⋅+⋅=. 故答案为：32【点睛】此题主要考察了平面向量的概念及其运算，还考察了运算求解的才能，属于根底题.f 〔x 〕＝a sin2x +b cos2x 〔a ，b ∈R ，ab ≠0〕，假设f 〔x 〕3f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，给出以下结论：①012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； ②5111212f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ③f 〔x 〕的单调递增区间是()536k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，； ④函数y ＝f 〔x 〕既不是奇函数也不是偶函数；⑤存在经过点〔a ，b 〕的直线与函数f 〔x 〕的图象不相交，其中正确结论为_____ 【答案】①②④ 【解析】【分析】先转化f 〔x 〕＝a sin2x +b cos2x ()2x ϕ=+，根据f 〔x 〕3f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，得到3f π⎛⎫⎪⎝⎭是f 〔x 〕的最大值或者最小值，且f 〔x 〕的周期为π， ①由3124πππ-=相差四分之一个周期，由相邻最值点和零点间的关系判断.②利用轴对称判断，是否关于3x π=对称.③根据3f π⎛⎫⎪⎝⎭是f 〔x 〕的最大值或者最小值结合单调性判断.④由f 〔x 〕2x =是奇函数，f 〔x 〕x =是偶函数，判断.⑤根据三角函数的定义域和值域判断.【详解】设f 〔x 〕＝a sin2x +b cos2x ()2x ϕ=+，因为f 〔x 〕3f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立， 所以3f π⎛⎫⎪⎝⎭是f 〔x 〕的最大值或者最小值. 又因为f 〔x 〕的周期为π，①3124πππ-=为四分之一个周期，所以012f π⎛⎫=⎪⎝⎭，故正确. ②因为1511212123πππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，关于3x π=对称，所以5111212f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确.③假设3f π⎛⎫⎪⎝⎭是f 〔x 〕的最大值，那么()536k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，；f 〔x 〕的单调递减区间，故错误.④由01266f πππϕϕπ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，=k ，所以函数不可能转化为f 〔x 〕2x =或者f 〔x 〕x =的形式，所以函数y ＝f 〔x 〕既不是奇函数也不是偶函数，故正确.⑤假设存在经过点〔a ，b 〕的直线与函数f 〔x 〕的图象不相交，那么直线与横轴平行且22b a b >+，不成立，故错误.【点睛】此题主要考察了三角函数的图象和性质，还考察了数形结合的思想和运算求解的才能，属于中档题.三、解答题：〔一共六题，满分是70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕17.茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学单位时间是内引体向上的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．〔1〕假如X ＝8，求乙组同学单位时间是内引体向上次数的平均数和方差；〔2〕假如X ＝9，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学单位时间是内引体向上次数和为19的概率．【答案】〔1〕8.75x =，s 21116=；〔2〕14【解析】 【分析】〔1〕根据数据，利用平均数和方差的公式求解.〔2〕先明确是古典概型，用列举法将总的根本领件数列出，再找出所研究事件的根本领件的个数，代入古典概型概率公式求解.【详解】〔1〕X ＝8时，乙组数据分别为8，8，9，10；计算这组数据的平均数为14x =⨯〔8+8+9+10〕＝8.75，方差为s 214=⨯[2×〔8﹣8.75〕2+〔9﹣8.75〕2+〔10﹣8.75〕2]1116=；〔2〕记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们投篮命中次数依次为9，9，11，11； 乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们投篮命中次数依次为：9，8，9，10； 分别从而甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，他们是： 〔A 1，B 1〕，〔A 1，B 2〕，〔A 1，B 3〕，〔A 1，B 4〕，〔A 2，B 1〕，〔A 2，B 2〕，〔A 2，B 3〕，〔A 2，B 4〕， 〔A 3，B 1〕，〔A 3，B 2〕，〔A 3，B 3〕，〔A 3，B 4〕，〔A 1，B 1〕，〔A 2，B 2〕，〔A 3，B 3〕，〔A 4，B 4〕，用C 表示：“选出的两名同学的投篮命中次数和为19〞这一件事，那么C 中的结果有4个，他们是：〔A 1，B 1〕，〔A 2，B 4〕，〔A 3，B 2〕，〔A 4，B 2〕，故所求概率为P 〔C 〕41164==． 【点睛】此题主要考察了茎叶图和古典概型的概率，还考察了数据处理和运算求解的才能，属于中档题.18.数列{a n }满足11a =，且()1222,n n n a a n n N *-=+≥∈．(1)求证：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】(1) a n ＝(2n －1)2n －1;(2) S n ＝(2n －3)2n＋3.【解析】 【分析】〔1〕根据等差数列的定义，判断数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并写出它的通项公式以及{a n }的通项公式；〔2〕根据数列{a n }的前n 项和定义，利用错位相减法求出S n ； 【详解】(1)证明：因为a n ＝2a n －1＋2n ，所以＝＝＋1，即－＝1，所以数列是等差数列，且公差d ＝1，其首项＝，所以＝＋(n －1)×1＝n －，解得a n ＝×2n ＝(2n －1)2n －1.(2)S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，①2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，② ①－②，得－S n ＝1×20＋2×21＋2×22＋…＋2×2n －1－(2n －1)2n＝1＋－(2n －1)2n ＝(3－2n )2n －3.所以S n ＝(2n －3)2n＋3.【点睛】此题考察了等差与等比数列的定义、通项公式与前n 项和公式的应用问题，也考察了错位相减法求数列的个项和的问题，是综合性题目．△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b cos 〔A 2π-〕3+sin 〔B 32π+〕＝0，且sin A ，sin B ，2sin C 成等比数列． 〔1〕求角B ；〔2〕假设a +c ＝λb 〔λ∈R 〕，求λ的值．【答案】〔1〕B 3π=；〔2〕λ10=【解析】 【分析】〔1〕根据b cos 〔A 2π-〕3sin 〔B 32π+〕＝0，由诱导公式化简b sin A 3a cos B ＝0，再由正弦定理可得：sin B sin A 3=A cos B 再消去sin A ＞0求解.〔2〕根据sin A ，sin B ，2sin C 成等比数列．得到sin 2B ＝2sin A sin C ，再由正弦定理转化为边有b 2＝2ac ，然后结合B 3π=，由余弦定理求解.【详解】〔1〕∵b cos 〔A 2π-〕3sin 〔B 32π+〕＝0， ∴b sin A 3-cos B ＝0，∴由正弦定理可得：sin B sin A 3=sin A cos B ， 由sin A ＞0，可得：sin B 3=cos B ， 即tan B 3=， ∵B ∈〔0，π〕， ∴B 3π=．〔2〕∵sin A ，sin B ，2sin C 成等比数列． ∴sin 2B ＝2sin A sin C ， 由正弦定理可得：b 2＝2ac ， ∵B 3π=，由余弦定理可得：b 2＝a 2+c 2﹣ac ＝〔a +c 〕2﹣3ac ，∴解得：〔a +c 〕2＝5ac ， ∵a +c ＝λb 〔λ∈R 〕， ∴〔λb 〕2＝5ac ，解得：λ2b 2＝2ac λ2＝5ac ，解得：λ102=． 【点睛】此题主要考察了正弦定理和余弦定理的应用，还考察了运算求解的才能，属于中档题. 20.如图，在四校锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，边长为4的正△PAD 所在平面与平面ABCD 垂直，点E 是AD 的中点，点Q 是侧棱PC 的中点．〔1〕求四棱锥P ﹣ABCD 的体积；〔2〕求证：PA ∥平面BDQ ；〔3〕在线段AB 上是否存在点F ，使直线PF 与平面PAD 所成的角为30°？假设存在，求出AF 的长，假设不存在，请说明理由？【答案】〔1〕16；〔2〕见解析；〔3〕存在，AF 3312-=【解析】 【分析】〔1〕根据底面ABCD 是菱形，且∠BAD ＝60°，边长为4，求面积，再由正△PAD 所在平面与平面ABCD 垂直，PE AD ⊥，得到PE ⊥平面ABCD ，PE 是底面上的高，然后代入体积公式求解.〔2〕由O 是AC 中点，点Q 是侧棱PC 的中点，根据中位线得到OQ ∥PA ，再利用线面平行的断定理证明.〔3〕建立空间直角坐标系，设在线段AB 上存在点F ，且AF AB λ=，求得相应点的坐标，进而得到向量的坐标，再利用直线PF 与平面PAD 所成的角为30°，代入线面角的向量法公式求解.【详解】〔1〕如下图：连结PE ，BE ，∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，边长为4， ∴S 四边形ABCD ＝AD ×BE ＝4164⨯-=3又因为正△PAD 所在平面与平面ABCD 垂直，PE AD ⊥所以PE ⊥平面ABCD ，又PE ==，∴四棱锥P ﹣ABCD 的体积：V P ﹣ABCD 1133ABCD S PE =⨯=⨯=四边形16． 〔2〕证明：连结AC ，BD ，交于点O ，连结OQ ， ∵底面ABCD 是菱形，∴O 是AC 中点， ∵点Q 是侧棱PC 的中点，∴OQ ∥PA ，∵PA ⊄平面BDQ ，OQ ⊂平面BDQ ， ∴PA ∥平面BDQ ．〔3〕以E 为原点，EA 为x 轴，EB 为y 轴，EP 为z 轴，建立空间直角坐标系，A 〔2，0，0〕，B 〔0，0〕，P 〔0，0，，设在线段AB 上存在点F ，使直线PF 与平面PAD 所成的角为30°，且F 〔a ，b ，c 〕，AF AB λ=，即〔a ﹣2，b ，c 〕＝〔﹣2λ，，0〕，λ∈[0，1]， 即a ＝2﹣2λ，b ＝c ＝0，∴F 〔2﹣2λ，，0〕， 因为平面PAD 的法向量n =〔0，1，0〕，PF =〔2﹣223λλ，，﹣，且直线PF 与平面PAD 所成的角为30°，∴sin30°12(2n PF n PF⋅===⋅， 解得18λ=，符合λ∈[0，1]， ∴AF ＝λAB 12=． ∴在线段AB 上存在点F ，使直线PF 与平面PAD 所成的角为30°，且AF =． 【点睛】此题主要考察了几何体的体积，线面平行的判断定理和空间向量法研究线面角问题，还考察了空间想象，逻辑推理和运算求解的才能，属于中档题.22:20C x y Dx Ey +++-=关于直线0x y -=对称，半径为2，且圆心C 在第一象限．〔Ⅰ〕求圆C 的方程；〔Ⅱ〕假设直线:340(0)l x y m m -+=>与圆C 相交于不同两点M 、N ，且MN CM CN =+，务实数m 的值．【答案】〔Ⅰ〕22(1)(1)4x y -+-=；〔Ⅱ〕1. 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕由题得D E =和22+844D E +=，解方程即得圆的方程；〔Ⅱ〕取MN 的中点P ，那么||2||CM CN CP +=，化简得|1|5m -m 的值. 【详解】〔Ⅰ〕由22:20C x y Dx Ey +++-=，得圆C 的圆心为(,)22D E C --， 圆C 关于直线0x y -=对称，D=E ∴①．圆C 的半径为2，∴22+844D E +=②又圆心C 在第一象限，0D ∴<，0E <，由①②解得，2D E ==-，故圆C 的方程为22222220(1)(1)4x y x y x y +--=∴-+--=，． 〔Ⅱ〕取MN 的中点P ，那么||2||CM CN CP +=，2222||=2||2||||||||=2==4||||MN CP MP CP MP CP CP CP ∴⇒⇒⇒-，2=2||||2=CP CP ⇒∴，即|1|5m -0m >，解得1m ． 【点睛】此题主要考察圆的方程的求法，考察直线和圆的位置关系和向量的运算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.f 〔x 〕()221xlog ax =++，x ∈R ．〔1〕假设f 〔x 〕是偶函数，务实数a 的值；〔2〕当a ＞0时，不等式f 〔sin x x 〕﹣f 〔4+t 〕≥0对任意的x ∈233ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，恒成立，务实数t 的取值范围；〔3〕当a ＞0时，关于x 的方程()()()41211x f f x a x log ⎡⎤-+--=⎣⎦在区间[1，2]上恰有两个不同的实数解，务实数a 的取值范围．【答案】〔1〕a 12=-；〔2〕〔4-∞]；〔3〕〔32，log 4253] 【解析】【分析】〔1〕根据f 〔x 〕是偶函数，有f 〔﹣x 〕＝f 〔x 〕，得log 2〔2﹣x +1〕+a 〔﹣x 〕＝log 2〔2x +1〕+ax 化简求解.〔2〕由a ＞0，结合对数函数和一次函数的单调性，得到函数f 〔x 〕＝log 2〔2x +1〕+ax 是增函数，然后利用单调性的定义，将不等式f 〔sin x x 〕﹣f 〔4+t 〕≥0，转化为sin x x ≥4+t ，对任意的x ∈233ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，恒成立，利用三角函数的性质求解.〔3〕根据题意，有 f 〔0〕＝1，将方程f [f 〔x 〕﹣a 〔1+x 〕﹣1og 4〔2x ﹣1〕]＝1，转化为f [f 〔x 〕﹣a 〔1+x 〕﹣1og 4〔2x﹣1〕]＝f 〔0〕．再利用函数的单调性，转化为变形为：1og 42(21)21x x +=-a ，通过函数g 〔x 〕的图象与y ＝a 有2个交点求解.【详解】〔1〕根据题意，假设f 〔x 〕是偶函数，那么f 〔﹣x 〕＝f 〔x 〕，那么有log 2〔2﹣x +1〕+a 〔﹣x 〕＝log 2〔2x +1〕+ax ，变形可得2ax ＝log 2〔2﹣x +1〕﹣log 2〔2x +1〕＝﹣x ， 解得a 12=-；〔2〕当a ＞0时，函数y ＝log 2〔2x +1〕和函数y ＝ax 都是增函数，那么函数f 〔x 〕＝log 2〔2x +1〕+ax 为增函数，∵不等式f 〔sin x x 〕﹣f 〔4+t 〕≥0，所以f 〔sinx +〕≥f 〔4+t 〕对任意的x ∈233ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，恒成立∴sin x x ≥4+t ，对任意的x ∈233ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，恒成立；∴t ≤2sin〔x 3π+〕﹣4对任意的x ∈233ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，恒成立； ∴t ≤〔2sin 〔x 3π+〕﹣4〕min ，x ∈233ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，； 由x ∈233ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，得x 3π+∈[233ππ-，]，∴当x 3π=-时，sin 〔x 3π+〕﹣4的最小值为4；∴t 4≤；故t 的取值范围为〔4-∞-，]．〔3〕根据题意，函数f 〔x 〕＝log 2〔2x +1〕+ax ，有f 〔0〕＝1，那么f [f 〔x 〕﹣a 〔1+x 〕﹣1og 4〔2x ﹣1〕]＝1即f [f 〔x 〕﹣a 〔1+x 〕﹣1og 4〔2x ﹣1〕]＝f 〔0〕． 又由当a ＞0时，函数f 〔x 〕＝log 2〔2x+1〕+ax 为增函数，那么有f 〔x 〕﹣a 〔1+x 〕﹣1og 4〔2x ﹣1〕＝0，即log 2〔2x +1〕﹣1og 4〔2x ﹣1〕＝a ， 变形可得：1og 42(21)21x x +=-a ，设g 〔x 〕＝1og 42(21)21x x +-， 假设方程f [f 〔x 〕﹣a 〔1+x 〕﹣1og 4〔2x ﹣1〕]＝1在区间[1，2]上恰有两个不同的实数解，那么函数g 〔x 〕的图象与y ＝a 有2个交点，对于g〔x〕＝1og42(21)21xx+-，设h〔x〕2(21)21xx+=-，那么h〔x〕()2[212]21xx-+==-〔2x﹣1〕421x++-4．又由1≤x≤2，那么1≤2x﹣1≤3，那么h〔x〕min＝8，h〔1〕＝9，h〔2〕253=，那么h〔x〕max＝9，假设函数g〔x〕的图象与y＝a有2个交点，必有log4832=＜a≤log4253，故a的取值范围为〔32，log4253]．【点睛】此题主要考察了函数的奇偶性和单调性的综合应用，还考察了转化化归的思想和运算求解的才能，属于难题.制卷人：打自企；成别使；而都那。
安徽省合肥市高二下学期开学考试数学试题(解析版)
高二下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知两个向量，且，则的值为（ ）()()2,1,2,4,,a b m n =-= //a bm n +A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】B【分析】根据向量共线得，解出即可. 4212m n ==-【详解】，，解得， //a b 4212m n∴==-2,4m n =-=则. 2m n +=故选：B.2．直线的一个方向向量是（ ） 210x y ++=A ． B ．C ．D ．()1,2-()1,2()2,1-()2,1【答案】C【分析】先由直线斜率得到直线的一个方向向量，再对选项逐一检验即可. 【详解】因为直线可化为，210x y ++=1122y x =--所以直线的斜率为，则直线的一个方向向量为，210x y ++=12k =-11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭对于A ，与不平行，故A 错误；(1,2)-11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭对于B ，与不平行，故B 错误；(1,2)11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭对于C ，，故与平行，则也是直线的一个方向向,(22,1)211⎛⎫-= ⎝-⎪⎭(2,1)-11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(2,1)-210x y ++=量，故C 正确；对于D ，与不平行，故D 错误.(2,1)11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：C.3．椭圆的焦距为4，则的值等于（ ）2219x y m +=m A ．5 B ．13C ．5或13D ．25【答案】C【分析】根据椭圆中的关系求解. ,,a b c 【详解】由题知：，24,2=∴=c c当焦点在轴上时，； x 2913m c =+=当焦点在轴上时，，y 295m c =-=或13.5m ∴=故选:C.4．在正四面体中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则的值为-P ABC PE BC ⋅A ．B ．1C D ．1-73【答案】A【解析】根据题意，由正四面体的性质可得：，可得，由E 是棱中点，可PA BC ⊥0PA BC ⋅=AB 得，代入，利用数量积运算性质即可得出.()12PE PA PB =+ PE BC ⋅【详解】如图所示由正四面体的性质可得：PA BC ⊥可得：0PA BC ⋅=是棱中点E AB()12PE PA PB \=+()111122cos12012222PE BC PA PB BC PA BC PB BC \×=+×=×+×=´´´=- 故选：A 【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.5．在数列中，，且，，则（ ） {}n a 12a =111n na a +=-*n ∈N 2022a =A ．2 B ．-1C ．D ．112【答案】C【分析】根据给定条件推导出数列的周期，再借助周期性计算得解.{}n a【详解】解：在数列中，，，则， {}n a N n *∀∈111n na a +=-2111111111n n n na a a a ++===----，3211111(1)n nn na a a a ++===---于是得数列是周期数列，周期为3， {}n a 又，所以，，所以， 12a =21111112a a ===---()321111112a a ===---202267333312a a a ⨯+===所以. 202212a =故选：C.6．等比数列中，已知，则的值为（ ） {}n a 135716,8a a a a +=+=9111315a a a a +++A ．2 B ．4 C ．6 D ．12【答案】C【分析】利用等比数列的性质求解.【详解】设等比数列的公比为，则，{}n a q 445173,a a q a a q ==. 4571312a a q a a +∴==+.()()2891113151357116862a a a a a a a a q ⎛⎫∴+++=+++⋅=+⨯= ⎪⎝⎭故选:C.7．若两圆和恰有三条公切线，则()229900x y m m +++-=>()221400x y n n +--+=>的最小值为（ ） 114m n+A ． B ．C ．D ．1161414【答案】C【分析】分析出两圆外切，可得出，将与相乘，展开后利用基本不9416m n +=114m n +()19416m n +等式可求得的最小值. 114m n+【详解】圆的标准方程为，圆心为()229900x y m m +++-=>(229x y ++=，半径为，()1C -13r =圆的标准方程为，圆心为，半径为()221400x y n n +--+=>(221x y +-=(20,C ，21r =因为两圆有三条公切线，则两圆外切，则，14C ==即，9416m n +=， 119411149191101416416416m n n m m n m n m n ⎛+⎛⎫⎛⎫∴+=+=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当，即时，等号成立， 494n mm n=344m n ==故的最小值为. 114m n+1故选：C.8．如图，在三棱柱中，，，两两互相垂直，，，是111ABC A B C -AB AC 1AA 1AB AC AA ==M N 线段，上的点，平面与平面 所成（锐）二面角为，当最小时，1BB 1CC AMN ABC 6π1B M （ ）AMB ∠=A ．B ．C ．D ．512π3π4π6π【答案】B【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能A AC x AB y 1AA z 求出的大小．AMB ∠【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， A AC x AB y 1AA z 设，1=1AB AC AA ==设，，则，0，，，1，，，0，，，1，，CN b =BM a =(1N )b (0M )a (0A 0)(0B 0)，1，，，0，，(0AM = )a (1AN =)b 设平面的法向量，，，AMN (n x =y )z，取，得，，， ·0·0AM n y az AN n x bz⎧=+=⎨=+=⎩1z =(n b =-a -1)平面的法向量，0，，ABC (0m =1)平面与平面所成（锐二面角为，AMN ABC )6π||cos 6||||m n m n π∴= A A 解得，22331a b +=当|最小时，，∴1|B M 0b=BM a == tan AB AMB BM ∴∠==．3AMB π∴∠=故选．B【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、多选题9．已知直线，则下列说法正确的是 12:10,:(2)330l x my l m x y +-=-++=A ．若，则m =-1或m =3 B ．若，则m =3 12l l //12l l //C ．若，则D ．若，则 12l l ⊥12m =-12l l ⊥12m =【答案】BD【分析】根据两直线平行或垂直求出参数值然后判断．【详解】直线，则，解得或，但时，两直线方程分别为12l l //3(2)0m m --=3m =1m =-1m =-，即，两直线重合，只有时两直线平行，A 错，B 正10x y --=3330x y -++=30x y --=3m =确；，则，，C 错，D 正确． 12l l ⊥230m m -+=12m =故选：BD ．【点睛】本题考查两直线平行与垂直的条件，在由两直线平行求参数时要注意检验，排除两直线重合的情形．如果用斜率求解还需讨论斜率不存在的情形．10．已知向量，则（ ）()()()1,1,0,1,0,1,2,3,1a b c =-=-=-A ．B ．6a b -= ()()27a b b c +⋅+= C ．D ．()5a b c +⊥ ()a b c - ∥【答案】CD【分析】根据空间向量的模长、数量积的坐标运算，以及平行、垂直的坐标表示即可求解.【详解】对于A,， ()()()1,1,0,1,0,1,2,1,1a b a b =-=-∴-=--A 错误；a b ∴-==对于B ，，()()21,1,2,1,3,2a b b c +=--+=-则，故B 错误； ()()()()()21113226a b b c +⋅+=-⨯+-⨯-+⨯= 对于C,，()54,1,5a b +=--则，()()()54213510a b c +⋅=-⨯+-⨯-+⨯=则，故C 正确；()5a b c +⊥ 对于D ，，故D 正确.()()()3,3,0,1,1,0,3,b c a b c a a b c -=-=-∴-=-∴-∥故选:CD.11．我国古代数学名著《九章算术》中记载有“耗子穿墙”问题：今有垣厚五尺，两老鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.下列说法中正硆的有（ ） A ．大鼠与小鼠在第三天相逢B ．大鼠与小鼠在第四天相逢C ．大鼠一共穿墙尺D ．大鼠和小鼠穿墙的长度比为591759:27【答案】AC【分析】对A 和B 构造等比数列，利用等比数列求和公式即可求出的值，对C ，首先求出前两天n 每天各自的工作量，再列方程求出第三天大小老鼠打通的长度，最后即可判断C 和D.【详解】对A 和B ，今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，由题得大鼠和小鼠每一天的穿墙长度成等比数列， 分别设大鼠和小鼠每日穿墙长度所成的数列为， {}{},n n a b 则大鼠第日穿墙，小鼠第n 日穿墙，n 12n n a -=112n n b -⎛⎫⎪⎝⎭=则，11122511212nnn S ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+=--整理得，解得， 11242nn --=121n -=+()21log 12,3n ⎛=+∈ ⎝，，故大鼠与小鼠在第三天相逢，故A 正确，B 错误； N n *∈ 3n =对C ，第一天大老鼠打了1尺，小老鼠1尺，一共2尺，还剩3尺；第二天大老鼠打了2尺，小老鼠打了0.5尺，这一天一共打了2.5尺，两天一共打了4.5尺，还剩0.5尺.第三天按道理应是大老鼠打4尺，小老鼠0.25尺， 可是总长度只剩0.5尺没有打通，所以在第三天肯定可以打通.设第三天大老鼠打了尺，小老鼠则打了尺，则打洞时间相等：，解x ()0.5x -()40.50.25x x ÷=-÷方程得大老鼠在第三天打了尺，8,17x =∴817小老鼠打了，三天总的来说：大老鼠打了尺，故C 正确； 810.51734-=85931717+=对D ，大鼠和小鼠穿墙的长度比为：，故D 错误.5959:559:261717⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：AC.12．已知动点在双曲线上，双曲线的左､右焦点分别为，下列结论正确的是P 22:13y C x -=C 12F F､（ ）A ．双曲线的离心率为2 CB ．双曲线的渐近线方程为C y =C ．动点到两条渐近线的距离之积为定值PD ．当动点在双曲线的左支上时，的最大值为P C 122PF PF 18【答案】ACD【分析】根据双曲线的性质可判断A,B ，利用点到直线距离公式可判断C ，利用双曲线的定义以及基本不等式判断D.【详解】对A 和B ，双曲线，22:1,1,23y C x a b c -====所以双曲线的离心率为，C e 2==ca渐近线方程为，A 选项正确，B 选项错误；y =对C ，设点的坐标为，则，P ()00,x y 22013y x -=双曲线，C 0y -=0y +=则点C 选项正确； P 3,4对D ，当动点在双曲线的左支上时，， P C 12111,22PF c a PF a PF PF ≥-==+=+，()11122221111111484424PF PF PF PF PF PF PFPF PF ===≤=+++++当且仅当时，等号成立，12=PF 所以，的最大值为，D 选项正确.122PF PF 18故选:ACD.三、填空题13．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________． 【答案】π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【详解】因为sin α∈[－1，1]， 所以－sin α∈[－1，1]，所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是．π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭答案：π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭14．如图所示，在平行六面体中是的中点，点1111ABCD A B C D -1AB a AD b AA c M ===，，，，1D D N 是上的点，且，用表示向量的结果是______.1AC 113AN AC = a b c，，MN【答案】121336a b c --【分析】由空间向量的线性运算求解．【详解】是的中点，M 1D D 113AN AC =()111111112323MN MD DA AN DD AD AC AA AD AA AD AB ∴=++=--+=--+++． 1121121336336AB AD AA a b c =--=--故答案为：．121336a b c --四、双空题15．十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，，记其前项和为，设{}n a 12121,1,(3n n n a a a a a n --===+≥)*N n ∈n n S （为常数），则__________，__________. 2022a m =m 20202022S a -=135********a a a a a +++++= 【答案】1-m 【分析】因为斐波那契数列满足，，通过归纳可以得出，由{}n a 11a =21a =211n n n n a a a S ++=+=+此可求，再结合求的值. 20202022S a -132********a a a a S ++⋯+=+13520192021a a a a a +++++ 【详解】因为斐波那契数列满足 {}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+所以321a a a =+，432211a a a a a =+=++，5433211a a a a a a =+=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 21122111n n n n n n n a a a a a a a a S ++--=+=++++++=+ 所以，20202022S 1a -=-，135201920211123420192020a a a a a a a a a a a a +++++=+++++++ ， 135201920211202012022111a a a a a a S a a m m +++++=+=+-=+-= 故答案为：；.1-m五、填空题16．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：一动点到两定点的距离之比等于定比，则点P A B ､m n :P 的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”.在平面直角坐标系中，点，满足的xOy ()6,0A ||:||2:1MA MO =动点的轨迹为，若在直线上存在点，在曲线上存在两点，使得M C :60l x ay a -+=P C D E ､，则实数的取值范围是__________. PD PE ⊥a 【答案】[]1,7-【分析】根据平面轨迹的求法求得动点的轨迹方程曲线为圆，作出图像，根据题意可知点M C G到直线距离的最大值为，从而利用点线距离公式即可得解.l 【详解】设，由题知，(),M x y ()222222|4|,(6)4MA MO x y x y =-+=+化简整理得，则此圆心为，半径为，22(2)16x y ++=()2,0G -4r =因为是曲线上的两点， ,PD PE D E ⊥､C 当都与圆相切，可使最大， PD PE ､DPE ∠又，，PD PE ⊥DG GE r ==此时四边形为正方形，，PDGE PG =显然，当为锐角，不满足题意，PG >DPE ∠当时，才能取得直角，故，PG ≤DPE ∠PG ≤所以点到直线距离要满足， G :60l x ay a -+=d PG ≤≤，解得，2670a a --≤17a -≤≤所以实数的取值范围为.a []1,7-故答案为：.[]1,7-【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用数形结合，找到圆心到直线距离的G :60l x ay a -+=最大值，从而列出关于的不等式，解之即可.a六、解答题17．已知直线：，直线：.1l 2240kx y k --+=2l 224480k x y k +--=（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；1l 1l （2）若，求直线的方程.12//l l 2l 【答案】（1）或；（2）.0x y -=40x y +-=60x y +-=【解析】（1）分直线过原点和直线不过原点两种情况讨论，分别求解即可.1l 1l (2) 若，则解得或,再验证从而得出答案.12l l //242k k ⨯=-⨯0k =2k =-【详解】（1）①若直线过原点，则在坐标轴的截距都为，显然满足题意，1l 1l 0此时则，解得， 240k -+=2k =②若直线不过原点，则斜率为，解得. 1l 12k =-2k =-因此所求直线的方程为或1l 0x y -=40x y +-=（2）①若，则解得或.12l l //242k k ⨯=-⨯0k =2k =-当时，直线：，直线：，两直线重合，不满足，故舍去； 0k =1l 240y -+=2l 480y -=12l l //当时，直线：，直线：，满足题意；2k =-1l 40x y +-=2l 60x y +-=因此所求直线：2l 60x y +-=【点睛】易错点睛：本题考查直线的截距概念和根据两直线的位置关系求参数，在解决这类问题时，直线在两坐标轴上的截距相等（或互为相反数）时，要注意直线过原点时也满足条件，这是l 在解题中容易漏掉的情况，在由直线平行求参数时，求出参数时要代回检验，对重合的情况要舍去，这个也是容易出错的地方，要注意，属于中档题.18．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线()222210,0x y a b a b-=>>y =的准线上.224y x =（1）求双曲线的焦点坐标；（2）求双曲线的标准方程.【答案】（1）；（2） ()6,0F ±221927x y -=【分析】（1）根据抛物线的准线方程是，求出双曲线的焦点坐标；（2）由条件可知抛物线6x =-的焦点是，且，求出双曲线的标准方程. ()6,0-b a=222c a b =+【详解】因为抛物线的准线方程为，224y x =6x =-则由题意得，点是双曲线的左焦点.()16,0F -（1）双曲线的焦点坐标.()6,0F ±（2）由（1）得，22236a b c +==又双曲线的一条渐近线方程是，y =所以，， b a =29a =227b =所以双曲线的方程为：. 221927x y -=【点睛】本题考查双曲线方程，几何性质，属于基础计算题型.19．已知圆过点相切于点．C (A 0y -=(B (1)求圆的标准方程；C (2)若，点在圆上运动，证明：为定值． ()()2,0,2,0M N -P C PM PN 【答案】(1)22(4)12x y -+=(2)证明过程见详解【分析】（1）设圆心，半径为，根据题意列出方程，求出圆心和半径，进而求出圆的方(),C a b r 程；（2）先将圆的标准方程化为一般方程，设点，再根据题意分别求出，，进而即(),P x y PM PN 可证明结论．【详解】（1）设圆心，半径为，(),C a b r因为点，，所以直线的中垂线方程是，(A (B AB 4x =过点垂直的直线方程是， (B 0y -=40x -=由，解得， 440x x =⎧⎪⎨-=⎪⎩40x y =⎧⎨=⎩圆心，，∴()4,0C r AC ==圆的标准方程是．∴C 22(4)12x y -+=（2）证明：由（1）知圆的标准方程为，22(4)12x y -+=则其一般方程为，即，22840x y x +-+=2284x y x +=-设点，且点在圆上运动，(),P x y P C则，PM ===PN ==于是， PMPN =为定值．PMPN ∴20．已知等比数列{an }中，a 1=1，且2a 2是a 3和4a 1的等差中项.数列{bn }满足b 1=1，b 7=13，且bn +2+bn =2bn +1.(1)求数列{an }的通项公式；(2)求数列{an +bn }的前n 项和Tn .【答案】(1)；(2).12n n a -=221n n T n =+-【分析】(1)根据已知条件求出等比数列的公比，然后利用等比数列通项公式求解即可；(2)根据已知求出数列的通项公式，再结合(1)中结论并利用分组求和法求解即可.{}n b 【详解】(1)设等比数列的公比为q ，{}n a 因为，所以，11a =222131,a a q q a a q q ====因为是和的等差中项，所以，即，解得，22a 3a 14a 23144a a a =+244q q =+2q =所以.1112n n n a a q --==故答案为：.12n n a -=(2)因为，所以为等差数列，212n n n b b b +++={}n b 因为，，所以公差， 11b =713b =131271d -==-故.21n b n =-所以1122n n n T a b a b a b =++++++ ()()1212n n a a a b b b =+++++++ . 2121212112()2n n n n n -+-=+=+--故答案为：.221n n T n =+-21．在①平面平面，②，③平面这三个条件中任选一个，补充PAB ⊥ABCD AP CD ⊥BC ⊥PAB 在下面的问题中并作答.如图，在四棱锥中，底面是梯形，点在上，，，P ABCD -ABCD E BC //AD BC AB AD ⊥AB AP ⊥，，且______.22244BC AB AD AP BE =====（1）求证：平面平面；PDE ⊥PAC （2）求直线与平面所成角的正弦值.PE PAC【答案】选条件①（1）证明见解析；（2②（1）证明见解析；（2③（1）证明见解析；（2【分析】若选①：（1）根据面面垂直的性质定理，可证明平面，建立空间直角坐标系PA ⊥ABCD 结合向量法证明和线面垂直的判定定理，可证平面，根据面面垂直判定定理，AC DE ⊥DE ⊥PAC 即可证明平面平面；（2）由（1）可得平面的一个法向量为，再利PDE ⊥PAC PAC ()2,1,0DE =- 用向量法结合线面所成角正弦公式即可求解直线与平面所成角的正弦值.PE PAC 若选②：根据线面垂直的判定定理，可证明平面；建立空间直角坐标系结合向量法证PA ⊥ABCD 明和线面垂直的判定定理，可证平面，根据面面垂直判定定理，即可证明平面AC DE ⊥DE ⊥PAC 平面；（2）由（1）可得平面的一个法向量为，再利用向量法结合PDE ⊥PAC PAC ()2,1,0DE =- 线面所成角正弦公式即可求解直线与平面所成角的正弦值.PE PAC 若选③：根据线面垂直的性质定理，可得，又，根据线面垂直的判定定理，即PA BC ⊥AB AP ⊥可证明平面，建立空间直角坐标系结合向量法证明和线面垂直的判定定理，PA ⊥ABCD AC DE ⊥可证平面，根据面面垂直判定定理，即可证明平面平面；（2）由（1）可DE ⊥PAC PDE ⊥PAC 得平面的一个法向量为，再利用向量法结合线面所成角正弦公式即可求解直线PAC ()2,1,0DE =- 与平面所成角的正弦值.PE PAC 【详解】方案一：选条件①.（1）∵平面平面，平面平面，平面，， PAB ⊥ABCD PAB ⋂ABCD AB =AP ⊂PAB AP AB ⊥∴平面.AP ⊥ABCD 又，∴，，两两垂直.AB AD ⊥AB AD AP 以A 为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标AB AD AP x y z 系，则，，，，，()0,0,0A ()2,4,0C ()0,2,0D ()2,1,0E ()0,0,2P ∴，，.()2,4,0AC = ()0,0,2AP = ()2,1,0DE =- ∵，， ()2241000AC DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ()0201200AP DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ∴，.AC DE ⊥AP DE ⊥又，∴平面.AP AC A ⋂=DE ⊥PAC又平面，∴平面平面.DE ⊂PDE PDE ⊥PAC （2）由（1）可得平面的一个法向量为，PAC ()2,1,0DE =- 又， ()2,1,2PE =- 设直线与平面所成角为，PE PAC θ则sin cos ,PE DE PE DE PE DE θ⋅==== 方案二：选条件②.（1）∵底面为梯形，，∴两腰，必相交.ABCD //AD BC AB CD 又，，，平面，AP AB ⊥AP CD ⊥AB CD ⊂ABCD ∴平面.AP ⊥ABCD 又，∴，，两两垂直.AB AD ⊥AB AD AP 以A 为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标AB AD AP x y z 系，则，，，，，()0,0,0A ()2,4,0C ()0,2,0D ()2,1,0E ()0,0,2P ∴，，.()2,4,0AC = ()0,0,2AP = ()2,1,0DE =- ∵，，()2241000AC DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ()0201200AP DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ∴，.AC DE ⊥AP DE ⊥又，∴平面.AP AC A ⋂=DE ⊥PAC 又平面，∴平面平面.DE ⊂PDE PDE ⊥PAC （2）由（1）可得平面的一个法向量为，PAC ()2,1,0DE =- 又，()2,1,2PE =- 设直线与平面所成角为，PE PAC θ则,sin cos ,PE DE PE DE PE DE θ==== 方案三：选条件③.（1）∵平面，平面，∴.BC ⊥PAB AP ⊂PAB BC AP ⊥又，，平面，，AP AB ⊥AB BC ⊂ABCD AB BC B ⋂=∴平面.AP ⊥ABCD 又，∴，，两两垂直.AB AD ⊥AB AD AP 以A 为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标AB AD AP x y z 系，则，，，，，()0,0,0A ()2,4,0C ()0,2,0D ()2,1,0E ()0,0,2P ∴，，.()2,4,0AC = ()0,0,2AP = ()2,1,0DE =- ∵，，()2241000AC DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ()0201200AP DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ∴，.AC DE ⊥AP DE ⊥又，∴平面.AP AC A ⋂=DE ⊥PAC 又平面，∴平面平面DE ⊂PDE PDE ⊥PAC （2）由（1）可得平面的一个法向量为，PAC ()2,1,0DE =- 又，()2,1,2PE =- 设直线与平面所成角为，PE PAC θ则,sin cos ,PE DE PE DE PE DE θ==== 22．已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，且其右焦点到直线x ()0,1A -的距离为4.0x +=(1)求椭圆的方程；(2)是否存在斜率为的直线，使与已知椭圆交于不同的两点，且？若存在，请k l l ,M N AN AM =求出的取值范围，若不存在，请说明理由.k 【答案】(1) 2214xy +=(2)存在，(【分析】(1)根据椭圆的定义结合点到直线距离公式求解； (2)利用韦达定理表示出中点的坐标，再结合可得，利用斜率之积等于MN P AN AM =AP MN ⊥即可求解. 1-【详解】（1）因为椭圆中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，x ()0,1A -由题意，可设椭圆的方程，则其右焦点， 2221(1)xy a a+=>)F 由到直线的距离，F 0x +=4d =4解得，所以椭圆的方程. 2a =2214x y +=（2）假设存在直线符合题意.与椭圆方程联立，:l y kx b =+得：，消去得：2214x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩y ()222418440.k x bkx b +++-=, ()()()22222(8)441441641kb k b k b ∆=-⨯+⨯-=+-设，则有，()()1122,,,M x y N x y ()22122Δ16140814k b bk x x k ⎧=+->⎪⎨+=-⎪+⎩， ()12122282221414bk b y y k x x b k b k k ⎛⎫∴+=++=-+= ⎪++⎝⎭的中点的坐标. MN ∴P 224,1414bk b k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭是线段的垂直平分线，于是.,AN AM AP =∴ MN AP MN ⊥根据斜率之积为，即， 1-221141414AP MNb k k k k bk k ++⋅=⋅=--+可得，将其代入， 2413k b +=22140k b ∆=+->并整理得：，解得：.()()224120k k +-<k <故存在满足条件的直线，其斜率的取值范围. l (【点睛】关键点点睛：本题第二小问关键在于利用韦达定理表示的中点的坐标，再根据几何MN P 关系确定，从而建立代数关系式可得，再根据判别式大于零即可求范围. AP MN ⊥2413k b +=。
吉林省高二下学期开学考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知数列为等差数列，且，，则该数列的前项之和（ ） {}n a 34a =58a =1010S =A ．80 B ．90C ．100D ．110【答案】B【分析】设出等差数列的公差，根据条件列出两个方程，即可求出首项和公差，再根据等差数{}n a 列的前项和公式即可求出．n 【详解】设等差数列的公差为，，，，， {}n a d 34a = 58a =124a d ∴+=148a a +=解得，，，则该数列的前10项之和． 10a =2d =1010902902S ⨯=+⨯=故选：．B 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式中基本量的计算，以及等差数列的的前项和公式的应n 用，属于基础题．2．函数的图象如图所示，则的图象可能是()y f x =()y f x '=A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】依据原函数图象可看出①当x<0时，函数y=f(x)递增，所以此时f ′(x)>0，y=f ′(x)的图象在x 轴上方；②当x>0时，函数y=f(x)递减，所以f ′(x)<0，y=f ′(x)的图象在x 轴下方 故选D点睛：本题属于基础题，在给定区间，导数值非负，函数是增函数，导数值为非正，函数为减函数，自左向右看，函数图象上升，函数为增，函数图象下降，函数为减，结合图象即可得到答案3．已知等差数列的前n 项和为，若，则公差 等于 {}n a n S 888S a ==d A ．B ．C ．1D ．21412【答案】D【分析】由，可求出，进而可知，结合，可求出公差. 88S a =4707S a ==40a =88a =【详解】解：，，，. 888S a == 1288a a a a ∴+++= ()17747207a a a S ∴+===40a ∴=又由，得. 844a a d =+8480244a a d --===故选:D.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的求和公式，考查了等差中项.对于等差、等比数列问题，一般都可用基本量法，列方程组求解，但是计算量略大.有时结合数列的性质，可简化运算，减少运算量.4．函数的图像在点处的切线方程为（ ） 43()2f x x x =-(1(1))f ，A ． B ． 21y x =--21y x =-+C ． D ．23y x =-21y x =+【答案】B【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方()y f x =()f x '()1f ()1f '程，化简即可.【详解】，，，，()432f x x x =- ()3246f x x x '∴=-()11f ∴=-()12f '=-因此，所求切线的方程为，即. ()121y x +=--21y x =-+故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题5．函数的单调减区间是（ ）()22f x x lnx =-A ．（0，1） B ．（1，+∞） C ．（﹣∞，1） D ．（﹣1，1）【答案】A【分析】求得函数的定义域与导数，结合导数的符号，即可求得函数的递减区间，得到答案.【详解】由题意，函数的定义域为，且， ()22f x x lnx =-(0,)+∞()22(1)(1)2x x f x x x x-+'=-=因为，可得，令，即，解得， 0x >10x +>()0f x '<10x -<01x <<所以函数的递减区间为. ()f x ()0,1故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数与函数的单调性的关系式解答的关键，着重考查推理与运算能力.6．数列是等比数列，是其前项和，，，，则 {}n a n S n 0n a >234+=a a 3432a a +=3S =A ．B ．12C ．D ．13283383【答案】D【解析】设数列的公比为，由列方程组，解得，或(舍)，，{}n a q 2334432a a a a +=⎧⎨+=⎩13q =12q =-23a =计算，，求和可得.1a 3a 3S 【详解】设数列的公比为，由，{}n a q 2334432a a a a +=⎧⎨+=⎩得，解得，或(舍)， ()222(1)432a q a q q +=⎧⎪⎨+=⎪⎩13q =12q =-，，，. 23a ∴=19a ∴=31a =313S ∴=故选：D .【点睛】本题考查求解等比数列通项中的量及求和，根据等比数列通项公式列出方程组解得公比及首项，考查计算能力，属于基础题.7．若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具()e xf x L ()f x ()f x 有M 性质,下列函数中具有M 性质的是A ．B ．C ．D ．()2xf x -=()2f x x =()-3xf x =()cos f x x =【答案】A【详解】对于A,令,,则在R 上单调()e 2x x g x -=⋅11()e (22ln e 2(1ln )022x x x x xg x ---'=+=+>()g x 递增,故具有M 性质,故选A.()f x 【名师点睛】(1)确定函数单调区间的步骤：① 确定函数f (x )的定义域；②求f ′(x )；③解不等式f ′(x )>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f ′(x )<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．(2)根据函数单调性确定参数范围的方法：①利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ,b )上单调,则区间(a ,b )是相应单调区间的子集．②转化为不等式的恒成立问题,即转化为“若函数单调递增,则f ′(x )≥0；若函数单调递减,则f ′(x )≤0”来求解．8．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足，，.若将数{}n a 11a =21a =()*123,n n n a a a n n --=+≥∈N 列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则其中不正确结论的是（ ）n S n cA ．B ． 2111n n n n S a a a +++=+⋅12321n n a a a a a +++++=- C ． D ．1352121n n a a a a a -++++=- ()121)4(3n n n n c c a n a π--+-≥=⋅【答案】C【分析】A 选项由前项所占格子组成长为，宽为的矩形即可判断；B 选项由()1n +1n n a a ++1n a +结合累加法即可判断；()*123,n n n a a a n n --=+≥∈N C 选项通过特殊值检验即可；D 选项表示出，作差即可判断.221111,44n n n n c a c a ππ--==【详解】由题意知：前项所占格子组成长为，宽为的矩形，其面积为()1n +1n n a a ++1n a +，A 正确；()211111n n n n n n n S a a a a a a +++++=+=+，以上各式相加得，32143221,,,n n n a a a a a a a a a ++=+=+=+ ，化简得，即()34223112()n n n a a a a a a a a a +++++=+++++++ 2212n n a a a a a +-=+++ ，B 正确；1221n n a a a a ++++=- ，C 错误；12345613561,2,3,5,8,817a a a a a a a a a a ======∴++=≠-=易知，，221111,44n n n n c a c a ππ--==()()()221111214()(3)n n n n n n n n n n c c a a a a a a a a n πππ-----+∴-=-=-+=≥D 正确. 故选：C.二、多选题9．下列命题中正确的是（ ）A ．等比数列的单调性完全由公比q 来决定，与无关 {}n a 1aB ．若数列为等差数列，则，…也是等差数列{}n a 484128,,S S S S S --C ．若数列的前n 项和，则该数列是等差数列{}n a 222n S n n =++D ．若数列是首项为1，公比为3的等比数列，则数列的通项公式是1211,,,n n a a a a a --- {}n a 312n n a -=【答案】BD【分析】举例并结合等比数列通项公式判断A ；利用等差数列前n 项和公式计算并结合等差数列定义判断B ；求出数列的通项判断C ；利用累加法求出通项判断D 作答.{}n a 【详解】对于A ，等比数列具有单调性，必有且，不妨令，，{}n a 0q >1q ≠1q >11n n a a q -=由，当时，，有，数列单调递增， 11n na q a +=>10a >0n a >1n n a a +>{}n a 当时，，有，数列单调递减，因此等比数列的单调性与有关，A 错10a <0n a <1n n a a +<{}n a {}n a 1a 误；对于B ，等差数列的公差为，前n 项和，则， {}n a d 1(1)2n n n S na d -=+4146S a d =+，444111(44)(43)4(41)(44)[4]4(166)22n n n n n n S S n a d na d a n d +++--=++-+=++，， 841844422,()16S S a d S S S d -=+--=4844444()()16n n n n S S S S d +++---=因此数列，…是等差数列，B 正确；484128,,S S S S S --对于C ，当时，，而， 2n ≥2212(1)2(1)21n n n a S S n n n n n --=+----=+=115a S ==不满足上式，数列不是等差数列，C 错误；{}n a 对于D ，依题意，，， 2n ≥()()()1213211331132n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-++-==- 显然满足上式，数列的通项公式是，D 正确.11a ={}n a 312n n a -=故选：BD10．下列命题中正确的是（ ）A ．若函数在区间上单调递增，那么一定有.()f x (),a b ()0f x ¢>B ．若函数在区间上恒有，则在上不是单调的. ()f x (),a b ()0f x '=()f x (),a b C ．若函数在区间上恒有，则在上是单调递增的. ()f x (),a b ()0f x ¢>()f x (),a b D ．函数在R 上是增函数. ()sin x x x f -=【答案】BCD【分析】利用导数与函数单调性的关系逐项分析即可.【详解】对A ，函数在区间上单调递增，那么在区间上可以是也可以是()f x (,)a b (,)a b ()0f x '>,如，因此A 不正确；()0f x '≥3()f x x =对B ，根据导数与其单调性的关系可知当函数在某个区间内恒有， ()0f x '=此时函数是常值函数，因此无单调性，因此B 正确；对C ，根据导数与单调性关系可知若函数在区间上恒有，则在上是()f x (),a b ()0f x ¢>()f x (),a b 单调递增的，故C 正确；对D ，，，，则单调递增，故D 正确. ()1cos f x x '=-[]cos 1,1x ∈-Q 1cos 0x ∴-≥()f x 故选：BCD.11．设数列是以d 为公差的等差数列，是其前n 项和，，且，则下列结论正确{}n a n S 10a >69S S =的是（ ） A ．d <0 B ．80a =C ． D ．或为的最小值56S S >7S 8S n S 【答案】AB【分析】根据，且，可得，然后逐一判断各个选项即可得出答案.10a >69S S =1107d a =-<【详解】解：由，69S S =得，所以，故A 正确；11615936a d a d +=+1107d a =-<，故B 正确； 811170a a d a a =+=-=，所以，故C 错误； 656112507S S a a d a -==+=>56S S <由，，，可得或为的最大值，故D 错误.80a =0d <10a >7S 8S n S12．已知是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（ ）e A ． B ．2ln 2e >3ln 3e <C ．D ．πln πe>ln 33ln ππ<【答案】ACD【分析】通过构造函数法，结合导数来判断出正确答案. 【详解】构造函数， ()()ln 0exf x x x =->， ()'11e e e x f x x x-=-=所以在区间递增；在区间递减，()f x ()()()'0,e ,0,f x f x >()()()'e,,0,f x f x +∞<所以，故，当且仅当时等号成立. ()()max e ln e 10f x f ==-=()0f x ≤e x =即，当且仅当时等号成立. ln 0,ln e ex xx x -≤≤e x =所以，AC 选项错误，，B 选项正确.2πln 2,ln πe e <<3ln 3e <构造函数， ()()ln 0xg x x x=>， ()'21ln xg x x -=所以在区间递增；在区间递减，()g x ()()()'0,e ,0,g x g x >()()()'e,,0,g x g x +∞<所以，，D 选项错误. ()()3πg g >ln 3ln πln 333πln ππ>⇒>故选：ACD三、填空题13．已知等比数列的前n 项和为，若，则公比_______． {}n a n S 367,63S S ==q =【答案】2【分析】根据给定条件，由结合列式计算作答. 63456S S a a a -=++3123S a a a =++【详解】等比数列的前n 项和为，，{}n a n S 367,63S S ==则，解得，3363456123()756S S a a a q a a a q -=++=++==2q =所以.2q =14．如图所示，直线是曲线在处的切线，则__________．2y kx =+()y f x =3x =()()33f f '+=【答案】23【分析】根据给定的图形，利用导数的几何意义求解作答.【详解】观察图象知，曲线在处的切线过点，而切点为， ()y f x =3x =2y kx =+(0,2)(3,1)因此，显然， 211(3)033f k -'===--(3)1f =所以.()()1233133f f '+=-=故答案为：2315．已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为___ {}n a n n S 8425S S -=9101112a a a a +++【答案】20【解析】由题得，利用等比数列的性质得，再利用基本不等8445S S S -=+()()8441822S S S S S =⋅--式求出，即得解.81220S S -≥【详解】因为是等比数列，， {}n a 8425S S -=所以，8445S S S -=+因为是等比数列， 484128,,S S S S S --所以 ()()8441822S S S S S =⋅--整理得（当且仅当时取等号）. ()48421244525101020S S S S S S +-==++≥=45S =因为， 1289101112S S a a a a -=+++所以的最小值为.9101112a a a a +++20【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查等比数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16．设是定义在R 上的奇函数，当时，有恒成立，则不等式()f x ()20f =0x >()()0xf x f x '-<的解集是______． ()0f x >【答案】(,2)(0,2)-∞- 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数判断单调性，利用函数性质求解不等式()()f x g x x=作答.【详解】依题意，令函数，则，因为时，()(),0f x g x x x=>2()()()xf x f x g x x '-'=0x >，()()0xf x f x '-<于是当时，，函数在上单调递减，0x >()0g x '<()g x (0,)+∞又，则，因此当时，，当时，， (2)0f =(2)0=g 02x <<()0g x >2x >()0g x <即当时，，当时，，而是定义在R 上的奇函数， 02x <<()0f x >2x >()0f x <()f x 从而当时，，当时，， <2x -()0f x >20x -<<()0f x <所以不等式的解集是. ()0f x >(,2)(0,2)-∞- 故答案为：(,2)(0,2)-∞-四、解答题 17．已知函数，且曲线在处的切线斜率为． ()()211ln 2f x ax a x x =-++()y f x =2x =32(1)求a 的值；(2)求函数的单调区间； ()f x 【答案】(1)2a =(2)单调增区间和，单调减区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞1,12⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）求导，然后通过列方程求a 的值； ()322f '=（2）令和可得函数的单调区间. ()0f x ¢>()0f x '<【详解】（1）由已知， ()()11f x ax a x '=-++又曲线在处的切线斜率为， ()y f x =2x =32， ()()1322122f a a '∴=-++=解得：；2a =（2）由（1）得，()123,0f x x x x '=-+>令，得或，令，得， ()0f x ¢>102x <<1x >()0f x '<112x <<函数的单调增区间为和，单调减区间为.∴()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞1,12⎛⎫⎪⎝⎭18．已知数列的前n 项和为．{}n a 2n S n =(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若数列满足，求数列的前n 项和．{}n b 22n an n b a =+{}n b n T 【答案】(1) 21n a n =-(2) ()()221413nn n ++-【分析】（1）利用可得答案；1n n n a S S -=-（2）先通过分组，然后利用等差数列及等比数列的求和公式来求解.【详解】（1）①，2n S n = 当时，②，∴2n ≥()211n S n -=-①-②得， ()221121n n n a S S n n n -=-=--=-又时，，符合，1n =111a S ==21n a n =-数列的通项公式为；∴{}n a 21n a n =-（2）由（1）得，2122412n a n n n b a n -=+=-+ ()()()()35211233272112412n n n T b b b b n -∴=++++=+++++++-+ ()()35213711412222n n -=++++-+++++ . ()()()()214341221412143n nn nn n -+-=+=++--19．已知数列的前n 项和为，且满足． {}n a n S 21n n S a =+(1)求的通项公式；{}n a (2)数列满足，求数列的前n 项和．{}n b n n b na =-{}n b n T【答案】(1)；12n n a -=-(2).(1)21n n T n =-⋅+【分析】（1）根据给定条件，结合“”求出的通项作答.12,n n n n a S S -≥=-{}n a （2）利用（1）的结论，利用错位相减法求和作答.【详解】（1），，当时，，两式相减得，即N n *∀∈21n n S a =+2n ≥1121n n S a --=+122n n n a a a -=-，12n n a a -=而，解得，因此数列是首项为，公比为2的等比数列，11121a S a ==+11a =-{}n a 1-，11122n n n a --=-⨯=-所以的通项公式是.{}n a 12n n a -=-（2）由（1）知，12n n b n -=⋅，01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯ 则有，12312122232(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ 两式相减得：， 2112122222(1)2112n n n n n n T n n n ---=++++-⨯=-⨯=-⨯-- 所以.(1)21n n T n =-⋅+20．已知函数 ()()212ln 22f x x a x a x =-+-(1)当，且时，证明：；1a =-()1,4x ∈()3f x >-(2)是否存在实数a ，使函数在上单调递增?若存在，求出a 的取值范围；不()()g x f x ax =-()0,∞+存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，. 1(,]2a ∈-∞-【分析】（1）将代入，利用导数求出函数在上的最小值，再借助对数函数的单调1a =-()f x (1,4)性推理作答.（2）求出函数的导数，利用导函数在上不小于0恒成立求解作答.()g x ()0,∞+【详解】（1）当时，，，求导得1a =-21()2ln 32f x x x x =+-()1,4x ∈， 2(1)(2)()3x x f x x x x --'=+-=当时，，当时，，在上单调递减，在上单调12x <<()0f x '<24x <<()0f x '>()f x (1,2)()f x (2,4)递增，所以.()(2)22ln 262(ln 22)2)3f x f ≥=+-=->=-（2）若存在实数，使在上是增函数，a ()()g x f x ax =-(0,)+∞则，恒成立， (0,)∀∈+∞x ()()()222220a x x a g x f x a x a a x x--=-=-+-='-≥'即在上恒成立， 2211220(1)22x x a a x --≥⇔≤--(0,)+∞而函数，在时取得最小值，因此， 211(1)22y x =--,()0x ∈+∞1x =12-12a ≤-又当时，，当且仅当时，，即函数在单调递增， 12a =-2(1)()0x g x x-'=≥1x =()0g x '=()g x (0,)+∞所以当时，在上单调递增. 1(,]2a ∈-∞-()()g x f x ax =-(0,)+∞21．已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.【答案】(1) f (x )在上单调递减，在区间上单调递增. ,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a （2） 3420e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【分析】(1)求f (x )的导函数为f ′(x )＝(2e x ＋a )(e x －a )，通过讨论a ，求函数的单调区间即可. (2)因为f (x )≥0，所以即求f (x )的最小值大于等于0，由第(1)的结果求的f (x )的最小值，解关于a 的不等式即可求出a 的范围.【详解】(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0.f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增.②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln . 2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭当x ∈时，f ′(x )<0； ,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 当x ∈时，f ′(x )>0. ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a故f (x )在上单调递减，在区间上单调递增. ,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a (2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln 时，f (x )取得最小值，最小值为f ＝a 22a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ln 2a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3ln 42a ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故当且仅当a 2≥0， 3ln 42a ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即0>a ≥时，f (x )≥0.342e -综上a 的取值范围是[，0].342e -【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，考查函数的恒成立问题，同时考查了分类讨论的思想和学生的计算能力，属于中档题.22．已知数列，，满足，，，.{}n a {}n b {}n c 1111a b c ===1n n n c a a +=-12n n n n bc c b ++=N*n ∈（1）若为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式； {}n b 0q >12362b b b +=q {}n a （2）若为等差数列，且，证明，.{}n b 265b b +=1233n c c c c +++⋯+<N*n ∈【答案】（1）；；（2）证明见解析. 2q =2743nn a --=【解析】（1）先由题设求得，从而求得及，然后求得，再利用叠加法求得即q n b 114n n c c +=n c n a 可；（2）先由题设求得等差数列的公差，然后求得及，再利用累乘法求得，最{}n b d n b 113n n c n c n ++=+n c 后利用裂项相消法求得，即可证明结论.123n c c c c +++⋯+【详解】（1）解：由题设知：，解得：或（舍，， 262q q +=2q =32q =-)12n n b -∴=，，，即， 12n n n n b c c b ++= N*n ∈1112124n n n n n c c c -++∴==114n n c c +=，， 11c = 11()4n n c -∴=，，1n n n c a a +=- 11a =，211a a ∴-=， 3214a a -=， 2431()4a a -=⋯，， 211()4n n n a a ---=2n …将以上式子相加可得：，， 122111()11141411()([1()]14443414n n n n a -----=+++⋯+==--2n …，，又当时，也适合， 2743nn a --∴=2n …1n =11a =； 2743nn a --∴=（2）证明：，， 26452b b b +== 452b ∴=，公差， 11b = ∴411412b b d -==-， 111(1)22n n b n +∴=+-=， 1213n n n n n b n c c c b n +++==+ ， ∴113n n c n c n ++=+， ∴2124c c =， 3235c c =， 4346c c =⋯， 1211n n c n c n ---=+，， 12n n c n c n -=+2n …将以上式子相乘可得：，， 123(1)(2)n c c n n ⨯=++2n …，，， 11c = 116()12n c n n ∴=-++2n …又当时，也适合上式，1n =11c =， 116()12n c n n ∴=-++. 1231111111116()6()63233412222n c c c c n n n ∴+++⋯+=-+-+⋯+-=-<⨯=+++【点睛】方法点睛：该题主要考查数列的问题，方法如下：（1）利用叠加法求通项公式；（2）累乘法求通项公式；（3）裂项相消法求和.。
河南省高二下学期开学考试数学试题(解析版)
高二下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知直线经过点，则该直线在轴上的截距为（ ） 20x y t -+=()2,1-y A ． B ．C ．2D ．1212-2-【答案】D【分析】将点代入方程得出，进而由得出所求截距.()2,1-t 0x =【详解】因为直线经过点，所以，解得， 20x y t -+=()2,1-220t ++=4t =-所以直线方程为，令，得． 240x y --=0x ==2y -故选：D2．直线的一个方向向量可以是（ ） 5320x y --=A ． B ． C ． D ．()5,3()5,3-()3,5()3,5-【答案】C【分析】将直线转成斜截式，可得到一个方向向量，然后找出与其平行的向量即可 【详解】由可得 5320x y --=5233y x =-所以直线的一个方向向量为，5320x y --=51,3⎛⎫⎪⎝⎭对于C ，因为，所以也是直线的一个方向向量，()551133,,3⎛⎫= ⎪⎝⎭()3,55320x y --=对于ABD 选项，由于都不与平行，故不是直线的方向向量，51,3⎛⎫⎪⎝⎭故选：C 3．已知直线与圆相交于、两点，则（ ） 30x y -+=22:(1)9C x y -+=P Q PQ =A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】A【分析】求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，最后根据弦长公式计算可得. 【详解】圆的圆心，半径， 22:(1)9C x y -+=()1,0C 3r =设圆心到直线的距离为，则 ()1,0C 30x y -+=d d ==所以．2PQ ===故选：A4．已知椭圆的两个焦点分别为，椭圆上一点与焦点的距离等于6，则2213627x y +=12,F F P 1F 12PF F △的面积为（ ）A ．24B ．C ．27D ．36【答案】B【分析】根据椭圆方程可确定P 点位置，据此可得三角形面积.【详解】由知，即，2213627x y +=22236,27,9a b c ===6,3a b c ===所以点恰好是椭圆短轴的一个端点，P所以的面积12PF F △122S b c =⋅=故选：B5．已知直线与平行，则（ ） ()1:120l x a y a -++-=2:6150l ax y -+==a A ．2 B ．3 C ． D ．2或3-3-【答案】A【分析】由直线平行的条件求解即可.【详解】因为，所以，解得或．当时，与重合．故． 12l l ∥()16a a +=2a =3a =-3a =-1l 2l 2a =故选：A6．在正项等比数列中，若，则（ ）{}n a 359a a =()2174a a a -=A ．6 B ．12 C ．56 D ．78【答案】D【分析】直接利用等比中项即可求出和的值，代入计算即可.4a 17a a 【详解】由等比数列的性质可知，217353549,9a a a a a a a ====又因为为正项等比数列， {}n a 所以，所以． 43a =()421778a a a -=故选：D.7．已知点在平面内，平面，其中是平面的一个法向()01,2,3P -α{}00Pn P P α=⋅= ∣()1,1,1n =- α量，则下列各点在平面内的是（ ）αA ．B ．C ．D ．()2,4,8-()3,8,5()2,3,4-()3,4,1-【答案】B【分析】由法向量的定义结合数量积运算确定，再判断选项. y =x+z 【详解】设是平面内的一点，则， (),,P x y z α()01,2,3P P x y z =+--所以，即，选项满足． ()()()1230x y z +--+-=y =x+z B 故选：B8．中国古代数学名著《算法统宗》记载有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官（正一品､从一品､正二品､从二品､正三品）依品递差十三石分之，问，各若干？”其大意是，现有俸粮305石，分给正一品､从一品､正二品､从二品､正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问，每个人各分得多少俸粮？在这个问题中，正二品分得的俸粮是（ ） A ．35石 B ．48石 C ．61石 D ．74石【答案】C【分析】由等差数列的定义结合求和公式得出正一品的俸粮数，进而得出正二品分得的俸粮数. 【详解】正一品､从一品､正二品､从二品､正三品这5位官员所分得的俸粮数记为数列， {}n a 由题意，是以为公差的等差数列，且，解得． {}n a 13-()51545133052S a ⨯=+⨯-=187a =故正二品分得俸粮的数量为（石）． ()3121361a a =+⨯-=故选：C9．等比数列的公比为，“”是“数列单调递增”的（ ） {}n a ()0q q >21a a >{}n a A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据等比数列的通项公式，结合充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】由数列是单调递增一定能推出， {}n a 21a a >当时，有，21a a >11a q a >若，则有，，因此数列单调递10a >1q >1111n n n n a a a q a q -+-=-()1110n a q q -=->1n n a a +⇒>{}n a 增，若，则有，，因此数列单调递10a <01q <<1111n n n n a a a q a q -+-=-()1110n a q q -=->1n n a a +⇒>{}n a增，所以由一定能推出数列单调递增， 21a a >{}n a 因此“”是“数列单调递增”的充要条件， 21a a >{}n a 故选：C10．已知点，则点到直线的距离是（ ） ()()()1,0,2,1,1,2,1,1,2A B C --A BC ABCD ．5【答案】B【分析】根据点到直线的距离的向量法求解公式计算即可.【详解】设， ()2,1,0,(2,0,4),BC AB a BC u BC →==-=-==可求得 ()2,1,0a u ⋅=-⋅=所以 d =故选：B11．已知抛物线的焦点为，准线为是过焦点的一条弦，已知点，则2:4C y x =F ,l PQ F ()4,3A （ ）A ．焦点到准线的距离为1 F lB ．焦点，准线方程为 ()0,1F 1y =-C ．1134PF QF +=D ．的最小值是5 PA PF +【答案】D【分析】根据抛物方程可得，及焦点位置可判断AB ，利用特殊位置为通径时判断C ，再由抛p PQ 物线定义及三点共线可判断D.【详解】由题设知，所以焦点到准线的距离为2，故A 错误； 24,2p p ==F l 由抛物线的方程知，抛物线焦点在轴上，故B 错误； C x 考虑特殊情形，当与轴垂直时，得到，故C 错误； PQ x 1121PF QF p+==作，垂足为，如图，PD l ⊥D因为,||||PF PD =所以，当且仅当 三点共线时等号成立，故D 正确． 415PA PF PA PD +=+≥+=,,D P A 故选：D12．如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点（在的左边），且1111ABCD A B C D -11B D ,E F E F）EF =A ．当运动时，不存在点使得 ,E F ,E F AE CF ⊥B ．当运动时，不存在点使得 ,E F ,E F AE BF ∥C ．当运动时，二面角的最大值为 E E AB C --45︒D ．当运动时，二面角为定值 ,EF A EF B --【答案】C【分析】建立坐标系，利用向量法判断AC ；由反证法判断B ；平面即为平面，平面EFB 11BDD B 即为平面，从而得出二面角为定值. AEF 11AB D A EF B --【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则． ()()()()()12,2,0,0,2,0,0,0,0,2,0,0,2,0,2A B C D D因为在上，且 ,E F 11B D 11B D =EF =可设，则， ()(),2,212E t t t -≤≤()1,3,2F t t --则， ()()2,,2,1,3,2AE t t CF t t =--=--所以，()()()()22134266AE CF t t t t t t ⋅=--+-⋅-+=-+ 故恒为正，故A 正确．AE CF ⋅若，则四点共面，与和是异面直线矛盾，故B 正确． AE BF ∥11,,,A B B D AB 11B D 设平面的法向量为，ABE (),,m x y z =又，所以，即，()2,0,0AB =- 00AB m AE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩()20220x t x ty z -=⎧⎨--+=⎩取，则，2y =()0,2,m t =平面的法向量为，所以．ABC ()0,0,1n =cos ,m n =设二面角的平面角为，则为锐角，故E AB C --θθcos m n m n θ⋅===因为，在上单调递减， 12t ≤≤y =[]1,2，≤≤cos θ≤≤当且仅当时，，即取最小值，故C 错误． 2t =cos θθ45︒连接．平面即为平面，而平面即为平面，故当运动时，11,,BD AD AB EFB 11BDD B AEF 11AB D ,E F 二面角的大小保持不变，故D 正确．A EFB --故选：C二、填空题13．设公比为2的等比数列的前项和为，若，则__________． {}n a n n S 7621-=S S 61a a +=【答案】33【分析】根据等比数列的求和公式及通项公式计算即可得解. 【详解】因为，()()761176112212211212a a S S a---=-==--所以．5161233a a +=+=故答案为：3314．写出与圆和圆都相切的一条直线的方程：221:80C x y +-+=222:40C x y y +-=__________．（答案不唯一）20y --=【分析】根据圆的半径、圆心可判断两圆位置关系，据此求公切线方程即可.【详解】由圆，圆，221:(4C x y -+=222:(2)4C x y +-=，可知它们外切， 12||422C C ===+． 20y --=又直线的方程为，两圆半径相等， 12C C 0x -=故可设外公切线的方程为，0x m ++=因为圆心，1(0,2)C 2所以或和4m =-4m =--40x +-=．40x --=（答案不唯一）20y --=15．已知四面体分别是的中点，且，则向量,,OABC M N ,BC OA ,,OA a OB b MN c === OC =__________（用表示）．,,a b c【答案】2a b c --【分析】根据三角形法则和平行四边形法则得出，进而得出.()1122MN OA OB OC =-+ OC【详解】，所以．()1122MN ON OM OA OB OC =-=-+ 2OC OA OB MN =--即2OC a b c =--故答案为：2a b c --16．双曲线C ：的左、右顶点分别为A ，B ，P 为C 上一点，直线PA ，PB 与分别221x y -=12x =交于M ，N 两点，则的最小值为______. MN【分析】设，，，，写出直线方程求得点纵坐标后，求出00(,)P x y 01x ≠±00y ≠22001x y -=,M N ，然后利用导数求得最小值．MN 【详解】由题意，，设，，，，(1,0)A -(1,0)B 00(,)P x y 01x ≠±00y ≠22001x y -=直线方程为，令，得， PA 00(1)1y y x x =++12x =0032(1)y y x =+直线方程为，令，得，PB 00(1)1y y x x =--12x =002(1)y y x =--0032(1)y MNx =+设，则()0)f y y =>()f y '=得()0f y'=y =，时，，0y <<()0f y '<y >()0fy '>∴在上递减，在上递增，()fy )+∞时，y min ()f y f ==所以minMN=三、解答题17．设等比数列的前项和为，已知，且. {}n a n n S 37S =147a a -=-(1)求的通项公式；{}n a (2)设，数列的前项和为，证明：当时，.21n n b a n =+-{}n b n n T 5n ≥56n T ≥【答案】(1)12n n a -=(2)证明见解析【分析】（1）根据等比数列的通项公式和求和公式列式求，即可得结果；1,a q （2）利用分组求和可求得，再结合函数单调性证明.221n n T n =-+【详解】（1）设数列的公比为，{}n a q ∵，则，解得，31477S a a =⎧⎨-=-⎩()()313117117a q q a q ⎧-⎪=⎪-⎨⎪-=-⎪⎩112a q =⎧⎨=⎩故.12n n a -=（2）由（1）知，1221n n b n -=+-所以 ()()()()()111211231222112321n n n n n T b b b n --=++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+=+++++-+++-L L()21211122122n n n n n +-==--++-∵在上单调递增，则数列为递增数列，()221x f x x =-+[)1,+∞{}n T ∴当时，， 5n ≥556n T T ≥=故当时，.5n ≥56n T ≥18．已知椭圆的长轴比短轴长2，椭圆．2222:1(0)x y C a b a b +=>>C (1)求椭圆的方程；C (2)若直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，求的方程．l C ,A B AB ()2,1M -l【答案】(1)221169x y +=(2) 98260x y -+=【分析】（1）根据离心率以及短轴长与长轴长的关系得到方程组，解出即可.34222b a a b ⎧=⎪⎨⎪-=⎩（2）设，利用点差法得，再根据中点坐标求出()()1122,,,A x y B x y 12121212916y y x xx x y y -+=-⨯-+124x x +=-，，代入即可得到直线斜率，最后写出直线方程即可.122y y +=AB 【详解】（1）因为椭圆，所以，解得．．C 227116b a =-34b a =又椭圆的长轴比短轴长2，所以，C 222-=a b 联立方程组，解得 34222b a a b ⎧=⎪⎨⎪-=⎩4,3,a b =⎧⎨=⎩所以椭圆的方程为．C 221169x y +=（2）显然点在椭圆内，()2,1M -22916144x y +=设，因为在椭圆上，所以， ()()1122,,,A x y B x y ,A B C 22112222916144916144x y x y ⎧+=⎨+=⎩两个方程相减得，即，()()222212129160x x y y -+-=()()()()12121212916x x x x y y y y -+=--+因为线段的中点为，所以，， AB ()2,1M -124x x +=-122y y +=所以． 12129491628y y x x --=-⨯=-所以的方程为，即． l ()9128y x -=+98260x y -+=19．如图，四边形是边长为2的菱形，且平面，ABCD ,3ABCBM π∠=⊥,ABCD BM DN ∥．2BM DN ==(1)证明：平面平面．AMC ⊥ANC(2)求平面与平面夹角的大小．AMN CMN 【答案】(1)证明见解析 (2)3π【分析】（1）由平面得出，再由勾股定理证明，最后由面面垂直AC ⊥BME AC ME ⊥ME NE ⊥的判断证明即可；（2）以点为坐标原点，建立坐标系，利用向量法得出面面角.E 【详解】（1）证明：连接，设与相交于点，连接．BD AC BD E ,ME NE 在菱形中，，所以．ABCD 2,3AB ABC π∠==BE DE ==因为平面，所以．BM ⊥ABCD BM AC ⊥又，所以平面，所以．,BD AC BD BM B ⊥⋂=AC ⊥BME AC ME ⊥在直角三角形中，由，得．BME BM BE ==3ME =在直角三角形中，由DNEDN DE==NE =在直角梯形中，由， BMND 2BM DN BD ===MN 所以，从而．222ME NE MN +=ME NE ⊥又，所以平面．AC NE E ⋂=ME ⊥ANC 因为平面，所以平面平面．．ME ⊂AMC AMC⊥ANC （2）取的中点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，MN H ,,EA EB EH x y z 则点 ((1,0,0),0,,,A NM ⎛⎝ (,1,AM AN ⎛=-=- ⎝设平面的法向量为，AMN ()1,,n x y z =则取．110,0,n AM x n AN x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩z =19,2n ⎛= ⎝ 同理可得平面的法向量为， CMN ()24n =- 所以，1212121cos ,2n n n n n n ⋅===-所以平面与平面夹角的大小为．AMN CMN 3π20．如图所示，在四棱锥中，是等边三角形，，，记平面ACDA BCDE -ABC A //CD BE BD CD ⊥与平面ABE 的交线为l .(1)证明：.//l CD (2)若，Q 为l 上一点，求BC 与平面QBD 所成角的正弦值的最大2AD BE ===DE =值.【答案】(1)证明见解析；【分析】(1)根据条件可证面，然后根据线面平行的性质定理即可得到结果.//CD ABE (2)根据条件建立空间直角坐标系，根据向量法，结合线面角公式即可求得结果.【详解】（1）在四棱锥中，，ABCDE -//CD BE 又因为面，面，BE ⊂ABE CD ⊄ABE 所以面，//CD ABE 又因为平面与平面的交线为，面，ACD ABE l CD ⊂ACD 所以.//l CD （2）因为，所以，//,CD BE BDCD ⊥BD BE ⊥在直角中，因为所以，DBE A DE =2,BE =BD =因为在直角中，因为，BCD △BD CD =2BC =取的中点，连接，在等边中， BC O ,OA OD ABC A ,OA BC OA ⊥=在等腰直角中，DBC △,1,OD BC OD ⊥=在中，因为，所以，OAD△1,2OA OD AD ===OD OA ⊥以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则O ,,OC OD OA ,,x y z ， ()()()()(0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,0,0,O C D B A-设由(1)知，且过点，则，即,得(),,Q x y z //l CD l A AQ CD λ=((),,1,1,0x y z λ=-，,,x y z λλ=-==(,Q λλ-设平面的法向量为，则QBD (),,m a b c = ， ()()()((),,1,1,0000,,1,0100a b c a b m BD a b c a b m BQ λλλλ⎧⋅=+=⎧⎧⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅-=-+=⋅=⎪⎪⎪⎩⎩⎩ 令，则， 1a =1,bc =-=则平面的法向量为 QBD ()1,1,m c =- 设BC 与平面QBD 所成角为，BC 与平面QBD 的法向量所成角为，θ()1,1,m c =- α则，sin cos m BC m BC θα⋅=====⋅，则BC 与平面QBD. 0<≤0sin θ<≤21．设等差数列的前项和为，是等比数列，已知，{}n a n n S {}n b 1122333,7,13a b a b a b +=+=+=．4423a b +=(1)求的通项公式以及；{}n b n S (2)记，求数列的前项和．n n n c b S ={}n c n n T 【答案】(1)22,n n n b S n ==(2)()212326n n n +-+⋅-【分析】（1）根据题意，列出关于首项与公差、公比的方程组，解方程求解即可；（2）由，利用裂项相消法求和. ()()22122(1)4162462n n n n c n n n n n +⎡⎤=⋅=+-++⋅--+⋅⎣⎦【详解】（1）设数列的公差和公比分别为，{}{},n n a b ,d q 由题意得， 111121131137213323a b a d b q a d b q a d b q +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩相邻两个方程分别相减得．1121132114610d b q b d b q b q d b q b q +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩进一步化简得即， 2111321112224b q b q b b q b q b q ⎧-+=⎨-+=⎩()()21211214b q b q q ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得．12b q ==将代入和，可得，12b q ==113a b +=117a d b q ++=12,1d a ==所以． ()2112,2n n n n n db S na n -==+=（2）由（1）知，．22n n c n =⋅因为，()()22122(1)4162462n n n n c n n n n n +⎡⎤=⋅=+-++⋅--+⋅⎣⎦所以，()()22212426214162c =-⨯+⨯--⨯+⨯，()()232223436224262c =-⨯+⨯--⨯+⨯⋯，()()212(1)4162462n n n c n n n n +⎡⎤=+-++⋅--+⋅⎣⎦上式相加得． ()()2121(1)416262326n n n T n n n n ++⎡⎤=+-++⋅-=-+⋅-⎣⎦22．已知双曲线在双曲线上． 2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>2,⎛ ⎝E (1)求的方程；E (2)过的右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，与两条渐近线分别交于两点，E F l E ,A B ,M N设，求实数的取值范围．MN AB λ=λ【答案】(1) 2213x y -=(2)(]1,2【分析】（1）根据双曲线的离心率及双曲线上的点列出方程求解即可得双曲线方程；,a b （2）设直线的方程为，联立双曲线方程，由根与系数的关系求出弦长，再联立直l 2x my =+AB 线的方程与双曲线的渐近线方程，求出坐标可得，再由计算即可.l ,M N ||MN MNAB λ=【详解】（1，化简得， 221219b a =+223a b =把点代入的，解得 2,⎛ ⎝222213x y b b -=2241133b b -=1b =又，所以223a b =a =所以双曲线的方程为． E 2213x y -=（2）由（1）得，设直线的方程为，()2,0F l 2x my =+与联立消并整理得． 2213x y -=x ()223410m y my -++=设，则， ()()1122,,,A x y B x y 230m -≠()()222Δ16431210m m m =--=+>，且，得，12122241,33m y y y y m m +=-=--120y y<m <<所以2AB y =-==又由可得， 2,,x my y =+⎧⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩M同理由可得， 2,,x my y =+⎧⎪⎨=⎪⎩N 所以 M MN y =-=所以，故实数的取值范围为．(]1,2MNAB λ==λ(]1,2【点睛】关键点点睛：由直线方程联立双曲线方程消去后，得到，需要注意到x 12213y y m =-，解得，这是本题的关键点之一，其次需要运用弦长公式求出，120y y <m <<||,||AB MN将转化为. MN AB λ=MNAB λ==。
学年高二下学期入学考试数学(附答案)
高二数学第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．数列{}a n 的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为A ．11B ．99C ．120D ．121 2．函数)12lg(21)(-+-=x xx f 的定义域为A ．),21(+∞ B ．)2,21( C ．)1,21(D ．)2,(-∞3．下列命题中正确的是 A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且B ．当0>x ，21≥+xxC ．当20πθ≤<，θθsin 2sin +的最小值为22D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值 4．2x 2－5x －3＜0的一个必要不充分条件是A ．－21＜x ＜3 B ．－21＜x ＜0 C ．－3＜x ＜21D ．－1＜x ＜6 5.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB |= A ．8B ．10C ．6D ．46.设Sn 是等差数列{a n }的前n 项和，若9535=a a ，则 59s s等于 A.1 B.-1 C.2 D21 7．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真8.已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，|AF |+|BF |=3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为A.34 B.1 C. 54 D. 749．已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①++；②+2；③+；④-2中，等价的有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个10. 在等差数列{}n a 中，公差1d =，98137s =，则24698a a a a ++++ 等于 A. 91 B. 92 C . 93 D . 9411. 等比数列}{n a 中，0>n a ，且362867564=++a a a a a a ,则75a a +的值为A ．6B ．12C ．18D ．2412. 已知P 是抛物线2y x =上任意一点，则当P 点到直线20x y ++=的距离最小时，P 点与该抛物线的准线的距离是A ．2B ．1C ．21D ．41第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
山东省高二下学期开学考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知是关于x 的方程的根，则实数（ ） 2i +250x ax ++==a A ． B ． C ．2 D ．42i -4-【答案】B【解析】依题意知方程的根互为共轭复数，结合韦达定理可求得结果. 【详解】因为是关于x 的方程的根，则另一根为 2i +250x ax ++=2i -由韦达定理得，所以 ()()22i i a ++-=-4a =-故选：B2．直线的斜率为（ ） 10x +=A B ．C D ．【答案】C【解析】可化为. 10x +=y x =+【详解】可化为10x +=y x =+k =故选：C【点睛】本题主要考查了已知直线方程求斜率，属于基础题.3．已知动点在直线上运动，动点在直线上运动，且，则P 1:3410l x y -+=Q 2:640l x my ++=12l l //的最小值为（ ）PQ A ．B ．C ．D ．3531015110【答案】C【解析】根据两平线上任意两点距离的最小值即为平行线间的距离求解. 【详解】因为， 12l l //所以，解得， 64341m =≠-8m =-化简得 2:3420l x y -+=设间的距离为，则，12,l l d 15d ==由平行线的性质知的最小值为，PQ 15故选：C4．已知在一个二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且A B AC BD都垂直于棱，，，， ） AB 5AB =3AC =4BD =CD =A ． B ．C ．D ．30︒45︒90︒150︒【答案】C【解析】设这个二面角的度数为，由题意得，从而得到，由此能求出结αCD CA AB BD =++cos α果.【详解】解：设这个二面角的度数为，α由题意得，CD CA AB BD =++， 22222||||cos()CD CA AB BD CA BD πα∴=+++⋅-，292516234cos α∴=++-⨯⨯⨯解得， cos 0α=∴，90α=︒∴这个二面角的度数为， 90︒故选：C.【点睛】本题考查利用向量的几何运算以及数量积研究面面角，属于中档题. 5．如图，在正四面体中，是的中点，则与所成角的余弦值是OABC D OA BD OCA ．BCD 12【答案】B【分析】取的中点,连接,,可得就是与所成的角, 设,可得AC E DE BE BDE ∠BD OC OA a =,,利用余弦定理可得的值,可得答案.BD BE ==12DE a =cos BDE ∠【详解】解:如图: ,取的中点,连接,,可得就是与所成的角, AC E DE BE BDE ∠BD OC设,则,,OA a =BD BE ==12DE a =222cos 2BD DE BE BDE BD DE +-∠==⋅故选: B.【点睛】本题主要考查异面直线所成得角的余弦值的求法,注意余弦定理的灵活运用,属于基础题.6．若关于的方程的取值范围是（ ） x 3kx k =+-k A ．B ．C ．D ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭43,32⎛⎤⎥⎝⎦40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】转化为函数与函数(1)3y k x =-+y =的斜率可求得结果.,MA MB【详解】因为关于的方程恰有两个实数根，x 3kx k =+-所以函数与函数与半圆(1)3y k x =-+y =(1)3y k x =-+y =如图：直线经过定点，(1)3y k x =-+(1,3)M 当直线与半圆时，(1)3y k x =-+y =A ，解得， 1=43k =当直线经过点时，，(1)3y k x =-+(1,0)B -32k=所以满足函数与函数的范围为.(1)3y k x =-+y =k 43,32⎛⎤⎥⎝⎦故选：B【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求.7．若等差数列的前项和为，首项，，，则满足成{}n a n n S 10a >202020210a a +>202020210a a ⋅<0n S >立的最大正整数是（ ） n A ． B ．C ．D ．4039404040414042【答案】B【解析】由等差数列的，及得数列是递减的数列，因此可确定，10a >202020210a a ⋅<202020210,0a a ><然后利用等差数列的性质求前项和，确定和的正负． n n S 【详解】∵，∴和异号，202020210a a ⋅<2020a 2021a 又数列是等差数列，首项，∴是递减的数列，， {}n a 10a >{}n a 202020210,0a a ><由，所以，202020210a a +>140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>，14041404120214041()404102a a S a +==<∴满足的最大自然数为4040． 0n S >n 故选：B ．【点睛】关键点睛：本题求满足的最大正整数的值，关键就是求出，时成0n S >n 100n n S S +><，立的的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题. n 8．已知数列的各项均为正数，，，若数列的前项和为{}n a 12a =114n n n n a a a a ++-=+11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭n5，则（ ） n =A ．119 B ．121 C ．120 D ．122【答案】C【解析】根据题设条件化简得到，结合等差数列的通项公式，求得2214n n a a +-=n a=，结合裂项法，求得数列的前项和，列出方程，即可求解.1112n n a a +=+n 【详解】由题意，数列的各项均为正数，，，{}n a 12a =114n n n na a a a ++-=+可得，所以数列是以4首项，公差为4的等差数列，2214n n a a +-={}2n a 所以，可得24n a n =n a=又由，111122n n a a +==+前项和，n )111122n S ==令，解得.)1152=120n =故选：C.【点睛】裂项求和的方法与注意点：1、裂项相消法求和：把数列的通项公式拆成两项的差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得数列的前项和；n 2、使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，且不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点.二、多选题9．已知数列，下列结论正确的有（ ） {}n a A ．若，，则. 12a ＝11n n a a n +++＝20211a ＝B ．若则11132n n a a a ++＝，＝，71457a =C ．若，则数列是等比数列12n n S =3+{}n a D ．若，则 11212n n n a a a a ++＝，＝()*n N ∈15215a ＝【答案】AB【解析】直接利用叠加法可判断选项A ，从而判断，利用构造新数列可求出B,D 中数列的通项公式，可判断，选项C 求出数列的前3项从而可判断. 【详解】选项A. 由，即 11n n a a n +=++11n n a a n +-=+则()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+ 20191822211=+++++= 故A 正确.选项B. 由得 132n n a a +=+，()1311n n a a +=++，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列. {}1n a +112a +=则，即，所以，故B 正确.1123n n a -+=⨯1231n n a -=⨯-672311457a =⨯-=选项C. 由，可得当时，12n n S =3+1n =11722a =+=3当时，得，2n =2211193622a S S ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，得，3n =332112791822a S S ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭显然，所以数列不是等比数列，故C 错误.2213a a a ≠{}n a 选项D. 由，可得122n n n a a a +=+11112n n a a +-=所以数列是以1为首项，为公差的等差数列.1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭12所以，则，即，故D 错误. ()1111122n n n a +=+-=1511826a ==1518a =故选：AB【点睛】关键点睛：本题考查利用递推关系求数列的通项公式，解答的关键是掌握求数列通项公式的常见方法，由叠加法可得，利用构造新()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+ 数列解决问题，属于中档题.()1311n n a a +=++，11112n n a a +-=10．关于双曲线与双曲线下列说法正确的是（ ）221:132x y C -=222:123y x C -=A ．它们的实轴长相等 B ．它们的渐近线相同 C ．它们的离心率相等 D ．它们的焦距相等【答案】BD【解析】根据两个双曲线分别求解四个选项中的性质，再比较，判断选项.【详解】双曲线，，，实轴长，渐近线方程221:132x y C -=223,2a b ==2225c a b =+=2a =，离心率y x ==c e a ===2c =双曲线，，，实轴长222:123y x C -=222,3a b ==2225c a b =+=2a =y x ==，离心率 c e a ===2c =综上比较，可知两个双曲线的渐近线，焦距相等. 故选：BD11．已知圆和圆的公共点为，，则（ ）221:1C x y +=222:40C x y x +-=A B A ． B ．直线的方程是 12||2C C =AB 14x =C ．D ．12AC AC ⊥||AB =【答案】ABD【解析】两圆相减就是直线的方程，再利用圆心距，判断C ，利用弦长公式求. AB AB 【详解】圆的圆心是，半径，圆，圆心，，1C ()0,011r =()222:24C x y -+=()2,022r =，故A 正确；122C C ∴=两圆相减就是直线的方程，两圆相减得，故B 正确； AB 1414x x =⇒=，，，，所以不正确，故C 不正确；11AC =22AC =122C C =2221212AC AC C C +≠12AC AC ⊥圆心到直线的距离，D 正确. ()0,014x =14d =AB ===故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题关键选项是B 选项，当两圆相交，两圆相减后的二元一次方程就是相交弦所在直线方程.12．已知正方体的棱长为，点，在平面内，若1111ABCD A B C D -2E F 1111D C B A ||AE =，则（ ）AC DF ⊥A ．点的轨迹是一个圆 EB ．点的轨迹是一个圆 FC ．的最小值为EF 1D ．与平面AE 1A BD 【答案】ACD【分析】对于A 、B 、C 、D 四个选项，需要对各个选项一一验证.选项A ：由，分析得E 的轨迹为圆； ||AE ==1||1A E =选项B ：由，而点F 在上，即F 的轨迹为线段，； AC DBF ⊥11B D 11B D 选项C ：由E 的轨迹为圆，F 的轨迹为线段，可分析得； 11B D min ||EF d r =-选项D ：建立空间直角坐标系，用向量法求最值.【详解】对于A:，即点E 为在面||AE ===1||1A E =内，以为圆心、半径为1 的圆上；故A 正确；1111D C B A 1A 对于B: 正方体中，AC ⊥BD ，又，且BD ∩DF=D ，所以，所1111ABCD A B C D -AC DF ⊥AC DBF ⊥以点F 在上，即F 的轨迹为线段，故B 错误； 11B D 11B D 对于C:在平面内，1111D C B A到直线的距离为当点，落在上时，；故C 正确；1A 11BD d =EF 11AC min ||1EF =对于D:建立如图示的坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D 因为点E 为在面内，以为圆心、半径为1 的圆上，可设1111D C B A 1A ()cos ,sin ,2E θθ所以 ()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=-设平面的法向量，则有 1A BD (),,n x y z = 1·220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩不妨令x =1，则，()1,1,1n =设与平面所成角为α，则：AE 1A BD||sin |cos ,|||||n AE n AE n AE α====⨯ A 当且仅当时，4πθ=sin α=故D 正确 故选：CD【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．三、填空题13．若直线与直线互相垂直，则实数的值为__________． 10x y -+=310mx y +-=m 【答案】3【解析】直接利用两直线垂直，求出m .【详解】因为直线与直线互相垂直， 10x y -+=310mx y +-=所以，解得： 30m -=3m =故答案为：3【点睛】若用一般式表示的直线,不用讨论斜率是否存在,只要A 1A 2+B 1 B 2=0,两直线垂直.14．已知，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为____.()1,1,0a =r ()1,0,2b =-r ka b + 2a b -k 【答案】()7,22,5⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭【分析】结合向量的坐标运算，两向量夹角为钝角需满足数量积为负，且夹角不为平角.【详解】，与的夹角为钝角，则()()1,,2,23,2,2ka b k k a b +=--=-ka b + 2a b -，即.()()2570ka b a b k +⋅-=-<75k <又当与的夹角为平角时，有，得. ka b + 2a b - 12322k k -==-2k =-故实数的取值范围为且. k 75k <2k =-故答案为：()7,22,5⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭15．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝a n ＋，则数列{a n }的通项公式是a n =______.2313【答案】；1(2)n n a -=-【详解】试题分析：解：当n=1时，a 1=S 1=a 1+，解得a 1=1,当n≥2时，a n =S n -S n-1=（）-23132133n a +（）=-整理可得a n ＝−a n−1，即=-2，故数列{a n }是以1为首项，-2为公12133n a -+23n a 123n a -13231n n a a -比的等比数列，故a n =1×（-2）n-1=（-2）n-1故答案为（-2）n-1． 考点:等比数列的通项公式．16．若为直线上一个动点，从点引圆的两条切线，（切P 40x y -+=P 2240y x C x +-=：PM PN点为，），则的最小值是________.M N MN【解析】根据题意得当的长度最小时，取最小值，进而根据几何关系求解即可.||MN ||PC 【详解】如图，由题可知圆C 的圆心为，半径．(2,0)C 2r =要使的长度最小，即要最小，则最小．||MN MCN ∠MCP ∠因为， ||||tan 2PM PM MCP r ∠==所以当最小时，最小因为，||PM ||MN PM =∣所以当最小时，最小．||PC ||MN因为 min ||PC ==所以 cos MCP ∠==所以 sin MCP ∠=由于 1in 2s 2MCP MN ∠=所以． min ||MN =【点睛】本题解题的关键是根据已知当的长度最小，即要最小，进而得当最小||MN MCN ∠||PC时，最小．由于的最小值为点到直线，故考查化归转化思||MN ||PC C 40x y -+=min ||PC =想和运算能力，是中档题.四、解答题17．在①圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为C y x ②圆经过点和;C ()4,1A ()2,3B ③圆与直线相切，且与圆相外切这三个条件中任选一个，补充在C 210x y --=22:(2)1Q x y +-=下面的问题中，若问题中的圆存在，求出圆的方程;若问题中的圆不存在，说明理由． C C C 问题:是否存在圆，______，且圆心在直线上． C C 12y x =注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析.【解析】选择①、②、③，分别用待定系数法求圆的方程；E 【详解】选择条件①：设圆心的坐标为，圆的半径为C (),a b C r 因为圆心在直线上，所以 C 12y x =12b a =因为圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为C y x 所以，，且0a >0b >2r a b ==由垂径定理得解得，223r b =+1b =所以，2a =2r =所以圆的方程为C 22(2)(1)4x y -+-=选择条件②：设圆心的坐标为，圆的半径为C (),a b C r 因为圆心在直线上，所以 C 12y x =12b a =因为圆经过点和，的中点C ()4,1A ()2,3B AB ()3,2M 所以的中垂线方程为AB 1y x =-联立直线 12y x =解得 21x y =⎧⎨=⎩即，，2a =1b =2r =所以圆的方程为C 22(2)(1)4x y -+-=选择条件③：设圆心的坐标为，圆的半径为C (),a b C r 因为圆心在直线上，所以 C 12y x =2a b =， r =所以与圆相外切， r =C Q所以||1CQ r =+1r =+可得：，因为该方程，所以方程无解 2540b b -=∆<0故不存在满足题意的圆．C 【点睛】“结构不良问题”是2020年新高考出现的新题型：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分.18．已知数列满足，．{}n a 11a =13(1)n n na n a +=+（1）设，求证:数列是等比数列; n n a b n={}n b （2）求数列的前项和．{}n a n n S 【答案】（1）证明见解析；（2）. (21)3144n n n S -=+【解析】（1）将变形为，得到为等比数列， 13(1)n n na n a +=+131n n a a n n+=+{}n b （2）由（1）得到的通项公式，用错位相减法求得{}n a n S 【详解】（1）由，，可得， 11a =13(1)n n na n a +=+131n n a a n n +=+因为则，，可得是首项为，公比为的等比数列， n n a b n=13n n b b +=11b ={}n b 13（2）由（1），由，可得， 13n n b -=13n n a n-=13n n a n -=⋅，01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅ ，12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅ 上面两式相减可得：0121233333n n n S n --=++++-⋅ ， 13313nn n -=-⋅-则． (21)3144n n n S -=+【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.19．正项数列的前n 项和Sn 满足：{}n a 222(1)()0n n S n n S n n -+--+= (1)求数列的通项公式；{}n a n a (2)令，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn ＜ . 221(2)n n n b n a +=+564【答案】（1）（2）见解析2;n a n =【详解】（1）因为数列的前项和满足：，所以当时，， 即解得或， 因为数列都是正项， 所以， 因为， 所以， 解得或， 因为数列都是正项， 所以， 当时，有， 所以， 解得，当时，，符合所以数列的通项公式，; （2）因为，所以， 所以数列的前项和为：， 当时， 有， 所以， 所以对于任意，数列的前项和.20．如图，在四棱锥中，为矩形，，平面P ABCD -ABCD AD PA PB ===PA PB ⊥平面．PAB ⊥ABCD（1）证明:平面平面;PAD ⊥PBC （2）若为中点，求平面与平面的夹角的余弦值．M PC AMD BMD【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）利用平面，得到，又有，，得到平面DA ⊥PAB DA PB ⊥PA PB ⊥DA PA A = PB ⊥，从而平面平面；PAD PAD ⊥PBC （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角的余弦值．AMD BMD 【详解】（1）证明：因为平面平面，平面平面，PAB ⊥ABCD PAB ⋂ABCD AB =矩形中，，所以平面ABCD DA AB ⊥DA ⊥PAB 因为平面，所以PB ⊂PAB DA PB ⊥又因为，，平面，PA PB ⊥DA PA A = DA ⊂PAD 平面PA ⊂PAD 所以平面．PB ⊥PAD 因为平面，所以，平面平面．PB ⊂PBC PAD ⊥PBC （2）解：由（1）知平面，取中点，连结，则，DA ⊥PAB AB O PO PO AB ⊥以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，O O xyz-则，，，，(2,0,0,)P (0,2,0)A -(0,2,0)B (0,2,D-M 则，，，(0,0,DA =-(1,3,DM =(0,4,DB =- 设平面的一个法向量为，AMD (,,)n x y z = 则即 00n DA n DM ⎧⋅=⎨⋅=⎩030z x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩令，则，，所以1y =-3x =0z =(3,1,0)n =- 同理易得，平面的一个法向量为BMD (m =- 所以．cos ,||||m n m n m n ⋅<>===⋅ 由图示，平面与平面所成夹角为锐角，AMD BMD所以平面与平面 AMD BMD 【点睛】立体几何解答题的基本结构： (1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．21．如图，在三棱锥中，，为的中点．P ABC -AB BC ==4PA PB PC AC ====O AC（1）证明：平面；PO ⊥ABC （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．M BC M PA C --30°PC PAM【答案】（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO 垂直AC ，再通过计算，根据勾股定理得PO 垂直OB ，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM 一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M 坐标，再利用向量数量积求得向量PC 与平面PAM 法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果．【详解】（1）因为，为的中点，所以，且 4AP CP AC ===O AC OP AC ⊥OP =连结．OB因为，所以为等腰直角三角形， AB BC ==ABC A 且 ，由知． 1,22OB AC OB AC ⊥==222OP OB PB +=PO OB ⊥由知，平面．,OP OB OP AC ⊥⊥PO ⊥ABC （2）［方法一］：【通性通法】向量法如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ．O OB x O xyz -由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,(0,2,O B A C P AP -= 取平面的法向量．PAC (2,0,0)OB = 设，则．(,2,0)(02)M a a a -<≤(,4,0)AM a a =- 设平面的法向量为．PAM (,,)n x y z =由得 ， 0,0AP n AM n ⋅=⋅= 2=0+(4)=0y ax a y -⎧⎪⎨⎪⎩可取2,)n a a =--所以．由已知得 ． cos OB n 〈⋅〉= cos OB n 〈⋅〉=．解得(舍去)， ． =4a =-43a =所以 ． 43n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭又 ，所以 ． (0,2,PC =- cos ,PC n 〈〉=所以与平面． PC PAM ［方法二］：三垂线＋等积法由（1）知平面，可得平面平面．如图5，在平面内作，垂PO ⊥ABC PAC ⊥ABC ABC MN AC ⊥足为N ，则平面．在平面内作，垂足为F ，联结，则，故MN ⊥PAC PAC NF AP ⊥MF MF AP ⊥为二面角的平面角，即． MFN ∠M PA C --30MFN ∠=︒设，则，在中，．在中，由MN a =,4NC a AN a ==-Rt AFN△)FN a =-Rt MFN △，得，则．设点C 到平面的距离为h，由(4)a a =-43a =823FM a ==PAM ，得，解得与平面所成角的正弦值M APC C APM V V --=2141184433323h ⋅=⋅⋅⋅⋅h =PC PAM ［方法三］：三垂线＋线面角定义法由（1）知平面，可得平面平面．如图6，在平面内作，垂PO ⊥ABC PAC ⊥ABC ABCMN AC ⊥足为N ，则平面．在平面内作，垂足为F ，联结，则，故MN ⊥PAC PAC NF AP ⊥MF MF AP ⊥为二面角的平面角，即．同解法1可得． MFN ∠M PA C--30MFN ∠=︒43MN a ==在中，过N 作，在中，过N 作，垂足为G ，联结．在APC △NE PC ∥FNM △NG FM ⊥EG 中，．因为，所以． Rt NGM △43NG NM ===NE PC ∥843NE NA a ==-=由平面，可得平面平面，交线为．在平面内，由，PA ⊥FMN PAM ⊥FMN FM FMN NG FM ⊥可得平面，则为直线与平面所成的角．NG ⊥PAM NEG ∠NE PAM 设，则，所以直线与平面所成角的正弦NEG α∠=sin NG NE α===NE PC ∥PC PAM ［方法四］：【最优解】定义法如图7，取的中点H ，联结，则C 作平面的垂线，垂足记为T （垂足T PA CH CH =PAM 在平面内）．联结，则即为二面角的平面角，即，得PAM HT CHT ∠M PA C --30CHT ∠=︒CT =联结，则为直线与平面所成的角．在中，PT CPT ∠PC PAM Rt PCT △4,PC CT ==sin CPT ∠=【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法；方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段；方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦；方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解．22．已知椭圆的左右顶点分别为，2222:1(0)x y E a b a b +=>>A B D ．（1）求椭圆的标准方程;E （2）过点作与轴不重合的直线与椭圆相交于，两点(在，之间)．证明:直()4,0P x l E M N N P M 线与直线的交点的横坐标是定值．MB NA 【答案】（1）；（2）证明见解析. 2214x y +=【解析】（1）待定系数法求椭圆标准方程； （2）用“设而不求法”表示出M 、N ，，从而表示出直线MB ，NA , 证明直线与直线的交点的MB NA 横坐标是定值．【详解】（1）因为 c e a ==12b a =椭圆过点，D 所以， 2221142b b +=所以，，2a =1b =所以椭圆的方程为 E 2214x y +=（2）设直线，设，:4l x my =+()11,M x y ()22,N x y 联立得： 22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2248120m y my +++=，或2161920m ∆=->m >m <-由韦达定理得：， 12284m y y m -+=+122124y y m =+由题意得：直线，直线 11:(2)2y MB y x x =--22:(2)2y NA y x x =++所以()()12212(2)2(2)y x x y x x +-=-+即 ()()12112212121262262x my y y my y y my y y y my y +--=+++整理得，()()121221622226x y y my y y y -=++即()()121221622326x y y y y y y -=-+++⎡⎤⎣⎦即()()12126262x y y y y -=-若，则，此时，213y y =1m =±2161920m ∆=-<所以12620y y -≠所以1x =【点睛】（1）待定系数法是求二次曲线的标准方程的常用方法；（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.。
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高二下学期月考数 学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟。
2．请将各题答案填写在答题卡上，3．本试卷主要考试内容：人教A 版2－2（不考第二章）、2－3．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z 满足21z i i=+，则z =（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --2．已知()tan 1f x x =+，()f x '为()f x 的导数，则π3f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．13．复数()52412z i i i=++-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若180,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则DX =（ ）A ．20B ．40C ．15D ．305．已知随机变量ξ服从正态分布()24,N σ．若()20.3P ξ<=，则()26P ξ<<=（ ） A ．0.4B ．0.6C ．0.3D ．0.56．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，()f x '的部分图象如图所示，则（ ）A ．()f x 在()3,+∞上单调递增B ．()f x 的最大值为()1fC ．()f x 的一个极大值为()1f -D ．()f x 的一个减区间为()1,37．若()3o f x '=，则()()0003limx f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．3B ．9C ．19D ．68．三个男生和五个女生站成一排照相，要求男生不能相邻，且男生甲不站最左端，则不同站法的种数为（ ） A ．12000B ．15000C ．18000D ．210009．二项式n的展开式中第13项是常数项，则n =（ ）A ．18B ．21C ．20D ．3010．设点P 是曲线()()21ln f x x x =+-上的任意一点，则点P 到直线340x y --=的距离的最小值为（ ）ABCD11．某市抽调两个县各四名医生组成两个医疗队分别去两个乡镇开展医疗工作，每队不超过五个人，同一个县的医生不能全在同一个队，且同县的张医生和李医生必须在同一个队，则不同的安排方案有（ ） A ．36种B ．48种C ．68种D ．84种12．已知对任意实数x 都有()()3e x f x f x '=+，()01f =-，若不等式()()2f x a x <-（其中1a <）的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是（ ） A ．41,3e 2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．4,13e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．271,4e 2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．274,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．若复数()312a aii--∈R 是纯虚数，则2a i +=__________． 14．由一组观测数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y 得回归直线方程为3y x a =+，若 1.5x =，2y =，则a =__________． 15．已知函数()2ln 1e xf x x+=+-，则()f x 的最大值为__________．16．若()10210012101x a a x a x a x +=++++，则268a a a ++=__________；123102310a a a a ++++=__________．（本题第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）学生学习的自律性很重要．某学校对自律性与学生成绩是否有关进行了调研，从该校学生中随机抽取了100名学生，通过调查统计得到22⨯列联表的部分数据如下表：（1）补全22⨯列联表中的数据；（2）判断是否有99.9%的把握认为学生的成绩与自律性有关．参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d +++-+=．18．（12分）设函数()3223f x x x ax b =+++，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线为121y x =-+． （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的极值． 19．（12分）某校2011年到2019年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数（每位学生只能参加“北约”“华约”中的一种考试）可以通过以下表格反映出来．（为了方便计算，将2011年编号为1，2012年编号为2，依此类推）（1）求这九年来，该校参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数的平均数和方差；（2）根据最近五年的数据，利用最小二乘法求出y 与x 的线性回归方程，并依此预测该校2020年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数．（最终结果精确至个位） 参考数据：回归直线的方程是y bx a =+，其中()()()1122211n ni iiii i nni i i i x y nx y x x y y b x nxx x====---==--∑∑∑∑，a y bx =-．95293i ii x y==∑，925255i i x ==∑．20．（12分）每个国家对退休年龄都有不一样的规定，从2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：（1）从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此人年龄在[)35,45的概率为15，求出表格中m ，n 的值； （2）若从年龄在[)45,55的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会去，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．21．（12分）随着5G 商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G 用户的争夺越来越激烈，5G 手机也频频降低身价已入寻常百姓家．某科技公司为了给自己新推出的5G手机定价，随机抽取了100人进行调查，对其在下一次更换5G 手机时，能接受的价格（单位：元）进行了统计，得到结果如下表．已知这100个人能接受的价格都在[)1000,3500之间，并且能接受的价格的平均值为2350元（同一组的数据用该组区间的中点值代替）．（1）现用分层抽样的方法从第一、二、三组中随机抽取6人，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2人，求其中恰有1人能接受的价格不低于2000元的概率；（2）若人们对5G 手机能接受的价格X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ为样本平均数x ，2σ为样本方差2s ，求()23502974P X <<．6.24≈． 若()2,XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=．22．（12分）已知函数()()2ln f x x m x m =+∈R ． （1）当1m =-时，求()f x 的最值；（2）当2m =时，记函数()()()5g x f x ax a =-≥的两个极值点为1x ，2x ，且12x x <，求()2g x -()1g x 的最大值．邢台市2019～2020学年高二下入学考试数学参考答案1．B ∵复数z 满足()12z i i +=，∴211iz i i==++，故1z i =-． 2．A ∵()sin tan 11cos x f x x x =+=+，∴()2222cos sin 1cos cos x x f x x x +'==，∴π14134f ⎛⎫'== ⎪⎝⎭． 3．B 因为()52412243412z i i i i i i=++=++-=-+-，所以z 在复平面内对应的点位于第二象限． 4．C ()131801544DX np p =-=⨯⨯=． 5．A 因为()()260.3P P E ξ<=>=，所以()26120.30.4P ξ<<=-⨯=． 6．D 由()f x '的部分图象并不能确定()f x 在()3,+∞上单调递增，故A 错误；同理，()f x 的最大值也不一定为()1f ，故B 错误； 由图可知()1f -为()f x 的一个极小值，故C 错误；当()1,3x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()1,3上单调递减，故D 正确．7．B ()()()()()00000033lim3lim393x x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆．8．A 三男五女站成一排照相，要求男生不能相邻，用插空法，共有5356A A ⋅种不同站法，其中男生甲站最左端共有5255A A 种不同站法，所以符合条件的站法有()53525325655565120100A A A A A A A -=-=⨯=12000种．9．D二项式n的展开式中第13项1212101212313nn n n T C C x --⎛== ⎝， 令1003n-=，得30n =． 10．A 令()()()221ln 345ln g x x x x x x x =+---=-+-，则()()()121x x xx g -+'=，易知()()min 150g x g ==>，所以曲线()y f x =的图象在直线34y x =-的上方．()()121f x x x'=+-()0x >， 令()1213x x +-=，得1x =或12x =-， 因为()14f =，所以点P 到直线340x y --=的距离的最小值2d ==． 11．C 设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，若甲乡镇派遣三名医生，则共有112214242420C C C C C +⋅+⋅=种方案；若甲乡镇派遣四名医生，则共有021113222424242428C C C C C C C C ⋅+⋅+⋅+⋅=种方案； 若甲乡镇派遣五名医生，则共有03122324242420C C C C C C ⋅+⋅+⋅=种方案． 综上可得，不同的派遣方案有20282068++=种．12．D 由()()3e x f x f x '=+，()01f =-，得()()31e x f x x =-，故()()32e x f x x '=+，()f x 在23x =-处取得极小值． 根据图象，欲使解集中恰有两个整数，则比较点()2,0与四个点()1,2e ，()0,1-，41,e ⎛⎫--⎪⎝⎭，272,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线的斜率， 由27412e 3e 24e -<<<，可得274,3e 4e a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．13因为()()()31232631255ai i a a iai i -+++--==-为纯虚数，则320a +=，即32a =-，所以32i i a =-+=+ 14．-2.5 因为 1.5x =，2y =，所以23 1.5a =⨯+，故 2.5a =-． 15．1 因为()2ln 1e xf x x +=+-，所以它的定义域为{}0x x >， 求导得()21ln xf x x+'=-． 令()0f x '>，得10e x <<，令()0f x '<，得1ex >， 所以()f x 在0,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的最大值为11e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 16．300；5120因为通项公式110r r r T C x +=⋅，所以258268101010300a a a C C C ++=++=． 因为()10210012101x a a x a x a x +=++++，两边求导可得()929123101012310x a a x a x a x +=+++，令1x =，所以91231023101025120a a a a ++++=⨯=．17．解：（1）因为总人数为100，可填写列联表如下：（2）根据表中数据，得()22100403020105040616.66710.828050503K ⨯⨯-⨯==⨯⨯≈>⨯， 所以有99.9%的把握认为学生的成绩与自律性有关．18．解：（1）因为切点()()0,0f 在121y x =-+上，所以()01f =，则1b =．又()266f x x x a '=++，所以()012f a '==-， 所以()3223121f x x x x =+-+． （2）由（1）知()3223121f x x x x =+-+，()()()26612612f x x x x x '=+-=-+．令()0f x '=，得1x =或2x =-，当(),2x ∈-∞-时，()0f x '>，()f x 在(),2-∞-上是增函数； 当()2,1x ∈-时，()0f x '<，()f x 在上是减函数； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()1,+∞上是增函数， 从而()f x 在2x =-处取到极大值()221f -=． 在1x =处取到极小值()16f =-．19．解：（1）由题知，平均数为2354578101069++++++++=．方差()()()2222168263610699s ⎡⎤=-+-++-=⎣⎦．（2）由表中近五年的数据知，7x =，8y =，95293i ii x y==∑，925255i i x ==∑，95922552935781.32555495i ii i i x y xyb x x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，又a y bx =-，所以8 1.37 1.1a =-⨯=-， 故y 与x 的线性回归方程为 1.3 1.1y x =-， 当10x =时， 1.310 1.111.912y =⨯-=≈，故估计该校2020年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生有12人．20．解：（1）因为总共抽取100人进行调查，所以10010152025525m =-----=， 因为从赞成“延迟退休”的人中任选1人， 其年龄在[)35,45的概率为1525n n =+，所以13n =．（2）从年龄在[)45,55中按分层抽样抽取10人，赞成的抽取2010825⨯=人，不赞成的抽取2人， 再从这10人中随机抽取4人，则随机变量X 的可能取值为2,3,4．()22824102215C C P X C ⋅===，()31824108315C C P X C ⋅===， ()4082410143C C P X C ⋅===． X 的分布列为所以28116234151535EX =⨯+⨯+⨯=．21．解：（1）因为102020100x y ++++=，所以50x y +=．因为102020125017502250275032502350100100100100100x y ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以79410x y +=，解得20x =，30y =．因为第1组的人数为10，第2组的人数为20，第3组的人数为30． 所以利用分层抽样法在60名学生中抽取6名学生， 其中第1，2，3组分别抽取1人，2人，3人．所以恰有1人能接受的价格不低于2000的概率11332635C C P C ==． （2）由题意可知2350x μ==，因为()()()22220.1125023500.2175023500.322502350s =⨯-+⨯-+⨯-+()()220.2275023500.232502350390000⨯-+⨯-=，所以624σ=≈，故()1235029740.68260.34132()P X P X μμσ<<=<<+=⨯=． 22．解：（1）当1m =-时，函数()2ln f x x x =-的定义域为(0,)+∞，()21212x f x x x x-'=-=，令()0f x '=，得2x =， 所以函数()f x在0,2⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增． 所以()min 1ln 22f x f +==⎝⎭，无最大值． （2）当2m =时，()()22ln 0g x x x ax x =+->，()22g x x a x'=-+． 因为1x ，2x 是方程2220x ax -+=的两个不等实根， 所以122ax x +=，121x x +=，因此()()()()22212221112ln 2ln g x g x x ax x x ax x -=-+--+ ()()222211212122ln x x x x x x x x =-++-+ 22222122221212ln 2ln x x x x x x x =-+=-+． 令22t x =，则()()2112ln g x g x t t t-=-+，因为22x =≥=， 所以[)224,t x =∈+∞． 令()12ln h t t t t =-+，[)4,t ∈+∞， 则()()222221122110t t t h t t t t t --+'=--+=-=-<， 在[)4,t ∈+∞上恒成立，所以()12ln h t t t t =-+在[)4,t ∈+∞上单调递减， 故()()max 115442ln 44ln 244h t h ==-+=-． 即()()21g x g x -的最大值为154ln 24-．。